数列的概念与表示(一)
数列的概念及简单表示法
第1节数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的分类3.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.[常用结论与微点提醒] 1．一些常见数列的通项公式(1)数列1，2，3，4，…的通项公式为a n ＝n ； (2)数列2，4，6，8，…的通项公式为a n ＝2n ； (3)数列1，2，4，8，…的通项公式为a n ＝2n －1； (4)数列1，4，9，16，…的通项公式为a n ＝n 2； (5)数列1，12，13，14，…的通项公式为a n ＝1n . 2．已知递推关系求通项一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列． (2)数列中的数是可以重复的． (3)不是所有的数列都有通项公式． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64解析 当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 A3．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1解析 对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意，故选C.答案 C4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞)5．(2018·台州月考)在数列{x n }中，x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，则数列{x n }的第2项是________，所有项和T ＝________． 解析 ∵x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，∴x 2＝log 2(x 1－2)＝log 28＝3，x 3＝log 2(x 2－2)＝log 21＝0. 数列{x n }所有项的和为10＋3＋0＝13. 答案 3 136．(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________．解析 a 1＝1，a 2＝6＝1＋5＝1＋5×(2－1)，a 3＝11＝1＋5×2＝1＋5×(3－1)， a 4＝16＝1＋5×3＝1＋5×(4－1)， ∴a n ＝1＋5×(n －1)＝5n －4. 答案 5n －4考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数，故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想． 【训练1】 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) (2)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________．解析 (1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可．(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1n （n ＋1）.答案 (1)C (2)(－1)n1n （n ＋1）考点二 由S n 与a n 的关系求a n (易错警示)【例2】 (1)(2017·温州市十校联考)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________． 解析 (1)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式． ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)－2n －1(2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形． 【训练2】 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13， 两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1， ∴a n ＝(－2)n －1.答案 (1)⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)(－2)n －1考点三 由数列的递推关系求通项公式【例3】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)(2018·衢州质检)在数列{a n }中，a 1＝1，(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1(n ∈N *)，则通项公式a n ＝________．解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n－1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3， 将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)由(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1得a n ＋1－a n ＝1n 2＋2n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以a 2－a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13，a 3－a 2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14，…，a n －1－a n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ，a n －a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋1＝74－2n ＋12n （n ＋1）.答案 (1)3×2n －1－2 (2)74－2n ＋12n （n ＋1）规律方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项．(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n ＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项．(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键． 【训练3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________．(2)(一题多解)若a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则通项公式a n ＝________． (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________．解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)法一 因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n－1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n . 法二 因为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －1n －2·…·1＝1n . (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 (1)n （n ＋1）2＋1 (2)1n(3)2n ＋1－3基础巩固题组一、选择题1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 答案 C2．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B ．cos n π2C ．cosn ＋12πD ．cos n ＋22π解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 答案 D3．(一题多解)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A ．2n －1B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)解析 法一 由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.法二 由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 答案 A4．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7B ．6C ．5D ．4解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D5．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.答案 D6．(2018·宁波镇海中学调研)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，a n ＜a n ＋1恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(3，5)B ．(4，6)C ．[3，5)D ．[4，6)解析 由S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，得S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2.两式相减得，a n ＋1＋a n ＝8n ＋4(n ≥2)，则a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12.两式相减得，a n ＋2－a n ＝8(n ≥2)．又由a 1＝a ，a 1＋a 2＋a 1＝16得a 2＝16－2a ，又由a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝4×32得a 3＝4＋2a ，所以a 2n ＝a 2＋8(n －1)＝8n ＋8－2a ，a 2n ＋1＝a 3＋8(n －1)＝8n －4＋2a .因为对任意n ∈N *，a n ＜a n ＋1恒成立，所以⎝ ⎛a ＜16－2a ，8n ＋8－2a ＜8n －4＋2a ，8n －4＋2a ＜8（n ＋1）＋8－2a ，解得3＜a ＜5. 答案 A二、填空题7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n，a 8＝3421，则a 5＝________．解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85. 答案 858．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________．解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，由于a 1≠0，则a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1. 答案 19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a 1＝________；a n ＝________．解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案 4 ⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥210．(2018·绍兴一中适应性考试)数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，b n ＝ (－1)n ·(a n －2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________，数列{b n }的前50项和为________．解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n ＋1－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n ，当n ＝1时不满足上式，则其通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.当n ＝1时，b 1＝－1；当n ≥2时，b n ＝(－1)n ·(a n －2)＝(－1)n ·2(n －1)，则数列{b n }的前50项和为－1＋2×1－2×2＋2×3－…＋2×49＝－1＋2×(1－2＋3－…＋49)＝－1＋2×25＝49.答案 a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 49三、解答题11．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．12．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2. 显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2. 能力提升题组13．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4 D ．0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.答案 D14．(2018·杭州调考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 019的值为________．解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 019＝6×336＋3，∴a 2 019＝a 3＝1.答案 115．(2017·金丽衢十二校联考)对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i ＋i (i ＝1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”．不论数列{a n }是否具有“P 性质”，如果存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件： ①b 1，b 2，b 3，…，b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列；②数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”． 下面三个数列：①数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3(n 2－1)；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3， (11)具有“P 性质”的为________；具有“变换P 性质”的为________． 解析 对于①，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n ，∵a 1＝0，∴a n ＝n 2－n ，∴a i ＋i ＝i 2(i ＝1，2，3，…)为完全平方数，∴数列{a n }具有“P 性质”；对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换P 性质”，数列{b n }为3，2，1，5，4，具有“P 性质”，∴数列{a n }具有“变换P 性质”；对于③，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P 性质”． 答案 ① ②16．(2018·台州测试)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)． 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8)．17．(一题多解)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1＜c n .(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4.对于n ≥2，有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n . 又当n ＝1时，a 1＝4适合上式，故{a n }的通项公式a n ＝4n . 将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1. (求b n 法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，b n ＝12b n －1，所以数列{b n }是以1为首项，公比为12的等比数列，故b n ＝21－n . (求b n 法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n ，得T n ＝2－(T n －T n －1)，2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)，T n －2＝21－n (T 1－2)＝－21－n ，T n ＝2－21－n ，b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n . 又n ＝1时，b 1＝1适合上式，故{b n }的通项公式b n ＝21－n .(2)证明 (法一)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ， 得c n ＋1c n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43＜2，即c n ＋1＜c n .(法二)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]． 当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n ＜0，即c n ＋1＜c n .。
2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
(2)会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式。
1.选择题
补充练习
(1)下面数列是有穷数列的是(
)
A.1,0,1,0, C.2,22,222,
B.1, 1 , 1 , 1 ; 234
D.0,0,0,0,
(2)以下四个数中是数列{n(n 1)}中的一项是(
子放2颗麦粒
?
64个格子
8 7
你认为国王有
6 能力满足上述
5 4
要求吗?
3
8 76
543
2
2 1 1
每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子
210 21 22 23 263
18446744073709551615
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
观察下列图形：
① ② ③ ④ ……
例如 : 1，2，22，23，263
1.数列的一般形式可以写成：
a1，a2，a3，，an ， 简记为an
1.辨析数列的概念:
(1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一个 数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？ (2) 数列中的数可以重复吗？ (3) ｛ 1, 2, 3, 4, 5 ｝是数列吗？若不是，那么 数列与集合有什么区别？ (4) -3，-1，1，x，5，7，y，11是一个项数 为8的数列吗？
（2）
53 50
是这个数列的第几项？
（3）这个数列有多少个整数项？
（4）有否等于序号的
1 3
的项？如果有，求出
这些项；如果没有，试说明理由。
例5. 已知函数 f (x) x 1 ，设 an f (n), n N
数列概念及其表示
解：由 a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝4＝22，a3＝2a2＝2·22＝23， a4＝2a3＝2·23＝24. 猜想 an＝2n(n∈N*)． 证明如下： 由 a1＝2，an＋1＝2an，
得aan－n 1＝aann－－12＝…＝aa32＝aa21＝2(n≥2)． ∴an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa32·aa21·a1＝2·2·…·2·2＝2n. 又当 n＝1 时，a1＝21＝2 成立， ∴an＝2n(n∈N*)．
跟踪练习
1.已知数列{an}分别满足下列条件，写出它的前五项，并归 纳出各数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2.
解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝16， ∴它的前五项为 0,1,4,9,16，此数列又可写成 (1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，… 故该数列的一个通项公式为 an＝(n－1)2.
1. 已 知 函 数 f (x) log 2 x log x 4, (0 x 1) ， 数 列 {an} 满 足
f (2an ) 2n
(1)求 an； (2)判断数列{an}的单调性。
2. 数列{an}满足 an n2 kn 1是增数列，求 k 的取值范围。
3.
数列{an}满足 an
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1) ＋a1
＝12[(n－1 1－n＋1 1)＋(n－1 2－1n)＋…＋(12－14)＋(1－13)]＋ 1＝12(－n＋1 1－1n＋12＋1)＋1
2.1数列的概念与简单表示法
第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法一、 知识点 （一）数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）排在第二位的数称为这个数列的第2项，…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
2、数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3，是不同的数列。
3、在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此 ，同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的：{}n a 表示数列12,,...,n a a a ；而n a 只表示这个数列的第n 项，这里{}n a 是数列的简记符号，并不表示一个集合。
（二）数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、 项数有限的数列叫有穷数列 2、 项数无限的数列叫无穷数列补充说明：按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类1、 递增数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项（即1n n a a +>），这样的数列叫做递增数列。
2、 递减数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项（即1n n a a +<）， 这样的数列叫做递减数列。
3、 摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。
4、 常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。
2.1数列的概念与简单表示法
情景导入
1. 一尺之棰,日取其半,万世不竭. (单位：尺)
22 23
↑↑ ↑ ↑ ↑
1，2， 3， 4，…,n,…
n(1 n) 2
1，22，32，42…,n2…
1.
2. 三角形数 1，3，6，10，···
3. 正方形数 1，4，9，16，···
这些数有什么有什么共同特点？
三、数列的对应性
数列可以看成以正整数集N*（或它的 有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数 an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次 取值时所对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i) (i=1,2,3,…) 有意义那么我们可以得到一个 数列
f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…
1.正负号的循环性。 乘以符号因子-1的幂，3个一循环指数为3n+某 数，某数为0，1，2，3，按3的余数0，1，2分 类讨论. 2.分子分母分开看。 3.幂形式，统底看指、统指看底。 4.等差数列比与自然数列1，2，3，…对应。 f(n)=公差乘以n+某数. 5.把项数写在下方找感觉。
例2. 根据下面数列{an}的通项公式，写出 前五项：
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
785
3
52
4
23
5
66
6
986
定义域 解析式
图象
函数
数列 (特殊的函数)
定义域 解析式
图象
函数
R或R的子集 y＝f(x)
连续的线条
数列 (特殊的函数)
N*或它的子集
an＝f(n) 一些离散的点 的集合
辨析数列的概念: (1) “1, 2, 3, 4, 5”与“5, 4, 3, 2, 1”是同一 个数列吗？与“1, 3, 2, 4, 5”呢？
数列的概念与简单表示法-1
§2.1数列的概念与简单表示法学习目标 1.理解数列及其有关概念(难点)；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项(重点)；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.4、理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；5.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).知识点一数列的概念1.数列与数列的项按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项.2.数列的表示方式数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}.3.数列中的项的性质：(1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性.知识点二数列的分类1.按项的个数分类2.按项的变化趋势分类知识点三数列的函数性质1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2.在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1<an，则{an}为递减数列；若an＋1＝an，则{an}为常数列.知识点四数列的表示方法1、如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.2.数列的递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.3.数列的通项公式与递推公式有什么区别？题型一 数列的概念与分类规律方法 处理数列分类问题的技巧 (1)有穷数列与无穷数列.判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列. (2)数列的单调性若满足a n ＜a n ＋1(n ∈N *)则是递增数列；若满足a n ＞a n ＋1(n ∈N *)则是递减数列；若满足a n ＝a n ＋1(n ∈N *)则是常数列；若a n 与a n ＋1(n ∈N *)的大小不确定时，则是摆动数列.【例1】 (1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A.1，12，13，14，… B.sin π7，sin 2π7，sin 3π7，…C.－1，－12，－14，－18，… D.1，2，3，…，21(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 B.[94，3) C.(1，3) D.(2，3) 答案 (1)C (2)D【训练】 下列形式中哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列，哪些是无穷数列？ (1){0，1，2，3，4}；(2)0，1，2，3，4； (3)0，1，2，3，4，…；(4)1，－1，1，－1，1，－1，…； (5)6，6，6，6，6.解 (1)是集合，不是数列；(2)(3)(4)(5)是数列.其中(3)(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列.题型二 数列的通项公式规律方法 1.根据数列的前几项求通项公式的思路 (1)统一项的结构，如都化成分数，根式等；(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式； (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 处理符号；(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.2.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项a n与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.3.判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.方向1 根据通项公式写数列的项【例2－1】根据下面数列{a n}的通项公式，写出它的前5项：(1)a n＝nn＋1； (2)a n＝(－1)n n.方向2 观察法求数列的通项公式【例2－2】根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式.(1)－3，0，3，6，9，…；(2)3，5，9，17，33，…；(3)2，0，2，0，2，0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，….解(1) a n＝－3＋(n－1)×3＝3n－6(n∈N*).(2)a n＝2n＋1(n∈N*).(3)a n＝1＋(－1)n－1(n∈N*).(4)a n＝(－1)n 2n－32n(n∈N*).方向3 数列的通项公式的简单应用【例2－3】已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n（n＋2）(n∈N*)，则(1)计算a3＋a4的值；(2)1120是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.解(1)∴a3＋a4＝115＋124＝13120.(2)若1120为数列{a n}中的项，则1n（n＋2）＝1120，∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍)，即1120是数列{a n}的第10项.题型三 数列的函数特性1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由.解 法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝（9－n ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n11，当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . 则a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.法二 根据题意，令⎩⎨⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1，即⎩⎨⎧n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≤（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n （n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫10119.规律方法 1.由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n }这一条件.2.可以利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组⎩⎨⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1，找到数列的最小项.【训练】 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn 2＋9(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.解 当n ＝1，2，3，4，5时，a n 依次为110，213，16，425，534， a n ＋1－a n ＝n ＋1（n ＋1）2＋9－nn 2＋9＝－n 2－n ＋9[（n ＋1）2＋9][n 2＋9].∵函数f (x )＝－x 2－x ＋9＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f (1)＝7>0，f (2)＝3>0，f (3)<0，∴当n ＝1，2时，a n ＋1>a n ，当n ≥3，n ∈N *时，a n ＋1<a n ， 即a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>….∴数列{a n}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的.题型四数列的递推数列规律方法 1.由递推公式写出通项公式的步骤(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项).(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式.(3)写出一个通项公式并证明.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如a n＋1＝a n＋f(n)的通项公式.将原来的递推公式转化为a n＋1－a n＝f(n)，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1).(2)求形如a n＋1＝f(n)a n的通项公式.将原递推公式转化为an＋1an＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a2a1＝f(1)，a3a2＝f(2)，…，an a n－1＝f(n－1)，累乘可得ana1＝f(1)f(2)…f(n－1).方向1 由递推公式写出数列的项1、已知数列{a n}的第一项a1＝1，以后的各项由递推公式a n＋1＝2a nan＋2给出，试写出这个数列的前5项.解∵a1＝1，a n＋1＝2a nan＋2，∴a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a 5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.故该数列的前5项为1，23，12，25，13.方向2 由数列的递推公式求通项公式2、已知数列{a n}满足a1＝1，a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式.解∵a1＝1，a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，∴a2＝a1＋12×1＝1＋12＝32，a3＝a2＋13×2＝32＋16＝53，a 4＝a3＋14×3＝53＋112＝74，a5＝a4＋15×4＝74＋120＝95.故数列的前5项分别为1，32，53，74，95.由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n＝2－1n.方向3 构造数列法求通项公式3、设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.法一 (累乘法)：把(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0分解因式，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0. ∵a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ＞0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a na n －1＝12×23×34×…×n －1n ，∴a n a 1＝1n .又∵a 1＝1，∴a n ＝1n a 1＝1n . 法二 (迭代法)：同法一，得a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a n ＋1＝n n ＋1a n ，∴a n ＝n －1n ·a n －1＝n －1n ·n －2n －1·a n －2＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·a n －3…＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12a 1＝1n a 1.又∵a 1＝1，∴a n ＝1n .法三 (构造特殊数列法)：同法一，得a n ＋1a n ＝nn ＋1， ∴(n ＋1)a n ＋1＝na n ，∴数列{na n }是常数列，∴na n ＝1·a 1＝1，∴a n ＝1n.练习1.下列叙述正确的是( D )A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B.数列0，1，2，3，…可以表示为{n }C.数列0，1，0，1，…是常数列 D.数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n n ＋1是递增数列 2.数列2，3，4，5，…的一个通项公式为( B )A.a n ＝nB.a n ＝n ＋1C.a n ＝n ＋2D.a n ＝2n 解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3.数列－1，85，－157，249，…的一个通项公式是(D )A.a n ＝(－1)n·n 2＋n 2n ＋1 B.a n ＝(－1)n·n 2＋32n －1C.a n ＝(－1)n·（n ＋1）2－12n －1 D.a n ＝(－1)n ·n （n ＋2）2n ＋14.已知数列{a n }的通项公式a n ＝（－1）n －1·n2n －1，则a 1＝________；a n ＋1＝________.a 1＝（－1）1－1×12×1－1＝1，a n＋1＝（－1）n＋1－1（n＋1）2（n＋1）－1＝（－1）n（n＋1）2n＋1.答案 1（－1）n（n＋1）2n＋15.已知数列{a n}的通项公式为a n＝－n2＋n＋110.(1)20是不是{a n}中的一项？(2)当n取何值时，a n＝0.解(1)令a n＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，∴n＝10或－9(舍). ∴20是数列{a n}中的一项，且为数列{a n}中的第10项.(2)令a n＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，∴当n＝11时，a n＝0.6.下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n＝nn＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析只有③正确.①中，如已知a n＋2＝a n＋1＋a n，a1＝1，无法写出除首项外的其他项.②中a n＝n＋1n＋2，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不是同一数列.7.数列2，4，6，8，10，…的递推公式是( c )A.a n＝a n－1＋2(n≥2)B.a n＝2a n－1(n≥2)C.a1＝2，a n＝a n－1＋2(n≥2)D.a1＝2，a n＝2a n－1(n≥2)解析A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意.8.数列{x n}中，若x1＝1，x n＋1＝1xn＋1－1，则x2 017等于( D )A.－1B.－12C.12D.1解析∵x1＝1，∴x2＝－12，∴x3＝1，∴数列{x n}的周期为2，∴x2 017＝x1＝1.9.已知数列{a n}，对于任意的p，q∈N*，都有a p＋a q＝a p＋q，若a1＝19，则a36＝________.由已知得a1＋a1＝a1＋1＝a2，∴a2＝29，同理a4＝49，a8＝89，∴a9＝a8＋1＝a8＋a1＝89＋19＝1，∴a36＝2a18＝4a9＝4.10.求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项.a n ＝－2n2＋29n＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n－2942＋10818.由于n∈N*，故当n取距离294最近的正整数7时，a n取得最大值108，∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为a7＝108.。
数列的概念(基础)
数列的概念与简单表示法要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项；项在数列中的位置序号称为项数.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。
数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式可以写成：1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列. 无穷数列：项数无限的数列. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和数列的通项公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：0，1，23，…的通项公式为1n a n =-（*n N ∈）；1，1，1，1，…的通项公式为1n a =（*n N ∈）；1，12，13，14，…的通项公式为1n a n=（*n N ∈）；要点诠释：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的。
高中数学选择性必修二 4 1 数列的概念与简单表示法(含答案)
课时同步练4.1 数列的概念与简单表示法（1）一、单选题1．已知数列{}n a 中，2n+5，则3a =（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．10【答案】C【解析】由已知得2×3+5=11． 故选C ．2．有下面四个结论：①数列的通项公式是唯一的；②每个数列都有通项公式；③数列可以看作一个定义在正整数集上的函数；④数列的图象是坐标平面上有限或无限个离散的点.其中真命题的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【解析】对①，数列1,1,1,1,--其通项公式1(1)n n a +=-，也可以是3(1)n n a +=-，故①错误； 对②，数列的项与n 具备一定的规律性，才可求出数列的通项公式，所以有的数列是无通项公式的，故②错误；对③，数列可以看作一个定义在正整数集上或正整数集的子集上的函数，故③错误； 对④，由数列的定义知命题正确.故选B.3．已知数列-1，0，19，18，…，22n n -，…中，则572是其（ ） A ．第14项 B ．第12项 C ．第10项 D ．第8项【答案】B 【解析】令22n n-=572，化为：5n 2﹣72n +144=0， 解得n =12，或n =125（舍去）． 故选B ．4．数列{}n a 的通项公式()*2n a n n =∈N不满足下列递推公式的是（ ） A ．()122n n a a n -=+ B ．()1223n n n a a a n --=-C ．()()()11222n n n n a a a a n ---=-D ．()122n n a a n -= 【答案】D【解析】将2n a n =代入四个选项得：A. 22(1)2n n =-+ 成立；B. 222(1)2(2)n n n =⨯--- 成立；C. ()2222(1)2(1)][2n n n n -=--- 成立；D. 222n n =⨯ 不恒成立。
数列：第1讲数列的概念及表示
数列的概念及表示1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成 ，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的 与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有 、 、 、 . 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为 、 . (2)按项的增减规律分为 、 、和 ．递增数列⇔a n ＋1 a n ；递减数列⇔a n ＋1 a n ；常数列⇔a n ＋1 a n .递增数列与递减数列统称为 ． 3．数列前n 项和S n 与a n 的关系 已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧≥=）.2（），1（n n4．常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n ＝____________； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n ＝____________； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n ＝____________； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n ＝____________； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n ＝____________；(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n ＝____________； (7)a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式为a n ＝____________； (8)9，99，999，…的一个通项公式为a n ＝ .注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n－1)，29(10n －1)，…，89(10n －1)．【答案】1．(1)项 首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式(解析法) 列表法 图象法 递推公式 2．(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列摆动数列常数列 ＞ ＜ ＝ 单调数列 3．S 1 S n －S n －14．(1)n (2)2n (3)2n ＋1 (4)2n (5)(－1)n (6)1＋（－1）n －12(7)（a ＋b ）＋（－1）n －1（a －b ）2(8)10n －1 【基础自测】1 数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)nn （n ＋1）2n －1B ．a n ＝(－1)nn 22n －1C ．a n ＝(－1)nn 22n ＋1D ．a n ＝(－1)n n3－2n2n －1解：－1＝－11，数列1，4，9，16，…对应通项n 2，数列1，3，5，7，…对应通项2n －1，数列－1，1，－1，1，…对应通项(－1)n .故选B . 2 下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列． 其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：易知①③正确，②④不正确．故选B .3 若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A.110B ．－110C.190D.1990解：a 5－a 4＝⎝⎛⎭⎫16＋17＋…＋110－(15＋16＋17＋18)＝19＋110－15＝190，故选C . 4 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为____________．5 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________. 解法一：由a 1a 2a 3＝22a 3＝32，得a 3＝94，由a 1a 2a 3a 4a 5＝42a 5＝52，得a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.解法二：当n ≥1时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2. 当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2. 两式相除得a n ＝⎝⎛⎭⎫nn －12，n ≥2.∴a 3＝94，a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.故填6116.【典例】类型一 数列的通项公式例一 已知数列：45，910，1617，2526，….(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项．【评析】①一个数列只知道前n 项，其通项公式是不能确定的，即使完全知道该数列，其通项公式的形式也不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成a n ＝1＋（－1）n ＋12或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2甚至分段形式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 是奇数，0，n 是偶数等．②对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n }，{2n }，{(－1)n }，{2n }，{n 2}，{2n －1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等．③由于数列是特殊的函数，因此判断某数是否为数列中的项，即是知a n 判断方程a n ＝f (n )是否有正整数解． 变式 写出下列数列的一个通项公式： (1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)3，33，333，3333，…； (4)23，－1，107，－179，2611，…. 解：(1)a n ＝(－1)n ·1n ；(2)a n ＝2n ＋1； (3)a n ＝13(10n －1)；(4)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1. 类型二 由前n 项和公式求通项公式例二 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________． (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝______________． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11.当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －2n－1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n≥2）.【评析】任何一个数列，它的前n 项和S n 与通项a n 都存在关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）. 若a 1适合S n －S n －1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S 0是否为0来判断：若S 0＝0，则a 1＝S n －S n －1，否则不符合，这在解小题时比较有用．变式 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2＋3n; (2)S n ＝3n ＋1.类型三 由递推公式求通项公式例三 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝2n ·a n (n ≥1)； (2)a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)．解法二：a n ＋1＝2n ·a n ＝2n ·2n －1a n －1＝…＝2n ·2n －1·…·22·21a 1＝21＋2＋…＋n －1＋na 1＝2n （n ＋1）2.∴a n ＝2n （n －1）2.(2)由递推关系a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，有a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)．于是有a 2－a 1＝11－12，a 3－a 2＝12－13，…，a n －a n －1＝1n －1－1n .将上述n －1个式子累加，得a n ＝2－1n.当n ＝1时，a 1＝1也满足，故a n ＝2－1n(n ∈N *)．【评析】已知a 1和数列递推关系求通项时，可先计算出前若干项，通过分析这些项与序号的关系，归纳猜想出数列的通项公式，但这种不完全归纳得到的结论往往需要进行验证；但对于“a na n －1＝f (n )”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“a n －a n －1＝f (n )”型递推关系常用累加法求通项；以上两种情形皆可用迭代法求通项．还须注意检验n ＝1时，是否适合所求．变式 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1；(2)a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2n a n.解：(1)由a 1＝1，a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，得a 1＝1，a 2－a 1＝31，a 3－a 2＝32，…， a n －1－a n －2＝3n －2，a n －a n －1＝3n －1，以上等式两边分别相加得a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12，n ＝1时，a 1＝1也适合，∴a n ＝3n －12.也可直接利用递推公式，逐项代替等式右边出现的a n －1，直至a 1： 由a n ＝3n －1＋a n －1＝3n －1＋3n －2＋a n －2＝…＝3n －1＋3n －2＋…＋32＋31＋a 1＝3n －12.当n ＝1时，a 1＝1也适合，∴a n ＝3n －12.(2)由递推关系a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2n a n ，有a n ＋1a n ＝n ＋2n ，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝n n －2，a na n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n （n ＋1）2，即当n ≥2时，a n ＝n （n ＋1）2a 1＝2n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝4也满足．所以a n ＝2n (n ＋1)． 类型四 数列通项的性质例四 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．解：因a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小． (1)证明：令a n a n －1≥1(n ≥2)，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n n ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n（n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1， 整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减． (2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大．【评析】要证明数列{a n }是单调的，可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1，数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．变式 设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0＜x ＜1)，数列{a n }满足()na f 2＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．【名师点睛】1．已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），务必注意a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下，还需注意验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式． 3．已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得：a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )． (2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小．针对训练1．数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是( ) A ．1＋⎝⎛⎭⎫110nB ．－1＋⎝⎛⎭⎫110nC ．1－⎝⎛⎭⎫110nD ．1－⎝⎛⎭⎫110n ＋12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 4等于( )A.5512B.133C ．4D ．5解：令n ＝3，4，即可求得a 4＝133.故选B .3．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)，则由|a n |≥a n ，知a n ＋1＞a n ，即{a n }为递增数列，充分性成立．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，…，则a 2＞|a 1|不成立，即a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立，亦即必要性不成立．故选B .4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n －40)，则下列判断中正确的是( ) A ．a 19>0，a 21<0 B ．a 20>0，a 21<0 C ．a 19<0，a 21>0D ．a 19<0，a 20>05．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg n B ．2＋(n －1)lg n C ．2＋n lg nD ．1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lgn n －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2.解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n .故选A . 6．对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2012＋x 2013的值为( ) A ．9394 B ．9380 C ．9396D ．94007．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．解：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.故填15.8．根据下面的图形及相应的点数，在空格和括号中分别填上适当的图形和点数，并写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.解：五个方向上点的个数每次多一个，因此第四项和第五项图形和点数为：由此得a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，故a n ＝5n －4，n ∈N *.故填5n －4，n ∈N *.9．根据数列{a n } 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式．(1)7，77，777，7777，…；(2)4，－52，2，－74，85，…； (3)3，5，3，5，…；(4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)将各项改写如下79(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，79(104－1)，… 易知a n ＝79(10n －1)． (2)将各项绝对值改写如下41，52，63，74，85，… 综合考查分子、分母，以及各项符号可知a n ＝(－1)n－1n ＋3n. (3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n 为奇数），5（n 为偶数）， 或 a n ＝（3＋5）＋（－1）n －1（3－5）2＝4＋(－1)n . (4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n＝⎩⎨⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）. 10．数列{a n }中，a n ＝n －n 2＋2，求数列{a n }的最大项和最小项．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝S n 2n ，当n ≥3时，求证：T n ＞T n ＋1. 解：(1)∵na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)(n ∈N *)， 当n ＝1时，a 2＝S 1＋2＝a 1＋2＝4； 当n ≥2时，(n －1)a n ＝S n －1＋(n －1)n . ∴na n ＋1－(n －1)a n ＝S n －S n －1＋2n . ∴n (a n ＋1－a n )＝2n .∴a n ＋1＝a n ＋2(n ≥2)． 又∵a 2－a 1＝2，a 1＝2，∴a n ＋1＝a n ＋2＝a n －1＋2×2＝…＝a 1＋2n ＝2(n ＋1)．从而有a n ＝2n .(2)证明：由(1)可求得S n ＝n （2＋2n ）2＝n 2＋n . ∴T n ＝n 2＋n 2n . ∴T n －T n ＋1＝n 2＋n 2n －（n ＋1）2＋（n ＋1）2n ＋1＝2n 2＋2n －n 2－2n －1－n －12n ＋1＝n 2－n －22n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1. ∴当n ≥3时，有T n －T n ＋1＞0，即T n >T n ＋1.12 已知数列{a n }的通项a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，求{a n }的最大项及最小项． 解：设a n ＝f (n )＝n －98n －99，则a n ＝1＋99－98n －99. 如图(方便起见，画成连续曲线进行研究)．当1≤n ≤9时，a n ＜1，且此时{a n }递减， 即a 1＞a 2＞…＞a 9；当n ≥10时，a n ＞1，并且此时{a n }仍递减， 即有a 10＞a 11＞…＞a n ＞….综上有(a n )max ＝a 10＝10－9810－99， (a n )min ＝a 9＝9－989－99.。
数列的概念和应用
数列的概念和应用一、数列的概念1.数列的定义：数列是由按照一定顺序排列的一列数组成的。
2.数列的表示方法：用大括号“{}”括起来，例如：{a1, a2, a3, …, an}。
3.数列的项：数列中的每一个数称为数列的项，简称项。
4.数列的项的编号：数列中每个项都有一个编号，通常表示为n，n为正整数。
5.数列的通项公式：用来表示数列中第n项与n之间关系的公式称为数列的通项公式，例如：an = n^2。
6.数列的类型：(1)等差数列：数列中任意两个相邻项的差都相等，记为d（d为常数）。
(2)等比数列：数列中任意两个相邻项的比都相等，记为q（q为常数，q≠0）。
(3)斐波那契数列：数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
二、数列的应用1.等差数列的应用：(1)等差数列的求和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)。
(2)等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
(3)等差数列的第n项公式：an = a1 + (n-1)d。
2.等比数列的应用：(1)等比数列的求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
(2)等比数列的前n项和公式：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
(3)等比数列的第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。
3.斐波那契数列的应用：(1)斐波那契数列的性质：斐波那契数列的前两项分别为0和1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
(2)斐波那契数列的通项公式：Fn = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]。
4.数列在实际生活中的应用：(1)计数：数列可以用来表示一些有序的集合，如自然数集、整数集等。
(2)计时：数列可以用来表示时间序列数据，如一天内的每小时气温变化。
(3)排队：数列可以用来表示排队时的人数，以及每个人的位置。
(4)数据分析：数列可以用来表示一组数据的分布情况，如成绩分布、经济发展水平等。
01数列的概念及表示(一)
01数列的概念与简单表示（一）1.给出下列命题：(1)在直角坐标系中，表示数列的图象是一群孤立的点；(2)在数列中，存在项数无限的数列；(3)数列的项是数列序号的函数.其中正确命题的个数是( )DA.0个B.1个C.2个D.3个2..设一数列为2,5,22,11,…,则25是这个数列的( )A.第六项B.第七项C.第八项D.第九项3. .数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4的一个通项公式是( )A.a n =n 2–n+1B.a n =21n(n –1)C.a n =21n(n+1)D.a n =21(n –1)n(n+1 4.在数列{a n }中，a n+1=n n a 2a 2+对所有的正整数n 都成立，且a 7=21，则a 5=( ) A.1 B.32 C.52 D.–15.已知a 0=1,a 1=3,且a n 2–a n –1a n+1=(–1)n ,(n ≥1,n ∈N),则a 3等于( )A.33B.17C.21D.106.已知a 1=1,a n =7a n –1(n ＞1),猜想{a n }的通项为( )A.a n =7n –1B.a n =7nC.a n =7nD.a n =7(n –1)7.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2–n –30,则该数列中为26一项是( )A.第5项B.第6项C.第8项D.不存在这样的项8.已知数列{a n }的首项a 1=1,且a n =2a n –1+1,(n ≥2),则a 5为( )A.7B.15C.30D.319.在数列{a n }中,已知a 1=a 2=1,a n+2=a n +a n+1,则它的前6项分别是 .10.在数列{a n }中,已知a 1=1,a 2=2,a n+2=a n +2n,则a 8= .11.在数列{a n }中,已知a 1=1,当n ≥2时, a 1a 2…a n =n,则a 5+a 6= .12.在数列{a n }中，a n =1n +–n ,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= .13.已知数列{a n }的第n+1项与第n 项满足的关系式是a n+1=2a n –4，若a 6=10，则a 4= .14.在数列{a n }中，a 1=1，且a n+1=a n +n a 1，则a 4= .15.已知一个数列a 1=1,a n =a n –1+2n –1(n ＞1),求数列的前4项,并猜想出数列的一个通项公式.16.在数列{a n }中,已知a 2= –2,a 5=7, a n =pn+q(p,q 为常数),求a 20.17.已知数列{a n }满足的递推公式是： a n –a n –1=1n 1+n1-,且a 1=2,求该数列的通项公式.18. 已知数列{a n }的通项a n =nn 10)1n (9+. (1)求证：当n 增加时a n 开始增加，以后又减少；(2)n 为何值时，a n 最大？。
七年级数学数列的概念
七年级数学数列的概念数列是数学中的一个重要概念，也是初中数学课程中的重点内容之一。
在七年级数学课程中，数列的概念是学生们开始接触的数学概念之一。
本文将详细介绍七年级数学数列的概念，包括数列的定义、数列的表示方法、数列的分类以及数列的应用等内容。
一、数列的定义数列是由一定规律排列组成的一组数，用字母表示为a1，a2，a3，...，an，其中a1，a2，a3表示数列中的第1项，第2项，第3项，...，第n项。
数列通常用大括号{}括起来，例如{1，2，3，4，5}，表示一个简单的递增数列。
二、数列的表示方法数列可以有多种表示方法，其中常见的有列表法、公式法和图形法。
1. 列表法：数列的每一项都按顺序列出来，用逗号隔开。
例如，数列{1，3，5，7，9}表示一个等差数列，每一项之间的差都为2。
2. 公式法：数列的每一项可以用一个公式来表示。
例如，数列1，2，4，8，... 可以用公式an=2^n来表示，其中n为自然数。
3. 图形法：利用图形可以直观地表示数列的规律。
例如，可以用方格表示数列1，2，4，8，...，每个方格表示数列中的一项。
三、数列的分类根据数列的规律，数列可以分为等差数列、等比数列和特殊数列。
1. 等差数列：在等差数列中，数列中的每一项与前一项之间的差值都相等。
换句话说，等差数列的公差是一个常数。
例如，数列2，4，6，8，... 是一个等差数列，公差为2。
2. 等比数列：在等比数列中，数列中的每一项与前一项之间的比值都相等。
换句话说，等比数列的公比是一个常数。
例如，数列1，2，4，8，... 是一个等比数列，公比为2。
3. 特殊数列：除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，如斐波那契数列、等差三角数列等等。
四、数列的应用数列在现实生活和数学问题中有广泛的应用。
以下是数列的一些典型应用场景：1. 计数问题：数列可以用于解决计数问题，如求某个数列中的第n 项、求数列的前n项和等等。
2. 几何问题：数列可以用于解决几何问题，如等差数列可以用于求等差数列的首项、末项、公差等。
第一节 数列的概念及简单表示法
≥2)时,用累乘法求解.
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变式3-1
若将本例中的条件“an+1=an+n+1”改为“an+1=
n
n
1
an”,如何
求解?
解析
∵an+1=
n
n
1
an,
∴ an1 = n ,
an n 1
∴an= an ·an1 ·an2 ·…·a3 ·a2 ·a1
an1 an2 an3
a2 a1
= n 1·n 2 ·n 3 ·…·1 ·2=2 .
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1.已知n∈N*,给出4个表达式:①an=
0, n为奇数, 1, n为偶数,
②an=1
(1)n 2
,③an=
1 cos n ,④an= sin n .其中能表示数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的
2
2
是( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
答案 A 检验知①②③都可以是所给数列的通项公式.
∴ 1 = 1 + 1 ,即 1 - 1 = 1 ,
an1 an 2 an1 an 2
又a1=2,则 1 = 1 ,
a1 2
∴
1 an
是以
1 2
为首项,
1 2
为公差的等差数列.
∴ 1 = 1 +(n-1)× 1 = n ,
an a1
22
∴an= 2 .
n
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变式3-4 若将本例中的条件换为“a1=1,an+1+an=2n”,如何求解? 解析 ∵an+1+an=2n,∴an+2+an+1=2n+2. 故an+2-an=2, 即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.
数列的概念及表示方法
数列的概念及表示方法【知识点分析】1、数列的概念按照一定顺序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数为这个数列的第一项，也叫做首项．排在第n位的数称作这个数列的第n项，记作a n.数列的一般形式为a1，a2，a3，…，a n…，简记为{a n}．注意：①数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置．②项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位置．③{a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n项．④数列的简记符号{an }，不可能理解为集合{an}，数列的概念与集合概念的1、以项数来分类：（1）有穷数列：项数有限的数列（2）无穷数列：项数无限的数列2、以各项的大小关系来分类：（1）递增数列：对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0)，即从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列（2）递减数列：对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0)，即从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列（3）常数列：各项相等的数列（4）摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列【例题】例1、判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)数列是按一定顺序排列的有规律的一列数. ( ) (2)数列中的项不可能相等. ( ) (3)数列是可以用图象表示的. ( )(4)数列可以用一群孤立的点表示. ( ) (5)数列可以看成一种特殊的函数. ( )(6)如果一数列满足1a 1>+nn a ,那么该数列为递增数列. ( ) 例2、下列说法正确的是( )A ．数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项是1＋1kD ．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }例3、下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．sinπ7，sin 2π7，sin 3π7，… C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，21 例4、已知数列{2n3n ＋1}，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列D ．常数列例5、下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增、递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7,7,7，…； (4)13，19，127，181，…；(5)0,0,0,0,0,0； (6)0，－1,2，－3，….3、数列的表示 数列的表示方法 1、列表法 2、图像法 3、解析式法 ①通项公式 ②递推公式4、数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做数列的通项公式．注意：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集为定义域的函数表达式，即a n ＝f (n )．(2)已知数列的通项公式，依次用1,2,3，…去替代公式中的n ，就可以求出这个数列的各项；同时利用通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，是第几项．(3)同函数的关系式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如2精确到1,0.1,0.01，…的不足近似值排成数列就不能用通项公式表示．(4)有的数列的通项公式在形式上不一定是唯一的．如摆动数列：－1,1，－1,1，－1,1，…，通项公式可以写成a n ＝(－1)n，也可以写成a n ＝⎩⎨⎧－1，n 为奇数1，n 为偶数【例题】例1、数列－1，85，－157，249，…的通项公式可以是( )A ．a n ＝(－1)nn 2＋n 2n ＋1 B ．a n ＝(－1)n n n ＋32n ＋1C ．a n ＝(－1)nn 2＋2n 2n －1 D ．a n ＝(－1)n n n ＋22n ＋1. 例2、数列1,1,2,2,3,3,4,4,…的一个通项公式是( )A .a n =n+1+(-1)n+122 B .a n ={n,n 为奇数,n 2,n 为偶数C .a n ={n+12,n 为奇数,n -12,n 为偶数D .a n ={n -12,n 为奇数,n 2,n 为偶数例3、已知数列{a n }的通项公式a n =log (n+1)(n+2),则它的前30项之积是( ) A .51 B .5 C .6 D .log 23+log 31325 例4、已知在数列{a n }中,a n =n 2-kn(n ∈N+),且{a n }单调递增,则k 的取值范围A.(-∞,2]B.(-∞,3)C.(-∞,2)D.(-∞,3]例5、写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项满足下列各数．(1)112，223，334，445，…；(2)11,102,1003,10004，…；(3)9,99,999,9999，…；(4)12，2，92，8，252.例6、已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．例7、已知数列{an}的通项公式是a n=(n+1)·n1110⎪⎭⎫⎝⎛,试问该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由.1.根据数列的前几项写对应的通项公式的一般思路是: (1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等;(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式;(3)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再以(-1)k 处理符号; (4)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.2.常见数列的通项公式如下:(1)数列-1,1,-1,1,…的通项公式是a n =(-1)n; (2)数列1,2,3,4,…的通项公式是a n =n; (3)数列1,3,5,7,…的通项公式是a n =2n-1; (4)数列2,4,6,8,…的通项公式是a n =2n; (5)数列1,2,4,8,…的通项公式是a n =2n-1; (6)数列1,4,9,16,…的通项公式是a n =n 2;(7)数列41312111，，，,…的通项公式是a n =n1;(8)数列1,3,6,10,…的通项公式是a n =()21n -n . 5、数列的递推公式如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．【例题】例1、判断对错1.根据通项公式可以求出数列的任意一项.( )2.有些数列可能不存在最大项.( )3.递推公式是表示数列的一种方法.( )4.所有的数列都有递推公式.( )例2、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝na n －1(n ≥2)，则a 5＝________. 例3、已知数列{a n }的前4项依次是：13，31，49，67，试猜想a n ＋1与a n的关系.例4、若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，求a 2 018.例5、根据递推公式求通项公式(1)对于任意数列{a n}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a n(n ≥2，n∈N＋)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n}满足：a1＝1，a n ＋1－a n＝2，求通项a n；(2)若数列{a n}中各项均不为零，则有a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝a n(n≥2，n∈N＋)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n}满足：a1＝1，anan－1＝n－1n(n≥2，n∈N＋)，求通项a n.。
数列的概念及表示方法
数列的概念与简单表示法一：数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，…. 二：数列的分类【例1】下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，13，132，133，…B ．sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…C ．－1，－12，－13，－14，… D ．1,2,3,4，…，30[解析] 数列1，13，132，133，…是无穷数列，但它不是递增数列，而是递减数列；数列sin π13，sin2π13，sin 3π13，sin 4π13，…是无穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列；数列－1，－12，－13，－14，…是无穷数列，也是递增数列；数列1,2,3,4，…，30是递增数列，但不是无穷数列． [答案] C跟踪训练 给出以下数列：①1，－1,1，－1，…； ②2,4,6,8，…，1 000；③8,8,8,8，…； ④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号)解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④ ①③ ② ④ ① ③ 三：数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 【例2】 (1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….[解析] (1)数列可写为：35，48，511，614，…，分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…， 故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.[答案] a n ＝n ＋23n ＋2(2)解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2， ∴a n ＝1(n ＋1)(n ＋3).②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴a n ＝(－1)n (2n ＋1－1)．③为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 是奇数，6，n 是偶数.跟踪训练 写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….解：(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1，8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为n n ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1.(4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1.所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1).【例3】已知数列{a n }的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ [解] (1)由题设条件，知a n ＝n ＋2n . ∴a 4＝4＋2×4＝10，a 25＝25＋2×25＝55.(2)假设253是这个数列中的项，则253＝n ＋2n ，解得n ＝121.∴253是这个数列的第121项．假设153是这个数列中的项，则153＝n ＋2n ，解得n ＝7214，这与n 是正整数矛盾，∴153不是这个数列中的项．跟踪训练 数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则89是该数列的( )A ．第127项B ．第128项C ．第129项D ．第130项 解析：选B 把该数列的第一项1写成11，再将该数列分组，第一组一项：11；第二组两项：12，21；第三组三项：13，22，31；第四组四项：14，23，32，41；…容易发现：每组中每个分数的分子、分母之和均为该组序号加1，且每组的分子从1开始逐一增加，因此89应位于第十六组中第八位．由1＋2＋…＋15＋8＝128，得89是该数列的第128项．四：数列的递推公式定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项 a n 与它的前一项 a n －1(或前几项)(n ≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．【例4】 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n，求{a n }的前5项．[解] 由a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n ，得a n ＋2＝a 2n ＋1－(－1)n a n ，又∵a 1＝1，a 2＝3，∴a 3＝a 22－(－1)1a 1＝32＋11＝10，a 4＝a 23－(－1)2a 2＝102－13＝33，a 5＝a 24－(－1)3a 3＝332＋110＝109.∴数列{a n }的前5项为1,3,10,33,109.跟踪训练 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 018＝________.解析：计算得a 2＝2a 1－1＝57，a 3＝2a 2－1＝37，a 4＝2a 3＝67.故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又因为2 018＝672×3＋2，所以a 2 018＝a 2＝57.答案：57【例5】已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，求数列的通项公式a n .解：∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)，∴a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3；a 4－a 3＝13×4；…a n －a n －1＝1(n －1)n ；以上各式累加得，a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1－1n .∴a n ＋1＝1－1n ，∴a n ＝－1n (n ≥2)． 又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式，∴a n ＝－1n.跟踪训练．设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎫1－1n a n －1(n ≥2)，求数列的通项公式a n .解：∵a 1＝1，a n ＝⎝⎛⎭⎫1－1n a n －1(n ≥2)，∴a n a n －1＝n －1n ，a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1 ＝n －1n ×n －2n －1×n －3n －2×…×23×12×1＝1n .又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1n.【例6】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝()n ＋1·⎝⎛⎭⎫1011n ，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由． [解] 法一：a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝(9－n )⎝⎛⎭⎫1011n11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .则a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }有最大项，为第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×91110⎪⎭⎫⎝⎛法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，(n >1)即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，(n >1)解得9≤n ≤10.又n ∈N *，则n ＝9或n ＝10.故数列{a n }最大项，第9项和第10项，且a 9＝a 10＝10×91110⎪⎭⎫⎝⎛跟踪训练 数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项 解析：选B a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963， 当n ＝143时，a n 最小，又n ∈N *，故n ＝5时，a n ＝3n 2－28n 最小．课后练习1．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．32 解析：选B 因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3. 2．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n －2nB ．a n ＝ n －1n C ．a n ＝ n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2解析：选C 已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1. 3．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项 解析：选C 由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.4．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1 B.12 C.34 D.58解析：选B 由a 1＝1，∴a 2＝12a 1＋12＝1，依此类推a 4＝12.5．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.3115 解析：选C 由题意a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.6．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( )A.n n ＋2B.nn ＋3 C.n ＋1n ＋2 D.n ＋1n ＋3 解析：选B a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝nn ＋3.故选B. 7．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列 解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．8．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，6) 解析：选D 依题意，a n ＋1－a n ＝－2(2n ＋1)＋λ<0，即λ<2(2n ＋1)对任意的n ∈N *恒成立．注意到当n ∈N *时，2(2n ＋1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(－∞，6)． 9．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1a n ，得a n ＝________.解析：由条件知a n ＋1a n ＝n n ＋1，分别令n ＝1,2,3，…，n －1，代入上式得n －1个等式，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…×n －1n ⇒a n a 1＝1n .又∵a 1＝23，∴a n ＝23n . 答案：23n10．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________． 解析：a n ＝n 2－6n ＝(n －3)2－9，∴当n ＝3时，a n 取得最小值－9. 答案：－911．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于________.解析： a n ·a n ＋1·a n ＋2＝n n ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝nn ＋3. 12．已知数列{a n }，a n ＝b n ＋m (b <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝b ＋m ，4＝b 2＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，m ＝3.∴a n ＝(－1)n ＋3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2. 答案：2数列的概念与简单表示法一：数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }． [点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4是不同的数列．(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－1,1，－1,1，…；2,2,2，…. 二：数列的分类【例1】下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A ．1，13，132，133，…B ．sin π13，sin 2π13，sin 3π13，sin 4π13，…C ．－1，－12，－13，－14，… D ．1,2,3,4，…，30跟踪训练 给出以下数列：①1，－1,1，－1，…； ②2,4,6,8，…，1 000；③8,8,8,8，…； ④0.8,0.82,0.83,0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．(填序号)三：数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 【例2】(1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….跟踪训练 写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….【例3】 已知数列{a n }的每一项是它的序号的算术平方根加上序号的2倍． (1)求这个数列的第4项与第25项；(2)253和153是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？跟踪训练 数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则89是该数列的( )A ．第127项B ．第128项C ．第129项D ．第130项四：数列的递推公式定义：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项 a n 与它的前一项 a n －1(或前几项)(n ≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．【例4】 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(－1)n，求{a n }的前5项跟踪训练 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2 018＝________.【例5】 已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，n ∈N *，求数列的通项公式a n .跟踪训练 设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎪⎭⎫⎝⎛n 1-1a n －1(n ≥2)，求数列的通项公式a n .【例6】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝()n ＋1·n⎪⎭⎫⎝⎛1110，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．跟踪训练 数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项课后练习1．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．322．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝ n －2nB ．a n ＝ n －1nC ．a n ＝ n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2 3．已知数列12，23，34，…，n n ＋1，则0.96是该数列的( ) A ．第20项 B ．第22项 C ．第24项 D ．第26项4．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.585．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B.2516 C.6116 D.31156．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n n ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( ) A.n n ＋2 B.n n ＋3 C.n ＋1n ＋2 D.n ＋1n ＋37．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列8．已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )9．已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1a n，得a n ＝________. 10．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－6n ，则它最小项的值是________．11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n n ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于________. 12．已知数列{a n }，a n ＝b n ＋m (b <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.。
数列的概念及简单表示方法
= ()
+1
在数列 中,
=
且1
+2
= 2, 求数列 的通项公式
3、构造法：
形如+1 = +
在数列 中, 1 = 1, +1 =
2
3
+ 1,求数列 的通项公式
, +
若数列 的前项和为 ：
1 , = 1
则 = ቊ
− −1 , ≥ 2
习题练习
求数列的通项公式
一、观察法：写出下面各数列的一个通项公式
（1）1，-3，5，-7，9,… = (−1)−1 × （2 − 1)
（2）9， 9，999，9999，… = 10 − 1
摆动数列
数列的函数特性
1、数列与函数的关系
数列可以看成一类特殊的函数 = (),定义域
为正整数集（或正整数集的有限子集），所以它的图
像是一系列鼓励的点，而不是连续不断的曲线。
2、数列的性质：单调性、周期性。
数列的前n项和 和通项 的关系
= 1 + 2 + 3 + ⋯ +
（或某一项）开始的任一项 与它的前一项n−1 （或前
几项）（ ≥ 2)的关系可以用一个公式表示，那么这个公
式就叫做该数列的递推公式。
例如：+1 = + 2, 1 = 1
递推公式包括两部分：开头，递推关系；
通项公式可以直接求出数列的任意一项，递推公式不可以
直接求出；
递推公式、通项公式共同点：都可以确定一个数列，求出
子 =(）， ∈ + 表达，这个式子叫做数列 的通项
公式。
高中二年级数学 第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法(一) 课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }．3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n答案 B2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案 A3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1] B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)] C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1] 答案 D解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可．4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1 答案 C解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)4n －1(n 为正偶数) .则它的前4项依次为____________．答案 4,7,10,158．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项． 答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120， ∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.9．用火柴棒按下图的方法搭三角形： 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．答案 55解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…(4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)， 89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n (n ∈N *)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n ·2n －32n (n ∈N *)． (4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N *)． (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N *) 或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)． 12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎨⎧ n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 能力提升13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是______________________．答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b 2， 故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2.14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝2k －1)，1 (n ＝2k )，其中k ∈N *.。
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数列的概念与表示导学案
一、基础知识
引例：按一定次序排列的一列数
（1）1，2，3，4，5
（2）1，51,41,31,21 （3）,1,1,1,1--……
（4）1，1，1，1，…… （5）1，3，5，4，2
（6）2的精确到1，0.1，0.01，0.001，……的不足近似值排列成一列数
1、概念：（1）数列： 注：①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现
上例中能构成数列的是： 。
（1）与（5）相同吗？
（2）项：
（3）项的序号：
2、表示：数列的一般形式为： ，简化为 。
例：,41,31,21,
1…,1,n
…简记为： 1，3，5，7，…12-n ，…简记为 注：}{n a 与n a 的区别：
3、数列与函数的关系：
4、数列的通项公式：
作用：①以序号代n 可求数列各项；②可验证某数是否是数列中的项
注：①通项公式有时不存在；②一个数列的通项公式形式可能不唯一。
5、递推公式：
6、分类：
二、例题解析
例1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项。
（1）1+=n n a n （2）n a n n ⋅-=)1(
例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数
（1）1，2，3，4；
（2）1，3，5，7；
（3）5
15,414,313,2122222----；
例3、已知：}{n a 中，11=a ，以后各项由111-+
=n n a a 给出，写出这个数列的前5项。
三、课后练习
1、根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项：
（1）1)1(5+-⨯=n n a （2）1
122++=n n a n
2、根据通项公式，写出它的第7项与第10项
（1）)2(+=n n a n （2）32+-=n n a
3、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。
（1）1，2，3，4 （2）2，4，6，8
（3）161,81,41,21-- （4）5141.4131,3121,211----
4、写出下面数列}{n a 的前5项
（1）)2(35
11≥+==-n a a a n n
（2）)2(2211≥==-n a a a n n。