2019年上海市高三二模数学分类汇编—三角比与三角函数
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案2019上海各区高三二模汇编-函数一、填空题11.（崇明3）设函数f(x)=x^2(x>0)，的反函数为y=f^-1(x)，则y=_______。
答案：√x2.（崇明11）已知函数f(x)=x+1(x∈[-∞,8])，则f^-1(4)=_____________。
答案：33.（奉贤3）设函数y=f(x)=log2(x+c)的图像经过点（2,5），则y=f(x)的反函数f^-1(x)=_________。
答案：2x-4，x∈R4.（奉贤9）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0,+∞)单调递减，当x+y=2019时，恒有f(x)+f(2019)>f(y)成立，则x的取值范围是_________。
答案：(-∞,2019)5.（虹口7）若函数f(x)=x|x-a|-4（a∈R）有3个零点，则实数a的取值范围是_________。
答案：(4,+∞)6.（虹口8）若函数f(x)=log3(9x+1)+kx（k∈R）为偶函数，则k的值为_________。
答案：-17.（虹口11）若函数f(x)={2-x(x≤1),f(x-1)-f(x-2)(x>1)}，则f(2019)的值为_________。
答案：-18.（金山1）函数f(x)=x-4的定义域是_________。
答案：[4,+∞)9.（闵行3）已知函数f(x)=log2(x)的反函数为f^-1(x)=_______。
答案：2^x解析：1.第一题没有明显错误，不需要改写。
2.第二题已经给出了函数的定义域，没有明显错误，不需要改写。
3.第三题已经给出了函数的反函数，没有明显错误，不需要改写。
4.第四题的解析中，最后一句话应该是“可解得x-y=-(2019-x)，可解得x<2019.因此，x的取值范围为(-∞,2019)。
”5.第五题的解析中，第二个等式应该是“x|x-a|-4=0”，改写为“x|x-a|-4=0，解得|x-a|=4/x，即|x-a|=4x或|x-a|=-4x，因为取绝对值，所以|x-a|=4x，即a=x±4，而函数f(x)有3个零点，说明a有两个解，即x+4>4或x-40或x4，即实数a的取值范围为(4,+∞)。
知识点高中数学三角比与三角函数精修订
知识点高中数学三角比与三角函数精修订高中数学三角比与三角函数是数学中的重点内容，也是学生在大学数学学习中必不可少的基础知识。
三角比与三角函数是研究角度量的一种重要方法，它们广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将对高中数学中的三角比与三角函数进行精修订。
在高中数学中，三角比主要研究的是角内三边的比值，其中包括正弦、余弦、正切等概念。
正弦函数在直角三角形中的定义是：对于一个锐角三角形，它的一个内角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。
余弦函数的定义是：对于一个锐角三角形，它的一个内角的余弦等于该角的邻边与斜边的比值。
正切函数的定义是：对于一个锐角三角形，它的一个内角的正切等于该角的对边与邻边的比值。
除了正弦、余弦、正切之外，还有余割、正割、余切等三角比。
余割的定义是：余割等于余弦的倒数，即余割=1/余弦。
正割的定义是：正割等于正弦的倒数，即正割=1/正弦。
余切的定义是：余切等于余弦的倒数，即余切=1/正弦。
在数学中，除了三角比之外，还有三角函数。
三角函数是以角为自变量的函数，其中包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余割函数、正割函数和余切函数。
正弦函数的定义是：对于一个角θ，它的正弦函数sinθ等于θ的对边与斜边的比值。
余弦函数的定义是：对于一个角θ，它的余弦函数cosθ等于θ的邻边与斜边的比值。
正切函数的定义是：对于一个角θ，它的正切函数tanθ等于θ的对边与邻边的比值。
除了正弦函数、余弦函数、正切函数之外，还有余割函数、正割函数和余切函数。
余割函数的定义是：余割函数cosecθ等于θ的斜边与θ的对边的比值的倒数。
正割函数的定义是：正割函数secθ等于θ的斜边与θ的邻边的比值的倒数。
余切函数的定义是：余切函数cotθ等于θ的邻边与θ的对边的比值的倒数。
在高中数学中，三角比与三角函数在几何和物理中的应用非常广泛。
在几何中，三角比用于解决直角三角形中的角度和边长问题。
在物理中，三角比与三角函数被广泛应用于解决力学、电磁学、波动等领域的问题。
2019年最新上海市第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则AB = ．2. 已知复数z 满1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosxf x cosx sinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ．5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ． 7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++（*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m ()x y =，，n ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A BC D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④ 15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）9 16. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ）（A ）(]02， （B ）(]12，（C ）[]12， （D ）[]14， 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”． （1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由； （2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 1112、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(12E ，，，(011)F ，，，()111EF =--，，，()1002AA =，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF 与1AA 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅…… 6/3==，……7/注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故3arccosα=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =，，，…………………10/设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF 与n 所成角为γ，则EF n sin cos EF nθγ⋅==⋅………12/3=13/1又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，θ∴=线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FH CD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A BC D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE=，故HE tanEFH FH∠=， ………………………………………… 6/== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=从而异面直线EF 与1AA 所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A BC D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B所成角的大小即为EFC∠． ………………………………10/在Rt EFC∆中，易得1EC FC ==，，故ECtan EFCFC∠=……………………12/2==，………………13/又(0)2EFCπ∠∈，，故2E F C a r c ta n∠=，即直线EF与平面11AA B B所成角的大小为……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．……………2/当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为tx=，则(A t，(B t-，，ttOBOA42-=⋅．…………3/当直线l的斜率k存在时，则0≠k，设l的方程为)(txky-=，11()A x y，，22()B x y，，由24()y xy k x t⎧=⎨=-⎩消去x，得0442=--ktyky，故121244y yky y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，ttyyyyyyxx41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OBOA⋅的值与直线l倾斜角的大小无关．…………………………………………6/方法二：由题意，2=p，所以抛物线的方程为xy42=．………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y x x my t ⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩， 所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT =， ……………………… (8)/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因xa a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m mf n n ==，，……8/这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程1)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/ 故a的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/故12k =．………………………………………………………………………………………4/（2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--， 211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=；……………………7/当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()222n n n S nn-=⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/② 若ma 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m mma a aa a+-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/综上，存在实数k满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x xy -=+得1201x y y +=>-，解得11y -<<，………………2/1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+． （ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/（ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =- 211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合； 若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>， 又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/ （3）存在．………………………………………………………………………11/不妨设a b c ≥≥．若2a cb +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-． 故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/若2a cb +>，则2a ac b <+<，即220a b a b <⇔-<， 又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又 22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/下证：上界15λ<不可能出现． 假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时，d22222213()()()55a b c a b c acλλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！．综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。
03.2019年上海高三数学二模分类汇编：函数
1（2019金山二模）. 函数4)(-=x x f 的定义域是2（2019徐汇二模）. 已知点(2,5)在函数()1x f x a =+（0a >且1a ≠）的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=3（2019崇明二模）. 设函数2()f x x =（0x >）的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -= 3（2019松江二模）. 已知函数2()log f x x =的反函数为1()f x -，则1(2)f -= 4（2019黄浦二模）. 若函数()f x 的反函数为112()fx x -=，则(3)f = 7（2019长嘉二模）.设函数()f x =a 为常数）的反函数为1()f x -，若函数1()f x -的图像经过点(0,1)，则方程1()2f x -=解为________9（2019青浦二模）. 已知a 、b 、c 都是实数，若函数2()1x x a f x b a x c x⎧≤⎪=⎨+<<⎪⎩的反函数的定义域是(,)-∞+∞，则c 的所有取值构成的集合是9（2019黄浦二模）. 若函数221()lg ||1x x f x x m x ⎧-≤=⎨->⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m的取值范围为10（2019金山二模）. 已知函数x x f sin )(=和()g x [,]ππ-，则它们的图像围成的区域面积是10（2019徐汇二模）. 已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈使得 121()()()()n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值是11（2019青浦二模）. 已知函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ），在区间(1,1)-内有两个零点，则22a b -的取值范围是11（2019崇明二模）. 已知函数9()||f x x a a x=+-+在区间[1,9]上的最大值是10，则实数a 的取值范围是11（2019松江二模）. 若函数||||2()4(2||9)29||18x x f x x x x =+-+-+有零点，则其所有零点的集合为 （用列举法表示）11（2019金山二模）. 若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<∈x Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是12（2019长嘉二模）. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x f x +=-，且当01x ≤≤时，2()log ()f x x a =+，若对于任意[0,1]x ∈，都有221()1log 32f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为________12（2019浦东二模）. 已知2()22f x x x b =++是定义在[1,0]-上的函数，若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是12（2019静安二模）．已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=21sin )(x a x f ，若⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+201920172019220191)0(f f f f 1010)1(20192018=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+f f ，则实数=a ____________．12（2019杨浦二模）. 定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为13（2019崇明二模）. 下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ）A. y =B. 12log y x =C. 3y x =-D. 1y x x=+16（2019徐汇二模）. 设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x ∈R ，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ① 10()00x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；② 3()f x x =；③ 2()|1|f x x =-；④ 2()f x x =；不具有性质P 的函数为（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④16（2019浦东二模）. 已知()||f x a x b c =-+，则对任意非零实数a 、b 、c 、m ，方程2()()0mf x nf x t ++=的解集不可能为（ ）A. {2019}B. {2018,2019}C. {1,2,2018,2019}D. {1,9,81,729} 16（2019静安二模）．设)(x f 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有)()()(y f x f y x f =+，若211=a ，)(n f a n =（*N ∈n ），数列}{n a 的前n 项和n S 组成数列{S n }，则有（ ） （A ）数列{S n }递增，最大值为1． （B ）数列{S n }递减，最小值为12．（C ）数列{S n }递增，最小值为12． （D ）数列{S n }递减，最大值为1．18（2019黄浦二模）. 经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T （元）关于每次订货x （单位）的函数关系为()2Bx AC T x x=+，其中A 为年需求量，B 为每单位物资的年存储费，C 为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？18（2019崇明二模）. 已知函数12lg 6()564a x a x f x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩. （1）已知(6)3f =，求实数a 的值；（2）判断并证明函数在区间[7,8]上的单调性.18（2019静安二模）．已知函数2lg()1y a x =+-（a 为实常数）． （1）若2lg()1y a x =+-的定义域是113x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或，求a 的值； （2）若2lg()1y a x =+-是奇函数，解关于x 的不等式2lg()01a x +>-． 19（2019长嘉二模）. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为6万元/毫米厚，且每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x （毫米）满足关系：40()35H x x =+（010x ≤≤），设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）解释(0)H 的实际意义，并求()f x 的表达式；（2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用()f x 最小？并计算与不建隔热层比较，业主节省多少钱？19（2019青浦二模）. 已知a ∈R ，函数2()2x x a f x a-=+. （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若0a ≥且2()3a f x -<对任意x ∈R 都成立，求a 的取值范围.19（2019金山二模）. 从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单位：年，t ∈N *）满足如下的逻辑斯蒂函数：0.526()1e t f t -+=+，其中e 为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0. （1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）（2）在第几年内，该树长高最快？19（2019松江二模）. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100名技术人员，年人均投入m 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（*x ∈N 且[45,60]x ∈），调整后研发人员的年人均投入增加2x %，技术人员的年人均投入调整为3()50x m a -万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同， 求调整后的技术人员的人数；（2）是否存在这样的实数a ，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研 发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a 的范围，若不存在，说 明理由.19（2019静安二模）.某文化创意公司开发出一种玩具（单位：套）进行生产和销售．根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用（单位：元）构成：a.固定成本（与生产玩具套数x 无关），总计一百万元；b. 生产所需的直接总成本50x +1100x 2．（1）问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？（2）假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加.设每套玩具的售价为q 元，q =a +x b (a,b ∈R ).若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a 、b 的值．（利润=销售收入-成本费用）21（2019浦东二模）. 已知函数()y f x =的定义域D ，值域为A .（1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）① 1()tan[()]2f x x π=-，(0,1)x ∈；② 1()lg(1)g x x =-，(0,1)x ∈；（2）已知12()log (21)f x x =+，()sin 2g x x =，函数[lg()]f x 的值域[1,0]A =-，试求出满足条件的函数[lg()]f x 一个定义域D ；（3）若D A ==R ，且对任意的,x y ∈R ，有|()||()()|f x y f x f y -=-，证明：()()()f x y f x f y +=+.21（2019徐汇二模）.已知函数1()y f x =,2()y f x =,定义函数112212()()()()()()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩. （1）设函数1()f x =121()()2x f x -=（0x ≥），求函数()y f x =的值域； （2）设函数1()lg(||1)f x p x =-+（102x <≤，p 为实常数），21()lg f x x =（102x <≤）， 当102x <≤时，恒有1()()f x f x =，求实常数p 的取值范围； （3）设函数||1()2x f x =，||2()32x p f x -=⋅，p 为正常数，若关于x 的方程()f x m =（m 为 实常数）恰有三个不同的解，求p 的取值范围及这三个解的和（用p 表示）.21（2019宝山二模）. 已知函数()f x 、()g x 在数集D 上都有定义，对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，121212()()()()f x f x g x g x x x -≤≤-或122112()()()()f x f x g x g x x x -≤≤-成立，则称()g x 是数集D 上()f x 的限制函数.（1）求1()f x x=-在(0,)D =+∞上的限制函数()g x 的解析式； （2）证明：如果()g x 在区间1D D ⊆上恒为正值，则()f x 在1D 上是增函数；【注：如果()g x 在区间1D D ⊆上恒为负值，则()f x 在区间1D 上是减函数，此结论无需证明，可以直接应用.】（3）利用（2）的结论，求函数2()f x x =-[0,)D =+∞上的单调区间.。
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—函数及答案
2019上海各区高三二模汇编-函数一、 填空题.1.（崇明3）设函数)0()(2>=x x x f 的反函数为)(1x f y -=，则=-)4(1f _____________.【答案】22.（崇明11）已知函数a a xx x f +-+=9)(在区间][91，上的最大值是10，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】](8-，∞3.（奉贤3）设函数2()log y f x x c ==+的图像经过点（2,5），则()y f x =的反函数1()f x -= 【答案】R x x ∈-,244.（奉贤9）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞单调递减，当2019x y +=时，恒有()(2019)()f x f f y +>成立，则x 的取值范围是【答案】)0,(-∞【解析】由题意，可以用特殊函数做，比如x x f y -==)(，则可得)2019(2019x y x --=->--， 可解得0<x 。
5.（虹口7）若函数()||4f x x x a =--（a ∈R ）有3个零点，则实数a 的取值范围是 【答案】),4(+∞【解析】x a x a x x 4||04||=-⇒=--令xx g a x x h 4)(|,|)(=-=根据两函数的图像可知要想要函数)(x f 有3个零点，即)()(x g x h 、有三个交点，如下图找到相切的解即404=⇒=∆⇒=-a xx a 那么想要有三个交点即4>a . 6.（虹口8）若函数3()log (91)x f x kx =++（k ∈R ）为偶函数，则k 的值为 【答案】1-【解析】由02229log 21919log )()(33=+=+=+++=---kx x kx kx x f x f x xx 可得1-=k 7.（虹口11）若函数20()(1)(2)0x x f x f x f x x -⎧≤=⎨--->⎩，则(2019)f 的值为【答案】1- 【解析】.1)0()3()2019(),()3()6();()1()]()1([)1()2()3(,0-=-==∴=+-=+-=+--+=+-+=+>f f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x8.（金山1）函数()f x 的定义域是 .【答案】[)4,+∞【解析】40x -≥9.（闵行32 log x 的反函数为【答案】4．10.（闵行11)()4292xx=+-⋅+_______________． 【答案】{2,--11.（浦东12）已知而且存在实数0x 【答案】13--28⎡⎫⎪⎢⎣⎭，12.（普陀3）函数()x x y -+=1log 221的定义域为______.【参考答案】[)10，13.（普陀9）设a 、b 、c 满足1≥a 、1≥b 、1≥c ，且10=abc ，10lg lg lg ≥⋅⋅c b ac b a ，则=++c b a ______.【参考答案】12 【解析】,10,2,,0(110,,lg ,lg ,lg 1lg lg lg 1lg 1)(lg )(lg )(lg 1lg lg lg 10lg )lg(10222222222lg lg lg lg lg lg =≤+++≥++⎩⎨⎧=++≥++====++=≥++≥++≥⋅⋅=b a y x z y x yz xz xy x z y x z y x z y x z y x c z b y a x c b a abc c b a c b a c b a abc c b a c b a ，为设中至少有大于令14.（普陀12数，则不等式(x f +【参考答案】(∞-,15.（青浦7）函数y 【答案】sin12π+【解析】|sin y x =+16.（青浦9）已知a 【答案】{}0【解析】由题意函数⎪⎩⎪⎨⎧<<+≤=c x a b xa x x x f ,1,)(2的反函数的定义域是()+∞∞-,，所以函数)(x f 存在反函数并且函数的值域是()+∞∞-,，即得0<a ，当c x a b xx f <<+=,1)(时，可得函数的值域必须有能取到∞-，所以得c 只能等于0.17.（青浦11）已知函数2()f x x ax b =++（,a b R ∈），在区间(1,1)-内有两个零点，则22a b -的取 值范围是________【答案】(0,2)【解析】方程韦达定理：1212,x x a x x b +=-⋅=，代入可得：222122a b x x -=+； 且1(1,1)x ∈-、2(1,1)x ∈-，又12,0x x ≠，则2212(0,2)x x +∈18.（徐汇2【答案】2log (19.（徐汇1012()()f x f x ++【答案】620.（杨浦3【答案】321.（杨浦6【答案】2- 【解析】令(1f -22.（杨浦7【答案】1[2π-【解析】由题意()arcsin 211xy x x =+-≤≤，在[]1,1-上单调递增，当1x=-时，12y π-=，当1x =时，42y π+=，故该函数的值域是14,22ππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦．23.（杨浦9）若定义域为(,0)(0,)-∞+∞的函数120()20x x x f x m x -⎧->=⎨+<⎩是奇函数，则实数m 的值为【答案】1-【解析】由已知，()112f =，()112f m -=+，∵()f x 是奇函数，∴11022m ++=，∴1m =-，经检验，当1m =-时，()f x 是奇函数，故1m =-．24.（杨浦12）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列； 这样的不同函数()f x 的个数为 【答案】155【解析】由题意，f ∴(){}20,2f ∈，(f }8,,12∵f 成等比数列，∴(2f∴()12f ，此时()①()()11,6f f ==-其中()()16f f →的②()()11,62,f f f ==其中()()16f f →的∴2256150C C ⨯=25.（长宁7则方程2)(-1=x f 【答案】1【解析】由)(-1x f 以方程2)(-1=x f 26.（长宁12若对于任意[]1,0∈x【答案】[] 0,3 二、选择题.1.（崇明13)下列函数中既是奇函数，又在区间），（∞+0上单调递减的函数为（） 【A 】x y =【B 】x 21log【C 】3x y -= 【D 】xx y 1+= 【答案】C2.（浦东16）已知(),f x a x b c =-+则对任意非零实数,,,,,a b c m n t ，方程2()()0mf x nf x t ++=的解集不可能为（ ）【A 】{}2019 【B 】{}2018,2019 【C 】{}1,2,2018,2019 【D 】{}1,9,81,729 【答案】D3.（徐汇16）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x ∈R ，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ① 10()00x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；② 3()f x x =；③ 2()|1|f x x =-；④ 2()f x x =；不具有性质P 的函数为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D三．解答题1.（青浦19）已知a R ∈，函数2()2x x af x a-=+.（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数； （2）若0a ≥且2()3a f x -<对任意x R ∈都成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）1±=a ；（2）5≥a【解析】（1）由题意当0≥a 时，R x ∈,0)()(=-+∴x f x f 解得1=a ；当0<a 时，)(log 2a x -≠，所以要使得函数为奇函数，a 只能等于1-，即当1-=a 时，经检验0)()(=-+x f x f 满足，综上1±=a ；（2）当0≥a 当0≤0>a 2.()=x H （1）（2()f x（2）()80061010107035f x x x ⎛⎫=++-≥=⎪+⎝⎭，当80061035x x =++，即5x =时取等号，所以当隔热层喷涂5毫米时，业主的所付总费用最小70万元.如果不建隔热层20年将付能源费208160⨯=万元，所以业主节省90万元.3.（杨浦18）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t （单位：分字）满足：220t ≤≤，t ∈N ，经测算，地铁载客量()p t 与发车时间间隔t 满足2120010(10)210()12001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩，其中t ∈N . （1）请你说明(5)p 的实际意义； （2）若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多【答案】（1【解析】（1）)5(p )5(p（2）当102<≤t 等号成立当且仅当t 当2010≤≤t 时， 等号成立当且仅当t 故当发车时间间隔为4.（普陀19平方米）可用15燃料费为10020+x k（k 为常数）万元。
三角函数与三角比的应用
三角函数与三角比的应用三角函数和三角比是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
本文将介绍三角函数和三角比的定义及其应用，包括测量、建筑、航海和物理等方面。
一、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）：在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比，即sinθ=opposite/hypotenuse。
2. 余弦函数（cos）：在一个直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比，即cosθ=adjacent/hypotenuse。
3. 正切函数（tan）：在一个直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比，即tanθ=opposite/adjacent。
二、三角函数的应用1. 测量三角函数在测量中起到重要的作用。
例如，测量一座建筑物的高度可以通过测量地面与建筑物之间的角度及距离，利用正切函数来计算其高度。
2. 建筑在建筑设计中，三角函数用于计算房屋的角度和方向，以确保房屋在施工过程中的准确定位和平衡。
3. 航海三角函数对航海导航非常重要。
通过测量天体的角度和高度，并利用正弦和余弦函数，航海者可以确定自己的位置和航行方向。
4. 物理学三角函数在物理学中的应用广泛。
例如，运动学中的矢量分解和动力学中的力的分解都离不开三角函数的运算。
5. 信号处理三角函数在信号处理领域中有很多应用。
例如，通过傅里叶变换可以将任意复杂的信号分解为一系列简单的三角函数的叠加。
6. 电子工程在电子工程中，三角函数在交流电路和信号处理中被广泛使用，例如计算频率响应和相位差等。
三、三角比的应用1. 角度的度量角度的度量通常使用弧度制或度制，而正弦、余弦和正切等三角函数则常常用来计算角度。
2. 相似三角形相似三角形是几何学中的重要概念，在测量和建模中广泛应用。
三角比可用于计算相似三角形的边长比例。
3. 三角恒等式三角恒等式是三角函数中的重要性质，广泛用于证明和推导三角函数的各种关系。
常见的三角恒等式包括正弦定理、余弦定理等。
4. 几何图形的计算三角比可用于计算各种几何图形的面积、周长和体积等。
上海市普陀区2019届高三3月模拟练习(二模)数学试题附答案解析
上海市普陀区2019届高三3月模拟练习（二模）数学试题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由题意得到OA、OB、OC两两垂直，结合几何体，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，由勾股定理即可求出结果.【详解】显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设为ABC所在平面截球所得圆的圆心，，且，．为的中心．由，可得．故选：B．【点睛】本题主要考查点到平面的距离，结合勾股定理即可求解，属于基础题型.2.在中，，，，若将绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，绕直线旋转一周，，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以ABD为轴截面的校园追后剩余的部分.因为，，，所以.，所以.故选D.3.将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，若位于函数的图象上，则A. ，s的最小值为B. ，s的最小值为C. ，s的最小值为D. ，s的最小值为【答案】C【解析】【分析】先由题意求出，再由将函数图象上的点向左平移个单位，得到点，以及位于函数的图象上，可表示出，进而可求出结果.【详解】将代入得：，进而求出平移后的坐标，将函数图象上的点向左平移个单位，得到点()，若位于函数的图象上，则，则，，则，，由得：当时，s的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记平移原则以及三角函数性质即可，属于常考题型.4.已知x，，且，则存在，使得成立的构成的区域面积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由目标函数作出可行域，根据可得，由换元法令，则，可将存在，使得成立，转化为存在，使得成立，进而可确定x，所满足的平面区域，继而可求出结果.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在，使得成立，则，令，则，则方程等价为，即，存在，使得成立，，即，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即，，则三角形OAB的面积，直线的倾斜角为，则，即扇形的面积为，则构成的区域面积为，故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划问题，只需作出可行域，再根据题意确定x，所满足的平面区域，即可求解，属于常考题型.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合，，则______．【答案】【解析】【分析】先解将得到集合，进而可求出结果.【详解】或或，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查补集的运算，熟记概念即可，属于基础题型.6.已知复数是虚数单位，则的虚部等于______．【答案】-1【解析】【分析】先由复数的运算化简，进而可求出结果.【详解】，的虚部等于．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则和复数的概念即可，属于基础题型.7.计算______．【答案】【解析】【分析】先对化简，再分子与分母同除以，即可求出结果.【详解】，．原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查“”的极限问题，先将原式进行化简即可，属于基础题型.8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为，则______．【答案】-14【解析】【分析】先由题意得到，再进一步计算即可得出结果.【详解】由题意得解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.9.被7除后的余数为______．【答案】2【解析】【分析】先由化为，再由二项展开式展开即可得出结果.【详解】．被7除后的余数为2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项展开式即可，属于常考题型.10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.11.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用两角差正切公式即可得到结果.【详解】,故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正切公式，考查计算能力，属于基础题.12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．【答案】【解析】【分析】先求出“从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者”所包含的基本事件总数，再求出满足“甲被选中，乙没有被选中”的基本事件数，即可求出结果.【详解】从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有，“甲被选中，乙没有被选中”的概率．故答案为：．【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可求解，属于常考题型.13.如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．【答案】【解析】二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则,令可得展开式中的所有项的系数之和是.14.若关于x、y的二元一次方程组至少有一组解，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先将方程组化为二元一次方程组，根据题意求出直线与直线平行时的值，即可得出满足题意的m的取值范围。
2019年最新上海市普陀区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析
第二学期 高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos si n =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 .8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2+⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαt an t an ≠”成立的……………………………………（ ）)A (充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值. （1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.1A1B1C1D BDA CEF19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k ,1=，求∆A O B 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.xyo高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,11FB……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=C A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1DE……8分 设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分 所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan=ϕ……2分 根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分 即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3,，()3,6 …12分 则当3,11==y x 时，333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω 答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
2019上海高中数学二模基础题汇编
2019上海⾼中数学⼆模基础题汇编⾼中数学上海19届⼆模真题基础题汇编姓名：年级：宝⼭区1. 已知i 为虚数单位，则集合{|i ,}n A x x n ==∈Z 中元素的个数为2. 圆22266x y x y +-+=的半径r =3. 过点(2,4)A -，且开⼝向左的抛物线的标准⽅程是4. 设z C ∈，且2i 2z z -=+，其中i 为虚数单位，则||z = 5. 在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为（结果⽤数值表⽰）6. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知点(2,1)P ，若(,)Q x y 为平⾯区域221x y x y +≥??≤??≤?上的⼀个动点，则OP OQ ?u u u r u u u r的取值范围是7. ⽤数学归纳法证明21211n n nn ->++对任意n k ≥（,n k ∈N ）的⾃然数都成⽴，则k 的最⼩值为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图，已知点P 在圆柱1OO 的底⾯圆O 上，120AOP ∠=?，圆O 的直径4AB =，圆柱的⾼13OO =.（1）求圆柱的表⾯积和三棱锥1A APB -的体积；（2）求点A 到平⾯1A PO 的距离.杨浦区1. 函数2()12sin f x x =-的最⼩正周期是2. ⽅程组3102540x y x y -+=??+-=?的增⼴矩阵为3. 若幂函数()k f x x =的图像过点(4,2)，则(9)f =4. 若(13)n x +的⼆项展开式中2x 项的系数是54，则n =5. 若复数z 满⾜2(i)34i a b +=+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），则22a b +=6. 函数1log (3)a y x =-++（0a >且1a ≠）的反函数为1()f x -，则1(1)f --=7. 若x 、y 满⾜020x y x y y -≥??+≤??≥?，则⽬标函数2f x y =+的最⼤值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 8. 已知函数()(1tan )sin 2f x x x =+?. （1）求()f x 的定义域；（2）求函数()()2F x f x =-在区间(0,)π内的零点.奉贤区1. 计算⾏列式2cossin33sin cos2ππππ=2. 在62()x x+的展开式中常数项为3. 设函数2()log y f x x c ==+的图像经过点（2,5），则()y f x =的反函数1()f x -=4. 参数⽅程2cos sin x y θθ=+??=?（θ为参数，[0,2)θπ∈）表⽰的普通⽅程为5. 若关于x 、y 的⼆元⼀次线性⽅程组的增⼴矩阵是11602a ?? ???，该⽅程组的解为2c ??，则a c +=6. 若x 、y 满⾜约束条件0262x y x y x y -≥??+≤??+≥?，则3x y +的最⼩值为7. 在等差数列{}n a 中，设,,,k l p r *∈N ，则k l p r +>+是k l p r a a a a +>+的（） A. 充分⾮必要条件 B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既⾮充分⾮必要条件8. 已知sin θ、sin α、cos θ成等差数列，sin θ、sin β、cos θ成等⽐数列. （1）若6πα=，求θ；（2）求1cos2cos22αβ-的值.虹⼝区1. 设全集U =R ，若{||3|1}A x x =->，则U A =e2. 若复数i(2i)z =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =3. 已知1cos 3θ=，θ在第四象限，则cos()2πθ+=4. ⾏列式201949sin cos 5sincos23πθθππ-的元素π的代数余⼦式的值等于 5. 5位同学各⾃在周六、周⽇两天中任选⼀天参加公益活动，则周六、周⽇都有同学参加公益活动的概率为6. 已知1F 、2F 是椭圆22:13627x y C +=的两个焦点，点P 为椭圆C 上的点，1||8PF =，若M 为线段1PF 的中点，则线段OM 的长为7. 已知α、β是两个不同平⾯，m 为α内的⼀条直线，则“m ∥β”是“α∥β”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 已知函数()log (93)xa f x =-（0a >，1a ≠）.（1）若函数()f x 的反函数是其本⾝，求a 的值；（2）当14a =时，求函数()()y f x f x =+-的最⼩值.普陀区1. 设集合{1,2,3}A =，2{|20}B x x x =--≤，则A B =I2. 双曲线22:1169x y C -=的顶点到其渐近线的距离为 3. 函数122log (1)y x x =+-的定义域为4. 设直线l 经过曲线12cos :12sin x C y θθ=+??=+?（θ为参数，02θπ≤≤）的中⼼，且其⽅向向量(1,1)d =u r，则直线l 的⽅程为5. 若复数1i z =+（i 为虚数单位）是⽅程20x cx d ++=（c 、d 均为实数）的⼀个根，则|i |c d +=6. 若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的⾯积为6，则该圆柱的体积为7. 若椭圆的焦点在x 轴上，焦距为26，且经过点(3,2)，则该椭圆的标准⽅程为（）A. 22193y x +=B. 2213612x y +=C. 2213612y x +=D. 22193x y += 8. 如图所⽰，圆锥的顶点为P ，底⾯中⼼为O ，母线4PB =，底⾯半径OA 与OB 互相垂直，且2OB =. （1）求圆锥的表⾯积；（2）求⼆⾯⾓P AB O --的⼤⼩（结果⽤反三⾓函数值表⽰）.徐汇区1. 设全集U =R ，若集合{1,2,3,4}A =，{|23}B x x =≤≤，则U A B =I e2. 已知点(2,5)在函数()1x f x a =+（0a >且1a ≠）的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=3. 不等式11x x+>的解为 4. 已知球的主视图所表⽰图形的⾯积为9π，则该球的体积是5.函数cos2sin ()cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最⼩值为6. 若2i +（i 是虚数单位）是关于x 的实系数⽅程20x mx n ++=的⼀个根，则圆锥曲线221x y m n+=的焦距是 7. 满⾜条件|i ||34i |z -=+（i 是虚数单位）的复数z 在复平⾯上对应的点的轨迹是（） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线8. 在△ABC 中，⾓A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且2cos24cos()30A B C +++=.（1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值.青浦区1. 不等式12x>的解集是 2. 已知复数z 满⾜(1i)24i z +=+（其中i 为虚数单位），则||z =3. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，a r 在x 轴、y 轴正⽅向上的投影分别是3-、4，则a r的单位向量是4. 在6(1)x -的⼆项展开式中，含有3x 项的系数为（结果⽤数值表⽰）5. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，若双曲线2214x y -=经过抛物线22y px =（0p >）的焦点，则p =6. 已知E 、F 是互斥事件，()0.2P E =，()0.8P E F =U ，则()P F =7. 已知{|}A y y x ==，2{|log }B y y x ==，则A B =I （）A. (0,)+∞B. [0,)+∞C. {2}D. {(4,2)}8. 如图，圆柱是矩形11O OAA 绕其边1O O 所在直线旋转⼀周所得，AB 是底⾯圆的直径，点C 是弧AB 的中点.（1）求三棱锥1A ABC -体积与圆柱体积的⽐值；（2）若圆柱的母线长度与底⾯半径相等，点M 是线段1AO 的中点，求异⾯直线CM 与1BO 所成⾓的⼤⼩.黄浦区1. ⾏列式1247的值为 2. 计算：222lim31n n n n →∞--=+ 3. 椭圆2212x y +=的焦距长为4. 若函数()f x 的反函数为112()fx x -=，则(3)f =5. 若球主视图的⾯积为9π，则该球的体积等于6. 不等式11|1|2x <-的解集为7. 设x ∈R ，“0x >”是“(1)0x x +>”的（） A. 充分⾮必要条件 B. 必要⾮充分条件 C. 充要条件 D. 既⾮充分⼜⾮必要条件 8. 如图，在棱长为2的正⽅体ABCD A B C D ''''-中，E 为AB 的中点. （1）求证：直线A E '平⾏于平⾯CC D D ''；（2）求异⾯直线A E '与B C '所成⾓的⼤⼩. （结果⽤反三⾓函数值表⽰）长宁嘉定区1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{|26}B x x =<<，则A B =I ________2. 已知复数z 满⾜i 34i z =+（i 是虚数单位），则||z =________3. 已知线性⽅程组的增⼴矩阵为2012m n ??，解为11x y =??=?，则m n +=________ 4. 在7(1)x +的⼆项展开式中，5x 项的系数为________ 5. 已知圆锥的主视图为图所⽰，则该圆锥的侧⾯积是________6. 已知实数x 、y 满⾜011x y y x ≥??≤??≥-?，则2x y -的最⼤值为________7. 已知x ∈R ，则“11x>”是“1x <”的（）条件 A. 充分⾮必要 B. 必要⾮充分 C. 充要 D. 既⾮充分⼜⾮必要 8. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底⾯边长为1，1A B 与底⾯ABCD 所成⾓为4π. （1）求三棱锥1A BCD -的体积；（2）求异⾯直线1A B 与1B C 所成⾓的⼤⼩.崇明区1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，则()U A B =I e2. 函数sin cos y x x =的最⼩正周期T =3. 设函数2()f x x =（0x >）的反函数为1()y f x -=，则1(4)f -=4. 若复数i 2iza =+（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为 5. 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点(0,2)，则该椭圆的标准⽅程为 6. 已知⼆项式26()a x x+的展开式中含3x 项的系数是160，则实数a 的值是 7. 下列函数中既是奇函数，⼜在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（） A. y x =B. 12log y x = C. 3y x =- D. 1y x x=+8. 已知在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，11AB BB ==，直线1B C 与平⾯ABC 成30°的⾓.（1）求三棱锥11C AB C -的体积；（2）求⼆⾯⾓1B B C A --的余弦值.浦东新区1. 若集合{|5}A x x =>，集合{|7}B x x =≤，则A B =I2. 若⾏列式128012x -=，则x =3. 复数12iiz +=的虚部为（其中i 为虚数单位） 4. 平⾯上有12个不同的点，其中任何3点不在同⼀直线上，如果任取3点作为顶点作三⾓形，那么⼀共可作个三⾓形（结果⽤数值表⽰）5. 如果⼀个圆柱的⾼不变，要使它的体积扩⼤为原来的5倍，那么它的底⾯半径应该扩⼤为原来的倍6. 已知函数()sin 2()f x x ?=+（0?>）是偶函数，则?的最⼩值是7. 如图，⽔平放置的正三棱柱的俯视图是（）A. B. C. D.8. 已知正三棱柱111ABC A B C -中，122AA AC ==，延长CB ⾄D ，使CB BD =. （1）求证：1CA DA ⊥；（2）求⼆⾯⾓1B AD C --的⼤⼩.（结果⽤反三⾓函数值表⽰）松江区1. 已知集合{||1|1}A x x =-<，{|1}B x x =>，则A B =I2. 抛物线22y x =的准线⽅程为3. 已知函数2()log f x x =的反函数为1()f x -，则1(2)f -=4. 已知等⽐数列{}n a 的⾸项为1，公⽐为12-，n S 表⽰{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞=5. 若x 、y 的⽅程组10240x my x y n +-=??-+=?有⽆穷多组解，则11m n 的值为6. 在△ABC 中，⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其⾯积2221()3S a c b =+-，则 tan B =7. 已知l 、m 、n 是三条不同直线，α、β是两个不同平⾯，下列命题正确的是（） A. 若l m ⊥，l n ⊥，则m ∥nB. 若m α?，n β?，α∥β，则m ∥nC. 若m α?，n α?，m n A =I ，l m ⊥，l n ⊥，则l α⊥D. 平⾯α内有不共线的三点到平⾯β的距离相等，则α∥β8. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底⾯ABCD 是边长为2的正⽅形，PD ⊥底⾯ABCD ，1PD =.（1）求直线PB 与平⾯PCD 所成的⾓的⼤⼩；（2）求四棱锥P ABCD -的侧⾯积.⾦⼭区1. 函数4)(-=x x f 的定义域是2. 函数2)cos (sin x x y +=的最⼩正周期是3. 若关于x 、y 的线性⽅程组的增⼴矩阵为0603m n ??，该⽅程组的解为34x y =-??=?，则m n +的值是4. ⼆项式7)1(+x 的展开式中含3x 项的系数值是 5. 已知全集U = R ，集合1{|,01}P y y x x==<<，则U P =e 6. 若i 11+=z ，i 2-=a z ，其中i 为虚数单位，且12z z ?∈R ，则2||z = 7. 在长⽅体1111ABCD A B C D -中，下列计算结果⼀定不等于0的是（）A. 11AD B C ?u u u u r u u u rB. 1BD AC ?u u u u r u u u rC. 1DC AD ?u u u r u u u u rD. 111BD B C ?u u u u r u u u u r8. 已知△ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =，17AB =. 求：（1）⾓C 的⼤⼩；（2）△ABC 中最⼩边的边长.。
2019年上海市各区高三二模数学分类汇编—解析几何及答案
2019年上海各区高三二模汇编——解析几何专题一、 填空题 1、（宝山2）圆22266x y x y +-+=的半径r =__________【答案】4【解析】写出圆的标准方程：22222266(1)(3)4xy x y x y +-+=⇒-++=2、 （宝山3）过点()2,4A -，且开口向左的抛物线的标准方程是___________【答案】28yx =-【解析】设抛物线为22,0ypx p =->，代入点()2,4A -，则28y x =-3、 （宝山6）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,1P ，若(),Qxy 为平面区域221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上一个动点，则OP OQ 的取值范围是_____________ 【答案】[]3,5【解析】数形结合，画出平面区域，则()()2,1,2OP OQ x y x y ==+，令2x y z +=则即求z 的取值范围，2y x z =-+，线性规划得到分别在点()1,1和()2,1P 取到最值，为[]3,5 4、（崇明5）已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为2，且经过点（0,2），则该椭圆的标准方程为_________.【答案】14522=+y x【解析】由题意可知，1=c ，2=b ，则522=+=c b a ，所以，椭圆方程为14522=+y x5、 （崇明7）已知直线:1l 01)4()3=+-+-y a x a （与:2l 032-)32=+-y x a （平行，则=a _____. 【答案】3或5【解析】当两直线中一条斜率为0，另一条斜率不存在时，轻易可知3=a ；当两条直线斜率都存在时，两直线方向向量或法向量平行，以法向量为例，)4,3(a a --与)2,62(--a 为共线向量，计算可得5=a6、 （奉贤4）参数方程2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数，[0,2)θπ∈）表示的普通方程为【答案】()1222=+-y x【解析】由圆的参数方程可知()1222=+-y x .7、（奉贤6）若x 、y 满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y +的最小值为【答案】2-【解析】由线性规划，画图可知，直线过点()2-4，时，取到最小值2-. 8、（奉贤8）双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，它的两条渐近线的夹角为2π，则双曲线的标准 方程为【答案】1212122=-y x【解析】设双曲线的标准方程，为12222=-by a x 。
上海高三二模分类汇编-三角比三角函数专题(详解版)
二模汇编——三角比三角函数专题一、知识梳理【知识点1】运用两角和与差公式、诱导公式、倍角公式求值【例1】（奉贤区2016二模理文9）在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转4π到点B ，若直线OB 的倾斜角为α，则cos α的值为 .【解析】sin()4πα-，cos()4πα-cos =cos(+)=cos()cos sin()sin 444444ππππππαααα∴----.【点评】抓住三角比的定义先求出已知角的正余弦值，再寻求所求角与已知角的联系，熟练运用两角和差公式求值.【例2】（长宁宝山嘉定青浦2016二模理文6）已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _______. 【答案】3.【解析】由题意2sin cos sin 0θθθ+=，由⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2得2cos 10θ+=，即12cos =23πθθ=-∴，，4tan 2tan3πθ=. 【点评】熟练掌握正余弦和正切的二倍角公式，注意所给角的范围.【例3】（普陀区2017二模3）若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 【答案】3. 【解析】由παπ<<2，得4cos 5α=-，所以3sin 5tan 3421cos 15ααα===+-.【点评】熟练掌握由sin α的值求cos α的值的操作程序，注意利用所给角的范围判断正负；熟练运用正弦的半角公式.【例4】（浦东新区2017二模15）已知2sin 1cos x x =+，则cot2x=（ ）A 、2；B 、2或12；C 、2或0；D 、12或0. 【答案】C.【解析】当1cos 0x +≠时，sin 1tan21cos 2x x x ==+，1cot 22x ∴=； 当1cos 0x +=时，2x k ππ=+，2cot cot 022x k ππ==+. 【点评】在运用正切的半角公式sin tan 21cos x x x=+时，注意分母不能为0，当分母为0时要单独讨论.【例5】（青浦区2018二模3）若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______________．【参考答案】13.【解析】31sin )2cos(==-απα【点评】诱导公式的运用，奇变偶不变.【例6】（杨浦区2018二模拟9）若53sin )cos(cos )sin(=---x y x x y x ，则y 2tan 的值为____________． 【参考答案】2424.77-或【知识点2】充分条件必要条件的判断【例1】（普陀区2017二模14） 若R αβ∈、，则“βα≠”是“βαtan tan ≠”成立的（ ） A 、充分非必要条件； B 、必要非充分条件； C 、充要条件； D 、既非充分也非必要条件. 【答案】D.【解析】当5==44ππαβ，时，tan =tan =1αβ，所以“βα≠”不能推出“βαtan tan ≠”；而当==44ππαβ，时，tan tan αβ、无意义，满足“βαtan tan ≠”，但此时=αβ，所以“βαtan tan ≠”不能推出“βα≠” .【点评】证明命题不成立可以举反例，注意考虑正切值不存在的特殊情况.【知识点3】正余弦定理【例1】（静安区2016二模文16）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积2221()4S b c a =+-，A ∠ 的弧度数为（ ）A 、3π； B 、6π； C 、2π； D 、4π.【答案】D.【解析】22222211sin ()sin ==cos 242b c a S bc A b c a A A bc+-==+-⇒，所以4A π∠=.【点评】由题目所给的齐次式联想到余弦定理，并结合三角形的面积公式得到关于A ∠的三角方程从而求出A ∠.【例2】在△ABC 中，已知45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A 、222<<x ；B 、222≤<x ；C 、2>x ；D 、2<x .【答案】A.【解析】在解三角形时，已知三角形的两边a , b 及一边的对角B ，若90B ∠<，则当sin a B b a <<时三角形有两解.【点评】在解决此类已知两边和一对角的解三角形问题时，可借助数形结合的方法画出三角形判断三角形解的个数，或者利用正弦定理结合三角函数图像转化为方程解的个数问题.【知识点4】判断三角形形状【例1】（黄浦区2016二模理文17）若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足()()()7910a b b c c a +++=∶∶∶∶，则△ABC ( )A 、一定是锐角三角形；B 、一定是直角三角形；C 、一定是钝角三角形；D 、可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 【答案】C.【解析】()()()7910=436a b b c c a a b c +++=⇒∶∶∶∶∶∶∶∶，所以22243611cos 024324C +-==-<⨯⨯，所以一定是钝角三角形.【点评】判断三角形形状一般有两种思路，一是通过角的转化，二是用边的关系.【知识点5】解三角形应用题【例1】（2018崇明区二模19） 如图，某公园有三条观光大道,,AB BC AC 围成直角三角形，其中直角边200BC =m ，斜边400AB =m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在,,AB BC AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点,,D E F ．（1）若甲乙都以每分钟100m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2 分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；（2）设CEF θ∠=，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且3DEF π∠=，请将甲乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离． 【参考答案】解：（1）依题意得300BD =，100BE =， 在△ABC 中，1cos 2BC B AB ==， ∴ π3B =， ……2分 在△BDE 中，由余弦定理得：2222212cos 3001002300100700002DE BD BE BD BE B =+-⋅⋅=+-⋅⋅⋅=， ∴DE =……5分所以甲乙两人之间的距离为m . ……6分 （2）由题意得22EF DE y ==，BDE CEF θ∠=∠=，在直角三角形CEF 中，cos 2cos CE EF CEF y θ=⋅∠=， ……1分 在△BDE 中，由正弦定理得sin sin BE DE BDE DBE =∠∠，即2002cos sin sin 60y yθθ-=， ∴sin()3y θ=+，π02θ<<， ……5分 所以当π6θ=时，y 有最小值. (7)分 所以甲乙之间的最小距离为m . ……8分【点评】解题的关键在于利用正余弦定理准确找到题中各个量之间的关系，建立三角函数模型解决最值问题.【知识点6】三角函数定义域、值域、单调性、周期性【例1】（普陀区2017二模16） 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是( )A 、最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数； B 、最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数； C 、最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数； D 、最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数. 【答案】C.【解析】211sin =cos 222y x x =-+，所以最小正周期为2=2ππ，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数. 【点评】欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，将所给的三角函数式化为B x A y ++=)sin(ϕω的形式.【例2】（2018普陀区二模18） 已知函数2(=sin cos sin f x x x x -），R x ∈. （1）若函数()f x 在区间[,]16a π上递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称，且1[,]44x ππ∈-，求点Q 的坐标. 【参考答案】（1）21cos 21(=sin cos sin sin 222x f x x x x x --=+），…………………………2分1)42x π=+-，…………………………4分 当16x π=时，则322416482x πππππ+=⨯+=<，又函数()f x 在[,]16a π上递增，则242a ππ+≥-，即38a π≥-，………………………7分 则实数a 的取值范围为3[,)816a ππ∈-. …………………………………………………8分 （2）若函数()f x 的图像关于点11(,)Q x y 对称，则1sin(2)04x π+=， ………………2分即124x k ππ+=（Z k ∈），则128k x ππ=-[,]44ππ∈-，………………………………4分由Z k ∈得0k =，则点Q 的坐标为1(,)82π--. …………………………………………6分【点评】当自变量x 的取值受限制时，求函数sin()y A x ωϕ=+的单调性，可以先利用解不等式求出原函数再R 上的单调区间，再和限制的定义域取交集，注意对A ω、单调性的影响.【例3】（浦东新区8）.函数2()cos 2,R f x x x x =∈的单调递增区间为____________. 【参考答案】,,36Zk k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【解析】Zk k k k x k x ∈+-∴+≤+≤+-++],6,3[22622221)62sin(ππππππππππ【点评】化简三角函数解决．【例4】函数⎪⎭⎫⎝⎛⋅+=2tan tan 1sin x x x y 的最小正周期为____________. 【答案】π2.【解析】sin 1tan tan =tan 2x y x x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，但原函数定义域为+2,2x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠∈⎨⎬⎩⎭且，所以最小正周期为π2.【点评】本题易将函数解析式化为x y tan =后得到周期π=T ，而忽视了定义域的限制，导致出错.【知识点7】三角函数对称性【例1】如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于直线8x π=-对称，则a = .【答案】1-.【解析】sin 2cos 2)y x a x x ϕ=+=+，所以原函数的最值为最值，所以=1a =- 【点评】形如sin()y A x B ωϕ=++的函数在对称轴时取得最值.【例2】（黄浦区2017二模10）若将函数()f x =|sin()|(0)8x πωω->的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 . 【答案】32.【解析】函数()f x =|sin()|(0)8x πωω->的图像向左平移12π个单位后得到()|sin(+)|(0)128g x x ωππωω=->，若()g x 是偶函数，则(0)=0g 或1，所以()3==+612822k k k Z ωπππω-⇒∈，所以ω的最小值是32.【点评】本题结合三角函数图像易知0x =时sin(+)128x ωππω-的函数值为0或者1±，再解三角方程即可.【知识点8】三角函数图像性质综合【例1】（闵行区2016二模理18）将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、，有12x x -的最小值为π6．则ϕ=（ ）A 、π3 ；B 、π6 ；C 、π3或π23；D 、 π6或π56.【答案】C.【解析】由题意，()()f x g x 、恰好取到波峰与波谷时才能满足条件，由于ϕ范围较小，故此题可以理解为，函数()f x 的相邻波峰和波谷所对应的x 相距半周期2π，向右移动多少时可以相距π6，通过简单图像即可得到答案.【点评】结合三角函数图像解决.【例2】右图为函数()()=sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ+>><<的部分图像，M N 、是它与x 轴的两个交点，D C 、分别为它的最高点和最低点，()0,1E是线段MD 的中点，且28MD MN π⋅=，则函数()f x 的解析式 .【答案】()2sin(2+)4f x x π=.【解析】根据题意()0,1E 是线段MD 的中点，所以2A =,则设(2,m)D ，(m,0)M -，(3,0)N m ，(2m,2)MD =(4m,0)MN =，22888MD MN m m ππ⋅==⇒=，显然2222T MN ππω==⋅=⇒=，将(,0)8M π-带入()()=2sin 2f x x ϕ+可得4πϕ=，()2sin(2+)4f x x π=.【点评】先结合图像准确分析最值、周期确定A 和ω，最后带入特殊点确定ϕ.【知识点9】反三角函数和最简三角方程【例1】已知函数()|arctan(1)|f x x =-，若存在12,[,]x x a b ∈，且12x x <，使12()()f x f x ≥成立，则以下对实数a 、b 的描述正确的是（ ）A 、1a < ；B 、1a ≥ ；C 、1b ≤ ；D 、1b ≥； 【答案】A.【解析】画出()|arctan(1)|f x x =-的图像，根据题意只要在区间[,]a b 上存在部分递减即可，故选A. 【点评】熟记反三角函数的图像，正确理解题意是解本题的关键.【例2】（静安区2015二模理7）方程)cos (lg )sin 3(lg x x -=的解集为 . 【答案】5{|2,}6x x k k Z ππ=+∈.【解析】lg )lg (cos )cos x x x x =-=-且sin 0,cos 0x ><，所以52,6x k k Z ππ=+∈. 【点评】对数方程要注意真数要大于0.【知识点10】三角函数与方程有解、恒成立问题综合【例1】（长宁区2015二模理9）已知方程1cos 3sin +=+m x x 在],0[π∈x 上有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是______. 【答案】)1,13[-.【解析】画出()sin 2sin()3f x x x x π==+在],0[π∈x ，易得当)1m +∈时方程有两个解，故1,1)m ∈.【点评】数形结合的思想在方程有解问题中的应用.【例2】已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；(2)令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值. 【答案】(1) 304ω<≤；(2) 433π. 【解析】(1)因为0ω>，根据题意有 34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2)()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π， 故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值 为2431415333πππ⨯+⨯=. 【点评】三角函数最显著的特征就是周期性，第二小问考察的是对于三角函数零点周期性的理解.【知识点11】三角函数与数列、向量等综合【例1】已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为()02d d π<<的等差数列，若数列{}cos n a 是等比数列，则其公比为（ ）A 、1；B 、1-；C 、1± ；D 、2. 【答案】B.【解析】数列{}cos n a 是等比数列，则2132cosa cosa cos a ⋅=，又数列是首项为，公差为的等差数列，则221313132cos()1cos cos cos cos 22a a a a a a a +++⋅===， 即131313132cos cos 1cos()cos cos sin sin a a a a a a a a ⋅-=+=-，得：13()1cos21cos a a d -==，，由于()02d d π<<故22d π=，d π=，{}n a 1a (02)d d π<<故2111cos cos()1cos cos a a q a a π+===-. 【点评】本题将三角与等差、等比数列结合在一起，很难对于一般的通项公式进行探讨，所以采取特殊一般的思维方式进行解题，取特殊项进行求解.本题亦可利用11cos cos n n a a q -=⋅进行极限的讨论，不过较难想，亦可利用11cos cos nn y a y a q -=⎧⎨=⋅⎩函数图像进行思考.二、二模真题汇编一、填空题1、（金山区2019年二模2题）函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是 .【答案】π【解析】()2sin cos 12sin cos 1sin 2y x x x x x =+=+=+则22T ππ== 2、（宝山区2019年二模9题）如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧AB 上异于,A B 的点，且PQ OB ⊥交OB 于点Q ，当POQ ∆的面积大于38时，POQ ∠的大小范围为_________【答案】,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】()111sin 11cos sin sin 22248S OP OQ θθθθ===>,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3、（崇明区2019年二模2题）函数sin cos y x x =的最小正周期=T _______________.【答案】π【解析】x x x y 2sin 21cos sin ==，则ππωπ===222T4、（徐汇区2019年二模5题）函数cos2sin ()cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为 【答案】【解析】23)(34,3)32(2,0),32sin()(cos sin 2cos 23)(min -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=+=x f x x x x f x x x x f πππππ5、（杨浦区2019年二模1题）函数2()12sin f x x =-的最小正周期是 【答案】π【解析】()212sin cos2f x x x =-=22T ππ⇒==．6、（杨浦区2019年二模7题）函数arcsin 211xx y =-的值域是【答案】14[,]22ππ-+【解析】由题意()arcsin 211x y x x =+-≤≤，在[]1,1-上单调递增，当1x =-时，12y π-=，当1x =时，42y π+=，故该函数的值域是14,22ππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦7、（杨浦区2019年二模11题） 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的最小值为【答案】45【解析】0GA GB ⋅=90AGB ⇒∠=︒，如图，CD 为AB 边上中线，设GD k =，则AD BD k ==，3CD k =，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据平行四边形的性质（四条边的平方和等于两条对角线的平方和），可得()()222222CA CB AB CD +=+，即()222221436202a b k k k +=+=， 所以222220ab a b k ≤+=，在ABC ∆中由余弦定理得2222222044cos 2205a b c k k C ab k +--==≥，所以()min 4cos 5C =．8、（闵行区2019年二模6题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积22213Sa cb ，则 tanB． 【答案】43． 【解析】1sinB 2Sac ，222cos 2a b c B ab，sin tan cos BBB 由上述三个公式可得4tan 3B ． 9、（闵行区2019年二模9题）若函数23x sin xcos xcos x f 的图像关于直线3x对称， 则正数的最小值为 ．【答案】14． 【解析】化简可得3sin(2)32f xx ，因为图像关于3x 对称，所以3x的时候，f x 取得最值，所以2sin133，即2332k （k Z ∈），所以1342k （k Z ∈），即最小的正数为14． 10、（浦东新区2019年二模6题）已知函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>是偶函数，则ϕ的最小值是______.【答案】4π【解析】()()0sin 21,=024k f k Z ππϕϕ==±+∈>得,min 4πϕ∴=11、（青浦区2019年二模7题）函数|sin arcsin |y x x =+的最大值为________ 【答案】sin12π+【解析】|sin arcsin |y x x =+在[]1,1-上为偶函数，且在[]0,1上为单调递增，所以最大值为sin12π+二、选择题1.（长宁、嘉定区2019年二模16题）对于ABC ∆,若存在111C B A ∆，满足1cos cos sin cos sin cos 111===C CB B A A ，则称ABC ∆为类三角形”“V .类三角形”“V 一定满足 （ ） 【A 】有一个内角为︒30 【B 】有一个内角为︒45【C 】有一个内角为︒60 【D 】有一个内角为︒75 【答案】B【解析】由题意可得等腰三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,均为锐角，且1,11sin cos sin cos ,sin cos C C B B A A ===，απα2,-===A C B 则设，由于111C B A ∆中，111,,C B A 不会全是锐角，否则，有2,2,2111πππ=+=+=+C C B B A A ，与三角形内角和矛盾，所以111,,C B A必有一个钝角，只能是顶角1A 为钝角，11B C 和为锐角.所以απαπ-2-211==C B ，，所以α21=A ，再根据1sin cos A A =,可得ααπ2sin )2cos(=-，即02cos 2sin =+αα，432πα=，顶角为4π.2.（普陀区2019年二模16题）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin πx x f ，若对于任意,2,65⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈ππα在区间[]m ,0上总存在唯一确定的β，使得()(),0=+βαf f 则m 的最小值为（ ）A 、6π B 、2π C 、67π D 、π 【参考答案】B 【解析】画出()x f 图像，()()βαππαf f ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈23,00,232,65，所以m 的最小值为2π，选B3.（青浦区2019年二模14题）已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件【D 】 既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】A B >可得B 为锐角；充分性：当A 为锐角时，tan y x =在(0,)2π上单调递增，tan tan A B >成立；当A 为钝角时，A B π+<，则B A π<-，tan()tan A B π->；|tan ||tan |A B >成立。
上海市2024年高考二模分类汇编：三角函数
三角函数汇编一、题型一：三角函数1．（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，实数0ω>，下列选项中正确的是（）A ．若2ω=，函数()y f x =关于直线5π12x =对称B ．若12ω=，函数()y f x =在[]0,π上是增函数C ．若函数()y f x =在[]π,0-上最大值为1，则43ω≤D ．若1ω=，则函数()y f x =的最小正周期是2π2．（2024·上海奉贤·二模）已知函数()y f x =，其中21y x =+，()y g x =，其中()4sin g x x =，则图象如图所示的函数可能是（）．A ．()()g x y f x =B ．()()f x yg x =C ．()()1y f x g x =+-D ．()()1y f x g x =--3．（2024·上海闵行·二模）已知()sin f x x =，集合[,]22D ππ=-，()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈，()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于2512π.A ．①真命题；②假命题B ．①假命题；②真命题C ．①真命题；②真命题D ．①假命题；②假命题4．（2024·上海嘉定·二模）已知函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>，对于命题甲：函数()()()y f x g x x =+∈R 可能不是周期函数；命题乙：若函数()()()y f x g x x =+∈R 的最小正周期是3T ，则31T T ≥．下列选项正确的是（）A ．甲和乙均为真命题B ．甲和乙均为假命题C ．甲为真命题且乙为假命题D ．甲为假命题且乙为真命题5．（2024·上海松江·二模）已知点A 的坐标为12⎛ ⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.6．（2024·上海崇明·二模）已知实数1212,,,x x y y 满足：2222112212121,1,1x y x y x y y x +=+=-=，则112222x y x y +-++-的最大值是．7．（2024·上海奉贤·二模）函数sin()y wx ϕ=+π0,2w ϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像记为曲线F ，如图所示.A ，B ，C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ≠，则直线AB 的斜率为.(用1k ，2k 表示)8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.9．（2024·上海闵行·二模）始边与x 轴的正半轴重合的角α的终边过点(3,4)-，则sin(π)α+=.10．（2024·上海虹口·二模）已知集合{}2|tan 0,0x A x x B x x ⎧⎫-=<=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = .11．（2024·上海黄浦·二模）若(3cos ,sin )a θθ= ，(cos ,3sin )b θθ= ，其中R θ∈，则a b ⋅=.12．（2024·上海青浦·二模）已知向量()1,1a =- ，()3,4b = ，则,a b <>=．13．（2024·上海闵行·二模）已知定义在0+∞（,）上的函数()y f x =的表达式为()sin cos f x x x x =-，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{}n x （1,N n n ≥∈）.(1)求函数()y f x =在区间()0,π上的值域；(2)求证：函数()y f x =在区间()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上有且仅有一个零点；(3)求证：()11ππn n n x x n++<-<.14．（2024·上海金山·二模）已知函数()y f x =，记()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，x ∈R .(1)若函数()y f x =的最小正周期为π，当(1π6f =时，求ω和ϕ的值；(2)若1ω=，π6ϕ=，函数2()2()y f x f x a =--有零点，求实数a 的取值范围.15．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．二、题型二：三角恒等变换16．（2024·上海虹口·二模）设()sin23cos2f x x x =，将函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图像，则（）A ．函数()y g x =是偶函数B ．函数()y g x =的图像关于直线π2x =对称C ．函数()y g x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数D ．函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦17．（2024·上海静安·二模）函数2sin cos (R)y x x x =-∈的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．3π2D ．π218．（2024·上海长宁·二模）直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为．19．（2024·上海嘉定·二模）已知()22sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小值为．20．（2024·上海崇明·二模）已知A 、B 、C 是半径为1的圆上的三个不同的点，且AB = ，则AB AC ⋅的最小值是．21．（2024·上海奉贤·二模）已知[]0,πα∈，且2cos 23cos 5αα-=，则α=．22．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.23．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程(e e )2xx ccc y -+=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x xx -+=，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：22sin cos 1x x +=；②两角和公式：()cos cos cos sin sin x y x y x y +=-，③导数：(sin )cos ,(cos )sin ,x x x x =⎧⎨=-''⎩定义双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=．(1)直接写出()sh x ，()ch x 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；(2)当0x >时，双曲正弦函数()y x =sh 的图像总在直线y kx =的上方，求直线斜率k 的取值范围；(3)无穷数列{}n a 满足1a a =，2121n n a a +=-，是否存在实数a ，使得202454a =？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.24．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0(1)请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；(2)设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x f x x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；25．（2024·上海青浦·二模）对于函数()y f x =，其中()22sin cos f x x x x =+-x ∈R ．(1)求函数()y f x =的单调增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，若()1f A =，2AB AC ⋅=，求ABC 的面积．26．（2024·上海嘉定·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，221cos sin 2B B -=-．(1)求角B ，并计算πsin 6B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)若3b =ABC 是锐角三角形，求2a c +的最大值．27．（2024·上海静安·二模）在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，5b =，7c =．(1)求角C 的大小；(2)求sin()A C +的值．28．（2024·上海闵行·二模）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对边的边长分别为a b c 、、，且2sin 30b A a =.(1)求角B ；(2)求sin sin A C +的取值范围.29．（2024·上海松江·二模）设2()sin3sin(0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c ，若3a =2b =，3()2f A =，求角C ．三、题型三：解三角形30．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻t ，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t 最可能为（）太阳高度角时间太阳高度角时间43.13°08:3068.53°10:3049.53°09:0074.49°11:0055.93°09:3079.60°11:3062.29°10:0082.00°12:00A ．09:00B ．10:00C ．11:00D ．12:0031．（2024·上海嘉定·二模）已知()11,OA x y =，()22,OB x y =，且OA 、OB 不共线，则OAB 的面积为（）A ．121212x x y y -B ．122112x y x y -C ．121212x x y y +D ．122112x y x y +32．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为.33．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知ABC 满足8,3BC AC AB ==，P 为ABC 所在平面内一点.定义点集13,3D P AP AB λλλ⎧⎫-==+∈⎨⎬⎩⎭R .若存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0||AP的最大值为.34．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l 相交于点O ，一根长度为8的直杆AB 的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ⊥，则OAP △面积的取值范围是.35．（2024·上海徐汇·二模）在ABC 中，1AC =，2π3C ∠=，π6A ∠=，则ABC 的外接圆半径为.36．（2024·上海闵行·二模）双曲线22:16y x Γ-=的左右焦点分别为12F F 、，过坐标原点的直线与Γ相交于A B 、两点，若112F B F A =，则22F A F B ⋅=.37．（2024·上海虹口·二模）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠= .若12AB AA ==，点M 为棱1CC 的中点，点P 在1A B 上，则线段,PA PM 的长度和的最小值为.38．（2024·上海黄浦·二模）在ABC 中，3cos 5A =-，1AB =，5AC =，则BC =.39．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段BC 、CD 是救生栈道的一部分，其中300BC m =，800CD m =，B 在A 的北偏东30︒方向，C 在A 的正北方向，D 在A 的北偏西80︒方向，且90B Ð=°．若救生艇在A 处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道B C D --，则最短距离为m ．(结果精确到1m)40．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点分别为1F 、2F ，M 为双曲线上一点，若122π3F MF ∠=，213OM =，则双曲线的离心率为.41．（2024·上海普陀·二模）设函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，它的最小正周期为π.(1)若函数π12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，求ϕ的值；(2)在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，π6A =，324B f c ϕ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求b 的值.42．（2024·上海杨浦·二模）已知()sin (0)f x x ωω=>.(1)若()y f x =的最小正周期为2π，判断函数)()()π(2F x f x f x =++的奇偶性，并说明理由；(2)已知2ω=，ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若π()03f A +=，2a =，3b =，求c 的值.参考答案一、题型一：三角函数1．（2024·上海徐汇·二模）已知函数()y f x =，其中()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，实数0ω>，下列选项中正确的是（）A ．若2ω=，函数()y f x =关于直线5π12x =对称B ．若12ω=，函数()y f x =在[]0,π上是增函数C ．若函数()y f x =在[]π,0-上最大值为1，则43ω≤D ．若1ω=，则函数()y f x =的最小正周期是2π2．（2024·上海奉贤·二模）已知函数()y f x =，其中21y x =+，()y g x =，其中()4sin g x x =，则图象如图所示的函数可能是（）．A ．()()g x y f x =B ．()()f x yg x =C ．()()1y f x g x =+-D ．()()1y f x g x =--【答案】A【分析】根据函数图象和()(),f x g x 的奇偶性判断.【详解】易知()21f x x =+是偶函数，()4sin g x x =是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，A.()()()24sin 1g x xy h x f x x ==+=，定义域为R ，又()()()()224si 11n 4sin x xh x h x x x =+--+-=-=-，所以()h x 是奇函数，符合题意，故正确；B.()()24n 1si f x y g x x x+==，π,Z x k k ≠∈，不符合图象，故错误；C.()()()2214sin 14si1n y h x f x g x x x x x ++==+-=-=+，定义域为R ，但()()()(),h x h x h x h x -≠-≠-，故函数是非奇非偶函数，故错误；D.()()()2214sin 14si 1n y h x f x g x x xx x +-==--=-=-，定义域为R ，但()()()(),h x h x h x h x -≠-≠-，故函数是非奇非偶函数，故错误，故选：A3．（2024·上海闵行·二模）已知()sin f x x =，集合[,]22D =-，()()()Γ{,|20,,}x y f x f y x y D =+=∈，()()()Ω{,|20,,}x y f x f y x y D =+≥∈.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合Γ表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合Ω表示的平面图形的面积不大于2512π.A ．①真命题；②假命题B ．①假命题；②真命题C ．①真命题；②真命题D ．①假命题；②假命题代入点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭可得2sin sin 2π+面积为正方形面积的一半，即集合故选：A.【点睛】方法点睛：确定不等式表示的区域范围第一步：得到等式对应的曲线；第二步：任选一个不在曲线上的点，若原点不在曲线上，一般选择原点，检验它的坐标是否符合不等式；第三步：如果符合，则该点所在的一侧区域即为不等式所表示的区域；若不符合，则另一侧区域为不等式所表示的区域.4．（2024·上海嘉定·二模）已知函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>，对于命题甲：函数()()()y f x g x x =+∈R 可能不是周期函数；命题乙：若函数()()()y f x g x x =+∈R 的最小正周期是3T ，则31T T ≥．下列选项正确的是（）A ．甲和乙均为真命题B ．甲和乙均为假命题C ．甲为真命题且乙为假命题D ．甲为假命题且乙为真命题【答案】C【分析】利用三角函数的周期性，选用特殊函数验证两个命题.【详解】函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>当()sin f x x =时，12πT =，()sin πg x x =时，22T =，满足条件，但函数()()sin sin πy f x g x x x =+=+就不是周期函数，命题甲正确；当()cos 2cos3f x x x =+时，12πT =，()cos 2g x x =-时，2πT =，满足条件，函数()()cos3y f x g x x =+=，32π3T =，有31T T <，命题乙错误.故选：C5．（2024·上海松江·二模）已知点A 的坐标为1322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π2至OP ，则点P 的坐标为.【答案】3,221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意可求π3xOA ∠=，5π326ππxOP ∠=+=，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【详解】因为点A 的坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，可得π3xOA ∠=，6．（2024·上海崇明·二模）已知实数1212,,,x x y y 满足：2222112212121,1,1x y x y x y y x +=+=-=，则112222x y x y +-++-的最大值是．【答案】6【分析】根据已知条件及三角换元，利用三角方程的解法及三角函数的性质即可求解7．（2024·上海奉贤·二模）函数sin()y wx ϕ=+π0,2w ϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像记为曲线F ，如图所示.A ，B ，C 是曲线F 与坐标轴相交的三个点，直线BC 与曲线F 的图像交于点M ，若直线AM 的斜率为1k ，直线BM 的斜率为2k ，212k k ≠，则直线AB 的斜率为.(用1k ，2k 表示)【答案】12122k k k k -【分析】根据正弦函数的图象与性质写出,,,A B C M 的坐标，求出12,,k k k ，然后确定它们的关系．【详解】由题意2π,Z C wx k k ϕ+=∈，2πC k x w ϕ-=，则2ππ,Z A wx k k ϕ+=+∈，2ππA k x wϕ+-=，(0,sin )B ϕ，由π2ϕ<得π02ϕ<<，则2(2π)(,sin )k M wϕϕ--，1sin 2ππw k k ϕϕ=-+，2sin 2πw k k ϕϕ=-，sin 2ππAB w k k ϕϕ=--，所以21211AB k k k -=，又212k k ≠，所以12122AB k k k k k =-，故答案为：12122k k k k -．8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ∠ODF ∠均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.【答案】2π42+【分析】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，借助相似三角形性质用x 表示CE ，结合对称性求出步道长度关于x 的函数关系，利用导数求出最大值即得.【详解】设半圆步道直径为x 百米，连接,AE BE ，显然90AEB ∠= ，由点O 为线段,AB CD 的中点，得两个半圆步道及直道,CE DF 都关于过点O 垂直于AB 的直线对称，则11,22AC x BC x =-=+，又CE AB ⊥，则Rt ACE ∽Rt ECB V ，有2CE AC BC =⋅，即有214DF CE x ==-，因此步道长221()2π14π4f x x x x x =-+=-+，102x <<，求导得24()π14x f x x '=-+-，由()0f x '=，得2π2π4x =+，29．（2024·上海闵行·二模）始边与x 轴的正半轴重合的角α的终边过点(3,4)-，则sin(π)α+=.【答案】45/0.8【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．10．（2024·上海虹口·二模）已知集合{}2|tan 0,0x A x x B x x ⎧⎫-=<=≤⎨⎬⎩⎭，则A B = .故答案为：π22x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.11．（2024·上海黄浦·二模）若(3cos ,sin )a θθ=，(cos ,3sin )b θθ=，其中R θ∈，则a b ⋅=.【答案】3【分析】利用平面向量数量积的坐标表示公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】223cos 3sin 3a b θθ⋅=+=，故答案为：312．（2024·上海青浦·二模）已知向量()1,1a =-，()3,4b = ，则,a b <>=．【答案】2arccos10【分析】由向量的数量积公式求两个向量的夹角即可.【详解】由向量的夹角公式得342cos ,1025a b a b a b⋅-+<>===⨯ ，又因为[],0,πa b <>∈ ，所以2,arccos 10a b <>= .故答案为：2arccos10.13．（2024·上海闵行·二模）已知定义在0+∞（,）上的函数()y f x =的表达式为()sin cos f x x x x =-，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列{}n x （1,N n n ≥∈）.(1)求函数()y f x =在区间()0,π上的值域；(2)求证：函数()y f x =在区间()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上有且仅有一个零点；(3)求证：()11ππn n n x x n++<-<.【答案】(1)()0,π(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）求得()f x 的导数，判断()f x 的单调性，可得所求值域；（2）讨论n 为奇数，或偶数时，()f x 的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明；（3）由（2）可知函数()f x 在()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上且仅有一个零点n x ，再由零点存在定理、以②因为()()112222133ππ3π22tan π1π2πn n n n n n n x x x x x x x n n n +++--+=<<=<+⋅由（1）可知，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan x x<故()()()11ππtan πn n n n x x x x n ++-+<-+<，所以1ππn n x x n+-<+；由①②可知()11ππn n n x x n++<-<.【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助()f x 在()()π,1πn n +（1,N n n ≥∈）上且仅有一个零点n x ，利用正切函数的性质和不等式的性质求解.14．（2024·上海金山·二模）已知函数()y f x =，记()()sin f x x ωϕ=+，0ω>，0πϕ<<，x ∈R .(1)若函数()y f x =的最小正周期为π，当(1π6f =时，求ω和ϕ的值；(2)若1ω=，π6ϕ=，函数2()2()y f x f x a =--有零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2ω=，π6ϕ=(2)[1,3]a ∈-【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得ω，再利用三角函数的值域与周期性求得ϕ，从而得解；（2）根据题意，利用换元法将问题转化为220t t a --=在[1,1]x ∈-有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解.【详解】（1）因为函数()y f x =的最小正周期2ππω=，所以2ω=，则当π6x =时，sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π(Z)32k k ϕ+=+∈，得π2π(Z)6k k ϕ=+∈，因为0πϕ<<，所以取0k =得π6ϕ=，（2）解法一：当1ω=，π6ϕ=时，()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，设()πsin [1,1]6t f x x ⎛⎫==+∈- ⎪⎝⎭，由题意得，220t t a --=在[1,1]x ∈-有解，化简得22a t t =-，又()22()211g t t t t =-=--在[1,1]t ∈-上单调递减，15．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．所以当()1πZ a k k =∈时，{}n a 是周期为1的周期数列，②当()1πZ a k k ≠∈时，记()sin f x x x =+，则1()n n a f a +=，()1cos 0f x x '=+≥，当且仅当()()1121πZ x k k =+∈时等号成立，即()1cos 0f x x =+>'，所以()f x 在R 上严格增，若12a a <，则12()()f a f a <，即23a a <，进而可得1234a a a a <<<< ，即{}n a 是严格增数列，不是周期数列；同理，若12a a >，可得{}n a 是严格减数列，不是周期数列．综上，当1π()a k k =∈Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；当1π()a k k ≠∈Z 时，{}n a 不是周期数列．（3）必要性：若存在1a ，使得{}n a 是周期数列，设{}n a 的周期为0T ，则00011sin sin n T n T n T n n n b a a a a b +++++=-=-=，所以{}n b 是周期为0T 的周期数列，充分性：若{}n b 是周期数列，设它的周期为T ，记1a x =，则10()a f x x==211()sin a f x b x ==+，是关于x 的连续函数；3221()sin ()a f x b f x ==+，是关于x 的连续函数；…1()T T a f x -=，是关于x 的连续函数；11sin ()T T T a b f x +-=+，令1()sin ()T T g x x b f x -=--，则()g x 是连续函数，且1(2)2sin ()0T T g b f x -+=->，1(2)2sin ()0T T g b f x --=--<，所以()g x 存在零点c ，于是1sin ()0T T c b f c ---=，取1a c =，则111sin ()T T T a b f c c a +-=+==，从而211112sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，322223sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，……一般地，n T n a a +=对任何正整数n 都成立，即{}n a 是周期为T 的周期数列．（说明：关于函数连续性的说明不作要求）【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.二、题型二：三角恒等变换16．（2024·上海虹口·二模）设()sin2f x x x =，将函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移π6个单位，得到函数()y g x =的图像，则（）A ．函数()y g x =是偶函数B ．函数()y g x =的图像关于直线π2x =对称C ．函数()y g x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数D ．函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥上的值域为⎡⎤⎣⎦则()3,2g x ⎡⎤∈-⎣⎦，即函数()y g x =在π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦，故D 正确.故选：D17．（2024·上海静安·二模）函数2sin cos (R)y x x x =-∈的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．3π2D ．π2【答案】A【分析】利用辅助角公式将函数化成()sin y A ωx φ=+的形式，代入周期公式可得结论.【详解】易知()2sin cos 5sin y x x x ϕ=-=+，其中1tan 2ϕ=-，由周期公式可得其最小正周期为2π2πT ω==.故选：A18．（2024·上海长宁·二模）直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为．【答案】4π/45︒【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.19．（2024·上海嘉定·二模）已知()sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪，则函数()y f x =的最小值为．【答案】42【分析】令πsin cos 2sin()4t x x x =+=+，可求t 的范围，利用同角的基本关系对已知函数化简计算，结合函数的单调性即可求解.【详解】由题意知，222(sin cos )()sin cos sin cos x x f x x x x x+=+=，20．（2024·上海崇明·二模）已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且AB=，则AB AC⋅的最小值是．所以πcos 32sin cos 3AB AC bc A A A⎛⎫⋅==⨯-⨯ ⎪⎝⎭3123cos sin cos 22A A A ⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭23cos 3sin cos A A A=-()31cos 23sin 222A A+=-π33sin 232A ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ2,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则AB AC ⋅无最值；综上所述，AB AC ⋅ 的最小值是332-故答案为：332-21．（2024·上海奉贤·二模）已知[]0,πα∈，且2cos 23cos 5αα-=，则α=．【答案】π【分析】由倍角公式化简方程，解出cos α，得α的值.【详解】已知2cos 23cos 5αα-=，由倍角公式得()()24cos 3cos 74cos 7cos 10αααα--=-+=，由[]0,πα∈，[]cos 1,1α∈-，解得cos 1α=-，则πα=.故答案为：π.22．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.【答案】1(arccos ,π)8【分析】设等差数列,,a b c 的公差为m ，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得tan 3tan 2mb =，由正切函数性质可得m 随b 增大而增大，再由c 的临界值点得π2ab =+，代入利用二倍角的余弦求解即得.【详解】设等差数列,,a b c 的公差为m ，,a b m c b m =-=+，依题意，cos cos cos cos a b c a -=-，于是cos()cos cos()cos()b m b b m b m --=+--，整理得22sin sin 2sin sin 22b m mb m ---=-，即sin()sin sin sin 2sin sin cos 2222m m m m b b m b -==，因此sin cos cos sin 2sin cos 222m m mb b b -=，即有tan3tan 2mb =，则m 随b 增大而增大，而0m >当(0,π)a ∈，3(π,π)2b ∈时，c 到达2π时是临界值点，此时π2ab =+，23．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程(e e )2xx ccc y -+=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x xx -+=，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：22sin cos 1x x +=；②两角和公式：()cos cos cos sin sin x y x y x y +=-，③导数：(sin )cos ,(cos )sin ,x x x x =⎧⎨=-''⎩定义双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=．(1)直接写出()sh x ，()ch x 具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；(2)当0x >时，双曲正弦函数()y x =sh 的图像总在直线y kx =的上方，求直线斜率k 的取值范围；(3)无穷数列{}n a 满足1a a =，2121n n a a +=-，是否存在实数a ，使得202454a =？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；和角公式：()()()()()ch ch ch sh sh x y x y x y +=+；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩．理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；和角公式：()e e ch 2x y x yx y +--++=，()()()()e e e e e e e e ch ch sh sh 2222x x y y x yy x x y x y ----++--+=⋅+⋅e e e e e e e e 44x y x y x y x y x y x y x y x y+--+--+--+--+++--+=+e e 2x y x y+--+=故()()()()()ch ch ch sh sh x y x y x y +=+；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxx x x ----+'===，()e e ch()sh 2x x x x --'==；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，[)0,x ∈+∞，由（1）可知()()ch F x x k '=-，①当1k ≤时，由e e ch()e e 12x xx x x --+=≥⋅=，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()x kx >sh 恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x '=∈+∞，则()()sh 0G x x =>'，可知()G x 是严格增函数，由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F F x <=，即()x kx >sh ，矛盾；（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.24．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0(1)请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；(2)设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x f x x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】(1)补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)210,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【详解】（1）由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+011-025．（2024·上海青浦·二模）对于函数()y f x =，其中()22sin cos f x x x x =+-x ∈R ．(1)求函数()y f x =的单调增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，若()1f A =，AB AC ⋅=，求ABC 的面积．所以函数()f x 的单调增区间是()5πππ,π+,Z 1212k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．（2）（2）由已知π()2sin 213f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π02A <<，所以ππ4π2333A <+<，即π5π236A +=，所以π4A =，又cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以2AB AC ⋅=，所以ABC 的面积1122sin 22222S AB AC A =⋅=⨯⨯=．26．（2024·上海嘉定·二模）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，221cos sin 2B B -=-．(1)求角B ，并计算πsin 6B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)若3b =ABC 是锐角三角形，求2a c +的最大值．【答案】(1)π3或2π3；当π3B =时，πsin 16B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当2π3B =时，π1sin 62B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2)27【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得cos 21B =±，求出B ，进而求出πsin()6B +即可；（2）由题意可得π3B =，求出C 的范围，根据正弦定理可得2sin ,2sin a A c C ==，利用三角恒等变换化简计算得227sin()a c C ϕ+=+（3tan 5ϕ=），结合ϕ的范围和正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）由2222cos sin 11cos sin 2B B B B ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得21cos 4B =，则cos 21B =±，又0πB <<，所以π3B =或2π3.当π3B =时，ππsin()sin 162B +==；当2π3B =时，π5π1sin()sin 662B +==.（2）若ABC 为锐角三角形，则π3B =，有π022ππ032C A C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ62C <<.由正弦定理，得32sin sin sin 32a c bA C B====，则2sin ,2sin a A c C ==，27．（2024·上海静安·二模）在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3a =，5b =，7c =．(1)求角C 的大小；(2)求sin()A C +的值．28．（2024·上海闵行·二模）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对边的边长分别为a b c 、、，且2sin 0b A =.(1)求角B ；(2)求sin sin A C +的取值范围.【答案】(1)π3(2)3(,3]2.【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果；（2）根据ABC 为锐角三角形求出ππ(,)62A ∈，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-，根据正弦函数性质可得结果.【详解】（1）2sin 30b A a -= ，2sin sin 3sin 0A B A ∴-=，又 π0,,sin 02A A ⎛⎫∈∴≠ ⎪⎝⎭，3πsin ,0,22B B ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，∴π3B =.（2）由（1）可知，π3B =，且ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，A ∴ππ(,)62∈，则2πsin sin sin sin()3A C A A +=+-33sin cos 22A A =+π3sin()6A =+，因为ππ2π363A <+<，sin sin A C ∴+3(,3]2∈.29．（2024·上海松江·二模）设2()sin 3sin (0)222f x x x x ωωωω=>，函数()y f x =图象的两条相邻对称轴之间的距离为π．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为a 、b 及c ，若3a =2b =，3()2f A =，求角C ．【答案】(1)π1()sin()62f x x =-+(2)π12【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，再根据()y f x =图象的两条相邻对称轴三、题型三：解三角形30．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻t，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为（）太阳高度角时间太阳高度角时间43.13°08:3068.53°10:3049.53°09:0074.49°11:0055.93°09:3079.60°11:3062.29°10:0082.00°12:00A ．09:00B ．10:00C ．11:00D ．12:00【答案】B【分析】作出示意图形，在四边形ABCD 中利用正弦定理与余弦定理，算出四边形ABCD 的外接圆直径大小，然后在Rt BDE △中利用锐角三角函数定义，算出DBE ∠的大小，即可得到本题的答案.【详解】如图所示，设两竖直墙面的交线为DE ，点E 被太阳光照射在地面上的影子为点B ，点,A C 分别是点B 在两条墙脚线上的射影，连接AC ，BD ，BE ，由题意可知DBE ∠就是太阳高度角.∵四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=o ，120ADC ∠= ，∴()36060ABC BAD BCD ADC ∠=-∠+∠+∠= ，∴ABC 中，2222212cos60 1.5121.51 1.752AC AB BC AB BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯= ，可得 1.75 1.32AC =≈，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，BD 是其外接圆直径，31．（2024·上海嘉定·二模）已知()11,OA x y =，()22,OB x y =，且OA 、OB 不共线，则OAB 的面积为（）A ．121212x x y y -B ．122112x y x y -C ．121212x x y y +D ．122112x y x y +32．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为.即这个三角形外接圆的直径为161515.故答案为：16151533．（2024·上海徐汇·二模）如图所示，已知ABC 满足8,3BC AC AB ==，P 为ABC 所在平面内一点.定义点集13,3D P AP AB λλλ⎧⎫-==+∈⎨⎬⎩⎭R .若存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0||AP 的最大值为.【答案】3【分析】延长AB 到M 满足3AM AB = ，取AC 的靠近A 的三等分点N ，连接MN ，由向量共线定理得,,P M N 三点共线，从而0AP 表示AMN 的边MN 上的高，利用正弦定理求得AMN 的面积的最大值，从而可得结论．【详解】延长AB 到M 满足3AM AB = ，取AC 的靠近A 的三等分点N ，连接MN ，如图，3(1)133(1)3AC AP AB AC AB AM AN λλλλλλ=⋅+-++--== ，所以,,P M N 三点共线，又存在点0P D ∈，使得对任意P D ∈，满足0||||AP AP ≥ 恒成立，则0AP 的长表示A 到直线MN 的距离，即AMN 的边MN 上的高，设0AP h =，由3AC AB =得AC AM =，AB AN =，A ∠公用，因此ABC ANM ≅ ，所以8MN BC ==，AMN 中，设ANM θ∠=，由正弦定理得sin sin sin AM AN MN M Aθ==，MAN ∠记为角A ，所以sin 3sin M θ=，8sin sin AM A θ=，8sin sin M AN A =，所以2132sin sin 96sin sin 2sin sin()ABC AMN M M S S AM AN A A M θθ====+ 2296sin 96sin sin cos cos sin sin cos 3cos sin M M M M M M M θθθ==++96sin cos 3cos M Mθ=+，若θ不是钝角，则222296sin 96sin 1sin 31sin 19sin 99sin ABC MMS M M M θ==-+--+-!，【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查三角形的面积，解题方法其一是根据向量共线定理得出P点在一条直线，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值，解题方法其二是利用正弦定理求三角形的面积，本题中注意在用平方关系转化时，34．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l相交于点O，一根长度为8的直杆AB的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ⊥，则OAP △面积的取值范围是.【答案】(0,63]【分析】令π(0)2OAB x x ∠=<<，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出OAP △的面积函数，再利用导数求出值域即得.【详解】依题意，设π(0)2OAB x x ∠=<<，则2cos 8cos ,cos 8cos OA AB x x AP OA x x ====，因此OAP △的面积31()sin 32sin cos 2f x OA AP x x x =⋅=，π02x <<，求导得42242()32(cos 3sin cos )32cos (13tan )f x x x x x x '=-=-，当π06x <<时，()0f x '>，当ππ62x <<时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)6π上递增，在ππ(,)62上递减，因此3max π31()()32()63622f x f ==⨯⨯=，而π(0)()02f f ==，则0()63f x <≤，所以OAP △面积的取值范围是(0,63].故答案为：(0,63]35．（2024·上海徐汇·二模）在ABC 中，1AC =，2π3C ∠=，π6A ∠=，则ABC 的外接圆半径为.【答案】1【分析】由正弦定理求解．【详解】由已知π6B ∠=，设三角形外接圆半径为R ，则122πsin sin 6AC R B ===，所以1R =．故答案为：1.36．（2024·上海闵行·二模）双曲线2:16x Γ-=的左右焦点分别为12F F 、，过坐标原点的直线与Γ相交于A B 、两点，若112F B F A =，则22F A F B ⋅= .【答案】4。
(2021年整理)2019上海高中数学二模基础题汇编
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高中数学上海19届二模真题基础题汇编姓名：年级：宝山区1. 已知i 为虚数单位，则集合{|i ,}n A x x n ==∈Z 中元素的个数为2。
圆22266x y x y +-+=的半径r =3. 过点(2,4)A -，且开口向左的抛物线的标准方程是4。
设z C ∈，且2i 2z z -=+,其中i 为虚数单位，则||z = 5. 在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为 (结果用数值表示）6。
在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,1)P ，若(,)Q x y 为平面区域221x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点,则OP OQ ⋅的取值范围是7。
2019年高考试题分类汇编(三角函数)
2019年高考试题分类汇编(三角函数) 2019年高考试题分类汇编（三角函数）考法1 三角函数的图像及性质1.（2019·全国卷Ⅰ·文科）已知tan225= tan(180°+45°)=-tan45°=-1，故选A。
2.（2019·全国卷Ⅱ·文科）由f(x)的定义可知，当x=π/4时，f(x)=sin(πω/4)，当x=3π/4时，f(x)=sin(3πω/4)。
因为x1和x2是相邻的极值点，所以f(x1)=f(x2)=0，即sin(πω/4)=sin(3πω/4)=0.因为ω>0，所以πω/4=0或π，3πω/4=π/2或5π/2.解得ω=8或16，故选B。
3.（2019·全国卷Ⅲ·文科）f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)，所以f(x)的零点为x=0,π和2π。
故选B。
4.（2019·全国卷Ⅰ·文理科）由于cosx在[-π,π]上单调递减，所以cosx的最小值为cos(-π)=-1，最大值为cos(π)=1.因此，当x=-π或x=π时，f(x)的值最小，为-2/π；当x=0时，f(x)的值最大，为2.故选B。
5.（2019·全国卷Ⅰ·理科）①f(x)是偶函数，③f(x)在[-π,π]上有一个零点，故①和③正确。
当00，即f(x)在(0,π)单调递增，故②正确。
当x=π/2时，f(x)=2，又因为f(x)是偶函数，所以当x=-π/2时，f(x)也等于2，故④正确。
因此，选A。
6.（2019·全国卷Ⅱ·理科）由f(x)的定义可知，f(x+π/2)=cos2x，f(x+π)=cos(2x+π)=-cos2x，f(x+3π/2)=-cos2x，f(x+2π)=cos2x。
因此，f(x)的周期为π，而且f(x)在(0,π)单调递增，故选B。
2019年高考数学试题分类汇编三角函数附答案详解
2019年高考数学试题分类汇编三角函数一、选择题.1、（2019年高考全国I 卷文理科5）函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．答案：D解析：因为)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数又01)(2>-=πππf ，124412)2(22>+=+=πππππf ，故选D 2、（2019年高考全国I 卷理科11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③答案：C解析：由)(|sin |||sin |)sin(|||sin )(x f x x x x x f =+=-+-=-，故①正确；),2(ππ∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数递减，故②错误；],0[π∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数有2个零点，0)()0(==πf f ，而],0[π∈x 时0)()0(=-=πf f ，所以函数有且只有3个零点，故③错误；函数为偶函数，只需讨论0>x ，N k k k x ∈+∈),2,2(πππ时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，最大值为2，N k k k x ∈++∈),22,2(ππππ时，0sin sin )(=-=x x x f ，故函数最大值为2，故④正确。
故选C3、（2019年高考全国I 卷文科7）tan255°= A ．-2B ．-C ．2D ．答案：D解析：32)4530tan(75tan )75180tan(255tan +=︒+︒=︒=︒+︒=︒故选D4、（2019年高考全国I 卷文科11）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3答案：A解析：由正弦定理C B b A a sin 4sin sin =-,角化边得2224c b a +=又412)4(cos 2222-=+-+=bc c b c b A ，联立求得6=c b 故选A5、（2019年高考全国II 卷理科4）019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD答案：D 解析：Rr=α则R r α=，代入121223()()M M M R r R r r R +=++得12322)1(1)1(M M ααα+-+=即3254322312)1(33)1(1)1(αααααααα≈+++=+-+=M M所以R M M r 3123=.故答案选D 6、（2019年高考全国II 卷理科9）下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin │x │答案：A解析：将|2cos |)(x x f =的图像变换，“下翻上”，如图可知在区间)2,4(ππ上是增函数.故答案选A 7、（2019年高考全国II 卷理科10，文科11）已知α∈(0，2π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=A ．15B 5C 3D 5答案：B解析：ααα2cos 212cos 2sin 2=+=，与αααcos sin 22sin =联立求得21tan =α 又)2,0(πα∈，所以55sin =α故答案选B 8、（2019年高考全国II 卷文科8）若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．12答案：A 解析：πππ=-=T T ,4432,又ωπ2=T ,所以2=ω。
上海高三数学二模试卷汇编——三角函数要点
第三部分三角比与三角函数一、三角比1. 【 2014年虹口区二模文理第7 题】已知t a n2， tan()1，则t a n．【答案： 3 】2.【2014年普陀区二模文第5题】若cos10π，则 sin 2.()3【答案：42】93.【 2014年嘉定、长宁区二模文第3，则 cos 2a________．9 题】已知tan a4【答案：7】254.【 2014年四区二模理第 14 题】正方形S1和S2内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设 A，若 S1 441， S2440 ，则sin 2.A ADQF F PS1MS2C E B C BN【答案： sin 21】10二、反三角函数与最简三角方程5. 【 2014年奉贤区二模文第3cos x则方程10 题】已知函数f ( x)，1sin xf xcos x1 0 的解是 ________.k2【答案：(k Z ) 】x2 126. 【 2014 年嘉定、长宁区二模文第6 题】已知向量 a (sin , 1) ， b(1, cos ) ，此中π，若 a b ，则____________ ．【答案：3π】47. 【 2014 年四区二模文第 6 题】（文）若 x( , ) ，则方程3 sin 2x cos2x 1的解是 ____.【答案： {5 , 2 , , } 】66 28. 【 2014 年崇明二模文理第 6 题】 方程 sin x cos x 1 的解集是．【答案： { x | x 2k ππ 2k π π,k Z } 】或 x29.【 2014 年徐汇、金山、松江区二模文理第 8 题】已知函数 f ( x)arcsin (2 x 1) ，则 f 1 ( ) ____________ ．6【答案：1 】4三、 三角函数10. 【 2014 年奉贤区二模文第3 cos x m 个单位10 题】将函数 f (x)的图像向左平移1 sin x(m 0)，若所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 ________.【答案：23】11. 【 2014 年普陀区二模文第7 题】若函数 f ( x) sin( x)( 0)是偶函数，则函π数 f ( x) 的单调递减区间为.【答案： [2k ,2k] ， k z 】sin x 4 cosx 12. 【 2014 年浦东新区二模文理第 3 题】函数 f x的最大值为 _____13【答案： 5】13. 【 2014 年闵行区二模文第10 题】将函数f x cos x0 的图像向右平移个3单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于【答案： 6 】14. 【 2014 年嘉定、长宁区二模文第 3 题】函数 y(sin x cosx) 2 的最小正周期是 ______．【答案：】15. 【 2014 年嘉定、 长宁区二模理第 13 题】设 f n (x)sinn πx （ nN * ），若△ ABC2的内角 A 满足f 1 () f 2 ( ) f 2014 ( A) 0，则 sin A cos A____________．A A【答案：2 】16. 【 2014 年四区二模文理第16题】 “”是“函数 f x2 x 2 x 的最 1sin cos( )小正周期为”的（ ） .( A) 充分必需条件 (B) 充分不用要条件 (C ) 必需不充分条件(D ) 既不充分又必需条件【答案： B 】17. 【 2014 年黄浦区二模文理第22x 的 最 小 正 周 期2 题 】 2 ． 函 数 y co s xsinT．【答案： p 】18. 【 2014年徐汇、金山、松江区二模文理第 3 题】函数y cos 2x的单调递减区4间是 ____________【答案：k, k 3k Z 】8819. 【 2014 徐汇、金山、松江区二模理第sin x cos x cos x7 题】函数f xcos x的2sin x sin x最小正周期 T =____________．【答案：】20.【2014年闸北区二模文理第11 题】函数 f ( x) M sin x(0) ，在区间a, b 上是增函数，且 f (a)M ，f (b) M 则函数 f ( x) M cos x 在区间a,b 上【】A ．是增函数B．是减函数C．可以获得最大值M D．可以获得最小值M【答案： C 】21. 【 2014 年黄浦区二模文理第20 题】20.已知复数z1cosx i, z2 1 isin x, x R ．(1)求 | z1z2 |的最小值；(2)设 z z1 z2，记f ( x)Imz(Im z 表示复数z的虚部).将函数 f ( x) 的图像上全部点的横坐标伸长到本来的 2 倍 (纵坐标不变 )，再把所得的图像向右平移个单位长度，获得函2数 g( x) 的图像.试求函数 g ( x) 的分析式．【答案：解 (1) ∵z1cosx i, z21isin x, x R ，∴ | z z |(cos x1)2(1sin x)23 2 2 sin(x) .4∴当 sin( x) 1 ，即 x2k(k Z) ，44| z 1z 2|min3 2 2 (2 1).(2) ∵ z z 1 z 2 ，∴ z z 1 z 2 sin x cosx(1 sin x cosx)i .∴ f ( x)1 sin x cos x 11sin 2x( x R) .2将函数 f ( x) 的 像上全部点的横坐 伸 到本来的2 倍 ( 坐 不 )后，获得的像所 的函数是y 1 11sin x .2把 函 数 y 11si nx 的 像 向 右 平 移个 位 度，获得的 像的函数是1sin( x 22y 2 1) ．22∴ g( x) 11sin( x) 11cos x( x R) .】2 2222. 【 2014年 行区二模文理第20 】14 分）本 共有2 个小 ，第 (1)20.（本 分 小 分 6 分，第 (2)小 分 8 分．如 ，点 A 、B 是 位 O 上的两点， 点 C 是 O 与 x 的正半 的交点， 将 角的OA 按逆 方向旋到OB .By3A（ 1）若点 A 的坐3 ,4 ，求 1sin 2 的 ；C5 5 1 cos2Ox（ 2）用表示 BC ，并求 BC 的取 范 .【答案： 20.解：（ 1）由已知，cos3 4 第 20题图,sin. ⋯⋯⋯（ 2 分）55sin 22sin cos24, cos2cos2sin 27. ⋯⋯⋯（ 4 分）25251 sin2 124 49=25 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6 分）1cos27 ) 18 1 (25（2）由单位圆可知 : OCOB1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 8 分）， COB3222OCCOB由余弦定理得： BC+ OB -2 OC OB cos11 2cos3 22cos3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10 分）0， ，5 ， cos3 1⋯⋯（ 12 分）3 3，3,226221,23 ,BC 1, 62 .14 分）】BC⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（223. 【 2014 年浦 新区二模文理第 20 】（本 分 14 分）本 共有 2 个小 ，第（ 1）小 分 6 分，第（ 2）小分 8 分 .如 ，ABCD 是 10 海里的正方形海域 . 有DQC一架 机在 海域出事，两艘海事搜救船在 A 同出 ，沿直 AP 、 AQ 向前 合搜寻， 且PAQ4（此中点 P 、 Q 分 在 BC 、 CD 上），搜寻地域P平面四 形 APCQ 成的海平面 .PAB，搜寻A)B地域的面 S .（1） 建立 S 与 tan的关系式，并指出的取 范 ；（2）求 S 的最大 ，并求此 的 .【答案：解：（ 1） S S ABCDSABPSADQ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分10050tan50 tan()⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分4100 50tan1 tan ,(0 ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 1 tan4（ 2）令 t 1tan , t (1,2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分S100 50 1 (t 1)2100 50(t22) 20050(t2) ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分tttt 22 t 22 2 ，（当且 当 t2 ，即 t2 1,2 ，等号建立）⋯12 分ttt当 t2 ，搜寻地域面S 的最大 200 100 2 （平方海里）此 ，arctan( 2 1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分】24. 【2014 年 虹 口 区 二模 文 理 第 20 】 已 知y( f ) x23 sx i2nxc o ，sx 此中 2 常数xc ． o Rsa （1）求函数 y f ( x) 的周期；（2）假如 y f ( x) 的最小0 ，求 a 的 ，并求此 f ( x) 的最大 及 像的 称 方程.【答案：解（ 1） y1 cos2 x3 sin 2x a2sin(2 x) a 1．⋯⋯⋯⋯ 4 分6T. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2） f ( x) 的最小 0 ，所以 2 a 1 0 故 a 1⋯⋯⋯⋯ 8 分所以函数 y2 sin(2x) 2 . 最大 等于 4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分6k2xkk Z ，即 xk Z 函数有最大 或最小 ，2 662故函数 f ( x) 的 象的 称 方程xkk Z . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分26】四、 解三角形25.【2014年闵行区二模文理第5题】在△ ABC中，若 A 60，B45BC 3 2，，则 AC．【答案： 2 3 】26.【2014年浦东新区二模文理第12 题】. 在ABC 中,角 B 所对的边长b6,ABC 的面积为 15 ,外接圆半径R 5 ，则ABC 的周长为 _______【答案：6 66】27.【2014年虹口区二模文理第 4 题】在ABC 中，已知sin A :sin B :sin C1: 2 : 5 ，则最大角等于．【答案：3】428.【2014年崇明二模文第11题】△ABC中，a 5 , b 3 , s iCn 2 sA，in则c o Cs.【答案：5】529.【2014年黄浦区二模文理第8 题】8．在ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边的长度分别为 a、 b、 c ，且a2b2c23ab ，则C.【答案：p】630.【 2014 徐汇、金山、松江区二模理第16 题，文第17 题】在ABC 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 A 2 B ，则sin B等于 ------- （）sin 3BA ．aB ．cC．bD．b c b a c【答案：Ｄ】31. 【 2014 徐汇、金山、松江区二模理第20 题】以下列图，某旅行景点有一座风景艳丽的山岳，山上有一条笔挺的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2 个小时的时间进行徒步登攀．已知ABC1200，ADC1500， BD1（千米）， AC 3 （千米）．假设小王和小李徒步登攀的速度为每小时 1200 米，请问：两位登山喜好者能否在 2 个小时内徒C步登上山岳．（即从 B 点出发到达 C 点）DABADC1500知 ADB300，【答案：解：由由正弦定理得1ADsin120 0 ，所以，AD3 ．（4 分）sin 300---------------------------------------在 ADC 中，由余弦定理得：2222 AD DC cos1500 AC AD DC，即322DC 2 2 3 DC cos1500，即DC23 3 DC60 ，解得 DC 3331.372 （千米），（10分）2-----------------------------------------------BC 2.372 （千米），--------------------------------------------------------------------（12 分）因为 2.372 2.4 ，所以两位登山喜好者可以在 2 个小时内徒步登上山岳．--- （14分）】32. 【 2014 年黄浦区二模文理第21 题】21．某通信公司需要在三角形地带OAC 地域内建造甲、乙两种通信信号增强中转站，甲中转站建在地域C BOC 内，乙中转站建在地域 AOB 内．分界线 OB 固定，且 OB =(13)百米，界限线 AC 一直过点B ，界限线 OA、 OC 满足AOC 750 ,AOB300 , BOC 450．B设 OA x ( 3x 6 )百米， OC y 百米.(1) 试将y表示成x的函数，并求出函数y 的分析式；A O第 21题图(2) 当x取何值时？整此中转站的占地面积S OAC最小，并求出其面积的最小值．【答案：解(1)联合图形可知，S BOC SAOBSAOC．于是，1x(13)sin 3001y(13)sin 4501xy sin 750，解得 y2x x6) ．x (32(2) 由 (1)知， y2 x (3 x6) ，x2所以， S AOC1xy sin 7501 3x 224x 213[( x 2)4 24] 4x2 23 (当且仅当 x 24，即 x4 时，等号建立 )．x 2答：当 x 400 米时，整此中转站的占地面积S OAC 最小，最小面积是 (2 2 3) 104 平方米. 】33. 【 2014 年崇明二模文理第 20 题】如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB ，此中 O 为扇形 OAB 所在圆的圆心，AOB 60 ，扇形绿地 OAB 的半径为 r .广场管理部门欲在绿地上修筑观光小道：在AB 上选一点 C ，过 C 修筑与 OB 平行的小道 CD ，与 OA 平行的小道CE ，且所修筑的小道 CD 与 CE 的总长最长 .(1) 设 COD，试将 CD 与 CE 的总长 s 表示成 的函数 s f ( ) ；(2) 当 取何值时， s 获得最大值？求出 s 的最大值 .【 答 案 ： 设 扇 形 的 半 径 为 r.(1)在 △ODCr C D中 ，，s i n C D O s i n C O D2 3 ，同理 CE 2 3πCDr sinr sin() .333s f (2 3 2 3 π )2 3 ππ)r sinr sin(r sin()0, .32 3r sin(π π (0, π π π 2π(2) s3 ) ， (0, ).),(,),333333π π π 时， s maxπ 2 3 r .】当3，即6f ( )32634. 【 2014 年奉贤区二模文理第21 题】某人沿一条折线段构成的小道行进， 从 A 到 B ，方位角（从正北方向顺时针转到AB 方向所成的角）是 50 0 ，距离是 3km ；从 B 到 C ，方向角是 110°，距离是 3km ；从 C 到 D ，方向角是 140°，距离是（9 3 3 ） km.试画出大体表示图，并计算出从A 到 D 的方向角和距离（结果保留根号）.【解：表示图，以下列图，4 分连接 AC ，在△ ABC 中，∠ ABC=50 °+(180 ° -110° )=120° , 又 AB=BC=3 ，∴∠ BAC= ∠ BCA=30 °由余弦定理可得ACAB 2 BC 22 AB BC cos1203 37 分在△ ACD 中，∠ ACD=360 ° -140° -(70° +30° )=120 ° ,CD=3 3 +9.由余弦定理得 AD= AC 2 CD 22 A C CD cos120=27(339) 22 3 3 (3 3 9)( 1)=9( 226 )(km).10 分23 3 3由正弦定理得 sin ∠ CAD= sin9CADCD sin ACD92 2 212 分AD 622∴∠ CAD=45 ° ,于是 AD 的方向角为 50° +30 °+45 ° =125° ,13 分所以，从 A 到 D 的方向角是 125°，距离为9(26) km.】235. 【 2014 年嘉定、 宁区二模文第 19 】（本 分 12 分，本 共有 2 个小 ，第 1 小分 5 分，第 2 小 分7 分．在△ ABC 中，角 A 、 B 、C 所 的 分a 、b 、c ，已知 sin A sin C p sin B（ p0 ），且 ac1 b2 ．4（ 1）当 p5 1 ，求 a ， c 的 ；， b4（ 2）若 B 角，求 数p 的取 范 ．【 答 案 ：（ 1 ） 由 正 弦 定 理 得 ，a c pb ， 所 以5 a c， ⋯⋯⋯⋯（ 2 分）4又 ac1a 1, a1 , ，所以1 或44cc 1.4⋯⋯⋯⋯（ 5分）（少一 解扣 1 分）（2）由余弦定理， b 2 a 2 c 2 2ac cosB (a c)22ac 2accosB ，⋯⋯（ 1 分）即 b2p 2b21b 2 (1 cos B) ，⋯⋯⋯⋯（ 2 分）2所以 p23 1cos B ． ⋯⋯⋯⋯（ 4 分）2 2由 B 是 角，得 cosB(0 , 1) ，所以 p 23 , 2 ．⋯⋯⋯⋯（ 6 分）2由 意知 p0 ，所以 p6 , 2 ． ⋯⋯（7 分）】236. 【 2014 年普陀区二模文第 19 】 19.(本 分 12 分 ) 本 共有 2 个小 ，第 1 小 分 6分，第 2小 分6分.如 ，在xOy平面上，点A(1,0)，点B在 位 上，AOB().π(1) 若点 B( 3 , 4) ，求 tan(2π) 的 ；5 54(2) 若 OA OB OC ，四 形 OACB 的面 用 S 表示，求 SOA OC 的取 范 .【答案：因为B( 3 , 4) ， AOB，所以 tan45 532 tan8 24 tan 223tan 167119241 tan2 131于是 tan(2) 74 1tan224 1717（2） S 1 1 sin sin因为 OA(1,0) , OB (cos ,sin ) ⋯⋯ 7 分，所以 OC OA OB (1 cos ,sin)OA OC 1 (1 cos ) 0sin1 cos ⋯⋯⋯⋯ 9 分S OAOCsincos12 sin() 1（ 0）4因为52 sin() 1，所以 0 S OAOC21 】4，所以2 44437. 【 2014 年普陀区二模理第 19 】如 ，在 xoy 平面上，点 A(1,0) ，点 B 在 位 上，AOB（ 0）（1）【理科】若点B( 3 , 4) ，求 tan(2) 的 ；5 54（2）若 OAOB OC ，四 形 OACB 的面 用 S 表示，求 S OA OC 的取 范 .yBCAOx第19题图【答案：【解】（ 1）【理科】因为 B(3,4) ， AOB ，所以 cos3 ， sin45 555yO xsin 4tan521cos32151tan12于是 tan()23241tan122（2）S11sin sin由于OA(1,0),OB(cos , sin )⋯⋯7分，所以OC OA OB(1cos ,sin)OA OC1(1 cos )0sin1cos⋯⋯⋯⋯ 9 分S OA OC sin cos1 2 sin()1（ 0）4因为5，所以2sin()1，所以0S OA OC21 】44244。
19届二模三角小题汇编
1. [2019届宝山二模9]如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧 AB 上异于A 、B 的点，且PQ OB ⊥交OB 于Q 点，当 △POQ 的面积大于38时，POQ ∠的大小范围为 答案： (,)63ππ2. [2019届杨浦二模1]函数的最小正周期是答案：3. [2019届虹口二模3]已知，在第四象限，则 答案：4. [2019届青浦二模7]函数的最大值为答案：5. [2019届黄浦二模11]设，若关于的方程在区间上有三个解，且它们的和为，则 答案： 或 6. [2019届崇明二模2]函数的最小正周期答案：7. [2019届浦东二模6]已知函数（）是偶函数，则的最小值是 答案： 8. [2019届闵松二模6] 在△中，角、、的对边分别为、、，其面积，则答案： 2()12sin f x x =-π1cos 3θ=θcos()2πθ+=223|sin arcsin |y x x =+sin12π+[0,2)ϕπ∈x sin(2)x a ϕ+=[0,]π43πϕ=6π76πsin cos y x x =T =π()sin 2()f x x ϕ=+0ϕ>ϕ4πABC A B C a b c 2221()3S a c b =+-tan B =439. [2019届闵松二模9]若函数的图像关于直线对称，则正数的最小值为答案： 10. [2019届金山二模2]函数的最小正周期是答案：11. [2019届普陀二模16]设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 答案： B12. [2019届黄浦二模16]在△中，，，，下列说法中正确的是（ ）A.为边长不可以作成一个三角形B.为边长一定可以作成一个锐角三角形C.为边长一定可以作成一个直角三角形D.为边长一定可以作成一个钝角三角形答案： B13. [2019届长嘉二模16]对于△，若存在△，满足，则称△为“类三角形”，“类三角形”一定满足（ ）A. 有一个内角为30°B. 有一个内角为45°C. 有一个内角为60°D. 有一个内角为75°答案： B2()sin cos f x x x x ωωω=+3x π=ω142)cos (sin x x y +=π()sin()6f x x π=-5[,]62ππα∈--[0,]m β()()0f f αβ+=m 6π2π76ππABC BC a =CA b =AB c =ABC 111A B C 111cos cos cos 1sin sin sin A B C A B C ===ABC V V。
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1 二模真题汇编-三角比与三角函数一、填空题1、（金山区2019年二模2题）函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是 .【答案】π【解析】()2sin cos 12sin cos 1sin 2y x x x x x =+=+=+则22T ππ== 2、（宝山区2019年二模9题）如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧AB 上异于,A B 的点，且PQ OB ⊥交OB 于点Q ，当POQ ∆时，POQ ∠的大小范围为_________【答案】,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】()111sin 11cos sin sin 2224S OP OQ θθθθ===>,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭3、（崇明区2019年二模2题）函数sin cos y x x =的最小正周期=T _______________.【答案】π2 【解析】x x x y 2sin 21cos sin ==，则ππωπ===222T4、（徐汇区2019年二模5题）函数cos2sin ()cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为【答案】【解析】23)(34,3)32(2,0),32sin()(cos sin 2cos 23)(min -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=+=x f x x x x f x x x x f πππππ5、（杨浦区2019年二模1题）函数2()12sin f x x =-的最小正周期是 【答案】π【解析】()212sin cos2f x x x =-=22T ππ⇒==．6、（杨浦区2019年二模7题）函数arcsin 211xx y =-的值域是【答案】14[,]22ππ-+【解析】由题意()arcsin 211x y x x =+-≤≤，在[]1,1-上单调递增，当1x =-时，12y π-=，当1x =时，42y π+=，故该函数的值域是14,22ππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦3 7、（杨浦区2019年二模11题） 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的 最小值为【答案】45【解析】0GA GB ⋅=90AGB ⇒∠=︒，如图，CD 为AB 边上中线，设GD k =，则AD BD k ==，3CD k =，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据平行四边形的性质（四条边的平方和等于两条对角线的平方和），可得()()222222CA CB AB CD +=+，即()222221436202a b k k k +=+=， 所以222220ab a b k ≤+=， 在ABC ∆中由余弦定理得2222222044cos 2205a b c k k C ab k +--==≥，所以()min 4cos 5C =．8、（闵行区2019年二模6题）在ABC D 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积()22213S a c b =+-，则 tanB = ． 【答案】43． 【解析】1sinB 2S ac =，222cos 2a b c B ab +-=，sin tan cos B B B =由上述三个公式可得4tan 3B =．4 9、（闵行区2019年二模9题）若函数()2x sin xcos x x f w w w =的图像关于直线3x p=对称， 则正数w 的最小值为 ． 【答案】14． 【解析】化简可得()sin(2)3f x x p w =+3x p =对称，所以3x p=的时候，()f x 取得最值，所以2sin 133p w 骣???琪桫，即2332k p p w p +=+（k Z ∈），所以1342k w =+（k Z ∈），即最小的正数w 为14． 10、（浦东新区2019年二模6题）已知函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>是偶函数，则ϕ的最小值是______.【答案】4π【解析】()()0sin 21,=024k f k Z ππϕϕ==±+∈>得,min 4πϕ∴=11、（青浦区2019年二模7题）函数|sin arcsin |y x x =+的最大值为________ 【答案】sin12π+【解析】|sin arcsin |y x x =+在[]1,1-上为偶函数，且在[]0,1上为单调递增，所以最大值为sin12π+ 二、选择题1.（长宁、嘉定区2019年二模16题）对于ABC ∆,若存在111C B A ∆，满足1cos cos sin cos sin cos 111===C C B B A A ，则称ABC ∆为类三角形”“V .类三角形”“V 一定满足 （ ）5 【A 】有一个内角为︒30 【B 】有一个内角为︒45 【C 】有一个内角为︒60 【D 】有一个内角为︒75 【答案】B【解析】由题意可得等腰三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,均为锐角，且1,11sin cos sin cos ,sin cos C C B B A A ===，απα2,-===A C B 则设，由于111C B A ∆中，111,,C B A 不会全是锐角，否则，有2,2,2111πππ=+=+=+C C B B A A ，与三角形内角和矛盾，所以111,,C B A 必有一个钝角，只能是顶角1A 为钝角，11B C 和为锐角.所以απαπ-2-211==C B ，，所以α21=A ，再根据1sin cos A A =,可得ααπ2sin )2cos(=-，即02cos 2sin =+αα，432πα=，顶角为4π.2.（普陀区2019年二模16题）设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin πx x f ，若对于任意,2,65⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈ππα在区间[]m ,0上总存在唯一确定的β，使得()(),0=+βαf f 则m 的最小值为（ ） A 、6π B 、2π C 、67πD 、π 【参考答案】B【解析】画出()x f 图像，()()βαππαf f ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈23,00,232,65，所以m 的最小值为2π，选B3.（青浦区2019年二模14题）已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）6 【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件 【D 】 既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】A B >可得B 为锐角；充分性：当A 为锐角时，tan y x =在(0,)2π上单调递增，tan tan A B >成立；当A 为钝角时，A B π+<，则B A π<-，tan()tan A B π->；|tan ||tan |A B >成立。
必要性：当A ，B 为锐角时，显然成立；A 为钝角，B 为锐角时，也成立；A 为锐角，B 为钝角时，tan tan A B >-， A B π>-，显然不成立，故必要性也成立。
三、解答题1.（金山区2019年二模17题）已知ABC ∆中，1tan 4A =,3tan 5B =，AB （1） 角C 的大小；（2） ABC ∆中最小边的边长. 【答案】（1）3=4C π；（2【解析】（1）()()tan tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B A Bπ+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-1345-113145+=-=-⋅ 所以3=4C π7 （2）22sin 1cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩所以sin A =sin B =； 因为sin sin sin a b c A B C ==，所以sin sin sin BC AC ABA B C==所以BC =5AC =2.（宝山区2019年二模18题）已知()21cos cos 2f x x x x =-+. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围；（2）设ABC ∆的三边分别是,,a b c ，周长为1，若()12f B =-，求ABC ∆面积的最大值.【答案】（1）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）34-. 【解析】（1）()1cos 212sin 22226x f x x x π+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, 则50,2,2666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈⇒-∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦()1,12f x ⎡⎤⇒∈-⎢⎥⎣⎦.（2）()112sin 2,2623f B B B ππ⎛⎫=-⇒-=-⇒=⎪⎝⎭由余弦定理：222222cos 2a c b B a c b ac ac+-=⇒+-=-，又有11a b c b a c ++=⇒=--，代入可得：()222112210a c ac a c ac a c ac ++=--⇒+=+≥-≥127sin 324ac S ac B ⇒≤⇒≤-⇒=≤-，即ABC ∆面积的最大值为34-.8 3.（崇明区2019年二模19题）某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A 、B 分别在圆周上，观众席为等腰梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中BQ AB AP ==,32π=∠=∠QBA PAB ，且AB 、PQ 在点O 的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O 处的距离不超过60米（即要求60≤PO ），设α=∠OAB ,⎝⎛⎪⎭⎫∈3,0πα。
（1）当6πα=时，求舞台表演区域的面积；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？ 【答案】（1）π3400（2）3600)32sin(38001600<++πα，均能符合要求 【解析】（1）当6πα=时，23AOB π∠=所以舞台表演区域的面积2140023OAB S r απ==扇形平方米.................................................5分（2）作OH AB ⊥于H ，则22cos 40cos AB AH OA αα==⋅= 在OAP 中，22222cos()3OP OA AP OA AP πα=+-⋅+................................................2分92400(6cos cos 1)ααα=++400(3cos 224)αα=+................................................4分)16003πα=++................................................6分因为(0,)3πα∈，所以当12πα=时，max 60OP =<................................................8分所以对于任意α，上述设计方案均能符合要求................................................9分4.（奉贤区2019年二模17题） 已知sin θ、sin α、cos θ成等差数列，sin θ、sin β、cos θ成等比数列. （1）若6πα=，求θ；（2）求1cos2cos22αβ-的值. 【答案】（1）空集；（2）0。