债券的组合管理
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(二)久期/凸性法(duration/convexity approach) • 将“利率变化”仅仅限制在利率曲线平行移动的场景下。
第二节 久期
一、久期的定义
➢ 收益率变化会导致债券价格变化,可以利用久期来衡量债 券价格的收益率敏感性。
➢ 久期就是价格变化的百分比除以收益率变化的百分比。
➢ D=(△P/P)/[△(1+y)/ (1+y)]
➢ 通过考察债券价格和到期时间之间的关系,会发现一个重 要规律:随着到期日的临近,债券的价格向面值趋近。
➢ 原因:债券的价格由本金的现值与息票支付的现值两部分 构成,随着到期日的临近,投资者所能获取的息票支付越 来越少,息票支付的现值降低,本金的现值却增加。
❖ 对于折价债券,本金现值的增加大于息票利息现值的减少,债 券价格上升;
(11-6)
➢ 麦考林久期还可表示为(下式的分母是按到期收益率贴现的
债券现金流现值,也就是债券的市场价格P。)
T tC Ft
D =
t= 1 ( 1 + y ) t T C Ft
t= 1 ( 1 + y ) t
CFt
令W= (1+y)t
P
,其中P=
T t=1
CFt (1+y)t
N
则D=t W
t=1
❖ 对于溢价债券,本金现值的增加不足以抵消息票利息现值的减 少,债券价格降低。
二 、利率风险的衡量
➢ 两种方法描述利率风险: (一)全景法 (full valuation approach 或者又称为scenario analysis approach) • 已知利率如何变化,用估值技术计算出每一种变化对价格 的影响。 • 理论上模型足够好时,全景法会得出非常精确的答案。 • 缺点:很复杂。
(一)有效久期
➢ 可以应用于附有选择权的债券的利率风险衡量中。其计算 方法如下:
❖ 设 P0 是债券的初始价格,△y 是收益率变动的绝对值, P+是收益率上升一个很小幅度时债券的新价格,P-是收
益率下降一个很小幅度时债券的新价格,△P 是价格波动 的绝对值。 ❖ 当收益率下降时,△P/(P△y)=(P--P0)/(P0△y) ❖ 当收益率上升时,△P/(P△y)=(P0-P+)/(P0△y)。
➢ 从本质上看,久期就是衡量债券价格的利率敏感性指针, 而不是一种期限。
➢ 零息债券的麦考利久期就等于它的到期时间。
1. 麦考林久期
(1)麦考利久期计算(cont) ➢ 例10-2:面值为100 元,票面利率为8%的三年期债券,
半年付息一次,下一次付息在半年后。如果到期收益率为 10%,计算它的麦考利久期。
第11章 债券的组合管理
第一节 利率风险衡量
➢ 债券投资人面临多种风险,如利率风险(包括价格风险和 在投资风险)、违约风险、通货膨胀风险、流动性风险、 可提前赎回风险等。
➢ 在我国,可流通债券绝大部分是政府债券,其他可流通债 券则是金融债券和大型国企发行的债券,违约风险比较小, 相对不重要。
➢ 对于债券投资人而言,最重要的是利率风险,特别是利率 变化导致债券价格变动的价格风险。
本金的现值为:1000/(1+2.5%)14=707.73(元)
债券的价格为:350.73+707.73=1058.46(元)
3
下表为在不同收益率水平下该债券价格的不同值。
➢ 从上表中可以看出,债券价格与收益率反方向变动,这是 债券价值的一个重要的普遍性规律。
➢ 当收益率水平很高时,债券的价值会很低;当收益率水平 接近于零时,债券的价值会趋近于现金流的总和。这是因 为债券价格是通过用投资者要求的收益率对现金流进行贴 现得到的。
3.一般来说,在其它因素不变的情况下,到期时间越长,久 期越长。
债券的到期时间越长,价格的利率敏感性越强,这与债券的到 期时间越长久期越长是一致的。但是,久期并不一定总随着到期 时间的增长而增长。
三、久期的计算
➢ 一般有三种久期的计算方法:
• 有效久期(Effective Duration) • 麦考利久期(Macaulay Duration) • 修正久期(Modified Duration)
➢ 一般情况下,发行人在初级市场上发行债券时,会选择与 当时的市场利率极为接近的票面利率,债券的价格也就与 它的面值非常接近。
➢ 价格低于面值的债券被称为折价债券。价格高于面值的债 券被称为溢价债券。
总结规律
影响债券价格变化的其他因素
➢ 除了收益率以外,到期时间是影响债券价格变化的另一个 重要因素。
❖ 由于价格波动具有不对称性,我们取两次结果的平均值作 为有效久期的近似值:
有效久期= P--P+ 2P0y
(二)麦考利久期
➢ 最早出现的关于久期的计算方法,它基于现金流的到期时间 对久期给出的近似值,并且经常在其后加上“年”作为单位。
➢ 例如一个五年期的零息债券,期到期日距现在为5年,且期 间没有现金流发生,因此其麦考利久期为5年,表示YTM 变 化1%,债券价格变化5%。 若另一个五年期的附息债券,由于其5年期间会有现金流流 入,因此其麦考利久期小于5。
(11-4)
➢ 将式(5.4)两边同除以P 可以得到:
d d P y(1 /P )=-1 + 1 y[t= T 1(1 tC + F y t)t(1 /P )]
(1 1 -5 )
1.麦考林久期
(1)麦考利久期计算(cont)
➢ 对于普通债券而言,久期就可以通过式(11-6)计算:
D=(1/P)t= T1(1 tC +F yt)t
因为他们都是以未来现金流为基础进行计算的。
1. 麦考林久期
(1)麦考利久期计算
➢ 最普通的附息债券(没有附加任何选择权,每期期末按照固
定票面利率和面值乘积支付利息,到期还本)的价格和收益
率关系可以表示为:
T
Βιβλιοθήκη BaiduP=
t=1
CFt (1+y)t
(11-3)
➢ 求价格P 对收益率y 的导数,经过整理得:
d dP y=-1+ 1yt= T1(1 tC +F yt)t
但是,事实上价格与收益率之间的关系并不是线性的,在 图中应当表现为一条凸形的曲线,这就造成了久期估计的误 差。用图4-2 来说明:
四、用久期估计价格波动的不足(cont)
四、用久期估计价格波动的不足(cont)
➢ 在上图中,实际的曲线与久期估计的直线在初始点处
(△y=0)相切。对于收益率的小幅变动,两条线之间的距 离非常小,用久期估计的价格波动也就十分接近实际波动。 ➢ 随着收益率的变动越来越大,两条线之间的距离也越来越 远,久期估计的价格波动偏离实际波动的程度越来越大,估 计值就越来越不准确。
= -(△P/P)/[△y/ (1+y)]
(11-1)
其中,P为债券的初始价格,△P为债券价格变化值,
y为初始收益率,△(1+y)(或△y)2为收益率变化值。
➢ 负号- :债券价格与收益率变化方向相反。
9
二 、久期的规则
➢ 票面利率、到期时间、初始收益率是影响债券价格的利率 敏感性的三个重要因素,它们与久期之间的关系也表现出一 些规则。
➢ 从图中我们还可以看出,久期估计的直线始终位于 实际曲线的下方。因此,当收益率上升时,实际价格波动较 小,使用久期会高估价格的下降幅度;当收益率下降时,实 际价格波动较大,使用久期又会低估价格的上升幅度。
任何一种金融工具的久期公式可表示为:
➢ 这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动1 个百分点时,组合的市场价 值将会变动4.0414%。需要强调的是,我们说的是组合中所有债券的收益 率都变动相同的幅度。
四、用久期估计价格波动的不足
➢ 用修正的久期估计价格波动时,我们认为 △P/P ≈ - D* x△y
这表明债券价格的变动百分比与收益率的变动值成正比, 价格变动百分比相对于收益率变动值的函数绘成图形后, 应当是一条直线,它的斜率就等于-D*。
1.保持其它因素不变,票面利率越低,息票债券的久期越长。
票面利率越高时,早期的现金流现值越大,占债券价格的权重 越高,使时间的加权平均值越低,即久期越短。
2.保持其它因素不变,到期收益率越低,息票债券的久期越 长。
到期收益率越低时,后期的现金流现值越大,在债券价格中所 占的比重也越高,时间的加权平均值越高,久期越长。
2
一、债券价格与收益率关系
➢ 我们从债券价格的计算公式和到期收益率的求解公式中注 意到,债券价格和收益率反方向变动。这是因为债券价格 等于预期现金流的贴现值。
➢ 先看一个例子:
➢ 例10-1:一种债券的面值为1000元,票面利率为6%,2009年10月15 日到期,每年的4月15日和10月15日分别支付一次。在2002年10月 15日计算该债券的价格。
➢ 当息票债券平价出售时,到期收益率与票面利率相等,可 进一步简化公式:
平 价 出 售 的 息 票 债 券 的 麦 考 林 久 期 = 1 + y y y ( ( 1 1 y y ) ) T
➢ 一种特殊情况,年金的麦考利久期。固定期限年金的麦考 利久期公式简化为:
永 续 年 金 的 麦 考 林 久 期 =1+y y
2. 投资组合的久期
➢ 概念:资产组合也有久期,资产组合的久期是资 产组合的有效平均到期时间。
➢ 计算方法:对组合中所有资产的久期求加权平均 数,权重是各种资产的市场价格占
资 产组合总价值的比重。
2. 投资组合的久期(cont)
➢ 例10-4:一个债券组合由三种半年付息债券构成,相关资 料如下。求该债券组合久期。
1]+4%}=7.0484(半年) DC*=7.0484/(1+4%)=6.7773(半年)=3.3887(年)
➢ 该债券组合的市场总价值等于30783.68 元,债券A、B、C 市场价格的权重 分别是0.0309,0.6497,0.3194。因此,该债券组合的久期为:
D*=4.9276×0.0309+4.3201×0.6497+3.3887×0.3194=4.0414(年)
1. 麦考林久期
(1)麦考利久期计算(cont) ➢ Wt 是现金流时间的权重,是第t期现金流的现值占债券价
格的比重,之和等于1。
➢ 注意,从上式中求出的久期是以期数为单位的,我们还要 把它除以每年付息的次数,转化成以年为单位的久期。
➢ 普通债券久期是债券的有效到期时间,是债券现金流时间 的加权平均,其权重是每次现金流现值占现金流现值总和 (债券价格)比例。
❖ 解:每半年的息票支付为(6%×1000)/2,即30元。息票支付的 现值为:30×[1–(1+r)-14]/r,本金的现值为:1000/(1+r)14
债券的价格为:30×[1–(1+r)-14]/r+1000/(1+r)14
当投资者要求的收益率, 即市场利率为5%时,
息票支付的现值为: 30 ×[1–(1+2.5%)-14]/2.5%=350.73(元)
➢ 解:先运用久期的简化公式,分别计算出债券ABC的久期。
➢2例. 投10资-4(c组on合t):的久期(cont)
DA=(1+3.5%)/3.5%-[(1+3.5%)+12×(3%-3.5%)]/{3%×[(1+3.5%)121]+3.5%}=10.2001(半年)
DA*=10.2001/(1+3.5%)=9.8552(半年)=4.9276(年) DB=[(1+2.75%)/2.75%][1-1/(1+2.75%)10]=8.8777(半年) DB*=8.8777/(1+2.75%)=8.6401(半年)=4.3201(年) DC=(1+4%)/4%-[(1+4%)+8×(3.75%-4%)]/{3.75%×[(1+4%)8-
(三)修正久期
➢ 从麦考利久期衍生而来。 ➢ 不仅考虑了现金流结构及债券到期日,而且将目前的收益率
纳入考虑因素。 ➢ 修正久期与麦考利久期的关系可用以下公式表示:
修正久期=1+ 麦 市 考 场 林 收 久 益 期 率
➢ 对于普通债券来说,其麦考利久期和修正久期非常接近。 ➢ 然而麦考利久期和修正久期都无法应用于嵌有选择权的债券,
➢ 解:该债券的麦考利久期是5.4351 个半年,也就是 5.4351/2=2.7176 年,计算过程如下:
简化麦考利久期的计算公式
➢ 根据年金计算方法,再加以数学推导(用c表示每期票面利 率,y表示每期到期收益率,T表示距到期日的期数)得: 息 票 债 券 的 麦 考 林 久 期 = 1 + y y c (1 [( 1 y ) y )T T (c 1 ] y y )
第二节 久期
一、久期的定义
➢ 收益率变化会导致债券价格变化,可以利用久期来衡量债 券价格的收益率敏感性。
➢ 久期就是价格变化的百分比除以收益率变化的百分比。
➢ D=(△P/P)/[△(1+y)/ (1+y)]
➢ 通过考察债券价格和到期时间之间的关系,会发现一个重 要规律:随着到期日的临近,债券的价格向面值趋近。
➢ 原因:债券的价格由本金的现值与息票支付的现值两部分 构成,随着到期日的临近,投资者所能获取的息票支付越 来越少,息票支付的现值降低,本金的现值却增加。
❖ 对于折价债券,本金现值的增加大于息票利息现值的减少,债 券价格上升;
(11-6)
➢ 麦考林久期还可表示为(下式的分母是按到期收益率贴现的
债券现金流现值,也就是债券的市场价格P。)
T tC Ft
D =
t= 1 ( 1 + y ) t T C Ft
t= 1 ( 1 + y ) t
CFt
令W= (1+y)t
P
,其中P=
T t=1
CFt (1+y)t
N
则D=t W
t=1
❖ 对于溢价债券,本金现值的增加不足以抵消息票利息现值的减 少,债券价格降低。
二 、利率风险的衡量
➢ 两种方法描述利率风险: (一)全景法 (full valuation approach 或者又称为scenario analysis approach) • 已知利率如何变化,用估值技术计算出每一种变化对价格 的影响。 • 理论上模型足够好时,全景法会得出非常精确的答案。 • 缺点:很复杂。
(一)有效久期
➢ 可以应用于附有选择权的债券的利率风险衡量中。其计算 方法如下:
❖ 设 P0 是债券的初始价格,△y 是收益率变动的绝对值, P+是收益率上升一个很小幅度时债券的新价格,P-是收
益率下降一个很小幅度时债券的新价格,△P 是价格波动 的绝对值。 ❖ 当收益率下降时,△P/(P△y)=(P--P0)/(P0△y) ❖ 当收益率上升时,△P/(P△y)=(P0-P+)/(P0△y)。
➢ 从本质上看,久期就是衡量债券价格的利率敏感性指针, 而不是一种期限。
➢ 零息债券的麦考利久期就等于它的到期时间。
1. 麦考林久期
(1)麦考利久期计算(cont) ➢ 例10-2:面值为100 元,票面利率为8%的三年期债券,
半年付息一次,下一次付息在半年后。如果到期收益率为 10%,计算它的麦考利久期。
第11章 债券的组合管理
第一节 利率风险衡量
➢ 债券投资人面临多种风险,如利率风险(包括价格风险和 在投资风险)、违约风险、通货膨胀风险、流动性风险、 可提前赎回风险等。
➢ 在我国,可流通债券绝大部分是政府债券,其他可流通债 券则是金融债券和大型国企发行的债券,违约风险比较小, 相对不重要。
➢ 对于债券投资人而言,最重要的是利率风险,特别是利率 变化导致债券价格变动的价格风险。
本金的现值为:1000/(1+2.5%)14=707.73(元)
债券的价格为:350.73+707.73=1058.46(元)
3
下表为在不同收益率水平下该债券价格的不同值。
➢ 从上表中可以看出,债券价格与收益率反方向变动,这是 债券价值的一个重要的普遍性规律。
➢ 当收益率水平很高时,债券的价值会很低;当收益率水平 接近于零时,债券的价值会趋近于现金流的总和。这是因 为债券价格是通过用投资者要求的收益率对现金流进行贴 现得到的。
3.一般来说,在其它因素不变的情况下,到期时间越长,久 期越长。
债券的到期时间越长,价格的利率敏感性越强,这与债券的到 期时间越长久期越长是一致的。但是,久期并不一定总随着到期 时间的增长而增长。
三、久期的计算
➢ 一般有三种久期的计算方法:
• 有效久期(Effective Duration) • 麦考利久期(Macaulay Duration) • 修正久期(Modified Duration)
➢ 一般情况下,发行人在初级市场上发行债券时,会选择与 当时的市场利率极为接近的票面利率,债券的价格也就与 它的面值非常接近。
➢ 价格低于面值的债券被称为折价债券。价格高于面值的债 券被称为溢价债券。
总结规律
影响债券价格变化的其他因素
➢ 除了收益率以外,到期时间是影响债券价格变化的另一个 重要因素。
❖ 由于价格波动具有不对称性,我们取两次结果的平均值作 为有效久期的近似值:
有效久期= P--P+ 2P0y
(二)麦考利久期
➢ 最早出现的关于久期的计算方法,它基于现金流的到期时间 对久期给出的近似值,并且经常在其后加上“年”作为单位。
➢ 例如一个五年期的零息债券,期到期日距现在为5年,且期 间没有现金流发生,因此其麦考利久期为5年,表示YTM 变 化1%,债券价格变化5%。 若另一个五年期的附息债券,由于其5年期间会有现金流流 入,因此其麦考利久期小于5。
(11-4)
➢ 将式(5.4)两边同除以P 可以得到:
d d P y(1 /P )=-1 + 1 y[t= T 1(1 tC + F y t)t(1 /P )]
(1 1 -5 )
1.麦考林久期
(1)麦考利久期计算(cont)
➢ 对于普通债券而言,久期就可以通过式(11-6)计算:
D=(1/P)t= T1(1 tC +F yt)t
因为他们都是以未来现金流为基础进行计算的。
1. 麦考林久期
(1)麦考利久期计算
➢ 最普通的附息债券(没有附加任何选择权,每期期末按照固
定票面利率和面值乘积支付利息,到期还本)的价格和收益
率关系可以表示为:
T
Βιβλιοθήκη BaiduP=
t=1
CFt (1+y)t
(11-3)
➢ 求价格P 对收益率y 的导数,经过整理得:
d dP y=-1+ 1yt= T1(1 tC +F yt)t
但是,事实上价格与收益率之间的关系并不是线性的,在 图中应当表现为一条凸形的曲线,这就造成了久期估计的误 差。用图4-2 来说明:
四、用久期估计价格波动的不足(cont)
四、用久期估计价格波动的不足(cont)
➢ 在上图中,实际的曲线与久期估计的直线在初始点处
(△y=0)相切。对于收益率的小幅变动,两条线之间的距 离非常小,用久期估计的价格波动也就十分接近实际波动。 ➢ 随着收益率的变动越来越大,两条线之间的距离也越来越 远,久期估计的价格波动偏离实际波动的程度越来越大,估 计值就越来越不准确。
= -(△P/P)/[△y/ (1+y)]
(11-1)
其中,P为债券的初始价格,△P为债券价格变化值,
y为初始收益率,△(1+y)(或△y)2为收益率变化值。
➢ 负号- :债券价格与收益率变化方向相反。
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二 、久期的规则
➢ 票面利率、到期时间、初始收益率是影响债券价格的利率 敏感性的三个重要因素,它们与久期之间的关系也表现出一 些规则。
➢ 从图中我们还可以看出,久期估计的直线始终位于 实际曲线的下方。因此,当收益率上升时,实际价格波动较 小,使用久期会高估价格的下降幅度;当收益率下降时,实 际价格波动较大,使用久期又会低估价格的上升幅度。
任何一种金融工具的久期公式可表示为:
➢ 这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动1 个百分点时,组合的市场价 值将会变动4.0414%。需要强调的是,我们说的是组合中所有债券的收益 率都变动相同的幅度。
四、用久期估计价格波动的不足
➢ 用修正的久期估计价格波动时,我们认为 △P/P ≈ - D* x△y
这表明债券价格的变动百分比与收益率的变动值成正比, 价格变动百分比相对于收益率变动值的函数绘成图形后, 应当是一条直线,它的斜率就等于-D*。
1.保持其它因素不变,票面利率越低,息票债券的久期越长。
票面利率越高时,早期的现金流现值越大,占债券价格的权重 越高,使时间的加权平均值越低,即久期越短。
2.保持其它因素不变,到期收益率越低,息票债券的久期越 长。
到期收益率越低时,后期的现金流现值越大,在债券价格中所 占的比重也越高,时间的加权平均值越高,久期越长。
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一、债券价格与收益率关系
➢ 我们从债券价格的计算公式和到期收益率的求解公式中注 意到,债券价格和收益率反方向变动。这是因为债券价格 等于预期现金流的贴现值。
➢ 先看一个例子:
➢ 例10-1:一种债券的面值为1000元,票面利率为6%,2009年10月15 日到期,每年的4月15日和10月15日分别支付一次。在2002年10月 15日计算该债券的价格。
➢ 当息票债券平价出售时,到期收益率与票面利率相等,可 进一步简化公式:
平 价 出 售 的 息 票 债 券 的 麦 考 林 久 期 = 1 + y y y ( ( 1 1 y y ) ) T
➢ 一种特殊情况,年金的麦考利久期。固定期限年金的麦考 利久期公式简化为:
永 续 年 金 的 麦 考 林 久 期 =1+y y
2. 投资组合的久期
➢ 概念:资产组合也有久期,资产组合的久期是资 产组合的有效平均到期时间。
➢ 计算方法:对组合中所有资产的久期求加权平均 数,权重是各种资产的市场价格占
资 产组合总价值的比重。
2. 投资组合的久期(cont)
➢ 例10-4:一个债券组合由三种半年付息债券构成,相关资 料如下。求该债券组合久期。
1]+4%}=7.0484(半年) DC*=7.0484/(1+4%)=6.7773(半年)=3.3887(年)
➢ 该债券组合的市场总价值等于30783.68 元,债券A、B、C 市场价格的权重 分别是0.0309,0.6497,0.3194。因此,该债券组合的久期为:
D*=4.9276×0.0309+4.3201×0.6497+3.3887×0.3194=4.0414(年)
1. 麦考林久期
(1)麦考利久期计算(cont) ➢ Wt 是现金流时间的权重,是第t期现金流的现值占债券价
格的比重,之和等于1。
➢ 注意,从上式中求出的久期是以期数为单位的,我们还要 把它除以每年付息的次数,转化成以年为单位的久期。
➢ 普通债券久期是债券的有效到期时间,是债券现金流时间 的加权平均,其权重是每次现金流现值占现金流现值总和 (债券价格)比例。
❖ 解:每半年的息票支付为(6%×1000)/2,即30元。息票支付的 现值为:30×[1–(1+r)-14]/r,本金的现值为:1000/(1+r)14
债券的价格为:30×[1–(1+r)-14]/r+1000/(1+r)14
当投资者要求的收益率, 即市场利率为5%时,
息票支付的现值为: 30 ×[1–(1+2.5%)-14]/2.5%=350.73(元)
➢ 解:先运用久期的简化公式,分别计算出债券ABC的久期。
➢2例. 投10资-4(c组on合t):的久期(cont)
DA=(1+3.5%)/3.5%-[(1+3.5%)+12×(3%-3.5%)]/{3%×[(1+3.5%)121]+3.5%}=10.2001(半年)
DA*=10.2001/(1+3.5%)=9.8552(半年)=4.9276(年) DB=[(1+2.75%)/2.75%][1-1/(1+2.75%)10]=8.8777(半年) DB*=8.8777/(1+2.75%)=8.6401(半年)=4.3201(年) DC=(1+4%)/4%-[(1+4%)+8×(3.75%-4%)]/{3.75%×[(1+4%)8-
(三)修正久期
➢ 从麦考利久期衍生而来。 ➢ 不仅考虑了现金流结构及债券到期日,而且将目前的收益率
纳入考虑因素。 ➢ 修正久期与麦考利久期的关系可用以下公式表示:
修正久期=1+ 麦 市 考 场 林 收 久 益 期 率
➢ 对于普通债券来说,其麦考利久期和修正久期非常接近。 ➢ 然而麦考利久期和修正久期都无法应用于嵌有选择权的债券,
➢ 解:该债券的麦考利久期是5.4351 个半年,也就是 5.4351/2=2.7176 年,计算过程如下:
简化麦考利久期的计算公式
➢ 根据年金计算方法,再加以数学推导(用c表示每期票面利 率,y表示每期到期收益率,T表示距到期日的期数)得: 息 票 债 券 的 麦 考 林 久 期 = 1 + y y c (1 [( 1 y ) y )T T (c 1 ] y y )