初中数学分类讨论问题专题

中考数学专题复习——分类讨论问题

一、教学目标

使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧，以及常见题型的分类方法。形成一定的分类体系，对待问题能有更严谨、缜密的思维。

二、教学重点

对常见题型分类方法的掌握；能够灵活运用一般的分类技巧。

三、教学难点

对于分类的“界点”、“标准”把握不准确，容易出现重复解、漏解等现象。

四、板书设计

1：分式方程无解的分类讨论问题；

2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题；

3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题；

4：分类问题在动点问题中的应用；

4.1常见平面问题中动点问题的分类讨论；

4.2组合图形（二次函数、一次函数、平面图形等组合）中动点问题的分类。

1：分式方程无解的分类讨论问题

例题1：（2011武汉） =+=-+-a 3

49332无解，求x x ax x 解：去分母，得： 1

.6,801a 31

-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？ 6

8-==a a 或例题2：（2011郴州） ==--+a 21

12无解，求x a x 2：“一元二次”方程系数的分类讨论问题

例题3：（2010上海）已知方程有实数根，求m 的取值范围。

01)12(22=+++x m x m （1）当时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=02

=m 1-

（2）当时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：02

≠m ，且4

1-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m 02≠m 综（1）（2）得， 4

1-≥m 常见病症：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略的条件）

02≠m 总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽视二

次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。

例题4：（2011益阳）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程与

0442=+-x mx 的根都是整数。

0544422=--+-m m mx x 解：因为是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即，，02≠m 0≠m 1.

m ,01≤≥∆解得同理，且，又因为m 为整数.45

m ,02-≥≥∆解得1m 4

5≤≤-∴0≠m .11或取-∴m （1）当m=—1时，第一个方程的根为不是整数，所以m=—1舍去。

222±-=x （2）当m=1时，方程1、2的根均为整数，所以m=1.

练习：已知关于ｘ的一元二次方程有实数根，则ｍ的取值范围是：01)1(2

=++-x x m 1m 45001≠≤⇒⎩

⎨⎧≥∆≠-且m m 3：三角形、圆等几何图形相关量求解的分类讨论问题

例题:5：（2011青海）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角

01892=+-x x 形的周长为（ ）

Ａ 12 Ｂ 12或15 Ｃ 15 Ｄ 不能确定

例题6：（2011武汉）三角形一边长AB 为13cm ，另一边AC 为15cm ，BC 上的高为

12cm,求此三角形的面积。（54或84）

A C

2p 例题8：（2011四校联考）一条绳子对折后成右图A 、B, A.B 上一点C ，且有BC=2AC,将

其从C 点剪断，得到的线段中最长的一段为40cm,请问这条绳子的长度为：60cm 或120cm 4：动点问题的分类分类讨论问题

4.1：常见平面问题中动点问题的分类讨论；

例题9：（2011永州）正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速

度沿正方形的边逆时针匀速运动。如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时， P ，D 两点间的距离。

解：点P 从A 点出发，分别走到B ，C ，D ，A 所用时间是

秒， 秒， 秒， 秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。

∴（

1）当0≤t<5时，点P 在线段AB 上，|PD|=|P 1D|=

(cm)

（2）当5≤t<10时，点P 在线段BC 上，|PD|=|P 2D|= （3

）当10≤t<15时，点P 在线段CD 上，|PD|=|P 3D|=30-2t

（4）当15≤t ≤20时，点P 在线段DA 上，|PD|=|P 4D|=2t-30

综上得：|PD|=

总结：本题从运动的观点，考查了动点P 与定点D 之间的距离，应根据P 点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD 放在直角三角形中求解或直接观察图形求解。

4.2：组合图形（一次函数、二次函数与平面图形等组合）中动点问题的分类。

例题10：（2010福建）已知一次函数与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，试333

3+-=x y 在x 轴上找一点P ，使△PAB 为等腰三角形。

分析：本题中△PAB 由于P 点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没

有确定。△PAB 是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）

PA=PB ；（2）PA=AB ；（3）PB=AB 。先可以求出B 点坐标，A 点坐标（9，0）。()033，设P 点坐标为，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P 点坐标有)0(，x 四解，分别为。（不适合条件的解已舍去）

)0369()0369()03()09(，、，、，、，-+- 总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧