债券的组合管理

❖ 对于溢价债券，本金现值的增加不足以抵消息票利息现值的减 少，债券价格降低。
二 、利率风险的衡量
➢ 两种方法描述利率风险： (一)全景法 (full valuation approach 或者又称为scenario analysis approach) • 已知利率如何变化，用估值技术计算出每一种变化对价格 的影响。 • 理论上模型足够好时，全景法会得出非常精确的答案。 • 缺点：很复杂。
(11-6)
➢ 麦考林久期还可表示为（下式的分母是按到期收益率贴现的
债券现金流现值，也就是债券的市场价格P。）
T tC Ft
D =
t= 1 ( 1 + y ) t T C Ft
t= 1 ( 1 + y ) t
CFt
令W= (1+y)t
P
，其中P=
T t=1
CFt (1+y)t
N
则D=t W
t=1
➢ 从本质上看，久期就是衡量债券价格的利率敏感性指针， 而不是一种期限。
➢ 零息债券的麦考利久期就等于它的到期时间。
1. 麦考林久期
（1）麦考利久期计算(cont) ➢ 例10-2：面值为100 元，票面利率为8%的三年期债券，
半年付息一次，下一次付息在半年后。如果到期收益率为 10%，计算它的麦考利久期。
本金的现值为：1000/(1+2.5%)14=707.73（元）
债券的价格为：350.73+707.73=1058.46（元）
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下表为在不同收益率水平下该债券价格的不同值。
➢ 从上表中可以看出，债券价格与收益率反方向变动，这是 债券价值的一个重要的普遍性规律。
➢ 当收益率水平很高时，债券的价值会很低；当收益率水平 接近于零时，债券的价值会趋近于现金流的总和。这是因 为债券价格是通过用投资者要求的收益率对现金流进行贴 现得到的。
（一）有效久期
➢ 可以应用于附有选择权的债券的利率风险衡量中。其计算 方法如下：
❖ 设 P0 是债券的初始价格，△y 是收益率变动的绝对值， P+是收益率上升一个很小幅度时债券的新价格，P-是收
益率下降一个很小幅度时债券的新价格，△P 是价格波动 的绝对值。 ❖ 当收益率下降时，△P/(P△y)=（P－－P0）/(P0△y) ❖ 当收益率上升时，△P/(P△y)=（P0-P+）/(P0△y)。
1]+4%}=7.0484(半年) DC*=7.0484/（1+4%）=6.7773（半年）=3.3887（年）
➢ 该债券组合的市场总价值等于30783.68 元，债券A、B、C 市场价格的权重 分别是0.0309，0.6497，0.3194。因此，该债券组合的久期为：
D*=4.9276×0.0309+4.3201×0.6497+3.3887×0.3194=4.0414(年)
➢ 当息票债券平价出售时，到期收益率与票面利率相等，可 进一步简化公式：
平 价 出 售 的 息 票 债 券 的 麦 考 林 久 期 = 1 + y y y ( ( 1 1 y y ) ) T
➢ 一种特殊情况，年金的麦考利久期。固定期限年金的麦考 利久期公式简化为：
永 续 年 金 的 麦 考 林 久 期 =1+y y
❖ 解：每半年的息票支付为（6%×1000）/2，即30元。息票支付的 现值为：30×[1–(1+r)-14]/r，本金的现值为：1000/(1+r)14
债券的价格为：30×[1–(1+r)-14]/r+1000/(1+r)14
当投资者要求的收益， 即市场利率为5%时，
息票支付的现值为： 30 ×[1–(1+2.5%)-14]/2.5%=350.73（元）
= -（△P/P）/[△y/ (1+y)]
(11-1)
其中，P为债券的初始价格，△P为债券价格变化值，
y为初始收益率，△（1+y）（或△y）2为收益率变化值。
➢ 负号- ：债券价格与收益率变化方向相反。
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二 、久期的规则
➢ 票面利率、到期时间、初始收益率是影响债券价格的利率 敏感性的三个重要因素，它们与久期之间的关系也表现出一 些规则。
(二)久期/凸性法(duration/convexity approach) • 将“利率变化”仅仅限制在利率曲线平行移动的场景下。
第二节 久期
一、久期的定义
➢ 收益率变化会导致债券价格变化，可以利用久期来衡量债 券价格的收益率敏感性。
➢ 久期就是价格变化的百分比除以收益率变化的百分比。
➢ D=（△P/P）/[△（1+y）/ (1+y)]
❖ 由于价格波动具有不对称性，我们取两次结果的平均值作 为有效久期的近似值：
有效久期= P--P+ 2P0y
（二）麦考利久期
➢ 最早出现的关于久期的计算方法，它基于现金流的到期时间 对久期给出的近似值，并且经常在其后加上“年”作为单位。
➢ 例如一个五年期的零息债券，期到期日距现在为5年，且期 间没有现金流发生，因此其麦考利久期为5年，表示YTM 变 化1%，债券价格变化5%。 若另一个五年期的附息债券，由于其5年期间会有现金流流 入，因此其麦考利久期小于5。
➢ 解：先运用久期的简化公式，分别计算出债券ABC的久期。
➢2例. 投10资-4(c组on合t)：的久期(cont)
DA=(1+3.5%)/3.5%-[(1+3.5%)+12×(3%-3.5%)]/{3%×[(1+3.5%)121]+3.5%}=10.2001（半年）
DA*=10.2001/（1+3.5%）=9.8552（半年）=4.9276（年） DB=[(1+2.75%)/2.75%][1-1/(1+2.75%)10]=8.8777（半年） DB*=8.8777/（1+2.75%）=8.6401（半年）=4.3201（年） DC=(1+4%)/4%-[(1+4%)+8×(3.75%-4%)]/{3.75%×[(1+4%)8-
➢ 这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动1 个百分点时，组合的市场价 值将会变动4.0414%。需要强调的是，我们说的是组合中所有债券的收益 率都变动相同的幅度。
四、用久期估计价格波动的不足
➢ 用修正的久期估计价格波动时，我们认为 △P/P ≈ - D* x△y
这表明债券价格的变动百分比与收益率的变动值成正比， 价格变动百分比相对于收益率变动值的函数绘成图形后， 应当是一条直线，它的斜率就等于-D*。
➢ 通过考察债券价格和到期时间之间的关系，会发现一个重 要规律：随着到期日的临近，债券的价格向面值趋近。
➢ 原因：债券的价格由本金的现值与息票支付的现值两部分 构成，随着到期日的临近，投资者所能获取的息票支付越 来越少，息票支付的现值降低，本金的现值却增加。
❖ 对于折价债券，本金现值的增加大于息票利息现值的减少，债 券价格上升；
（三）修正久期
➢ 从麦考利久期衍生而来。 ➢ 不仅考虑了现金流结构及债券到期日，而且将目前的收益率
纳入考虑因素。 ➢ 修正久期与麦考利久期的关系可用以下公式表示：
修正久期=1+ 麦 市 考 场 林 收 久 益 期 率
➢ 对于普通债券来说，其麦考利久期和修正久期非常接近。 ➢ 然而麦考利久期和修正久期都无法应用于嵌有选择权的债券，
2. 投资组合的久期
➢ 概念：资产组合也有久期，资产组合的久期是资 产组合的有效平均到期时间。
➢ 计算方法：对组合中所有资产的久期求加权平均 数，权重是各种资产的市场价格占
资 产组合总价值的比重。
2. 投资组合的久期(cont)
➢ 例10-4：一个债券组合由三种半年付息债券构成，相关资 料如下。求该债券组合久期。
因为他们都是以未来现金流为基础进行计算的。
1. 麦考林久期
（1）麦考利久期计算
➢ 最普通的附息债券（没有附加任何选择权，每期期末按照固
定票面利率和面值乘积支付利息，到期还本）的价格和收益
率关系可以表示为：
T
P=
t=1
CFt (1+y)t
(11-3)
➢ 求价格P 对收益率y 的导数，经过整理得：
d dP y=-1+ 1yt= T1(1 tC +F yt)t
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一、债券价格与收益率关系
➢ 我们从债券价格的计算公式和到期收益率的求解公式中注 意到，债券价格和收益率反方向变动。这是因为债券价格 等于预期现金流的贴现值。
➢ 先看一个例子：
➢ 例10-1:一种债券的面值为1000元，票面利率为6%，2009年10月15 日到期，每年的4月15日和10月15日分别支付一次。在2002年10月 15日计算该债券的价格。
但是，事实上价格与收益率之间的关系并不是线性的，在 图中应当表现为一条凸形的曲线，这就造成了久期估计的误 差。用图4-2 来说明：
四、用久期估计价格波动的不足(cont)
四、用久期估计价格波动的不足(cont)
➢ 在上图中，实际的曲线与久期估计的直线在初始点处
（△y=0）相切。对于收益率的小幅变动，两条线之间的距 离非常小，用久期估计的价格波动也就十分接近实际波动。 ➢ 随着收益率的变动越来越大，两条线之间的距离也越来越 远，久期估计的价格波动偏离实际波动的程度越来越大，估 计值就越来越不准确。
1.保持其它因素不变，票面利率越低，息票债券的久期越长。
票面利率越高时，早期的现金流现值越大，占债券价格的权重 越高，使时间的加权平均值越低，即久期越短。
2.保持其它因素不变，到期收益率越低，息票债券的久期越 长。
到期收益率越低时，后期的现金流现值越大，在债券价格中所 占的比重也越高，时间的加权平均值越高，久期越长。