容斥原理

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容斥原理集合公式card

容斥原理集合公式card

容斥原理集合公式card摘要:I.引言- 容斥原理简介- 集合公式card 的背景II.容斥原理的基本概念- 集合的表示- 集合的运算- 容斥原理的基本公式III.集合公式card 的推导- 集合公式card 的定义- 集合公式card 的性质- 集合公式card 的推导过程IV.容斥原理集合公式card 的应用- 集合的交、并、补运算- 容斥原理在实际问题中的应用V.结论- 容斥原理集合公式card 的重要性- 未来研究方向正文:I.引言容斥原理,作为集合论中的一个重要理论,为我们研究集合之间的关系提供了有力的工具。

在数学、物理、计算机科学等多个领域中都有着广泛的应用。

而集合公式card,作为容斥原理中的一个重要概念,对于理解容斥原理有着至关重要的作用。

本文将主要介绍容斥原理以及集合公式card 的相关知识。

II.容斥原理的基本概念首先,我们需要了解一些集合论的基本概念。

集合论是数学的一个分支,主要研究集合的性质及其运算。

一个集合可以表示为元素之间的集合关系,例如{1, 2, 3}表示一个包含元素1、2、3 的集合。

集合之间可以进行一些基本的运算,如并集、交集和补集等。

例如,A∪B 表示集合A 和集合B 的并集,包含A 和B 中的所有元素;A∩B 表示集合A 和集合B 的交集,包含既属于A 又属于B 的所有元素;A"表示集合A 的补集,包含所有不属于A 的元素。

容斥原理是描述集合之间这些运算性质的一个理论。

它告诉我们,在进行集合运算时,可以通过引入一些虚拟元素来简化计算。

例如,在计算A∪B 时,我们可以引入一个虚拟元素“空集”,表示不包含任何元素的集合。

然后,我们可以将A 和B 分别与空集进行并集运算,从而简化计算过程。

III.集合公式card 的推导集合公式card 是容斥原理中的一个重要概念,它表示集合的基数,即集合中元素的个数。

我们可以通过以下方式推导集合公式card:首先,我们考虑一个包含n 个元素的集合。

容斥原理公式大全

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容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中的一种重要方法,常常用于求解集合的并、交、差等问题。

它的应用范围非常广泛,涉及到概率论、数论、组合数学等多个领域。

在实际问题中,我们经常需要利用容斥原理来解决一些复杂的计数问题。

下面,我们将介绍容斥原理的相关公式,希望能够对大家有所帮助。

1. 两个集合的容斥原理公式。

对于两个集合A和B,它们的元素个数分别为|A|和|B|,那么它们的并集元素个数为|A∪B|,则有:|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。

这个公式非常直观,它的意义在于,我们先把A和B的元素个数加起来,然后减去A和B的交集元素个数,这样得到的结果就是A和B的并集元素个数。

2. 三个集合的容斥原理公式。

对于三个集合A、B和C,它们的元素个数分别为|A|、|B|和|C|,那么它们的并集元素个数为|A∪B∪C|,则有:|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。

这个公式是两个集合容斥原理的推广,它的推导过程可以通过画Venn图来理解。

在实际问题中,我们经常会遇到三个集合的容斥原理的应用,比如在概率论中的概率计算问题。

3. n个集合的容斥原理公式。

对于n个集合A1、A2、...An,它们的并集元素个数为|A1∪A2∪...∪An|,则有:|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。

这个公式是容斥原理的一般形式,它适用于任意个集合的情况。

在实际问题中,当我们需要求解多个集合的并集元素个数时,可以利用这个公式来进行计算。

4. 容斥原理的应用举例。

下面通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。

假设有一个集合A,它包含了1到100之间所有能被2、3或5整除的整数,我们需要求集合A的元素个数。

这个问题可以通过容斥原理来解决。

首先,分别求出能被2、3和5整除的整数的个数,然后分别两两求交集的个数,最后再求三者的交集的个数,然后代入容斥原理的公式,即可得到集合A的元素个数。

容斥原理的应用举例

容斥原理的应用举例

容斥原理的应用举例什么是容斥原理容斥原理是概率论、组合数学中常用的一种计数方法,它用于求解多个事件的并或交的概率或数量。

容斥原理是以集合论为基础的一种推理思想,通过排除重复计数,从而得到准确的计数结果。

容斥原理的公式容斥原理的公式可以表示为:|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1∩ A3| - ... - |An-1 ∩ An| + |A1 ∩ A2 ∩ A3| + ... + (-1)^(n-1) * |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|其中,|A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| 表示事件 A1、A2、…、An 的并的概率或数量,|A1| 表示事件 A1 的概率或数量,|A1 ∩ A2| 表示事件 A1 和 A2 的交的概率或数量,以此类推。

容斥原理的应用举例容斥原理在组合数学和概率论中有广泛的应用,下面举几个例子来说明容斥原理的具体应用。

例子1:求解有限集合的元素个数假设有三个集合 A、B、C,它们分别有 |A|、|B|、|C| 个元素,求这三个集合的并集的元素个数。

根据容斥原理的公式,有:|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |D|其中,|A ∩ B| 表示集合 A 和 B 的交的元素个数,以此类推。

例子2:求解排列组合中不满足条件的情况假设有两个集合 A 和 B,它们分别有 |A|、|B| 个元素,要求从 A 和 B 中选择指定数量的元素排列组合,但要满足某个特定的条件,那么可以使用容斥原理来计算不满足条件的情况。

Count = |A| * |B| - |A ∩ B|其中,|A ∩ B| 表示满足条件的情况。

例子3:求解事件的概率假设有三个事件 A、B、C,它们分别发生的概率分别为 P(A)、P(B)、P(C),求这三个事件的并的概率。

容斥原理

容斥原理

容斥原理(Inclusion–exclusion principle),是指在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。

公式也可表示为设S为有限集,,则两个集合的容斥关系公式:A∪B=A+B-A∩B(∩:重合的部分)三个集合的容斥关系公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C详细推理如下:1、等式右边改造={[(A+B-A∩B)+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C2、文氏图分块标记如右图图:1245构成A,2356构成B,4567构成C3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分:那么A∪B∪C还缺部分7。

4、等式右边[]号里+C(4+5+6+7)后,相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分,减去B∩C(即5+6两部分)后,还多加了部分4。

5、等式右边{}里减去C∩A(即4+5两部分)后,A∪B∪C又多减了部分5,则加上A∩B∩C(即5)刚好是A∪B∪C。

2严格证明对于容斥原理我们可以利用数学归纳法证明:证明:当时,等式成立()。

假设时结论成立,则当时,所以当时,结论仍成立。

因此对任意,均可使所证等式成立。

3原理1如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

(A∪B=A+B-A∩B)例1一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?分析依题意,被计数的事物有语、数得满分两类,“数学得满分”称为“A类元素”,“语文得满分”称为“B类元素”,“语、数都是满分”称为“既是A类又是B 类的元素”,“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。

容斥原理

容斥原理

第一讲容斥原理两者之间的容斥原理:(1)如果被计数的事物有A、B两类,那么A、B两类个数总和=A类个数+B类个数-A、B共有的个数(2)重要武器——韦恩图三者之间的容斥原理:(1)如果被计数的事物有A、B、C三类,那么A、B、C 三类个数总和=A类个数+B类个数+C类个数-A、B共有的个数-A、C共有的个数-B、C共有的个数+A、B、C共有的个数。

(2)三者韦恩图1、张明一家有三口人,李华一家有五口人,为什么两家一共只有五口人?2、两队母女做十字绣,一人绣了一件,最后却只有三件,为什么?【例1】五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课的成绩是优秀,其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人,语文、数学都优秀的有多少人?【例2】五年级二班40名同学,其中有25人没参加数学小组,有18人参加航模小组,有10人两个小组都参加,那么只参加了一个小组的学生有多少人?【例3】明天小学举行长跑和游泳比赛,共305人参加。

有150名男生和90名女生参加长跑比赛,有120名男生和70名女生参加游泳比赛,有110名男生两项比赛都参加了。

请问:只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人?【例4】三位基金经理投资若干只股票。

张经理买过其中66只,王经理买过其中40只,李经理买过23只。

张经理和王经理都买过的有17只,王经理和李经理都买过的有9只,三个人都买过的有6只。

请问:那么这三位经理一共买过多少只股票?【例5】培英学校有学生1000人,其中500人订阅了《中国少年报》,350人订阅了《少年文艺》,250人订阅了《数学报》,至少订阅两种报刊的有400人,订阅了三种报刊的有100人。

请问:这个学校有多少人没有订报?。

容斥原理和包含排斥原理

容斥原理和包含排斥原理

容斥原理和包含排斥原理容斥原理和包含排斥原理是概率论中常用的两个方法。

它们可以用来计算概率,计算组合数,以及解决其他一些概率统计上的问题。

容斥原理是指,如果我们要计算两个集合的并集,可以先计算它们的交集,再分别计算它们的差集,最后把差集相加即可。

具体来说,设 A 和 B 是两个集合,则它们的并集可以表示为:A ∪B = A + B - A ∩ B这里的 A ∩ B 表示 A 和 B 的交集,即 A 和 B 中都有的元素。

上式的含义是,我们把 A 和 B 的元素都加起来,但是要把 A 和 B 的交集中的元素从其中减去,避免重复计数。

A ∪B ∪C = A + B + C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C包含排斥原理是容斥原理的一种扩展形式。

它可以解决更复杂的问题,如计算三个以及更多集合的交集大小。

它的基本形式是:|A ∩ B ∩ C ∩ D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ D| - |B ∩ C| - |B ∩ D| - |C ∩ D| + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D| - |A ∩ B ∩ C ∩ D|这个式子的含义是,我们把 A、B、C 和 D 的元素都加起来,但是要把 A 和 B、A和 C、A 和 D、B 和 C、B 和 D、C 和 D、A、B、C 和 D 的交集从中减去,避免重复计数,然后再加上 A 和 B、A 和 C、A 和 D、B 和 C、B 和 D、C 和 D、A、B、C 和 D 的交集,避免漏掉某些元素,最后再减去 A、B、C 和 D 的交集,避免重复计数。

总之,容斥原理和包含排斥原理都是非常有用的工具,能够帮助我们解决各种概率统计上的问题。

在实际应用中,我们可以根据具体情况选择使用哪种方法,以获得更精确的结果。

容斥原理

容斥原理

3.3 容斥原理的应用
例3:从100到999共900个三位数中,相邻 数字不相等的三位数共有多少个?
例5 在数码1,2,3,4,5,6,7,8,9的全排列中,求: (1)偶数都在原来自己的位置上,而奇数都不在原 来位置上的错排数目; (2)奇数都在原来自己的位置上,而偶数都不在原 来位置上的错排数目; (3)求所有奇数都不在原位置的错排数; (4)求所有偶数都不在原位置的错排数; 例6 求8个字母a,b,c,d,e,f,g,h的全部排列中,只有 四个元素不在原来位置上的排列种数(原来位置指 字母的自然顺序)。
• 例2:某班有25名学生,其中有16人学英语,12 人学日语,6人兼学日语和英语,5人兼学英语和 德语,有2人兼学这3门外语,学德语的8人均兼 学英语或日语。问该班不学这三门外语的有多少 人?
• 例3:1与1000之间不能被5,6,8整除的整 数有多少个?
• 例4:求由a,b,c,d四个字符构成的n位符号串 中,a,b,c,d至少出现一次的符号串的数目。
带有禁止模式的排列问题
重复数有限的集合的组合数
例11. 求长为5的二进制数的个数,要求其中每 个1都与另一个1相邻. 例12. 在所有的n位数中,含有3,8,9,但是不包含 0,4的数有多少个? 例13. 求能被5或7整除,但不能被3整除的三位 数的个数.
例14. 满足下列条件的正整数的全体用集合S 表示:”各位数字不同,且任意两位数字的和不 为9.”这里,S的元素用十进制表示,且S含1位 整数.
第三章
容斥原理
3.1 引论
在这一章,将得出并应用一个重要的计数公式,叫做容斥原 理。回忆加法原理在集合间不相重迭的情况下,即在这些集合确 定一个划分的情况下,给出了这些集合的并的成员的简单计数公 式。容斥原理则将给出最一般情形下的一个公式,此时集合间可 以重迭而没有限制,这个公式应该更复杂,但是应用也将更广泛。 容斥原理又叫逐步淘汰原理,是组合分析中十分常用、十分 重要的计数原理,甚至在概率论和数论等领域也经常应用这个原 理。容斥原理的基本思考方法是将难的问题分解成若干简单的问 题,通过对这些简单问题的结果代数求和来得到这个难的问题的 解,也就是通过间接计数来解决直接计数不容易解决的问题。

容斥原理和广义容斥原理

容斥原理和广义容斥原理

容斥原理和广义容斥原理容斥原理和广义容斥原理是组合数学中常用的计数方法,用于解决涉及多个集合的计数问题。

它们通过巧妙地利用集合的交和并的关系,能够将复杂的计数问题简化为容易处理的子问题,从而提高计数问题的解决效率。

容斥原理是指通过计算每个集合的元素个数,再减去同时属于两个或多个集合的元素个数,从而得到所有集合的总元素个数。

它的基本思想是,对于一个元素可能属于多个集合的情况,我们不能简单地将其计入每个集合的元素个数中,而是需要进行修正,避免重复计数。

容斥原理可以用于解决两个集合的计数问题,也可以推广到多个集合的情况。

广义容斥原理则是对容斥原理的进一步推广和应用。

在容斥原理中,我们只考虑了两个集合之间的交和并关系,而在广义容斥原理中,我们考虑了多个集合之间的交和并关系。

通过逐步添加和减去集合的交集,我们可以得到所有集合的并集和交集的元素个数。

广义容斥原理的应用范围更广,可以解决更为复杂的计数问题。

容斥原理和广义容斥原理的应用场景非常广泛。

在组合数学中,它们被广泛应用于计数问题的求解。

比如,在排列组合问题中,我们经常需要计算满足某些条件的排列或组合的个数。

容斥原理和广义容斥原理可以帮助我们将复杂的条件拆解成多个简单的条件,从而更容易进行计数。

此外,容斥原理和广义容斥原理还可以应用于概率论、图论、数论等领域,解决各种不同类型的计数问题。

在实际应用中,我们可以通过具体的例子来理解容斥原理和广义容斥原理的计数思想。

假设有三个集合A、B、C,我们需要计算满足至少属于一个集合的元素个数。

首先,我们计算每个集合的元素个数,分别为|A|、|B|、|C|。

然后,我们计算两两集合的交集元素个数,分别为|A∩B|、|A∩C|、|B∩C|。

接下来,我们计算三个集合的交集元素个数,即|A∩B∩C|。

最后,根据容斥原理,我们可以得到满足至少属于一个集合的元素个数为:|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。

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Rn | A1 A2 An | 并称子集A1 , A2 , , An具有对称性质.
21
定理4.2.4 (对称原理、对称筛) 若子集A1 , A2 , , An 具有对称性质, 则有
| A1 A2
n n
An
|
1
R1
2
R2
(1)n1
n n
Rn
n n
N [0]
R0
1
R1
2
R2
18
例2 设某班共有学生30名,本学期开设日、德、 法三门外语供学生选修. 班里选修日语的有15 名, 选修德语、法语的各14名, 同时选修德语和 日语的有7名, 同时选修日语和法语的有6名, 同 时选修法语和德语的有6名, 三门全选修的有3 名, 问该班选修外语恰好k门的学生各有多少? 解 令S {a1 , a2 , , a30 },用A1 , A2 , A3分别表示 S中的学生选修日、德、法各种外语的学生集 合.则
N[1]
q1
C21q2
C
1 3
q3
43 2 19
33
14
N[2] q2 C32q3 19 3 3 10
N[3] q3 3
20
如果性质P1 , P2 , , Pn是对称的,即具有k个性质 的事物的个数总是等于同一个数值, 则称这个 值为公共数, 记作Rk , 即 R1 | A1 || A2 | | An | R2 | A1 A2 || A1 A3 | | An1 An | R3 | Ai Aj Ak |, 1 i j k n
这说明计算一个集合的元素个数时,有时间 接计算比直接计算更为简单.
2
预备知识 - -集合论知识初步: 设A, B,C, S是集合,集合主要有以下运算: (1) 集合的并(和): A B或A B; (2)集合的交(积): A B或AB; (3) 集合的差: A B, A B A B A AB; (4) 集合的非 : A S A (S为全集) 集合的运算满足下列定律: (1) 交换律 : A B B A, AB BA; (2) 结合律 : ( A B) C A (B C ),
1i jn
1i jk n
(1)n1 | A1 A2 An |
5
证 n = 2时,由引理知结论成立.
设对n - 1时结论成立,即
| A1 + A2 + An1 |
n1
| Ai |
| Ai Aj |
| Ai Aj Ak |
i 1
1i jn1
1i jk n1
(1)n2 | A1 A2 An1 |
第四章 容斥原理
4.1 引言
在用加法原理解决组合计数问题时,常常要求 将计数的集合划分为若干个互不相交的子集, 且这些子集比较容易计数. 问题:当集合不能或不易划分为既容易计数又
两两不相交的子集时, 如何解决此类计 数问题?
1
例 求在1,2, ,600中不能被6整除的数的个数.
解 首先计算1到600中能被6整除的整数的 个数,因为每6个连续的整数中,有且只有一个 数能被6整除,所以1到600中能被6整除的整 数的个数为600÷6 = 100,而不能被6整除的 整数的个数为600 - 100 = 500个.
1i jn
(| A2 A3 | | A2 An |) | An1 An |
q3
| Ai Aj Ak | [(| A1 A2 A3 | | A1 A2 A4 |
1i jk n
| A1 A2 An |) (| A1 A3 A4 | | A1 A3 A5 |
| A1 A3 An |) | A1 An1 An |] [(| A2 A3 A4 |
25
一般地 | Ai1 Ai2 Aik | (n k )!, k 1, 2, , n
i 1
i 1
1i jn1
1i jk n1
(1)n2 | A1 A2 An1 | | An |
n1
| An Ai |
| Ai Aj An |
i 1
1i jk n1
(1)n1 | A1 A2 An1 An |
n
| Ai |
| Ai Aj |
| Ai Aj Ak |
i 1
1i jn
1000 (200 166 125)(33 25 41) 8 600
一般地,如何计算S里恰好具有P中k个性质 的元素个数?
设集合S, Ai是S上具有性质Pi的元素集,令 q0 | S |
15
n
q1 | Ai | | A1 | | A2 | | An |
i 1
q2
| Ai Aj | (| A1 A2 | | A1 A3 | | A1 An |)
1000 30
33
|
A1
A3|=
1000 [5,8]
1000 40
25
|
A2
A3|=
1000 [6,8]
1000 24
41
|
A1
A2
A3|=
1000 [5,6,8]
1000 120
8
14
所以1到1000中不能被5、6、8整除的数的个数为
| A1 A2 A3 || S | (| A1 | | A2 | | A3 |) (| A1 A2 | | A1 A3 | | A2 A3 |) | A1 A2 A3 |
(2) 当统计S中恰好具有k种性质(特征)的元素个 数时,即求N[k],可利用逐步淘汰原理或一般公式.
23
(3) 当统计S中至少具有一种性质(特征)的元素 个数时,可利用容斥原理或计算|S|-N[0].
(4)因为|S|=N[0] N[1] N[2] N[n],故由 此式可求S中至少具有k种性质(特征)的元素个 数L[k] :
n1
An Ai An Ai | An Ai |
| Ai Aj An |
i 1
i 1
i 1
1i jk n1
| Ai Aj Ak An |
1i jk n1
(1)n2 | A1 A2 An1 An |
7
于是
n
n1
Ai | Ai |
| Ai Aj |
| Ai Aj Ak |
| A1 A2 An1 An |
An |
于是可得容斥原理的一般形式: 17
定理4.2.3(一般公式)
N[k] =
qk
Ckk1qk1
Ck k2
qk
2
(1)nk Cnk qn
qk Ck11qk1 Ck22qk2
(1)nk
C nk n
qn
这个公式又称为Jordan公式.
用一般公式可以计算集合S里恰好具有k个性质 的元素的个数.
(1)n
n n
Rn
,
其中R0 | S |
k n k 1 n
N[k]
k
k
Rk
k
k
1
Rk 1
k 2 n
k
k
2
Rk 2
(1)nk
n
k
n n
Rn
22
在应用容斥原理求解计数问题时,可按下列步骤 进行: (1) 根据问题的实际情况, 构造一个有限集 S={e1 , e2 , , et }和一个性质集P {P1 , P2 , , Pn }, Ai 是S中具有性质Pi的所有元素组成的子集, 问 题的关键是构造的性质集P,要使得 | Ai1 Ai2 Aik | 容易计算出来.(k 1, 2, , n)
解 令S {1, 2, ,1000}
A1 { x S | x能被5整除}
A2 { x S | x能被6整除}
A3 { x S | x能被8整除}

|
A1
|
1000 5
200
|
A2
|
1000 6
166
|
A3
|
1000 8
125
13
|
A1
A2|=
1000 [5,6]
1i jkn
中被统计Ck3次, 在
| Ai1 Ai2
1i1 i2 ik n
Aik 中 | 被
统计C
k k
次,而在右边其余各项中均被统计0次,
于是a在右边被统计的总数为
Ck0 Ck1 Ck2 (1)k Ckk (1 1)k 0
12
例1 求在1和1000之间不能被5、6和8整除的数 的个数.
1i jk n
(1)n1 | A1 A2 An |
8
定理4.2.2(逐步淘汰原理) 设A1 , A2 , , An为 有限集合S的子集合,则
| A1 A2
n
An || S | | Ai |
| Ai Aj |
i 1
1i jn
| Ai Aj Ak | (1)n | A1 A2 An |
S Ai {x S | x不具有性质Pi } A1 A2 An ={x S | x不具有P中任何性质}
10
式(*)左边是S中不具有性质集合P中任何一种 性质的元素的个数,因此只需证明对S中的任何 一个元素a,如果a不具有P中任何一个性质,则a 在(*)式右边被统计一次,否则a被统计0次. 首先,设a S且a不具有P中任何性质,则a不属 于任何一个Ai 或若干个Ai的交集,因此a在右边 被统计的次数为
1 0 0 (1)n 0 1
其次,若a S,且a同时具有P中的k种性质,那么,
11
子集A1 , A2 , , An中必有某k个都含有a,于是a在
n
| S |中被统计一次,在| Ai | 中被统计k次, 在
i 1
| Ai Aj |中被统计Ck2次,在
| Ai Aj Ak |
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