高中数学复习提升数学分类汇编理5：三角函数3

2012全国各地模拟分类汇编理：三角函数（3）【北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试】已知函数()sin 3cos f x x x =+，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a << 【答案】B【福建省南安一中2012届高三上期末】若函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()f x 的图象，只要将sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度【答案】C【甘肃省天水一中2012学年度第一学期高三第四阶段考】函数x x y cos sin +=的图像可由x x y cos sin -=的图像向左平移（ ）个单位A.23π B. π C. 4π D. 2π 【答案】D【广东省执信中学2012学年度第一学期期末】若sin cos tan (0)2παααα+=<<，则α∈（ ）A ．(0,)6πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ【答案】C【西安市第一中学2012学年度第一学期期中】为了得到函数y=312sin 2x x 的图象，可以将函数y=sin2x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【答案】A【北京市东城区2012学年度高三数第一学期期末】如图所示，点P 是函数)sin(2ϕω+=x y )0,(>∈ωR x 的图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若0=⋅PN PM ，则ω的值为（A ）8π （B ）4π （C ）4（D ）8【答案】B【浙江省杭州第十四中学2012届高三12月月考】假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：①()sin cos f x x =-；②()2(sin cos )f x x x =+；③()22f x x =+；④()sin f x x =．则其中属于“互为生成函数”的是 (A) ①② (B) ①③ (C) ③④(D) ②④【答案】B【安徽省六校教育研究会2012届高三联考】函数22sin y x =-是（ ） （A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数 （C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数【答案】D【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】计算0000cos42cos18cos48sin18-的结果等于 （ ） A12 B 3223【答案】A【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A=3π3b 的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b 的取值范围为 。

【答案】}2{]3,0(⋃【广东省执信中学2012学年度第一学期期末】如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+= ．【答案】12【甘肃省天水一中2012学年度第一学期高三第四阶段考】若1sin sin 2=+αα，则αα24cos cos +=【答案】—1【甘肃省天水一中2012学年度第一学期高三第四阶段考】对于ABC ∆，有如下命题：①若B A 2sin 2sin =,则ABC ∆为等腰三角形；②若B A cos sin =则ABC ∆为直角三角形；③若1cos sin sin 222<++C B A 则ABC ∆为钝角三角形.其中正确命题的序号是—— 【答案】③【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】设22()sin cos ()k kk f x x x x R =+∈，利用三角变换，估计()k f x 在k=l ，2，3时的取值情况，对k ∈N*时推测()k f x 的取值范围是____（结果用k 表示）． 【答案】()1112k k f x -≤≤ 【西安市第一中学2012学年度第一学期期中】已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________ 【答案】3【西安市第一中学2012学年度第一学期期中】已知1sin cos 2αα=+，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin()4απα-的值为【答案】142-【北京市东城区2012学年度高三数第一学期期末】已知sin 2cos =αα，那么tan 2α的值为 ． 【答案】34-【北京市西城区2012学年度第一学期期末】在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若25b =4B π∠=，5sin C =c = ；a = ．【答案】226【福建省南安一中2012届高三上期末】若[0,]απ∈，[,]44ππβ∈-，R λ∈，满足：3()cos 202πααλ---=，34sin cos 0βββλ++=，则cos()2αβ+的值为 ． 【答案】22【安徽省六校教育研究会2012届高三联考】设ABC △的内角,,A B C 所对的边长分别为c b a ,,，且c A b B a 21cos cos =-． （Ⅰ）求BAtan tan 的值； （Ⅱ）求)tan(B A -的最大值，并判断当)tan(B A -取最大值时ABC △的形状．【答案】（1）由c A b B a 21cos cos =-可得B A B A B A A B B A sin cos cos sin )sin(cos sin 2cos sin 2+=+=-⇒=⇒A B B A cos sin 3cos sin BAtan tan =3 4分（2）设t B =tan ，则t A 3tan =且0>t)tan(B A -3313231231322≤+=+=+-=tt ttt t t 10分此时3633ππ=⇒=⇒=A B t ，故2π=C ，△ABC 为直角三角形 12分【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】已知函数2()23sin cos 2cos 2.f x x x x =-+ （ I ）求()f x 的单调递增区问；（Ⅱ）若()2f x m -<对一切x ∈[0，2π]均成立，求实数m 的取值范围． 【答案】1)62sin(212cos 2sin 3)(+-=+-=πx x x x f ．（Ⅰ）由πππππk x k 226222+≤-≤+-，解得Z k k x k ∈+≤≤+-,36ππππ．所以，)(x f 的递增区间为]3,6[ππππk k ++-Z ∈k ,． ………………………（5分）（Ⅱ）由()2f x m -<，得()x f m >+2对一切]2,0[π∈x 均成立．]65,6[62 ],2,0[ππππ-∈-∴∈x x ．.3)(0 ,1)62sin(21≤≤∴≤-≤-∴x f x π∴32>+m ，1>∴m ．所以实数m 的取值范围范围为()+∞,1． ………………………………（12分）【浙江省杭州第十四中学2012届高三12月月考】 已知向量 113,sin 22a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭与(1,)b y = 共线，设函数 ()y f x =。

（I ） 求函数 ()f x 的周期及最大值；（II ） 已知锐角 △ABC 中的三个内角分别为 A 、B 、C ，若有 33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边 BC ＝7，21sin B =△ABC 的面积． 【答案】（1）因为a b →→与共线，所以113(sin cos )0222y x x -+= 则()2sin()3y f x x π==+，所以()f x π的周期T=2,当max 2,,26x k k Z f ππ=+∈= ┄┄┄┄┄┄┄6分（2）3)3,2sin()3,sin 3332A A πππ=∴-+=∴=因为f(A-023A A ππ<<∴=因为.21,sin sin sin 7BC AC B A B ==由正弦定理得又 sin 3212,sin sin 14BC B AC C A ∴===且133sin 2ABC S AC BC C ∆∴==┄┄┄┄┄┄┄┄14分 【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是 a,b,c且a=2, 4cos 5B =（1）b=3, 求sin A 的值。

（2）若△ABC 的面积ABC S ∆=3，求b,c 的值。

【答案】(1) cos B =54且 0 <B<π ∴ sin B = B 2cos 1- = 53(2分)由正弦定理 B b A a sin sin =得 sin A = b B a sin =52（6分） (2) 因为 ABC S ∆= 21a c B sin ⋅= 3所以53221⋅⋅c = 3 所以 c = 5 (9分) 由余弦定理 1354*5*2*252cos 222222=-+=⋅-+=B ac c a b所以 b=13 (12分)【广东省执信中学2012学年度第一学期期末】已知向量1(sin ,)2m A =与(3,sin 3cos )n A A =+共线，其中A 是ABC ∆的内角。

（1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求ABC ∆面积S 的最大值． 【答案】【甘肃省天水一中2012学年度第一学期高三第四阶段考】 已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π, (Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β. 【答案】（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得22143sin 1cos 17αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭2分 ∴sin 437tan 43cos 1ααα===22tan 24383tan 21tan 143ααα⨯===--……4分 （Ⅱ）由02παβ<<<，得02παβ<-<………6分又∵()13cos 14αβ-=，∴()()221333sin 1cos 114αβαβ⎛⎫-=--=-= ⎪⎝⎭ ……8分由()βααβ=--得： ()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-113433317142=⨯= 所以3πβ= (10)【西安市第一中学2012学年度第一学期期中】在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且满足C a A c cos sin =.()I 求角C 的大小； ()II 求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4cos sin 3πB A 的最大值，并求取得最大值时角B A ，的大小.【答案】()I 由正弦定理得C A A C cos sin sin sin =因为π<<A 0，所以0sin >A .从而C C cos sin =.又0cos ≠C ，所以1tan =C ，则4π=C------------------------------6 ()II 由()I 知，A B -=43π，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4cos sin 3πB A =()A A --πcos sin 3=A A cos sin 3-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin 2πA -----------------------------------8因为430π<<A ，所以121166πππ<+<A .从而当26ππ=+A ，即3π=A 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin 2πA 取最大值2.--------------------------------------------10综上所述，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4cos sin 3πB A 的最大值2，此时3π=A ，125π=B .---------12【西安市第一中学2012学年度第一学期期中】已知函数73()sin cos ,44f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知()()44cos ,cos 55βαβα-=+=-，02παβ<<≤，求证：[]2()20f β-=.【答案】（Ⅰ）∵()2222sin cos cos sin 2222f x x x x x ⎛⎛⎫=⋅+⋅-+⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2sin cos 2sin 4x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，----------------------------2∴()f x 的最小正周期是2π，当()242x k k πππ-=-∈Z ，即()24x k k ππ=-∈Z 时，函数取得最小值-2.----------------5（Ⅱ）02παβ<<≤，02πβα∴>->，0πβα>+>()4cos ,5βα-=()3sin 5βα∴-=.()4cos ,5βα+=-()3sin 5βα∴+=--------7()()sin 2sin βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦()()()()sin cos cos sin αβαβαβαβ=+--+-344305555⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，----------------------------------------------9 ()22222sin 24sin 244f ππβββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=--⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 21cos 222sin 202πββ⎡⎤⎛⎫=---=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以，结论成立------------------------------------------------------------12分【福建省南安一中2012届高三上期末】设函数23()2cos f x x x ωω=+，其中02ω<<；（Ⅰ）若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的单调增区间； （Ⅱ）若函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，求ω的值．【答案】 （1）22cos 12sin 23)(x x x f ωω++=………………………2分 .2162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πωx ………………………………3分.1,22,0,=∴=∴>=ωπωπωπT …………………………………4分 令,,226222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ…………………………5分得，,,63z k k x k ∈+≤≤+-ππππ………………………………6分所以，)(x f 的单调增区间为：.,6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ………………7分（2） 2162sin )(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πωx x f 的一条对称轴方程为.3πk k s s **55**u u .,2632z k k ∈+=+⋅∴ππππω…………………9分.2123+=∴k ω…………………11分又20<<ω，∴.131<<-k.21,0=∴=∴ωk …………………13分【北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试】在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足32sin 0a b A -=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，7b =，求AB AC 的值．【答案】解：（Ⅰ）因为32sin 0a b A -=，所以3sin 2sin sin 0A B A -=， ……………………………………………… 2分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . …………………………………………………3分 又B 为锐角， 则3B π=. …………………………………………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为7b =，根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，………………………………………7分整理，得2()37a c ac +-=．由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =． ……………………………………… 9分于是2227cos 21447b c a A bc +-===， ………………………… 11分 所以7cos cos 27114AB AC AB AC A cb A ===⨯⨯=． …………… 13分【北京市西城区2012学年度第一学期期末】已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求()f x 的零点； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值. 【答案】 解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin (3sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或3tan 3x =-. ………………3分 由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 3tan 3x =-，π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分 综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. （Ⅱ）解：31π3()1cos2sin 2sin(2)2232f x x x x =-+=-+（）. ………………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分 当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f 3； ………………11分 当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为312-+. ………13分 解法二：（Ⅰ）解：31π3()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-+（）………………3分令()0f x =，得 π3sin(2)3x -=. ………………4分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分 所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分即 5π6x =或πx =时，()0f x =.综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f 3； ………………11分 当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为312-+. ………………13分【浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考】设函数.cos 2)342cos()(2x x x f +-=π（Ⅰ）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值是x 的集合； （Ⅱ）已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若.2,23)(=+=+c b C B f 求a 的最小值.【答案】（Ⅰ）)2cos 1()34sin 2sin 34cos 2(cos cos 2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-=πππ 1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=πx x x ……………………3 )(x f 的最大值为2……………………4分要使)(x f 取最大值， )(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ ……………………6分 注：未写“Z k ∈”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分. （Ⅱ）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA 化简得21)32cos(=-πA ……………………8分()0A π∈，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A (10)分在ABC ∆中，由余弦定理，bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π……………12分由2=+c b 知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ，当1==c b 时a 取最小值.1……………14分【北京市东城区2012学年度高三数第一学期期末】已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3sin cos 1B B -=，1=b ．（Ⅰ）若125π=A ，求c ； （Ⅱ）若c a 2=，求△ABC 的面积．【答案】解：（Ⅰ）由已知1cos sin 3=-B B ，整理得21)6sin(=π-B ． ………………2分 因为π<<B 0，所以π<π-<π-6566B . 故66π=π-B ，解得3π=B . ……………4分 由512A π=，且π=++C B A ，得4π=C . 由BbC c sin sin =，即3sin 14sin π=πc ，解得36=c . ………………7分 （Ⅱ）因为B ac c a b cos 2222-+=，又32π==B c a ，， 所以21442222⨯-+=c c c b ，解得c b 3=. ………………10分 由此得222c b a +=，故△ABC 为直角三角形，2π=A ，31=c ． 其面积6321==bc S ． ………………13分。