奥数专题：表面积与体积

专题：表面积与体积

【核心公式】

几何体表面积体积

正方体（边长为a）

长方体(边长为a、b)

圆柱体(半径为a,高为h)

圆锥体(半径为a,高为h)

注意：①充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。

②把一个立方图形切成两部分，新增的面积等于切面面积的两倍。

③把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼在一起。

【例题解析】

1.公式的灵活运用：

例1.把一个长、宽、高分别是9cm、7cm、5cm的长方体截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大，这个表面积之和是多少平方厘米？

2.利用正方体、圆柱、圆锥的关系解题

例2.一个小麦囤，上面是一个圆锥体，下面是一个圆柱体。圆柱的体面周长是9.42米，高是2米，圆锥的高是0.6米。求这个小麦囤的体积是多少立方米？

3.利用倍比关系解题

例3.一个圆锥与一个圆柱底面积相等。已知圆柱与圆锥的体积的比是1:5，圆柱的高是2厘米，求圆锥的高是多少厘米？

4.利用物体的等积变形规律解题

例4.一个长方体容器的底面是边长为60厘米的正方体，在里面直立着一个底面是边长为15厘米的正方体，长1米的四棱柱铁棍；这时容器里的水深半米，现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱铁棍侵湿的部分长多少厘米？

5.利用物体的挖切、粘贴规律解题

例5.在一块棱长为4cm的正方体木料6个面的正中央，各画一个边长为2cm的正方形，沿着正方形垂直对面向内凿开穿成洞，制成一个木模。求这个木模的表面积和体积。

【小升初真题演练】

1.将图中三角形分别以AB、CB两条直角边为轴旋转一周，所形成的两个圆锥的体积相差多少？

2.如果把一段半径为5厘米的圆柱形钢材侵没在一个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米；如果将这段钢材露出水面15厘米，水面又会下降3厘米。这段钢材的体积是多少？

3.如图：在棱长为3的正方体中由上到下、由左到右、有前到后，有三个底面积为1的正方形、高为3的长方体的洞。则所得物体的表面积是.

4.已知一个圆柱体的底面积和侧面积相同，如果这个圆柱体的高是5厘米，那么它的体积是

立方厘米。（π取3.14）

5.一个足够高的圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧与水接触的面积是90平方厘米，现往玻璃杯中放入一个棱长为6厘米的正方体铁块，这时水面的高度是多少厘米？

6.看图求体积和表面积。

7.如右图所示，将这个底面直径与高相同的圆柱切成大小形状都相同的两块，表面积增加72平方厘米，求此圆柱的体积？

8.在如图的正方体上切一刀，使切面成为切出的面积最大的等边三角形。①请在正方体上画出最大等边三角形。②这个最大等边三角形的边长为10cm，这个正方体的表面积是多少平方厘米？

9.一个圆柱体木块切成4块（如图1），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图2），表面积增加50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥体（如图3），体积减少多少立方厘米？

10.长为10厘米，直径2厘米的三根圆柱捆成一个捆，用一张纸将这捆圆柱的侧面包起来（纸要绷紧），至少需要多大面积的纸？

【练习】

1.如图一切长方形的铁皮，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱体油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积？

2.将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个正方体钢锭熔铸成一个大正方体（不计耗损），求大正方体的体积？

3.一个盛有水的圆柱形容易，底面半径为5厘米，深为20厘米，水深为15厘米，现将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，求这时容器的水深为多少厘米？

4.如图所示，一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形容器，水中放着一个底面直径为12厘米，高为10厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器的水面高度下降了几厘米？

5.如图，一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱，在它的中间依次向下挖去半径分别是3厘米，2厘米，1厘米，高分别是2厘米，1厘米，0.5厘米的圆柱，最后得的立体图形的表面积是多少平方厘米？

6.有一饮料瓶的瓶身如图所示，容积是3立方分米。现在它里面装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米，问瓶内现有饮料多少平方分米？