极点与极线背景下的高考试题
高考数学复习----《极点极线问题》典型例题讲解
高考数学复习----《极点极线问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q在定直线上．【解析】（1）因为椭圆的离心率，，，又因为，所以，，所以椭圆C 的方程为． （2）解法一：设直线，，， ，可得， 所以．直线AM 的方程：① 直线BN 的方程：② 由对称性可知：点Q 在垂直于x 轴的直线上， 联立①②可得．因为， ()2222:10x y C a b a b+=>>12()4,0P 1212c a ∴=2a c ∴=2b =b ∴=222233b a c c =−==1c =2a =22143x y +=:4MN x ty =+()11,M x y ()22,N x y 224143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()223424360t y ty +++=12212224343634t y y t y y t −⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩()1122y y x x =++()2222y y x x =−−1221212623ty y y y x y y ++=−121223y y t y y +=−所以所以点Q 在直线上．解法二：设，，，两两不等， 因为P ，M ，N 三点共线，所以， 整理得：．又A ，M ，Q 三点共线，有：① 又B ，N ，Q 三点共线，有②将①与②两式相除得：即， 将即 代入得：解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故） 所以Q 在定直线上．【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.例2、（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线()122112212121362262133y y y y ty y y y x y y y y −+++++===−−1x =()11,M x y ()22,N x y ()33,Q x y 123,,x x x ()()()()22122212122222121212313144444444x x y y y y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=⇒=−−−−−−()12122580x x x x −++=313122y y x x =++323222y y x x =−−()()()()2222121332231231222222222y x y x x x x y x x y x ++⎛⎫++=⇒= ⎪−−−−⎝⎭()()()()()()222121221212312224223124x x x x x x x x ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭==−−⎛⎫−− ⎪⎝⎭()()()()()()2211212331212122224222224x x x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫+== ⎪−−−−++⎝⎭()12122580x x x x −++=()12125402x x x x =+−=233292x x ⎛⎫+= ⎪−⎝⎭34x =31x =BQ 34x ≠1x =A B 22:14y E x −=l（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点. （1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.【解析】设直线的方程为，设，，把直线与双曲线 联立方程组，，可得，则， （1），，由，可得， 即①，②， 把①式代入②式，可得，解得，， 即直线的方程为或． （2）直线的方程为，直线的方程为， 直线与的交点为，故，即，进而得到，又， 故，解得 故点在定直线上． 【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.例3、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与轴的交点（点A 位于点的上方），为左焦点，原点到直线. ()2,0N E C D 3CN ND =l AC BD P P l 2x my =+()11,C x y ()22,D x y l E 22214x my y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩()224116120m y my −++=1212221612,4141m y y y y m m +=−=−−()112,CN x y =−−()222,ND x y =−3CN ND =123y y =−22841m y m =−22212341y m −=−22281234141m m m ⎛⎫−= ⎪−−⎝⎭2120m =m =l 0y −−=0y +−=AC ()1111y y x x =++BD ()2211yy x x =−−AC BD P ()1111y x x ++()2211yx x =−−()1113y x my ++()2211y x my =−+122121311my y y x x my y y ++=−+()121234m y y y y =−+()()122121212133391433134y y y y y x x y y y y y −++−++===−−−−++12x =P 12x =()2222:10,0x y C a b a b+=>>y ,A B B F O FA（1）求椭圆的离心率；（2）设，直线与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.【解析】（1）设的坐标为，由面积法有，椭圆的离心率. （2）若，由(1) 得椭圆方程为，联立方程组化简得：，由，解得：.由韦达定理得：,, 设，的方程是，的方程是， 联立化简得，即， 所以直线与直线的交点在定直线上.C 2b =4y kx =+C ,M N BM AN G F (),0c −bc =∴C c e a ==2b =a =∴22184x y +=22284x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()222116240k x kx +++=()232230k ∆=−>232k >M x +N x 21621k k −=+Mx N x 22421k =+()()44M M N N M x ,kx ,N x ,kx ++MB 62M M kx y x x +=−NA 22N Nkx y x x +=+()2282223211163421N M N M N N MN k x kx x x x k y k x x x k ⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭===−++1Gy =BM AN G。
第14讲 极点极线问题(原卷版)2023最新专题：圆锥曲线
第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点(24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ= ,求点P 的轨迹方程．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.19．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=.（1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上.。
2023全国乙卷理科第20题 极点极线
2023全国乙卷理科第20题极点极线【导读】极点与极线是解析几何中的重要概念，它们在数学领域中有着广泛的应用。
本文将深入探讨极点与极线的定义、性质和应用，并共享对这一主题的个人理解。
【正文】一、极点与极线的定义1. 极点的定义极点是与给定圆的两条切线相交的一个点，这两条切线是从极点到圆上的两个不同点的切线。
在平面直角坐标系中，给定一点 P(x1, y1)，以及一个圆 C：(x - a)² + (y - b)² = r²。
点 P 是圆 C 的极点，当且仅当从 P 到圆 C 上的任意一点 Q 的斜率相等。
即∠OPQ为直角，其中O(a, b) 是圆 C 的圆心。
2. 极线的定义过给定点和给定圆的两条切线所确定的交点的轨迹叫做极线。
根据定义，极线是由圆 C 的所有极点所决定。
在平面直角坐标系中，假设圆的方程是(x - a)² + (y - b)² = r²，圆的极线可以表示为下面形式的方程：xx1 + yy1 = a(x + x1) + b(y + y1) + r²。
这里，(x1, y1) 是圆的极点。
二、极点与极线的性质1. 极点的性质（1）极点坐标的性质通过上述定义，可得到极点P(x1, y1) 的坐标对称形式是P′(-x1, -y1)。
意味着，极点 P 关于圆心 O 对称。
（2）极点的存在性对于给定圆 C，如果有直角坐标系中的点 P（x，y）满足OP⊥OQ，那么点 P 就是圆 C 的极点。
2. 极线的性质（1）极线的对称性已知圆 C 关于 X 轴和 Y 轴的极线方程为 a1x + b1y + c1 = 0 和 a2x + b2y + c2 = 0。
易得，关于 X 轴和 Y 轴的两条极线方程互为对称。
（2）极线的交点性质两条极线的交点坐标为(-ab/a1 - a2, -ab/b1 - b2, 非常重要)。
三、极点与极线的应用1. 应用一：极点极线在密码学中的应用极点极线广泛应用于密码学领域，尤其是在椭圆曲线密码学中。
极点与极线背景下的高考考试
极点与极线背景下的高考考试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：极点与极线背景下的高考试题王文彬(江西省抚州市第一中学 344000)极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q ，则有211PQ PA PB=+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭.可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQPA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+=211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有PEFG H MA NB 图P Q A 图2Bl推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ'-+=⇒='-+，化简 即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出 PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠； 若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b +=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆P Q R 图3R 'ROPlA 图4 P 'R BQQ 'R的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>过点(2,1)M ，且左焦点为1(2,0)F -.(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，证明点Q 总在某定直线上.分析与解：(1)易求得答案22142x y+=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=u u u r u u u r u u u r u u u r ，说明点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.yxO B A 图5K (,)T t mMNBQxyO PA.图6分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得223t y x t-= ④解由③④联立方程组得22654244542t x t t t x t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，长短轴分别为102和153，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点. 【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=u u u r u u u r(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为P .(1)证明FP AB ⋅u u u r u u u r为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--u u u r u u u r ，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=u u u r u u u r. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以2212(1)4(1)2ABP S AB FP k k ∆==++. 显然，当0k =时，S 取最小值4.【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动， 过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别A BPOxy图8F B y F l R Q xyOP.图7相切于,A B 两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-u u u r ，12121(,)24x x FP x x +=-u u u r ，2221(,)4FB x x =-u u u r .2212112112112222211111111()()()()244444cos 11()()44x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .同理1214cos x x FP FBPFB FP FB FP+⋅∠==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .所以有PFA PFB ∠=∠.参考文献【1】 周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9【2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J ］，2012(4)下半月。
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
抛物线 ｘ ２ ， ＝ Ｙ 则点 Ｐ 二 ＇ｏ 对应的极线方程 ２ Ｐ （。ｙ ） 为：（ 一ｐｙ ｏ ＝ ０ 二二 （ ＋Ｙ ） ； 若抛物线 犷 二２ｘ 则点 Ｐ 二 ＋０ 对应的极线方 ｐ， （（ｙ） ， 程为：ｏ ＂（ ＋二 ） ０ ＹＹ ｐ二 。 ＝ ． － 命题 ２ 圆锥曲线中极线共点于 尸 则这些极线相 ， 应的极点共线于点 尸相应的极线． 反之亦然． 称为极点 与相应极线对偶性． 如题 １ Ａ 图，Ｂ绕焦点Ｆ转动， Ａ 则 Ｂ相应的极点 Ｐ
中学数学教学
相交， 两个交点的纵坐标为 Ｙ ．２求 ｌ ， Ｙ
２０ 年第 ６ ０６ 期
证Ｙ ２ ． Ｉ＝ Ｙ －厂
作为课本一习题，０１年全 国卷 ２０
ｉ 题以此题为背景命题， ｓ 利用此结论
可迅速证 明该题． （０ １年 全 国 卷 理 科 １ ２０ ９题 ） 设 抛 物 线 Ｙ ２＝
、 Ｙｉ一 Ｙ２）
所以 声＂ 方＝ｘ （ ： １ 一 ２ ｙ 一 Ｙ ）“ ０ Ｆ Ａ ｐｘ 一ｘ ） （ ： １ ．
（） 扫方程为，－１ ｘ 逆用命题 １ Ｂ对 ２ 设Ａ Ｙ ＝ｋ ， 得Ａ
应 的极点为（ｋ 一１ ， ＝ｋ 十１ ２ ， ）把ｙ ｘ 代人 ｘ ＝ 并由 ２ ｙ ４
２ ３ 竞赛中抛头露面， ． 显山露水
２ｘ ｐ ０ 的焦点为 Ｆ 过焦点 Ｆ的直线交抛物线于 ｐ （ ＞ ） ， Ａ， Ｂ两点 ， Ｃ在抛物线的准线上， Ｂ〕 点 且 （平行ｘ轴， 证
明直线 Ａ Ｃ过原点． 下面利用命题 １２ ， 给出例 １ 的证明：
标 （ ２ 为线上点 点 对 的线 为奋 ） ，动， 尸应极 ，直 Ｐ 则 Ａ必（ ２ Ｂ过２卜 １ 设Ｂ 程 一 （ ， 恤１ 方：卜‘ ）用 ， Ａ的 ， 一合 逆 得 Ａ 应极 设 （，一） Ａ 人； Ｂ 的杆可为 夸 ２把Ｂ Ｃ 对 夸 ・ 代
极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题
a2b2(b2 − y02) y02(b2 + a2k2)
+
b2x0
·
2ky0a2b2 y02(b2 + a2k2)
(b2
+
kx0y0
−
y02)
·
a2b2(b2 − y02) y02(b2 + a2k2)
=
2b2 b2 − y02 .
推论 3 圆 C : x2 + y2 = r2 在点 P (x0, y0) 处的切线与
于 N , O 为原点, −Q−M→ = λ−Q−→O, −Q−→N = µ−Q−→O, 则 1 + 1 为定 λµ
2b2 值 b2 − y02 .
证明 处的切线
x2 y2
椭圆 PQ
+ = 1(a
a2 b2 的方程为 ( b2 )
x0x a2
> +
b> y0y b2
0) 在点 P (x0, y0) = 1, 由 已 知 得
=
y0(x1 − x0)
y0
y0
λ
(b2
b2(x1 − x0) + kx0y0 − y02)x1
.
同理可得
1 µ
=
(b2
b2(x2 − x0) + kx0y0 − y02)x2
.
所以
1 λ
+
1 µ
=
2b2x1x2 − b2x0(x1 + x2) (b2 + kx0y0 − y02)x1x2
=
2b2
·
+
b2
)2
=
a2b2,
y0
整理得 y02(b2 + a2k2)x2 + 2ky0a2b2x + a2b2(b2 − y02) = 0.
完整)极点与极线背景下的高考试题
完整)极点与极线背景下的高考试题通过对极点与极线的研究，我们可以更好地理解圆锥曲线的特征，从而更好地应对高考试题。
5.从代数角度看极点与极线：设圆锥曲线$\Gamma$的方程为$Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$，则称点$P(x,y)$和直线$l:Ax+Cy+D(x_0)+E(y_0)+F=0$是$\Gamma$的一对极点和极线。
实际上，在圆锥曲线方程中，以$x^*$替换$x$，以$x=x_0+x^*$替换$x$，以$y^*$替换$y$，以$y=y_0+y^*$替换$y$即可得到点$P(x,y)$的极线方程。
特别地，对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$\frac{x^*}{a^2}+\frac{y^*}{b^2}=1$；对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$\frac{x^*}{a^2}-\frac{y^*}{b^2}=1$；对于抛物线$y=2px$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$yy^*=p(x_0+x^*)$；如果圆锥曲线是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，当$P(x,y)$为其焦点$F(c,0)$时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，当$P(x,y)$为其焦点$F(c,0)$时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线$y=2px$，则其焦点为$F(0,\frac{p}{2})$，其准线为$x=-\frac{p}{2}$。
y = (3/2)x - 1，代入椭圆方程得到4x^2 + 9y^2 - 48x + 32y + 64 = 0化简得x^2/16 + (y+2)^2/9 = 1所以点Q的轨迹方程为x^2/16) + ((y+2)^2/9) = 1这是一个标准的椭圆方程，所以点Q的轨迹是一个椭圆。
(完整)极点与极线背景下的高考试题
极点与极线背景下的高考试题王文彬（江西省抚州市第一中学 344000） 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查 的范围， 但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征， 因此在高考试题中必然会有所反映， 试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师， 应当了解极点与极线的概念， 掌握有关极点与极线的基本性质， 破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律1. 从几何角度看极点与极线定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 .由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所 对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线 于点 A,B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 .定理 1（1） 当 P 在圆锥曲线 上时，则点 P 的极线是曲线在 P 点处的切线；（2） 当 P 在 外时，过点 P 作 的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所 在的直线 ） ；（3）当P 在 内时，过点 P 任作一割线交 于A,B ，设 在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q的轨迹 .自然也会成为高考只有这样， 才能“识 定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的极线为①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段 关于圆锥曲线的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线 和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 .推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的调和共轭2 1 1点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于 调和共轭 .可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQPA PB .特别地，我们还有 推论 2 如图 3，设点 的中心，则有 OR 2证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交 于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ）的调即可得 PR RQ RQ RQ2OR 2 OPPR ，即点P 关于有心圆锥曲线 （设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线OQ ，反之若有此式成立，则点 的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OPP 与 Q 关于 调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出P 与 Q 关于 调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线 的一条P图2AB ，或称点 R图 3对称轴 l 上的两点 (不在 上)，若 A,B 关于 调 和共轭，过 B 任作 的一条割线，交 于 P,Q 两点，则 PAB QAB .证明：因 关于直线 l 对称，故在 上存在 P,Q 的对称点 P,Q .若 P 与Q 重合，则 Q 与P 也重合，此时P,Q 关于 l 对称，有 PAB QAB ； 若 P 与 Q 不重合，则 Q 与 P 也不重合，由于 A,B 关于 调和共轭，故 A,B为 上完全四点形 PQ QP 的对边交点，即 Q 在 PA 上，故 AP,AQ 关于直线 l 对称，也有 PAB QAB .定理 3(配极原则 )点 P 关于圆锥曲线的极线 p 经过点 Q 点 Q 关于 的极线 q 经过点 P ；直线 p 关于 的极点 P 在直线 q 上 直线 q 关于 的极 点Q 在直线 p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线 . 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【 1】，其中定理 1 的初等证法可参阅文【 2】.2. 从代数角度看极点与极线定 义 2 已 知 圆 锥 曲 线 : Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0 ， 则 称 点 P(x 0, y 0) 和 直 线 l : Ax 0x Cy 0y D(x x 0)E(y y 0) F 0是圆锥曲线 的一对极点和极线 .x x y y 事实上，在圆锥曲线方程中，以 x 0x 替换 x 2，以 x0x替换 x ，以 y 0y 替换 y 2，以 y0 y 替换 y 即可得22到点 P(x 0,y 0)的极线方程 .特别地：22(1) 对于椭圆 x 2 y 2 1，与点 P(x 0, y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1；ab a b x 2 y 2 x x y y(2) 对于双曲线 x 2 y 2 1，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1； a b a b (3) 对于抛物线 y 2 2 px ，与点 P(x 0, y 0 )对应的极线方程为 y 0y p(x 0 x) .x 2 y 2(4) 如果圆锥曲线是椭圆 2 2 1，当P(x 0,y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲 ab22 线是双曲线x 2 y 21，当 P(x 0, y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线 aby 2 2px ，当 P(x 0, y 0 )为其焦点 F( p ,0) 时，极线恰为抛物线的准线23. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题2 x【例 1】(2010 江苏卷文理 18)在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 9 右焦点为 F ．设过点 T(t,m) 的直线 TA,TB 与此椭圆分别 交于点 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) ，其中 m 0，y 1 0，y 2 0 ．(1) 设动点 P 满足 PF 2 PB 2 4 ，求点 P 的轨迹； (2) 设 x 1 2， x 2 1 ，求点 T 的坐标；3(3) 设t 9 ，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)．分析与解：前面两问比较简单，这里从略 . 对于(3) ，当 t 9时， T 点坐标为 (9,m) ， 连 MN ，设直线 AB 与 MN 的交点为 K ，根据 极点与极线的定义可知，点 T 对应的极线经过 K ，2y 1 的左右顶点为 A,B ，5PAO KBN又点 T 对应的极线方程为 951，即myx 5 从而直线 1，此直线恒过 x 轴上的定点 K (1,0) ， MN 也恒过定点 K (1,0) .2 x (2008 安徽卷理 22) 设椭圆 C : 2 a2 2y 2 1(a b 0)过点 M ( 2,1) ，且左焦点为 F 1( 2,0) . b (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足 uuuuuu uuur uu AP QB AQ PB，证明点 Q 总在某定直线上 . 2 分析与解： (1) 易求得答案 x 4 uuur PB uuur ，说明点 P,Q 关于 BQ 2，点 Q 的轨迹就是点 (2) 由条件可有 AQ 2 y21. 2 圆锥曲线 C 调和共轭 . 根据定理 1y 2 故点 Q 总在定直线 2x y 2 4x P 对应的极线，即4 1 ，化简得 2x y 0上.x 2 例 3】(1995 全国卷理 26)已知椭圆 C : 24 0. 2 y 16 于点 R ，又点 Q 在OP 上且满足 OQ OP OR 2，当点 是什么曲线 . 分析与解：由条件知 线与直线 OP 的交点 . OR 1， 直线 l : x12 8 P 在l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程 . ,并说明轨迹 1，P 是l 上一点，射线 OP 交椭圆 OP OQ 可知点 P,Q 关于圆锥曲线 C 调和共轭，而点 Q 可看作是点 P 的极 设 P(12t,8 8t) ，则与 P 对应的极线方程为12t x (8 8t) y 24 tx (1 t)y 2 ③ 16 1， 化简得 又直线 OP 的方程为 8 8t x ， 12t 化简得2 2t y x ④ 3t 解由③④联立方程组得 6tx 25t 4t 2 ，消去 t 得 2x 24 4tx 25t 2 4t 2x3y 2 4x 6 y ，可化为 (x 51)2(y 1)25 31( x,y 不同时为 0) ，故点 Q10 和 15 ，且长轴平行于 2【例 4】(2006 年全国卷 II 理 21) 已知抛物线 uuur 的焦点为 F ， A,B 是抛物线上的两动点，且 AF ( 0) ，过 A,B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为 P . uuur uuur (1) 证明 FP AB 为定值； 的轨迹是以 (1,1)为中心，长短轴分别为 4y uuur FBx 轴的椭圆， 但需去掉坐标原点 F y BP 图8(2) 设 ABP 的面积为 S ，写出 S 并求 S 的最小值 .分析与解： (1) 显然，点 P 的极线为 P(x 0, 1)，再设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ， x 2x2(y 2 y)，由于 A,B,F 三点共线， 得 x 1x 0 2(y 11) ，两式相减得 x 2x 0 2(y 2 1) uuur uuur 又 FP (x 0, 2),AB (x 2 设 AB 的方程为 y kx f( ) 的表达式，AB ，故可设点 F,A,B 三 故相应的三极线共点于 P(x 0,点对应的极线方程分 别为 y 1) ，将 y (x 1 x 2)x 0 2(y 1 y 2). (2) 1 ， x 1x 2(y 1 y) ， 1代入后面两个极线方程 uuur uuur x 1,y 2 y 1) ，故 FP AB 1 ，与抛物线的极线方程 2 代 入 x 2 4y 并 1) ， 把 y kx 1 12 AB FP 显然，当 k 0 时， S 取最小值 4. 【例 5】(2005 江西卷理 22)设抛物线 C: y x 2 的焦点为F ，动点 P 在直线 l :x y 2 0上运动， 过 P 作抛物线的两条切线 PA,PB ，且与抛物线分别 相切于 A,B 两点. (1) 求 APB 的重心G 的轨迹方程； (2) 证明 PFA PFB . 分析与解： (1) 设点 P(x 0,y 0),A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 与 y0 y x 0 x 对比可知直线 l :x y 2 0 对应的极点为 2 1 必恒过点 (1,2). 2 P(2k, S ABP2(1 k 2) 4(1 k 2) . k 1y 设 AB:y 2 k(x ) ，可化为 2x 0(x 2 x 1) x 0x 2(y 0 弦长公 0. 2(y 2 y 1) y) 对比可知直线 AB 对应的极点为 式 得 AB 1 (2,2) 2 4(1 k 2 ) ， 所 以 ，P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应的极线 AB k k k k 2 x ，故直线 AB 对应的极点为 P(k 2,k 2 2) ，将直线 AB 的 方程代入抛物线方程得 的重心 G 的轨迹方程为 k x x 1 x 2 k 2 3 k y 1 y 2 2 3y 1(4x 23 x 2). x 2kx 0，由此得 x 1 x 2 k,y 1 y 2 k(x 1 x 2 1)k 2 k 4 ， APBk 2k2 23k 2 k 22 3，消去 k 即得22 (2) 设 A(x 1,x 12),B(x 2,x 22) ，由 (1) 知 x 1 x 2 k,x 1x 2 P(x1 x2 ,x 1x 2)， 2 所以 uuur 2 FA (x 1,x 12 cos PFA uuu uu FP FAuu ur FA uuu r FP x 1 x 2 2 x 1 uuur FPuuur x x FP (x 1 x 2 2 14)(x 12 14) 44 x 12 (x 12 41)2 14)， (x 1x 2 ,x 1x 2 (x 1x 2 1 2，又 F(0, ) ，由 4 1 uuur 2 )， FB (x 2,x 22 4 14)(x 12 41) 2 14 uuur 2 FP (x 12) (1) 14) 4 1 4 FP kk 知 P(2,2 2) ，即同理1参考文献1】周兴和. 高等几何. 科学出版社，2003.92】李凤华. 圆锥曲线的极点与极线及其应用. 数学通讯［J］，2012(4) 下半月cos PFB所以有uuuruuurFP FBuu uuurFP FBx1x2uuur 4FPPFA PFB.。
高中数学圆锥曲线系统讲解第33讲《极点与极线》练习及答案
第33讲 极点与极线知识与方法极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在更高处来看待问题．这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解.1．极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图1所示，设P 为椭圆外一点，过P 作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于A 、B 和C 、D 四点，AC 与BD 交于点M ，AD 与BC 交于点N ，则称点P 为直线MN 关于椭圆的极点，直线MN 为点P 关于椭圆的极线.另一方面，图1也可以这么来看，从椭圆外的点N 作椭圆的两条割线分别交椭圆于A 、D 和B 、C 四点，AC 与BD 交于点M ，AB 与CD 交于点P ，所以点N 和直线PM 也是一对极点极线，事实上，点M 和直线PN 也是一对极点极线，因此在PMN 中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将PMN 称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线．这个图形有两种特殊情况：（1）如图2所示，当四边形ABCD 有一组对边平行时，如AD BC ∥，此时我们看成AD 和BC 的交点N 在无穷远处，那么以M 为极点，对应的极线是图2中的2PN ，其中2PN BC ∥；以P 为极点，那么极线是1MN ，其中1MN BC ∥；（2）如图3所示，当其中一条割线变成切线时，此时D 、M 、N 几个点就都与切点C 重合，从而点C 和切线PC 是一对极点极线.2．极点极线的代数定义：在平面直角坐标系xOy 中，设有圆锥曲线C （圆、椭圆、双曲线、抛物线均可）和不与C 的对称中心重合的点()00,P x y ，在圆锥曲线C 的方程中，用0x x 替换2x ，0y y 替换2y ，02x x +替换x ，02y y+替换y ，得到的方程即为以P 作为极点的极线l 的方程.例如，设椭圆C 的方程为2212x y +=，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2412x y +=，即410x y +−=；又如，设抛物线C 的方程为22y x =，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2422xy +=⋅，即420x y −+=.可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，与圆锥曲线的类型无关，与极点P 的位置无关，下面以椭圆为例，说明极点P 在不同位置时，极线l 的情形：（1）当点P 在椭圆C 上时，极线l 为椭圆C 在P 处的切线，如图4所示；（2）当点P 在椭圆C 外部时，极线l 为点P 对椭圆C 的切点弦所在直线，如图5所示；（3）当点P 在椭圆C 内部时，过点P 任作椭圆C 的一条割线交C 于A 、B 两点，椭圆C 在A 、B 两点处的切线交于点Q ，则当割线AB 绕着点P 旋转时，点Q 的轨迹就是极线l ，如图6所示.3．极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例）（1）如图7所示，O 为椭圆中心，点P 在椭圆内，延长OP 交椭圆于点Q ，交椭圆与点P 对应的极线l 于点M ，则OP 、OQ 、OM 成等比数列；当P 恰好为弦AB 的中点时，直线AB 的方程为2200002222x x y y x y a b a b+=+，且极线l 和椭圆在点Q 处的切线均与AB 平行.（2）调和分割性：如图8所示，设极点P 的极线是直线l ，过P 作椭圆的一条割线交椭圆于A 、B 两点，交极线l 于点Q ，则P 、A 、Q 、B 成调和点列，即PA QA PBQB=（或写成211PQ PA PB=+） （3）配极原理：若点P 关于椭圆的极线过点Q ，则点Q 关于椭圆的极线也过点P .由此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图9所示，极点1P 、2P 、3P 的极线分别为1l 、2l 、3l ，则1P 、2P 、3P 共线⇔1l 、2l 、3l 共点.提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，技巧偏方为辅，不能本末倒置.典型例题【例1】（2021·新高考Ⅱ卷·多选）已知直线2:0l ax by r +−=与圆222:C x y r +=，点(),A a b 则下列说法正确的是（ ）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【解析】解法1：A项，若点A在圆C上，则222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r=，所以直线l与圆C相切，故A项正确；B项，若点A在圆C内，则222a b r+<，圆心C到直线l的距离2d r==>，所以直线l与圆C相离，故B项正确；C项，若点A在圆C外，则222a b r+>，圆心C到直线l的距离2d r==<，所以直线l与圆C相交，故C项错误；D项，若点A在直线l上，则2220a b r+−=，即222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r==，所以直线l与圆C相切，故D项正确.解法2：显然对于圆C，以(),A a b作为极点，那么极线就是2:0l ax by r+−=A项，若极点A在圆C上，则极线l是圆C的切线，故A项正确；B项，若极点A在圆C内，则极线l与圆C相离，故B项正确；C项，若极点A在圆C外，则极线l是圆C的切点弦，应与圆C相交，故C项错误；D项，若极点A在直线l上，这是极线恰好为切线，极点为切点的情形，故D项正确.【答案】ABD【例2】（2011·四川）椭圆有两个顶点()1,0A−，()1,0B，过其焦点()0,1F的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.（1）当CD=时，求直线l的方程；（2）当P点异于A、B两点时，证明：OP OQ⋅为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长1b=，半焦距1c=，所以长半轴长a =，故椭圆的方程为2212y x +=，当2CD =时，易得直线l 与x 轴垂直，故可设l 的方程为1y kx =+()0,1k k ≠≠±， 设()11,C x y ，()22,D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222210k x kx ++−=， 判别式()2810k ∆=+>，由韦达定理，1221222212k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①②，所以12CD x x =−==k =所以直线l 的方程为1y =+.（2）极点极线看问题：设(),0P m ，以P 为极点，则对应的极线为1mx =，即1x m=， 显然点Q 在极线上，所以1Q x m =，不难发现101Q OP OQ m y m⋅=⋅+⋅=. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写.解法1：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−， 而()()()()()()212112211212121211111111y x kx x kx x kx x y x kx x kx x kx x ++++++==−+−−+−，所以122112121111Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=−−+−，由①知12222kx x k =−−+， 故()()()()()()222222222222122111122212121111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k k x k k x x k x k k k −−−+−−++−+−+++===−+−+⎛⎫−−−−+−++ ⎪+++⎝⎭，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.解法2：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−⑤ 所以()()()()()()()()()()()()222222121211212222212121212122111111111111211Q Q x x x y x x x x x x x x x x x x x x y x x x −+⎛⎫+++++++==== ⎪ ⎪−−−−++−−−⎝⎭ 22222121122121122kk k k k k k k −−+−⎛⎫++= ⎪+⎝⎭−++++， 因为1x ，()21,1x ∈−，所以12101x x +<−，结合⑤可得11Q Q x x +−与21y y 异号， 又()()()()()222212121212222221122211112222k k k k k y y kx kx k x x k x x k k k k +−−=++=+++=−−+==++++()2221121k k k k +−=−⋅++， 所以12y y 与11k k −+异号，即21y y 与11k k −+异号，从而11Q Q x x +−与11k k −+同号，所以1111Q Q x k x k +−=−+，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.【例3】（2020·新课标Ⅰ卷）已知A 、B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题意，(),0A a −，(),0B a ，()0,1G ，故(),1AG a =，(),1GB a =−， 所以218AG GB a ⋅=−=，解得：3a =或3−（舍去），故E 的方程为2219x y +=.（2）极点极线看问题：如图1，设AB 和CD 交于点Q ，AD 和CB 交于点M ，则PQM 为自极三角形，所以点Q 和直线PM 是一对极点极线，设(),0Q m ，则极线PM 的方程为19mx=，即9x m =，又点P 在直线6x =上，所以96m =，从而32m =，故3,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，这样就得到了直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写. 解法1：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()6,P t ，()11,C x y ，()22,D x y ，当0t ≠时，直线PA 的方程为93x y t =−，代入2219x y +=消去x 化简得：22815490y y t t ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭， 解得：0y =或269t t +，所以269C ty t =+，故22927339C C t x y t t −=−=+，从而2222736,99t t C t t ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，直线PB 的方程为33x y t =+，代入2219x y +=消去x 化简得：2291890y y t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：0y =或221t t −+，所以221D t y t =−+，从而2233331D D t x y t t −=+=+，故222332,11t t D t t ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，设3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2222796,929t t TC t t ⎛⎫− ⎪= ⎪++⎝⎭，()222392,121t t TD t t ⎛⎫− ⎪=− ⎪++⎝⎭，即()22319t TC TD t +=−+，故TC TD ∥，所以T 、C 、D 三点共线，从而直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭，当0t =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，显然直线CD 也过点T ，综上所述，直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭解法2：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()11,C x y ，()22,D x y ，()06,P y当00y ≠时，由图2可知点C 不与点B 重合，因为221119x y +=，所以()2211199y x =−，故CA 、CB 的斜率之积为2111211113399CA CB y y y k k x x x ⋅=⋅==−+−−① 又PA 的斜率09PA CA y k k ==，PB 的斜率03PB BD y k k ==，所以13CA BD k k =， 代入式①化简得：BC 、BD 的斜率之积13BC BD k k ⋅=−，显然CD 不与y 轴垂直，否则AC 与BD 的交点在y 轴上，故可直线CD 的方程为x my t =+，联立2219x ty x my ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去x 整理得：()2229290m y mty t +++−=， 判别式()()222244990m t m t ∆=−+−>，所以2290m t +−>， 由韦达定理，12229mt y y m +=−+，212299t y y m −=+，所以()121221829t x x m y y t m +=++=+，()22221212122999t m x x m y y mt y y t m −=+++=+，()1212121212133393BC BD y y y y k k x x x x x x ⋅=⋅==−−−−++，故()121212339y y x x x x −=−++，即22222299918339999t t m t m m m −−−⋅=−⋅++++，整理得：22990t t −+=，解得：32t =或3，若3t =，则C 、D 中有一个点与B 重合，不合题意，所以32t =，满足0∆>，即直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，当00y =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，也过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【例4】（2018·新课标Ⅰ卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为()2,0.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.【解析】（1）由题意，()1,0F ，当l 与x 轴垂直时，其方程为1x =， 由22112x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：y =，即点A的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 当点A的坐标为2⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为2y x =， 当点A的坐标为1,⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为y =−. （2）极点极线看问题：如图，设A '、B '分别为A 、B 关于x 轴的对称点， 则显然四边形AA BB ''构成等腰梯形，其对角线的交点为F ，以()1,0F 为极点， 则对应的极线为1012xy ⋅+⋅=，即2x =，而BA '和B A '的交点应该在极线上， 从而()2,0M 就是BA '和B A '的交点， 由图形的对称性不难发现OMA OMB ∠=∠. 且这一结论还可以推广，若F 不是焦点， 而是椭圆内x 轴正半轴上的一个一般的点， 比如可设为(),0t ，那么它的极线为012txy +⋅=，即2x t =，所以点2,0M t ⎛⎫⎪⎝⎭必定也能使OMA OMB ∠=∠注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的解法来写. 解：当l y ⊥轴时，易得0OMA OMB ∠=∠=︒当l 不与y 轴垂直时，可设其方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()222210m y my ++−=，易得判别式0∆>， 由韦达定理，12222m y y m +=−+，12212y y m =−+， ()()()()()()()122112211212121212222222222AM BM y x y x x y x y y y y yk k x x x x x x −+−+−++=+==−−−−−− 而()1221122x y x y y y +−+()()()()12211212121122my y my y y y my y y y =+++−+=−+ 22122022m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅−−−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以0AM BM k k +=，从而OMA OMB ∠=∠， 综上所述，OMA OMB ∠=∠.【例5】（2008·安徽）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点)M，且左焦点为()1F .（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点()4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同的点A 、B 时，在线段AB上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，求证：点Q 在某定直线上.【解析】（1）由题意，22222211a b ab ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：24a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）极点极线看问题：因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，故P 、A 、Q 、B 是一组调和点列，从而点Q 必定在点P 的极线上，因为点P 的坐标为()4,1，所以它的极线为41142x y⋅+=，化简得：220x y +−=，从而点O 在定直线220x y +−=上. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的定比点差法来写. 解：设(),Q x y ，()11,A x y ，()22,B x y 因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，设AP AQ PBQBλ==()0,1λλ>≠，则PA PB λ=，AQ QB λ=，而()114,1PA x y =−−，()224,1PB x y =−−，()11,AQ x x y y =−−，()22,QB x x y y =−−所以()()12124411x x y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，且()()1212x x x x y y y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，从而12124111x x y y λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩①②，且121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩③④，①×③得：22212241x x x λλ−=−，②×④得：2221221y y y λλ−=−，所以22222212122224211x x y y x yλλλλ−−+⋅=+−−，即()222221122222421x y x y x y λλ+−+=+−⑤ 又A 、B 在椭圆C 上，所以22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 从而221122222424x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，代入⑤的：2244421x y λλ−=+−， 化简得：220x y +−=，即点Q 始终在直线220x y +−=上.强化训练1.（★★★）对于抛物线2:2C y x =，设点()00,P x y 满足2002y x <，则直线00:l y y x x =+与抛物线C （ ） A.恰有1个交点B.恰有2个交点C.没有交点D.有1个或2个交点【解析】显然直线l 是点P 对应的极线，因为2002y x <，所以点P 在抛物线内部，从而直线l 与抛物线C 没有交点. 【答案】C2.（★★★）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过点()2,2A 的直线与椭圆C 在x 轴上方相切于点B ，则直线BF 的方程为______.【解析】由题意，()1,0F ，以F 为极点，则极线为12x=，即2x =，所以点A 在极线上，根据配极原理，以A 为极点的极线过点F ，所以该极线就是BF ，其方程为2212xy +=，即21x y +=【答案】21x y +=3.（★★★）过点()2,1P 的直线l 与椭圆2214x y +=相交于点A 和B ，且AP PB λ=，点Q 满足AQ QB λ=−，若O 为原点，则OQ 的最小值为________.【解析】由题意，PA QA PBQAλ==所以点Q 是对应极点P 的极线与直线l 的交点，如图，易求得极线l 的方程为214xy +=，即220x y +−=，所以点Q在该极线上，从而min 5OQ ==.【答案】54.（★★★★）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，已知椭圆C的离心率e =，短轴长为2. （1）求椭圆C 的方程； （2）如下图所示，直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，证明：直线MN 过定点，并求出该定点.【解析】（1）由题意，22b =，所以1b =，椭圆C的离心率e =，所以2a =，故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）极点极线看问题：如图，连接AP 、BD 交于点Q ，显然点Q 的极线是直线MN ， 当P 在椭圆上运动的过程中，点Q 会在直线BD 上运动，根据共线极点的极线必然共点不难发现直线MN 是过定点的直线，易求得直线BD 的方程为22x y +=，所以可设()22,Q t t −，那么极线MN 的方程为()2214t xty −+=，整理得：()220x t x y −−−=，所以直线MN 过的定点是()2,1．下面给出规范的作答过程.解：由（1）可得()0,1D ，()2,0B ，()2,0A −，可设直线BP 的方程为2x my =+()0,2m m ≠≠±， 联立22214x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()22440m y my ++=，解得：0y =或244m m −+，所以244p m y m =−+，从而228224p p m x my m −=+=+，故222824,44m m P m m ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，从而直线DP 的斜率为()222224144248282224DP mm m m m k m m m m −−−−−++===−−−+故直线DP 的方程为()2122m y x m +=+−，联立()02122y m y x m =⎧⎪+⎨=+⎪−⎩解得：()222m x m −=+，所以()22,02m N m −⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 直线AD 的方程为121x y +=−，即220x y −+=，联立2202x y x my −+=⎧⎨=+⎩，解得：24242m x m y m +⎧=−⎪⎪−⎨⎪=−⎪−⎩，所以点M 的坐标为244,22m m m +⎛⎫−− ⎪−−⎝⎭，设()2,1G ， 则42,22mm GM m m +⎛⎫=−− ⎪−−⎝⎭，4,12m GN m ⎛⎫=−− ⎪+⎝⎭， 从而22m GM GN m +=−，故G 、M 、N 三点共线， 即直线MN 过定点()2,1G .【反思】求解这道题时，可以先在草稿纸上用极点极线的知识去找到定点()2,1G ，那么在严格求解时，心中就有答案了，可以通过证明GM 与GN 共线，从而得出直线MN 过定点G . 5.（★★★★）如下图所示，椭圆22:143x y E +=的左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，过F 的直线与椭圆E 交于不与A 、B 重合的C 、D 两点，记直线AC 和BD 的斜率分别1k ，2k ，证明：12k k 为定值.【解析】极点极线看问题：由题意，()1,0F −，椭圆E 的极点F 对应的极线为10143x y−⋅⋅+=，即4x =−，如图，AC 与BD 的交点P 应在极线上，所以可设()04,P y −，显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率012PA y k k ==−，直线BD 的斜率026PB yk k ==−， 从而123k k =.下面给出严格求解过程. 解：由题意，()1,0F −，直线CD 不与y 轴垂直，可设其方程为1x my =−，设()11,C x y ，()22,D x y ，联立221431x y x my =+=−⎧⎪⎨⎪⎩消去x 整理得：()2234690m y my +−−=， 易得判别式0∆>， 由韦达定理，122634m y y m +=+，122934y y m =−+， 所以()121232my y y y =−+ 显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率1112y k x =+， 直线BD 的斜率2222y k x =−， 从而()()()()()()121121212112121212122122123933233222333121222y y y y y y x y my k my y y k x y my y my y y y y y y y −+−−−−−−======+++−++−−.6.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上、下顶点分别为A 和B ，左焦点为F ， 原点O 到直线FA的距离为2. （1）求椭圆C 的离心率； （2）设2b =，直线4:l y kx =+与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上.【解析】（1）由题意，原点O 到直线FA的距离OA OF bc d AFa ⋅===， 所以椭圆C的离心率2c e a ==. （2）极点极线看问题：由题意，直线l 与y 轴交于定点()0,4P ，显然点G 在点P 对应的极线上，当2b =时，易求得椭圆C 的方程为22184x y +=，从而该极线的方程为04184x y ⋅+=，即1y =，所以点G 在定直线1y =上．下面给出严格求解过程.解：由题意，()0,2A ，()0,2B −，设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()221216240k x kx +++=，判别式()()2216412240k k ∆=−+⨯>所以2k <或2k >，由韦达定理，12212216122412k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①②直线BM 的方程为1122y y x x ++=，直线AN 的方程为2222y y x x −−=，联立11222222y y x x y y xx +⎧+=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩消去x 可得：()()12212222y x y y y x ++=−−，从而()()()()1212122212112126262222G G y x kx x y kx x x y y x kx x kx x x ++++===−−++③， 接下来给出以下两种计算非对称结构12212162kx x x kx x x ++的方法：法1：由①②知()121232kx x x x =−+， 代入式③得：()()122121221211211233966222331322222x x x x x kx x x kx x x x x x x x −++−++===−+−++−， 从而232G G y y +=−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上. 法2：由①知1221612kx x k =−−+代入式③得：22221221212222224246661212382416222121212k kx x kx x x k k k k k kx x x x x k k k +++++===−+⎛⎫−−+−− ⎪+++⎝⎭从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上.。
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
浙江省绍兴县鲁迅中学
本文源于两道高考压轴题 : 题 1( 2006 年全国Ⅱ卷题 21) 已知抛物线 x 2 = 4 y 的 焦点 为F , A 、 B 是抛物线 上的 两动 点 , B 两 且 AF = KFB ( K> 0 ) . 过 A 、 点分别 作抛 物线 的 切 线 , 设其 交 点为 P. ( 1) 证明 FP # AB 为定值 ; ( 2) 设 v A BP 的面积为 S , 写出 S = f ( K ) 的表达 式 , 并求 S 的最小值 . 题 2( 2005 年江西卷题 22) 设抛物 线 C: y = x 2 的 焦点 为 F, 动点 P 在直线 l: x - y - 2 = 0 上 运动 , 过 P 作 C 的 两 条 切 线 PA 、 PB , 且 与抛物线 C 分别相切于 A 、 B 两点 . ( 1) 求 v AP B 的重心 G 的轨迹方程 . ( 2) 证明 N PFA = N PFB . 这是一类解析几何常见题 , 两题 非常类 似 , 笔者还 发现它们含有相同的高等数学背 景 . 按射影 几何观 点 , 题中点 P 与直线 A B 称为圆锥曲线 相应的极点与极线 , 两者蕴涵了圆锥曲 线的 内在 特征 . 本文 拟以 极点 与极 线的两个命题给出 试题 统一 解法 , 并讨 论该 性质 在中 学数学中的现状及应用 . 1 1. 1 关于极点与极 线 极点与极线的定义与 作图 开. 虽然中学数学中没有提 到极点 与极线 , 但 事实上 , 它的身影随处可见 , 只是没有点破而已 . 下面利 用上 述两 个命题 , 给出 两考题 统一 简解 以 及该命题在教材、 竞赛等方面的应用 . 2 2. 1 中学数学中极点与极线知识的现状与应用 教材内改名换姓 , / 视0 而不/ 见0 双 曲线 程为 :
极点与极线法解高中圆锥曲线
极点与极线背景下的高考试题极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+= 211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简图1图2即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条 对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题图4 R【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=，说明点,P Q 关于 圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y ⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③图5,)m图6x又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得 223ty x t-=④ 解由③④联立方程组得22654244542t x t t tx t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P . (1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4. 【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B 两点. (1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.图8图9设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.。
一道解析几何高考题的解析与探究——以 2020年全国卷Ⅰ理科第 20题为例
解析：设点 P、C、D 的坐标为 P（6，t），C（x1，y1），D（x2，y2），则
t
t
直线 PA 的方程是 y = ( x + 3 )，直线 PB 的方程是 y = ( x 9
3
t
ì
ïy = 9 ( x + 3 ),
ï
消 元 得 ( t 2 + 9 ) x 2 + 6t 2 x + 9t 2 3 )；联 立 í 2
ï + y = 1,
î9
技法点拨
106
2mny + n2 - 9 = 0，设 C（x1，y1），D（x2，y2），则 y 1 + y 2 = y1 y2 =
n2 - 9
m2 + 9
（1）。又直线 AC 的方程为 y =
直线 BD 的方程为 y =
共点 P，所以
9y 1
x1 + 3
=
y2
x2 - 3
后对 C、D 横坐标分两种情况考虑，考查了分类与整合的数学
思想，强调思维的严谨性。
思路 3：先求直线带参数的方程（即共点的直线系方程）。
先引进直线 CD 的方程，当斜率不为零时，设其为 x=my+
n，联立直线 CD 与椭圆 E 的方程，利用韦达定理找到 C、D 坐标
的关系（用参数 m，n 表示），然后写出直线 AC、BD 的方程，利用
功能，以下着重讨论第二问的解法。
二、试题解析
思路 1：从命题者的角度寻找答案。
此题的命题背景是极点和极线的位置关系，即寻找极线
x=6 对应的极点。
解析：由于椭圆及直线 x=6 都是关于 x 轴对称的图形，若
高考极坐标高考题题目及几种常见题型
15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系),(θρ)20(πθ≤≤中，曲线1)sin (cos =+θθρ与1)sin (cos =-θθρ的交点的极坐标为 .(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）若直线{ EMBED Equation.DSMT4 |1223x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线垂直，则常数= .15.(几何证明选讲选做题)如图3，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB=4，，则圆O 的面积等于 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为，（，），则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________15、（几何证明选讲）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2。
AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB=1，则圆O 的半径R = ________14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O 的直径AB=6，C 为圆周上一点，过作圆的切线，过A 作的垂线AD ，垂足为D ， 则∠DAC= ．极坐标高考题的几种常见题型贵州省册亨民族中学(552200) 韦万祥和直角坐标系一样,极坐标系是常用的一种坐标系,极坐标是历年理工类高考必考的内容,随着新课程改革的深入,在2007年4个省市新课标高考试题中有3个省市考查了极坐标.涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用.多以选择题、填空题形式出现,以考查基本概念,基本知识,基本运算为主,一般属于容易题.一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式： 或θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为，．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(I)，，由得．所以．即为⊙O1的直角坐标方程．同理为⊙O2的直角坐标方程．(II)解法一:由解得，即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．解法二: 由,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x．评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法.例2(2003全国)圆锥曲线的准线方程是(A) (B) (C) (D)解: 由去分母后两边同时乘以得:,所以x2=8y ,其准线方程为y=,在极坐标系中方程为,故选C.。
利用高等几何极点与极线关系解答高考数学试题
0 C > e [ - r ，r ] ，得 3r2 - 2r - 1 矣 矣 3r2 + 2r - 1 ， 当r = 1 时 取 最 大 值 为 4,当r = ^■时取最小值 为 4 综 上 应 •g g .元 + 元 . 应 的 取 值 范
评注:本 解 法 将 “数 ”与 “形 ”来 回 穿 插 、相互转 化 、一 波 三 折 、扣人心弦•首先巧妙地运用了极化恒 等 式 将 向 量 的 数 量 积 运 算 转 化 为 求 P 〇2 + 2 PM 2 -
[2]袁 青 .巧 用 极 化 恒 等 式 解 决 两 类 平 面 向 量 数 量 积 问 题 [ ；[ ] . 数学通讯（上半月），2 0 1 6 (7 、8 ) :24 - 2 5 .
利用高等几何极点与极线关系解答高考数学试题
陕 西 安 康 学 院 数 学 与 统 计 学 院 （725000) 罗珊珊
二 阶 曲 线 在 P 点处的切线.
2.
圆锥曲线的极点和极线
定理3[2] 定 点 尸(％，7。）关 于 二 次 曲 线 r :如 2
+ 2ftc ；r + Cy2 +
F = 0 的极线L 的方程为：
L ：Axqx + B (xQy + xyQ) + Cy0y -\-D( x + x0) -\-E ( y -\-
|■的取值范围，然 后 再 运 用 柯 西 不 等 式 及 图 形 特 点
分别求出最小值和最大值.本解法充分体现了数形 结合思想和转化化归思想的魅力.
文[ 1 ] 给出矩形的如下性质 设 〇为 矩 形 C D 所 在 平 面 上 任 意 一 点 ，则恒 有 （M 2 + OC2 = OB2 + 01>2. 解 法 4 : 分 别 取 4 C ， S C 中点M ，7V，由极化恒等式
（完整）极点与极线背景下的高考试题
（完整）极点与极线背景下的高考试题江西省抚州市第一中学344000)但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考.应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识.从几何角度看极点与极线11，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P点引,,,EFGH，连接,EHFGN，连接,EGFH交于M，则直线MN为点P对应的极线.P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线,AB两点，则,PAPB恰为圆锥曲线的两条切线.1当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线P点处的切线；当P在外时，过点P作的两条切线，设其切点分别为,AB，则点P 的极线是直线AB(即切点弦所)；当P在内时，过点P任作一割线交于,AB，设在,AB处的切线交于点Q，则点P的极线是动点.22，设点P关于圆锥曲线的极线为l，过点P任作一割线交于,AB，交l于Q，则PAPBBQ,PQ调和分割线段AB，或称点P与Q关于调和共轭，或称点P(或点Q)Q(或点P).点P关于圆锥曲线的调P的极线.12，设点P关于圆锥曲线的调和共轭Q，则有211PAPB②；反之，若有②成立，P与Q关于调和共轭..事实上，由①有11PAPB.23，设点P关于有心圆锥曲线(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ连线经过圆锥曲线2OROPOQ，反之若有此式成立，则点P与Q关于调和共轭.PQ与的另一交点为R，则PROPOROPORRQOROQOROQ，化简2OROPOQ.反之由此式可推出PRRQ，即点P与Q关于调和共轭.34，,AB圆锥曲线的一条 P E F G H M A N B 图1 P Q R3 RR O P Q A 图2 B ll上的两点(不在上)，若,AB关于调B任作的一条割线，交于,PQPABQAB.关于直线l对称，故在上存在PQ,PQ.若P与Q重合，则Q与P,PQ关于l对称，有PABQAB；P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于,AB调和共轭，故,AB为上完全四点形PQQPQ在PA上，故,APAQ关于直线lPABQAB.3配极原则)点P关于圆锥曲线p经过点Q点Q关于的极线q经过点P；直线p关于的极点P在直线q上直线q关于的极Q在直线p上..1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.从代数角度看极点与极线义2知圆锥曲线22:220AxCyDxEyF，则称点0(,)Pxy和直线000:()()0lAxxCyyDxxEyyF是圆锥曲线的一对极点和极线.xx替换2x，以0xx替换x，以0yy替换2y，以02yy替换y即可得0(,)Pxy的极线方程.对于椭圆2221xyb，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyab；对于双曲线2221xyb，与点00(,)Pxy对应的极线方程为00221xxyyb；对于抛物线22ypx，与点0(,)Pxy对应的极线方程为00()yypxx.如果圆锥曲线是椭圆2221xyb，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲2221xyb，当00(,)Pxy为其焦点(,0)Fc时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线ypx0(,)Pxy为其焦点(,0)pF时，极线恰为抛物线的准线.从极点与极线角度看圆锥曲线试题1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆1922yx的左右顶点为,AB，焦点为F．设过点(,)Ttm的直线,TATB与此椭圆分别交于点122(,),(,)MxyNxy，其中0m，200yy，．(1)设动点P满足422PBPF，求点P的轨迹；(2)设212xx，，求点T的坐标；(3)设9t，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．.(3)，当9t时，T点坐标为(9,)m，MN，设直线AB与MN的交点为K，根据T对应的极线经过K，B A K MP l A 图4 PR B Q QT对应的极线方程为915xmy，即myx，此直线恒过x轴上的定点K(1,0)，MN也恒过定点K(1,0).2】(2008安徽卷理22)设椭圆222:1(0)xyCabb过点(2,1)M，且左焦点为1(2,0)F.求椭圆C的方程；当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C交于两个不同的点,AB时，在线段AB上取点Q，满足QBAQPBuuuruuuruuuruuurQ总在某定直线上.(1)易求得答案2212xy.由条件可有PAPBBQuuuruuuruuuruuur，说明点,PQ关于C调和共轭.根据定理2，点Q的轨迹就是点4112xy，化简得220xy.Q总在定直线220xy上.3】(1995全国卷理26)已知椭圆22:116xyC，直线:18xyl，P是l上一点，射线OP交椭圆R，又点Q在OP上且满足2OQOPOR，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.,并说明轨迹.2OROPOQ可知点,PQ关于圆锥曲线C调和共轭，而点Q可看作是点P的极OP的交点.(12,88)Ptt，则与P对应的极线方程为(88)16txty，化简得)2txtyOP的方程为88tyxt，化简得2tyxt④65424442txtttxtt，消去t得222346xyxy，可化为22(1)(1)15523xy(,xy 不同时为0)，故点Q(1,1)为中心，长短轴分别为10和153，且长轴平行于x轴的椭圆，但需去掉坐标原点.4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线24xyF，,AB是抛物线上的两动点，且AFFBuuuruuur0),AB两点分别作抛物线的切线，并设其交点P.证明FPABuuuruuur为定值； A BO x y8 F B Q x y O P A . 图6 R Q x y O P . 图7设ABP的面积为S，写出()Sf的表达式，S的最小值.(1)显然，点P的极线为AB，故可设点(,1)Px，再设1122(,),(,)AxyBxy，,,FAB三点对应的极线方程分别为1y，112()xxyy，22()xxyy，由于,,ABF三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)Px，将1y代入后面两个极线方程101022(1)2(1)xxyxxy，两式相减得12012()2()xxxyy.2121(,2),(,)FPxABxxyyuuuruuur，故02121()2()0FPABxxxyyuuuruuur.设AB的方程为1ykx，与抛物线的极线方程02()xxyy对比可知直线AB对应的极点为,1)Pk把1ykx代入24xy并由弦长公式得24(1)ABk，所以21)4(1)ABPSABFPkk.0k时，S取最小值4.5】(2005江西卷理22)设抛物线2:CyxF，动点P在直线:20lxy上运动，P作抛物线的两条切线,PAPB，且与抛物线分别,AB两点.求APB的重心G的轨迹方程；证明PFAPFB.(1)设点01122(,),(,),(,)PxyAxyBxy，yyxx对比可知直线:20lxy对应的极点为1(,2)2，P为直线l上的动点，则点P对应的极线AB1(,2).1:2()ABykx，可化为2222kykx，故直线AB对应的极点为(,2)22kkP，将直线AB的220kxkx，由此得2121212,(1)44xxkyykxxkk，APBG的轨迹方程为2222233224222233kkxxkkxkkkyykkky，消去k即得12)yxx.设22122(,),(,)AxxBxx，由(1)知1212,2kxxkxx，又1(0,)4F，由(1)知(,2)22kkP，即22(,)xxPxx，所以2111(,)4FAxxuuur，12121(,)24xxFPxxuuur，2221(,)4FBxxuuur.221211211222111111()()()()244444cos11()()4xxxxxxxxxxxFPFAPFAFPFAFPFPxFPxxuuuruuuruuuruuuruuuru uuruuur.同理A B P O x y 图9 F l21xxFPFBPFBFBFPuuuruuuruuuruuuruuur.PFAPFB.1】周兴和.高等几何.科学出版社，2003.92】李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J］，2012(4)下半月。
极点极线与调和点列,调和线束(高观点下的圆锥曲线拓展)(解析版)
极点极线与调和点列，调和线束专题(高观点拓展)近3年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷卷，第22题,调和线束平行截取中点证明中点问定点2022年新高考I 卷，第21题调和线束平行截取中点已知中点与平行求定点2020年全国I 卷，第22题自极三角形问题证明直线过定点题型解读【题型1】极点极线【题型2】调和点列模型【题型3】自极三点形与a 2模型【题型4】斜率成等差模型【题型5】调和线束，平行截中点高考真题再现1(2023年全国乙卷)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】（1）y 29+x 24=1（2）0,3【高观点简析】记B -2,3 ，点B 的极线y 3-x2=1过点A ，设极线与PQ 交于点D ，则B ，P ，D ，Q 为调和点列，AB ，AP ，AD ，AQ 为调和线束，而AB 平行y 轴，故MN 的中点为y 轴于极线的交点【详解】(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1.(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3 x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 .2(2020全国高考Ⅰ卷20)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；x 29+y 2=1(2)证明：直线CD 过定点.32,0 【高观点】延长CB ,AD 交于点Q ，AB ∩CD =E ，则△EPG 为自极三角形，故x =6为E 点的极线，则E 为32,0【详解】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ，B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB=a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)[方法一]：设而求点法证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y9x +3，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9.同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1当y 20≠3时，∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32 所以直线CD 过定点32,0 ．当y 20=3时，直线CD ：x =32，直线过点32,0 ．故直线CD 过定点32,0 ．[方法二]【最优解】：数形结合二次曲线系方程设P (6,t )，则直线PA 的方程为y =t9(x +3)，即tx -9y +3t =0．同理，可求直线PB 的方程为tx -3y -3t =0．则经过直线PA 和直线PB 的方程可写为(tx -9y +3t )(tx -3y -3t )=0．可化为t 2x 2-9 +27y 2-12txy +18ty =0．④易知A ，B ，C ，D 四个点满足上述方程，同时A ，B ，C ，D 又在椭圆上，则有x 2-9=-9y 2，代入④式可得27-9t 2y 2-12txy +18ty =0．故y 27-9t 2 y -12tx +18t =0，可得y =0或27-9t 2 y -12tx +18t =0．其中y =0表示直线AB ，则27-9t 2 y -12tx +18t =0表示直线CD ．令y =0，得x =32，即直线CD 恒过点32,0 ．3(2022·全国乙卷高考真题)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1 两点．(1)求E 的方程；y 24+x 23=1(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．答案：(0,-2)【高观点简析】AB 为P 所对应的极线，故P ，M ，C ，N 四点成调和点列，故AP ，AM ，AC ，AN 四条线成调和线束，因为直线HM 平行AP ，且T 为HM 中点，由调和线束平行性质(平行于一组调和线束中的其中一条直线交另外三条直线的三个交点，其中一个点为另外两个点的中点)，故H 点必然在直线AN 上，故直线HN 过定(0,-2)【详解】(I )解：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．(II )证法一：定点为0,-2 ，证明如下：点P 1,-2 对应的极线为1⋅x 3+-2 y 4=1，即y =23x -2，即为直线AB ，则AP ,AB ;AM ,AN 为调和线束，过M 作MH ⎳AP ，交AB ,AN 于T ,H ，由调和性质可知T 为MH 中点，故直线HN 过定点0,-2 ．证法二：A 0,-2 ,B 32,-1 ，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263．求得HN方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y 12+3,y 1 ,H 3y 1+6-x 1,y 1 ，可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0，显然成立．综上，可得直线HN 过定点0,-2 ．高考模拟·新题速递【题型1】极点极线二次曲线的极点极线(1).二次曲线Ax 2+By 2+Cxy +Dx +Ey +F =0极点P (x 0,y 0)对应的极线为Ax 0x +By 0y +Cx 0y +y 0x 2+D x 0+x2+E y 0+y 2+F =0x 2→x 0x ,y 2→y 0y ,xy →x 0y +y 0x 2,x →x 0+x2,y →y 0+y 2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1①极点P (x 0,y 0)在椭圆外，PA ,PB 为椭圆的切线，切点为A ,B 则极线为切点弦AB :x 0xa 2+y 0yb 2=1；②极点P (x 0,y 0)在椭圆上，过点P 作椭圆的切线l ，则极线为切线l :x 0x a 2+y 0y b 2=1；③极点P (x 0,y 0)在椭圆内，过点P 作椭圆的弦AB ，分别过A ,B 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x 0xa 2+y 0yb 2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.1过点（3，1）作圆(x -1)2+y 2=1的两条切线，切点分别为A 、B 则直线AB 的方程为()A.2x +y −3=0B.2x −y −3=0C.4x −y −3=0D.4x +y −3=0解析：直线AB 是点（3，1）对应的极线，则方程为3-1 x -1 +1×y =1，即2x +y -3=0．故选A ．2已知点P 为2x +y =4上一动点．过点P 作椭圆x 24+y 23=1的两条切线，切点分别A 、B ，当点P 运动时，直线AB 过定点，该定点的坐标是．解析：设点P 的坐标是（m ,−2m +4），则切点弦AB 的方程为mx4+(−2m +4)y 3=1，化简得(3x −8y )m =12−16y ，令3x −8y =12−16y =0，可得x =2,y =34，故直线AB 过定点2，34．3(2024·广东湛江·一模)已知点P 为直线x -y -3=0上的动点，过P 作圆O :x 2+y 2=3的两条切线，切点分别为A ，B ，若点M 为圆E :x +2 2+y -3 2=4上的动点，则点M 到直线AB 的距离的最大值为．【答案】【分析】根据意义可设P x 0,y 0 ，求出直线AB 的方程为x 0x +y -3y -3=0，且恒过定点Q 1,-1 ，所以点M 到直线AB 的距离的最大值为QE +R =7.【详解】设P x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则满足x 0-y 0-3=0，x 12+y 12=3，x 22+y 22=3；易知圆O :x 2+y 2=3的圆心为O 0,0 ，半径r =3；圆E :x +2 2+y -3 2=4的圆心为E -2,3 ，半径R =2，如下图所示：易知OA ⏊PA ,OB ⏊PB ，所以OA ⋅PA=0，即x 1x 1-x 0 +y 1y 1-y 0 =0，整理可得x 1x 0+y 1y 0-3=0；同理可得x 2x 0+y 2y 0-3=0，即A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是方程x 0x +y 0y -3=0的两组解，可得直线AB 的方程为x 0x +y 0y -3=0，联立x 0-y 0-3=0，即x 0x +y -3y -3=0；令x +y =0-3y -3=0，可得x =1y =-1，即x =1,y =-1时等式x 0x +y -3y -3=0与x 0无关，所以直线AB 恒过定点Q 1,-1 ，可得QE =-2-12+3+1 2=5；又Q 在圆O 内，当AB ⏊QE ，且点M 为QE 的延长线与圆E 的交点时，点M 到直线AB 的距离最大；最大值为QE +R =5+2=74(2024·湖南衡阳·二模)(多选)已知圆C :x 2+y 2=4,P 是直线l :x +y -6=0上一动点，过点P 作直线PA ,PB 分别与圆C 相切于点A ,B ，则()A.圆C 上恰有一个点到l 的距离为22B.直线AB 恒过点23,23C.AB 的最小值是473D.四边形ACBP 面积的最小值为214【答案】BCD【分析】根据直线与圆的位置关系，求出圆上点到直线距离的最值可判断A 错误；求出直线AB 的方程可得其恒过点23,23 ，利用弦长公式可求得AB 的最小值是473，可得BC 正确；进而求得四边形ACBP 面积的最小值为214，即D 正确.【详解】易知圆心C 0,0 ，半径r =2，如下图所示：对于A ，圆心0,0 到直线l :x +y -6=0的距离为d =62=32，可得圆C 上的点到直线l 距离的最小值为32-2<22,圆C 上的点到直线l 距离的最大值为32+2>22，所以圆C 上恰有两个点到l 的距离为22，即A 错误；对于B ，设P t ,6-t ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，可得x 21+y 21=4,x 22+y 22=4；易知PA =x 1-t ,y 1-6+t ,CA =x 1,y 1 ，由PA ⋅CA =x 1x 1-t +y 1y 1-6+t =0，整理可得tx 1+6-t y 1=4，同理可得tx 2+6-t y 2=4，即可知A ,B 两点在直线tx +6-t y =4上，所以直线AB 的方程为tx +6-t y =4，即t x -y +6y -4=0，令x -y =06y -4=0 ，解得x =23y =23，所以直线AB 恒过定点23,23，即B 正确；对于C ，由直线AB 恒过定点23,23，当点23,23与圆心C 0,0的连线垂直于AB 时，AB 的值最小，点23,23 与圆心C 0,0 之间的距离为d 1=223，所以AB min =2r 2-d 21=473，故C 正确；对于D ，四边形ACBP 的面积为PA CA =2PA ，根据切线长公式可知PA =PC2-r 2=PC2-4，当PC 最小值，PA 最小，，所以，故四边形的面积为214，即D 正确；故选：BCD【题型2】调和点列模型一、调和点列的充要条件如图，若A ,C ,B ,D 四点构成调和点列，则有(一般前2个出现较多)AC BC =AD BD ⇔2AB =1AD +1AC⇔OC 2=OB ⋅OA ⇔AC ⋅AD =AB ⋅AO ⇔AB ⋅OD =AC ⋅BD 二、调和点列与极点极线的联系如图，过极点P 作任意直线，与椭圆交于M ,N ，与极线交点M 则点M ,D ,N ,P 成调和点列，若点P 的极线通过另一点D ，则D 的极线也通过P ．一般称P 、D 互为共轭点．1(2024江南十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x 轴的交点为1,0 ，其中一条渐近线的倾斜角为π3.(1)求C 的标准方程；x 2-y23=1(2)过点T 2,0 作直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，在线段AB 上取一点E 满足AE ⋅TB =EB ⋅AT ，证明：点E 在一条定直线上.【答案】x =12【高观点-简析】显然E 在T 的极线上，故E 点轨迹为T 的极线x =12【详解】(1)根据题意，设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1，由题知a =1，b a =tan π3=3，可得b =3；所以双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)易知T 2,0 为双曲线的右焦点，如下图所示：由题知直线l 斜率存在，根据对称性，不妨设斜率为k 0≤k ≤3 ，故直线的方程为y =k x -2 ，代入双曲线方程得3-k 2 x 2+4k 2x -4k 2+3 =0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由韦达定理有x 1+x 2=-4k 23-k 2，x 1x 2=-4k 2+33-k 2，且x 1≤-1，1≤x 2<2，设E x 0,y 0 ，点E 在线段AB 上，所以x 1<x 0<x 2由AE ⋅TB =EB ⋅AT 可得1+k 2x 0-x 1 ⋅1+k 22-x 2 =1+k 2x 2-x 0 ⋅1+k 22-x 1 化简得4x 0-2+x 0 x 1+x 2 +2x 1x 2=0，代入x 1+x 2和x 1x 2并化简可得x 0=12，即存在点E 满足条件，并且在定直线x =12上.2(安徽高考)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1)，且左焦点为F 1(-2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP |∙|QB |=|AQ |∙|PB |，证明：点Q 总在某定直线上．解析：(1)由题意得c 2=21a 2+1b 2=1c 2=a 2−b 2，解得a 2=4,b 2=2，所求椭圆方程为x 24+y 22=1．(2)解法：已知PB PA =QBQA，说明点P ,Q 关于椭圆调和共轭，根据定理3，点Q 在点P 对应的极线上，此极线方程为4⋅x4+1⋅y 2=1，化简得2x +y −2=0．故点Q 总在直线2x +y −2=0．3已知F 1、F 2分别为椭圆C 1:y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2:x 2=4y 的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|=53.(1)求椭圆C 1的方程;y 24+x 23=1(2)已知点P (1,3)和圆O :x 2+y 2=b 2，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A ,B ，在线段AB 上取一点Q ，满足:AP =-λPB ，AQ =λQB，(λ≠0且λ≠±1).求证:点Q 总在某定直线上. 答案：x +3y =3【高观点-简析】由题可知AP =λBP ，即APBP =AQ BQ，故点Q 在P 点的极线上【详解】(1)设M x 0，y 0 ，因为点M 在抛物线C 2上，且|MF 1|=53，所以x 02=4y 0y 0+1=53 ，解得x 0=-263y 0=23，又点M 在抛物线C 1上，所以232a2+-2632b2=1，且c =1，即b 2=a 2-1，解得a 2=4,b 2=3，所以椭圆C 1的方程y 24+x 23=1；(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x ,y ，因为AP =-λPB，所以1-x 1，3-y 1 =-λx 2-1,y 2-3 ，即有x 1-λx 2=1-λ，1 y 1-λy 2=31-λ ，2，又AQ =λQB ，所以x -x 1，y -y 1 =λx 2-x ,y 2-y ，即有x 1+λx 2=x 1+λ ，3 y 1+λy 2=y 1+λ ，4，所以1 ×3 +2 ×4 得：x 12+y 12-λ2x 22+y 22 =x +3y 1-λ2，又点A 、B 在圆x 2+y 2=3上，所以x 12+y 12=3，x 22+y 22=3，又λ≠±1，所以x +3y =3，故点Q 总在直线x +3y =3上．【题型3】自极三点形与a 2模型如图, 设P 是不在圆雉曲线上的一点, 过P 点引两条割线依次交二次曲线于E ,F ,G ,H 四点, 连接对角线EH ,FG 交于N , 连接对边EG ,FH 交于M , 则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆雉曲线上的点, 则过P 点的切线即为极线.同理, PM 为点N 对应的极线, PN 为点M 所对应的极线. 因而将△MNP 称为自极三点形. 设直线MN 交圆锥曲线于点A ,B 两点, 则PA , PB 恰为圆锥曲线的两条切线.从直线x =t 上任意一点P 向椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右顶点A 1,A 2引两条割线PA 1,PA 2与椭圆交于M ,N 两点，则直线MN 恒过定点a 2t,0 ．2024杭州二模1已知A ,B 是椭圆E :x 24+y 2=1的左，右顶点，点M m ,0 m >0 与椭圆上的点的距离的最小值为1．(1)求点M 的坐标．(2)过点M 作直线l 交椭圆E 于C ,D 两点(与A ,B 不重合)，连接AC ，BD 交于点G ．(ⅰ)证明：点G 在定直线上【答案】（1）3,0 （2）x =43【高观点-简析】如图，椭圆内接四边形ABCD ，连接2组对边与对角线交点，得△EGM 为自极三角形，故EG 在M 点的极线上，则G 点轨迹为x =43【详解】解(1)设P x 0,y 0 是椭圆上一点，则x 02+4y 02=4．因为PM =m -x 02+y 20=34x 0-43m 2-13m 2+1,-2≤x 0≤2 ．①若0<m ≤32,PM min =1-13m 2=1，解得m =0(舍去)．②若m >32,PM min =34⋅4-4m +m 2+1=1，解得m =1(舍去)或m =3．所以M 点的坐标位3,0 ．(2)(ⅰ)设直线l :x =ty +3,C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ．由x =ty +3x 24+y 2=1，得t 2+4 y 2+6ty +5=0．所以y 1+y 2=-6t t 2+4,y 1y 2=5t 2+4．所以y 1+y 2=-65ty 1y 2①由Δ=16t 2-80>0，得t >5或t <-5．易知直线AC 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ②直线BD 的方程为y =y 2x 2-2x +2 ③联立②③，消去y ，得x +2x -2=x 1+2 y 2x 2-2 y 1=ty 1+5 y 2ty 2+1 y 1=ty 1y 2+5y 2ty 1y 2+y 1④联立①④，消去ty 1y 2，则x +2x -2=-56y 1+y 2 +5y 2-56y 1+y 2 +y 1=-5．解得x =43，即点G 在直线x =43上．2已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F 1(-3,0)，且过点P 32,134 .(1)求椭圆C 的标准方程；x 24+y 2=1(2)已知A 1,A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线x =1上任意一点，直线A 1Q ,A 2Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ,N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】(4,0)【高观点解析】椭圆内接四边形有自极三角形模型，故MN 过x 轴上一定点，该定点的极线为x =1，故定点为(4,0)【详解】【详解】(1)椭圆的一个焦点F 1(-3,0)，则另一个焦点为F 2(3,0)，由椭圆的定义知:PF 1+PF 2=2a ，所以32--3 2+1342+32-32+1342=2a ，解得a=2.又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)设Q (1,t ),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则直线A 1Q :y =t 3(x +2)，与x 24+y 2=1联立可得4t 2+9 x 2+16t 2x +16t 2-36=0，所以x A 1+x M =-16t 24t 2+9，所以x M =-16t 24t 2+9-x A 1=-8t 2+184t 2+9，所以y M =t 3-8t 2+184t 2+9+2 =12t 4t 2+9，所以M -8t 2+184t 2+9,12t4t 2+9，又直线A 2Q :y =-t (x -2)，与x 24+y 2=1联立可得4t 2+1 x 2-16t 2x +16t 2-4=0，所以x A 2+x N =16t 24t 2+1，所以x N =16t 24t 2+1-x A 2=8t 2-24t 2+1，所以y N =-t 8t 2-24t 2+1-2 =4t 4t 2+1，所以N 8t 2-24t 2+1,4t4t 2+1所以直线MN 的斜率为12t 4t 2+9-4t4t 2+1-8t 2+184t 2+9-8t 2-24t 2+1=-2t 4t 2+3所以直线MN :y -12t 4t 2+9=-2t 4t 2+3x --8t 2+184t 2+9=-2t4t 2+3(x -4)所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为(4,0).深圳二模1已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点M 1,32 ，且焦距F 1F 2 =23，线段AB ,CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；x 24+y 2=1(2)若N (s ,t )是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线PQ 经过定点．①s =1,t ≠±32，直线NA ,NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ；4,0②t =2,s ∈R ，直线NC ,ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ．0,12 【高观点-简析】(2)如图，椭圆内接四边形ABQP ，连接2组对边，由自极三角形模型可知，N 点轨迹为M 点的极线，故M 4,0(3)如图，N 点的轨迹为M 点的极线方程y =2，故M 点坐标为0,12【详解】(1)由已知，c =3，点M 1,32 在椭圆上，所以1a 2+34b2=1，又因为a 2-b 2=c 2，所以a 2=4,b 2=1，所以椭圆的方程为：a 2=4,b 2=1.(2)选①，则N (1,t ),A -2,0 ,B 2,0 ，设P x P ,y P ,Q x Q ,y Q ，k NA =t 1+2=t 3,k NB =t 1-2=-t ,所以l NA :y =t3x +2 ,l NB :y =-t x -2 ,y =t 3x +2x 24+y 2=1消去y 得：9+4t 2 x 2+16t 2x +16t 2-36=0，Δ=256t 4-49+4t 2 16t 2-36 =362>0所以-2x P =16t 2-369+4t 2，所以x P =-8t 2+189+4t 2，则y P =12t9+4t 2，所以P -8t 2+189+4t 2,12t 9+4t 2，y =-t x -2x 24+y 2=1，消去y 得：1+4t 2 x 2-16t 2x +16t 2-4=0，Δ=256t 4-41+4t 2 16t 2-4 =16>0，所以2xQ =16t 2-41+4t 2，所以x Q =8t 2-21+4t 2，则y Q=4t 1+4t 2，所以Q 8t 2-21+4t 2,4t 1+4t 2，所以k PQ =12t 9+4t 2-4t1+4t 2-8t 2+189+4t 2-8t 2-21+4t2=32t 3-24t 36-64t 4=-2t 3+4t 2，所以直线PQ 的方程为：y -4t 1+4t 2=-2t 3+4t 2x -8t 2-21+4t 2，所以16y 4+8x -32 t 3+16yt 2+2x -8 t +3y =0，所以y =0,x =4，故直线PQ 恒过定点4,0 .选②，则N (s ,2),C 0,1 ,D 0,-1 ，设P x P ,y P ,Q x Q ,y Q ，k NC =2-1s =1s ,k ND =2+1s =3s ,所以l NC :y =1s x +1,l ND :y =3s x -1,y =1s x +1x24+y 2=1消去y 得：4+s 2 y 2+2s 2y +s 2-4=0，Δ=4s 4-44+s 2 s 2-4 =64>0所以y P =s 2-4s 2+4，所以x P =-8s s 2+4，所以P -8s s 2+4,s 2-4s 2+4同理：y Q =36-s 2s 2+36，所以x Q =24s s 2+36，所以Q 24s s 2+36,36-s 2s 2+36k PQ =36-s 2s 2+36-s 2-4s 2+424s s 2+36--8ss 2+4=s 2+12 ⋅12-s 216s s 2+12=12-s 216s所以直线PQ 的方程为：y -s 2-4s 2+4=12-s 216s x +8ss 2+4令x =0，则y =12-s 2+2s 2-82s 2+4 =s 2+42s 2+4=12故直线PQ 恒过定点0,12.2023广州白云区高三统考1已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F 2,0 ，直线y =x -1与其相交于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为-12．(1)求双曲线的方程；(2)设A 1，A 2为双曲线实轴的两个端点，若过F 的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线A 1M 与直线A 2N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【高观点简析】由自极三角形模型可知，Q 点在点F 的极线上运动，故Q 点轨迹为x =a 2c =12【答案】(1)x 2-y 23=1；(2)交点Q 在定直线x =12上.【详解】(1)设直线l 的方程为y =x +a ，联立y =x +ax 2a 2-y2b2=1，得y =2ab 2b 2-a 2，又e =ca=2，c 2=a 2+b 2，代入上式得y =3a ，即y B =3a ，∴S △A 1BF =12a +c ⋅3a =92，解得a =1，∴b =3，c =2，∴双曲线的方程为x 2-y 23=1．(2)当直线l 点的斜率不存在时，M 2,3 ，N 2,-3 ，直线A 1M 的方程为y =x +1，直线A 2N 的方程为y =-3x +3，联立直线A 1M 与直线A 2N 的方程可得的Q 12,32，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k x -2 ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立y =k x -2x 2-y 23=1得3-k 2 x 2+4k 2x -4k 2-3=0，∴x 1+x 2=4k 2k 2-3，x 1x 2=4k 2+3k 2-3，∴直线A 1M 的方程为y =y 1x 1+1x +1 ，直线A 2N 的方程为y =y 2x 2-1x -1 ，联立直线A 1M 与直线A 2N 的方程可得：x +1x -1=y 2x 1+1 y 1x 2-1 ，两边平方得x +1x -1 2=y 22x1+1 2y 21x 2-1 2，又M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 满足x 2-y 23=1，∴y 22x 1+1 2y 21x 2-1 2=3x 22-1 x 1+1 23x 21-1 x 2-1 2=x 2+1 x 1+1x 1-1 x 2-1 =x 1x 2+x 1+x 2 +1x 1x 2-x 1+x 2 +1=4k 2+3k 2-3+4k 2k 2-3+14k 2+3k 2-3-4k 2k 2-3+1=4k 2+3+4k 2+k 2-34k 2+3-4k 2+k 2-3=9，∴x +1x -12=9，∴x =12，或x =2，(舍去)综上，Q 在定直线上，且定直线方程为x =12．2(2010江苏18)在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x 29+y 25=1的左右顶点为A ,B ，右顶点为F ，设过点T (t ,m )的直线TA ,TB 与椭圆分别交于点M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，其中m >0,y 1>0,y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2-PB 2=4, 求点P 的轨迹；(2)设x 1=2,x 2=13，求点T 的坐标；(3)设t =9,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点.(其坐标与m 无关)解析：方法一(高考标准答案1)：直线AT :y =m 12(x +3)，直线BT :y =m6(x -3)，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，联立AT 与椭圆，则y 1=m 12(x 1+3)x 219+y 215=1得x 1=240-3m 280+m2y 1=40m 80+m 2，即M 240-3m 280+m 2,40m 80+m 2 ，同理N 3m 2-6020+m 2,-20m20+m 2★处理一(特殊+验证)：当x 1=x 2(MN 垂直x 轴)，解得m =210，MN 方程为x =1，过定点D (1,0)；当x 1≠x 2，k MD =40m80+m 2240-3m 280+m 2-1=10m 40-m 2,k ND =-20m20+m 23m 2-6020+m2-1=10m 40-m 2，及M ,D ,N 三点共线，即M ,N 过定点D (1,0)处理二(硬解直线方程)：由★得MN 方程为：x -240-3m 280+m 2y -40m 80+m 2=240-3m 280+m 2-3m 2-6020+m 240m 80+m 2--20m 20+m2 ，令y =0，解得x =1，即M ,N 过定点(1,0)方法二(多元未知数整体处理此法适用于过椭圆两顶点问题)：直线AT :y =m 12(x +3)，直线BT :y =m6(x -3)，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，带入直线AT ,BT 消去m 得y 1x 1+3×2=y 2x 2-3①由椭圆x 29+y 25=1可得：x 2-9=-95y 2，即yx +3=-95⋅x -3yy x -3=-95⋅x +3y，带入①得-95⋅x 1-3y1×2=-95⋅x 2+3y 2，即x 1-3y 1×2=x 2+3y 2②，①可变形(取倒)为x 1+3y 1=x 2-3y 2×2③(②+③)/3得：x 1-1y 1=x 2-1y 2(对比直线两点式或与(1，0)斜率)，即M ,N 过定点(1,0)方法三(极点极线)：如图，点T 的轨迹方程为x =9，即1×x9+0×y 5=1，又AM ,BN 交点在x =9上，由此可知，D (1,0)为极点, x =9为对应的极线，即AB ,MN 交点为D (1,0)，即M ,N 过定点D (1,0)方法四(伸缩(仿射)变换+调和点列)：补充知识.(1)放射变换为另一专题(2)如图，在ΔABC 中，三条高交于点F ，高的垂足DE 交AF 于G ，则A ,G ,F ,H 成调和点列，即AGGF=AHFH本题证明：如图，可将椭圆x 29+y 25=1伸缩变换为x 2+y 2=9，因为∠AMB =∠ANB =90°，则B 为ΔATF 高的交点，由上述性质运用知A ,D ,B ,E 成调和点列，即AD DB =AE BE，设D (a ,0)，则a +33-a =126，解得a =1，即M ,N过定点D (1,0)方法五(二次曲线系)：补充：二次曲线系性质：若三个二次曲线系f 1(x ,y ),f 2(x ,y ),f 3(x ,y )过4个相同的点，则一定存在两实数λ,μ，使得λf 1(x ,y )+μf 2(x ,y )=f 3(x ,y ).(可根据六个单项式系数关系求解问题)本题证明：如图，本题过A ,M ,B ,N 四点的二次曲线有抛物线x 29+y 25=1；直线AM :12y -mx -3m =0和BN :6y -mx +3m =0；直线AB :y =0和直线MN :ax +by +c =0所以λy (ax +by +c )+μ(12y -mx -3m )(6y -mx +3m )=x 29+y 25-1，观察y 与xy 的系数有λc +18mμ=0λa -18mμ=0 ，则c =-a ，所以MN :by =a (1-x )，则M ,N 过定点D (1,0)点评：2010年江苏高考题被公认为史上最难高考之一，又一次把葛军老师推向风口浪尖，此题官方解答为常规解法，看似简洁，其实其中计算量很大，据说当年没有考生在考场上将此题拿到满分，难度可想而知，但通过高观点(仿射变换/调和点列/二次曲线系/极点极线)分析，我们会发现原来如此“简单”(直接是结论的考察)，所以在平时教学中渗透高观点下的解题思路十分必要，特别是对尖子生的培养。
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景
与解法
圆锥曲线是一类极具表现力的几何图像，其关键特征是“极点”与“极线”。
圆锥曲线的极点是一个具有特殊性质的点，它具有着自身的重要性，它在曲线几何学中叫做极点，也可以说是曲线的局部极大或者极小点。
而极线则是极点临近的曲线，它是曲线的重要结构元素，其形状由曲线的参数决定。
从曲线几何的角度看，极点与极线有着十分重要的作用，它们能够反映出曲线的特性，以及各种性质的关系。
高考中的两道曲线几何试题“点M在曲线C上，N是C的极点，则MN 恒过极线”以及“特别曲线ABCD的极点P，极线与直线AB,CD交于点Q，Q和极点P所构成的角度是”，两题都是可以在曲线几何学的基础上解答的。
从第一道试题来看，可以看出曲线C有极点N，此时MN构成的是极线，而极线就是曲线C的极点N临近的曲线。
第二道试题可以看出，曲线ABCD有极点P，其临近的极线与直线AB，CD交于点Q，这就可以得出极点P所构成的角度。
总之，极点与极线是曲线几何学中非常重要的内容，在解答高考中的曲线几何试题时，综合考虑极点与极线，可以更加准确地解答试题，从而快速掌握曲线几何的基本知识，从而获得高分。
圆锥曲线的极点与极线——2020高考北京卷解析试题背景探究
圆锥曲线的极点与极线——2020高考北京卷解析试题背景探究圆锥曲线的极点与极线问题是解析几何中的一个重要内容，它在高考数学试题中的应用较为广泛。
2020年北京高考卷中的相关题目考查了这一知识点，其背景可以从以下几个方面进行探究：
1. 理论背景：圆锥曲线的极点与极线理论是高等数学中的一个经典内容，它涉及到定值、定点以及三点共线等问题，这些都是解析几何中的基础性质。
2. 教育意义：在高中数学教学中，圆锥曲线的极点与极线不仅是解析几何的重要内容，也是培养学生逻辑思维和空间想象能力的重要工具。
通过对这一问题的研究，学生可以加深对圆锥曲线性质的理解，提高解决复杂几何问题的能力。
3. 考试应用：在高考数学试题中，圆锥曲线的极点与极线问题常被用来设计具有一定难度的题目，考查学生的综合运用知识解决问题的能力。
这类题目往往需要学生具备较强的几何直觉和解题技巧。
4. 解题方法：解决圆锥曲线的极点与极线问题，通常需要运用坐标法、向量法等解析几何的方法，有时还需要结合代数变换技巧。
这些方法的综合运用能够有效地解决相关问题。
5. 教学研究：教师和教育研究者通过对圆锥曲线的极点与极线问题的深入研究，可以探索更多有效的教学方法和解题策略，以帮助学生更好地掌握这一知识点。
综上所述，圆锥曲线的极点与极线问题在高考数学试题中的背景是多方面的，不仅涉及理论知识的深入探讨，也包括教学方法和解题技巧的研究与应用。
对于准备高考的学生来说，掌握这一知识点是非常必要的。
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极点与极线背景下的高考试题This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020极点与极线背景下的高考试题王文彬(江西省抚州市第一中学 344000)极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线 定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 211PQ PA PB⇒=+. 特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.图1 图2证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP OR RQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简 即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ '的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x+替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b +=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+.(4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为图3R 图4 R双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2pF 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）． 分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ， 连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ，又点T 对应的极线方程为9195x m y ⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)，从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=，说明点,P Q 关于 圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x yl +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.图5图6设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③又直线OP 的方程为8812t y x t-=，化简得 223t y x t-= ④解由③④联立方程组得22654244542t x t t t x t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线2x =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>，过,A B为P . (1)证明FP AB ⋅为定值； (2)设ABP ∆的面积为S，写出()S f λ=并求S 的最小值. 分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=.(2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB 对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4.【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动， 过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别 相切于,A B 两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠. 图8图9x 图7分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.参考文献【1】 周兴和.高等几何.科学出版社，【2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J ］，2012(4)下半月。