双曲线及其标准方程练习题答案及详解

练习题

高二一部数学组 刘苏文 2017年5月2日

一、选择题

1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( )

A ．双曲线

B ．一条直线

C ．一条线段

D ．两条射线

2．已知方程x 21＋k －y 2

1－k

＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－10 C ．k ≥0 D ．k >1或k <－1

3．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )

A ．双曲线的一支

B ．圆

C ．抛物线

D ．双曲线

4．以椭圆x 23＋y 24

＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是 A.x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24

＝1 5．“ab <0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)、F 2(5，0)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|

＝2，则该双曲线的方程是( )

A.x 22－y 23＝1

B.x 23－y 22＝1

C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24

＝1 7．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22

＝1有相同的焦点，则m 的值是( ) A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．不存在

8．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )

A.x 29－y 27＝1

B.x 29－y 27

＝1(y >0) C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D.x 29－y 27

＝1(x >0) 9．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2

的周长是( )

A ．16

B ．18

C ．21

D ．26

10．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b

＝1(a >0，b >0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )

A ．m －a

B ．m －b

C ．m 2－a 2 D.m －b

二、填空题

11．双曲线的焦点在x 轴上，且经过点M (3,2)、N (－2，－1)，则双曲线标准方程是________．

12．过双曲线x 23－y 24

＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．

13．如果椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22

＝1的焦点相同，那么a ＝________.

14．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．

三、解答题

15．设双曲线与椭圆x 227＋y 236

＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．

16．已知双曲线

x 2－y 22

＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离．

答案及详解

1、D

2、A 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1

3、A 设动圆半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，

由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4， 由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．

4、B 由题意知双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2， ∴b 2＝3，双曲线方程为y 2－x 23

＝1. 5、C ab <0⇒曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线，曲线ax 2＋by 2＝1是双曲线⇒ab <0.

6、C ∵c ＝5，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2，

∴4a 2＝4c 2－4＝16，∴a 2＝4，b 2＝1.

7、A 验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3.

对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，故当m ＝±1时，它们有相同的焦点．

直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.∴m 2＝1，即m ＝±1.

8、D 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：

x 29－y 27

＝1(x >0) 9、D |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，

∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.

10、A 设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，

由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a . 11、x 273－y 2

75

＝1 12、833

∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该弦所在直线方程为x ＝7， 由⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝7x 23－y 24

＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833. 13、1 由题意得a >0，且4－a 2＝a ＋2，∴a ＝1. 14、 x 24－y 2

12

＝1(x ≤－2) 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得|PB |－|P A |＝4<|AB |＝8， 由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．

其方程为：x 24－y 2

12

＝1(x ≤－2)． 15、椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，±3)，由题意，设双曲线方程为：y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)，