量子物理基础习题解
第六部分量子物理基础习题
第六部分 量子物理基础 习题：1.从普朗克公式推导斯特藩玻尔兹曼定律。
（提示：15143π=-⎰∞dx e xx）解：λλπλλλd e hc d T M T M T k hc⎰⎰∞-∞-==52000112),()(令x Tk hc =λ，则dx kTxhc d 2-=λ，所以442545034234025252015212)(11)(2112)(TTch kdxexTc h k dxkTxhc e hckTx hc d e hc T M xxT k hcσπππλλπλ=⋅⋅=-=--=-=⎰⎰⎰∞∞∞-证毕。
2.实验测得太阳辐射波谱中峰值波长nm m 490=λ，试估算太阳的表面温度。
解：由维恩位移定律b T m =λ得到K bT m3931091.51049010897.2⨯⨯⨯==--＝λ3.波长为450nm 的单色光射到纯钠的表面上（钠的逸出功A ＝2.29eV ），求： （1）这种光的光子能量和动量； （2）光电子逸出钠表面时的动能。
解：（1） 2.76eV J 1042.4104501031063.6199834＝＝－－⨯⨯⨯⨯⨯===-λhchv Es m /kg 1047.1104501063.6hp 27934⋅⨯⨯⨯--－＝＝＝λ（2）由爱因斯坦光电效应方程，得光电子的初动能为eV A hv E k 47.029.276.2=-=-=4.铝的逸出功是4.2eV ，现用波长nm 200=λ的紫外光照射铝表面。
试求： （1）发射的光电子的最大动能； （2）截止电压； （3）铝的红限频率。
解：（1）由光电效应方程得光电子的最大动能为J 102.3106.12.4102001031063.619199834－－－－＝⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=A hcA hv E k λ（2）截止电压V 0.2106.1102.319190＝－－⨯⨯==eE V k（3）红限频率Hz 1001.11063.6106.12.41534190⨯=⨯⨯⨯==-－hA v5.在一次康普顿散射中，传递给电子的最大能量为MeV E 045.0=∆，试求入射光子的波长。
chapter1 量子力学基础知识习题解答
= 9.403×10-11m
(3) λ = h = h p 2meV
=
6.626 ×10−34 J ⋅ s
2× 9.109 ×10−31kg ×1.602×10−19 C × 300V
= 7.08×10−11m
4
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【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为 200kV，计算电子 加速后运动时的波长。
图 1.2 金属的 Ek ~ ν 图
3
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h = Ek = ∆Ek ν −ν 0 ∆ν
即 Planck 常数等于 Ek − v 图的斜率。选取两合适点，将 Ek 和 v 值带入上式，即可求出 h 。
例如：
h
=
(2.7 −1.05) ×10−19 J (8.50 − 6.00) ×1014 s−1
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01.量子力学基础知识
本章主要知识点
一、微观粒子的运动特征
1.
波粒二象性： E
= hν , p =
h λ
2. 测不准原理： ∆x∆px ≥ h, ∆y∆py ≥ h, ∆z∆pz ≥ h, ∆t, ∆E ≥ h
3. 能量量子化
二、量子力学基本假设
1. 假设 1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ (x, y, z,t) 来
相反的两个电子。或者说：对于多电子体系，波函数对于交换任意两个电子是反
对称的。
三、箱中粒子的 Schrödinger 方程及其解
1. 一维无限势阱的 Schrödinger 方程：
− 2 d2ψ 2m dx2
= Eψ
其解为：ψ n (x) =
大学物理 第16章量子力学基本原理-例题及练习题
∴ n = 2,6,10...... 时概率密度最大
nhπ 6 × 10 = =1时 (3) n=1时： E = =1 2mL L
2 2 2 2 2 −38
A 例题3 例题3 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ψ ( x ) = 方向运动， 1 + ix
( n = 1,2,3,...)
E n=4
p2 E = 2m p= nπh nh 2 mE = = a 2a
n=3 n=2 n=1
h 2a λ= = p n
二者是一致的。 二者是一致的。
( n = 1, 2, 3,...)
o a
x
例题2 粒子质量为m, 在宽度为L的一维无限 的一维无限深势 例题2 P516例1：粒子质量为m, 在宽度为 的一维无限深势 中运动，试求( 粒子在0 阱中运动，试求(1)粒子在0≤x≤L/4区间出现的概率。并 ≤ / 区间出现的概率。 求粒子处于n=1 状态的概率。 在哪些量子态上， 求粒子处于 1和n=∞状态的概率。(2)在哪些量子态上， 状态的概率 (2)在哪些量子态上 Ｌ/4处的概率密度最大？(3)求n=1时粒子的能量 补充 。 /4处的概率密度最大 (3)求 =1时粒子的能量(补充 处的概率密度最大？ =1时粒子的能量 补充)。 2 nπ x 由题得： 解:(1) 由题得： 概率密度 |ψ | = sin
2 2 2 2 0
2
2
2
2
0
0
k
0
2
2
2 k
0
k
k
k
0
h ∴λ = = p
hc 2E m c + E
2 k 0
基本习题和答案解析量子力学
WORD格式整理量子力学习题(一)单项选择题 1. 能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A. 1.2 A. B. 1.5 A. C. 2.1 A. D. 2.5 A. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A.1.3 A. B. 0.9 A. C. 0.5 A. D. 1.8 A. 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 0A.1.4 A.B.1.9 0C.1.17 10J 2 A.D. 2.04.温度T=1k 时, 具有动能 010J 2 A. 0 A. =—k B T ( k B 2 为Boltzeman 常数）的氦原子的DeBroglie 波长是 0 A.8 A. B. 5.6 5.用 Bohr-Sommerfeld 0 A. 0 A. D. 12.6 0A. A. E n 二 n ，.B.C. 10 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n 二0,1,2,…） E n = （n ：）；. 2 C. E n =（n 1） ? ■ .D. E n =2n •. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其 0 0A.5.2 A.B. 7.1 A.C. 8.4 De Broglie 波长是 0 A. 7. 钾的脱出功是2ev ，当波长为 最大能量为 A. 0.25 10J 8J. B. 1.25 C. 0.25 1046 J.D. 1.25 0A. D. 9.4 03500 A 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的 10」8J. 10J 6J. 8. 当氢原子放出一个具有频率--的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生 的频率改变为 h A. . B. 2 . C.2七 2心 9. C ompton 效应证实了A.电子具有波动性.B.C.光具有粒子性.D. -2 '2走.D. PC .光具有波动性• 电子具有粒子性. 10. D avisson 和Germer 的实验证实了 A.电子具有波动性.B.光具有波动性. C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. U （x ）斗0,0：X7中运动，设粒子的状态由 [°°,x E0,X11.粒子在一维无限深势阱 J(x)二Csin 描写，其归一化常数C 为aA ^r 1. B. . C. .a• a■ a12.设t(x)—(x)，在x-x ，dx 范围内找到粒子的几率为 22.D.13.设粒子的波函数为2A.屮（x, y, z） dxdydz.'■ （x, y,z），在x—x • dx范围内找到粒子的几率为2B.屮（x, y,z） dx.2 2C.( '- (x, y, z) dydz)dx .D. . dx dy dz'- (x, yz)14.设：Mx）和：2（x）分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c「i（x）dd）的几率分布为2 2A.|汕1 +对2 .2 2 *B. |G屮l| +C2屮2 +C1C2屮1屮2.2 2 *C.k 屮1 +C2 屮2 +2GC2屮1屮2.2 2 * * * *D.- c^;2 +。
量子物理基础习题解
量⼦物理基础习题解量⼦物理基础17.1 夜间地⾯降温主要是由于地⾯的热辐射。
如果晴天夜⾥地⾯温度为-5°C ，按⿊体辐射计算，每平⽅⽶地⾯失去热量的速率多⼤？解：每平⽅⽶地⾯失去热量的速率即地⾯的辐射出射度2484W /m2922681067.5=??==-TM σ17.2 在地球表⾯，太阳光的强度是1.0?103W/m 2。
地球轨道半径以1.5?108km 计，太阳半径以7.0?108 m 计，并视太阳为⿊体，试估算太阳表⾯的温度。
解：42244TR I R M SE σππ==K103.51067.5)107.6(100.1)105.1(348283211422==S E R I R T 17.3宇宙⼤爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于3K ⿊体辐射．求：（1）此辐射的单⾊辐射强度在什么波长下有极⼤值？（2）地球表⾯接收此辐射的功率是多少？[解答]（1）根据公式λm T = b ，可得辐射的极值波长为λm = b/T = 2.897×10-3/3 = 9.66×10-4(m)．（2）地球的半径约为R = 6.371×106m ，表⾯积为 S = 4πR 2．根据公式：⿊体表⾯在单位时间，单位⾯积上辐射的能量为 M = σT 4，因此地球表⾯接收此辐射的功率是 P = MS = 5.67×10-8×34×4π(6.371×106)2= 2.34×109(W)．17.4 铝的逸出功是eV 2.4，今有波长nm 200=λ的光照射铝表⾯，求：（1）光电⼦的最⼤动能；（2）截⽌电压；（3）铝的红限波长。
解：（1） A chA h E k -=-=λνeV 0.22.4106.1102001031063.6199834=-=---（2）V 0.21/0.2/===e E U k c （3）Ahc c==0νλnm6.12.41031063.6719834=?==---17.5 康普顿散射中⼊射X 射线的波长是λ = 0.70×10-10m ，散射的X 射线与⼊射的X 射线垂直．求：（1）反冲电⼦的动能E K ；（2）散射X 射线的波长；（3）反冲电⼦的运动⽅向与⼊射X 射线间的夹⾓θ．[解答]（1）（2）根据康普顿散射公式得波长变化为21222sin2 2.42610sin24πλΛ-?==??= 2.426×10-12(m)，散射线的波长为λ` = λ + Δλ = 0.72426×10-10(m)．反冲电⼦的动能为`k hchcE λλ=810106.63103106.63103100.7100.7242610----=-= 9.52×10-17(J)．（3）由于/`tan /`hc hc λλθλλ==，0.70.96650.72426==，所以夹⾓为θ = 44°1`．17.6 求波长分别为71100.7-?=λm 的红光和波长1021025.0-?=λm 的X 射线光⼦的能量、动量和质量。
量子物理基础习题
17-1 在加热黑体过程中，其单色辐出度的峰值波长是由μm 69.0变化到μm 50.0，求总辐出度改变为原来的多少倍？解：由 4)(T T M B σ=，b T m =λ 得 63.3)5.069.0()()()(442112===m m B B T M T M λλ17-2解：（1）m 10898.21010898.21073--⨯=⨯==T b m λ （2）J 1086.610898.21031063.61610834---⨯=⨯⨯⨯⨯===λνch h E 17-3解：（1）4)(T T M B σ=，K 17001067.5001.0/6.473)(484=⨯==-σT M T B（2）m 1070.1170010898.263--⨯=⨯==T b m λ （3）162)()()(441212===T T T M T M B B ，2612W/m 10578.7001.06.47316)(16)(⨯=⨯==T M T M B B17-4 钾的光电效应红限波长为μm 62.00=λ。
求：(1)钾的逸出功；(2)在波长nm 330=λ的紫外光照射下，钾的截止电压。
解：（1）eV 2J 1021.31062.01031063.61968340=⨯=⨯⨯⨯⨯===---λνch h A （2）A h mv eU a -==ν221 V 76.11060.11021.3103301031063.619199834=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=----eA ch eA h U a λν17-5 铝的逸出功为eV 2.4。
今用波长为nm 200的紫外光照射到铝表面上，发射的光电子的最大初动能为多少？截止电压为多大？铝的红限波长是多大？解：（1）eV 2J 1023.3106.12.4102001031063.621191998342≈⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-=-=----A c h A h mv λν （2）221mv eU a =，V 2eV2==eU a （3）Hz 10014.11063.6106.12.41534190⨯=⨯⨯⨯==--h A νnm 296m 1096.210014.1103715800=⨯=⨯⨯==-νλc17-6 在光电效应实验中，对某金属，当入射光频率为Hz 102.215⨯时，截止电压为V 6.6，入射光频率为Hz 106.415⨯时，截止电压为V 5.16。
量子物理习习题解答
精心整理量子物理习题解答习题17—1用频率为1ν的单色光照射某一金属时，测得光电子的最大初动能为E k 1；用频率为2ν的单色光照射另一种金属时，测得光电子的最大初动能为E k 2。
那么［ ］(A)1ν一定大于2ν。
(B)1ν一定小于2ν。
(C)1ν一定等于2ν。
(D)1ν可能大于也可能小于2ν。
解：根据光电效应方程，光电子的最大初动能为由此式可以看出，E k 不仅与入射光的频率ν有关，而且与金属的逸出功A 有关，因此我们无法判习题 所以L (A)。
习题所以习题(A)1/4。
(B)1/8。
(C)1/16。
(D)1/32。
解：根据玻尔的理论，氢原子中电子的动能、角动量和轨道半径分别为mP E k 22= ； n P r L n == ；12r n r n = 所以电子的动能与量子数n 2成反比，因此，题给的两种情况下电子的动能之比12/42=1/16，所以我们选择答案(C)。
习题17—5在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E k 之比k E ε为［ ］(A)2。
(B)3。
(C)4。
(D)5。
解：由康普顿效应的能量守恒公式可得所以，应该选择答案(D)。
习题17—6设氢原子的动能等于温度为T 的热平衡状态时的平均动能，氢原子的质量为m ，那么此氢原子的德布罗意波长为［ ］(A)mkT h 3=λ。
(B)mkT h 5=λ。
(C)h mkT 3=λ。
(D)h mkT 5=λ。
把此式代入德布罗意公式有所以因此，应该选择答案(D)。
习题17—10氩(Z =18)原子基态的电子组态是：［ ］ (A)1S 22S 83P 8(B)1S 22S 22P 63d 8 (C)1S 22S 22P 63S 23P 6(D)1S 22S 22P 63S 23P 43d 2解：对(A)示组态，既违反泡利不相容原理，也违反能量最小原理，是一个不可能的组态；对(B)示组态和(D)示组态均违反能量最小原理，也都是不可能组态。
量子力学习题课
1.已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为
( x) 2 / a sin(x / a)
求发现粒子的概率为最大的位置．
(0 ≤x ≤a)
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第一章 波粒二象性 发现粒子的概率
量子物理学基础
( x) 2 / a sin 2 (x / a )
概率最大的位置对应
d d 2 ( x) (2 / a sin 2 (x / a)) 0 dx dx
m=1，赖曼系
m=2，巴耳末系（可见光）
m=3，帕邢系 （1）定态假设 玻尔理论
En Em （2）跃迁假设： h
（3）角动量量子化假设
L n
n 1,2,3
理论计算
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4 o n 2 2 2 10 rn n r ( n 1 , 2 , 3 , ) r 0 . 529 10 m 1 1 2 me
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第一章 波粒二象性
量子物理学基础
20.设康普顿效应中入射X射线(伦琴射线)的波长 =0.700 Å，散射的X射线与入射的X射线垂直，求： (1) 反冲电子的动能EK． (2) 反冲电子运动的动量及动量方向与入射的X射线之间的 夹角．
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量子物理学基础 第一章 波粒二象性 解：令、p 和 p 、 分别为入射与散射光子的动量
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第一章 波粒二象性
量子物理学基础
（1） 定态假设：原子处于一系列不连续稳定态。电子只 能在一定轨道上作圆周运动，且不辐射 能量。 （2） 角动量量子化假设：电子绕核作圆周运动的轨道只 能取决于
PL n
n 1,2,3
（3）跃迁假设：原子从一稳定态过度到另一稳定态吸收 或发出单色电磁辐射。即由光子假说和 能量守恒定律有 En Em h
量子习题解答
n 0,1,2,3...
8、氢原子： 氢原子能级：
me4 1 1 En 2 13.6 2 (e V) 2 2 2 (4 0 ) n n
轨道角动量
L l (l 1)
轨道角动量沿磁场方向分量：Lz m 主量子数 轨道量子数 轨道磁量子数
n=1,2,3…
l=0,1,2,3…,n-1 ml=-l,-(l-1),…,0,1,..,l
h 0 ( 1 cos ) m0 c
4、不确定关系(1927)：
h 2
x p x (或, 或h) 位臵动量不确定关系： 2
能量时间不确定关系：Et / 2
5、氢原子光谱(1913) 谱线的波数
1 1 R ( 2 2 ) T ( m) T ( n) m n
玻尔磁子
电子自旋磁矩在磁场中的能量 Es B B
e B 9.27 10 24 J / T 2me
10、多电子原子的电子组态 电子的状态用4 个量子数n,l,ml,ms确定。n相同 的状态组成一壳层，可容纳2n2个电子；l相同 的状态组成一次壳层，可容纳2（2l+1)个电子。 基态原子电子组态遵循两个规律： （1）能量最低原理，即电子总处于可能最 低的能级。一般n越大，l越大，能量就越高。 （2）泡利不相容原理(1921)，不可能有两个 或两个以上的电子处在同一量子状态。即不 能有两个电子具有相同的n, l, ml , ms。
解： 光子的散射角 θ π 时电子获得的能量最大， v 电子的反冲速度沿入射光子的运动方向.设 为入 pe 射光的频率，为散射光的频率， 为反冲电子的动 v 量。 1 由能量守恒有： h(v v) Ek
由动量守恒有: 2 式得 由1 、
第十八章 量子物理基础-思考题和习题解答
思考题18-1 把一块表面的一半涂了烟煤的白瓷砖放到火炉内烧，高温下瓷砖的哪一半显得更亮些？参考答案实验表明：一个良好的吸收体也是一个良好的发射体。
也就是说，一个物体吸收辐射的能量越强，那么它的热辐射能力也越强。
辐射本领越强的物体，单位时间内从表面辐射出来的能力越多，它的表面就显得越亮。
瓷砖涂了烟煤的一半在正常情况下更黑，说明比起未涂烟煤的一半，它吸收辐射的能力也更强，相应地，它的辐出度更高，所以在火炉内烧热后应该显得更亮一些。
18-2 刚粉刷完的房间从房外远处看，即使在白天，它的开着的窗口也是黑的。
为什么？参考答案从窗口进入的光线在屋里经过多次反射后极少能再从窗口反射出来，所以看起来窗口总是黑的。
这样的窗口就可看作是一个黑体。
18-3 为什么几乎没有黑色的花？参考答案如果花是黑颜色的，表明花对于可见光没有反射，也就是花将可见光波段的能力都吸收了，与其他颜色的花相比，黑色花的温度将更高，这样的花很可能会由于没有及时将能量从其他途径释放掉的机制而枯死。
另外，对于虫媒花来说，黑色是昆虫的视觉盲点，因而无法授粉。
18-4 在光电效应实验中，如果（1）入射光强度增加一倍；（2）入射光频率增加一倍，各对实验结果有什么影响？参考答案光电效应方程为2012m c mv eU h A h eU νν==-=- （1）入射光强度的概念：单位时间内单位面积上的光子数乘以每个光子的能量。
如果频率不变，每个光子的能量就不变。
入射光强度增加一倍，意味着入射的光子数增加一倍，从而饱和电流强度将增加一倍。
截止电压不变（设频率不变）。
（2）入射光的频率增加一倍，h ν就增加一倍，每个光子的能量从h ν增加到2h ν。
从光电效应方程可以看出截止电压c U 相应地增加h e ν。
饱和电流的数值不变（因为单位时间入射的光子数密度未变）。
18-5 用一定波长的光照射金属表面产生光电效应时，为什么逸出金属表面的光电子的速度大小不同？参考答案金属中的电子是运动着的，它与金属中的离子有相互作用，不断与离子发生碰撞，导致它的动量发生变化。
量子物理习题解答
量子物理习题解答习题17—1 用频率为1ν的单色光照射某一金属时，测得光电子的最大初动能为E k 1；用频率为2ν的单色光照射另一种金属时，测得光电子的最大初动能为E k 2。
那么［ ］(A) 1ν一定大于2ν。
(B) 1ν一定小于2ν。
(C) 1ν一定等于2ν。
(D) 1ν可能大于也可能小于2ν。
解：根据光电效应方程，光电子的最大初动能为 A h E k -=ν由此式可以看出，E k 不仅与入射光的频率ν有关，而且与金属的逸出功A 有关，因此我们无法判断题给的两种情况下光电子的最大初动能谁大谁小，从而也就无法判断两种情况下入射光的频率的大小关系，所以应该选择答案(D)。
习题17—2 根据玻尔的理论，氢原子中电子在n =5的轨道上的角动量与在第一激发态的角动量之比为［ ］(A) 5/2。
(B) 5/3。
(C) 5/4。
(D) 5。
解：根据玻尔的理论，氢原子中电子的轨道上角动量满足n L = n =1，2，3……所以L 与量子数n 成正比。
又因为“第一激发态”相应的量子数为n =2，因此应该选择答案(A )。
习题17—3 根据玻尔的理论，巴耳末线系中谱线最小波长与最大波长之比为［ ］(A) 5/9。
(B) 4/9。
(C) 7/9。
(D) 2/9。
解：由巴耳末系的里德佰公式⎪⎭⎫⎝⎛-==221211~n R H λν n =3，4，5，…… 可知对应于最大波长m ax λ，n =3；对应于最小波长min λ，n =∞。
因此有 H H R R 53631211122max =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-λ； HH R R 421112min =⎪⎭⎫⎝⎛=-λ 所以953654max min =⨯=λ最后我们选择答案(A)。
习题17—4 根据玻尔的理论，氢原子中电子在n =4的轨道上运动的动能与在基态的轨道上运动的动能之比为［ ］(A) 1/4。
(B) 1/8。
(C) 1/16。
(D) 1/32。
第十八章量子物理基础-思考题和习题解答
第⼗⼋章量⼦物理基础-思考题和习题解答思考题18-1 把⼀块表⾯的⼀半涂了烟煤的⽩瓷砖放到⽕炉内烧，⾼温下瓷砖的哪⼀半显得更亮些？参考答案实验表明：⼀个良好的吸收体也是⼀个良好的发射体。
也就是说，⼀个物体吸收辐射的能量越强，那么它的热辐射能⼒也越强。
辐射本领越强的物体，单位时间内从表⾯辐射出来的能⼒越多，它的表⾯就显得越亮。
瓷砖涂了烟煤的⼀半在正常情况下更⿊，说明⽐起未涂烟煤的⼀半，它吸收辐射的能⼒也更强，相应地，它的辐出度更⾼，所以在⽕炉内烧热后应该显得更亮⼀些。
18-2 刚粉刷完的房间从房外远处看，即使在⽩天，它的开着的窗⼝也是⿊的。
为什么？参考答案从窗⼝进⼊的光线在屋⾥经过多次反射后极少能再从窗⼝反射出来，所以看起来窗⼝总是⿊的。
这样的窗⼝就可看作是⼀个⿊体。
18-3 为什么⼏乎没有⿊⾊的花？参考答案如果花是⿊颜⾊的，表明花对于可见光没有反射，也就是花将可见光波段的能⼒都吸收了，与其他颜⾊的花相⽐，⿊⾊花的温度将更⾼，这样的花很可能会由于没有及时将能量从其他途径释放掉的机制⽽枯死。
另外，对于⾍媒花来说，⿊⾊是昆⾍的视觉盲点，因⽽⽆法授粉。
18-4 在光电效应实验中，如果（1）⼊射光强度增加⼀倍；（2）⼊射光频率增加⼀倍，各对实验结果有什么影响？参考答案光电效应⽅程为2012m c mv eU h A h eU νν==-=- （1）⼊射光强度的概念：单位时间内单位⾯积上的光⼦数乘以每个光⼦的能量。
如果频率不变，每个光⼦的能量就不变。
⼊射光强度增加⼀倍，意味着⼊射的光⼦数增加⼀倍，从⽽饱和电流强度将增加⼀倍。
截⽌电压不变（设频率不变）。
（2）⼊射光的频率增加⼀倍，h ν就增加⼀倍，每个光⼦的能量从h ν增加到2h ν。
从光电效应⽅程可以看出截⽌电压c U 相应地增加h e ν。
饱和电流的数值不变（因为单位时间⼊射的光⼦数密度未变）。
18-5 ⽤⼀定波长的光照射⾦属表⾯产⽣光电效应时，为什么逸出⾦属表⾯的光电⼦的速度⼤⼩不同？参考答案⾦属中的电⼦是运动着的，它与⾦属中的离⼦有相互作⽤，不断与离⼦发⽣碰撞，导致它的动量发⽣变化。
量子力学习题解答
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ。
第十五章 量子物理 习题解答
n=1: E1 = −13.6ev
n=2:
E2
=
E1 22
=
−3.4ev
≈
−5.44 ×10−19
J
n=4 n=3
n=3:
E3
=
E1 32
=
−1.51ev
≈
−2.416 ×10−19
J
n=4:
E4
=
E1 42
=
−0.85ev
≈
−1.36 ×10−19
J
n=2
跃迁谱线波长 λ = c = hc ，则虚线光谱的波长分别为 ν ∆E
ν1 −ν 0 = Ua1 = 2 ，整理后的答案 C。 ν 2 −ν 0 Ua2
15.4 光电效应和康普顿效应都包含有光子和电子的相互作用过程。对此，下面几种说法中 正确的是【D】
（A）两种效应中电子和光子组成的系统都服从动量守恒定律和能量守恒定律； （B）两种效应都相当于电子和光子的弹性碰撞过程； （C）两种效应都属于电子吸收光子的效应； （D）光电效应是吸收光子的过程，而康普顿效应则相当于光子和电子的弹性碰撞过程。 分析：光电效应与康普顿效应的物理本质是相同的，都是个别光子与个别电子的相互作用。 但二者有明显差别。其一，入射光的波长不同。入射光若为可见光或紫外光，表现为光电效应； 若入射光是 X 光，则表现为康普顿效应。其二，光子和电子相互作用的微观机制不同。在光电
=
3 2
kT
，
动量
p2
= ( mv )2
=
1 mv2 ⋅ 2m = 2
Ek
⋅ 2m ，德布罗意波长 λ
=
h p
=
h Ek ⋅ 2m
注意：动能 Ek = p2 2m 同样适用于非相对论性的微观粒子（低速运动）。
大学物理知识总结习题答案(第十章)量子物理基础
第十章 量子物理基础本章提要1． 光的量子性· 物体由于自身具有一定温度而以电磁波的形式向周围发射能量的现象称热辐射。
· 在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光（电磁波），则这种物体称为绝对黑体，简称黑体。
· 单位时间内物体单位表面积发出的包括所有波长在内的电磁波的辐射功率，称为辐射出射度。
2． 维恩位移定律· 在不同的热力学温度T 下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长λm ，维恩从热力学理论导出T 和λm 满足如下关系λm T b =其中b 是维恩常量。
3． 斯忒藩—玻尔兹曼定律· 斯忒藩—玻尔兹曼定律表明黑体的辐射出射度M 与温T 的关系4T M σ=其中s 为斯忒藩—玻尔兹曼常量。
对于一般的物体4T M εσ=e 称发射率。
4． 黑体辐射· 黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率ν成正比，这种能量分立的现象被称为能量的量子化，每一份最小能量E hv =被称为一个量子。
黑体辐射的能量为E nhv =，其中n ＝1，2，3，…，等正整数，h 为普朗克常数。
· 普朗克黑体辐射公式简称普朗克公式25/λ2πhc 1()λ1hc kT M T e l =-· 光是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。
· 一个光子具有的能量为νh E =。
5． 粒子的波动性· 德布罗意认为实物粒子也具有波粒二象性，它的能量E 、动量p 跟和它相联系的波的频率ν、波长λ满足以下关系2E mc h ν==λh p m u == 这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。
与实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。
· x x p D D ?h 或者E t D D ?h 这一关系叫做不确定关系。
其中为位置不确定量、动量不确定量、能量不确定量、时间不确定量。
第1章 量子力学基础-习题与答案
一、是非题1. “波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的”。
对否 解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。
试用测不准关系判断该模型是否合理。
解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。
二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。
正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。
()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。
------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。
量子物理初步习题及解答
一 选择题 (共30分)1. (本题 3分)(4387) 光电效应中发射的光电子最大初动能随入射光频率ν 的变化关系如图所示．由图中的(A) OQ (B) OP (C) OP /OQ (D) QS /OS 可以直接求出普朗克常量． ［ ］2. (本题 3分)(4503) 在康普顿散射中，如果设反冲电子的速度为光速的60％，则因散射使电子获得的能量是其静止能量的(A) 2倍． (B) 1.5倍． (C) 0.5倍． (D) 0.25倍． ［ ］3. (本题 3分)(4739) 光子能量为 0.5 MeV 的X 射线，入射到某种物质上而发生康普顿散射．若反冲电子的能量为 0.1 MeV ，则散射光波长的改变量∆λ与入射光波长λ0之比值为 (A) 0.20． (B) 0.25． (C) 0.30． (D) 0.35． ［ ］4. (本题 3分)(4185) 已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是 1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 Å ，那么入射光的波长是 (A) 5350 Å． (B) 5000 Å． (C) 4350 Å． (D) 3550 Å． ［ ］5. (本题 3分)(4206) 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系：(A) v ∝λ ． (B) v /1∝λ．(C) 2211c−∝v λ． (D) 22v −∝c λ． ［ ］6. (本题 3分)(4242) 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是 0.4Å ，则U 约为 (A) 150 V ． (B) 330 V ．(C) 630 V ． (D) 940 V ． ［ ］(普朗克常量h =6.63×10-34J ·s)7. (本题 3分)(4770) 如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同． (B) 能量相同．(C) 速度相同． (D) 动能相同． ［ ］不确定关系式h ≥⋅∆∆x p x 表示在x 方向上(A) 粒子位置不能准确确定． (B) 粒子动量不能准确确定．(C) 粒子位置和动量都不能准确确定．(D) 粒子位置和动量不能同时准确确定． ［ ］9. (本题 3分)(5234) 关于不确定关系h ≥∆∆x p x ()2/(π=h h ，有以下几种理解：(1) 粒子的动量不可能确定．(2) 粒子的坐标不可能确定．(3) 粒子的动量和坐标不可能同时准确地确定．(4)不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子．其中正确的是：(A) (1)，(2). (B) (2)，(4).(C) (3)，(4). (D) (4)，(1). ［ ］10. (本题 3分)(5619) 波长λ =5000 Å的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量∆λ =10-3Å，则利用不确定关系式h x p x ≥∆∆可得光子的x 坐标的不确定量至少为(A) 25 cm ． (B) 50 cm ．(C) 250 cm ． (D) 500 cm ． ［ ］二 填空题 (共39分)11. (本题 3分)(0475) 某光电管阴极, 对于λ = 4910 Å的入射光，其发射光电子的遏止电压为0.71 V ．当入射光的波长为__________________Å时，其遏止电压变为1.43 V ． ( e =1.60×10-19 C ，h =6.63×10-34 J ·s )12. (本题 5分)(4179) 光子波长为λ，则其能量=____________；动量的大小 =_____________；质量=_________________ ．13. (本题 4分)(4187) 康普顿散射中，当散射光子与入射光子方向成夹角φ = _____________时，散射光子的频率小得最多；当φ = ______________ 时，散射光子的频率与入射光子相同．波长为λ =1 Å的X 光光子的质量为_____________kg ． (h =6.63×10-34 J ·s)15. (本题 3分)(4608) 钨的红限波长是230 nm (1 nm = 10-9m)，用波长为180 nm 的紫外光照射时，从表面逸出的电子的最大动能为___________________eV ．(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19C)16. (本题 3分)(4742) 某金属产生光电效应的红限为ν0，当用频率为ν (ν ＞ν0 )的单色光照射该金属时，从金属中逸出的光电子(质量为m )的德布罗意波长为________________．17. (本题 3分)(4740) 在X 射线散射实验中，散射角为φ 1 = 45°和φ 2 =60°的散射光波长改变量之比∆λ1：∆λ2 =_________________．18. (本题 3分)(4611) 某一波长的X 光经物质散射后，其散射光中包含波长________和波长__________的两种成分，其中___________的散射成分称为康普顿散射．19. (本题 3分)(4207) 令)/(c m h e c =λ(称为电子的康普顿波长，其中e m 为电子静止质量，c 为真空中光速，h 为普朗克常量)．当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是λ =________________λc ．20. (本题 3分)(4524) 静止质量为m e 的电子，经电势差为U 12的静电场加速后，若不考虑相对论效应，电子的德布罗意波长λ＝________________________________．21. (本题 3分)(4771) 为使电子的德布罗意波长为1 Å，需要的加速电压为_______________． (普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19 C ，电子质量m e =9.11×10-31 kg)在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a = 0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直=______________N·s．射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量∆py(普朗克常量h =6.63×10-34 J·s)三计算题 (共33分)23. (本题 8分)(4505)用波长λ0 =1 Å的光子做康普顿实验．(1) 散射角φ＝90°的康普顿散射波长是多少？(2) 反冲电子获得的动能有多大？=9.11×10-31 kg) (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，电子静止质量me24. (本题 5分)(4522)为粒子考虑到相对论效应，试求实物粒子的德布罗意波长的表达式，设EK 的动能，m为粒子的静止质量．25. (本题 5分)(4535)若不考虑相对论效应，则波长为 5500 Å的电子的动能是多少eV？=9.11×10-31 kg) (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，电子静止质量me26. (本题 5分)(4631)假如电子运动速度与光速可以比拟，则当电子的动能等于它静止能量的2倍时，其德布罗意波长为多少？=9.11×10-31 kg) (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s，电子静止质量me27. (本题10分)(1813)若光子的波长和电子的德布罗意波长λ相等，试求光子的质量与电子的质量之比．一 选择题 (共30分)1. (本题 3分)(4387) (C)2. (本题 3分)(4503) (D)3. (本题 3分)(4739) (B)4. (本题 3分)(4185) (D)5. (本题 3分)(4206) (C)6. (本题 3分)(4242) (D)7. (本题 3分)(4770) (A)8. (本题 3分)(4211) (D)9. (本题 3分)(5234) (C)10. (本题 3分)(5619) (C)参考解：根据 p = h / λ则 22/λλ∆∆=h p x λλ∆∆≥/2x min x ∆λλ∆=/2=5000×10-10×5000×103= 2.5 m= 250 cm二 填空题 (共39分)11. (本题 3分)(0475) 3.82×103 3分12. (本题 5分)(4179) λ/hc 1分λ/h 2分 )/(λc h 2分13. (本题 4分)(4187) π 2分 0 2分14. (本题 3分)(4250) 2.21×10-32 3分1.5 3分16. (本题 3分)(4742))(20νν−m h3分17. (本题 3分)(4740) 0.586 3分18. (本题 3分)(4611) 不变 1分 变长 1分 波长变长 1分3分20. (本题 3分)(4524) 2/112)2/(eU m h e 3分21. (本题 3分)(4771) 150 V 3分22. (本题 3分)(5372) 1.06×10-24 （或 6.63×10-24或0.53×10-24 或 3.32×10-24） 3分参考解：根据 h ≥∆∆y p y ，或 h p y y ≥∆∆，或h 21≥∆∆y p y ，或h p y y 21≥∆∆，可得以上答案．三 计算题 (共33分)23. (本题 8分)(4505) 解：(1) 康普顿散射光子波长改变： =−=∆)cos 1)((φλc hm e 0.024×10-10 m=+=∆λλλ0 1.024×10-10 m 4分 (2) 设反冲电子获得动能2)(c m m E e K −=，根据能量守恒： K e E h c m m h h +=−+=ννν20)(即 KE hc hc ++=∆)]/([/00λλλ故 )](/[00λλλλ∆∆+=hc E K =4.66×10-17 J =291 eV 4分24. (本题 5分)(4522) 解：据 202c m mc E K −=20220))/(1/(c m c c m −−=v 1分得 220/)(c c m E m K += 1分)/(220202c m E c m E E c K K K++=v 1分将m ，v 代入德布罗意公式得2022/c m E E hc h/m K K+==v λ 2分解：非相对论动能 221v e K m E =而 v e m p = 故有 eK m p E 22= 2分又根据德布罗意关系有 λ/h p = 代入上式 1分则 ==)/(2122λe K m h E 4.98×10-6 eV 2分26. (本题 5分)(4631) 解：若电子的动能是它的静止能量的两倍，则：2222c m c m mc e e =− 1分故： e m m 3= 1分由相对论公式 22/1/c m m e v −= 有 22/1/3c m m e e v −= 解得 3/8c =v 1分德布罗意波长为：)8/()v /(c m h m h e ==λ131058.8−×≈ m 2分27. (本题10分)(1813) 解：光子动量： p r = m r c = h /λ ① 2分 电子动量： p e = m e v = h /λ ② 2分两者波长相等，有 m r c = m e v得到 m r / m e ＝ v / c ③电子质量 220/1c v m m e −=④ 2分式中m 0为电子的静止质量．由②、④两式解出)/(122220h c m cv λ+=2分代入③式得)/(1122220h c m m m e r λ+= 2分。
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量子物理基础17.1 夜间地面降温主要是由于地面的热辐射。
如果晴天夜里地面温度为-5°C ，按黑体辐射计算，每平方米地面失去热量的速率多大？ 解：每平方米地面失去热量的速率即地面的辐射出射度2484W /m2922681067.5=⨯⨯==-TM σ17.2 在地球表面，太阳光的强度是1.0⨯103W/m 2。
地球轨道半径以1.5⨯108km 计，太阳半径以7.0⨯108 m 计，并视太阳为黑体，试估算太阳表面的温度。
解：42244TR I R M SE σππ==K103.51067.5)107.6(100.1)105.1(348283211422⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-σS E R I R T 17.3宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于3K 黑体辐射．求： （1）此辐射的单色辐射强度在什么波长下有极大值？（2）地球表面接收此辐射的功率是多少？[解答]（1）根据公式λm T = b ，可得辐射的极值波长为λm = b/T = 2.897×10-3/3 = 9.66×10-4(m)． （2）地球的半径约为R = 6.371×106m ， 表面积为 S = 4πR 2．根据公式：黑体表面在单位时间，单位面积上辐射的能量为 M = σT 4，因此地球表面接收此辐射的功率是 P = MS = 5.67×10-8×34×4π(6.371×106)2= 2.34×109(W)．17.4 铝的逸出功是eV 2.4，今有波长nm 200=λ的光照射铝表面，求：（1）光电子的最大动能； （2）截止电压；（3）铝的红限波长。
解：（1） A chA h E k -=-=λνeV 0.22.4106.1102001031063.6199834=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=---（2）V 0.21/0.2/===e E U k c （3）Ahc c==0νλnm296m1096.2106.12.41031063.6719834=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=---17.5 康普顿散射中入射X 射线的波长是λ = 0.70×10-10m ，散射的X 射线与入射的X 射线垂直．求：（1）反冲电子的动能E K ；（2）散射X 射线的波长；（3）反冲电子的运动方向与入射X 射线间的夹角θ．[解答]（1）（2）根据康普顿散射公式得波长变化为21222sin2 2.42610sin24ϕπλΛ-∆==⨯⨯= 2.426×10-12(m)，散射线的波长为λ` = λ + Δλ = 0.72426×10-10(m)． 反冲电子的动能为`k hchcE λλ=-34834810106.63103106.63103100.7100.7242610----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯= 9.52×10-17(J)．（3）由于/`tan /`hc hc λλθλλ==，0.70.96650.72426==，所以夹角为θ = 44°1`．17.6 求波长分别为71100.7-⨯=λm 的红光和波长1021025.0-⨯=λm 的X 射线光子的能量、动量和质量。
解：光子能量为E = h ν = hc/λ，动量为 p = h/λ；由E = hc/λ = mc 2，得其质量为m = h/cλ．对于红光来说，能量为 J,1084.2100.71031063.61978341---⨯=⨯⨯⨯⨯=E动量为 ,s m kg 1047.9100.71063.61287341----⋅⋅⨯=⨯⨯=p质量为 .kg 1016.3100.71031063.63678341---⨯=⨯⨯⨯⨯=m对于X 射线来说，能量为J,1096.71025.01031063.615108342---⨯=⨯⨯⨯⨯=E动量为 ,s m kg 1065.21025.01063.612310342----⋅⋅⨯=⨯⨯=p质量为 .kg 1084.81025.01031063.632108342---⨯=⨯⨯⨯⨯=m17.7 处于第四激发态上的大量氢原子，最多可发射几个线系，共几条谱线？那一条波长最长．[解答]第四激发态的氢原子处于第5个能级，最多可发射四个线系．（1）能级5到4，1条谱线；（2）能级5和4到3，2条谱线；（3）能级5、4和3到2，3条谱线；（3）能级5、4、3和2到1，4条谱线． 共10条谱线．从能级5跃迁到4发射的光谱频率最小，波长最长．17.8 设氢原子中的电子从2=n 的轨道上电离出去，需多少能量? 解：氢原子能级公式为,1822204nhmeE n ⋅-=ε当n =1时，基态能级的能量为eV,6.131018.281822041-=⨯-≈-=-J hmeE ε因此 eV 6.132nE n -=．当电子从n 能级跃迁到m 能级时放出（正）或吸收（负）光子的能量为12211()n m E E E E nm∆=-=-．电离时，m 趋于无穷大．当电子从n = 2的能级电离时要吸收能量221113.6()2E ∆=--∞= -3.4(eV)，因此需要3.4eV 的能量．17.9 略17.10 质量为m 的卫星，在半径为r 的轨道上环绕地球运动，线速度为v ．（1）假定玻尔氢原子理论中关于轨道角动量的条件对于地球卫星同样成立．证明地球卫星的轨道半径与量子数的平方成正比，即r = Kn 2，（式中K 是比例常数）；（2）应用（1）的结果求卫星轨道和下一个“容许”轨道间的距离，由此进一步说明在宏观问题中轨道半径实验上可认为是连续变化的（利用以下数据作估算：普朗克常数h = 6.63×10-34J·s ，地球质量M = 6×1024kg ，地球半径R = 6.4×103km ，万有引力常数G = 6.7×10-11N·m 2·kg -2．[解答]（1）卫星绕地球运动的向心力是万有引力22M m m v G rr=；根据玻尔理论，角动量为mvr = nh /2π．将前式乘以mr 3得2222()()4nh GM m r mvr π==，所以 222224h nr K n G M mπ==，即：卫星的轨道半径与量子数的平方成正比．（2）假设卫星质量m = 100kg ，比例系数为2224hK G M mπ=342211242(6.6310)4 6.710610(100)π--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯= 2.77×10-87．可见：比例系数很小．当r = R 时，地球表面的量子数为460 4.810n ==⨯．可见：地球表面处的量子数很大．地面以上的量子数设为n `，(n` = 1,2,3,…)，则总量子数可表示为两个量子数之和：n =n 0 + n`．轨道间的距离为 Δr = K [(n 0 + n` + 1)2 - (n 0 + n`)2]= K [2(n 0 + n`) + 1]．由于n 0>>1，所以Δr = 2Kn 0 + 2Kn`． 设n` = kn 0，即：取地面以上的量子数为地球表面量子数的倍数，有n = (k + 1)n 0，则r = Kn 02(k + 1)2，Δr = 2Kn 0(k + 1) = 2.66×10-40(k + 1)． 这说明：当地面以上的量子数按k + 1成倍地增加时，半径将按k + 1的平方的规律增加，而轨道之间的距离只按k + 1的一次方的规律增加；由于Δr 的系数很小，所以轨道间距是非常非常小的，因此可认为轨道半径是连续变化的．17.11 电子和光子各具有波长2.0×10-10m ，它们的动量和总能量各是多少？[解答]它们的动量都为34106.6310210h p λ--⨯==⨯= 3.315×10-24(kg·m·s -1)．根据公式E 2= p 2c 2 + m 02c 4，电子的总能量为E ==3×108×[(3.315×10-24)2+ (9.1×10-31×3×108)2]1/2=8.19×10-14(J)． 光子的静止质量为零，总能量为 E = cp = 3×108×3.315×10-24 = 9.945×10-16(J)．17.12 室温下的中子称为热中子K T 300=，试计算热中子的平均德布罗意波长。
解：中子热运动的平均速度的大小为nm kTπ8=v中子的质量m n = 1.673×10-27kg ，可得平均速度为 ,s m 102.50914-⋅⨯=v平均动量为.sm kg 104.2127--⋅⋅⨯==v n m P平均德布罗意波长为nm 158.0m 1058.110=⨯==-ph λ．17.13 假定对粒子动量的测定可以精确到千分之一，试确定下述粒子位置的不确定量。
（1）该粒子质量为3100.5-⨯kg ，以2m·s -1的速度运动；（2）该粒子是速度为8108.1⨯m·s -1的电子． 解：粒子的动量为 p = m v ，动量的不确定量为 Δp = p /1000，根据动量和位置的不确定关系Δp ·Δx ≧ћ/2，位置的不确定量为Δx = ћ/2Δp ．m1028.5210514.341063.6100041000230334---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∆≥∆ph px πm1022.3108.1101.914.341063.610004100021083134---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∆≥∆ph px π17.14 一束动量为P 的电子通过宽度为a 的狭缝发生单缝衍射，设缝与屏之间的距离为R ，试求屏上所观察到的单缝衍射中央明纹宽度。
解：根据动量和位置的不确定关系2/ ≥∆∆x p x ，其中位置不确定量为Δx = a ，动量的不确定量为Δp x = p sin θ．设电子衍射图样的中央明纹宽度为d ，则Rd 2tan sin =≈θθ， 可得,22 ≥Rpda .paR d ≥17.15 电视机显象管中电子的加速电压为9kV ，电子枪枪口直径取0.5mm ，枪口离荧光屏距离为0.30m ，求荧光屏上一个电子形成的亮斑直径。
这样大小的亮斑影响电视图像的清晰度吗？解：取mm 50.0=∆y ，则由不确定关系得yp y ∆=∆2而E m p e x 2=荧光屏上亮斑直径为Em y l yp l l p p d e xxy 22∆=∆=∆=nm2.1m 102.1106.1109101.92105.030.01005.1919331334=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-----此亮斑的大小不会影响当前电视图像的清晰度。