容斥原理
容斥原理集合公式card
容斥原理集合公式card摘要：I.引言- 容斥原理简介- 集合公式card 的背景II.容斥原理的基本概念- 集合的表示- 集合的运算- 容斥原理的基本公式III.集合公式card 的推导- 集合公式card 的定义- 集合公式card 的性质- 集合公式card 的推导过程IV.容斥原理集合公式card 的应用- 集合的交、并、补运算- 容斥原理在实际问题中的应用V.结论- 容斥原理集合公式card 的重要性- 未来研究方向正文：I.引言容斥原理，作为集合论中的一个重要理论，为我们研究集合之间的关系提供了有力的工具。
在数学、物理、计算机科学等多个领域中都有着广泛的应用。
而集合公式card，作为容斥原理中的一个重要概念，对于理解容斥原理有着至关重要的作用。
本文将主要介绍容斥原理以及集合公式card 的相关知识。
II.容斥原理的基本概念首先，我们需要了解一些集合论的基本概念。
集合论是数学的一个分支，主要研究集合的性质及其运算。
一个集合可以表示为元素之间的集合关系，例如{1, 2, 3}表示一个包含元素1、2、3 的集合。
集合之间可以进行一些基本的运算，如并集、交集和补集等。
例如，A∪B 表示集合A 和集合B 的并集，包含A 和B 中的所有元素；A∩B 表示集合A 和集合B 的交集，包含既属于A 又属于B 的所有元素；A"表示集合A 的补集，包含所有不属于A 的元素。
容斥原理是描述集合之间这些运算性质的一个理论。
它告诉我们，在进行集合运算时，可以通过引入一些虚拟元素来简化计算。
例如，在计算A∪B 时，我们可以引入一个虚拟元素“空集”，表示不包含任何元素的集合。
然后，我们可以将A 和B 分别与空集进行并集运算，从而简化计算过程。
III.集合公式card 的推导集合公式card 是容斥原理中的一个重要概念，它表示集合的基数，即集合中元素的个数。
我们可以通过以下方式推导集合公式card：首先，我们考虑一个包含n 个元素的集合。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中的一种重要方法，常常用于求解集合的并、交、差等问题。
它的应用范围非常广泛，涉及到概率论、数论、组合数学等多个领域。
在实际问题中，我们经常需要利用容斥原理来解决一些复杂的计数问题。
下面，我们将介绍容斥原理的相关公式，希望能够对大家有所帮助。
1. 两个集合的容斥原理公式。
对于两个集合A和B，它们的元素个数分别为|A|和|B|，那么它们的并集元素个数为|A∪B|，则有：|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。
这个公式非常直观，它的意义在于，我们先把A和B的元素个数加起来，然后减去A和B的交集元素个数，这样得到的结果就是A和B的并集元素个数。
2. 三个集合的容斥原理公式。
对于三个集合A、B和C，它们的元素个数分别为|A|、|B|和|C|，那么它们的并集元素个数为|A∪B∪C|，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这个公式是两个集合容斥原理的推广，它的推导过程可以通过画Venn图来理解。
在实际问题中，我们经常会遇到三个集合的容斥原理的应用，比如在概率论中的概率计算问题。
3. n个集合的容斥原理公式。
对于n个集合A1、A2、...An，它们的并集元素个数为|A1∪A2∪...∪An|，则有：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
这个公式是容斥原理的一般形式，它适用于任意个集合的情况。
在实际问题中，当我们需要求解多个集合的并集元素个数时，可以利用这个公式来进行计算。
4. 容斥原理的应用举例。
下面通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。
假设有一个集合A，它包含了1到100之间所有能被2、3或5整除的整数，我们需要求集合A的元素个数。
这个问题可以通过容斥原理来解决。
首先，分别求出能被2、3和5整除的整数的个数，然后分别两两求交集的个数，最后再求三者的交集的个数，然后代入容斥原理的公式，即可得到集合A的元素个数。
容斥原理的应用举例
容斥原理的应用举例什么是容斥原理容斥原理是概率论、组合数学中常用的一种计数方法，它用于求解多个事件的并或交的概率或数量。
容斥原理是以集合论为基础的一种推理思想，通过排除重复计数，从而得到准确的计数结果。
容斥原理的公式容斥原理的公式可以表示为：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1∩ A3| - ... - |An-1 ∩ An| + |A1 ∩ A2 ∩ A3| + ... + (-1)^(n-1) * |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|其中，|A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| 表示事件 A1、A2、…、An 的并的概率或数量，|A1| 表示事件 A1 的概率或数量，|A1 ∩ A2| 表示事件 A1 和 A2 的交的概率或数量，以此类推。
容斥原理的应用举例容斥原理在组合数学和概率论中有广泛的应用，下面举几个例子来说明容斥原理的具体应用。
例子1：求解有限集合的元素个数假设有三个集合 A、B、C，它们分别有 |A|、|B|、|C| 个元素，求这三个集合的并集的元素个数。
根据容斥原理的公式，有：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |D|其中，|A ∩ B| 表示集合 A 和 B 的交的元素个数，以此类推。
例子2：求解排列组合中不满足条件的情况假设有两个集合 A 和 B，它们分别有 |A|、|B| 个元素，要求从 A 和 B 中选择指定数量的元素排列组合，但要满足某个特定的条件，那么可以使用容斥原理来计算不满足条件的情况。
Count = |A| * |B| - |A ∩ B|其中，|A ∩ B| 表示满足条件的情况。
例子3：求解事件的概率假设有三个事件 A、B、C，它们分别发生的概率分别为 P(A)、P(B)、P(C)，求这三个事件的并的概率。
容斥原理
容斥原理（Inclusion–exclusion principle），是指在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
公式也可表示为设S为有限集,,则两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C详细推理如下：1、等式右边改造={[（A+B-A∩B）+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：那么A∪B∪C还缺部分7。
4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。
5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。
2严格证明对于容斥原理我们可以利用数学归纳法证明：证明：当时，等式成立()。
假设时结论成立，则当时，所以当时，结论仍成立。
因此对任意，均可使所证等式成立。
3原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B=A+B-A∩B)例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
容斥原理
第一讲容斥原理两者之间的容斥原理：（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么A、B两类个数总和=A类个数+B类个数－A、B共有的个数（2）重要武器——韦恩图三者之间的容斥原理：（1）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么A、B、C 三类个数总和=A类个数+B类个数+C类个数－A、B共有的个数－A、C共有的个数－B、C共有的个数+A、B、C共有的个数。
（2）三者韦恩图1、张明一家有三口人，李华一家有五口人，为什么两家一共只有五口人？2、两队母女做十字绣，一人绣了一件，最后却只有三件，为什么？【例1】五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人，语文、数学都优秀的有多少人？【例2】五年级二班40名同学，其中有25人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加，那么只参加了一个小组的学生有多少人？【例3】明天小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加。
有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了。
请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？【例4】三位基金经理投资若干只股票。
张经理买过其中66只，王经理买过其中40只，李经理买过23只。
张经理和王经理都买过的有17只，王经理和李经理都买过的有9只，三个人都买过的有6只。
请问：那么这三位经理一共买过多少只股票？【例5】培英学校有学生1000人，其中500人订阅了《中国少年报》，350人订阅了《少年文艺》，250人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人。
请问：这个学校有多少人没有订报？。
容斥原理和包含排斥原理
容斥原理和包含排斥原理容斥原理和包含排斥原理是概率论中常用的两个方法。
它们可以用来计算概率，计算组合数，以及解决其他一些概率统计上的问题。
容斥原理是指，如果我们要计算两个集合的并集，可以先计算它们的交集，再分别计算它们的差集，最后把差集相加即可。
具体来说，设 A 和 B 是两个集合，则它们的并集可以表示为：A ∪B = A + B - A ∩ B这里的 A ∩ B 表示 A 和 B 的交集，即 A 和 B 中都有的元素。
上式的含义是，我们把 A 和 B 的元素都加起来，但是要把 A 和 B 的交集中的元素从其中减去，避免重复计数。
A ∪B ∪C = A + B + C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C包含排斥原理是容斥原理的一种扩展形式。
它可以解决更复杂的问题，如计算三个以及更多集合的交集大小。
它的基本形式是：|A ∩ B ∩ C ∩ D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ D| - |B ∩ C| - |B ∩ D| - |C ∩ D| + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D| - |A ∩ B ∩ C ∩ D|这个式子的含义是，我们把 A、B、C 和 D 的元素都加起来，但是要把 A 和 B、A和 C、A 和 D、B 和 C、B 和 D、C 和 D、A、B、C 和 D 的交集从中减去，避免重复计数，然后再加上 A 和 B、A 和 C、A 和 D、B 和 C、B 和 D、C 和 D、A、B、C 和 D 的交集，避免漏掉某些元素，最后再减去 A、B、C 和 D 的交集，避免重复计数。
总之，容斥原理和包含排斥原理都是非常有用的工具，能够帮助我们解决各种概率统计上的问题。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择使用哪种方法，以获得更精确的结果。
容斥原理
3.3 容斥原理的应用
例3：从100到999共900个三位数中，相邻 数字不相等的三位数共有多少个？
例5 在数码1,2,3,4,5,6,7,8,9的全排列中，求： (1)偶数都在原来自己的位置上，而奇数都不在原 来位置上的错排数目； (2)奇数都在原来自己的位置上，而偶数都不在原 来位置上的错排数目； (3)求所有奇数都不在原位置的错排数； (4)求所有偶数都不在原位置的错排数； 例6 求8个字母a,b,c,d,e,f,g,h的全部排列中，只有 四个元素不在原来位置上的排列种数（原来位置指 字母的自然顺序）。
• 例2：某班有25名学生，其中有16人学英语，12 人学日语，6人兼学日语和英语，5人兼学英语和 德语，有2人兼学这3门外语，学德语的8人均兼 学英语或日语。问该班不学这三门外语的有多少 人？
• 例3：1与1000之间不能被5，6，8整除的整 数有多少个？
• 例4：求由a,b,c,d四个字符构成的n位符号串 中，a,b,c,d至少出现一次的符号串的数目。
带有禁止模式的排列问题
重复数有限的集合的组合数
例11. 求长为5的二进制数的个数,要求其中每 个1都与另一个1相邻. 例12. 在所有的n位数中,含有3,8,9,但是不包含 0,4的数有多少个? 例13. 求能被5或7整除,但不能被3整除的三位 数的个数.
例14. 满足下列条件的正整数的全体用集合S 表示:”各位数字不同,且任意两位数字的和不 为9.”这里,S的元素用十进制表示,且S含1位 整数.
第三章
容斥原理
3.1 引论
在这一章，将得出并应用一个重要的计数公式，叫做容斥原 理。回忆加法原理在集合间不相重迭的情况下，即在这些集合确 定一个划分的情况下，给出了这些集合的并的成员的简单计数公 式。容斥原理则将给出最一般情形下的一个公式，此时集合间可 以重迭而没有限制，这个公式应该更复杂，但是应用也将更广泛。 容斥原理又叫逐步淘汰原理，是组合分析中十分常用、十分 重要的计数原理，甚至在概率论和数论等领域也经常应用这个原 理。容斥原理的基本思考方法是将难的问题分解成若干简单的问 题，通过对这些简单问题的结果代数求和来得到这个难的问题的 解，也就是通过间接计数来解决直接计数不容易解决的问题。
容斥原理和广义容斥原理
容斥原理和广义容斥原理容斥原理和广义容斥原理是组合数学中常用的计数方法，用于解决涉及多个集合的计数问题。
它们通过巧妙地利用集合的交和并的关系，能够将复杂的计数问题简化为容易处理的子问题，从而提高计数问题的解决效率。
容斥原理是指通过计算每个集合的元素个数，再减去同时属于两个或多个集合的元素个数，从而得到所有集合的总元素个数。
它的基本思想是，对于一个元素可能属于多个集合的情况，我们不能简单地将其计入每个集合的元素个数中，而是需要进行修正，避免重复计数。
容斥原理可以用于解决两个集合的计数问题，也可以推广到多个集合的情况。
广义容斥原理则是对容斥原理的进一步推广和应用。
在容斥原理中，我们只考虑了两个集合之间的交和并关系，而在广义容斥原理中，我们考虑了多个集合之间的交和并关系。
通过逐步添加和减去集合的交集，我们可以得到所有集合的并集和交集的元素个数。
广义容斥原理的应用范围更广，可以解决更为复杂的计数问题。
容斥原理和广义容斥原理的应用场景非常广泛。
在组合数学中，它们被广泛应用于计数问题的求解。
比如，在排列组合问题中，我们经常需要计算满足某些条件的排列或组合的个数。
容斥原理和广义容斥原理可以帮助我们将复杂的条件拆解成多个简单的条件，从而更容易进行计数。
此外，容斥原理和广义容斥原理还可以应用于概率论、图论、数论等领域，解决各种不同类型的计数问题。
在实际应用中，我们可以通过具体的例子来理解容斥原理和广义容斥原理的计数思想。
假设有三个集合A、B、C，我们需要计算满足至少属于一个集合的元素个数。
首先，我们计算每个集合的元素个数，分别为|A|、|B|、|C|。
然后，我们计算两两集合的交集元素个数，分别为|A∩B|、|A∩C|、|B∩C|。
接下来，我们计算三个集合的交集元素个数，即|A∩B∩C|。
最后，根据容斥原理，我们可以得到满足至少属于一个集合的元素个数为：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。
数学———容斥原理
数学———容斥原理（1）如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩：重合的部分）（把A、B两个集合的元素个数相加，因为既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
）总数=两个圆内的-重合部分的（2）如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C 类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B 类而且是C类的元素个数。
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C总数=三个圆内的—重合两次的+重合三次的【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A.22B.18C.28D.26【解析】：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A ∪B=50-28=22。
答案为A。
【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没看过的有多少人？【解析】：设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
【例题3】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A ∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
两个对象的容斥原理
两个对象的容斥原理
容斥原理是一种数学原理，它可以用来解决复杂的问题。
它的基本思想是，如果有两个事件A和B，那么它们的总概率就是A的概率加上B的概率减去A和B共同发生的概率。
容斥原理可以用来解决两个对象的问题。
例如，假设有两个对象A和B，它们的概率分别为P(A)和P(B)。
如果要计算A和B的总概率，可以使用容斥原理，即P(A)+P(B)-P(A∩B)。
容斥原理可以用来解决复杂的问题，例如，假设有三个对象A、B和C，它们的概率分别为P(A)、P(B)和P(C)。
如果要计算A、B和C的总概率，可以使用容斥原理，即P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)。
容斥原理可以用来解决复杂的问题，它的优点是可以简化复杂的问题，使其变得更容易理解和解决。
它的缺点是它只能用于计算概率，而不能用于计算其他类型的数据。
总之，容斥原理是一种有用的数学原理，它可以用来解决两个对象的问题，它的优点是可以简化复杂的问题，使其变得更容易理解和解决。
容斥原理是什么意思
容斥原理是什么意思容斥原理是什么意思？当 n>1时，任何一个非空集都可以用一个数来表示。
对于集合 A，对于每一个元素 x， y，使得：当 n≥1时，都存在正整数 N，使得对于任意两个不同的元素 x， y，都有 a ≤x≤y≤a 当且仅当 A={ a}。
它们最大的不同在于，一个集合是否能够由这样一个常数 a 来唯一确定，即 a 是否是一个常量。
因此，我们又引入了另外三种等价的说法：第一种情况：多余数为零；第二种情况：奇数个整数组成的集合中至少有一个偶数；第三种情况：如果集合 A 中所含元素全部是偶数，则称 A 为偶数集。
其实，无论哪一种说法，都隐藏着一条重要的性质——容斥原理。
那就是：若 A 是偶数集，则必然包括奇数个整数。
换句话说，只要满足容斥原理， A 就是偶数集。
但是，容斥原理并没有给出具体的证明方式和步骤，而是留下了许多问题让人去探索、发现。
例如，容斥原理究竟适用于什么场景呢?比如，对于偶数集 A，它到底应该怎样解释才算恰当呢?再者，既然容斥原理已经被提出来了，那么，它会随着科学技术的进步而改变吗?还有，如果 A 真的是偶数集，那么， A 与 B 之间又有什么关系呢……带着诸多疑惑，本文将从四个角度展开讨论，分别介绍容斥原理及其推广形式，希望通过这些内容的阐述，能帮助读者更好地认识容斥原理，掌握容斥原理的精髓。
第一种情况：多余数为零；设 A 是偶数集，则 A 中至少有一个元素是0。
也就是说， A 中至少有一个元素是非负整数。
假设某次考试中，共有100名考生参加考试，其中90名考生的答案为“ A”或“ B”，那么，他们的平均值为70.5分(即，90/100);剩下10名考生的答案为“ C”或“ D”，那么，他们的平均值为71.25分(即，10/90)。
显然，后面10位考生的平均分高于前9位考生的平均分。
根据容斥原理，可知，这10名考生的答案肯定是错误的!上面的例子告诉我们，当 A 是偶数集时，多余数为零，故 A 中至少有一个元素是非负整数。
容斥原理(数学技巧点拨系列)
容斥原理【知识点讲解】1、原理容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
2、解释由图可以直接看出各部分之间的关系由Venn图可知：（A∪B=A+B-A∩B)由Venn图可知：（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）3、应用两类如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
三类如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
4、解题导语使用容斥原理一般用于集合相关问题中，但是此类思想在数学学习中仍有巨大作用。
例如在计数原理中使用间接法等等。
因此学习此类问题对数学能力的提升是有很大帮助的，它可以帮助你换一个角度看数学题，从而找到更简单的办法。
【例题详析】例1、（2020宁夏）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）A ．80B ．70C ．60D ．50【参考答案】B【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有90-60=30位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有80-60=20位，所以只阅读过《西游记》的学生共有30-20=10位，故阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70位，【方法解析】由两类的容斥原理得：总人数=阅读过《西游记》+阅读过《红楼梦》-阅读过《红楼梦》和《西游记》的，由此得阅读过《西游记》的学生人数=90+60-80=70（位）例2：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（）名．A ．62B ．56C ．46D ．42【参考答案】C【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A ，B ，依题意，集合A ，B ，A B 中元素个数分别为：()60,()82,()96n A n B n A B ==⋃=，则()()()()60829646n A B n A n B n A B ⋂=+-⋃=+-=，所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有46名.例3．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【参考答案】A 【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+46x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++解得：120n =【跟踪训练】一、单选题1．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A ．27B ．23C ．15D ．72．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（）．A．25种B．27种C．29种D．31种3．为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（）A．8B．10C．18D．204．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有（）名A．10B．12C．14D．165．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A．240B．180C．120D．606．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级优秀合格合计项目除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．207．高考“33 ”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.48．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.89．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的农户所占比例是（）A．20％B．10％C．15％D．12％10．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题11．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．12．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．13．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.14．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．15．某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是_________.16．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付､高铁､网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________. 17．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________. 18．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________19．某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.20．某班进行集体活动，为活跃气氛，班主任要求班上60名同学从唱歌、跳舞、讲故事三个节目中至少选择一个节目、至多选两个节目为大家表演，已知报名参加唱歌、跳舞、讲故事的人数分别为40，20,30，同时参加唱歌和讲故事的有15人，同时参加唱歌和跳舞的有10人，则同时只参加跳舞和讲故事的人数为__________．21．对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有________人. 22．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________【参考答案】1．B【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为U ,参加田赛项目的学生组成的集合为A ，参加径赛项目的学生组成的集合为B由题意集合A 有15个元素，B 有20个元素，A B 中有8个元素所以A B 有15+20827-=个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为5027=23-故选：B2．C【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19316-=（种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是1416129+-=（种)；分别用集合A 、B 、C 表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C ．3．B【详解】设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有x 人，则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有()28x -人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有()36x -人.由题意可得()()12283658x x x +-+-+=，解得18x =，所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为2810x -=.【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有x 名，由容斥原理得20182850x ++-=，解得16x =.故选：D.5．B【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=.6．C【详解】用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示植树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则U A ð表示除草合格的学生，则U B ð表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=．故选：C ．【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=．故选：B8．C【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选C.9．A【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，另外75家只有其中两种或一种或没有电器．设只有电冰箱和电视机的农户有a 家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b 家，只有洗衣机和电视机的农户有c 家，只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d 、e 、f 家，没有任何电器的农户有x 家．那么对于拥有电冰箱的农户可得出：2545a b e +++=①那么对于拥有电视机的农户可得出：2555a c d +++=②那么对于拥有洗衣机的农户可得出：2565b c f +++=③把上面三个式子相加可得：()290a b c d e f +++++=④对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，得到：35a b c ++=⑤把⑤代入④可得到20d e f ++=⑥因为农户共有100家，所以25100a b c d e f x +++++++=，把⑤和⑥代入上式得到20x =，即一种电器也没有的农户所占比例为20%，10．C【详解】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A ，B ，C ，集合A ，B ，C 中元素个数分别为n A ．，n B ．，n C ．，则n A ．14=，n B ．10=，n C ．8=，()20n A B C ⋃⋃=，因为()n A B C n ⋃⋃=A ．n +B ．n +C ．()()()()n A B n A C n B C n A B C -⋂-⋂-⋂+⋂⋂，且()()n A B n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n A C n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n B C n A B C ⋂⋂⋂ ，所以1410820()3()n A B C n A B C ++-+⋂⋂⋂⋂ ，即1410820()62n A B C ++-⋂⋂= ．故选：C ．11．52【详解】解：设参加羽毛球赛为集合A ，参加乒乓球赛为集合B ，依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有1762952++=人；故答案为：5212．23【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有781227++=人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723-=人.13．12【详解】设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C = ，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-= ，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1214．20【详解】设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为x ，以集合U 表示该班集体，集合A 表示参加数学竞赛的学生组成的集合，集合B 表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：由题意可得()()322856545x x x x -++-+=-=，解得20x =.故答案为：20.15．7【详解】设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为y ，则352048x y +-+=，即7x y -=，因为0y，所以7x .因为20x ，所以720x .故答案为：7.16．710##0.7【详解】根据题意，将使用过移动支付､共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为6010710010+=.故答案为：710.17．5【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，同时参加数学和化学小组的人数为x ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，如图所示：由图可知：20654939x x x -+++++-=，解得5x =，所以同时参加数学和化学小组有5人.故答案为：5.18．28【详解】6 人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40634-=人；∴喜欢两项运动的人数为：2416346+-=人，∴喜欢篮球的人数为24618-=人；喜欢乒乓球的人数为16610-=人；∴只喜欢其中一项运动的人数为181028+=人.故答案为：28.19．5【详解】以集合A 、B 、C 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有x 人，由图可得()()()209111555245x x x x x +-+-+-+=-=，解得5x =.故答案为：5.20．5【详解】参加唱歌、跳舞、讲故事的人分别用集合,,A B C 表示，作出Venn 图，如图，图中字母表示相应区域人数，则0n =，又40a b m ++=，20b c d ++=，30d e m ++=，15m =，10b =，60a b c d e m +++++=，则()()()a b m b c d d e m b m ++++++++--2a b c d e m =+++++，∴4020301510605d =++---=，∴同时只参加跳舞和讲故事的人数为5人．故答案为：5．21．18【详解】赞成A 的人数为340245⨯=，赞成B 的人数为24327+=，设对A 、B 都赞成的学生有x ，则112724403x x x x ++-++-=，解得18x =.故答案为：18.22．3【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)，因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)，-=所以没有观看任何一支短视频的人数为50473。
容斥原理课
9、六年级一班有45名同学，每人都参加暑假体育培训班，其中足球班报25人，篮球班报20人，游泳班报30人，足球、篮球都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。问三项都报的有多少人？
10、向50名同学调查春游去颐和园还是去动物园的态度，赞成去颐和园的人数是全体的 3/5，其余不赞成；赞成去动物园的比赞成去颐和园的学生多3人，其余不赞成，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的1/3多1人，同时去颐和园和去动物园都赞成和都不赞成的学生各有多少人？
例9：甲、乙、丙同时给100盆花浇水。已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？
例10：某班同学参加期末测试，得优秀成绩的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科都是优秀成绩的有8人，数学、语文两科成绩都是优秀的有7人，语文、英语两科成绩都是优秀的有9人，三科都没得优秀成绩的有3人。请问：这个班最多有多少人？最少有多少人？
例1：一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？
例2：一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。问：两题都做错的有多少人？
例3：李老师出Biblioteka 两道题，全班40人中，第一道题有30人对，第2题有12人未做对，两题都做对的有20人。请问：
例6.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？
例7.有128位旅客，其中25人既不懂英语、又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语，请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？
容斥原理4个集合公式
容斥原理4个集合公式容斥原理是概率论中非常重要的一个工具，用于求解复杂问题中的概率。
容斥原理有4个集合公式，它们在求解问题时起到了重要的作用。
首先，我们来介绍容斥原理的第一个公式。
假设有两个集合，分别记作A和B，那么它们的并集的概率可以用下面的公式来表示：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
这个公式的意思是，将集合A和集合B的概率相加，然后再减去它们的交集的概率，就可以得到它们的并集的概率。
接下来，我们来介绍容斥原理的第二个公式。
假设有三个集合，分别记作A、B和C，那么它们的并集的概率可以用下面的公式来表示：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)。
这个公式的意思是，将集合A、集合B和集合C的概率相加，然后减去它们两两相交的部分的概率，再加上它们三个都相交的部分的概率，就可以得到它们的并集的概率。
然后，我们来介绍容斥原理的第三个公式。
假设有四个集合，分别记作A、B、C和D，那么它们的并集的概率可以用下面的公式来表示：P(A∪B∪C∪D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(A∩D) - P(B∩C) - P(B∩D) - P(C∩D) + P(A∩B∩C) +P(A∩B∩D) + P(A∩C∩D) + P(B∩C∩D) - P(A∩B∩C∩D)。
这个公式的意思是，将集合A、集合B、集合C和集合D的概率相加，然后减去它们两两相交的部分的概率，再加上它们三个相交的部分的概率，最后再减去它们四个都相交的部分的概率，就可以得到它们的并集的概率。
最后，我们来介绍容斥原理的第四个公式，即n个集合的并集的概率。
假设有n个集合，分别记作A1、A2、...、An，那么它们的并集的概率可以用下面的公式来表示：P(A1∪A2∪...∪An) = ΣP(Ai) -ΣP(Ai∩Aj) + ΣP(Ai∩Aj∩Ak) - ... + (-1)^(n-1) *P(A1∩A2∩...∩An)，其中Σ表示求和，Ai表示第i个集合，Ai∩Aj 表示第i个集合与第j个集合的交集，以此类推。
集合之四：容斥原理
集合之四：容斥原理问题两个集合容斥问题容斥原理一：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类元素个数+B 类元素个数=既是A类又是B类的元素个数+A类或B类元素个数。
写成公式形式即：｜A U B｜＝｜A｜+｜B｜一｜A∩B｜韦恩图：解决简单的两类或三类被计数事物之间的重叠问题时采用韦恩图会更加便捷、直接。
【例】1四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？（）A．13 B．22 C．33 D．41【例】2五年级有122名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？（）A．30 B．35 C．57 D．65【例】3学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。
这个文艺组共有多少人？（）A．25 B．32 C．33 D．41【例】4某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（）A．1 B．2 C．3 D．4三个集合容斥问题容斥原理二：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类元素个数+B 类元素个数+C类元素个数=A类或B类或C类元素个数+既是A类义是B类的元素个数+既是A类又是B类的元素个数+既是B类又是C类元素个数—既是A 类又是B类而且是C类的元素个数。
写成公式形式即：｜A U B U C｜＝｜A｜+｜B｜+｜C｜—｜A∩B｜—｜B∩C｜—｜C∩A｜+｜A∩B∩C｜【例】5某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名？（）A．12 B．14 C．16 D．18【例】6对厦门大学计算机系100名学生进行调查，结果发现他们喜欢看NBA 和足球、赛车。
两集合容斥公式原理
两集合容斥公式原理
容斥原理是数理逻辑中的基本定理，它指出任何两个集合之间都存在着排斥关系，即任何两个集合之间都不能同时被“包括”。
因为任何一个集合都是由至少一个元素所构成的，即不能把某个元素包含在另一个集合中。
因此，在数理逻辑中，容斥原理的主要作用就是说明“不能包含”这一事实。
我们知道，在数理逻辑中，若A=B，则B也是A的子集；若B=A+C，则C也是A的子集；若C=B+D，则D也是B的子集。
因此，对于任意两个集合X和Y，它们都可以通过容斥原理推出另一个集合X和Y。
而X和Y都是非空集合。
数学中有一类特殊的命题：如果存在两个元素x,y，那么存在一个元素x使得y=x+y，则x与y都可以包含在y中。
这种命题称为两集合容斥定理。
证明：设X=(pi)i=0(p0为集合P的元素）且pi为任意两个元素的交集：
式中Pi为两个元素的交集：
又因为集合P可通过容斥原理推出X与Y，所以我们称这个定理为两集合容斥定理。
—— 1 —1 —。
容斥原理
容斥原理在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理1：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A 类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
容斥原理2：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
牛吃草问题概念及公式牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。
典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰1) 设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
时钟问题研究钟面上时针和分针关系的问题。
高中数学,容斥原理
容斥原理是一种常见的统计原理，它主要应用于多个集合的交集和并集的计算。
在高中数学中，容斥原理的应用非常广泛，尤其是在解决组合问题、排列问题、计数问题等方面。
下面我将从定义、应用和注意事项三个方面，详细介绍高中数学中的容斥原理。
一、容斥原理的定义容斥原理的基本思想是，当两个集合不重叠时，它们的并集的数量可以看作是两个集合数量的和，减去重叠数量的两倍。
具体来说，假设我们有两个集合A和B，它们的并集数量为N，重叠数量为K，那么A中元素属于B或B中元素属于A的数量为N-K。
同时，我们需要减去A和B完全重叠的元素数量，即K。
这个原理可以用公式表示为：(A∪B)个案数= A个案数+ B个案数- (A∩B)个案数。
二、容斥原理的应用1. 组合问题：在解决组合问题时，常常需要考虑多个事件同时发生的情况。
例如，从n个人中选出m个组成一个小组，需要考虑到每个人是否被选中。
这时，我们可以用容斥原理来计算选出小组的总人数和被选中的人数。
2. 排列问题：在解决排列问题时，也常常需要考虑多个事件同时发生的情况。
例如，将n 个元素按照一定的顺序排列，需要考虑元素之间的顺序关系。
这时，我们可以用容斥原理来计算所有可能的排列数和满足某种条件的排列数。
3. 计数问题：在解决计数问题时，需要考虑到一些条件对计数的影响。
例如，计算从n个元素中取出k个元素的方案数时，需要考虑k的取值范围和元素之间的相关性。
这时，我们可以用容斥原理来计算总的方案数和满足条件的方案数。
三、注意事项1. 容斥原理的前提条件是两个集合之间没有重叠。
如果两个集合之间有重叠，那么需要使用其他的方法来计算它们的并集数量和重叠数量。
2. 在使用容斥原理时，需要正确理解公式中的各个量所代表的含义，并且需要仔细考虑问题中的条件和限制。
3. 容斥原理的应用范围比较广泛，需要灵活运用公式和方法来解决不同类型的问题。
总之，容斥原理是高中数学中一个非常重要的统计原理，它可以帮助我们更好地理解和解决组合、排列、计数等问题。
第八讲 容斥原理
第8讲 容斥原理一、知识点：容斥原理类型一：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，甲类或乙类个数=甲类个数+乙类个数－既甲类又乙类的物体个数 容斥原理类型类型二：如果被统计的事物有甲、乙两类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－甲类或乙类个数 容斥原理类型类型三：如果被统计的事物有甲、乙两类、既非甲类又非乙类，那么，既甲类又乙类的物体个数=甲类个数+乙类个数－（总体共有个数—既非甲类又非乙类个数）森林里住着很多动物，狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。
”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计兽类的种类，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我算兽类。
”结果统计出森林中共有70种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。
”这个统计对吗？ 现在我们用维恩图表示：要求鸟类与兽类共多少种,可以：+得出结论：鸟类与兽类共多少种=鸟类+兽类— 蝙蝠这个故事反映的是一个数学原理，我们把这个数学原理称为包含排除原理，即容斥原理。
鸟类 80 种兽类 70种蝙蝠 1种鸟类与兽类共？ 兽类70种鸟类—蝙蝠=79（种）二、例题讲解：包含与排除问题其实也叫容斥问题。
A AB B （韦恩图）（1)容斥原理的第一种类型：例题1：四年级(2)班每人都参加了一种兴趣小组，参加舞蹈组的有23人，参加合唱团的有40人，既参加舞蹈组又参加合唱团的有15人，全班共有多少人？ 练习：1、四年甲班学生采集标本，采到昆虫标本的有26人，采到植物标本的有32人，两种豆采到的有10人，全班有学生多少人？2、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。
这个文艺组一共有多少人？甲类乙类即甲 又乙 维恩图合唱团 40人舞蹈组 23人15人共？植物标本 32人昆虫标本 有26人10人共？如果被统计的事物有甲、乙两类，那么， 甲和乙的总个数=甲个数+乙个数－既是甲又是乙的个数。
第4章 容斥原理
1 2 m 1 2 1 2
(1) m1
m
m
i 1
m
A
i
1i j m
AA
i i j k
j
1i j k m
AA A
(1) m1
AA
1
2
Am
利用容斥原理计算的基本步骤
求排列中不满足某种要求的排列方案数 步骤 1. 定义 Pj 为 X 中满足某一要求的属性，其中 X 为元素的集合 步骤 2. 定义 A j 为 S 中满足某一要求的排列构成的子集， 其中 S 为排列 的集合，使得
| A1 A2 Am |
成为不满足某种要求的排列方案数 步骤 3. 分别计算
| | | X 的排列|S|， Aj |， Ai Aj |， Ai Aj Ak |，…， A1 A2 Am | |
步骤 4. 将以上各项代入容斥原理公式中
S
i 1 m
A
i
1i j m
w(3) 8
| A1 A2 A3 | w(0) w(2) w(3) =1000-491+99-8=600
定理4.2.2 设集合S中具有性质P ={P1,P2,…,Pm}中 恰好r(0≤r ≤m)个性质的 元素的个数为：
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21
定理4.2.4 (对称原理、对称筛) 若子集A1 , A2 , , An 具有对称性质, 则有
| A1 A2
n n
An
|
1
R1
2
R2
(1)n1
n n
Rn
n n
N [0]
R0
1
R1
2
R2
18
例2 设某班共有学生30名,本学期开设日、德、 法三门外语供学生选修. 班里选修日语的有15 名, 选修德语、法语的各14名, 同时选修德语和 日语的有7名, 同时选修日语和法语的有6名, 同 时选修法语和德语的有6名, 三门全选修的有3 名, 问该班选修外语恰好k门的学生各有多少? 解 令S {a1 , a2 , , a30 },用A1 , A2 , A3分别表示 S中的学生选修日、德、法各种外语的学生集 合.则
N[1]
q1
C21q2
C
1 3
q3
43 2 19
33
14
N[2] q2 C32q3 19 3 3 10
N[3] q3 3
20
如果性质P1 , P2 , , Pn是对称的,即具有k个性质 的事物的个数总是等于同一个数值, 则称这个 值为公共数, 记作Rk , 即 R1 | A1 || A2 | | An | R2 | A1 A2 || A1 A3 | | An1 An | R3 | Ai Aj Ak |, 1 i j k n
这说明计算一个集合的元素个数时,有时间 接计算比直接计算更为简单.
2
预备知识 - -集合论知识初步: 设A, B,C, S是集合,集合主要有以下运算: (1) 集合的并(和): A B或A B; (2)集合的交(积): A B或AB; (3) 集合的差: A B, A B A B A AB; (4) 集合的非 : A S A (S为全集) 集合的运算满足下列定律: (1) 交换律 : A B B A, AB BA; (2) 结合律 : ( A B) C A (B C ),
1i jn
1i jk n
(1)n1 | A1 A2 An |
5
证 n = 2时,由引理知结论成立.
设对n - 1时结论成立,即
| A1 + A2 + An1 |
n1
| Ai |
| Ai Aj |
| Ai Aj Ak |
i 1
1i jn1
1i jk n1
(1)n2 | A1 A2 An1 |
第四章 容斥原理
4.1 引言
在用加法原理解决组合计数问题时,常常要求 将计数的集合划分为若干个互不相交的子集, 且这些子集比较容易计数. 问题:当集合不能或不易划分为既容易计数又
两两不相交的子集时, 如何解决此类计 数问题?
1
例 求在1,2, ,600中不能被6整除的数的个数.
解 首先计算1到600中能被6整除的整数的 个数,因为每6个连续的整数中,有且只有一个 数能被6整除,所以1到600中能被6整除的整 数的个数为600÷6 = 100,而不能被6整除的 整数的个数为600 - 100 = 500个.
1i jn
(| A2 A3 | | A2 An |) | An1 An |
q3
| Ai Aj Ak | [(| A1 A2 A3 | | A1 A2 A4 |
1i jk n
| A1 A2 An |) (| A1 A3 A4 | | A1 A3 A5 |
| A1 A3 An |) | A1 An1 An |] [(| A2 A3 A4 |
25
一般地 | Ai1 Ai2 Aik | (n k )!, k 1, 2, , n
i 1
i 1
1i jn1
1i jk n1
(1)n2 | A1 A2 An1 | | An |
n1
| An Ai |
| Ai Aj An |
i 1
1i jk n1
(1)n1 | A1 A2 An1 An |
n
| Ai |
| Ai Aj |
| Ai Aj Ak |
i 1
1i jn
1000 （200 166 125）（33 25 41） 8 600
一般地，如何计算S里恰好具有P中k个性质 的元素个数？
设集合S, Ai是S上具有性质Pi的元素集,令 q0 | S |
15
n
q1 | Ai | | A1 | | A2 | | An |
i 1
q2
| Ai Aj | (| A1 A2 | | A1 A3 | | A1 An |)
1000 30
33
|
A1
A3|=
1000 [5,8]
1000 40
25
|
A2
A3|=
1000 [6,8]
1000 24
41
|
A1
A2
A3|=
1000 [5,6,8]
1000 120
8
14
所以1到1000中不能被5、6、8整除的数的个数为
| A1 A2 A3 || S | (| A1 | | A2 | | A3 |) (| A1 A2 | | A1 A3 | | A2 A3 |) | A1 A2 A3 |
(2) 当统计S中恰好具有k种性质(特征)的元素个 数时,即求N[k],可利用逐步淘汰原理或一般公式.
23
(3) 当统计S中至少具有一种性质(特征)的元素 个数时,可利用容斥原理或计算|S|-N[0].
(4)因为|S|=N[0] N[1] N[2] N[n],故由 此式可求S中至少具有k种性质(特征)的元素个 数L[k] :
n1
An Ai An Ai | An Ai |
| Ai Aj An |
i 1
i 1
i 1
1i jk n1
| Ai Aj Ak An |
1i jk n1
(1)n2 | A1 A2 An1 An |
7
于是
n
n1
Ai | Ai |
| Ai Aj |
| Ai Aj Ak |
| A1 A2 An1 An |
An |
于是可得容斥原理的一般形式： 17
定理4.2.3(一般公式)
N[k] =
qk
Ckk1qk1
Ck k2
qk
2
(1)nk Cnk qn
qk Ck11qk1 Ck22qk2
(1)nk
C nk n
qn
这个公式又称为Jordan公式.
用一般公式可以计算集合S里恰好具有k个性质 的元素的个数.
(1)n
n n
Rn
,
其中R0 | S |
k n k 1 n
N[k]
k
k
Rk
k
k
1
Rk 1
k 2 n
k
k
2
Rk 2
(1)nk
n
k
n n
Rn
22
在应用容斥原理求解计数问题时,可按下列步骤 进行: (1) 根据问题的实际情况, 构造一个有限集 S={e1 , e2 , , et }和一个性质集P {P1 , P2 , , Pn }, Ai 是S中具有性质Pi的所有元素组成的子集, 问 题的关键是构造的性质集P,要使得 | Ai1 Ai2 Aik | 容易计算出来.(k 1, 2, , n)
解 令S {1, 2, ,1000}
A1 { x S | x能被5整除}
A2 { x S | x能被6整除}
A3 { x S | x能被8整除}
则
|
A1
|
1000 5
200
|
A2
|
1000 6
166
|
A3
|
1000 8
125
13
|
A1
A2|=
1000 [5,6]
1i jkn
中被统计Ck3次, 在
| Ai1 Ai2
1i1 i2 ik n
Aik 中 | 被
统计C
k k
次,而在右边其余各项中均被统计0次,
于是a在右边被统计的总数为
Ck0 Ck1 Ck2 (1)k Ckk (1 1)k 0
12
例1 求在1和1000之间不能被5、6和8整除的数 的个数.
1i jk n
(1)n1 | A1 A2 An |
8
定理4.2.2(逐步淘汰原理) 设A1 , A2 , , An为 有限集合S的子集合,则
| A1 A2
n
An || S | | Ai |
| Ai Aj |
i 1
1i jn
| Ai Aj Ak | (1)n | A1 A2 An |
S Ai {x S | x不具有性质Pi } A1 A2 An ={x S | x不具有P中任何性质}
10
式(*)左边是S中不具有性质集合P中任何一种 性质的元素的个数,因此只需证明对S中的任何 一个元素a,如果a不具有P中任何一个性质,则a 在(*)式右边被统计一次,否则a被统计0次. 首先,设a S且a不具有P中任何性质,则a不属 于任何一个Ai 或若干个Ai的交集,因此a在右边 被统计的次数为
1 0 0 (1)n 0 1
其次,若a S,且a同时具有P中的k种性质,那么,
11
子集A1 , A2 , , An中必有某k个都含有a,于是a在
n
| S |中被统计一次,在| Ai | 中被统计k次, 在
i 1
| Ai Aj |中被统计Ck2次,在
| Ai Aj Ak |