运筹学第八章图与网络分析
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运筹学8图与网络分析
e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：
图与网络的运筹学实验报告
图与网络的运筹学实验报告图与网络的运筹学实验报告引言：图与网络是运筹学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本实验旨在通过实际案例，探讨图与网络在运筹学中的应用，并通过运筹学方法对问题进行求解和优化。
一、图与网络的基本概念1.1 图的定义与表示图是由节点和边组成的数学模型，它可以用来描述各种实际问题。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示。
1.2 网络的定义与分类网络是图的一种特殊形式，它的边具有权重或容量等属性。
根据边的属性不同，网络可以分为最短路径网络、最小生成树网络、最大流网络等。
二、图与网络在运筹学中的应用2.1 最短路径问题最短路径问题是图与网络中的经典问题之一。
通过运筹学方法，可以求解两点之间的最短路径，并找到最优解。
2.2 最小生成树问题最小生成树问题是在图中找到一棵包含所有节点的树，并使得树的边权重之和最小。
通过运筹学方法，可以有效地解决最小生成树问题。
2.3 最大流问题最大流问题是在网络中找到从源节点到汇节点的最大流量。
通过运筹学方法，可以确定网络中的最大流，并进行优化。
三、实际案例分析3.1 交通网络优化以城市交通网络为例，通过建立图模型，可以对交通流量进行优化调度，减少交通拥堵和能源消耗。
3.2 物流配送优化以物流配送为例，通过建立网络模型，可以优化货物运输路径，减少运输成本和时间。
3.3 电力网络优化以电力网络为例，通过建立图模型，可以优化电力输送路径，提高电网的稳定性和可靠性。
四、运筹学方法的求解4.1 最短路径求解算法常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法，它们可以高效地求解最短路径问题。
4.2 最小生成树求解算法常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法，它们可以高效地求解最小生成树问题。
4.3 最大流求解算法常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法，它们可以高效地求解最大流问题。
运筹学 图与网络分析PPT学习教案
ij
min{ V1到Vj中间最多经过t-2个点 P1j（t-1）=
P1j（t-2）
+wij}
终止原则：
1）当P1j（k）= P1j（k+1）可停止，最短路P1j*= P1j（k） 2）当P1j（t-1）= P1j（t-2）时，第1再9页多/共迭59页代一次P1j（t） ，若P1j（t） =
P1j（t-1） ，则原问题无解，存在负回路。
图与网络模型Graph Theory
最短路问题
v1，u1 =（M，W，G，H）； v2，u2 =（M，W，G）；
v3，u3 =（M，W，H）；
v4，u4 =（M，G，H）；
v5，u5 =（M，G）。
此游戏转化为在下面的二部图中求从 v1 到 u1 的最短路问题。
v1
v2
v3
v4
v5
u5
u4
例： 求下图所示有向图中从v1到各点 的最短路。
2 v1
v2
4
5 -2 v3 6
-3 4
v4
7
v6 -3 2
v5
3
4
v8
-1
v7
第20页/共59页
wij
d(t)(v1,vj)
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6
v1 0 2 5 -3
0 0 0 00 0
参加的游客众多，游客甚至不惜多花机票钱暂转取道它地也愿参加
此游。旅行社只好紧急电传他在全国各地的办事处要求协助解决此
问题。很快，各办事处将其已订购机票的情况传到了总社。根据此
资料，总社要作出计划，最多能将多少游客从成都送往北京以及如
何取道转机。下面是各办事处已订购机票的详细情况表：
运筹学课件 第八章 图与网络分析
运筹学教程
例：哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一
个城市，Pregei河把该城分成两部分，河中 有两个小岛，十八世纪时，河两边及小岛之 间共有七座桥，当时人们提出这样的问题： 有没有办法从某处（如A）出发，经过各桥 一次且仅一次最后回到原地呢？
A C
B
运筹学教程
D
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最后，数学家Euler在1736年巧妙地给出 了这个问题的答案，并因此奠定了图论的基 础，Euler把A、B、C、D四块陆地分别收缩 成四个顶点，把桥表示成连接对应顶点之间 的边，问题转化为从任意一点出发，能不能 经过各边一次且仅一次，最后返回该点。这 就是著名的Euler问题。
第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪 中叶，这时，图论问题大量出现，如 Hamilton问题，地图染色的四色问题以 及可平面性问题等，这时，也出现用图 解 决 实 际 问 题 ， 如 Cayley 把 树 应 用 于 化 学领域，Kirchhoff用树去研究电网络等.
运筹学教程
第三阶段是二十世纪中叶以后，由生产管 理、军事、交通、运输、计算机网络等方 面提出实际问题，以及大型计算机使大规 模问题的求解成为可能，特别是以Ford和 Fulkerson建立的网络流理论，与线性规划、 动态规划等优化理论和方法相互渗透，促 进了图论对实际问题的应用。
e5
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v2
v3
e2
e6
v4
v5
e8
运筹学教程
二、连通图
定义8:如果图中的某些点、边可以排列成点和边的交错序列 (v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn-1 , en ， vn ） ，ei=(vi-1,vi)，则称 此为一条链。 由两两相邻的点及其相关联边构成的点边序列。 初等链：链中无重复的点和边； 定义9：无向图中，如一条链中起点和终点重合，则称此链为 圈。 初等圈：圈中无重复的点和边； 有向图中，当链（圈）上的边方向相同时，为道路（回路）。
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
运筹学图与网络分析-最短路
(P0
)
min P
(P)
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为d(vs,vt)。
求网络上的一点到其它点 的最短路
Dinkstra标号法
这是解决网络中某一点到其它点的最 短路问题时目前认为的最好方法。
适用于有向图权值非负的情况
有向图权值非负---- Dijkstra算法
Dijkstra算法的基本步骤（权值非负） 1、给顶点v1标号（0），v1称为已标号点，记标号点集为
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
3
1 (4,4) 3 1
4
6
7
(1,3)
5
④重复上述步骤，直至全部的
点都标完。
(1,2)
2
2
0
1
2
5
7
(2,4)
3 5 55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
7
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5
(2,4)
35
55
7
1
3
3
1
4
6
7
(1,3)
5
(3,7)
(1,2)
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
3
1
3 1
34 5 6
7
④重复上述步骤，直至全部的
(1,2)
点都标完。
2
2
0
2
7
1
5 3 5 55 7
运筹学-第八章-图与网络
河北工业大学管理学院 孔造杰 制作
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2003年9月13日12时46分
§8-2 最小树问题 Minimum Spanning Tree Problem
加边法：去掉G中所有边，得到n个孤立点；然后加边； 加边的原则：从最短边开始添加，加边的过程中不能形成圈， 直到连通（n－1条边）。
§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
子图、支撑子图
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 ⊆ V2和E1 ⊆ E2 称G1是G2的一个子图。若 有 V1＝V2，E1 ⊆ E2 则称 G1是G2的一个支撑 子图（部分图），图8-2（a）是图 8-1的一 个子图，图8-2（b）是图 8-1的支撑子图， e1 注意支撑子图也是子图,子图不一定是支撑 子图。 v2 e6 v4
e2 v2 e6 v4
e1 v1 e3 e4 e5 e7
e2 v3 e8 v5 v2
v1 e3 v3 v2
e2
v1 v3
e6 v5 v4
e7
图6－3(b)
e8 v5
图8 －1
图6－3(a)
河北工业大学管理学院 孔造杰 制作
Page 12 of 46
2003年9月13日12时46分
§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
河北工业大学管理学院 孔造杰 制作
C
B
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2003年9月13日12时46分
§8-1 图的基本概念Basic Concepts of Graph
图Ｇ可 定义为点和边的集合，记作
其中V ≠ φ
G ={ V , E}
运筹学8图与网络分析
（8）考察V8点，只有一个T标号，T(V8)=15，令P(V8)=15)，记录路 径（V7，V8），计算结束。
反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。
计算步骤：
（1）给Vs以P标号，P（Vs）=0，其余各点给T标号， T（Vi）=+∞；
且仅得一个圈。
4）图中边数为：p-1（p为顶点数）
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
（2）若Vi点为刚得到P标号的点，考虑点Vj: (Vi,Vj) 属于E，且Vj为T标号。则修改T(Vj)
T(Vj)=min[T(Vj),P(Vi)+lij]；
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，即： P（Vi）=min[T(Vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。
8.2 最短路问题
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
有向图：
由点和弧组成。表示为：D=（V，A）
V--点集合 A--弧集合
始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的
终点。
链（道路）：
点弧交错序列。
圈（回路）：
如一条链中起点和终点重合。
初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。
（3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14
反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。
计算步骤：
（1）给Vs以P标号，P（Vs）=0，其余各点给T标号， T（Vi）=+∞；
且仅得一个圈。
4）图中边数为：p-1（p为顶点数）
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
（2）若Vi点为刚得到P标号的点，考虑点Vj: (Vi,Vj) 属于E，且Vj为T标号。则修改T(Vj)
T(Vj)=min[T(Vj),P(Vi)+lij]；
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，即： P（Vi）=min[T(Vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。
8.2 最短路问题
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
有向图：
由点和弧组成。表示为：D=（V，A）
V--点集合 A--弧集合
始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的
终点。
链（道路）：
点弧交错序列。
圈（回路）：
如一条链中起点和终点重合。
初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。
（3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14
《运筹学》8关键路线法
错误
正确
网络图中不能出现循环回路
错误
节点编号时，按照矢线箭头的指向，升序 排号，保证节点序号先后关系保持一致。
应将各作业的工时数据标注在表示该作业 的矢线的下面。
正确使用虚工序（不消耗资源，一般表示 平行工作关系）
三、PERT图的绘制步骤
先画草图，再修改后变成规范图，步骤如下： @ 根据活动清单中规定的关系，将活动代号栏所有的 活动逐次地画在网络图上，从左到右 @ 理顺活动的紧前、紧后关系，没有紧后活动的活动 所对应的箭线汇集在终止结点上 @ 草图绘制完成后，将序号标在结点上，将活动代号 和时间标在箭 线上 @ 检查无误后，将草图绘制成规范图 •
工作（1，7）有自由时差13，若把它拖至13周开工， 对它后面的工作的最早开工时间及时差等都没有影响， 对整个工期也没有影响。而只有总时差没有自由时差 的工作则不然，若工作（7，8），总时差为1，自由时 差为0，如果让它推迟1周开工，虽然总工期不受影响， 但其后面的工作最早时间及时差都要受影响。所以使 用时差来调整工作时，应尽量先用自由时差。
5、虚箭线：不占用时间和空间，不消耗任何资 源。只是为了明 确活动的相互之间的逻辑关系。
i
A：作业活动代号
j
4A 5 A
3 10 4
结点（表示事件）： 网络图中两条或两条以上的箭线的交接
点就是结点，结点代表的作业开始和结 束。用圆圈加上数字表示。
路线： 从网络图的始点事件开始到终点事
件为止，由一系列首尾相连的箭线和结 点所代表的作业和事件所组成的通道。 网络图一般有多条路线。其中最长的我 们称之为关键路线，关键路线上的工序 为关键工序。
客来沏茶
本问题的几道“工序”有次序时,间:
洗杯盖 2
《运筹学》 第八章图与网络分析习题及 答案
《运筹学》第八章图与网络分析习题1.思考题(１)解释下列名词，并说明相互之间的区别与联系：①顶点，相邻，关联边；②环，多重边，简单图；③链，初等链；④圈，初等圈，简单拳；⑤ 回 路，初等路；⑥节点的次，悬挂点，孤立点；⑦）连通图，连同分图， 支 撑子图；⑧有向图，基础图，赋权图。
⑨子图，部分图，真子图．(２)通常用记号Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）表示一个图，解释Ｖ及Ｅ的涵义及这个表达式 的涵义．(３)通常用记号Ｄ＝（Ｖ，Ａ）表示一个有向图，解释Ｖ及Ａ的涵义及这个表 达式的涵义．(４) 图论中的图与一般几何图形的主要区别是什么？ (５) 试述树与图的区别与联系．(６) 试述 求最短路问题的Ｄijkstra 算法的基本思想及其计算步骤． (７) 试述寻求最大流的标号法的步骤与方法．(８) 简述最小费用最大流的概念及其求解的基本思想和方法．(９) 通常用记号Ｎ＝（Ｖ，Ａ，Ｃ）表示一个网络，试解释这个表达式的涵义． (10) 在最大流问题中，为什么当存在增广链时，可行流不是最大流？ (11) 试叙述最小支撑树、最大流、最短路等问题能解决那些实际问题。
2.判断下列说法是否正确(1) 图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何形状无关。
(2) 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。
(3) 如果一个图G 从V 1到各点的最短路是唯一的，则连接V 1到各点的最短路，再去掉重复边，得到的图即为最小支撑树。
(4 )图G 的最小支撑树中从V 1到V n 的通路一定是图G 从V 1到V n 的最短路。
(5) {f ij =0}总是最大流问题的一个可行流。
(6 )无孤立点的图一定是连通图。
(7) 图中任意两点之间都有一条简单链，则该图是一棵树。
(8) 求网络最大流的问题总可以归结为求解一个线性规划问题。
(9)在图中求一点Ｖ１到另一点Ｖn 的最短路问题总可以归结为一个整数规划问题 (10) 图G 中的一个点V 1总可以看成是G 的一个子图。
运筹学：chap8_图与网络分析
X={1}
P1=0
T2=2
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3 T4=1 4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
T6=3
min {T2, T4, T6}=min {2,1,3}=1
X={1,4}, P4=1
8 8
X={1,4}
P1=0
T2=2
2
6
1
2
3
1
10
P4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
8
4
8
T6=3
T7=3
min {T2,T6, T7}=min {2,3,3}=2
■悬挂点： d(v)=1 对应的边为悬挂边
■孤立点： d(v) =0
e1
v5
v4
■奇点： d(v)为奇数 ■偶点： d(v)为偶数
v2
有向图：
e2
v1
e4
e3
e6
e5
v3
■出次 d+(v)：以v为始点的边数 d (v) d (v)
■入次 d-(v)：以v为终点的边数 vV
vV
次的定理1
定理1：任何图中，顶点次数的总和为边数的2倍。 证明思路：每条边必与两个顶点关联
d(v) 2m
vV
次的定理2
定理2：任何图中，奇点必为偶数个
证明思路：
d(v) d(v) 2m
vV1
vV2
Euler图的充要条件
定理3：无向连通图G是Euler图的充要条件是： G中无奇点
运筹学 八章 图与网络分析
向图。记之为G(D)。
链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的一个点弧交错序列，如果这个序
列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列是D的 一条链。 1，均有ait=(vit,vit+1)，称之为从vi1到vik的一条路。
路：如果(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的一条链，并且对t=1,2,…,k回路：若路的第一个点和最后一点相同，则称之为回路。
3)E中任意两条线之间除端点之外无公共点.
则由V、E构成的二元组合G=(V， E)就是图。 子图：已知图G1（V1，E1）若V1 ﹤V， E1 ﹤ E ; 图G=(V， E)的子图 则称图G1（V1，E1）是
若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。 多重边：图中某两点之间有多余一条的边，称之为多重边。 多重图：含有多重边的图。 简单图：无环、无多重边的图。
步骤 v1
例9：（图8－31）
v2 v3 v4 v5 v6 v7
v8
最短 前向 路 结点
1
2 3
0*
∞
4*
∞
6 6*
∞
∞ 9 9 9*
∞
∞ 8 8*
∞
∞ ∞ ∞ 13 13 *
∞
∞ ∞ ∞ 14 14 14*
∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 17
0
4 6 8 9 13 14 15 v1 v1 v2 v2 v5 v5
V7 6 4 V8 2 V9 4
6
V4 4 2 V5 3 V2
2
V6 4 V3
4
V1
一、最短路算法
1、情况一： wij≥0(Dijkstra算法) 原理：Bellman最优性定理 方法：图上作业法（标号法）；双标号法（表的形式） 标号：对于点V,若已求出V1到Vi的最短值，标号（αi,βi) αi ：表示V1到Vi的最短路值 βi:表示最短路中最后经过的点
链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的一个点弧交错序列，如果这个序
列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列是D的 一条链。 1，均有ait=(vit,vit+1)，称之为从vi1到vik的一条路。
路：如果(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的一条链，并且对t=1,2,…,k回路：若路的第一个点和最后一点相同，则称之为回路。
3)E中任意两条线之间除端点之外无公共点.
则由V、E构成的二元组合G=(V， E)就是图。 子图：已知图G1（V1，E1）若V1 ﹤V， E1 ﹤ E ; 图G=(V， E)的子图 则称图G1（V1，E1）是
若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。 多重边：图中某两点之间有多余一条的边，称之为多重边。 多重图：含有多重边的图。 简单图：无环、无多重边的图。
步骤 v1
例9：（图8－31）
v2 v3 v4 v5 v6 v7
v8
最短 前向 路 结点
1
2 3
0*
∞
4*
∞
6 6*
∞
∞ 9 9 9*
∞
∞ 8 8*
∞
∞ ∞ ∞ 13 13 *
∞
∞ ∞ ∞ 14 14 14*
∞
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 17
0
4 6 8 9 13 14 15 v1 v1 v2 v2 v5 v5
V7 6 4 V8 2 V9 4
6
V4 4 2 V5 3 V2
2
V6 4 V3
4
V1
一、最短路算法
1、情况一： wij≥0(Dijkstra算法) 原理：Bellman最优性定理 方法：图上作业法（标号法）；双标号法（表的形式） 标号：对于点V,若已求出V1到Vi的最短值，标号（αi,βi) αi ：表示V1到Vi的最短路值 βi:表示最短路中最后经过的点
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第8章 图与网络分析
（a）
（b）
（c）
图 8-9 图、子图、支撑子图
（4）图的同构 设 G1 与 G2 是两个同阶图，若顶点集合 V1 和 V2 以及边集 E1 和 E2 之间在保持关联性
质条件下的一一对应，则称图 G1 和图 G2 同构。 例如：图 8-10（a）和图 8-10（b）就为同构。
（a）
(b)
图 8-10 同构图
（10）定理 8.1 对于图 G=(V ,E) ，其中 V = n , E = m ,则有：
∑d (v) = 2m
（8-2）
v∈V
证明：每条边都有两个端点，在计算顶点的次时，每个端点都要计算对应边次，故共有
2m 次。
通俗地讲，就是线有两头，共有 2m 个线头的意思。
（11）定理 8.2 奇次顶的总数是偶数。
第八章 图与网络分析
8.1 图与网络的基本知识
8.1.1 图与网络的基本概念 8.1.1.1 图的定义 自然界和人类社会中，大量的事物以及事物之间的关系，常可以用图形来描述。例如： 图 8-4 所示的我国北京、上海等十个城市间的交通图反映了这十个城市间铁路
分布情况。这里用点代表城市，用点和点之间的连线代表这两个城市之间有直通铁路。
图 8-7 一个无向图
G = (V, E) V= {v1, v2 ,v3 , v4} E={e1, e2 ,e3 , e4 ,e5 , e6 , e7}
其中
e1 = [v1 ,v2 ] , e2 = [v1 ,v2 ] , e3 = [v2 ,v3 ] , e4 = [v3 ,v4 ] ,
图 8-8 是一个有向图。该图可以表示为：
图 8-4 十个城市间铁路分布图
又如某单位储存五种化学药品，其中，某些药品是不能放在同一库房里的，为了反映这 种情况，可以用点 v1 、 v2 、 v3 、 v4 、 v5 分别代表这五种药品，若药品 vi 和药品 v j 是不能存 放在同一库房的，则在 vi 和 v j 之间连一条线，如图 8-5 所示。如果问题归结为寻求存放这种 化学药品的最少库房个数，则该问题就是染色问题。事实上，至少需要三个库房来存放这些 药品，即 v1 和 v5 、 v2 和 v4 、 v3 各存放在一个库房里。
运筹学_图与网络分析
1 3 4 5 2
2
3
6
7
2
1
课堂练习：
P224 2.a）
问题定义：在一个赋权图上求一个圈，经过图中每一条
边至少一次，使圈中各边权值的总和为最小。
中
v2 v5
国
邮 路
v3 v1 v6
v4
问
题
比如圈：v5，v2，v1，v3，v2，v4，v3，v5，v4，v6，v5
欧拉链与欧拉圈 经过且仅经过图中每一条边一次的链称为欧拉链，经过 且仅经过图中每一条边一次的圈称为欧拉圈
若点与点之间的连线没有方向，称为边， 由此构成的图为无向图。记为: G=（V， E ）其中 V 是 G 的点的集合， E 为 G 的边的
v1
e2 v5 e5 e6 e9 e7 e4 e2 v5 e5 e7 e4
v2 e8 e3 e10
e1
集合，连接 Vi ， Vj 的边记为 [Vi ， Vj] 或 [Vj
，Vi] v3 v1 若点与点之间的连线有方向，称为弧，由 此构成的图为有向图。记为: D=（V， e1
v6
v4 v2 e6
e8 e3
A），其中 V是 G的点的集合，A为G的弧 的集合，一条方向为从 Vi指向Vj的弧记为 (Vi，Vj)
v6
v3
v4
相邻点：两点之间的边属于E
相邻边：如果两条边有一个公共端点
求从v1到v8的最短路
(3,5) V2 1
V5 (2,6)
10
4
3
V1 (0)
2
6
4
10
2
V6 (5,10)
V8
V4 (1,1)
V7 (5,9)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得 最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个 标号相同，但是第一个标号不一定相同。
2
3
6
7
2
1
课堂练习：
P224 2.a）
问题定义：在一个赋权图上求一个圈，经过图中每一条
边至少一次，使圈中各边权值的总和为最小。
中
v2 v5
国
邮 路
v3 v1 v6
v4
问
题
比如圈：v5，v2，v1，v3，v2，v4，v3，v5，v4，v6，v5
欧拉链与欧拉圈 经过且仅经过图中每一条边一次的链称为欧拉链，经过 且仅经过图中每一条边一次的圈称为欧拉圈
若点与点之间的连线没有方向，称为边， 由此构成的图为无向图。记为: G=（V， E ）其中 V 是 G 的点的集合， E 为 G 的边的
v1
e2 v5 e5 e6 e9 e7 e4 e2 v5 e5 e7 e4
v2 e8 e3 e10
e1
集合，连接 Vi ， Vj 的边记为 [Vi ， Vj] 或 [Vj
，Vi] v3 v1 若点与点之间的连线有方向，称为弧，由 此构成的图为有向图。记为: D=（V， e1
v6
v4 v2 e6
e8 e3
A），其中 V是 G的点的集合，A为G的弧 的集合，一条方向为从 Vi指向Vj的弧记为 (Vi，Vj)
v6
v3
v4
相邻点：两点之间的边属于E
相邻边：如果两条边有一个公共端点
求从v1到v8的最短路
(3,5) V2 1
V5 (2,6)
10
4
3
V1 (0)
2
6
4
10
2
V6 (5,10)
V8
V4 (1,1)
V7 (5,9)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得 最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个 标号相同，但是第一个标号不一定相同。
运筹学—第八章 图与网络分析
v5 1 v6 7 1 v7 －5 －3
e1 {v1 , v2 }
e3 {v2 , v3 }
e2 {v1 , v2 }
e4 {v3 , v4 } e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 } e9 {v6 , v6 }
v1
第二节 树 一、 树的概念和性质 例8.3 已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v6 v5 v2
v3
v4
定义9 一个连通的无圈的无向图叫做树。
作为树T的定义，下列定义是等价的： （1）T是一个树。（设其顶点数为n ，边数为 m ） （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1 。 （4）T无圈，但在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。 （5）T中任意两个顶点之间有且仅有一条链。 （6）T连通，但去掉T的任一条边，T就不连通。
( vi , v j )
一、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 T 为0，其余节点均给T标号， (vi ) (i 2 , 3,, n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
e1 v1
e2 e5
e8 v5
v2
d(v1)= 4，d(v6)= 4
e10 v6 e9
e3 e v4 4 e6 e7 v3
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（2）逐步逼近算法：求带负权网络最短路问题； （3）Floyd算法：求网络上任意两点间的最短路 问题。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。 采用标号法： P标号和T标号(Permanent and Tentative Label) P标号 标号：已确定出最短路的节点(永久性标号)。 标号 T标号 标号：未确定出最短路的节点，表示其距离的上限 标号 （试探性标号）。 算法的每一步都把某一点的T标号改为P标号直至改完 为止。
8.1 图与网络基本知识
二、无向图的有关概念
定理8-1：在一个图中，所有顶点次的和等于边的两倍。 定理8-2：在任意一个图中，奇顶点的个数必为偶数。 链： 点边交错序列。 圈： 如一条链中起点和终点重合。 初等链： 链中无重复的点和边。 初等圈： 圈中无重复的点和边。 简单链： 链中边均不相同。 简单圈： 圈中边均不相同。
8.1 图与网络基本知识
四、 树的概念
求最小生成树的方法有破圈法 避圈法。 求最小生成树的方法有破圈法和避圈法。 破圈法和
v1 23 v6 28 v5 36 25 17 1 20 v7 4 9 16 3 v4 v2 15 v3
8.1 图与网络基本知识
五、欧拉回路与中国邮递员问题
一笔划问题 欧拉链（道路）： 图中存在一条链，过每边一 次且仅一次。 欧拉圈（回路）：图中存在一简单圈， 过每边 一次且仅一次。 欧拉图：具有欧拉圈的图。
8.1 图与网络基本知识
例8-2：有7个人围桌而坐，如果要 求每次相邻的人都与以前完全不同， 试问不同的就座方案共有多少种？ 提示：用顶点表示人，用边表示 两者相邻。共有3种方案。
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
由点和弧组成。表示为：D=（V，A） V--点集合 A--弧集合 始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的 终点。 链（道路）： 点弧交错序列。 圈（回路）： 如一条链中起点和终点重合。 初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。 初等圈（回路）： 圈中无重复的点和弧。 简单有向图： 无自环，无多重弧。 多重有向图： 有多重弧。 有向图：
8.2 最短路问题
j i V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V1 0 M M M M M M M V2 2 0 M M M M M M V3 5 -2 0 4 M M M M V4 -3 M M 0 M M 7 M
lij
V5 M 4 M M 0 -3 M 3 V6 M M 6 M M 0 2 M
8.1 图与网络基本知识
二、无向图的有关概念：
连通图： 任意两点之间至少有一条链。 连通分图： 对不连通图，每一连通的部分称为一个 连通分图。 支撑子图： 对G=（V，E）， 若Gˊ=(Vˊ，Eˊ), 使Vˊ=V，Eˊ是E的子集，则Gˊ是G 的一个支撑子图。 G-v： 图G去掉点v及v的关联边的图。
一、 Dijkstra算法
8.2 最短路问题 v
4 v1 6
2
5 v4 9 v6 7 5 4 5 1 v8
（4） 考察V3V4和V3V5两边：
4 4
T(V4)=min[T(V4),P(V3)+l34]=min[9,6+4] =9
vБайду номын сангаас 7 v5 6 v7
T(V5)=min[T(V5),P(V3)+l35]=min[8,6+7] =8 比较所有T标号，T(V5)最小，有P(V5)=8。并记录路径(V2,V5)。 T T(V5) P(V5)=8 (V2,V5) （3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14 比较所有T标号，T(V4)最小，有P(V4)=9。并记录路径(V2,V4)。 依此类推，一直计算到（8） （8）考察V8点，只有一个T标号，T(V8)=15，令P(V8)=15)，记录路 径（V7，V8），计算结束。 反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.1 图与网络基本知识
五、欧拉回路与中国邮递员问题
一笔划问题 定理：连通多重图G是欧拉图，当且仅当G 中无奇点 。 推论： 连通多重图G有欧拉链，当且仅当G 恰有两个奇点。
8.1 图与网络基本知识
例8-3：哈密尔顿（Hamilton）回路是英国数学家哈密 尔顿1857年提出。给出一个正12面体图形，共有20个 顶点表示20个城市，要求从某个城市出发沿着棱线寻 找一条经过每个城市一次而且仅一次，最后回到原处 的周游世界线路（并不要求经过每条边）。
v3 6
8.2 最短路问题
解：初始条件为： P11(1)=0， P12(1)=2， P13(1)=5， P14(1)=-3， P15(1)=P16(1)= P17(1)= P18(1)= ∞ 第一轮迭代： P11(2)=min{P11(1) +l11 ，P12(1) +l21 ， P13(1) +l31 ， P14(1) +l41 ， P15(1) +l51 ，P16(1) +l61 ，P17(1) +l71， P18(1) +l81 }=0 P12(2)=min{P11(1) +l12 ，P12(1) +l22 ， P13(1) +l32 ， P14(1) +l42 ， P15(1) +l52 ，P16(1) +l62 ，P17(1) +l72， P18(1) +l82 }=2 依此类推。 求解：见Excel表格求解。
v3 7 v5 6 v7 T(V2)=min[T(V2),P(V1)+l12]=min[+∞,0+4] =4
T(V3)=min[T(V3),P(V1)+l13]=min[+∞,0+6] =6 比较所有T标号，T(V2)最小，有P(V2)=4。并记录路径(V1,V2)。 （3） 考察V2V4和V2V5两边： T(V4)=min[T(V4),P(V2)+l24]=min[+∞,4+5] =9 T(V5)=min[T(V5),P(V2)+l25]=min[+∞,4+4] =8 比较所有T标号，T(V3)最小，有P(V3)=6。并记录路径(V1,V3)。
无向图： 简称图，由点和边组成。 表示为： G=（V，E） V--点集合 E--边集合
8.1 图与网络基本知识
二、无向图的有关概念：
端点： e=[u,v]∈E， 则u,v是e的端点，称u,v相邻。 关联边： e是点u，v的关联边。 环： 若u=v， e是环。
多重边： 两点之间多于一条边。 简单图： 无环，无多重边的图。 多重图： 无环，允许有多重边的图。
8.1 图与网络基本知识
四、 树的概念
图的支撑树（生成树）： 图的支撑树（生成树）： 1）定义:设图T=(V，E’) 是图G=(V,E)的支撑子图, 如果T是一个树, 则称T是G的一个支撑树。 2）定理5：图G=（V，E）有支撑树的充分必要条 件是G是连通的。 最优树（最小生成树、最小支撑树）： 最优树（最小生成树、最小支撑树）： 在赋权图G中，一棵生成树所有树枝上权的总和， 称为生成树的权。具有最小权的生成树，称为最优 树（或最小树）。
8.2 最短路问题
二、逐次逼近法 基本思想：令P1j表示从v1到vj的最短路长， P1i为v1到vi的最短路长，则必有下列方程： P1j=min(P1i+lij)
i
8.2 最短路问题
例：求图示中V1点到各点的最短路。 v2 2 v1 -3 v4 5 4 7 v7 -2 5 4 -3 v6 2 v5 3 4 -1 v8
8.1 图与网络基本知识
五、欧拉回路与中国邮递员问题 中国邮递员问题 一个邮递员，负责某一地区的信件投递。他 每天要从邮局出发，走遍该地区所有的街 道再返回邮局，问应如何安排送信的路线 可以使所走的总路程最短？
8.1 图与网络基本知识
五、欧拉回路与中国邮递员问题 中国邮递员问题 奇偶点作业法：若图中无奇点，问题已解决； 否则：
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 ： E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
8.1 图与网络基本知识
解：以每门课程为一个顶点，共同被选修的课程 之间用边相连，得图，按题意，相邻顶点对应 课程不能连续考试，不相邻顶点对应课程允许 连续考试，因此，作图的补图，问题是在图中 寻找一条哈密顿道路，如C—E—A—F—D—B， 就是一个符合要求的考试课程表。 A B A B A B F E D C F E D C F E D C
第八章 图与网络分析
主要内容： 8.1 图与网络的基本知识 8.2 最短路问题 8.3 最大流问题 8.4 最小费用流问题
8.1 图与网络基本知识
一、引言 1。产生
哥尼斯堡七桥难题
例8-1：哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一个城市， Pregei河把该城分成两部分，河中有两个小岛，十 八世纪时，河两边及小岛之间共有七座桥，当时人 们提出这样的问题：有没有办法从某处（如A）出 发，经过各桥一次且仅一次最后回到原地呢？
A C B D
8.1 图与网络基本知识
数学家Euler在1736年解决：
A A C B B D C D
8.1 图与网络基本知识
二、图与网络的基本概念