初中数学 几何模块之等腰三角形.题库教师版
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等腰三角形
【例1】 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60︒，求三角形三个内角的度数． 【考点】等腰三角形的性质及判定 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】分类讨论思想 【解析】本题分两种情形：
（1）等腰三角形为锐角三角形时，三内角度数为30︒、75︒、75︒； （2）当等腰三角形为钝角三角形时，三内角度数为150︒、15︒、15︒．
【答案】三内角度数为30︒、75︒、75︒或150︒、15︒、15︒．
【例2】 已知BD 是等腰ABC ∆一腰上的高，且50ABD ∠=︒，求ABC ∆三个内角的度数． 【考点】等腰三角形的性质及判定 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】分类讨论思想
【解析】若ABC ∆为钝角三角形时，A ∠为顶角时，三内角大小为1402020︒︒︒，，；
若ABC ∆为钝角三角形时，A ∠为底角时，三内角大小为1004040︒︒︒，，； 若ABC ∆为锐角三角形时，A ∠为顶角，三内角大小为407070︒︒︒，，．
【答案】1402020︒︒︒，，或1004040︒︒︒，，或407070︒︒︒，，
【例3】 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50︒，求三角形三个内角的度数． 【考点】等腰三角形的性质及判断 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】分类讨论思想 【解析】
【答案】本题分两种情形：
⑴等腰三角形为锐角三角形时，三内角度数为40︒、70︒、70︒；
⑵当等腰三角形为钝角三角形时，三内角度数为140︒、20︒、20︒．
【例4】已知ABC
∆中，90
A
∠=︒，67.5
B
∠=︒.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请
你利用下面给出的备用图，画出两种
．．不同的分割方法.
只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相
等两角的度数）.
C
B A
C
B
A
【考点】等腰三角形的性质及判定，几何操作与尺规作图【难度】2星
【题型】解答
【关键词】08年宣武初三一模考试
【解析】
【答案】如下图：
45︒
45︒
22.5︒22.5︒
A
B C
22.5︒
22.5︒
67.5︒
67.5︒
C B
A
【例5】在ABC
∆中，AB AC
=．若过ABC
∆一个顶点的直线可将ABC
∆分成两个等腰三角形，求ABC
∆各内角的度数．
【考点】等腰三角形的性质及判定，几何操作与尺规作图
【难度】2星
【题型】解答
【关键词】分类讨论思想
【解析】
【答案】本题需分以下几种情形讨论．
（1）当直线过ABC
∆的底角顶点时：
情形一：如图⑴，BD分ABC
∆成两个等腰三角形，其中DA DB CB
==，易得36
A
∠=︒，
72
ABC C
∠=∠=︒．
⑴
A
D
C
B
⑵
A
D
C
B
⑶
A
D
C
B
⑷
A
D
C
B
情形二：如图⑵，BD 分ABC ∆成两个等腰三角形，其中DA DB =，CB CD =，
1807A ︒∠=，5407
ABC C ︒
∠=∠=； （2）当直线过ABC ∆的顶角顶点时：
情形三：如图⑶，AD 分ABC ∆成两个等腰三角形，其中DB DA ==DC 易得45B C ∠=∠=︒，90A ∠=︒；
情形四：如图⑷，AD 分ABC ∆成两个等腰三角形，其中DA DB =，CA CD =， 易得36B C ∠=∠=︒，所以108BAC ∠=︒．
【例6】 MON ∠是一个钢架，10MON ∠=︒，在其内部添加一些钢管BC ，CD ，DE ，EF ，FG ，…添加
的钢管长度都与OB 相等．
（1）当添加到第五根钢管时，求FGM ∠的度数．
（2）假设OM 、ON 足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?
D N
M
F
E
O C
B
G
【考点】等腰三角形的性质及判定 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】 【解析】
【答案】⑴由于OB BC CD DE EF FG =====，所以BCO ∠=10BOC ∠=︒，
所以20DBC BOC BCO ∠=∠+∠=︒，20BDC DBC ∠=∠=︒．
同理，依次可求得30DCE DEC ∠=∠=︒，40FDE DFE ∠=∠=︒，FEG ∠=50FGE ∠=︒． 因此18050130FGM ∠=︒-︒=︒．
⑵不能无限添加下去．根据⑴中所得到的规律，当添加到第八根时，它与MON ∠的一边成80︒角，与另一边垂直，无法再作出等腰三角形，因此，最多能添加八根．
【例7】 如图，ABC ∆中，30A ∠=︒，CD 是BCA ∠的平分线，ED 是CDA ∠的平分线，EF 是DEA ∠的平分
线，DF FE =，求B ∠.
A
B
C
D
E F
【考点】等腰三角形的性质及判定，三角形的内外角性质 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】初二第12届希望杯1试
【解析】∵在DEF ∆中，DF FE =，∴45∠=∠
∵CD ，ED ，EF 分别是BCA ∠，CDA ∠，DEA ∠的角平分线 ∴12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠∴53∠=∠，∴EF CD ∥ ∴62∠=∠，∴126543∠=∠=∠=∠=∠=∠，即13∠=∠ ∴BC DE ∥，∴41B ∠=∠=∠，∴2ACB B ∠=∠
∴在ABC ∆中，180A B ACB ∠+∠+∠=︒，303180B +∠=︒o ，∴50B ∠=︒
12
6
35
4
A
B
C
D
E F
【答案】50︒
【例8】 ABC ∆中，AM AN =，CN CP =，AB AQ =，CB CG =．试比较MNP ∠与GBQ ∠的大小．
R
P
N M G C
Q
B
A
【考点】等腰三角形的性质及判定 【难度】4星