第六章 时变电磁场
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电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。
滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为故感应电流为一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。
设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为故介质棒内的极化强度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。
设、、，求回路中的感应电动势。
解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
故回路中的感应电动势为式中故则有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。
讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为而环形线圈的电感为L，故电压方程为当U=U0时，电流i也为直流，。
故此时导线内的切向电场为当U=U（t）时，，故即求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。
设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即故电容器两极板间的位移电流密度为则式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为可见由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程和由得据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式由于，可取，则得即得泊松方程试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。
解（1）在直角坐标中（2）在圆柱坐标中（3）在球坐标系中已知在空气中，求和。
第六章-时变电磁场
4R3
式中：R 为 时间变量t的矢量函数。本 问题中，R 矢径之模不变，其方向随
时得间而 变。由D 位移Dt 电 流4q密R3度R表t 达式，
图6-4 例6-3图
R t
v
R
D
q
4R3
R
q 4R
2
其中为圆周上点M处切线方向上的单位矢量，指向圆
周曲线增大的一方。
7
§6-2 全电流定理
全电流连续性原理
D
iD
t
t
D dS
S
D则称为位移电流密度
dS DStDt
S D dS
(6-8)
(6-7)
位移电流由空间变动的电场所形成，而且 空间任一 点的位移电流密度，等于该点电位移矢量 D对时间的
变化率。
这种真空中的位移电流，同样显示出磁效应。
5
例6-1 空间某点的电位移矢量依照的规律变化。求该点
的环路积分
E dl
l
l (Eq E0 ) dl
l E0 dl
(6-21)
局外电场即是其它形式能量转换为电能量的场所。
在时变电磁场中，由于空间处处不仅存在着电场，
而且同时存在着磁场，因而存在着能够转换为电场能量
的磁场能量，此时的空间电场强度应作广泛的理解，即
它既包含库伦电场，也包含 感应电场 。
v
di dS
v
(6-4)
流电当流面密元度dS无限紧缩v 于 某v点时，即得空间该(点6-的5)运
由于传导电流与运流电流都是带电质点的运动。 因而在空间同一点上，两种电流密度不能同时并存。
3
3.位移电流 处于电介质中的电场，在其建立(变动)过 程中，将引起电介质的极化，而形成极化电荷。在时 变电磁场中，电场总是处于一种变动状态之中，因而 电介质中位移电量的微观迁移运动永不停息，这样就 形成了一种电流。这种电流只是分子束缚电量微观位 移的结果，因而称之为位移电流。
式中：R 为 时间变量t的矢量函数。本 问题中，R 矢径之模不变，其方向随
时得间而 变。由D 位移Dt 电 流4q密R3度R表t 达式，
图6-4 例6-3图
R t
v
R
D
q
4R3
R
q 4R
2
其中为圆周上点M处切线方向上的单位矢量，指向圆
周曲线增大的一方。
7
§6-2 全电流定理
全电流连续性原理
D
iD
t
t
D dS
S
D则称为位移电流密度
dS DStDt
S D dS
(6-8)
(6-7)
位移电流由空间变动的电场所形成，而且 空间任一 点的位移电流密度，等于该点电位移矢量 D对时间的
变化率。
这种真空中的位移电流，同样显示出磁效应。
5
例6-1 空间某点的电位移矢量依照的规律变化。求该点
的环路积分
E dl
l
l (Eq E0 ) dl
l E0 dl
(6-21)
局外电场即是其它形式能量转换为电能量的场所。
在时变电磁场中，由于空间处处不仅存在着电场，
而且同时存在着磁场，因而存在着能够转换为电场能量
的磁场能量，此时的空间电场强度应作广泛的理解，即
它既包含库伦电场，也包含 感应电场 。
v
di dS
v
(6-4)
流电当流面密元度dS无限紧缩v 于 某v点时，即得空间该(点6-的5)运
由于传导电流与运流电流都是带电质点的运动。 因而在空间同一点上，两种电流密度不能同时并存。
3
3.位移电流 处于电介质中的电场，在其建立(变动)过 程中，将引起电介质的极化，而形成极化电荷。在时 变电磁场中，电场总是处于一种变动状态之中，因而 电介质中位移电量的微观迁移运动永不停息，这样就 形成了一种电流。这种电流只是分子束缚电量微观位 移的结果，因而称之为位移电流。
第六章 时变电磁场0
C
回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通 S B dS d in B dS 于是（6-1）可以写成 （6-2） dt S 二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式 从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成 的，而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结 果。所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感 应电流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场 不是电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化 而引起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在 电场力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功 C Ein dl 为 in 它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动 势。此时电源电动势就是感应电动势 , 有
对安培环路定律和位移电流的讨论
时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导 电流外，还有位移电流；
位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变 化时，会形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激 发起磁场； 推广的安培环路定律物理意义：随时间变化的电场 会激发磁场；
位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法 引入，在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波 的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在， 从而反过来证明了位移电流理论的正确性。
J E J
式中 J 代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。 麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。 对于不随时间变化的静态场，则
E D H B 0 t t t t
的改变，即
in
（6-1） 式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻 止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势 的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。 设任意导体回路围成的曲面为，其单位法向矢量为， 如图6-1所示。 n
回路附近的磁感应强度为，穿过回路的磁通 S B dS d in B dS 于是（6-1）可以写成 （6-2） dt S 二、法拉第电磁感应定律的积分与微分形式 从一般意义上讲，电流是电荷的定向运动形成 的，而电荷的定向运动往往是电场力对其作用的结 果。所以，当磁通量发生变化时导体回路中产生感 应电流，这一定预示着空间中存在电场。这个电场 不是电荷激发的，而是由于回路的磁通量发生变化 而引起的，它不同于静电场。当一个单位正电荷在 电场力的作用下绕回路c一周时，电场力所做的功 C Ein dl 为 in 它等效于电源对电荷所做的功，即电源电动 势。此时电源电动势就是感应电动势 , 有
对安培环路定律和位移电流的讨论
时变场情况下，磁场仍是有旋场，但旋涡源除传导 电流外，还有位移电流；
位移电流代表电场随时间的变化率，当电场发生变 化时，会形成磁场的旋涡源（位移电流），从而激 发起磁场； 推广的安培环路定律物理意义：随时间变化的电场 会激发磁场；
位移电流是一种假想电流，由麦克斯韦用数学方法 引入，在此假说的基础上，麦克斯韦预言了电磁波 的存在，而赫兹通过试验证明了电磁波确实存在， 从而反过来证明了位移电流理论的正确性。
J E J
式中 J 代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源。 麦克斯韦方程组中各个方程不是完全独立的。可以由第 1、2 方程 导出第 3、4 方程，或反之。 对于不随时间变化的静态场，则
E D H B 0 t t t t
的改变，即
in
（6-1） 式中负号即表示回路中感应电动势的作用总是要阻 止回路中磁通量的变化。这里已规定：感应电动势 的正方向和磁力线的正方向之间存在右手螺旋系。 设任意导体回路围成的曲面为，其单位法向矢量为， 如图6-1所示。 n
电磁场与电磁波(第三版)课后答案第6章
第六章时变电磁场6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。
滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i.解 穿过导体回路abcda 的磁通为5cos 0.2(0.7)cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==⨯=⨯-=--=+⎰ B S e e故感应电流为110.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mAin d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ==-=-+-+E6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。
设棒以角速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=⨯=⨯=E v B e e B e故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X极化电荷体密度为2000011()()2()P rP r B r r r rB ρεεωεεω∂∂=-∇⋅=-=--∂∂=--P极化电荷面密度为00()()P r r r a e r a B σεεωεεω==⋅=-⋅=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=⨯⨯=--=⨯⨯=-6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。
设0.2a m =、0.1m b c d ===、71.0cos(210)A i t π=⨯，求回路中的感应电动势。
六章节时变电磁场和平面电磁波-精品.ppt
4
1R e(EH )1R e(EH ej2t)
2
2
S a v T 10 T [1 2 R e (E H ) 1 2 R e (E H e j2 t)]d t
1 Re(EH) 2
边界条件的复数形式
nˆ ( E 1 E 2 ) 0 nˆ ( H 1 H 2 ) J s nˆ ( D 1 D 2 ) s nˆ ( B 1 B 2 ) 0
2E2E,2H2H
t2
t2
则无源空间的波动方程变为：
2
E
2E t2
0
2
H
2H t2
0
22EH22EH00
亥姆霍兹方程
若令： k2 2，则亥姆霍兹方程变为
2E k2E 0 2H k2H 0 说明：亥姆霍兹方程的解为时谐场（正弦电磁波）。
例
在自由空间某点存在频率为5 GHz的时谐电磁场, 其磁场强度复
Re Jm (r) j Dm (r) e jt
R e H m ( r ) e j t R e J m ( r ) jD m ( r ) e j t
上式表明这些复数的实部相等，且等式两边都有时间
因子 ，故意味着相应的复数相等，即
H m ( r ) e j t J m ( r ) jD m ( r )e j t
§6-1. 时谐电磁场 Time harmonic electromagnetic fields
时谐电磁场又称为正弦电磁场，在这种形式的场中，激励源 以单一频率随时间作正弦变化，在线性系统中，一个正弦变 化的源，在系统中所有的点产生的场随时间做正弦变化
在线性媒质中，以任意规律随时间变化的的电磁场，都可分解 为一系列正弦场的叠加。
电场强度复振幅矢量
电磁场与电磁波课件第六章时变电磁场
利用散射技术可以对地球表面、气象云层等进行遥感探测，获取 相关信息。
环境监测
通过测量大气中污染物的吸收特性，可以监测空气质量、污染物 排放等环境问题。
医学成像
核磁共振、超声成像等医学成像技术中，利用物质的散射和吸收 特性，实现对人体内部结构的无损检测。
06
时变电磁场的测量与观 测
测量与观测的基本方法
01
描述时变电磁场的运动规律，包括变化的电场和磁 场之间的关系。
02
包括安培定律、法拉第定律和奥斯特定律等基本物 理规律。
03
麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的核心，为电磁 波的传播和辐射奠定了基础。
波动方程与时变电磁场
01
时变电磁场遵循波动方程，描述了电场和磁场随时间
和空间的变化规律。
02
波动方程的解为电磁波，具有振幅、相位、频率和波
描述
时变电磁场可以用麦克斯韦方程组来 描述，其中电场和磁场是相互耦合的， 并且它们的源是电荷和电流。
时变电磁场的重要性
应用广泛
时变电磁场在许多领域都有重要的应 用，如无线通信、雷达、电磁成像、 电磁感应加热等。
基础研究
时变电磁场也是电磁学和物理学领域 的基础研究内容之一，对于深入理解 电磁波传播、辐射和散射等现象具有 重要意义。
时变电磁场的历史与发展
历史回顾
时变电磁场的概念可以追溯到19世纪末麦克斯韦的理论研究 。随着科学技术的发展，时变电磁场的研究不断深入和应用 范围不断扩大。
发展趋势
目前，时变电磁场的研究正朝着更高频率、更短脉冲、更复 杂环境等方向发展，为未来的科技应用提供了更多可能性。
03
时变电磁场的特性
麦克斯韦方程组
电磁波与物质的相互作用
环境监测
通过测量大气中污染物的吸收特性，可以监测空气质量、污染物 排放等环境问题。
医学成像
核磁共振、超声成像等医学成像技术中，利用物质的散射和吸收 特性，实现对人体内部结构的无损检测。
06
时变电磁场的测量与观 测
测量与观测的基本方法
01
描述时变电磁场的运动规律，包括变化的电场和磁 场之间的关系。
02
包括安培定律、法拉第定律和奥斯特定律等基本物 理规律。
03
麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的核心，为电磁 波的传播和辐射奠定了基础。
波动方程与时变电磁场
01
时变电磁场遵循波动方程，描述了电场和磁场随时间
和空间的变化规律。
02
波动方程的解为电磁波，具有振幅、相位、频率和波
描述
时变电磁场可以用麦克斯韦方程组来 描述，其中电场和磁场是相互耦合的， 并且它们的源是电荷和电流。
时变电磁场的重要性
应用广泛
时变电磁场在许多领域都有重要的应 用，如无线通信、雷达、电磁成像、 电磁感应加热等。
基础研究
时变电磁场也是电磁学和物理学领域 的基础研究内容之一，对于深入理解 电磁波传播、辐射和散射等现象具有 重要意义。
时变电磁场的历史与发展
历史回顾
时变电磁场的概念可以追溯到19世纪末麦克斯韦的理论研究 。随着科学技术的发展，时变电磁场的研究不断深入和应用 范围不断扩大。
发展趋势
目前，时变电磁场的研究正朝着更高频率、更短脉冲、更复 杂环境等方向发展，为未来的科技应用提供了更多可能性。
03
时变电磁场的特性
麦克斯韦方程组
电磁波与物质的相互作用
第6章 时变电磁场(8)
。 要经过t=r/v时间才能传播到场点 r 对于矢势 A也可以作同样的解释。
由于在场点观察到
处电荷分布产生的电磁场，
标势 和矢势 A的时刻均迟于 “源”点激发的时刻，故称 A
和 为推迟势或滞后位。
z
(r ', t ' )
r
Rr r'
(r , t )
标量位和矢量位 仍然相互关联。
下面利用势的不确定性，引入适当的辅助条件， 使方程简化，以便求解。
13
★势函数的规范
(根据矢量场的Helmholtz定理)
要确定区域上的矢量函数， 只有在该矢量函数的
散度 旋度 边界条件 是确定时才能唯一确定。
14
根据磁矢势引入的定义，由关系式
是不能唯一确定磁矢势 Ar, t 。
Ar , t r , t Ar , t E r , t r , t r , t t t t
Ar , t Ar , t r , t r , t r , t r , t t
28
(3)达朗贝尔方程中标势 和矢势 A满足的 波动方程具有高度对称的形式。 这种对称性并不是偶然的， 它恰好满足了相对论对物理规律协 变性的要求。 同时，也为我们求解 和 A 提供了极 大的方便。
29
★规范变换的不变性 每一种规范建立了势函数与时变电磁场之 间的一一对应关系。因此同一电磁场可以
第六章 时变电磁场
§6.1 法拉第电磁感应定律 与麦克斯韦第二方程 §6.2 位移电流和全电流定律 §6.3 麦克斯韦方程组 §6.4 分界面上的边界条件 §6.5 坡印亭定理和坡印亭矢量 §6.6 时谐变电磁场 §6.7 波动方程 §6.8 时变场的标量位和矢量位
第6章 时变电磁场(7)
三、齐次亥姆霍兹方程
（Helmholtz）
11
三、齐次亥姆霍兹方程
对于时谐电磁场，（6-54）两式的复数形式为
t
j 1 j
2 E ( r ) ( j ) E ( r ) 0
2
dt
2 H ( r ) ( j ) H ( r ) 0
2
2 H (r ) k H (r ) 0
2
(6-55)
其中： k
齐次亥姆霍兹方程
（HБайду номын сангаасlmholtz）
( r )的函数，
E ( r ) 和 H ( r ) 仅是三维空间坐标变量 但仍然可以是 3 个坐标方向上的分量。
14
一、非齐次波动方程 二、齐次波动方程
三、齐次亥姆霍兹方程
（Helmholtz）
3
§6.7 波动方程
一、非齐次波动方程 二、齐次波动方程
三、齐次亥姆霍兹方程
（Helmholtz）
4
一、非齐次波动方程 在各向同性线性均匀媒质中， 电磁场场量满足方程：
(6-52)
5
式(6-52)为非齐次波动方程。 其中， 非电性 外加源等效电流 传导电流
2 H ( r )
2 H (r ) 0
(6-55)
13
令： k 则：
2 E (r ) k E (r ) 0
2
2 H (r ) k H (r ) 0
2
2 E (r ) k E (r ) 0
6 时变电磁场
波动方程
2 ∂ ϕ ρ 有源区域 ∇ 2ϕ − με 2 = − ∂t ε 2 ∂ ϕ 无源区域 ∇ 2ϕ − με 2 = 0 ∂t
18
边界条件
一.电场强度边界条件 v v bv v cv v ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl
l
d
E1n
E2n
n
E2 E2t
c
a
b
v av v d v + ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl
9
位移电流，全电流定律
一.矛盾
S1
∫ ∫
l
v v H ⋅ dl = i v v H ⋅ dl = 0
l
?
原因 充放电过程中电流非恒定 安培环路定律不适用 v v v ∂q ∂ ∂ ∂ 化解 ∫ J ⋅ dS = − = − ∫ ρ dV = − ∫ ( ∇ ⋅ D ) dV = − S ∂t ∂t V ∂t ∂t V v v v v v ∂D v ∂D Jd = ～位移电流密度 ∫ S J ⋅ dS + ∫ S ∂t ⋅ dS = 0 ∂t 位移电流
v v v ∂ E ∂J ∇ρ 2 ∇ E − με 2 = μ + ∂t ∂t ε v 2 v ∂ E 2 ∇ E − με 2 = 0 ∂t
2
14
二.磁场方程 v v v v v v ⎛v ∂E ⎞ ∂E ∂ ∇×∇× H = ∇×⎜ J +ε = ∇× J +ε ∇× E ⎟ = ∇ × J + ε∇ × ∂t ⎠ ∂t ∂t ⎝ v v 2 v v v v v ∂ H ∂⎛ ∂H ⎞ 2 2 = ∇ × J − ε ⎜ −μ ⎟ = ∇ ( ∇ ⋅ H ) − ∇ H = ∇ × J − με 2 = −∇ H ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎠ 磁场波动方程 v 2 v v ∂ H 2 有源区域 ∇ H − με 2 = −∇ × J ∂t v 2 v ∂ H 2 无源区域 ∇ H − με 2 = 0 ∂t
电磁场与电磁波(第六章)
E
2
t
H
E
2
t
2
0
二、H 的波动方程
同E 的波动方程，有
H
2
H
2
t
2
0
三、直角坐标系下的波动方程
2
为矢量的拉普拉斯算符，则有 磁场
2 2 2
电场
Ex Ex Ex Ex 0 2 2 2 2 x y z t 2 2 2 2E Ey Ey Ey y 0 2 2 2 2 x y z t 2 2 2 2E Ez Ez Ez z 0 2 2 2 2 x y z t
三、媒质的本构关系式 对于线性各向同性媒质有
D E 0 r E B H 0 r H J E
四、麦克斯韦方程组的限定形式 ◇ 麦氏方程的非限定形式：用E、D、B、H四个场量写出的方程。 ◇ 麦氏方程的限定形式：用E、H 二个场量写出的方程。 微分形式
H E E t
in
E dl
C
◇ 穿过回路的磁通量为 综上可得
m
B d S
S
法拉第电磁感应定律的积分形式
C
E dl =
B dS dt
S
d
法拉第电磁感应定律的微分形式 E 五、意义
B t
◇ 积分形式：感应电场在时变磁场中沿闭合曲线的线积分等于该曲线所围曲面 上穿过磁通的负变化率。 ◇ 微分形式： 1.感应电场是涡旋场，不是保守场； 2.感应电场的源是时变的磁场。
1
l
H 1t
H1
C
H dl JS dS +
2
t
H
E
2
t
2
0
二、H 的波动方程
同E 的波动方程，有
H
2
H
2
t
2
0
三、直角坐标系下的波动方程
2
为矢量的拉普拉斯算符，则有 磁场
2 2 2
电场
Ex Ex Ex Ex 0 2 2 2 2 x y z t 2 2 2 2E Ey Ey Ey y 0 2 2 2 2 x y z t 2 2 2 2E Ez Ez Ez z 0 2 2 2 2 x y z t
三、媒质的本构关系式 对于线性各向同性媒质有
D E 0 r E B H 0 r H J E
四、麦克斯韦方程组的限定形式 ◇ 麦氏方程的非限定形式：用E、D、B、H四个场量写出的方程。 ◇ 麦氏方程的限定形式：用E、H 二个场量写出的方程。 微分形式
H E E t
in
E dl
C
◇ 穿过回路的磁通量为 综上可得
m
B d S
S
法拉第电磁感应定律的积分形式
C
E dl =
B dS dt
S
d
法拉第电磁感应定律的微分形式 E 五、意义
B t
◇ 积分形式：感应电场在时变磁场中沿闭合曲线的线积分等于该曲线所围曲面 上穿过磁通的负变化率。 ◇ 微分形式： 1.感应电场是涡旋场，不是保守场； 2.感应电场的源是时变的磁场。
1
l
H 1t
H1
C
H dl JS dS +
第六章 时变电磁场
第六章
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
时变电磁场
法拉第电磁感应定律 位移电流 麦克斯韦方程 时变电磁场的边界条件 坡印廷定理和坡印廷矢量 波动方程 动态矢量位和标量位
1
静电场和恒定磁场各自独立存在，可以分开讨论。 静电场和恒定磁场各自独立存在，可以分开讨论。 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数； ◇ 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数； 变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁 变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场 与磁场相互依存，构成统一的电磁场。 与磁场相互依存，构成统一的电磁场。 英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、 麦克斯韦提出位移电流假说 ◇ 英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、 恒定场、 恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本 方程组概括。 方程组概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的 理论基础。 理论基础。
∫ H • dl = ∑ I
C
应用于时变场领域的时候产生了矛盾。 应用于时变场领域的时候产生了矛盾。
8
连接于交流电源上的电容器， 连接于交流电源上的电容器，作闭合曲线 C 与导线相交链 根据安培环路定律：
∫ H • dl = ∑ I
C
S2
S1 C
10、经过 1 面（茶杯盖平面） 经过S 茶杯盖平面）
3
◇电动势是非保守电场沿闭合路径的积分，回路中出现 电动势是非保守电场沿闭合路径的积分， 感应电动势，表明导体内出现感应电场。 感应电动势，表明导体内出现感应电场。这说明 感应电场是有旋场， 感应电场是有旋场，且感应电场的出现是磁场变化 的结果。 的结果。
dΦ εin = ∫ Ein ⋅ dl = − dt c
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7
时变电磁场
法拉第电磁感应定律 位移电流 麦克斯韦方程 时变电磁场的边界条件 坡印廷定理和坡印廷矢量 波动方程 动态矢量位和标量位
1
静电场和恒定磁场各自独立存在，可以分开讨论。 静电场和恒定磁场各自独立存在，可以分开讨论。 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数； ◇ 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数； 变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁 变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场 与磁场相互依存，构成统一的电磁场。 与磁场相互依存，构成统一的电磁场。 英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、 麦克斯韦提出位移电流假说 ◇ 英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、 恒定场、 恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本 方程组概括。 方程组概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的 理论基础。 理论基础。
∫ H • dl = ∑ I
C
应用于时变场领域的时候产生了矛盾。 应用于时变场领域的时候产生了矛盾。
8
连接于交流电源上的电容器， 连接于交流电源上的电容器，作闭合曲线 C 与导线相交链 根据安培环路定律：
∫ H • dl = ∑ I
C
S2
S1 C
10、经过 1 面（茶杯盖平面） 经过S 茶杯盖平面）
3
◇电动势是非保守电场沿闭合路径的积分，回路中出现 电动势是非保守电场沿闭合路径的积分， 感应电动势，表明导体内出现感应电场。 感应电动势，表明导体内出现感应电场。这说明 感应电场是有旋场， 感应电场是有旋场，且感应电场的出现是磁场变化 的结果。 的结果。
dΦ εin = ∫ Ein ⋅ dl = − dt c
时变电磁场
p
• t ＝ ０. 由此有 .Ｊ=０， ∮SJ.dS＝ ０. 恒定电流是无源场. 电流线
是连续的闭合曲线. 既无起点也无终点.
• 电流连续性方程的积分形式为:
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6.1 时变电磁场的概念和基本方程
• 2. 电磁场中的三种力
• (１) 库仑定律与电场力:
• (２) 磁感应强度 Ｂ 与磁场力:
个显式标量ρ. ５ 个矢量(Ｅ. Ｂ. Ｈ. Ｄ. Ｊ). 每一个矢量隐含３ 个标量
分量.即一共１６ 个标量. 前述独立标量方程只有７ 个. 无法完全确定
５ 个电磁场矢量. 所以需要另有９ 个独立的标量方程来确定电磁场分
布.
• 基本方程称为非限定形式. 引入本构方程. 使麦克斯韦方程构成自身一
致的完备方程组. 称为方程组的限定形式.
在许多科学仪器和工业设备如β 谱仪、质谱仪、粒子加速器、电子显
微镜、磁镜装置、霍尔器件中. 洛伦兹力都有广泛应用.
• (四) 基本方程记忆理解图
• 基本方程体现了时变电磁场的全部场与源相互依存、相互制约、不可
分割的关系. 反映变化的磁场周围伴随一个变化电场. 变化的电场周围
要产生一个变化磁场的必然规律. 电磁场基本方程可以用来分析各种
D
E
中. 位移电流密度Jd＝ ＝
ε
t 0
. t
• 位移电流的定义: 位移电流是电位移矢量随时间的变化率对曲面的积
分。
• (三) 电流连续性定理和洛伦兹力定律
• １. 电流连续性定理
• (时变) 电磁场的基本方程还包括电流连续性定理和洛伦兹力定律. 电
流连续性定理与电荷守恒定律一脉相承.
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• 1. 时变电磁场基本方程的积分形式
• t ＝ ０. 由此有 .Ｊ=０， ∮SJ.dS＝ ０. 恒定电流是无源场. 电流线
是连续的闭合曲线. 既无起点也无终点.
• 电流连续性方程的积分形式为:
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6.1 时变电磁场的概念和基本方程
• 2. 电磁场中的三种力
• (１) 库仑定律与电场力:
• (２) 磁感应强度 Ｂ 与磁场力:
个显式标量ρ. ５ 个矢量(Ｅ. Ｂ. Ｈ. Ｄ. Ｊ). 每一个矢量隐含３ 个标量
分量.即一共１６ 个标量. 前述独立标量方程只有７ 个. 无法完全确定
５ 个电磁场矢量. 所以需要另有９ 个独立的标量方程来确定电磁场分
布.
• 基本方程称为非限定形式. 引入本构方程. 使麦克斯韦方程构成自身一
致的完备方程组. 称为方程组的限定形式.
在许多科学仪器和工业设备如β 谱仪、质谱仪、粒子加速器、电子显
微镜、磁镜装置、霍尔器件中. 洛伦兹力都有广泛应用.
• (四) 基本方程记忆理解图
• 基本方程体现了时变电磁场的全部场与源相互依存、相互制约、不可
分割的关系. 反映变化的磁场周围伴随一个变化电场. 变化的电场周围
要产生一个变化磁场的必然规律. 电磁场基本方程可以用来分析各种
D
E
中. 位移电流密度Jd＝ ＝
ε
t 0
. t
• 位移电流的定义: 位移电流是电位移矢量随时间的变化率对曲面的积
分。
• (三) 电流连续性定理和洛伦兹力定律
• １. 电流连续性定理
• (时变) 电磁场的基本方程还包括电流连续性定理和洛伦兹力定律. 电
流连续性定理与电荷守恒定律一脉相承.
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• 1. 时变电磁场基本方程的积分形式
06第六章_时变电磁场(定稿9学时)
l
路径的线积分出现了两种不同结果。这就说明，静态场中 的安培环路定律用于时变场时要产生矛盾。麦克斯韦首先 发现并从理论上解决了这一矛盾。他假定在电容器两极板 间传导电流中断处存在另一种电流，称之为“位移电流”，
由一个极板流向另一个极板的位移电流的数值 i d 等于导
线中的传导电流 ic ，而且位移电流与传导电流有相同的 磁效应，即以相同的方式激发磁场。
（6.2.6）
13 23 33
11 12 例如：地磁场作用下的电离层，其介电常数为张量： 21 22 31 32 D E
恒定磁场作用下的铁氧体材料，其磁导率为张量：
B H
11 21 31
S
（6.1.4）
以及反映媒质特性的组成关系：
D 0 E P B M H 0 J E
或：B 0 H M
（6.1.5）
此外，还有表示电荷守恒的电流连续性方程：
d s J ds dt v d , J t
l
（6.1.6）
如前所述，式（6.1.3）是静电场方程 E dl 0 在
时变条件下的推广。同时，在第四章中也将式（6.1.2）
推广用于时变场。为了考察式（6.1.4）是否适用于时变 场，我们来研究电容器在充放电过程中电流与磁场的关 系。
如图示，设电容器中的介质是理想的，因而电容器极 板间不可能有传导电流或运流电流。但当开关接通瞬间， 导线中必然有电流向电容器充电并在空间建立磁场。应用 安培环路定律，若选取由闭合路径 所限定的曲面 S1 与 导线相交，则有：
12 22 32
13 23 33
路径的线积分出现了两种不同结果。这就说明，静态场中 的安培环路定律用于时变场时要产生矛盾。麦克斯韦首先 发现并从理论上解决了这一矛盾。他假定在电容器两极板 间传导电流中断处存在另一种电流，称之为“位移电流”，
由一个极板流向另一个极板的位移电流的数值 i d 等于导
线中的传导电流 ic ，而且位移电流与传导电流有相同的 磁效应，即以相同的方式激发磁场。
（6.2.6）
13 23 33
11 12 例如：地磁场作用下的电离层，其介电常数为张量： 21 22 31 32 D E
恒定磁场作用下的铁氧体材料，其磁导率为张量：
B H
11 21 31
S
（6.1.4）
以及反映媒质特性的组成关系：
D 0 E P B M H 0 J E
或：B 0 H M
（6.1.5）
此外，还有表示电荷守恒的电流连续性方程：
d s J ds dt v d , J t
l
（6.1.6）
如前所述，式（6.1.3）是静电场方程 E dl 0 在
时变条件下的推广。同时，在第四章中也将式（6.1.2）
推广用于时变场。为了考察式（6.1.4）是否适用于时变 场，我们来研究电容器在充放电过程中电流与磁场的关 系。
如图示，设电容器中的介质是理想的，因而电容器极 板间不可能有传导电流或运流电流。但当开关接通瞬间， 导线中必然有电流向电容器充电并在空间建立磁场。应用 安培环路定律，若选取由闭合路径 所限定的曲面 S1 与 导线相交，则有：
12 22 32
13 23 33
电动力学第六章时变电磁场-时变电场和时变磁场都是有旋无散
问题1：法拉第电磁感应定律是怎样表示的，其物理 意义何在，产生感应电动势有哪几种形式？
三、法拉第电磁感应定律（由学生回答）
１、法拉第电磁感应定律：当穿过线圈所包围面积对磁通 发生变化时，线圈中就产生感应电动势
Ñ in
d dt
c
rr B dS
r in为感应电动势，它是电导线体内的感应电场Ein来维持的。
变化的电场
变化的磁场
５）由于电场、磁场相互激发，转化可形成电磁波，以有限的 速度向空间传播,形成电磁波。
麦克斯韦方程经典电磁理论的基本定律.麦克斯韦方程如 下:
微分形式
r H
r J
r D
t
r E
r B
t
积分形式
Ñ r r
Hdl
r (J
r D
)
r dS
(安培定理)
c
s
t
Ñ r r
Edl
c
r B
r dS
s t
(法拉第电磁感觉 定理)
r
rr
B 0 Ñ s B dS 0
(磁通连续性方程)
r
rr
D Ñ s D dS q
(高斯定理)
谢谢各位领导和 专家们指导！
❖ １）时变电场是有旋有散的，电力线可闭合也可不闭合；
❖ ２）时变磁场是有旋无散的，磁力线总是闭合的；
❖ ３）不闭合的电力线从正电荷到负电荷； 闭合的电力线与磁力线相交链； 闭合的磁力线要么与电力线交链，要么与电流相交链。
４）在无源区域（即：无电荷，也无电流）时变电场和时变磁 场都是有旋无散，电力线与磁力线自行闭合，相互交链；
第六章 时变电磁场
法拉第电磁感应定律 位移电流与麦克斯韦方程组
第六章时变电磁场和平面电磁波
Re(
Em (r)e j
t)
E(r, t)e jtdt Re( Em (r)e jt )
j
H J D t
Re Hm (r)e jt Re Hm(r)e jt
Re
Jm (r)e j t
Re t
Dm (r)e jt
Re
Jm (r)e jt
Re t
Hy
j
E x z
Ex Ex0e jkz
k
Hy
Ex0e jkz
H y0e jkz
式中 H y0
Ex0
在理想介质中，均匀平面波的电场相位与磁场相位相同，
且两者空间相位均与变量 z 有关，但振幅不会改变。
Ex
左图表示 t = 0 时刻，电
z
场及磁场随空间的变化情
Hy
况。
波阻抗(wave impedance): 指与传播方向垂直的横平面
时谐电磁场场中物理量的表示
E(r,t) Em (r) cos( t e (r)) 时谐场的相量表示法
E(r,t) Re Em(r)e j te (r) Re Em(r)e jt
Em (r) Em (r) Em (r)e je (r)
电场强度复振幅矢量
它只是空间坐标的函数，与时间t无关。
f
f
2
周期(period)： T 1 T 2
❖
波数k、波长与波矢量
f k
波数k: 长为 2 距离内包含的波长数。 k 2
波长(wavelength): 2 2 1 k f
波矢量: k k k 式中：k即为波数
k 2 k 即为表示波传播方向的单位矢量。 说明： 平面波的频率是由波源决定的，它始终与源的频
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v 解:在ab段上任取一沿 er 方向的线元 段上任取一沿
故线元的电动势 导线ab的电动势 导线 的电动势
× ×
× ×
×
v v v dei = (v × B ) dl = vBdr
b
I a r0 l
v× v
b
ei = ∫ =∫
r0
a
v v v (v × B) dl
r0 + l
0 I 0 Iv r0 + l v( )dr = ln 2πr 2π r0
u ε u(t ) E = ,D=ε E = d d
位移电流密度
D ε du = ( ) δD = t d dt
位移电流
传导电流与位移电流
du i D = ∫ δ D dS = ( ) = C = iC S d dt dt
9
εS du
2. 全电流定理
与导线交链, 作闭合曲线 l 与导线交链,根据安 培环路定律
v v v q ∫S δ c dS + ∫S δ v dS = t v
)
(6(6-12)
据麦克思韦假设,自由电量增加,穿出曲面S 据麦克思韦假设,自由电量增加,穿出曲面S的位移电流为
v q D v iD = =∫ dS S t t
(6(6-13)
由式(6-12)及式(6-13)得 由式(6-12)及式(6-13)得 (6 及式(6
e = e1 e 2 = (Φ 1 Φ 2 ) t = 2.5 × 10 4 e 100 tV
图6-8 例6-4图
14
补充例6 在电流为I的长直载流导线旁有一与其垂直的导线 的长直载流导线旁有一与其垂直的导线ab, 补充例6-2 在电流为 的长直载流导线旁有一与其垂直的导线 , 长为l, 端至长直导线的距离为 端至长直导线的距离为r 导线ab以匀速 以匀速v平行于长直导 长为 ,a端至长直导线的距离为 0,导线 以匀速 平行于长直导 线向上运动, 中的动生电动势. 线向上运动,求ab中的动生电动势. 中的动生电动势
100t
2.5 Φ1 = BS1 = × 0.05e 100t = 12.5 × 10 6 e 100tWb 1002 2 Φ 2 = BS2 = × 0.05e 100t = 10 × 10 6 e 100tWb 1002
取闭合回路感生电动势e的正方向同 取闭合回路感生电动势 的正方向同e1 的正方向同 的正方向一致
v dψ B v ε = = ∫ dS S t dt
dt
为感生电动势,这是变压器工作的原理,又称变压器电动势. 感生电动势,这是变压器工作的原理,又称变压器电动势. 变压器电动势
感生电动势
11
回路切割磁力线,磁场不变 回路切割磁力线,
dψ v v v ε = = ∫ (v × B) dl l dt
v v D v v v ∫l H dl = ∫s (δ + t ) dS = ic + i D v v D v ×H =δ + t
全电流定理揭示不仅传导电流激发磁场, 全电流定理揭示不仅传导电流激发磁场,变化的电场也可以 揭示不仅传导电流激发磁场 10 激发磁场. 激发磁场.
§6-3 电磁感应定律
负号表示产生的感应电流方向与选取的参考方向相反, 负号表示产生的感应电流方向与选取的参考方向相反,由b 指向a 指向 . 15
均匀磁场内, 磁通密度B= cosωt. 例 6-5 均匀磁场内 , 磁通密度 =Bmcos . 设磁 场内有一面积为S的平面线圈回路, = α = 0 场内有一面积为S的平面线圈回路,t=0时其初始位置于 处. 转动时,求此平面回路中所感生的电动势. 当线圈按角速度 转动时,求此平面回路中所感生的电动势. ω1 穿过平面回路所界定的面积S的磁通 解 穿过平面回路所界定的面积 的磁通
q = ∫ D dS
s
v v v q v v D v ∴ iD = = ∫ D dS = ∫ dS = ∫ δ D d S S t S t t S
v v D δD = ——位移电流密度 t
图6-2 电源以传导电流 (6(6-7)
4
αt 的规律变化. 例6-1 空间某点的电位移矢量依照 D = D1e 的规律变化.求该 点的位移电流密度表达式. 点的位移电流密度表达式. v
1.电磁感应定律 电磁感应定律
当与回路交链的磁通发生变化时, 当与回路交链的磁通发生变化时,回路中 会产生感应电动势,这就是法拉弟电磁感应 会产生感应电动势,这就是法拉弟电磁感应 定律. 定律. dψ 感生电动势的参考方向
ε =
负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化. 负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化. 引起磁通变化的原因分为三类: 引起磁通变化的原因分为三类: 回路不变, 回路不变,磁场随时间变化
感应电场是非保守场, 感应电场是非保守场,变化的磁场是产 生感应电场的涡旋源. 生感应电场的涡旋源. 若空间同时存在库仑电场, 若空间同时存在库仑电场, 则有
v v v v v v v v B v ε = ∫ Ei dl = ∫ ( × Ei ) dS ε = ∫ (v × B) dl ∫ dS l s L dt v v v v B × Ei = × (v × B) t v v B 在静止媒质中 × Ei = t
v v B × E = t
变化的磁场产生电场
13
——变化的磁场产生电场 变化的磁场产生电场
例6-4 设空间磁场的磁感应强度 B = 0.05e T 垂直于磁场的 平面上,有一形状如数字8的闭合回路, 平面上 , 有一形状如数字 8 的闭合回路 , 图中斜线区域的面积 求闭合线路中的感生电动势. 分别为 S1 = 2.5cm2 , S2 = 2cm2 ,求闭合线路中的感生电动势. 解 如图6 所示, 如图6-8所示,穿过面积 S1与 S 2的磁通分别为
v v q qω v R v v Q Rωeα = e = Rωeα ∴ δ D = 3 2 α 4πR 4πR t
位移电流的方向与电位移矢量相同吗? 位移电流的方向与电位移矢量相同吗?
6
D q R ∴δ D = = t 4πR 3 t v
图6-4 例6-3图
§6-2 全电流定理
1.全电流连续性原理 全电流连续性原理
2
§6-1 传导电流,运流电流和位移电流 传导电流,
1.传导电流 传导电流
传导电流是由自由电荷在导电媒质中作有规则的运动而形成 的电流. 的电流. 传导电流服从于欧姆定律. 传导电流服从于欧姆定律.
v δ c = γE
v
(6(6-1)
2.运流电流 运流电流
电荷在无阻力空间的运动(或由于电场力的作用, 电荷在无阻力空间的运动(或由于电场力的作用,或由于机 械原因而产生)形成运流电流. 械原因而产生)形成运流电流.
v 运流电流不服从于欧姆定律. δ v 运流电流不服从于欧姆定律. = ρv
v
(6-5) (6-
由于传导电流与运流电流都是带电质点的运动. 由于传导电流与运流电流都是带电质点的运动.因而在空 间同一点上,两种电流密度不能同时并存. 间同一点上,两种电流密度不能同时并存.
3
3.位移电流 位移电流
时变电磁场中, 时变电磁场中,电介质中分子束缚电量微观位移运动永不 停息形成的电流. 停息形成的电流. 如图6 所示之两导体, 如图6-2所示之两导体,在开关 闭合瞬间, 闭合瞬间,电源向两导体电容系统充 电. 围绕导体l作一闭合高斯曲面 作一闭合高斯曲面S, 围绕导体 作一闭合高斯曲面 , 有 v v
本章所研究的对象为时变电磁场. 本章所研究的对象为时变电磁场.场中各物理量不仅是空间 坐标的函数,而且也是时间的函数. 坐标的函数,而且也是时间的函数. 本章将要研究统一的电磁场同时存在的两个方面——随时间 本章将要研究统一的电磁场同时存在的两个方面 随时间 变动的电场与随时间变动的磁场. 变动的电场与随时间变动的磁场.
在空间绕任意导体作任意闭合曲面S, 在空间绕任意导体作任意闭合曲面 ,此 时若有电源以传导电流形式向该导体充电, 时若有电源以传导电流形式向该导体充电, 同时有自由体积电荷进入该闭合曲面, 同时有自由体积电荷进入该闭合曲面,则有
q ( ic + iv ) = (6(6-11) 即 t
(
图6-5 全电流示意
dE 5000 × 10 2 = = 5000 × 108 dt 1 × 10 6
E ∴δ D = ε 0 = 8.ห้องสมุดไป่ตู้5 × 10 12 × 5000 × 10 8 = 4.43 A / m 2 t
5
点电荷q沿半径为 的圆周以角速度ω转动. 沿半径为R的圆周以角速度 例6-3 点电荷 沿半径为 的圆周以角速度ω转动.写出其在圆 心处位移电流密表达式. 心处位移电流密表达式. 点电荷转动过程中, 解 点电荷转动过程中,在圆心所产生的电 v 位移矢量为 q v D= R 3 4πR v R 式中: 为时间变量t的矢量函数 其模不变, 的矢量函数, 式中: 为时间变量 的矢量函数,其模不变, 方向随时间而变. 方向随时间而变. v v
8
补充例6 已知平板电容器的面积为S, 相距为d, 补充例6-1 已知平板电容器的面积为 , 相距为 , 介质的介电常 传导电流i 数ε,极板间电压为u(t).试求位移电流 D ;传导电流 C与iD 的 极板间电压为 ( ) 试求位移电流i 关系是什么? 关系是什么? 解:忽略极板的边缘效应和感应电场 电场
v v v v 经过S 经过S1面 H dl = δ dS = i ∫ ∫
l S1
经过S2面 经过S 时变场安培环路定律
v v v v ∫ H dl = ∫ δ d S = 0
l S2
为什么相同的线积分结果不同? 为什么相同的线积分结果不同? ——全电流定理积分形式 全电流定理积分形式 ——全电流定理微分形式 全电流定理微分形式