数值分析考试复习总结

数值分析考试复习总结 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

第一章

1 误差

相对误差和绝对误差得概念 例题:

当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶段 在哪些阶段将有哪些误差产生

答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差:

建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差

选用数值方法产生:截断误差

计算过程产生:舍入误差 传播误差

6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.

解 a 的相对误差：由于

31021|)(|-⋅≤-≤a x x E . x a

x x E r -=)(,

221018

1

10921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ）

)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.

|11||)(|a x f E ---==()25

.0210

11321⨯⋅≤

-+---a

x x a =310-

33

104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □

2有效数字

基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:

2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子) 例题:

4．改变下列表达式使计算结果比较精确：

（1） ;1||,11211<<+--+x x

x

x 对

（2）

;1,11>>-

-+

x x

x x

x 对

（3）

1||,0,cos 1<<≠-x x x

x

对.

解 (1) )21()1(22x x x ++. (2) )

11(2x x x x x

-++.

(3) x

x

x x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □

第二章

拉格朗日插值公式（即公式（1））

插值基函数（因子）可简洁表示为

其中: ()∏∏≠==-='-=

n

i

j j j i i n

n

j j

n x x x x

x x 0

)(,)()(ωω. 例1 n=1时，线性插值公式 )

()()

()()(0101

10101x x x x y x x x x y x P --⨯+--⨯=， 例2 n=2时，抛物插值公式 牛顿（Newton ）插值公式

由差商的引入，知

（1） 过点10,x x 的一次插值多项式为

其中

（2） 过点210,,x x x 的二次插值多项式为

其中

重点是分段插值:

例题:

1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：

（1） （2） 解(2)：

方法一. 由 Lagrange 插值公式 可得： )21()(23-=x x x L 方法二. 令

由 23)1(3-=-L ， 2

1

)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法） □

15.设2)(x x f =，求)(x f 在区间]1,0[上的分段线性插值函数)(x f h ，并估计误差，取等

距节点，且10/1=h .

解 2)(x x f =， ih x i = ， 10,,1,0 =i ， 101=h

设 1+≤≤i i x x x ，则：

误差估计： ))1(()(!

2|)()(|max

)1(h i x ih x f x f x f h

i x ix h +--''≤

-+≤≤. □

第三章

最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：

1. 连续意义下

在空间],[2b a L 中讨论

2. 离散意义下

在n 维欧氏空间n R 中讨论，只要求提供f 的样本值

1. 最佳逼近多项式的法方程组

设],[2b a L 的1+n 维子空间 n P =span },,,1{2n x x x , 其中 n x x x ,,,12 是],[2b a L 的线性无关多项式系.

对],[2

b a L f ∈∀，设其最佳逼近多项式*

φ可表示为: ∑==n

i i i x a 0**

φ

由 n P f ∈∀=-φφφ ,0),(*

即 ∑===n

j i

j j i n i x f a x x 0*)1(0),,(),(

（*2） 其中

称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）. 由n i i x 0}{=的线性无关性，可证明G 正定，即 上述法方程组的解存在且唯一 .

11、 求x x f πcos )(= ，]1,0[∈x 的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解： 设 x a a x P 10*1)(+= ， 2210*2)(x b x b b x P ++= 分别为)(x f 的一次、二次最佳平方逼近多项式。 内积 ⎰⋅=1

0)()(),(dx x g x f g f

计算如下内积：

1)1,1(= , 21),1(=x , 3

1),1(2=x