复合函数图像研究及零点个数问题
复合函数零点个数的探究_王跃
］ 分析 欲讨论函 数 ｈ（ ｘ）＝ ｆ［ ｘ） －ｃ 的 ｆ（ ）＝ ｃ 的 不 同 实 根ｔ 零点 ， 先 考 虑 方 程 ｆ（ ｔ ｉ∈ ｉ（ ，然后考虑方程 ｆ（ Ｎ＋ ） ｘ）＝ｔ ｉ 的根 ． ，考虑方程 ｆ（ ）＝ｃ． 解 令 ｆ（ ｘ）＝ｔ ｔ （ ） ） 当ｃ ＝－２ 时 ， 方程 ｆ（ １ ｔ ＝ｃ 有 ２ 个不相 、 （ ， ） ， 等的实根ｔ 方程 ｆ（ ２ｔ ｘ） ＝ｔ １ｔ ２ｔ １ ＝－ ２ ＝１ １ 有 ２ 个不相等的实根 ， ｘ）＝ｔ ｆ（ ２ 有３个不相等 ， 的实根 ．根据命题 １ 故函数 ｙ ＝ ｈ（ ｘ）的零点个 数为 ５． （ ） ） 当ｃ＝２ 时 ， 方程 ｆ（ ２ ｔ ＝ｃ 有 ２ 个不相等 ） ， 方程 ｆ（ 的 实根ｔ ｔ ｔ １， ｔ ｘ） ＝ｔ ３、 ４（ ３ ＝－ ４ ＝２ ３有
２ 等实根 ．根据命题 ２， 故 ｆ（ ｘ ｘ）＝ ａ 有 ４ 个 ＋２
不相等的实根 ； ） ） （ 当ａ＝８时 ， 方程ｆ（ ４ ｔ ＝ａ 有３ 个不相等 ， ） ， ） 的实根ｔ ｔ ｔ ｔ ０ ＜ｔ ｔ ． ７、 ８、 ９ （ ７ ＝－１ ８ ＜１ ９ ＞１
２ ２ 方 程ｘ ｘ ＝ｔ ｘ ｘ ＝ｔ ＋２ ＋２ ７ 有 １ 个实根 ， ８ 有２ ２ 个不相等的实根 ， ｘ ｘ ＝ｔ ＋２ ９ 有２个不相等的 ２ 实根 ．根据命题２， 故ｆ（ ｘ ｘ） ＋２ ＝ａ 有５ 个不相
２ ， ） 分析 令 ｘ 先讨论 ｆ（ ｔ ＋ｘ ＝ｔ ＝ａ 不同 ２ 的实根ｔ 再研究 ｘ ｉ ∈ Ｎ＋ ）情况 ， ＋ｘ ＝ｔ ｉ（ ｉ 根． ２ 解 令ｘ ． ＋ｘ ＝ｔ
， 故 ２ ｘ ＝ｔ １ ２ 有 ２ 个 不 相 等 的 实 根 ．根 据 命 题 ２
２ ｘ ｘ）＝ ａ 有 ６ 个不相等的实根 ． ＋２ ｆ（ （ ） ） 当ａ＞９时 ， 方程ｆ（ ６ ｔ ＝ａ 有２ 个不相等 ２ ） ， ） 方程ｘ 的 实根ｔ ｔ ０＜ｔ ｔ ｘ ＋２ １ ３、 １ ４ （ １ ３ ＜１ １ ４ ＞１ ２ ｘ ｘ ＝ｔ ＝ｔ ＋２ １ ３ 有 ２ 个不相等的实根 ， １ ４ 有２ 个 ２ 不相等的 实 根 ．根 据 命 题 ２， 故 ｆ（ ｘ ＋２ ｘ）＝ ａ
2.20复合函数零点问题—利哥
秘籍提示：①先看外层零点，把外层零点一一列出：t1，t2，t3 ；②再在外层函数作直线y =t1，y =t1 ，交点个数即为复合函数零点个数.2.20 抖音直播直播—复合函数零点问题——利哥数学，快乐上分我们来一起看几个题去理解秘籍，如下图，左边为f (x)图像，右边为g(x)图像.【例题1】求 f [f (x)]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为f (x)，f (x)有两个零点：t1=-2 ，t2= 2 ；在内层函数作直线y =-2 、y = 2 ，如右图，显然四个交点，所以f [f (x)]的零点个数为 4.【例题2】求 f [g(x)]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为f (x)，f (x)有两个零点：t1=-2 ，t2= 2 ；在内层函数作直线y =-2 、y = 2 ，如右图，显然两个交点，所以f [g(x)]的零点个数为 2.⎨2x ，x ≤ 0 【例题 3】求 g [g (x )]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为 g (x )，g (x )有三个零点： t 1 = -1，t 2 = 0 ，t 3 = 1；在内层函数作直线 y = -1、y = 0、y = 1 ，如右图，显然七个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 7.【例题 4】求 g [f (x )]的零点个数：【解析】先看外层零点，外层函数为 g (x )，g (x )有三个零点： t 1 = -1，t 2 = 0 ，t 3 = 1；在内层函数作直线 y = -1、y = 0、y = 1 ，如右图，显然六个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 6.【例题 5】（2019 春•邯郸期末）函数 f (x ) = ⎧| log 2 x | ，x > 0 ，则函数 g (x ) = 3 f 2(x ) - 8 f (x ) + 4 的零点个数是⎩ ( )A ．5B ．4C ．3D ．6【解析】令 f (x )= t ，则 g (x ) = 3 f 2 (x ) - 8 f (x ) + 4 ⇒ h (t ) = 3t 2 - 8t + 4 ，外层函数为 h （t ）， h （t ）有两个零点t 1 = 2 ，t3 2 = 2 ，在内层函数 f (x )作直线 y = 2 、y = 2 ，如图，3显然五个交点，所以 f [g (x )]的零点个数为 5，故选 A ．⎩ 4⎨ 现学现卖⎧x2 - 2x + 4, x 0【卖弄 1】（2019 秋•东莞市期末）已知函数 f (x) =⎨⎩lnx, x > 0，若函数 g(x) =f 2 (x) + 3 f (x) +m(m ∈R)有三个零点，则m 的取值范围为( )A．m <94B．m - 28C． -28 m <94D．m > 28【解析】作出f (x) 的图象如图：设t =f (x) ，则由图象知当t 4时，t =f (x) 有两个根，当t < 4 时，t =f (x) 只有一个根，若函数g(x) =f 2 (x) + 3 f (x) +m(m ∈R) 有三个零点，等价为函数g(x) =h(t) =t2 + 3t +m 有两个零点，其中t < 4 或t 4 ，则满足⎧ = 9 - 4m > 0，1 2⎧m <9⎨f (4) = 16 + 12 +m 0⎪，得m - 28 ，故选B ．⎪⎩m -28【卖弄2】（2019•山东模拟）已知函数f (x) =| x2 - 4x + 3 |，若方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是( )A．(-2, 0) B．(-2, -1) C．(0,1) D．(0, 2)【解析】 f (1)=f (3)= 0 ，f (2)= 1 , f (x) 0 ，若方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根，∴t 2 +bt +c = 0 ，其中一个根为 1，另一个根在(0,1) 内，∴g(t) =t2 +bt +c ，g (1)= 1 +b +c = 0 ，g(-b ) < 0 ，20 <-b< 1，g(0) =c > 0 2方程[ f (x)]2 +bf (x) +c = 0 恰有七个不相同的实根∴c =-1 -b > 0 ，b ≠-2 ，-2 <b < 0 ，即b 的范围为：(-2, -1) ，故选B ．得则1【卖弄3】（2019 秋•双流县校级期中）已知函数y =f (x) 和y =g(x) 在[-2 ，2] 的图象如下所示：给出下列四个命题：（1）方程f[g(x)]=0有且仅有6个根；（2）方程g[f(x)]=0有且仅有3个根（3）方程f[f(x)]=0有且仅有5个根；（4）方程g[g(x)]=0有且仅有4个根其中正确命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1【解析】（1）正确，（2）错误，（3）（4）正确，故选B．【卖弄 4】已知函数 f (x) =lnx，关于x 的方程 f (x) -x1f (x)=m 有三个不等的实根，则m 的取值范围是( )A．(-∞, e -1)eB．(-∞,1-e)eC．(e -1, +∞)eD．(1-e, +∞)e【解析】 f '(x) =1 -lnx，当0 <x <e 时， f '(x) > 0 ，当x >e 时， f '(x) < 0 ，x2即函数f (x) 在(0, e) 为增函数，在(e, +∞) 为减函数，则 f (x)max =f (e) =1，则f (x) 的图象如图所示：令t =f (x) ，e则 f (x) -1f (x)=m 可变形为t -1-m = 0 ，t即t 2 -mt - 1 = 0 ，设方程t 2 -mt - 1 = 0 有两个根t ，t ，1 2关于 x 的方程 f (x) -1f (x)=m 有三个不等的实根等价于t =f (x) 的图象与直线t =t1 ，t =t2的交点个数之和为 3，由图可知t < 0 <t 1，设g(t) =t2 -mt -1 ，2 1<eg( ) =1-m- 1 > 0 ，解得：m <1-e ，故选B ．e e2 e e3 3 ⎨ ⎧| lg (-x ) |, x < 0 【卖弄 5】（2019•全国模拟）定义域为 R 的函数 f (x ) = ⎪ ，若关于 x 的函数 y = 3 f 2 (x ) + 2bf (x ) + 1 ⎨ 1 x⎪1 - ( ) , x 0⎩ 2有 6 个不同的零点，则实数b 的取值范围是()A ． (-2, - 3)B ． (-2, 0)⎧| lg (-x ) |, x < 0C ． (-3, - 3)D ． (- ， +∞) 【解析】 函数 f (x ) = ⎪ 1，作出它的图象如图所示：⎪1 - ( ) , x 0⎩ 2关于 x 的函数 y = 3 f 2 (x ) + 2bf (x ) + 1有 6 个不同的零点，则令t = f (x ) ，则关于t 的方程3t 2 + 2bt + 1 = 0 在(0,1) 上有 2 个不同解． 即函数 g (t ) = 3t 2 + 2bt + 1在(0,1) 上有 2 个不同零点，⎧ = 4b 2 - 12 > 0⎪ b ⎪0 < - < 1故有 ⎨ 3 ，求得-2 < b < - ，故选 A ．⎪ f (0) = 1 > 0⎪ ⎪⎩ f (1) = 3 + 2b + 1 > 0x。
用复合函数的观点处理几类常见函数问题
即（ ＋１ ） ｌ ２＋（ ， ， ＋０ ） （ １ ＋ ２ ）＋ｍ ＋口 ＝０ ， 整理 得 到 ｋ ， ｍ 的关 系 式 ｍ ＝ａ ｋ或 ｍ ＝
２
二 ＿ ａ ｋ
０ 十 ０
，
带 入直线 Ａ Ｂ的方 程 为 Ｙ＝ ｋ ｘ＋ｍ＝ｋ ｘ＋ａ ｋ
＋ｍ ＋ 口 ＝
中学数 学杂 志
２ ０ １ ３年 第 １ １ 期 例５ （ 武汉市２ ０ １ ２ 届 高三 ４月调研 ）已知 函数
与 内层 函数 的单 调性 相 同时 ， 复合 函数 递 增 ， 即当外
层函数与内层函数的单调性相反时， 复合函数递减．
内层 函数 外层 函数 复合 函数
， （ ） ｌ ｌ ｏ ｇ ， ｘ ． ＞ ０’
１ 用复合 函数 的观点 处理 函数值 域 问题
√一 一６ 一５的值域为［ ０ ， ２ ］ ．
例２ 已知 函数 ）＝ｌ ｇ ［ （ ０ 一 １ ） ＋（ Ⅱ＋
１ ） ＋１ ］ ， 若 ）的值 域 为 Ｒ， 则 实数 Ⅱ的取值 范 围
是 ．
原理分析 复合函数 Ｙ＝ ｇ （ ） ］ ， ∈Ｄ的值 域 问题 ， 令 ／ ／ ， ＝ｇ （ ） ， ∈ Ｄ 称 为 内层 函数 ， 则 Ｙ＝
意 ； 当 口 ≠ ± 时 ， 有 ｛ ２ ≥ ｍ ０ ，
解得 １＜口≤÷． 所以０ 的取值范围［ １ ， ÷］ ．
２ 用 复合 函数的 观点处 理 函数单 调性 问题
＝一 一６ ｘ一５ ， 所 以复合 函数 ） ， ＝
＝ ＿ 的
值域即为外层函数 Ｙ＝ √ 的值域．
使Ｙ ＝ ） 的值域为Ｒ， 则Ｕ ＝（ ａ 一１ ） 。 ＋（ ａ＋１ ）
＋１ 能取 到 （ ０ ， ＋０ ０ ）内 的每一个 数值 ， 即 Ｕ＝（ ａ 一 １ ） ＋（ ａ＋１ ） ＋１ 的值域 为 （ ０ ， ＋∞） ， 当 ａ＝１ 时，
指数型复合函数零点
我们要找出一个指数型复合函数的零点。
首先，我们需要理解什么是零点。
一个函数的零点是指函数值为0的x值。
例如，函数f(x) = x^2 - 4 的零点是x = ±2，因为f(2) = 0 和f(-2) = 0。
对于指数型复合函数，例如f(x) = a^x + b^x，我们可以通过令它等于0来找到零点。
即：a^x + b^x = 0但是，请注意，对于非线性指数函数，我们通常不能直接找到所有零点。
这是因为指数函数是非线性的，所以它的解可能不是简单的x值。
为了找到这个函数的零点，我们可以使用数值方法，例如二分法或牛顿法。
这些方法可以帮助我们在一定的精度范围内找到函数的零点。
为了找到指数型复合函数的零点，我们可以使用二分法或牛顿法等数值方法。
这些方法可以帮助我们在一定的精度范围内找到函数的零点。
例如，对于函数f(x) = a^x + b^x，我们可以使用二分法来找到它的零点。
首先，我们需要选择一个初始区间[a, b]，然后反复将区间一分为二，并检查中间点的函数值。
如果中间点的函数值为负，则说明零点在右半部分；如果中间点的函数值为正，则说明零点在左半部分。
通过不断缩小区间，我们可以找到函数的零点。
另一种方法是使用牛顿法。
牛顿法是一种迭代方法，它基于函数的泰勒级数展开来逼近函数的零点。
对于函数f(x) = a^x + b^x，我们可以将其泰勒级数展开并保留前几项，然后将其等于0来求解x。
通过不断迭代，我们可以找到函数的零点。
需要注意的是，对于非线性指数函数，我们可能无法找到所有的零点。
因此，在使用数值方法时，我们需要合理选择初始区间或迭代初值，以确保找到的零点具有一定的精度和可靠性。
1复合函数、零点问题
学之导教育中心教案学生: 康洋 授课时间: 8.15 课时: 4 年级: 高二 教师： 廖课 题 复合函数、零点问题教学构架一、 知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教案内容 一、 知识回顾1、必修1函数知识梳理二、错题再现1、已知实数a,b 满足等式11()()23a b ，下列5个关系式正确的有：（1）0<a<b;(2)a<b<0;(3)0<a<b;(4)b<a<0;(5)a=b2、如果函数y=a 2x+2ax-1(a>0,且a ≠1)[-1,1]上的最大值为14，求a 值3、求值（1）（log 43+log 83）（log 32+log 92） （2）本次内容掌握情况 总结教 师 签 字学 生 签 字三、知识新授（一）对数函数的定义:（二）对数函数图象及性质：在同一坐标中画出下列函数的图像：（1）y=log 2x （2）y=log 3x （3）y=log 21x （4）y=log 31x练习：1 求下列函数的定义域（1）y=log 5(1-x) (2)y=log 7x311a>10<a<1 图 像性质 （1）定义域： 值域:（2）过定点： （3）奇偶性：(4)单调性：（4）单调性：（5）当x>0时，y>1;当x<0时，0<y<1 (5)(3)y=)34(lo 5.0-x g (4)y=)31(log 2x -(5)y=log x+1(16-4x) (6) y=)32lg(422---x x x2、比较下列各值的大小（1）log 1.51.6,log 1.51.4 (2) log 1.12.3和log 1.22.2 (3) log 0.30.7和log 2.12.9 (4) 8.2log 7.2log 2121和3、已知集合A={2≤x ≤π},定义在集合A 上的函数y=log a x 的最大值比最小值大1，求a 值4、求211221(log )log 52y x x =-+在区间[2,4]上的最大值和最小值5.求函数y=log a (2-ax-a 2x )的值域。
浅析复合函数零点的个数问题
一类是判断零点个数，另一类是已知零点个数求参
数的取值范围．以下本文通过对典型例题的分析来探究
一下复合函数零点问题中求零点个数和求参数的问题．
１．判断复合函数零点的个数
｛ 例１ 已知函数犳（狓）＝
５ 狓－１ －１（狓 ≥０）， 则 狓２＋４狓＋４（狓 ＜０），
关 于狓的方程犳２（狓）－５犳（狓）＋４＝０的实数根的个数
零点个数即方程犳（狓）＝０的
根个数，也即犳（狓）的图像与
狓 轴 交 点 的 个 数，若 方 程
犳（狓）＝０犵（狓）＝犺（狓），即
为两函数犵（狓）与犺（狓）图像
图１
交点的个数．该问题只需要确
定零点个数并 不 需 要 求 出 零 点，也 可 画 出 函 数 图 像，
结合图像确定交点的个数，由狋２ －５狋＋４＝０，得狋＝４ 或１，所以犳（狓）＝４或１，由函数图像犳（狓）分别与狔＝ １、狔＝４有４个交点和３个交点，所以犳（狓）＝１、犳（狓） ＝４分别有４个根和３个根，所以方程犳２（狓）－５犳（狓） ＋４＝０共有７个根．
图２ 图３
２．已知复合函数的零点个数求参数的取值范围 例２ 已 知 函 数 犳（狓）的 图 像，若 函 数 犵（狓）＝ ［犳（狓）］２ －犽犳（狓）＋１恰有４个零点，则实数犽 的取值 范围是（ ）．
（ ） Ａ．（－
∞，－２）∪
（２，＋
∞）
８ Ｂ．ｅ２
，２
（ ） ４
Ｃ．ｅ２
若犳（狓）＝１，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝１，解得
狓＝１±ｌｏｇ５２，当狓 ＜０时，即狓２＋４狓＋３＝０，解得狓
＝－１或 －３．
若犳（狓）＝４，当狓 ≥０时，即５ 狓－１ －１＝４，解得
零点问题的类型及解决方法
题型 一 ： 函数 零 点 所 在 区 间 的 判 断— — 利 用 零 点 存 在 性 定 理 判 断零 点所 在 区 间
利用零点存在性定理 时 ， 函数ｙ ） 在 区间［ ａ ， ｂ ］ 上 的图像 必须是连续 曲线 ， 并且 在 区间端 点的 函数值符 号
证明： 曲 线 证明： 曲
厂 （ ｃ ） ＝ （ ｃ — ａ ） （ ｃ — ｂ ） ＞ ０ ， 且厂 （ ） 是二次函数 ， 所以函数 ） ＝ （ — ａ ） （ — ｂ ） ＋ （ — ｂ ） （ — ｃ ） ＋ （ — ａ ） （ — ｃ ）的两个零 点分另 Ｕ
位于 区间（ ａ ， ｂ ） 、 （ ｂ ， ｃ ） ． 点 评 ：运 用 零 点 存 在 性 定 理 判 断零 点 所 在 区 间 ， 必
ｙ ＝ ÷ ＋ １ 有唯一的公共点．
点评 ： 本 题 要 证 明指 数 函数 与 二 次 函数 的 交 点 个 数
令 厂 （ ） ： （ ÷ ） ， ｇ （ ） ： ＋ ３ ’ 从
而将原题转化成 函数 ） ， ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 的交点个数 ， 如 图１ 所示． 由图可知原方程有 两个解 ．
点评 ： 将 函 数 的 零 点 问题 转 化 为 两 个 函数 图像 的 交
Hale Waihona Puke 羔问题 来 解 决． 确 定 零 点 个 数．
高 中 版中 敷－ ？
研 究
考试
备考指南
２ ０ １ ４年 ３月
题型 四、 复 合 函 数 的 零 点 个 数 问题 — — 通 过 换 元 转 化 为 两 个 函数 图 像 交 点 的个 数
图１
－
问题 ， 可把函数交点问题转化为函数零点问题 ． 利用函
复合函数的零点问题
3.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解,则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出
x 的值.例如：已知 f x 2x ， g x x2 2x ，若 g f x 0 ，求 x .
时，显然只有一个交点，所以 ，只需要对数从点 B,点Ｃ下
面穿过就有 4 个零点，所以
解得 ，选 D．
【点睛】对于求不同类的两个函数构成的方程,我们常把方程变形为ｆ（ｘ)=g(x),然后根据 y＝f(ｘ）与 y
＝g(ｘ)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数．如本题把方程
变形为
,再画出两个函数的图像,根据两个图像有 4 个交点，求出参数 a 的范围．
c (a,b) ，使 f (c) 0 ．
②如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,并且有 f (a) · f (b) 0 ,那么，函数 f x 在
--
--
区间 (a, b) 内不一定没有零点.
③如果函数 f x 在区间a,b 上的图象是连续不断的曲线,那么当函数 f x 在区间 (a, b) 内有零点时不
1．复合函数定义:设 y f t ，t g x ,且函数 g x 的值域为 f t 定义域的子集,那么 y 通过 t 的联系
而得到自变量 x 的函数，称 y 是 x 的复合函数,记为 y f g x .
2.复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值.
③由函数 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点不一定能推出 f (a) · f (b) 0 ,如图所示．所以 f (a) · f (b) 0 是 y f (x) 在闭区间a,b 上有零点的充分不必要条件．
复合函数零点问题1
复合函数零点问题1复合函数零点问题一、基础知识：1.复合函数定义：设 $y=f(t)。
t=g(x)$，且函数 $g(x)$ 的值域为 $f(t)$ 定义域的子集，那么 $y$ 通过 $t$ 的联系而得到自变量 $x$ 的函数，称 $y$ 是 $x$ 的复合函数，记为$y=f(g(x))$。
2.复合函数函数值计算的步骤：求 $y=g(f(x))$ 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知$f(x)=2x,g(x)=x^2-x$，计算 $g(f(2))$。
解：$f(2)=2\times2=4$，$g(4)=4^2-4=12$，所以$g(f(2))=12$。
3.已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 $x$ 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出 $x$ 的值。
例如：已知 $f(x)=2x，g(x)=x^2-2x$，若 $g(f(x))=0$，求 $x$。
解：令 $t=f(x)$，则 $g(t)=t^2-2t$，所以 $g(f(x))=0$ 可以转化为 $g(t)=0$。
解方程 $t^2-2t=0$，得 $t=0$ 或 $t=2$。
当$t=0$ 时，$f(x)=0$，无解；当 $t=2$ 时，$f(x)=2$，解得$x=1$。
综上所述：$x=1$。
由上例可得，要想求出 $g(f(x))=0$ 的根，则需要先将$f(x)$ 视为整体，先求出 $f(x)$ 的值，再求对应 $x$ 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4.函数的零点：设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若存在 $x\inD$，使得 $f(x)=0$，则称 $x$ 是 $f(x)$ 的一个零点。
5.复合函数零点问题的特点：考虑关于 $x$ 的方程$g(f(x))=0$ 的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于 $f(x)$ 的方程，观察有几个 $f(x)$ 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层 $f(x)$ 的值求出每一个$f(x)$ 被几个 $x$ 对应，将 $x$ 的个数汇总后即为 $g(f(x))$ 的根的个数。
复合函数零点个数问题的求解策略
复合函数零点个数问题的求解策略摘要：复合函数的零点个数问题的求解一直以来作为数学学习的重要课题与问题，也是数学教学中的一个重要的知识点。
复合函数的零点个数问题常作为学生考试的内容，属于考试范围中的重点与难点。
因此，如何通过巧妙的策略与思想帮助学者能够更快的理清思路，辩证的看待问题，找到解决问题的方法成为了当前数学教学中亟需解决的问题。
因此，本文主要通过论述复合函数零点个数问题求解的教学策略与目标，列举相关复合函数类型与例子，对如何进行复合函数零点求解提供解决策略，为日后数学教学的发展以及帮助学生提升数学解题能力提供借鉴，为国家人才的培养建设贡献自身的一份力量。
关键词：复合函数；零点；个数；求解策略；方法引言：在所有的学科门类中，数学是一门对学生考察抽象思维能力要求度极高的学科，经常需要学生能够辩证的看待数学问题，抽象的转化为其他问题进行论证，复合函数的零点个数求解问题更是如此，坐标法、图像法等无不要求学生能够充分的实现数形结合，将抽象的问题具体化，降低解题的难度。
同时，对于复合函数零点个数求解不仅需要能够让学生学会做该类题，更是为了让学生领悟解题的思想与方法，面对类似的问题能够触类旁通，真正掌握解题的思想，这对于我国数学教学事业的发展来说具有重要的建设性意义。
一、基础预备知识不同的版本对于函数f（x）的零点定义不同，但是本质是相同的。
在人教版的教材中，其中对于方程f（x）的零点定义如下：一般是在函数y=f（x）中，将f（x）=0，解出此方程获得的实数根X就是函数y=f（x）的零点。
这个零点也是f（x）=0的实数根。
在图像上的表现是，当函数y=f（x）在直角坐标系中与横轴x有交点，那么就证明函数y=f（x）有零点，并且这个交点的x值就是方程f（x）=0的实数根。
从人教版的定义来看，这个定义是具有概括性的。
同时课程中还有两个命题，这两个命题对于帮助找到复合函数的零点有重要意义，命题如下：命题一：如果开始让方程f（x）=0，假设这个时候方程有m个不同的实数根，分别可以定义为X1、X2……Xm，并且令f（x）等于任意的Xi，i是在1到m的范围内，这个时候假设方程有Ni个不一样的实数根，这个时候则可以得出，函数f[f （x）]的零点个数为（N保留下标：1+N保留下标：2+……N保留下标：m）个。
复合函数的性质探究
复合函数的性质探究在高中，我们经常研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及零点等问题.课本上仅介绍了基本的初等函数，由它们构造出纷繁复杂的函数，这里面很多都是复合函数，什么是复合函数？复合函数的性质如何判别？又如何应用？一、概念复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f（u），u=g （x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量.例如y=sin2x与y=sinx不同，它不是基本初等函数，而是由三角函数y=sinu和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数.在复合函数的定义中，对复合的步骤和方式有特殊的约定.把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f（x）+b·g（x）或a·f（x）·g（x）的函数不是复合函数.复合函数是指把几个映射依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构造一个复合映射所确定的函数.自变量像被加工的零件依次通过第一个映射、第二个映射，直到通过全部映射.例如，复合函数y=sin2x是自变量x先“乘以2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数y=sin2x.为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数.从外向内看函数y=f[g（x）]，称函数y=f（u）为外层函数（外函数），称函数u=g（x）为内层函数（内函数），且称函数y=f[g（x）]为函数f和g复合一次得到.二、定义域1.已知f（x）的定义域，求f[g（x）]的定义域思路：设函数f（x）的定义域为D，即x∈D，所以f的作用范围为D，又f对g（x）的作用范围不变，所以g（x）∈D，解得x∈E，E为y=f[g（x）]的定义域.例1设函数f（u）的定义域为（0，1），则函数f（lnx）的定义域为.解：函数f（u）的定义域为（0，1）即u∈（0，1），所以f的作用范围为（0，1）.又f 对lnx的作用范围不变，所以02.已知f[g（x）]的定义域，求f（x）的定义域思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，所以f的作用范围为E；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈E，E为f（x）的定义域.例2已知f（3-2x）的定义域为x∈[-1，2]，则函数f（x）的定义域为.解：f（3-2x）的定义域为[-1，2]，即x∈[-1，2]，由此得3-2x∈[-1，5].所以f的作用范围为[-1，5]；在f（x）中f对x的作用范围不变，所以x∈[-1，5]，即函数f（x）的定义域为[-1，5].3.已知f[g（x）]的定义域，求f[h（x）]的定义域思路：设f[g（x）]的定义域为D，即x∈D，由此得g（x）∈E，f的作用范围为E；在f[h（x）]中f对h（x）的作用范围不变，所以h（x）∈E，解得x∈F，F为f[h（x）]的定义域.例3若函数f（2x）的定义域为[-1，1]，则f（log2x）的定义域为.解：f（2x）的定义域为[-1，1]，即x∈[-1，1]，由此得2x∈[12，2]，所以f的作用范围为[12，2].在f（log2x）中f对log2x的作用范围不变，所以log2x∈[12，2]，解得x∈[2，4]，即f（log2x）的定义域为[2，4].评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）.f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f作用对象可以变，但f的作用范围不会变.三、值域1.可以化归为二次函数的复合函数求值域例4求函数y=2x+41-x的值域.分析：含根式的函数关键是去根号，可以利用换元法转化为一元二次函数求值域问题.解：令t=1-x（x≤1），则x=1-t2，其中t≥0，原函数可以看成由y=-2t2+4t+2与t=1-x复合而成，∵x≤1，∴t≥0，∴y=-2（t-1）2+4（t≥0）∈（-∞，4]，即原函数的值域是（-∞，4].2.可以化归为一次函数的复合函数求值域例5求函数y=sinxcosx1+sinx+cosx的值域.解：令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2-12，原函数可以看成由函数y=t2-12（1+t）=12（t-1）（t≠-1）与t=sinx+cosx复合而成.因为t=sinx+cosx=2sin（x+π4），所以t∈[-2，-1）∪（-1，2].结合一次函数图像可知函数值域为[-2-12，-1）∪（-1，2-12].评注：求函数值域要注意函数定义域，本题很容易遗漏t≠-1的限制，导致求值域出错，产生错误的原因是忽视了转化的等价性，所以解题过程中必须紧扣定义域.3.可以化归为反比例函数的复合函数求值域例6求函数y=2x2+2x+3x2+x+1的值域.解：函数y=2x2+2x+3x2+x+1=2+1x2+x+1，令t=x2+x+1，则原函数可以看成由函数y=2+1t和t=x2+x+1复合而成.因为x∈R，所以t=x2+x+1=（x+12）2+34≥34，结合反比例函数图像可知y=2+1t∈（2，103]，所以原函数的值域为（2，103].4.可以化归为y=ax+bx（a，b∈R*）型函数的复合函数求值域例7求函数y=sin2x-2sinx+4sinx-2的值域.解：令t=2-sinx，则原函数可以看成由函数y=-（t+4t）+2和t=2-sinx复合而成.∵sinx∈[-1，1]，∴t=2-sinx∈[1，3]，由u=t+4t的图像可知u∈[4，5]，故y=-（t+4t）+2∈[-3，-2]，所以原函数的值域为[-3，-2].评注：求复合函数值域的关键是把复杂的函数通过换元转化为由简单函数y=f（t）和t=g （x）复合而成，其中t是中间变量，具有双重身份：在函数y=f（t）中，t是自变量；在函数t=g（x）中，t是函数值.要求原函数的值域，必先求出中间变量t的取值范围，而求t的范围，就是求函数t=g（x）的值域，从而将求原函数的值域化归为求两个简单函数的值域，使得问题得到解决.四、单调性复合函数的单调性是由两个函数共同决定，我们把其规律归纳如下表：y=f（u）增↗减↘u=g（x）增↗减↘增↗减↘y=f（g（x））增↗减↘减↘增↗以上规律还可描述为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.例8已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a>0且a≠1，（1）若a>1，内函数t=2-ax是减函数，外函数y=logat是增函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a1>0，解得a∴1（2）若0内函数t=2-ax是增函数，外函数y=logat是减函数，得复合函数y=loga（2-ax）是减函数，满足题意；又由于x∈[0，1]，2-ax>0，即2-ax的最小值2-a0>0，恒成立，∴0综上所述，0评注：复合函数y=f（g（x））的单调性判断步骤：①确定函数的定义域；②将复合函数分解成两个简单函数：y=f（t）与t=g（x）；③分别确定分解成的两个函数的单调性；④若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f（g（x））为减函数.当然复合函数的单调性还可以用求导的方式来研究，同学们一定要熟练掌握复合函数的求导法则.五、考题回顾复合函数问题是高考中的一个热点问题，具有关系复杂、综合性强、难度大等特点，往往涵盖函数方程、数形结合、分类讨论和转化化归等重要数学思想，对同学们的思维能力、运算能力、耐心细致处变不惊的心理品质等都有较高的要求.例9（2013年江苏省）平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=1x（x>0）图像上一动点，若点P，A之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为.解：由题意设P（x0，1x0），（x0>0）则有PA2=（x0-a）2+（1x0-a）2=x20+1x20-2a（x0+1x0）+2a2=（x0+1x0）2-2a（x0+1x0）+2a2-2.令x0+1x0=t（t≥2），则PA2=f（t）=t2-2at+2a2-2=（t-a）2+a2-2（t≥2）.当a≤2时，PA2min=f（2）=2a2-4a+2，∴2a2-4a+2=8，∴a=-1，a=3（舍去）.当a>2时，PA2min=f（a）=a2-2，∴a2-2=8∴a=10，a=-10（舍去）.∴综上所述：a=-1或a=10.评注：此题的最值若用求导的方法来研究，过程会过于繁琐，而用复合函数的观点来研究则相对简单.例10（2012年江苏省）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈[-2，2]，求函数y=h（x）的零点个数.解：（1）a=0，b=-3.（2）略.（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c.先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况：d∈[-2，2].当|d|=2时，f（x）=-2的两个不同的根为1和-2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为-1和2.当|d|0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d∴-2，-1，1，2都不是f（x）=d的根.由（1）知f′（x）=3（x+1）（x-1）.①当x∈（2，+∞）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）>f（2）=2，此时f（x）=d在（2，+∞）无实根.②当x∈（1，2）时，f′（x）>0，于是f（x）是单调增函数.又∵f（1）-d0，y=f（x）-d的图像不间断，∴f（x）=d在（1，2）内有唯一实根.同理，f（x）=d在（-2，-1）内有唯一实根.③当x∈（-1，1）时，f′（x）又∵f（-1）-d>0，f（1）-d∴f（x）=d在（-1，1）内有唯一实根.因此，当|d|=2时，f（x）=d有两个不同的根x1，x2满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|现在考虑函数y=h（x）的零点：（ⅰ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2.而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5个零点.（ⅱ）当|c|而f（x）=ti（i=3，4，5）有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点.综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|评注：解决本题的关键还是通过换元的方法把复合函数分解为两个简单函数，而这两个简单函数是我们熟悉的三次函数.当然也可通过研究复合函数h（x）=f（f（x））-c的单调性来解决此题.复合函数往往是由简单函数“组合”而成的，解决其有关问题时，常用“逐步分解术”，“化整为零”，各个击破，最后解决问题.作题人：（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
复合函数的零点问题
由图可得，当 k＞－3 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＜－2，t2＞12，即 t＝f(x)＜－2 或 t＝f(x)＞12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 5 个根； 当－4＜k≤－3 时，f(t)＝k 有三个根 t1，t2，t3，且－2≤t1＜－1，－1＜t2≤0，14＜t3≤12， 即－2≤f(x)＜－1 或－1＜f(x)≤0 或14＜f(x)≤12，此时方程 f(f(x))＝k 最多有 6 个根； 当 k＝－4 时，f(t)＝k 有两个根 t1，t2，且 t1＝－1，t2＝14，即 f(x)＝－1 或 f(x)＝14，此 时方程 f(f(x))＝k 有 4 个根； 当 k＜－4 时，f(t)＝k 有一个根 t，且 0＜t＜14，即 0＜f(x)＜14，此时方程 f(f(x))＝k 有 2 个根．
设 f(x)＝t，由图可知，当 t＜0 或 t＞2 时，t＝f(x)有且仅有 1 个实根．当 t＝0 或 1≤t≤2 时，t＝f(x)有 2 个实根；当 0＜t＜1 时，t＝f(x)有 3 个实根，则 g(x)恰有 4 个不同的零 点等价于a0－ ＜1a＜ ＋01， ＜1或a1－ ≤1a＝ ＋01， ≤2或0a＜ ＋a1－ ＞12＜1，或11≤ ≤aa－ ＋11≤ ≤22， ，解得－1＜a＜ 0 或 1≤a＜2．
图(2)
由图可知 y＝f(t)与 y＝3t＋12的图象有两个交点，横坐标
分别在(0，1)和(1，2)之间，不妨设交点横坐标为 t1∈(0，
1)，t2∈(1，2)．如图(3)，当 t1＝f(x)时，由 f(x)图象和直
线 y＝t1，t1∈(0，1)可知，二者有两个交点，此时 F(x) ＝f(f(x))－3f(x)－12有两个零点；当 t2＝f(x)时，由 f(x)图
高考 复合函数的零点问题
函数专题（复合函数的零点问题）一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为 ． 【答案】4【分析】由题知2log 2x =，即求.【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，也即()22log log 10x −=的解.()22log log 1x =，即2log 2x = 解得4x =，即函数()g x 的零点为4． 故答案为：4 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 .【答案】a ≤【分析】对()f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f (a )≥－2，再对a 的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当()0f a <时，f (f (a ))≤2即为2()()2f a f a +≤，()()[1][2]0f a f a −+≤， 解得()21f a −≤≤，所以()20f a −≤<；当()0f a ≥时，f (f (a ))≤2即为2()2f a −≤，因为2()2f a ≥−恒成立，所以()0f a ≥满足题意.所以f (a )≥－2，则202a a a <⎧⎨+≥−⎩或22a a ≥⎧⎨−≥−⎩，解得a ≤故答案为：a ≤【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题. 2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为 ．【答案】14322−−−，，， 【分析】由题可知求()()1f g x =的解，再利用分段函数求方程的解即可. 【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解． 由方程②可得320t t −=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x −−−=解得4x =−或2x =−；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x −−−=，解得3x =−．综上，函数()h x 的零点为14322−−−，，，，共四个零点． 故答案为：14322−−−，，，. 3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形； 另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+， D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，【答案】A【分析】由题可得2e x x a x +−=，再利用函数的单调性即求.【详解】显然()f x =于是()()00f f y y =等价于()00f y y =，即00y =≥， 又00sin 1y x =≤，故001y ≤≤，从而0200e y a y y =+−，令()2e x g x x x =+−， 则()()'e 12''e 20x xg x x g x =+−=−=，，令()''0g x =，则ln2x =，可知当[]0ln2x ∈，时，()'g x 单调递减，当[]ln21x ∈，时，()'g x 单调递增， 从而()()''ln232ln20g x g ≥=−>， 故()g x 在[]01，上单调递增， 从而()()][011e a g g ⎡⎤∈=⎣⎦，，. 故选：A ．4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +【答案】B【详解】试题分析：设0x 为方程的 ()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦的一个根，∴00[()]f g x x =，∴{}00()[()]g x g f g x =，再令0()t g x =，故有 [()]t g f t =，从而可知方程[()]g f x x =至少有一个实数根 t ，A ，C ，D 选项中的函数均符合条件，而B 选项：215x x x ++=无解，故选B ． 【点睛】本题考查的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦进行等价变形，可以得到 [()]g f x x =至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B ． 5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}【答案】D【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mf x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=−对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =−对称．而选项D 中41616422++≠.故选D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于1()f x x =或2()f x x =，按照12x x <、12x x >分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 为函数()f x 的极值点， 所以2()320f x x ax b '=++=有两解12,x x ，所以方程()()()232f x af x +0b +=等价于1()f x x =或2()f x x =，当12x x <时，则1x 为函数()f x 的极大值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极小值点，画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；当12x x >时，则1x 为函数()f x 的极小值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极大值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；综上，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根. 故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.6.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =的解集为 ．【答案】{}416，． 【分析】由题可求()122log f x x =−，再利用数形结合即求.【详解】∵定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 令()12log f x x c +=，则()3f c =，在上式中令x c =，则()1122log log 3f c c c c c +==−，，解得2c =，故()122log f x x =−，由()2f x =122log 2x −=2log x =在同一坐标系中作出函数2log y x =和y可知这两个图像有2个交点，即()42，和()164，，则方程()2f x ={}416，． 故答案为：{}416，. 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xx f t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围．【答案】104t −<<．【分析】令21xm −=，由题得()232410m t m t −+++=，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．【详解】令21xm −=，则()430f m t m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，即14230m t m m ⎛⎫+−+−= ⎪⎝⎭，去分母得：()232410m t m t −+++=，此方程最多有两个根，由函数21xm =−图像可知，方程()232410m t m t −+++=的两根必须有一根m 1≥，另一根01m <<，才能保证原方程有三根，设()()23241g m m t m t =−+++，因此由根的分布知识得：()()041011(32)410g t g t t ⎧=+>⎪⎨=−+++<⎪⎩或()()11(32)410041032012g t t g t t ⎧⎪=−+++=⎪=+>⎨⎪+⎪<<⎩，，，解得：104t −<<．7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【分析】结合函数的图象可知1102a ++=，进而可得()1f x =或()12f x =，即求. 【详解】作函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，的图象如图所示，则由函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点知1102a ++=，解得32a =−．解()()231022f x f x −+=得()1f x =或()12f x =．若()1f x =，则2x =或3x =或1x =； 若()12f x =，则0x =或4x =． 故222221234530x x x x x ++++=.故选：C ． 同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为 ．【答案】(]01，． 【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =， 则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t >时，有唯一的x 与之对应；当1t ≤时，有两个不同的x 与之对应． 由方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x 知，需要方程②有两个不同的t ，且一个1t >，一个1t ≤，结合图象可知，当(]01a ∈，时，满足一个(]10t ∈−，，一个(]12t ∈，，符合要求， 综上，实数a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01，12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(]23，． 【分析】利用数形结合即求.【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()g f x a =的解， 令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =和直线y t =的图象如图所示． 由图可知，当1t >−时，有两个不同的x 与之对应；当1t =−时，有一个x 与之对应，当1t <−时，没有x 与之对应．由方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有六个不同的x 解知，需要方程②有三个不同的t ，且都大于1−，作出函数()y g t =和直线y a =的图象如图所示，由图可知当(]23a ∈，时满足要求， 综上，实数a 的取值范围为(]23，． 故答案为：(]23，13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3 B ．1或3 C ．4或6 D ．3或4或6【答案】A【详解】()()()()'12,xf x x x e f x =−+∴在(),2−∞−和()1,+∞上单增，()2,1−上单减，又当x →−∞时，()0,f x x →→+∞时，()f x →+∞故()f x 的图象大致为：令()f x t =，则方程250t mt e −−=必有两个根，12,t t 且125t t e=−，不仿设120t t << ，当1t e=−时，恰有225t e −=，此时()1f x t =，有1个根，()2f x t =，有2个根，当1t e <−时必有2205t e −<<，此时()1f x t =无根，()2f x t =有3个根，当10e t −<<时必有225t e −>，此时()1f x t =有2个根，()2f x t =，有1个根，综上，对任意m R ∈，方程均有3个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .14．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象15．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ． 【答案】【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设()2,2210f x t t bt =++=，要使得有8个零点，就是()f x t =有4个解，由图象知()f x t =，(0,1)t ∈内有4个解． 二次方程22210t bt ++=在内有两个不等的实数根，故有故填16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围． 【答案】（3，+∞）．【分析】令函数()y f x =的零点为m ，即f （m ）＝0，则由对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ．可得f [f （x ）]＝x ，进而x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．【详解】令函数y ＝f （x ）的零点为m ，即f （m ）＝0， ∵对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ． 则f [f （n ）]＝n 恒成立， 即f [f （x ）]＝x ，若关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根， 即|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，当0＜a ＜1时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当1＜a ＜3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有一个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有一个不同的根，不满足条件； 当a ＝3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当a ＞3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有三个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，满足条件； 综上所述，实数a 的取值范围是（3，+∞）.17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>【答案】D【详解】试题分析：当2x ≠时，()1()0,2f x x =∈+∞−且关于y 轴对称， 因为方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解， 所以当时，，必为方程的一个解，代入方程得，即选项B 正确；因为()()131f f ==，所以，所以选项A 、C 正确，而选项D 错． 故正确答案选D ．。
复合函数与函数的零点
⑶已知函数 ，若 ， ，则函数 的零点个数为________．
【解析】⑴C
⑵C．
⑶
尖子班学案4
【拓1】若 是方程 的解，则 属于区间（）．
A． B． C． D．
【解析】C；
【例7】⑴若函数 ( 且 )有两个零点，则实数 的取值范围是．
⑵若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过 ，则 可以是( )
⑵已知 ， ，且 ，则 。
【解析】⑴ ， ．
⑵
考点：复合函数的单调性
【例4】求下列函数的单调区间：
① ；② ；③ ；④ ．
【解析】①函数需满足 ，即定义域为 ，
内层函数在 上单调递增，在 上单调递减，
外层函数在定义域上单调递增，
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ．
②函数的定义域为 ，
内层函数在 上单调递减，在 上单调递增，
<教师备案>当 在 上单调，且 时，存在唯一一点 ，使得 ．
在区间 上有零点，不能得到 ．
考点：零点问题
【例6】⑴已知函数 在 上的图象是连续不断的一条曲线，且 ，则
（）
A．在区间 上有 个零点
B．在区间 上零点个数是偶数个
C．在区间 上零点个数可能为
D．在区间 上没有零点
⑵函数 的零点所在的一个区间是( )．
⑶已知函数 是 上的减函数，则 的取值范围是_________．
【解析】⑴ ；
⑵ ；
⑶
1．定义
一般地，如果函数 在实数 处的值等于零，即 ，则 叫做这个函数的零点．
<教师备案>零点不是点，在坐标系中表示函数图象与 轴的交点是 点．
2．零点分析法
如果函数 在一个区间 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 ，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点 ，使得 ，
高中数学.复合函数、抽象函数、函数零点
1、复合函数的性质：对于单调性，有“同步增，异步减”．对于奇偶性，若每层函数均有奇偶性，则有“全奇才奇，有偶则偶”． 对于周期性，内层函数为周期函数的复合函数仍为周期函数．2、抽象函数往往有它所对应的具体函数模型，常见的抽象函数模型有： ⑴ 正比例函数：()()()f x y f x f y +=+； ⑵ 指数函数：()()()f x y f x f y +=； ⑶ 对数函数：()()()f xy f x f y =+； ⑷ 幂函数：()()()f xy f x f y =．3、函数的零点⑴ 满足()0f a =的a 叫做函数()f x 的零点，即方程()0f x =的实数根，也即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标．⑵ 零点定理：若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0f a f b ⋅<．则在区间(),a b 内，函数()y f x =至少有一个零点．特别的，如果函数在此区间上单调，则函数()y f x =在此区间上有且只有一个零点．⑶ 零点个数的判断通常借助函数图象，零点问题和交点问题往往需要通过互相转化解决．知识梳理知识结构图复合函数、 抽象函数、函数零点1、（2007北京理）对于函数①()()lg 21f x x =-+，②()()22f x x =-，③()()cos 2f x x =+，判断如下三个命题的真假： 命题甲：()2f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(),2-∞上是减函数，在()2,+∞上是增函数； 命题丙：()()2f x f x +-在(),-∞+∞上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ．A ．①③B ．①②C ．③D ．②【解析】 D2、 （2011北京理13）已知函数()()32212x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，≥，，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．【解析】 ()0,1；1、()213log 54y x x =-+的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞ 2、设函数()xf x a -=（0a >且1a ≠），()24f =，则（ ）A ．()()21f f ->-B ．()()12f f ->-C ．()()12f f >D ．()()22f f ->3、已知()()log 2a f x ax =-是[]0,1上的减函数，则a 的值可能为（ ） A ．12 B ．32C ．2D ．3 4、已知函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()2log 2h x x =-的零点分别为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5、已知函数()()()2f x x a x b =---（a b <），并且α、β是方程()0f x =的两个根（αβ<），则实数a 、b 、α、β的大小关系是（ ）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<6、已知函数()22f x x x c =-+，()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x -=（2n ≥，n *∈N ），若函数()n f x x -不存在零点，则c 的取值范围是（ ） A ．14c <B ．34c ≥C ．94c >D ．94c ≤ 小题热身真题再现7、下列关于函数()()log 1x a f x a =-（0a >且1a ≠）的命题： ① 无论a 取何值，()f x 均为R 上的增函数； ② 无论a 取何值，()f x 的值域均为R ； ③ 无论a 取何值，()f x 一定有零点； ④ 存在某个a ，使得()f x 恰好有两个零点．其中正确的命题个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38、若单调函数()f x （x ∈R ）满足()()()f x y f x f y +=⋅，则()f x 的值域为（ ） A ．R B ．()(),00,-∞+∞ C ．()0,+∞ D ．不能确定9、已知函数()2243f x x x -=-+-，设()()()()F x p f f x f x =⋅+，其中p 为负实数．若()F x 在区间(),3-∞-上是减函数，在区间()3,0-上是增函数，则p 的值为（ ）A ．1-B ．18-C ．116-D ．12-10、已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则关于x 的方程()()20m f x nf x p ++=⎡⎤⎣⎦（实数,,,,,0a b c m n p ≠）的解集不可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,4,16,641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AABAACCCCD考点：复合函数的定义域与值域 【例1】 ⑴函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑵函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为 ，值域为 ．⑶函数21122log log 2y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为_________，值域为____________． 【解析】 ⑴ [)0,+∞，(]0,1；⑵ [11]-，，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑶ [)1042⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，，[0)+∞，；4.1复合函数经典精讲【例2】 ⑴已知函数()()2lg 21f x ax x =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围．⑵已知函数()()2lg 21f x axx =++的值域为R ，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴ ()1,+∞；⑵[]0,1；【拓1】 ⑴ 已知()32log f x x =+，[]1,9x ∈，求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域．⑵ 设2,1(),1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥，()g x 是二次函数，若()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域．⑶ 设[]2,8x ∈，函数()()21()log log 2a a f x ax a x =⋅的最大值是1，最小值是18-，求a 的值．【解析】 ⑴ []6,13⑵ [)0,+∞． ⑶ 12a =．考点：复合函数的性质初步【例3】 ⑴函数()212log 56y x x =-+的单调增区间为（ ）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D ．(2)-∞，⑵函数2212x x y -++⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑶函数421x x y =-+的值域为_______，单调递减区间为________．【解析】 ⑴ D ；⑵ D ；⑶ 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(),1-∞-．考点：复合函数的性质综合【例4】 ⑴函数()()212log 23f x x ax =-+，若()f x 在(],1-∞内是增函数，则a 的取值范围为________；若()f x 的单调递增区间是(],1-∞，则a 的取值范围为________． ⑵已知函数()()31axf x a -=≠，若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． ⑶若函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠）在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调增区间是 ．【解析】 ⑴ [12)，；{1}．⑵()(],01,3-∞；⑶1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭考点：抽象函数的函数值问题 【例5】 ⑴若奇函数()f x （x ∈R ）满足()21f =，()()()22f x f x f +=+，则()1f = ； ⑵定义在实数R 上的函数()y f x =具有如下性质： ①对任意x ∈R ，都有()()33f x f x =⎡⎤⎣⎦；②对任意12x x ∈R ，，且12x x ≠，都有()()12f x f x ≠． 则()()()101f f f -++=________． ⑶已知函数()f x （x ∈R ）满足()12f =，()()()2f x y f x f y xy +=++，则 ()2f = ，()3f = ，()3f -= ．⑷()f x 是定义在(0)+∞，上的增函数，对正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集为_ ______．【解析】 ⑴12； ⑵ 0；⑶ 6，12，6； ⑷ ()1,2；【拓2】 定义在[]0,1上函数()f x 满足：① ()00f =；② ()()11f x f x +-=； ③ ()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④ 对任意12,x x []0,1∈，若12x x <，则()()12f x f x ≤． 则()1f = ，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】12013f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】 ()11f =；1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【追问】112013128f ⎛⎫=⎪⎝⎭． 4.2抽象函数考点：抽象函数的性质【例6】 ⑴若函数()f x （x ∈R ，且0x ≠）对任意的非零实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+．求证：()f x 为偶函数．⑵定义在R 上的函数()f x 同时满足下列条件：① 对任意x ，y ∈R ，恒有()()()f x y f x f y +=+； ② 当0x >时，()0f x <，且()12f =-．判断函数()f x 的奇偶性，并求函数()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值．【解析】 ⑴ 令1,1x y ==-得(1)(1)(1)f f f -=+-，于是(1)0f =；再令1x y ==-得(1)2(1)0f f =-=，于是(1)0f -=．令1y =-得()()(1)()f x f x f f x -=+-=，又()f x 的定义域关于原点对称．故()f x 为偶函数． ⑵ ()f x 在区间[]2,4-上的最大值是(2)4f -=，最小值为(4)8f =-．【备注】本题可以通过函数原型快速得到答案或得到启发．对于⑴()ln f x x =（x ∈R ）是符合函数的函数原型； 对于⑵()2f x x =-（x ∈R ）是符合函数的函数原型．【拓3】 函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m ，n ，总有()()22n m f m f n mf nf⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求(0)f 的值；⑵ 求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立； ⑶ 求所有满足条件的函数()f x ．【解析】 ⑴ (0)0f =；⑵ 对任意t ∈R ，令2m n t ==，得2(2)4()f t t f t =⋅，于是21()(2)04t f t f t ⋅=≥； ⑶ ()f x x =．考点：零点定理【例7】 ⑴函数()237x f x x =+-在区间[02]，上的零点必在下面的区间（ ）内．Ａ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｂ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｃ．312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， Ｄ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ⑵设函数()32log x f x a x+=-在区间()1,2内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()31,log 2-- B ．()30,log 2 C ．()3log 2,1 D ．()31,log 4 【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；4.3函数零点考点：函数图象与零点、交点问题【例8】 ⑴方程2log (3)2x x +=的解的情况是（ ）A ．仅有一根B ．有两个正根C ．有一个正根和一个负根D ．有两个负根⑵已知()2881651x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，≤，，()ln g x x =，则()f x 与()g x 的图象的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4⑶若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． ⑷若不等式2log 0a x x -<对102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数a 的取值范围是_______．【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；⑶ (1,)+∞；⑷ 1116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；考点：复合函数的零点问题【例9】 ⑴已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图象如下所示：-22-22y -11-11Ox-22-22y -11-11Oxf xg x 给出下列四个命题：①方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有6个根 ②方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有3个根 ③方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个根 ④方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）． ⑵设1,11()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于 ． 【解析】 ⑴ ①③④；⑵ 5；【拓4】 已知()2f x x px q =++，关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，求证：p 与q 同时大于0或者p 与q 同时等于0．【解析】 关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，()f x 的图象只有如图两种情形（分别对应0∆>和0∆=的情形）．进而容易证明命题成立．y=x 2y=x 1x 2x 1 yOx O xy一、选择题 1、设()()23132x x f x k =-+⋅+，当0x >时()f x 恒取正值，则k 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(),221-∞- C ．()1,221-- D ．()221,221---【解析】 B ；2、设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，【解析】 B ；3、 关于x 的方程1log (0x aa x a =>且1)a ≠（ ）A ．仅当1a >时，有唯一解B ．仅当01a <<时，有唯一解C ．有唯一解D ．无解【解析】 C ．4、 设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当00b c =>，时，方程()0f x =只有一个实根； ③函数()y f x =的图象关于点(0)c ，对称； ④方程()0f x =至多有两个实根；其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C ；二、填空题 5、 设函数22()log log (1)f x x x =+-，则()f x 的定义域是_______；()f x 的最大值是_____．【解析】 (0,1)；2-．6、 函数22()log (3)log (1)f x x x =++-的值域是___________，单调递增区间为_______．【解析】 (,2]-∞，(3,1)--．课后习题7、 若log (2)a y ax =-在[]01，上是x 的减函数，则a 的取值范围是______． 【解析】 (12)a ∈，；三、解答题 8、已知定义域为R 的函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=，且()31f >． ⑴求()0f ；⑵求证：()41f -<．【解析】 ⑴ (0)1f =；⑵ 3(3)(2)(1)(1)1f f f f ==>，故(1)1f >，从而24(4)(2)(1)1f f f ==>．令4,4x y ==-得，(4)(4)(0)1f f f -==，故1(4)1(4)f f -=<．命题得证． 【备注】()()()f x y f x f y +=的函数原型是指数函数()x f x a =，由(3)1f >知，1a >． 9、函数()2x f x =和()3g x x =的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点()11,A x y 、()22,B x y ，且12x x <．x 1x 2BA C 2C 1yO x⑴ 请指出示意图中曲线1C 、2C 分别对应哪一个函数？⑵ 若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出a 、b 的值，并说明理由；⑶ 结合函数图象示意图，请把()πf 、()πg 、()2013f 、()2013g 四个数从小到大顺序排列．【解析】 ⑴ 1C 对应函数()3g x x =，2C 对应函数()2x f x =；⑵ 如下表，可得1a =，9b =．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12()f x 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ()g x1 8 27 641252163435127291000 1331 1728()()()() 10、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=．⑴ 若方程有两根，其中一根在区间()1,0-内，另一根在区间()1,2内，求m 的范围． ⑵ 若方程两根均在区间()0,1内，求m 的范围．【解析】 ⑴5162m -<<-．⑵1122m -<-≤。
高考函数-复合函数的零点-含答案
数.y=f(u)称为外层函数，u=g(x)称为内层函数，也称为中间变量.
2．复合函数函数值计算的步骤：求 y g f x 函数值遵循“由内到外”的顺序，
一层层求出函数值． 3．已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求 x 的解，则遵循“由外到内”
三 试题研究
例 1. 已知
，若关于 的方程
恰好
有 个不相等的实数根，则实数 的取值范围是______________．
【解析】∵
，∴
，∴
∴当
或 时，
，当
时，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在
可作出 大致函数图象如图所示：令
，
上单调递增
当
时，方程
有一解；当 时，方程
有两解；
当 时，方程
有三解；
∵关于 的方程
，恰好有 4 个不相等实数根
∴关于 的方程
在和
上各有一解
∴
，解得
，
综上：答案为
；
例 2.（13 安徽）若函数 f x x3 ax2 bx c 有极值点 x1, x2 ，且 f x1 x1 ，
则关于 x 的方程 3 f x2 2af x b 0 的不同实根的个数是（
）
A．3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB．4
C．5
D．6
解： f ' x 3x2 2ax b 由极值点可得：x1, x2 为 3x2 2ax b 0 ①的两根，观
察 到 方 程 ① 与 3 f x2 2af x b 0 结 构 完 全 相 同 ， 所 以 可 得
3 f x2 2af x b 0 的两根为 f1 x x1, f2 x x2 ，其中 f1 x1 x1 ，
复合函数的零点问题(解析版)
复合函数的零点问题(解析版)复合函数的零点问题(解析版)复合函数是数学中常见的一种函数形式，它由两个或多个基本函数按照一定的规则组合而成。
零点问题是指找出函数在定义域内使得函数取零值的自变量的取值。
一、复合函数的定义和性质复合函数是由两个或多个函数按照一定的运算规则组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量x进行g(x)的运算，然后再对结果进行f(x)的运算。
在复合函数的运算中，需要符合以下性质：1. 结合律：对于三个函数f(x)，g(x)和h(x)，复合函数f(g(h(x)))可以简写为(f∘g∘h)(x)。
2. 基本函数的定义域和值域：复合函数的定义域由其中的基本函数的定义域决定，值域受到基本函数值域的限制。
二、复合函数的求解方法对于复合函数的零点问题，可以通过以下方法进行求解：1. 代数法：将复合函数表示为等式，然后对方程进行变形和化简，最终解得零点的取值。
2. 几何法：将复合函数的图像与直线y=0相交的点作为复合函数的零点。
三、实例分析为了更好地理解复合函数的零点问题，下面以一个实例进行分析：例：已知函数f(x) = sin(x)，g(x) = x-2，求复合函数f(g(x))的零点。
解：首先将复合函数表示为等式：f(g(x)) = 0sin(g(x)) = 0然后对方程sin(g(x)) = 0进行求解：由于sin函数的周期为2π，且在每个周期内有零点，因此可以得到：g(x) = 2kπ，其中k为整数。
将g(x) = 2kπ代入函数g(x) = x-2中：x-2 = 2kπ，解得x = 2kπ+2综上，复合函数f(g(x))的零点为x = 2kπ+2，其中k为整数。
四、结论与总结通过以上例子，我们可以看出复合函数的零点问题是通过将复合函数表示为等式，然后对方程进行求解来解决的。
根据实际情况选择合适的代数法或几何法进行求解，最终得到复合函数的零点的取值。
根据函数零点的个数求参数问题例析
ʏ刘登丽函数的零点是函数的重要性质,是高考的常考点㊂解答这类问题,需要借助函数的图像㊁性质等知识㊂一㊁无零点问题例1 若函数f (x )=m x -m +1在区间[0,1]上无零点,则实数m 的取值范围为( )㊂A .0<m <1 B .m >1C .m <0D .m <1解:当m =0时,可得f (x )=1,此时函数f (x )无零点,符合题意㊂当m ʂ0时,令f (x )=0,则x =m -1m ㊂由x =m -1m <0或x =m -1m>1,解得0<m <1或m <0,符合题意㊂综上可知,函数f (x )=m x -m +1在区间[0,1]上无零点,则m <1㊂应选D ㊂评注:解题时,不能忽视m =0的情况㊂二㊁存在零点问题例2 若函数f (x )=e -x-l n (x +a )在(0,+ɕ)上存在零点,则实数a 的取值范围为㊂解:由题意知函数y =e-x与g (x )=l n (x +a )的图像在(0,+ɕ)上有交点,画出这两 图1个函数的大致图像,如图1所示㊂由图可知,当a >0时,g (x )=l n (x +a )的图像是由函数y =l n x 的图像向左平移a 个单位长度得到的,根据图像可知此时只需要g (0)=l n a <1,即0<a <e ;当a ɤ0时,g (x )=l n (x +a )的图像是由函数y =l n x 的图像向右平移-a 个单位长度得到的,此时在(0,+ɕ)上y =e -x与g (x )的图像恒有交点,满足条件㊂综上可得,a <e ,即实数a 的取值范围是(-ɕ,e)㊂评注:对于函数f (x ),当a >0时,函数f (x +a )的图像是由f (x )的图像向左平移a 个单位长度得到的;当a <0时,函数f (x +a )的图像是由f (x )的图像向右平移-a 个单位长度得到的㊂三㊁一个零点问题例3 (1)若2是函数f (x )=a ㊃2x-l o g 2x 的零点,则a =㊂(2)函数f (x )=a x 2-x -1有且仅有一个零点,则实数a 的值为㊂解:(1)由题意得f (2)=4a -1=0,所以a =14㊂(2)当a =0时,f (x )=-x -1,令f (x )=0,可得x =-1,所以f (x )有一个零点为-1㊂当a ʂ0时,由Δ=1+4a =0,可得a =-14㊂故满足条件的实数a 的值为0或-14㊂评注:对于一元二次方程,当Δ=0时,方程有两个相等实根;当Δ>0时,方程有两个不相等实根;当Δ<0时,方程无实根㊂四㊁两个零点问题例4 (1)若α,β是二次函数y =x 2+3x -6的两个零点,则α2-3β的值为㊂(2)已知实数a >0,函数f (x )=x 2-2a x ,x ɤ1,l o g 12x ,x >1,若方程f (x )=-34a 2有且仅有两个不等实根,且较大实根大于2,则实数a 的取值范围是㊂解:(1)因为α,β是二次函数y =x 2+71知识结构与拓展高一数学 2023年11月3x -6的两个零点,所以α,β是方程x 2+3x -6=0的两个实根,所以α2+3α-6=0,α+β=-3,所以α2-3β=α2-3(-3-α)=α2+3α+9=6+9=15㊂(2)当x >1时,f (x )=-34a 2等价于l o g 12x =-34a 2,则x =234a 2>20=1,这时a >0,符合要求㊂当x ɤ1时,f (x )=-34a 2等价于x 2-2a x =-34a 2,即(x -a )2=14a 2㊂因为a >,所以x -a =ʃ12a ,解得x =12a 或x =32a ㊂因为12a <32a ,且方程f (x )=-34a2有且仅有两个不等实根,所以12a ɤ1,32a >1,解得23<a ɤ2㊂已知较大实根大于2,若32a >2,则a >43;若234a 2>2,则a >233或a <-233(舍去)㊂综上可得,233<a ɤ2,即实数a 的取值范围为233,2㊂评注:分段函数的零点个数是各段函数零点个数之和㊂五㊁三个零点问题例5已知函数f (x )=l n (-x -1),x <-1,2x +1,x ȡ-1,若函数g (x )=f [f (x )]-a 有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是㊂解:设t =f (x )㊂令f [f (x )]-a =0,则a =f (t )㊂在同一坐标系内,画出y =a,y =f (t )的大致图像,如图2所示㊂由图可得,当a ȡ-1时,y =a 与y =图2f (t )的图像有两个交点,设交点的横坐标为t 1,t 2(不妨设t 2>t 1),则t 1<-1,t 2ȡ-1㊂当t 1<-1时,t 1=f (x )有一个解;当t 2ȡ-1时,t 2=f (x )有两个解㊂当a <-1时,y =a 与y =f (t )的图像只有一个交点,不合题意㊂故当a ȡ-1,即a ɪ[-1,+ɕ)时,函数g (x )=f [f (x )]-a 有三个不同的零点㊂评注:复合函数问题中,内层函数的值域是外层函数的定义域㊂已知函数f (x )=(x +1)2,x ɤ0,l n x ,x >0,函数g (x )=f (x )+2x +a ,若g (x )存在两个不同的零点,则a 的取值范围为㊂提示:作出函数f(x )=(x +1)2,x ɤ0,l n x ,x >0的图像,如图3所示㊂由g (x )=f (x )+2x +a ,令g (x )=0,可得f (x )=-2x -a ,作出直线y =-2x -a 的 图3图像(如图3)㊂由题意可得方程f (x )=-2x -a 有两个不同的实数根,即函数f (x )的图像与直线y =-2x -a 有两个交点㊂当直线经过点(0,1)时,可得-a =1,即a =-1;当直线y =-2x -a 与y =(x +1)2(x ɤ0)的图像相切时,可得x 2+4x +1+a =0,由Δ=16-4(a +1)=0,可得a =3㊂由数形结合知,当a <-1或a =3时,直线y =-2x -a 和f (x )的图像有两个交点㊂故所求a 的取值范围为{a |a <-1或a =3}㊂作者单位:湖北省巴东县官渡口镇初级中学(责任编辑 郭正华)81 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月。
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复合函数图像研究零点
例1、求方程02324=+-x x 实数解的个数为个。
例2、已知函数
则下列关于函数的零点个数的判断
正确的是（ ）
A. 当
时，有3个零点；当时，有2个零点 B. 当时，有4个零点；当时，有1个零点 C. 无论为何值，均有2个零点D. 无论为何值，均有4个零点
例3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|ln x |，x >0x 2＋4x ＋1，x ≤0
，若关于x 的方程f 2(x )－bf (x )＋c ＝0(b ，c ∈R )有8个不同的实数根，则b ＋c 的取值范围为( )
A ．(－∞，3)
B ．(0,3]
C ．[0,3]
D ．(0,3)
例4、已知函数c bx ax x x f +++=23)(有两个极值点21,x x ，若211)(x x x f <=，则关
于x 的方程0)(2)(32=++b x af x f 的不同实根个数为。
及时训练
1、已知函数和在的图象如下所示：
给出下列四个命题：
①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根 ③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.
2、定义在()+∞,0上的单调函数函数)(x f ，对任意(),,0+∞∈x 都有[]4log )(3=-x x f f ，则函数21)()(x
x f x g -=的零点所在区间是（ ） A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛43,21 D 、⎪
⎭⎫ ⎝⎛1,43
)(x f y =)(x g y =]2,2[
-0)]([=x g f 0)]([=x f g 0)]([=x f f 0)]([=x g g
3、设函数⎩
⎨⎧-≥=0,20,)(2 x x x x x f 则关于x 的方程[]0)(=+k x f f 的根的情况，下列说法正确的有。
①存在实数k ，使得方程恰有一个实根 ②存在实数k ，使得方程恰有两个实根 ③存在实数k ，使得方程恰有三个实根 ④存在实数k ，使得方程恰有四个实根
4、函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图像关于a
b x 2-
=对称。
据此可推测，对于任意非零实数p n m c b a ,,,,,，关于x 的方程[]0)()(2=++p x nf x f m 的解集不可能是（ ） A. B C D
5、已知函数⎩⎨⎧=≠-=1,01
,1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同
实数解的充要条件是（ ）
A 、00><c b 且
B 、00<>c b 且
C 、00=<c b 且
D 、00=≥c b 且
{}1,2{}1,4{}1,2,3,4{}1,4,16,64
6、已知函数12lg )(+-=x x f ，则关于x 的方程0))()(2)((=--a x f x f 有8个不同的实数解，则a 的取值范围为。
7、7、已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=0,00,1)(x x x
x x f 则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是（ ）
A 、02>-<c b 且
B 、02<->c b 且
C 、02=-<c b 且
D 、02=-≥c b 且
8、已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-=1,01,11)(x x x x f 则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有3个不同实数
解321,,x x x ，则=++2
32221x x x 。
9、已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-=2,02,21)(x x x x f 则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实数
解54321,,,,x x x x x ，则=++++)(54321x x x x x f （ ）
A 、
41 B 、81 C 、121 D 、16
1
10、已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-=3,03,31)(x x x x f 若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实
数解，则实数b 的取值范围为（ ）
A 、()1,0
B 、()1,-∞-
C 、()+∞,1
D 、()()1,22,---∞-
11、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0
,120,2)(2x x x x x f x ，若关于x 的方程0)()(2=-x af x f 有4个不同实数解，则实数a 的取值范围为。
12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=1
,01,1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程04)()1(2)(2=++-a x f a x f 有8个不同实数解，则实数a 的取值范围为。
13、已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤≤=)2(,1)2
1()20(,165)(2x x x x f x ，则关于x 的方程0)()(2=++b x af x f ，R b a ∈,有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）
A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--
49,25 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,49 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--49,25 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,49 D 、⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1,25
14、已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-=2,12,21)(x x x x f 则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实数解，则实数b 的取值范围为。
15、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=1
,21,12)(x x x x f x 则关于x 的方程01)(2)(22=++x bf x f 有6个不同实数解，则实数b 的取值范围为。
16、已知函数13)(23+-=x x x f ，⎪⎩
⎪⎨⎧≤++->+-=0,1)3(0,1)2
1()(22x x x x x g ，则方程[]0)(=-a x f g ，（a 为实数）的实数根最多有个。