上海高中数学三角函数训练题
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．设函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则函数()|cos |()g x x f x π=-在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为___________.2．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为___________.3．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________. 4．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||φπ<)的部分图象如图所示，()f x 的图象与y 轴的交点的坐标是(0,1)，且关于点(,0)6π-对称，若()f x 在区间14(,)333ππ上单调，则ω的最大值是___________.5．已知函数()sin 2sin 23f x x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭同时满足下述性质：①若对于任意的()()()123123,0,,4,x x x f x f x f x π⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦恒成立；②236f a π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a 的值为_________.6．在角1θ，2θ，3θ，…，29θ的终边上分别有一点1P ，2P ，3P ，…，29P ，如果点k P 的坐标为()()()sin 15,sin 75k k-+，129k ≤≤，k ∈N ，则12329cos cos cos cos θθθθ+++⋅⋅⋅+=______7．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．8．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．9．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线2y x =+与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，点P 在圆22()2x a y -+=上运动.若MPN ∠恒为锐角，则实数a 的取值范围是________.二、单选题11．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（ ）①1ω=时，函数()f x 图象关于π4x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则(]03ω∈，；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=. A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④12．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦13．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，且有()02f ()()1g x f x =-的图象在()0,2π内有5个不同的零点，则ω的取值范围为（ ）A ．5571,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5571,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4755,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4755,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦14．已知函数()()sin f x x ωφ=+π0,02ωφ⎛⎫><< ⎪⎝⎭在π5π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且π3π088f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．22B ．1C ．1-D ．22-15．在ABC 中，,E F 分别是,AC AB 的中点，且32AB AC =，若BEt CF <恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34B ．78C ．1D ．5416．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4517．如图，长方形ABCD 中，152AB =，1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）A ．14B ．23C 151-D 51-18．在三棱锥A BCD -中，5,2,2AC AD AB CD BC BD ======接球的半径为（ ） A 210B 210C 25D ．519．()sin()(0)f x x ωφφ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，若tan 2APB ∠=-，则ω的值为（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．π20．在ABC 中，若22sin cos 1A B +=，则8cos AB BCBC A AC+的取值范围为（ ）A ．)43,8⎡⎣B ．)43,7⎡⎣C ．()7,8D ．()0,43三、解答题21．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．22．已知1l ，2l ，3l 是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，求这个正三角形ABC 的边长.（2）如图2，如果1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，能否把一个正三角形ABC 的三顶点分别放在1l ，2l ，3l 上，如果能放，求BC 和3l 夹角θ的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC 的三顶点分别在1l ，2l ，3l 上，设1l 与2l 间的距离为1d ，2l 与3l 间的距离为2d ，求12d d ⋅的取值范围.23．将函数()sin 2g x x =3向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.24．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .25．已知函数22()cos sin 3sin cos 3f x a x a x x x =-+-，其中a R ∈． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的对称中心；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值．26．已知ABC ∆的外接圆．．．2，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，2sin sin n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长. 27．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知10sin 2C =（1）若4a =，210c =ABC ∆的面积； （2）若ABC ∆91522213sin sin sin 16A B C +=，求c 的值.28．已知函数22()sin 22sin 26144f x x t x t t ππ⎛⎫⎛⎫=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,242x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，最小值为()g t .（1）求当1t =时，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()g t 的表达式； （3）当112t -≤≤时，要使关于t 的方程2()9g t k t =-有一个实数根，求实数k 的取值范围.29．已知函数()()2cos 3sin cos 1f x xx x =+-．（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（2）若()85f x =-，2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求cos2x 的值；（3）若函数()()0y f x ωω=>在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．30．函数f （x ）=A sin （2ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示 （1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数f （x ）的递增区间； （3）若α∈[0，π]，且f （α）=2，求α的值．【参考答案】一、填空题1．7 21282π37 4．115．06．07． 3 213,32⎡⎢⎣⎦8．14- 9735+ 10．71a 或4a二、单选题 11．B 12．A 13．A 14．D 15．B 16．C 17．A 18．A 19．C 20．A 三、解答题21．（1）2()2sin 233f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x 的解析式;(2)令()t f x =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难.22．（1）2 ；（2）能放，tan θ=；（3）(]0,1 【解析】 【分析】（1）根据,A C 到直线2l 的距离相等，可得2l 过AC 的中点M ，2l AC ⊥，从而求得边长2AC AM =的值.（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ，不妨设060θ<≤，可得sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比化简可得sin θa 的值，从而得出结论. （3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简()124sin 60sin d d θθ⋅=-为()2sin 2301θ+-，再根据正弦函数的定义和值域求出12d d ⋅的取值范围. 【详解】 （1）,A C 到直线2l 的距离相等，∴2l 过AC 的中点M ， ∴2l AC ⊥， ∴边长22AC AM ==（2）假设能放，设边长为a ，BC 与3l 的夹角θ， 由对称性，不妨设060θ<≤， ∴sin 2a θ=，()sin 601a θ-=，两式相比可得：()sin 2sin 60θθ=-，即sin sin θθθ-，2sin θθ∴=，tan θ∴=，sin θ∴=，故边长a ==， 综上可得，能放.（3）()1214sin 60sin 4sin sin 2d d θθθθθ⎫⋅=-=-⎪⎪⎝⎭()1cos 2222sin 23012θθθ⎫+=-=+-⎪⎪⎝⎭. 060θ<≤，30230150θ∴<+≤，()1sin 23012θ≤+≤， 所以()02sin 23011θ≤+-≤， 又10d >，20d >，所以(]120,1d d ⋅∈. 【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.23．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12tx x -=-【解析】（1）将()g x⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】（1）将函数()sin 2g x x =得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭， 令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解， 所以12x x π+=或123x x π+=， 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x =②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x 2cos x = ③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题. 24．见解析 【解析】选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC 的长；选择②：在ABC ∆，ACD ∆中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC 的长； 【详解】 解：选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯=⎝⎭所以AC==选择②设BAC CADθ∠=∠=，则04πθ<<，4BCAπθ∠=-，在ABC∆中sin sinAC ABABC BCA=∠∠，即23sin sin44ACππθ=⎛⎫-⎪⎝⎭所以sin4ACπθ=⎛⎫-⎪⎝⎭在ACD∆中，sin sinAC CDADC CAD=∠∠，即4sinsin6ACπθ=所以2sinACθ=.所以2sinsin4πθθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，解得2sin cosθθ=，又04πθ<<，所以sinθ=，所以2sinACθ==【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.25．（Ⅰ）(,3),.122kk Zππ-+-∈（Ⅱ）12a=或12a=-【解析】（Ⅰ）当1a=时，根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，根据正弦函数的性质可得.（Ⅱ）将函数化简为()sin()f x A x bωϕ=++的形式，分类讨论可得.【详解】解：（Ⅰ）当1a=时，22()cos sin cos3f x x x x x=-+-cos2232sin(2)36x x xπ=-=+-()2sin(2)36f x xπ∴=+-由2,6x k k Zππ+=∈得：,122kx k Zππ=-+∈()f x∴的对称中心为(,3),.122kk Zππ-+-∈（Ⅱ）22()cos sin sin cos 3f x a x a x x x =-+-()cos 2sin 23f x a x x ∴=-()2sin(2)36f x a x π∴=+- 1sin(2)16x π-≤+≤ 当0a >时，232sin(2)3236a a x a π--≤+-≤- 则有234a --=- 解得12a = 当0a =时，min ()3f x =-，不合题意当0a <时，232sin(2)3236a a x a π-≤+-≤-- 则有234a -=-解得12a =- 综上 12a ∴=或12a =-． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式将函数进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．26．(1) 3C π=. (2) max S = 【解析】【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=， ∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为 【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.27．（1）2）c =【解析】【分析】（1）先根据sin 2C =sin C 与cos C ，再利用余弦定理求出b 边，最后利用1sin 2ABC S ab C ∆=求出答案； （2）利用正弦定理将等式化为变得关系，再利用余弦定理化为2c 与ab 的关系式，再结合面积求出c 的值．【详解】解：（1）因为sin 2C = 所以2101cos 12sin 122164C C =-=-⨯=-．又()0,C π∈，所以sin C =．因为4a =，c =2222cos c a b ab C =+-， 所以214016244b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭， 解得4b =，所以11sin 4422ABC S ab C ∆==⨯⨯= （2）因为22213sin sin sin 16A B C +=，由正弦定理，得2221316a b c +=． 又2222cos a b ab C c +-=，所以283c ab =．又1sin 2ABC S ab C ∆=，得18ab =，所以248c =，所以c = 【点睛】 本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题．28．（1）4-（2）22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）--22∞⋃+∞（，）（，） 【解析】【分析】 （1）直接代入计算得解；（2）先求出1sin(2)[,1]42x π-∈-，再对t 分三种情况讨论，结合二次函数求出()g t 的表达式；（3）令2()()9h t g t k t =-+，即2()(6)t 10h t k =-++有一个实数根，利用一次函数性质分析得解.【详解】（1）当1t =时，2()sin 22sin 2444f x x t x ππ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以48f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）因为[,]242x ∈ππ，所以32[,]464x πππ-∈-，所以1sin(2)[,1]42x π-∈- 2()[sin(2)]614f x x t t π=---+（[,]242x ∈ππ） 当12t <-时，则当1sin(2)42x π-=-时，2min 5[()]54f x t t =-+ 当112t -≤≤时，则当sin(2)4x t π-=时，min [()]61f x t =-+ 当1t >时，则当sin(2)14x π-=时，2min [()]82f x t t =-+ 故22515421()611282(1)t t t g t t t t t t ⎧⎛⎫-+<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+-≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+>⎪⎩（3）当112t -≤≤时，()61g t t =-+，令2()()9h t g t k t =-+即2()(6)t 10h t k =-++ 欲使2()9g t kt =-有一个实根，则只需1()02(1)0h h ⎧-≤⎪⎨⎪≥⎩或1()02(1)0h h ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得-2k ≤或2k ≥.所以k 的范围：--22∞⋃+∞（，）（，）. 【点睛】本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.29．（I ）1-；（II；（III ）10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】 将()f x 整理为2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（I ）利用x 的范围求得26x π+的范围，结合sin x 的图象可求得最值；（II ）利用()85f x =-可求得sin 26x ；结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；根据cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III ）利用x 的范围求得26x πω+的范围，从而根据sin x 单调递增区间构造出关于ω的不等式组，解不等式组再结合0>ω即可得到结果.【详解】()2cos 2cos 12cos 22sin 26f x x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ （I ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦[]2sin 21,26x π⎛⎫∴+∈- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为：1- （II ）由题意得：82sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 4sin 265x π⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭ 2,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 3132,626x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦ 3cos 265x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=⨯（III ）()2sin 26f x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,6366x πωπππωωπ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦ 2622362k k ππωππωππππ⎧+≤+⎪⎪∴⎨⎪+≥-⎪⎩，k Z ∈，解得：12362k k ωω⎧≤+⎪⎨⎪≥-⎩，k Z ∈ 0ω>，可知当0k =时满足题意，即103ω<≤ω∴的取值范围为：10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为()sin A x ωϕ+的形式，从而通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.30．（1）π2,1,6A ωϕ===；（2）7π,112a b =-=，递增区间为()πππ,π36k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）π24或7π24. 【解析】【分析】（1）利用函数图像可直接得出周期T 和A ，再利用=2T πω，求出ω， 然后利用待定系数法直接得出ϕ的值．（2）通过第一问求得的值可得到()f x 的函数解析式，令()=0f x ，再根据a 的位置确定出a 的值；令0x =得到的函数值即为b 的值；利用正弦函数单调增区间即可求出函数的单调增区间．（3）令()f α=0απ，即可求得α的取值． 【详解】解：（1）由图象知A =2，34T =512π-（-3π）=912π， 得T =π， 即22πω=2，得ω=1， 又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2， 得sin （-23π+φ）=-1， 即-23π+φ=-2π+2k π， 即ω=6π+2k π，k ∈Z ， ∵|φ|＜2π， ∴当k =0时，φ=6π， 即A =2，ω=1，φ=6π； （2）a =-3π-4T =-3π-4π=-712π，b =f （0）=2sin6π=2×12=1， ∵f （x ）=2sin （2x +6π）， ∴由2k π-2π≤2x +6π≤2k π+2π，k ∈Z ， 得k π-3π≤x ≤k π+6π，k ∈Z ， 即函数f （x ）的递增区间为[k π-3π，k π+6π]，k ∈Z ；（3）∵f （α）=2sin （2α+6π）即sin （2α+6π） ∵α∈[0，π]，∴2α+6π∈[6π，136π]， ∴2α+6π=4π或34π， ∴α=24π或α=724π．【点睛】关于三角函数图像需记住：两对称轴之间的距离为半个周期；相邻对称轴心之间的距离为半个周期； 相邻对称轴和对称中心之间的距离为14个周期． 关于正弦函数单调区间要掌握： 当2,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递增； 当32+,222x k k ππωϕππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减．。
完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习
完整)上海高中数学三角函数大题压轴题练习三角函数大题压轴题练1.已知函数$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期和图象的对称轴方程。
解：（1）$f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3})+2\sin(x-\frac{\pi}{4})\sin(x+\frac{\pi}{4})$frac{1}{3}\cos(2x-\frac{\pi}{3})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{3}(\cos^2x-\sin^2x-\frac{1}{2})+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x-1)+\frac{4}{3}\sin x\cos x$frac{1}{6}(3\cos2x+2\sin x\cos x-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin(2x-\frac{\pi}{3})-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(3\cos2x+\sin2x\cos\frac{\pi}{3}-\cos2x\sin\frac{\pi}{3}-\frac{2}{3})$frac{1}{6}(2\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-\frac{2}{3})$frac{1}{3}(\cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x)-\frac{1}{3}$frac{2}{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3})-\frac{1}{3}$所以，函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$，图象的对称轴方程为$x=k\pi+\frac{\pi}{3}$（$k\in Z$）。
2）在区间$[-\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}]$上，$f(x)$单调递增，而在区间$[\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6}]$上单调递减。
沪教版(上海)高三一轮综合复习之 三角函数 习题
沪教版（上海）高三一轮综合复习之 三角函数 习题三角函数一、填空、选择题 1、（宝山区2020届高三上期末（一模））提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A. 当0a >，0b >时，辅助角arctan baϕ= B. 当0a >，0b <时，辅助角arctan b a ϕπ=+C. 当0a <，0b >时，辅助角arctanb a ϕπ=+ D. 当0a <，0b <时，辅助角arctan baϕπ=-2、（（奉贤区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，若60A =︒，2AB =，AC =ABC 的面积是3、（虹口区2020届高三上期末（一模））已知函数())cos(2)f x x x θθ=+++为偶函数，且在[0,]2π上为增函数，则θ的一个值可以是（ ）A. 6πB. 3π C. 23π D. 23π-4、（黄浦区2020届高三上期末（一模））设θ为第二象限的角，3sin 5θ=，则tan2θ的值为 ． 5、（静安区2020届高三上期末（一模））某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21︒方向，且塔顶的仰角为18︒，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39︒方向，则该塔的高度约为( ) A ．265米B ．279米C ．292米D ．306米6、（闵行区2020届高三上期末（一模））设函数()sin()6f x A x πω=-（0ω>，0A >），[0,2]x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：① 若0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个； ② ()f x 在8[0,]19π上单调递增；③ 存在ω和1x ，使得11()()()2f x f x f x π≤≤+对任意 [0,2]x π∈恒成立；④“1A ≥”是“方程1()2f x =-在[0,2]π内恰有五个解”的必要条件；所有正确结论的编号是7、（浦东新区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为 8、（青浦区2020届高三上期末（一模））已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角α的终边与单位圆的交点坐标是34(,)55-，则sin2α=9、（松江区2020届高三上期末（一模））若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+= 10、（徐汇区2020届高三上期末（一模））已知函数()arcsin(21)f x x =+，则1()6f π-=11、（杨浦区2020届高三上期末（一模））要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin 2y x=的图象（ ）A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位12、（长宁嘉定金山区2020届高三上期末（一模））已知点()2,y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=_______.13、（长宁嘉定金山区2020届高三上期末（一模））某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：0.5sin() 3.24(06)y x πωπω=++>.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）.A ．16时B ．17时C ．18时D ．19时 14、（崇明区2020届高三上期末（一模））若不等式（|x ﹣a |﹣b ）sin （πx +6π）≤0对x ∈[﹣1，1]恒成立，则a +b 的值等于（ ） A ．23B ．56C ．1D ．2参考答案：1、B2、33、D4、－2475、【解答】如图，ABC ∆中，1000AB =，213960ACB ∠=︒+︒=︒，903951ABC ∠=︒-︒=︒； 由正弦定理得，1000sin 51sin 60AC =︒︒，所以1000sin 51sin 60AC ︒=︒；Rt ACD ∆中，18CAD ∠=︒， 所以1000sin 5110000.7771tan18tan180.3249292sin 600.8660CD AC ︒⨯=︒=⨯︒=⨯≈︒（米)；所以该塔的高度约为292米．故选：C ．6、①③④7、338、2425-9、45- 10、14- 11、A 12、22313、D 14、B二、解答题1、（宝山区2020届高三上期末（一模））已知函数()sin cos()3sin cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.2、（（奉贤区2020届高三上期末（一模））函数()sin(tan )f x x ω=，其中0ω≠. （1）讨论()f x 的奇偶性；（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π； （3）(1.50,1.57)ω∈，当函数()f x 的图像与11()()2g x x x=+的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.3、（虹口区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，8a =，6b =，1cos 3A =-，求： （1）角B ； （2）BC 边上的高.4、（黄浦区2020届高三上期末（一模））在△ABC 中，,,a b c 分别是角A , B , C 的对边，且cos (2)cos a C b c A =-．（1）若3AB AC ⋅=，求△ABC 的面积；（2）若B C ∠<∠，求222cos cos B C +的取值范围．5、（浦东新区2020届高三上期末（一模））已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.6、（普陀区2020届高三上期末（一模））某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60AOB ∠︒，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.7、（松江区2020届高三上期末（一模））已知函数2()3cos 2sin f x x x x =-. （1）求()f x 的最大值；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()0f A =，b 、a 、c 成等差数列，且2AB AC ⋅=，求边a 的长.8、（崇明区2020届高三上期末（一模））知函数 f （x 3x ﹣cos 2x ﹣12，x ∈R ．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c 3f （C ）＝0．若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．参考答案：1、2、解：（1）由2x k πωπ≠+得212k x πω+≠，k Z ∈所以函数()()wx x f tan sin =的定义域为21{|,}2k x x k Z πω+≠∈ ----------2分k Z ∈不写扣1分所以定义域关于原点对称 -----------1分()[]()()sin tan ()sin tan sin tan ()f x w x wx wx f x -=-=-=-=- -----------1分 所以函数()()wx x f tan sin =是21{|,}2k x x k Z πω+≠∈上的奇函数. ----------1分（2）1=w ，()()sin tan f x x =函数()f x 是周期函数，且π是它的一个周期.因为()()()sin tan sin tan ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦ ----------2分（必须要验证） 所以函数()f x 是周期函数，且π是它的一个周期. 假设0T 是函数()()sin tan f x x =的最小正周期，且00T π<<那么对任意实数x ，都有()()()00sin tan sin tan ()f x T x T x f x +=+==⎡⎤⎣⎦成立 取0x =，则()0sin tan 0T =，所以0tan T k π=，k Z ∈（*）取0x T =，则()()00sin tan 2sin tan T T =所以()00202tan sin sin tan 1tan T T T ⎛⎫=⎪-⎝⎭ 把（*）式代入上式，得222sin 01k k ππ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以2221k n k πππ=-,,k n Z ∈ 得2221kn k π=-,,k n Z ∈0k ≠时，上式左边为无理数，右边为有理数 所以只能0k =但由00T π<<，0tan T k π=，k Z ∈知0k ≠所以假设错误，故π是()f x 的最小正周期. -----------3分（3）因为0x >，111()122x x +≥⨯=且()()sin tan 1f x wx =≤由()()11sin tan ()()2f x wx g x x x===+成立，当且仅当1x =成立 -----------2分 ()sin tan 1w =，得tan 22k πωπ=+所以arctan(2)2k n πωππ=++，,k n Z ∈因为(1.50,1.57)ω∈，所以只能0n = 得arctan(2)2k πωπ=+，k Z ∈ -----------1分 得arctan(2)2k πωπ=+是k 的递增函数当0k <时，3arctan(2)arctan()022k ππωπ=+<-<，不符合当0k =时，arctan1.00(1.50,1.57)2πω=≈∉当1k =时，5arctan 1.44(1.50,1.57)2πω=≈∉当2k =时，9arctan 1.5001(1.50,1.57)2πω=≈∈当3k =时，13arctan 1.52(1.50,1.57)2πω=≈∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅当199k =时，()57.150.15699.12797arctan ，∈≈=πω当200k =时，()57.150.1570001546.12801arctan ，∉≈=πω当()57.150.1570001546.1,200，时∉>>ωk 无解 故满足条件的ω的个数有198个. -----------3分3、4、5、【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………………………3分 ,,,36T x k k k Zπππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………6分（2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f…………………………10分 612BC BA ac ⋅=⇒=……………………………………………12分 ∴1sin 332ABC S ac B ==△………………………………………14分 6、（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=,60OPN θ∠=-, 则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN θθ==-， 即403)ON θ=-，3PN θ，……………………………4分 则停车场面积sin 24003sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-， 即3sin(60)S θθ=-，其中060θ<<.………………………6分（2）由（1）得3124003sin(60)24003(sin )2S θθθθθ=-=-，即23600sin cos 12003sin =1800sin 26003cos 26003S θθθθθ=-+-，……………………4分则12003sin(230)6003S θ=+-. ……………………6分 因为060θ<<，所以30230150θ<+<，则23090θ+=时，max 120031600360031039.2S =⨯-=≈平方米. 故当30θ=时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……………………………8分 说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分. 7、8、。
高中数学三角函数专项训练(含答案)
高中数学三角函数专项训练(含答案)一、填空题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．2．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.3．已知球O 的表面积为16π，点,,,A B C D 均在球O 的表面上，且,64ACB AB π∠=则四面体ABCD 体积的最大值为___________.4．已知函数23tan ,,,2332()63233,,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 5．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 为三个连续偶数且2C A =，则b =__________．6．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c ＝2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________ ．7．已知ABC 为等边三角形，点G 是ABC 的重心．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设AD AB λ=，AE AC μ=，则11λμ+=__________；ADE 与ABC 周长之比的取值范围为__________．8．已知向量a 与b 的夹角为θ，27sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.9．已知空间单位向量1e ，2e ，3e ，4e ，1234123421+=+=+++=e e e e e e e e ，则13⋅e e 的最大值是___________.10．已知函数()2log ,0,0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()2g x g x π+=；③当[]0,x π∈时，()sin .g x x =则函数()()y f x g x =-在区间[]4,4ππ-上零点的个数为__________个.二、单选题11．在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=（ ） A ．-6B ．-8C ．-9D ．-12 12．若对,x y R ∀∈，有()()()4f x y f x f y +=+-，函数2sin ()()cos 1xg x f x x =++在区间[2021,2021]-上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ） A ．4B ．8C ．12D ．1613．已知双曲线22413y x -=的左右焦点分别为1F ，2F ，点M 是双曲线右支上一点，满足120MF MF →→⋅=，点N 是线段12F F 上一点，满足112F N F F λ→→=.现将12MF F △沿MN 折成直二面角12F MN F --，若使折叠后点1F ，2F 距离最小，则λ=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．4514．已知函数()sin sin()f x x x π=+，现给出如下结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③()f x 在区间(0,)π上有三个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ） A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④15．已知F 是椭圆2221(1)x y a a +=>的左焦点，A 是该椭圆的右顶点，过点F 的直线l （不与x 轴重合）与该椭圆相交于点M ，N ．记MAN α∠=，设该椭圆的离心率为e ，下列结论正确的是（ ）A ．当01e <<时，2πα<B ．当0e <<2πα>C ．当12e <<时，23πα>D 1e <<时，34πα> 16．已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-17．如图，长方形ABCD 中，AB =1AD =，点E 在线段AB （端点除外）上，现将ADE 沿DE 折起为A DE '．设ADE α∠=，二面角A DE C '--的大小为β，若π2αβ+=，则四棱锥A BCDE '-体积的最大值为（ ）A ．14B ．23C ．151- D ．51- 18．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1619．在锐角ABC 中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．820．函数()cos(1)x f x e ax x x =+--，当0x >时，()0f x >恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．()1,e -+∞C ．(),e -∞D ．(),e +∞三、解答题21．在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 具体过程如下：如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角αβ，.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ．则(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ→→== 由向量数量积的坐标表示，有： cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+设,OA OB →→的夹角为θ，则||||cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+另一方面，由图3.1—3（1）可知，2k απβθ=++；由图可知，2k απβθ=+-.于是2,k k Z αβπθ-=±∈.所以cos()cos αβθ-=，也有cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 所以，对于任意角,αβ有：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（()C αβ-）此公式给出了任意角,αβ的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-.有了公式()C αβ-以后，我们只要知道cos ,cos ,sin ,sin αβαβ的值，就可以求得cos()αβ-的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M 是AB 的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题： （1）判断1OC OMOM→→→=是否正确？（不需要证明）（2）证明：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=（3）利用以上结论求函数()sin 2sin(2)3f x x x π=++的单调区间.22．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.23．将函数()sin 2g x x =3向左平移4π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，设函数()()()h x f x g x =+. （1）对函数()h x 的解析式；（2）若对任意,,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()a h h b αβ≤-≤恒成立，求b a -的最小值；（3）若26x h t π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[)0,2π内有两个不同的解1x ，2x ，求()12cos x x -的值（用含t 的式子表示）.24．函数()()sin tan f x x ω=，其中0ω≠.（1）讨论()f x 的奇偶性;（2）1ω=时，求证：()f x 的最小正周期是π；（3）()1.50,1.57ω∈，当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，求满足条件的ω的个数，说明理由.25．已知ABC ∆的外接圆．．．，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又向量()sin sin ,m A C b a =--，sin sin n A C B ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角C ；（2）求三角形ABC 的面积S 的最大值并求此时ABC ∆的周长.26．已知(1,sin )a x =，(1,cos )b x =，(0,1)e =，且(cos sin )x x -∈. （1）若()//a e b +，求sin cos x x 的值；（2）设()()f x a b me a b =⋅+⋅-，m R ∈，若()f x 的最大值为12-，求实数m 的值.27．已知函数())23cos sin cos 0f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心28．已知函数()()()24sin sin cos sin cos sin 142x f x x x x x x π⎛⎫=+++-- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数a 的值.29．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值30．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-． （1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【参考答案】一、填空题1．982．33 4．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 5．1067． 3 21,32⎡⎢⎣⎦8．259 10．6二、单选题 11．A 12．B 13．C 14．A 15．A 16．C 17．A 18．C 19．D 20．B 三、解答题21．(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 (1) 因为对1||n n →→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,即可判断出正确;(2)在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,表示出OC →,OM →的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论; 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)由(2)结论化简可得222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助正弦型函数的性质即可求得结果. 【详解】(1) 因为对于非零向量1,||n n n →→→是n →方向上的单位向量,又1OC →=且OM →与OC→共线,所以1OC OMOM→→→=正确;(2) 因为M 为AB 的中点,则OM AB ⊥,从而在OAM ∆中, ||||coscos22OM OA βαβα→→--=⋅=,又1OC OMOM→→→=,又cos ,sin 22OC αβαβ→++⎛⎫= ⎪⎝⎭,cos cos sin sin 22OM αβαβ→++⎛⎫=⎪⎝⎭,所以1sin sin sin22cos 2αβαββα++⎛⎫=⎪-⎝⎭, 即sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=(3)因为222233()sin 2sin 22sin cos 23226x x x x f x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=++==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤+≤+,解得: 36k x k ππππ-+≤≤+所以()f x 的单调递增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令3222262k x k πππππ+≤+≤+,解得: 263k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 的单调递减区间为2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.22．（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【解析】 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果. 【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤,所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤. （2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”.令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时,因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<,所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时,存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=.()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为M x 在区间00,x 上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤,综上所述： 当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立,则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.23．（1）()2sin 23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）4；（3）()212cos 12tx x -=-【解析】（1）将()g x⇒2y x =；再向左平移4π个单位长度⇒()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后代入()h x ，得答案；（2）对()h x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由内到外求出值域，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max b m ≥，min a m ≤，整理得答案；（3）表示26x h π⎛⎫- ⎪⎝⎭并化简，由1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解，所以12x x π+=或123x x π+=，因需求()12cos x x -，所以分别表示12x x -并代入，利用诱导公式和二倍角公式化简，将式子中22sin x 换成t 得答案. 【详解】（1）将函数()sin 2g x x =得到函数2y x =的图象，再将2y x =的图象向左平移4π个单位长度得到函数()y f x =，所以()224f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又()()()h x f x g x =+，所以()sin 222sin 23h x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；（2）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，472,333x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 21,3x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以2sin 22,3x π⎛⎫⎡+∈- ⎪⎣⎝⎭， 令()()m h h αβ=-，因为()()a h h b αβ≤-≤恒成立，所以max 2b m ≥=，min 2a m ≤=-2a -≥所以4b a -≥即b a -的最小值为4；（3）法一：因为2sin 22sin 26263x x h x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1x ，2x 是2sin x t =在[)0,2π内有两个不同的解， 所以12x x π+=或123x x π+=， 所以1222x x x π-=-或12232x x x π-=-所以()()22212221cos 2sin 12sin 1122t x x x x -=-=-=-；法二：①当t ＞0时，不妨设12x x ＜，则有1202x x ππ＜＜＜＜，所以1cos x =2cos x = ②当0t ＜时，不妨设12x x ＜，则有1232x x πππ＜＜＜＜2，所以1cos x 2cos x =③当0=t 时，显然有10x =，2x π=，所以()2121212cos cos cos sin sin 12t x x x x x x -=+=-.【点睛】本题考查了由三角函数图像的伸缩平移变换表示解析式，给定定义域求三角函数值域，不等式恒成立问题，还考查了函数零点问题，充分体现了数学中转化与划归思想，属于难题. 24．（1）奇函数；（2）见解析；（3）ω的个数为198个，见解析. 【解析】（1）根据奇偶函数的定义进行判断即可； （2）根据最小正周期公式进行验证即可；（3）利用函数的图象和不等式的性质可以求出满足条件的ω的个数.【详解】（1）()sin[tan()]sin(tan )sin(tan )()f x x x x f x ωωω-=-=-=-=-，所以函数()f x 是奇函数；（2）()sin[tan()]sin(tan )()f x x x f x ππ+=+==，所以()f x 的最小正周期是π；（3）因为当0x >时，()111122g x x x ⎛⎫=+≥⨯ ⎪⎝⎭，（当且仅当1x =时取等号），所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，只能()sin tan 1x ω=，即tan 22k πωπ=+，因为(1.50, 1.57)ω∈，所以2(tan1.50,tan1.57)2k ππ+∈，因此1.99199.6k <<，2,3,4,,199k =⋯，因此满足条件的ω的个数为198个， 当0x >时，也是一样的，因为两个函数是奇函数都关于原点对称，所以当函数()f x 的图像与()112g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像有交点时，满足条件的ω的个数为198.【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性，考查了三角奇函数的性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.25．(1) 3C π=. (2) max S =【解析】 【分析】（1）由0m n m n ⊥⇒⋅=，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C （2）利用（1）中222c a b ab =+-，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长. 【详解】（1）∵0m n m n ⊥⇒⋅=，∴()())sin sin sin sin sin 0A C A C b a B -+-=，且2R =)22022a c b a R R ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得：222c a b ab =+-.由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴12cos 1cos 2C C =⇒=，∵0C π<<，∴3C π=.（2）∵()22222sin 6a b ab c R C +-===，∴2262a b ab ab ab ab =+-≥-=（当且仅当a b =时取“=”）1sin 2S ab C ==≤所以，max S =ABC ∆为正三角形，此时三角形的周长为 【点睛】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题. 26．(1)0 (2)32【解析】 【分析】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+，移项、两边平方即可算出结果.（2）通过向量的运算，解出()()f x a b me a b =⋅+⋅-，再通过最大值根的分布，求出m 的值. 【详解】（1）通过()//a e b +可以算出()(1,sin 1)//1,cos cos sin 1x x x x +⇒=+， 即2cos sin 1(cos sin )112sin cos 1sin cos 0x x x x x x x x -=⇒-=⇒-=⇒= 故答案为0.（2）()1sin cos (sin cos )f x x x m x x =++-，设()cos sin x x t t ⎡-=∈⎣，22112sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒=，22113()()1222t g t f x mt t mt -==+-=--+，即213(),22g t t mt t ⎡=--+∈⎣的最大值为12-； ①当11m m -≤⇒≥-时，max 1313()(1)2222g x g m m ==--+=-⇒=（满足条件）；②当11m m <-≤⇒<-时，222max 1311()()22222g x g m m m m =-=-++=-⇒=-（舍）；③当m m -><max 131()22222g x g m ==-⨯-=-⇒=（舍）故答案为32m = 【点睛】当式子中同时出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-时，常常可以利用换元法，把sin cos x x 用sin cos ,sin cos x x x x +-进行表示，但计算过程中也要注意自变量的取值范围；二次函数最值一定要注意对称轴是否在规定区间范围内，再讨论最后的结果.27．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】 【分析】（1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解. （2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.（2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z . 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题． 28．(1) 2T π=；(2)2a =-或6a = 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式进行整理化简可得()2sin f x x =，从而可得最小正周期；（2）将()g x通过换元的方式变为21112y t at a =-+--，1t ≤；讨论对称轴的具体位置，分别求解最大值，从而建立方程求得a 的值. 【详解】（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤⎛⎫=-++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--= ∴最小正周期2T π=（2）()1sin2sin cos 12g x a x a x x a =+---令sin cos x x t -=，则()22sin 21sin cos 1x x x t =--=-22221111122242a a y t at a t at a t a ⎛⎫∴=-+--=-+-=--+- ⎪⎝⎭sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤1t ≤①当2a<a <-当t =max 122y a ⎫=--⎪⎭由1222a ⎫--=⎪⎭，解得()817a ==->-)②当12a≤，即2a -≤时 当2a t =时，2max 142a y a =- 由21242a a -=得2280a a --=，解得2a =-或4a =（舍去） ③当12a>，即2a >时 当1t =时，max 12a y =-，由122a-=，解得6a = 综上，2a =-或6a = 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期的求解、利用二次函数性质求解与三角函数有关的值域问题，解题关键是通过换元的方式将所求函数转化为二次函数的形式，再利用对称轴的位置进行讨论；易错点是忽略了换元后自变量的取值范围. 29．（1）见解析； （2）178-. 【解析】 【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ； 运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x xa b x x x ⋅=⋅-⋅=cos a b ⎛+= ⎝ =∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x +=（2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==-【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．30．（1）见解析；（2）2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式表示S ，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC 为锐角三角形，判定tanC 的范围，利用tanC 表示面积，结合S 的单调性，计算范围，即可． 【详解】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c =-，22sin sin bc A A a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos abc bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=， ()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=，()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，tan C ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭， 43tan tan S CC=-为增函数， 2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．。
上海教材 高一数学三角函数单元测试
三角函数单元测试1. 求值：=⎪⎭⎫ ⎝⎛21arccos sin .2. 函数()x x f 2arcsin =的定义域是 .3. 函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=x x f ππ4sin 的周期为 ；单调增区间是 . 4. 若函数()()ϕ+=x x f sin 为偶函数，且[]πϕ,0∈，则=ϕ .5. 设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则m M += .6. 若⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x 2tan tan 2π的最小值为___________ .7. 方程033sin 3sin 22=--x x 的解集是 . 8. 函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<->+=22,0,sin πϕπωϕωx A x f 的图象如右图所示，则关于x 的方程()21=x f 的解集为 .9. 在ABC ∆的三边之比为7:5:3，则其最大内角的大小为 .（用反三角函数值表示） 10. 已知关于x 的方程512cos +-=a a x 有实数解，则实数a 的取值范围是 . 11. 函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin 3πx y 的周期、振幅依次是…………………………………………………（ ）A.3,4πB.3,4-πC.3,πD.3,-π12. 函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-1=32tan πx y 在一个周期内的图象是………………………………………………（ ）13. 要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）A.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度14. 解关于x 的方程 （1）21cos sin 22=-x x （2）()π,0,1cos 3sin ∈=-x x x15. 已知函数()sin 2f x x =，()cos g x =⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ,直线()x t t R =∈与函数()()f x g x 、的图像分别交于N M ,两点.（1）当 4t π=时，求||MN 值； （2）求||MN 在0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最大值.16. 如图，折线段AP →PQ →QC 是长方形休闲区域ABCD 内规划的一条小路，已知1AB =，AD a =（1a ≥），点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上，PQ BC ⊥，Q 为垂足．（1）设小路的总长为l ，x PBA =∠，试建立l 关于x 的函数关系()x l ； （2）试问点P 在圆弧何处，能使该小路的路程最短？最短路程为多少？ （3）当1a =时，过点P 作PM CD ⊥，垂足为M ．若将矩形PQCM 修建为观赏水池，试问点P 在圆弧何处，能使水池的面积最大？。
高中数学三角函数训练卷
高中数学三角函数训练卷一、选择题1、已知角α的终边经过点(3, －4)，则sinα的值为（）A 3/5B －3/5C 4/5D －4/5解析：因为角α的终边经过点(3, －4)，所以 r ＝√（3²＋（－4)²) ＝ 5，sinα ＝ y/r ＝－4/5，故选 D。
2、若sinθ ＝ 1/3，且θ是第二象限角，则cosθ的值为（）A －2√2/3B 2√2/3C √10/3D √10/3解析：因为θ是第二象限角，所以cosθ ＜ 0。
又因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 （1/3)²) ＝－2√2/3，故选 A。
3、下列函数中，周期为π的奇函数是（）A y ＝ sin2xB y ＝ cos2xC y ＝ sin(x ＋π/2)D y ＝ cos(x ＋π/2)解析：A 选项，y ＝ sin2x，周期 T ＝2π/2 ＝π，且 sin(－2x) ＝sin2x，为奇函数，A 正确；B 选项，y ＝ cos2x 是偶函数，B 错误；C 选项，y ＝ sin(x ＋π/2) ＝ cosx 是偶函数，C 错误；D 选项，y ＝ cos(x ＋π/2) ＝ sinx 是奇函数，但周期 T ＝2π，D 错误。
故选 A。
4、已知tanα ＝ 2，则sin2α的值为（）A 4/5B 3/5C 2/5D 1/5解析：sin2α ＝2sinαcosα ＝2sinαcosα/（sin²α ＋cos²α) ＝2tanα/（tan²α ＋ 1) ＝ 2×2/（2²＋ 1) ＝ 4/5，故选 A。
5、函数 y ＝ sin(2x ＋π/6)的图象可以由函数 y ＝ sin2x 的图象（）A 向左平移π/6 个单位长度得到B 向右平移π/6 个单位长度得到C 向左平移π/12 个单位长度得到D 向右平移π/12 个单位长度得到解析：对于函数 y ＝ sin(2x ＋π/6) ＝ sin2(x ＋π/12)，所以函数 y＝ sin(2x ＋π/6)的图象可以由函数 y ＝ sin2x 的图象向左平移π/12 个单位长度得到，故选 C。
沪教版数学高一第二学期三角部分(三角比、三角函数)练习题卷(二)
高一第二学期三角部分练习卷（二）一．填空题（本大题每题5分，共40分）1. 半径为1的圆上长度为2的弧所对的圆心角的弧度是____________.2. 设角α的终边过点()3,4P -，则()()()()cos 5tan 3sin cot 2απαππαπα--=+-_________.3. 若3cos 5α=，且0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cot 2α=________. 4. 函数cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为_______________.5. 已知1cos ,03x x π=-<<，则角x 的值为___________. 6. 给出下列命题：○1 sin y x =在第一象限是增函数；○2 α是锐角，则sin 4y πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是[]1,1-； ○3 22sin cos y x x =-的最小值是1-；○4 方程2cos xx =只有1个实数根. 其中正确命题的序号是______________.7. 把sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移8π个单位，再把所得图像上各点的横坐标压缩成原来的12，所得图像的函数解析式为()f x ，则()f x 的奇偶性为______________. 8. 如图，一艘轮船在海中A 处遇难，当时航向为北偏东30°，航速为每小时60海里，后因故于某未知地点B 改向朝正东方向行驶，航速不变，直至在另一未知地点C 失去联系，从A 至C 共行驶了半个小时，则A 、C 两地距离的最小值是__________海里.二．解答题（本大题共60分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 9. （本题满分10分）在等腰直角三角形ABC 中，∠C = 90°，点D 、 E 分别是BC 的三等分点. （1） 求tan α、()tan αβ+的值； （2） 求tan β、tan γ的值.10. （本题满分10分）（1） 已知,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求tan x 的取值范围；（2） 在（1）的条件下，求函数212tan 1cos y x x=++的最小值及相应的x 的值.11. （本题满分12分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1） 求角C 的大小； （2） 若角6A π=，求△ABC 的面积.12. （本题满分14分）若函数()()sin cos 0f x A x B x ωωω=+>的最小正周期为2，并当13x =时，()f x 取得最大值2. （1） 求函数()f x 的表达式；（2） 在闭区间2123,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否存在()f x 的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；若不存在，说明理由.13. （本题满分14分）已知函数4sin cos ,2sin 2c 0,2os 1x x y x x x π⎛⎫∈ ⎪⎝++⎭=，（1） 令sin cos t x x =+，可将已知三角函数关系()y f x =转换成代数函数关系()y g t =，试写出函数()y g t =的表达式及定义域；（2） 求函数()y f x =的最大值；（3） 函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内是单调函数吗？请说明理由.参考答案：一．填空题（本大题每题5分，共40分）1. 半径为1的圆上长度为2的弧所对的圆心角的弧度是____________. 22. 设角α的终边过点()3,4P -，则()()()()cos 5tan 3sin cot 2απαππαπα--=+-_________.433. 若3cos 5α=，且0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cot 2α=________. 2 4. 函数cos 12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为_______________.()112,21212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 5. 已知1cos ,03x x π=-<<，则角x 的值为___________. 1arccos 3- 6. 给出下列命题：○1 sin y x =在第一象限是增函数；○2 α是锐角，则sin 4y πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域是[]1,1-； ○3 22sin cos y x x =-的最小值是1-；○4 方程2cos xx =只有1个实数根. 其中正确命题的序号是______________. ○3○4 7. 把sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移8π个单位，再把所得图像上各点的横坐标压缩成原来的12，所得图像的函数解析式为()f x ，则()f x 的奇偶性为______________.偶函数 8. 如图，一艘轮船在海中A 处遇难，当时航向为北偏东30°，航速为每小时60海里，后因故于某未知地点B 改向朝正东方向行驶，航速不变，直至在另一未知地点C 失去联系，从A 至C 共行驶了半个小时，则A 、C 两地距离的最小值是__________海里. 153二．解答题（本大题共60分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 9. （本题满分10分）在等腰直角三角形ABC 中，∠C = 90°，点D 、 E 分别是BC 的三等分点. （1） 求tan α、()tan αβ+的值； （2） 求tan β、tan γ的值.10. （本题满分10分）（1） 已知,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求tan x 的取值范围；（2） 在（1）的条件下，求函数212tan 1cos y x x=++的最小值及相应的x 的值. 2tan 2tan 2,tan 3,1y x x x ⎡⎤=++∈-⎣⎦，当4x π=-时，min 1y = 11. （本题满分12分）在△ABC 中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =. （1） 求角C 的大小；3C π= （2） 若角6A π=，求△ABC 的面积. 23S = 12. （本题满分14分）若函数()()sin cos 0f x A x B x ωωω=+>的最小正周期为2，并当13x =时，()f x 取得最大值2. （1） 求函数()f x 的表达式；（2） 在闭区间2123,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是否存在()f x 的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；若不存在，说明理由.13. （本题满分14分）已知函数4sin cos ,2sin 2c 0,2os 1x x y x x x π⎛⎫∈ ⎪⎝++⎭=，（1） 令sin cos t x x =+，可将已知三角函数关系()y f x =转换成代数函数关系()y g t =，试写出函数()y g t =的表达式及定义域；（2） 求函数()y f x =的最大值；（3） 函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内是单调函数吗？请说明理由.。
上海高中数学三角函数大题压轴题练习
三角函数大题压轴题练习1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 22x x x =- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()1222f f ππ-=<=，当12x π=-时，()f x 取最小值-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662A A ππ-=-= 由A 为锐角得 ,663A A πππ-==（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=； （2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。
上海高中数学三角函数大题压轴题练习
三角函数大题压轴题练习1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+221cos 22sin cos 22x x x x =++-1cos 22cos 222x x x =+- sin(2)6x π=-2T 2ππ==周期∴ 由2(),()6223k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3x k k Z ππ=+∈（2）5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π=-在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，所以 当3x π=时，()f x 取最大值 1又1()()12222f f ππ-=-<=，当12x π=-时，()f x 取最小值2-所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ-上的值域为[2．已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．3. 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得 ,663A A πππ-==（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，4.已知函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．【解析】（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ϕ=+，将点1(,)32M π代入得1sin()32πϕ+=，而0ϕπ<<，536πϕπ∴+=，2πϕ∴=，故()sin()cos 2f x x x π=+=； （2）依题意有312cos ,cos 513αβ==，而,(0,)2παβ∈，45sin ,sin 513αβ∴====，3124556()cos()cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯=。
2024年高一数学真题分类汇编(沪教版2020必修第二册,上海专用)三角(解析版)
专题01三角的顶点为坐标原点，始边与，则tansin2所以此时B 有两解.故答案为:2.35．（2023下·上海奉贤·高一校考期中）题正确的序号是．①．若2a b c +>，则π3C <②．若222a b c +>，则ABC 是锐角三角形③．若2cos 22A b c c+=，则ABC 是直角三角形④．若cos cos a b B A=，则ABC 为等腰三角形⑤．若锐角ABC 中，则sin sin A +【答案】①③【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．经测量知(1)霍尔顿发现无论BD 多长，(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出【答案】(1)证明见解析，(2)3132【分析】（1）利用余弦定理，整理等式，可得答案；（2）利用三角形面积公式，结合三角函数恒等式，可得答案【解析】（1）在ABD △中，在BCD △中，2BD CD =4cos 32cos A C ∴-=，则2cos （2）2221214S S AB AD +=⋅(2211sin cos 1A C =+-=一、填空题cos【点睛】本题考查解三角形中的正弦定理的应用，关键在于由反射的条件得出边、角之间的关系，再由302,AP <≤建立不等式，求得范围，属于难度题二、单选题7．（2023上·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）设集合2π4πsin sin sin 20232023A x x ⎧==++⎨⎩|A ．1011B ．1012【答案】B的取值会随着三、解答题ABC方案一：在墙壁OB 上取两点P 、Q ，用长度为20m 的移动围挡围成一个以（只有MP ，MQ 两边为移动围挡）；方案二：在墙壁OA 、OB 上分别取点E 、F 用长度为20m 别求出两个方案下展台面积的最大值；若现有材料下所围成展台的面积越大方案越好，请问选择哪个方案？【答案】MPQ 的面积的最大值为250m ，EOF 的面积的最大值为【分析】设m,m MP x MQ y ==，表示出MPQ 的面积，利用基本不等式可求出其最大值，设从而可求出，比较可知存在。
2023-2024学年上海市高一上学期数学人教A版-三角函数-强化训练-1-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市高一上学期数学人教A 版-三角函数-强化训练(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）y=sinx y=sin （4x+）y=sin （4x ﹣）y=sin （x+）1. 将函数f （x ）=sin （2x﹣）的图象左移 ， 再将图象上各点横坐标压缩到原来的 ， 则所得到的图象的解析式为（ ）A. B. C. D. 2. 已知扇形的周长为 ， 该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（）A. B. C.D.向左平移 个单位长度向右平移 个单位长度向左平移个单位长度向右平移 个单位长度3. 为了得到函数y=cos （2x- ）的图象，只需将函数y=cos2x 的图象（ ）A. B. C. D. 4. 如果 的终边过点 ，那么 （ ）A. B. C. D.15. 若点在角的终边上，则的值为（ ）A. B. C. D.6. 设角 的终边经过点 ，那么 （ ）A. B. C. D.7. 已知角的终边过点 ， 则的值为（ ）A. B. C. D.141或42或48. 已知扇形的周长为6cm ，面积为2cm 2 ， 则扇形的圆心角的弧度数为 （ ）A. B. C. D. 或9. 已知 均为锐角， ，则 （ ）A. B. C. D.向左平移 个单位长度向左平移 个单位长度向右平移 个单位长度向右平移 个单位长度10. 为了得到函数 的图象，可以将函数y=cos2x 的图象（ ）A. B. C. D. 11. 使成立的 的一个变化区间是（ ）A. B. C. D.12. 已知扇形的半径为 ， 面积为 ， 则这个扇形的圆心角的弧度数为（ ）A. B. C. D.13..14. 写出一个最小正周期为的奇函数： .15. 将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，若函数 在区间 上是单调递增函数，则实数 的取值范围是 .16. 已知 ， 则 ．17. 已知，求的值.18. 函数的部分图象如图所示.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 当x∈[-2，2]时，求f(x)的值域.19. 已知函数 .(1) 求的最小正周期；(2) 当时，(ⅰ)求函数的单调递减区间；(ⅱ)求函数的最大值､最小值，并分别求出使该函数取得最大值､最小值时的自变量的值.20. 已知函数的两个相邻零点之间的距离为.已知下列条件：①函数的图象关于直线对称②函数为奇函数.请从条件①，条件②中选择一个作为已知条件作答.(1) 求函数的解析式；(2) 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当，，且，恒有，求实数的取值范围.（注：如果选择条件①，条件②分别解答，则按第一个解答计分）21. 已知，(1) 求的值；(2) 若是第三象限角，求的值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(1)(2)。
上海洞泾学校必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．已知曲线1:sin C y x =，曲线2:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C D ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C 2．若将函数1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每一个点都向左平移3π个单位长度，得到()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦3．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ） A ．362k -，k ∈N B ．362k +，k ∈N C ．32D ．34．已知函数()1cos 2f x x x ωω=-（0>ω）的图象与直线1y =的相邻两个交点距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=5．将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移12π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．6x π=B ．12x π=C ．3x π=D ．24x π=6．如果函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，那么θ的最小值为（ ）A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 7．已知函数()()sin 20,2f x A x A πϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 图象的一条对称轴是（ ） A ．6x π=B ．56x π=C ．512x π=D ．712x π=8．设1cos 3x =-，则cos2x =（ ） A ．13B ．223C ．79D ．79-9．sin15cos15+=（ ） A ．12B ．2 C ．3 D ．6 10．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A ．sin 6()22x x x f x -=-B ．sin 6()22x x x f x -=-C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=-11．若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）.A ．79-B ．13-C ．13D ．7912．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（ ）A ．4π B ．6π C ．2π D ．94π 二、填空题13．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________．14．已知2sin 33x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos 6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________. 15．已知函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；②()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点：③()f x 在(0,2)π上单调递增；④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭．其中结论正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．16．已知ABC ∆不是直角三角形，45C =︒，则(1tan )(1tan )A B --=__. 17．先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移3π个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=________. 18．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则ω的取值范围为______.19．设α、β都是锐角，且()3cos ,sin 55ααβ=+=，则cos β=____________. 20．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______．三、解答题21．已知函数()2sin cos f x x x = （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （2）求函数()f x 的单调递减区间. 22．设1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求2βα-以及2αβ-的取值范围．（2）求cos2αβ+的值．23．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x =+-．（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于()f x m ≥的不等式 _______，求实数m 的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．24．已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.（1）化简()f α；（2）若()18fα=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值25．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域； （2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=. 求()fα的值.26．设函数2()cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角函数的伸缩变换与平移变换原则，可直接得出结果. 【详解】 因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以将sin y x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得sin 2y x =的图象，再将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 故选：D.2．A解析：A 【分析】 求出()1sin 22g x x =-，令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ即可解出增区间. 【详解】 由题可知()()111sin 2sin 2sin 223322g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ，解得()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.3．C解析：C 【分析】 由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】 由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N .因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-， 解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.4．D解析：D 【分析】首先化简函数，根据条件确定函数的周期，求ω，再求函数的对称轴.【详解】()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，max 1y =，由题意可知T π=，22ππωω∴=⇒=，()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得：32k x ππ=+，k Z ∈ 当0k =时，3x π=.故选：D5．D解析：D 【分析】由()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度得到()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令52122x k πππ+=+求解. 【详解】因为函数()sin 2cos 224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由题意得()5212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以52122x k πππ+=+， 解得1,224x k k Z ππ=+∈， 故选：D6．A解析：A 【分析】利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：θ的表达式，进而得到θ的最小值． 【详解】由题意函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，则有 1,32k πθπ⋅+=解得 θ＝k π6π-，k ∈Z ， 所以由此得|θmin 6π=．故选：A ． 【点睛】方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解7．D解析：D 【分析】利用三角函数的性质，2()sin()033f A ππϕ=+=，求ϕ，然后，令()f x A =，即可求解 【详解】根据题意得，2()sin()033f A ππϕ=+=，得23k πϕπ+=，k z ∈又因为2πϕ<，进而求得，3πϕ=，所以，()sin(2)3f x A x π=+，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，所以，2,32x k k z πππ+=+∈，解得,k x k z 122ππ=+∈，当1k =时，712x π=，所以，()f x 图象的一条对称轴是712x π= 故选D 【点睛】关键点睛：求出ϕ后，令()f x A =，所以，sin(2)13x π+=，进而求解，属于中档题8．D解析：D 【分析】利用二倍角的余弦公式可得解. 【详解】1cos 3x =-，2212723cos 22cos 11199x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴=----故选：D.9．D解析：D【分析】由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】()6sin15cos152sin 15452sin 60+=+==. 故选：D.10．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误； 对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x x x xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B错误； 对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C 错误； 对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.11．A解析：A 【分析】 根据1sin 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由2cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式求解. 【详解】 因为1sin sin 6233πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1cos 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以227cos 2cos 22cos 13339πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A12．D解析：D 【分析】由弧长公式求出3r =，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=. 故选：D. 二、填空题13．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：53π 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 14．【分析】由再结合诱导公式可得结果【详解】【点睛】方法点睛：利用诱导公式求值或化简时常用拼凑角常见的互余关系有：与与与等；常见的互补关系有：与与等；解析：【分析】由2623x x πππ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，再结合诱导公式可得结果. 【详解】223cos cos sin 62333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：利用诱导公式求值或化简时，常用拼凑角,，常见的互余关系有：3πα+与6πα-，3πα-与6πα+，4πα-与4απ+等；常见的互补关系有： 3πα+与23πα-，4πα+与34πα-等； 15．①④【分析】作出函数的图象根据在有且仅有5个零点再逐项判断【详解】如图所示：由图象可知在上有且仅有3个极大值点故①正确;在上可能有3个极小值点故②错误；因为函数在有且仅有5个零点所以解得故④正确；因解析：①④ 【分析】作出函数的图象，根据()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，再逐项判断. 【详解】 如图所示：由图象可知()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点，故①正确; ()f x 在(0,2)π上可能有3个极小值点，故②错误；因为函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[0,2]π有且仅有5个零点，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④正确；因为()0,2x π∈，所以,2555x πππωπω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，若()f x 在(0,2)π上单调递增，则252πππω+<，解得320ω<，不符合1229510ω≤<，故③错误；故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出函数的图象，根据零点的个数确定ω的范围.16．2【分析】由已知可得利用正切函数的和角公式即可求解【详解】因为所以则整理得所以故答案为：2解析：2. 【分析】由已知可得135A B +=︒，利用正切函数的和角公式即可求解. 【详解】 因为45C =︒， 所以135A B +=︒， 则tan tan tan()11tan tan A BA B A B++==--，整理得tan tan tan tan 1A B A B +=-，所以(1tan )(1tan )tan tan 1(tan tan )A B A B A B --=+-+，tan tan 1(tan tan 1)A B A B =+--，2=，故答案为：2.17．【分析】由题意利用函数的图象变换规律三角函数的图象的对称性求得的值【详解】先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)可得的图象；再向左平移个单位长度可得函数的图象根据所得函数图象关 解析：56π 【分析】由题意利用函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ϕ的值. 【详解】先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象； 再向左平移3π个单位长度，可得函数1cos 26y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象，根据所得函数图象关于y 轴对称，可得6k πϕπ+=，k Z ∈，因为()0,ϕπ∈，所以1k =，56πϕ=. 故答案为：56π. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性是解题关键..18．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：解析：30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.【详解】由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2ϕπ=， 即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数， 所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的单调递增区间， 所以22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦19．【分析】由α是锐角求出的值再由β是锐角得出的值将角转化成利用两角和差的余弦公式化简计算并验证即可【详解】因为α是锐角所以因为β是锐角所以又所以所以当时此时即与矛盾舍去当时符合要求故答案为：【点睛】本【分析】由α是锐角，cos α=求出sin α的值，再由β是锐角，()3sin 5αβ+=得出()cos αβ+的值，将β角转化成()αβα+-，利用两角和差的余弦公式化简计算，并验证即可. 【详解】因为α是锐角，cos α=，所以sin 5α==， 因为β是锐角，所以0αβ<+<π，又()3sin 5αβ+=，所以()4cos 5αβ+==±， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++当()4cos 5αβ+=时， 43cos 55β==，此时cos sin βα=，即2παβ+=，与()3sin 5αβ+=矛盾，舍去，当()4cos 5αβ+=-时， 43cos +555525β=-⨯⨯=，符合要求.故答案为：25【点睛】本题主要考查了两角和与差的正余弦公式以及同角三角函数基本关系，属于中档题，熟练掌无公式并应用是解题的关键.20．【分析】根据图象关于对称分析得到为函数最值由此分析计算出的值并化简根据条件表示出然后分析出的最小值【详解】因为的图象关于对称所以所以解得所以又因为所以所以又因为所以所以所以所以显然当时有最小值所以故 解析：23π 【分析】 根据图象关于6x π=对称，分析得到6f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数最值，由此分析计算出a 的值并化简()f x ，根据条件表示出12,x x ，然后分析出12x x +的最小值.【详解】因为()f x 的图象关于6x π=对称，所以162f π⎛⎫==⎪⎝⎭，所以解得a =()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，又因为()112sin 23f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1112,32x k k Z πππ+=+∈，所以1112,6x k k Z ππ=+∈，又因为()222sin 23f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以2222,32x k k Z πππ+=-+∈所以22252,6x k k Z ππ=-+∈， 所以121212522,,66x x k k k Z k Z ππππ+=+-+∈∈， 所以()12121222,,3x x k k k Z k Z ππ+=-++∈∈，显然当120k k +=时有最小值， 所以12min2233x x ππ+=-=， 故答案为：23π. 【点睛】思路点睛：已知正、余弦型函数的一条对称轴求解参数的两种思路：（1）根据对称轴对应的是正、余弦型函数的最值，代入计算出函数值等于对应的最值，由此计算出参数值；（2）已知对称轴为x a =，则根据()()2f a x f x -=，代入具体x 的值求解出a 的值.三、解答题21．（1）T π=；最大值为1；（2）3[,]()44k k k Z ππππ++∈ 【分析】（1）应用二倍角公式，将函数化为正弦型三角函数，即可求解； （2）根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换，即可求出结论. 【详解】（1）()2sin cos sin 2f x x x x ==，最小正周期为22T ππ==，最大值为1； （2）由3222()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 解得3()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ()f x ∴单调递减区间是3[,]()44k k k Z ππππ++∈.22．（1）22πβαπ<-<，022απβ<-<；（2 【分析】（1）由,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及不等式知识求出,24βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,再根据1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭． （2）根据cos cos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式可求得结果.【详解】 （1）,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,242αππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,24βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， ,224αππ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，,024βπ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，,24βπαπ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，,242αππβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭, 又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以22πβαπ<-<，022απβ<-<.（2）coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1cos 29βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且,22βπαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 29βα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭， 又2sin 23αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,22απβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，cos 23αβ⎛⎫∴-==⎪⎝⎭，12cos293αβ+∴=-+=【点睛】关键点点睛：将所求角拆成两个已知角进行求解是解题关键. 23．（1）[,],36k k k Z ππππ-++∈；（2）若选择①，2m ≤． 若选择②，1m ≤-．【分析】(1)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求; (2）若选择①，由()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求; 若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求. 【详解】（1）因为()()2cos cos sin f x x x x x =+-22cos s n cos i x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2).6x π=+令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得36k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以函数()f x 的单调递增区间,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）若选择①，由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤， 故当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值，且最大值为()26f π=，所以2m ≤.若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤,因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤, 故当7266x ππ+=，即2x π=时,()f x 取得最小值，且最小值为()12f π=-，所以1m ≤- 【点睛】关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题.24．（1）sin cos αα⋅；（2）. 【分析】（1）由诱导公式运算即可得解； （2）由平方关系可得()23cos sin 4αα-=，再由cos sin αα<即可得解. 【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-； （2）由()1sin cos 8fααα==可知 ()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=， 又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴cos sin αα-=25．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()410f α=+. 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.【详解】（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤⎪⎝⎭的最小正周期为π，则22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππϕ-≤≤，5636πππϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，3πϕ=，所以，()()21sin 2sin 22sin cos 2cos 13222f πααααααα⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭22222sin cos tan sin cos 2sin cos 2tan 12αααααααααα=-+=+=+++245210-+=+=. 【点睛】求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式．第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.26．（1）π；（2）最小值为 【分析】（1）利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解． （2）求出23x π-的取值范围，然后由正弦函数性质得最值．【详解】 （1）2211()cos (sin )sin cos cos 224224f x x x x x x x x =++=-+11sin 22sin(2)423x x x π==-， ∴()f x 的最小正周期是22T ππ==（2）0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()f x ⎡∈⎢⎣⎦.()f x 233x ππ-=，3x π=，()f x 最小值为-233x ππ-=-，0x =.综上，()f x 的最小值为- 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简为标准的形态，然后利用正弦函数的性质求解，难度属于中档题。
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A . D.・ aan A. 2 or>co«HQB.a <cos — 2 o r a — tan —>cot — D .下列与 2 的值相等的式了cosf —"htf) B. 2C. 2.3D. 2 A.上海高中数学一一三角函数训练题一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1. «20W 的值属于区间2. 若二是第三象限角，则下列结论正确的为2cos*a 1—cosStz6.化简 «in2aco*2a 的结果为()A tanaB tan 2a ：C. cot2<rD 」7.函数= 2sJn3x 的图象按7平移后得到的图象与g(») = 2c«3z 的图象重合，则？可以是( )“ 3 JT <0 <-<A.23 B .2打d 3 C. 441厶D.4A. 3 /l —corf<z —it) -2w<cr <--JT J ———-5.若 2 JiJ I 2 的值等于( )a ・ aCM — -*Q —A.B. 2C. 2D.4.设如果弘&<0且那么三的取值范围是)A.4是周期为.函A.C 奇 Bp9.函数的一个减区间为[爭旬A 3 3C.2匚奇D.2带,非奇非偶10.对任意的锐角冬°,下列不等式中正确的是 A>sina+sinQC co«（a+Q <iin<z4-ain 011丄ABC 中,已知弘•町"22AJi = BB. 3已知函数 ( ).*• 7 _C6 6D. 6 6(B 弘(*十&) >cocaN~cof QD CC4(af 十 fl) VCM/(*) = -r+V?- ** J#、3 ，则")的值域为 A.[-4 ,4]二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13. _____________________________________________________________________ 圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是 _____________________________________________________________________ .14. 已知函数15 求值cot20°cos 10°+J3im l0°bm70°- 2CO84F = ________________ tan ---------------- - tan B16.锐角三角形的三内角A 、B 、C 满足 «2A,那么（1）8•函数心则下列正确的结论(2)若C=30°,则角A= ______________ .三、解答题（本题共6小题，共74分）Ha2af- 28$，or1+tana 的值.18.已/(x) = sin xco«(x-l- —) +cos xsin(jr-l-^)19.已知 3 3 .(1)求 6 的值；(2)设“必評务求訥直20.若3唱恥3弓"为锐角求吨21.已知二是第一象限- sin fi= — tan(2cr-t-^) .&是第二象限角且A求2的值.22.已知4 3(I)求的值;(II)求的tan(—4-ct)=—17.已知 4 2.(1)求tana的值；⑵求参考答案一、选择题题号12345678911112答案D D D C D B C A C D C C3，求tana+c«*a 的值.⑵原2siiiacos<z —2 CM 1 a cos 1 «z —sin ocos a1-3l-tan<T 1+3 2tom 2a+l~^+l~5<z-Fco«€A = A 1111 <z4-co«<z = ^^3 3A l-i-23iii<zcosa=— A smarcosccs- 36“+8垃=沁工 ------------- 1 ------- 6cc«<r siner sinarcosa19.解：(1)⑵斶"如新半5:.a= — JT12二、填空题 14. 2 15. 2 16. 三、解答题 tan<K=tan((a+^) ——]=4 4 17.解：(1)14■碍D20解12*.*an<z =— >13J<— A jr>a+fi> —2 218.解:5匕^4血a+M 匕竺・82 25-5cosa-l-8diia+ll+llcosa-168«<74-600«<7 _8taa<z4-6 5^否则，若a+Q<云而OvafvaM ■肖v 才则ma<m(a-¥fl^与条件不符___________ 3二 ce<€r+/9 = =--33 cos fl =旬一 <z] = cos(<z+/3) cc«€r -l-sin(<r4-/J) sin a=—65沖？若异洛辰2 tana 24 21.解:可知co«<r = ->taiia= s ^g = 2 tan2a= ------------------------- 3 ----------5 cosa 4 I-tan a 72 unfi3 5 tan.2<z+taii£ ^-+3 9 1- tan 2a- tan £ I--^-3” 2 7tancr+cot<r=- —22.解：(I)由 3得 tan(2a+y) = tan a=—域 tana=— 即 3竺“5 沁—丄又4，所以3为所求.(II)盪sin~2^^cos<z -2^5 - 6-2^2。
上海徐汇中学必修第一册第五单元《三角函数》测试(含答案解析)
一、选择题1．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x = B ．lg y x = C ．()f x x =- D ．()cos f x x =2．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭3．函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π4．函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）A ．14B ．2π C ．4π D ．125．已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性D ．函数()f x 的值域为R6．已知函数()()2sin 3,0,2f x x x x π=∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π C ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．如果函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，那么θ的最小值为（ ）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π 8．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）.A ．3-B ．12-C ．32D ．129．()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()12sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()12sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭10．若4cos 5θ=-，θ是第三象限的角，则1tan21tan 2θθ-=+（ ） A ．12B ．12-C ．35D ．-211．已知1cos 2α=，322παπ<<，则sin(2)πα-=（ ） A ．3 B ．12C ．12-D ．3212．若4cos,5αα=-是第三象限角，则sinα等于（）A．35B．35C．34D．34-二、填空题13．已知22034sinπαα=<<，，则sin cosαα-=_____________________.14．设函数()2sin(0)6f x xπωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭，若()4f x fπ⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x都成立，则ω的最小值为___________________.15．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________．16．已知锐角α满足1cos()35πα+=，则sinα=______．17．如下图所示，某农场有一块扇形农田，其半径为100m，圆心角为3π，现要按图中方法在农田中围出一个面积最大的内接矩形用于种植，则围出的矩形农田的面积为___________2m.18．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.19．已知1cos3α=-，则|sin|α=___________20．已知α为第二象限角，且22sinα=sin()63sin2cos21πααα+++___________.三、解答题21．已知函数()322sin cos3f x x x xπ⎛⎫=--⎪⎝⎭.（1）求()f x的最小正周期和单调减区间；（2）求证：当,44xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x≥-.22．已知函数()cosf x x=.（1）已知α，β为锐角，()5fαβ+=，4tan3α=，求cos2α及()tanβα-的值；（2）函数()()321g x f x =+，若关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，求实数a 的最大值. 23．已知 3sin 5α=，12cos 13，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求sin()αβ+，cos()αβ-，tan2α的值. 24．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两个：①图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭；②函数()f x 的图象可由4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③若对任意x ∈R ，()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，且12x x -的最小值为2π. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有解的和.25．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于()f x m ≥的不等式 _______，求实数m 的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（2），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分． 26．已知函数3()sin(2)4f x x π=- （1）求()8f π的值；（2）求该函数的单调递增区间；（3）用“五点法”作出该函数一个周期的图像.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据基本初等函数的性质，以及函数奇偶性的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，函数()sin f x x =，根据正弦函数的性质，可得函数()sin f x x =在[]1,1-上单调递增，不符合题意；对于B 中，函数lg y x =，满足()()lg lg f x x x f x -=-==，所以函数lg y x =为偶函数，不符合题意；对于C 中，函数()f x x =-，根据一次函数的性质，可得函数()f x x =-为奇函数，且在[]1,1-上单调递减函数，符合题意；对于D 中，函数()cos f x x =，满足()()cos()cos f x x x f x -=-==，所以函数()cos f x x =为偶函数，不符合题意.故选：C.2．C解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C3．B解析：B 【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】22T ππ==， 故函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为π，故选：B4．B解析：B 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解.由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象， 可得2114T=-=，所以4T =，又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.5．B解析：B 【分析】根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 不具有周期性，故C 错误；对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.故选：B6．A解析：A 【分析】根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项. 【详解】因为()()2sin ,0,2f x x xx π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()()222sin sin cos +3cos f x x xx x x x +==222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π≤≤， 所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7．A解析：A 【分析】利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：θ的表达式，进而得到θ的最小值． 【详解】由题意函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，则有 1,32k πθπ⋅+= 解得 θ＝k π6π-，k ∈Z ，所以由此得|θmin 6π=．故选：A ． 【点睛】方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解8．C解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒2=. 故选：C.9．A解析：A 【分析】根据图象易得2A =，最小正周期T 2433ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而求得ω，再由图象过点2,23π⎛⎫⎪⎝⎭求得函数()f x ，然后再根据平移变换得到()g x 即可. 【详解】由图象可知2A =，最小正周期2T 4433πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴212T πω==，1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+，26k πϕπ=+，∵||2ϕπ<，∴6π=ϕ，1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移2π个单位长度得 11()2sin 2sin 226212g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A 10．D解析：D 【分析】根据4cos 5θ=-，θ是第三象限的角，先利用半角公式求得tan 2θ，然后代入1tan21tan 2θθ-+求解. 【详解】因为θ为第三象限角， 所以2θ可能为二､四象限角，所以tan 32θ===-， 所以1tan1322131tan2θθ-+==--+. 故选：D.11．D解析：D 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α的值，进而根据诱导公式即可求解． 【详解】 解：因为1cos 2α=，322παπ<<，所以sin 2α==-，所以sin(2)sin παα-=-=． 故选：D ．12．B解析：B 【分析】运用同角的三角函数关系式直接求解即可. 【详解】4cos ,5a a =-是第三象限角，3sin 5a ∴==-，故选：B 二、填空题13．【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系由即可求出正确答案【详解】解：因为所以所以故答案为:解析：【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系，由sin cos αα-=即可求出正确答案. 【详解】 解：因为04πα<<，所以0sin cos αα-<，所以sin cos αα-====，故答案为: -14．【分析】由是最大值点结合正弦函数的最大值可得的表达式再求得的最小值即可【详解】由可知时函数取得最大值故有解得所以最小值为故答案为：解析：43【分析】 由4x π=是最大值点，结合正弦函数的最大值可得ω的表达式，再求得ω的最小值即可．【详解】由()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭可知4x π=时函数取得最大值. 故有2()462k k Z πππωπ+=+∈，解得48()3k k Z ω=+∈，所以最小值为43.故答案为：43． 15．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为： 解析：53π 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 16．【分析】利用余弦的两角和公式展开结合代入计算即可【详解】解得根据代入计算解得故答案为：解析：10【分析】利用余弦的两角和公式展开，结合22sin cos 1αα+=，代入计算即可． 【详解】1cos cos 25132πααα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，解得2cos 5αα=+，根据22sin cos 1αα+=，代入计算，解得sin α=. 17．【分析】设利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长表示出矩形的面积为借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可【详解】解：如图：做的角平分线交于设则在中由正弦定理可知：则所以矩形农田的面解析：(100002【分析】设EOA θ∠=，利用直角三角形的边角关系和正弦定理分别求出矩形各边的边长，表示出矩形的面积为()2sin 302sin S R R θθ=-⋅，借助于三角函数辅助角公式求出最大值即可. 【详解】解：如图：做AOB ∠的角平分线交BE 于D ，设EOA θ∠=，则()22sin 30DE R θ=-，150OFE ∠=，在OFE △中，由正弦定理可知：sin sin150EF Rθ= ，则2sin EF R θ= 所以矩形农田的面积为：()22sin 302sin 4sin sin(30)S R R R θθθθ=-⋅=- 22132sin 2cos 2322R R θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭()222sin 2603R R θ=+-当()sin 2601θ+=时，即15θ=时，S 有最大值为()223R-又100R =，所以面积的最大值为()1000023-. 故答案为：()1000023-.【点睛】本题考查在扇形中求矩形面积的最值，属于中档题. 思路点睛：（1）在扇形中求矩形的面积，关键是设出合适的变量，一般情况下是以角度为变量； （2）合理的把长和宽放在三角形中，利用角度表示矩形的长和宽； （3）对三角函数合理变形，从而求出面积.18．9【分析】根据扇形的弧长是6圆心角为2先求得半径再代入公式求解【详解】因为扇形的弧长是6圆心角为2所以所以扇形的面积为故答案为：9解析：9 【分析】根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式12S lr =求解. 【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2，所以632lrα===，所以扇形的面积为1163922S lr==⨯⨯=，故答案为：9.19．【分析】根据同角三角函数的关系即可求出【详解】故答案为：解析：3【分析】根据同角三角函数的关系即可求出.【详解】1cos3α=-，|sin|α∴==..20．【分析】由条件依次算出然后代入即可算出答案【详解】因为为第二象限角且所以所以所以故答案为：解析：34-【分析】由条件依次算出cosα、sin2α、cos2α，然后代入即可算出答案.【详解】因为α为第二象限角，且sin3α=，所以1cos3α=-所以1sin22sin cos2339ααα⎛⎫==⨯-=-⎪⎝⎭，27cos22cos19αα=-=-111sin()34πα+-⨯-===-故答案为：34-三、解答题21．（1）最小正周期π，单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得()sin 23f x x，即可求最小正周期，整体代入求单调减区间； （2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-≤+≤，即可得()f x 的值域，进而判断()12f x ≥-是否成立. 【详解】解：（1）3()sin 2sin 222f x x x x =+-1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由44x ππ-≤≤，知：52636x πππ-≤+≤，则有()f x 的值域为1[,1]2-，∴1sin 232x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，即当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-得证. 【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换：两角和差公式、辅助角公式化简三角函数式，并确定函数性质. （2）根据（1）的三角函数解析式结合已知定义域范围确定值域，判断函数不等式是否成立.22．（1）7cos 225α=-，()2tan 11βα-=；（2）a 的最大值为3. 【分析】（1）利用二倍角公式，求出cos2α，然后分别求出()cos αβ+，sin()αβ+，进而求出()tan αβ+，最后，利用()()tan tan 2βααβα-=+-求解即可（2）由()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-，得关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，化简得，即()()()213g x a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解即可【详解】解：（1）∵4tan 3α=，∴222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+ 2222411tan 73251tan 413αα⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵α，β为锐角，即α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴()20,απ∈，()0,αβπ+∈.22422tan 243tan 21tan 7413ααα⨯===--⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵()cos f x x =，∴()()cos f αβαβ+=+= ∴()sin 5αβ+==，∴()()()sin tan 2cos αβαβαβ++==-+， ∴()()()()242tan tan 227tan tan 2241tan tan 211127αβαβααβααβα-++--=+-===+++⨯. 综上，7cos 225α=-，()2tan 11βα-=. （2）()()[]3213cos212,4g x f x x =+=+∈-， 关于x 的不等式()()()2133g x a g x a ≥+++有解，即()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，则[]1,7t ∈，()()231t a t -≥+有解，即916a t t+≤+-有解， max97a t t ⎛⎫+≤+ ⎪⎝⎭，设()9h t t t =+，则()h x 在[)1,3上单调递减，在(]3,7上单调递增，则()(){}max9max 1,710t h h t ⎛⎫+== ⎪⎝⎭， ∴3a ≤，故实数a 的最大值为3. 【点睛】关键点睛：（1）利用二倍角公式，以及正切函数的两角和差公式求解； （2）通过化简，把问题转化为()()()213gx a g x ≥++⎡⎤⎣⎦有解，令()3t g x =+，然后，利用对勾函数的性质求解；主要考查学生的转化化归思想以及运算能力，属于中档题23．1665-；3365；247- 【分析】由已知条件，利用同角三角函数基本关系结合角所在的象限求出cos α，sin β，以及tan α的值，再利用两角和的正弦公式，两角差的余弦公式，正切的二倍角公式即可求解.【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos 5α===-，因为3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12cos 13，所以5sin 13β===-， 所以3124516sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为sin 3tan cos 4ααα==-，所以22322tan 244tan 21tan 7314ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 综上所述：16sin()65αβ+=-，33cos()65αβ-=，24tan 27α=-. 24．（1）①③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）3π-. 【分析】（1）由题意分析出①②矛盾，可知③满足题意，由③可得出函数()f x 的最小正周期为π，可求得2ω=，可说明②不符合条件，进而可知符号题意的条件序号为①③，可得出2A =，由此可得出函数()f x 的解析式； （2）由()10f x -=可得1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()x k k Z π=∈或()3x k k Z ππ=+∈，再由[],x ππ∈-可求得结果.【详解】（1）函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭满足的条件为①③； 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足的条件之一，由③可知，函数()f x 的最小正周期为T π=，所以2ω=，故②不合题意，所以函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足的条件为①③；由①可知2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）因为()10f x -=，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()2266x k k Z πππ+=+∈或()52266x k k Z πππ+=+∈， 所以()x k k Z π=∈或()3x k k Z ππ=+∈又因为[],x ππ∈-，所以x 的取值为π-、23π-、0、3π、π， 所以方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有的解的和为3π-. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的基本性质求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值. 25．（1）[,],36k k k Z ππππ-++∈；（2）若选择①，2m ≤． 若选择②，1m ≤-．【分析】(1)先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求; (2）若选择①，由()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求; 若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤，结合正弦函数的性质可求. 【详解】（1）因为()()2cos cos sin f x x x x x =+-22cos s n cos i x x x x =+-2cos2x x =+2sin(2).6x π=+令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得36k x k k Z ππ-+π≤≤+π,∈. 所以函数()f x 的单调递增区间,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）若选择①，由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤， 故当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值，且最大值为()26f π=，所以2m ≤.若选择②，由()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤, 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72666x πππ≤+≤, 故当7266x ππ+=，即2x π=时,()f x 取得最小值，且最小值为()12f π=-，所以1m ≤- 【点睛】关键点点睛：考查了二倍角公式辅助角公式在三角函数化简中的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，其中，考查了存在性命题与全称命题的理解，理解含量词命题转化成适当的不等式是解题关键，属于中档试题. 26．（1）()18f π=-；（2）5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）作图见解析. 【分析】（1）直接代入求值；（2）解不等式3222242k x k πππππ-≤-≤+得单调增区间；（3）先列表描点再画图即可 【详解】解：（1）()sin()182f ππ=-=-（2）当3222242k x k πππππ-≤-≤+时，()f x 单调递增解得：5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 故()f x 的单调递增区间为：5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）先列表x8π38π 58π 78π π324x π--34π -2π 02π π54π ()f x22- -1 0 122-。
上海南汇第三中学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（ ） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．若将函数1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的每一个点都向左平移3π个单位长度，得到()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,()44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦3．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．12 sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4．已知函数()sin()(0)f x x ωω=>在区间,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，在区间5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则ω=（ ） A ．362k -，k ∈N B ．362k +，k ∈N C ．32D ．35．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（ ）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-6．化简求值1tan12tan 72tan12tan 72+-（ ）A ．3B ．3C 3D 37．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．已知函数()()π2tan 010,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭，()230f =，π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①π6ϕ=；②2ω=；③函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④函数()f x 的最小正周期为π4．则上述说法正确的序号为（ ） A ．①④B ．③④C ．①②④D ．①③④9．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（ ） A ．19B ．459C ．19-D ．459-10．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α的值是（ ）. A ．89B ．89-C ．179D ．179-11．下面函数中最小正周期为π的是（ ）． A ．cos y x = B ．π23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．tan2xy = D ．22cos sin 2y x x =+12．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（ ） A ．4π B ．6π C ．2π D ．94π 二、填空题13．在ABC 中，若sin 2sin cos A C B =，则这个三角形的形状是________． 14．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 15．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.16．已知tan 3α=，则2sin 21sin cos 2ααα-=+_________． 17．已知函数()cos 2f x x =，若12,x x 满足12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的一个取值为________．18．对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.19．若0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，则m 的取值范围为_______________.20．已知7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，则cos2=α_______.三、解答题21．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()tan 2αβ+=-. （1）求cos2α的值. （2）求()tan αβ-的值.22．有一展馆形状是边长为2的等边三角形ABC ，DE 把展馆分成上下两部分面积比为1：2（如图所示），其中D 在AB 上，E 在AC 上.（1）若D 是AB 中点，求AE 的值； （2）设AD x =，ED y =.①求用x 表示y 的函数关系式；②若DE 是消防水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？ 23．已知()()3sin f x x a ωϕ=++0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，且图象的相邻两条对称轴的距离为2π. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 24．（1）在面积为16的扇形中，半径多少时扇形的周长最小； （2）求(10)x x -的最大值.25．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.（1）若6πθ=，求观光通道l 的长度；（2）用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 26．已知函数()33sin 22f x x x =.（1）若62A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0A π<<，求A 的值．（2）先将函数()y f x =的图像上所有点向左平移3π个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y g x 的图像，求函数y g x 的单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】 将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．A解析：A 【分析】 求出()1sin 22g x x =-，令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ即可解出增区间. 【详解】 由题可知()()111sin 2sin 2sin 223322g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令()322222k x k k Z +≤≤+∈ππππ，解得()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故选：A.3．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式． 【详解】 解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象； 将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．4．C解析：C 【分析】 由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，可求得362k ω=+，k ∈N .再由函数的单调区间得出不等式组，解之可得选项. 【详解】 由题意知，当3x π=时，函数()f x 取得最大值，所以232k ππωπ⋅=+，k Z ∈.得362k ω=+，k ∈N .因为()f x 在区间,123ππ⎛⎤-⎥⎝⎦上递增，在5,312ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，所以312πππω≥+且5123πππω≥-， 解得1205ω<≤.因此32ω=.故选：C.5．D解析：D 【分析】首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=， 故最小正周期4T π=，所以212T πω==， 所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D6．A解析：A 【分析】逆用两角差的正切公式先求出tan12tan 721tan12tan 72-+，即可求解.【详解】 因为()tan 1272-tan12tan 721tan12tan 72-=+()tan 60=-=-所以()1tan12tan 721tan12tan 72tan 60+===--.故选：A7．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】 解：3sin07a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C.8．D解析：D 【分析】根据()03f =，代入数据，结合ϕ的范围，即可求得ϕ的值，即可判断①的正误；根据对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，代入公式，可解得ω的表达式，结合ω的范围，即可判断②的正误；根据()f x 解析式，结合x 的范围，即可验证③的正误；根据正切函数的周期公式，即可判断④的正误，即可得答案. 【详解】对于①：由()03f =知2tan 3ϕ=，即tan 3ϕ=，结合π2ϕ<，解得π6ϕ=．故①正确；对于②：因为π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故πππ,1262k k Z ω+=∈，解得62,k k Z ω=-∈，因为010ω<<，所以4ω=，故②错误；对于③：当5ππ,243x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π3π4π,62x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故③正确；对于④：因为4ω=，所以()f x 的最小正周期π4T =，故④正确． 综上，正确的序号为①③④． 故选：D ．9．C解析：C 【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．10．B解析：B 【分析】已知条件平方后，利用sin 22sin cos ααα=，直接计算结果. 【详解】 ∵1sin cos 3αα+=，平方得，)(21sincos 9αα+=， ∴)()(221sin 2sin cos cos 9αααα++=，∴82sin cos 9αα=-，∴8sin29α=-.故选:B11．D解析：D 【分析】根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意； π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π，故B 不符合题意；画出函数tan2x y =的图象，易得函数tan 2xy =的周期为2π，故C 不符合题意； 2π2cos sin 2cos 21sin 22sin 214x x x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，周期为π，故D 符合题意． 故选：D12．D解析：D 【分析】由弧长公式求出3r =，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=. 故选：D. 二、填空题13．等腰三角形【分析】利用公式利用两角和差的正弦公式化简并判断三角形的形状【详解】代入条件可得即即所以三角形是等腰三角形故答案为：等腰三角形解析：等腰三角形 【分析】利用公式()sin sin A B C =+，利用两角和差的正弦公式，化简，并判断三角形的形状. 【详解】180A B C ++=，()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+，代入条件可得sin cos cos sin 0C B C B -=，即()sin 0C B -=， 即0C B C B -=⇔=， 所以三角形是等腰三角形. 故答案为：等腰三角形14．【分析】由结合利用两角和的正切公式求解【详解】故答案为：解析：13-【分析】由tan tan 3124πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用两角和的正切公式求解. 【详解】tan tan1124tan tan 312431tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，故答案为：13-15．9【分析】根据扇形的弧长是6圆心角为2先求得半径再代入公式求解【详解】因为扇形的弧长是6圆心角为2所以所以扇形的面积为故答案为：9解析：9 【分析】根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式12S lr =求解. 【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2， 所以632l r α===，所以扇形的面积为1163922S lr ==⨯⨯=， 故答案为：9.16．【分析】可将式子化简为即可求解【详解】故答案为： 解析：4-【分析】可将式子化简为22tan tan 1αα--，即可求解. 【详解】tan 3α=,()22222sin cos sin cos sin 21sin cos 2cos αααααααα-+-∴=+ 222tan tan 123314αα=--=⨯--=-. 故答案为：4-.17．（答案不唯一）【分析】根据的值域为可知若满足则必有的值分别为再根据三角函数的性质分析即可【详解】因为的值域为故若满足则必有的值分别为故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得此时为的半个周期即故答案为解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据()cos2f x x =的值域为[]1,1-可知若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,再根据三角函数的性质分析即可.【详解】因为()cos2f x x =的值域为[]1,1-,故若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,故12x x -的最小值当且仅当12,x x 为()cos2f x x =相邻的两个最值点取得.此时12x x -为()cos2f x x =的半个周期,即12222ππ⨯=. 故答案为：2π【点睛】关键点点睛：相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.18．【分析】讨论的范围得出的表达式求出的值域即可【详解】①当时由得所以此时即则即；②当时由得此时即；③当时由得所以此时则即；④当时则由得不成立此时不存在；⑤当时由得所以此时则即；⑥当时由得综上实数的取值解析：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】讨论a 的范围得出k 的表达式，求出()k f a =的值域即可. 【详解】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=，此时cos 12a ≤≤2cos 2a ≤≤，则1122cos a ≤≤12k ⎡∈⎢⎣⎦；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =，此时sin 12a ≤≤，即2k ⎤∈⎥⎣⎦； ③当,2a ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()[0,][,2]2,2,1,sin a a a a M M a ππ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=， 此时0sin 1a <<，则11sin a>，即()1,k ∈+∞； ④当a π=时，22a π=，则[0,][,2]1,0a a a M M ==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得10=不成立，此时k 不存在； ⑤当5,4πa π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， 此时0sin 21a <<，则11sin 2a>，即()1,k ∈+∞； ⑥当5,+4a π⎡⎫∈∞⎪⎢⎣⎭时，[0,][,2]52,,1,12a a a a πM M ⎡⎫∈+∞==⎪⎢⎣⎭， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =， 综上，实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论a 的范围，根据a 的不同取值范围得出k 的表达式，再利用三角函数的性质求解.19．【分析】根据三角函数的性质求得的最大值进而可求出结果【详解】因为由可得所以则因为恒成立所以只需故答案为：解析：)+∞【分析】根据三角函数的性质，求得sin cos x x +的最大值，进而可求出结果. 【详解】因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin 42x π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，则(sin cos 4x x x π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin cos m x x ≥+恒成立，所以只需m ≥故答案为：)+∞.20．【分析】联立方程组求得的值结合余弦的倍角公式即可求解【详解】由题意知：联立方程组求得所以故答案为： 解析：725【分析】联立方程组，求得sin ,cos αα的值，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意知：7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，联立方程组，求得34sin ,cos 55αα=-=-，所以2247cos 22cos 12()1525αα=-=⨯--=. 故答案为：725. 三、解答题21．（1）725-；（2）211-.【分析】（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值； （2）先求出24tan 27α=-，再利用()()tan tan 2αβααβ-=-+⎡⎤⎣⎦即可求解. 【详解】解：（1）由题意知：α为锐角，且22sin 4tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得：4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，229167cos 2cos sin 252525ααα∴=-=-=-； （2）由（1）知，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=， 则24sin 22425tan 27cos 2725ααα===--， ()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+，()()241022775524111277----===-⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭， 故()2tan 11αβ-=-. 22．（1）43AE =；（2）①2,23y x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；②//DE BC . 【分析】（1）利用三角形的面积公式，得到43AD AE ⋅=，根据D 是AB 中点，即可求得AE 的长；（2）对于①中，由（1）得到4433AE AD x==，求得223x ≤≤，在ADE 中，由余弦定理，即可求得函数的解析式；②根据DE 是消防水管，结合基本不等式，即可求得x 的值，得到DE 的位置. 【详解】（1）依题意，可得211112sin 60sin 603322ADE ABC S S AD AE ==⋅⋅⋅︒==⋅︒△△ 解得43AD AE ⋅=，又因为D 是AB 中点，则1AD =，所以43AE =. （2）对于①中，由（1）得43AD AE ⋅=，所以4433AE AD x==， 因为2AE ≤，可得23x ≥，所以223x ≤≤， 在ADE 中，由余弦定理得2222221642cos6093y DE AD AE AD AE x x ==+-⋅⋅︒=+-，所以2,23y x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.②如果DE 是消防水管，可得y =≥=，当且仅当243x =，即x =此时AE =，故//DE BC ，且消防水管路线最短为DE =. 【点睛】利用基本不等式求解实际问题的解题技巧：利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； 根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； 在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 23．（1）单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）34. 【分析】（1）根据图象上相邻两条对称轴的距离为2π可知周期为π，可确定2ω=，然后将点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭代入求解出ϕ的值，利用整体法求解原函数的单调区间即可. （2）由（1）中的结果可知()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，确定出()f x 在,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，得到关于a 的方程求解即可. 【详解】（1）由函数()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为2π，得函数()f x 的最小正周期T π=， ∴22πωπ==.又函数()f x 的图象过点,12a π⎛⎫⎪⎝⎭，∴21212f a a ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴sin 2012πϕ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭，6k πϕπ+=.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-，则()26f x x a π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.令222262k x k πππππ-≤-≤+，解得63x k πππ-≤≤+，()k ∈Z ，3222262k x k πππππ+≤-≤+， 解得536k x k ππππ+≤≤+，()k ∈Z ∴函数()f x 的单调递增区间为,()63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递减区间为5,(k )36k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）由（1）知，函数()f x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又3122f a π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，3f a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，22f a π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值之和为32a a -++=∴34a =. 【点睛】本题考查三角函数图象性质的综合应用，解答时只要方法如下：（1）求解三角函数单调区间时一般采用整体代换法，将自变量部分的代数式当做一个整体，利用正弦函数、余弦函数的单调性列出不等式求解即可；（2）求解三角函数在某固定区间上的最值或值域时，关键是分析清楚原函数在所给区间上的单调性，利用单调性确定取得最大值或最小值的点，确定最值；也可以采用换元法，将函数()sin y A ωx φ=+的最值转化为求sin y A t =的最值问题，只需根据格据正弦函数的图像性质确定即可. 24．（1）4，16；（2）5. 【分析】（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ，根据面积为16，可得32l r=，列出周长表达式，利用基本不等式即可求得答案；（2）利用基本不等式，即可求得所求乘积的最大值. 【详解】（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ， 所以面积1162S l r =⋅=，即32l r=，且08r <<，则周长322216c l r r r =+=+≥=，当且仅当322r r =即4r =时等号成立，所以当半径4r =时，周长有最小值16. （2）由题意得(10)0x x -≥，解得010x ≤≤，1052x x+-≤=，当且仅当(10)x x =-，即5x =时等号成立，5.25．（1）观光通道长(2km ；（2）当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【分析】 （1）由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD 的长，从而可得结果；（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】 （1）因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以CD =同理62232BC AD -==-=所以观光通道长2362l km =++-（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==， 即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5，即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围 26．（1）512A π=或1112A π=；（2）,,422k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）化简得()3)6f x x π=-636A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）先求出函数()g x 的解析式，再求函数的单调递增区间. 【详解】（1）()3)6f x x π=-）所以6326A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 6A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以64A ππ-=或34π， 所以512A π=或1112A π=（2）()2,6f x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭将函数()y f x =的图像上所有点向左平移3π个单位得到)])362y x x πππ=+-=+，再把所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()442g x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的图像，令242k x k πππ-+≤≤，k Z ∈, 所以422k k x πππ-+≤≤， 所以递增区间为,,422k k k πππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】方法点睛：求函数sin()y A wx h φ=++的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.。
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上海高中数学——三角函数训练题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．的值属于区间（）
A. B. C. D.
2.若是第三象限角,则下列结论正确的为( )
A. B. C. D.
3.下列与的值相等的式子为( )
A. B. C. D.
4. 设，如果且，那么的取值范围是（）
A. B. C. D.
5.若,则的值等于( )
A. B. C. D.
6.化简的结果为( )
A. B. C. D.1
7.函数的图象按平移后得到的图象与的图象重合,则可以是
( )
A. B. C. D.
8.函数是周期为的函数. ( )
A.,奇
B.,偶
C.2,奇
D. 2,非奇非偶
9.函数的一个减区间为( )
A. B. C. D.
10.对任意的锐角,下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.ABC中,已知则下列正确的结论为( )
A. B. C. D.
12.已知函数,则的值域为( )
A.[－４，４]
B.［－５，５］
C.［－４，５］
D.［－５，４］
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
13.圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数是.
14. 已知函数则.
15. 求值.
16.锐角三角形的三内角A、B、C满足，那么（1）；（2）若，则角A= .
三、解答题（本题共6小题，共74分）
17.已知.（1）求的值; (2) 求的值.
18. 已知,求的值.
19.已知.(1)求的值; (2)设
,求的值.
20. 若为锐角,求.
21.已知
是第一象限角且,是第二象限角且,求的值.
22. 已知.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求的值.
参考答案
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0 1
1
12
答案
D D D C D B C A C D C
C
二、填空题
13. 14. 15. 2 16.
三、解答题
17. 解: (1) .
(2)原式
.
18. 解：
.
19.解: (1)
.
(2)
.
20.解：且,
否则,若而则与条件不符
.
21.解：可知
.
22.解：(Ⅰ)由得，
即，
又，所以为所求.
（Ⅱ）
=
=
==.。