第九章 数学基础论及其简要评介
数学基本活动经验的概念及评价-最新文档
数学基本活动经验的概念及评价数学活动经验并不是这几年才提出的一个概念。
2001 年颁布的《数学课程标准》（实验稿）在课程总体目标中就已经提出：“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
”《数学课程标准》（实验稿）虽已提出数学活动经验的概念，但由于将其归为数学知识的范畴，所以对其关注和研究者甚少。
而《数学课程标准》（2011 年版）提出：“通过义务教育阶段的数学学习，使学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
”可见，《数学课程标准》（ 2011 年版）已经将基本活动经验从基础知识中单列出来，成为一项重要的教学目标，从而引发教学的变化和与之相应的评价的变化，成为当前关注和研究的热点问题之一。
一、什么是数学基本活动经验《现代汉语词典》中对“经验”的解释有两种：一是作名词，解释为“由实践得来的知识或技能”，二是作动词，解释为“经历、体验”。
数学基本活动经验中的“经验”若取名词含义，可解释为“在数学活动中得来的知识或技能”。
显然，这又将数学基本活动经验等同于知识或技能，有悖于课程标准在课程目标中单列基本活动经验的本意。
若取动词含义，可解释为“经历、体验数学活动过程”。
这样解释强调了经历过程，但并未阐明经历、体验后学生获得的结果。
那么，数学基本活动经验中所指的“经验”到底该作何解释呢？我以为，这里所指的“经验”可解释为“策略与方法”，介于知识、技能与思想之间。
因此，我们可以将数学基本活动经验理解为：学习主体通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的策略与方法。
具体地，数学基本活动经验这一概念可以从以下三个方面来把握。
1.在亲身经历数学活动过程中获得这要求学生建构知识的过程是一个积极主动、身心投入的过程，而不是被动接受、机械训练的过程。
【高中数学】数学概论
【高中数学】数学概论数学是什么数学是一门研究事物的数量关系和空间形式的科学。
数学的产生和发展始终围绕着数和形这两个基本概念不断地深化和演变。
大体上说，凡是研究数和它的关系的部分，划为代数学的范畴；凡是研究形和它的关系的部分，划为几何学的范畴。
但同时数和形也是相互联系的有机整体。
数学是一门具有自身特点的高度综合性的科学。
抽象是它的第一个特征；数学思维的正确性体现在逻辑的严密性上，因此准确性是数学思维的第二个特征；第三个特点是应用广泛。
一切科学、技术的发展都需要数学，这是因为数学的抽象，使外表完全不同的问题之间有了深刻的联系。
因此数学是自然科学中最基础的学科，因此常被誉为科学的皇后。
数学在提出和解决问题方面形成了一门特殊的科学。
在数学发展史上，有很多例子说明数学问题是数学发展的主要源泉。
为了解决这些问题，数学家需要花费更多的精力和时间。
尽管仍有一些问题没有得到解答，但在这个过程中，他们创造了许多新概念、新理论、新方法，这些都是数学中最有价值的东西。
数学概论数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
简而言之，它是研究数字和形式的科学。
由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。
在中国，最迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。
在不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。
刘晖在他注释的九章算术中也提出用十进制小数来表示无理数平方根的奇数零部分，但直到唐宋时期（16世纪史蒂文之后的欧洲）才使用十进制小数。
在这本书中，刘晖用连接在圆中的正多边形的周长来近似圆的周长，这成为后世计算圆周率的通用方法。
虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。
数学概论知识点总结
数学概论知识点总结数学是一门古老而又深奥的学科，它涵盖了很多方面，包括代数、几何、微积分、概率论、数论等多个分支。
数学的发展史可以追溯到古希腊和古埃及的文明，它在科学、工程、经济学等领域都有重要的应用。
本文将对数学概论的一些基本知识点进行总结，希望读者能够对数学有一个更全面的了解。
1.数学符号和公式数学符号是数学语言的基础，它用于表示数学对象、关系和运算。
常见的数学符号包括加减乘除、平方根、积分、求和、向量等。
这些符号具有明确的含义，可以简洁地表达数学概念和关系。
数学公式是由数学符号组成的表达式，用于描述数学问题和推导数学结论。
数学符号和公式是数学推理和证明的重要工具，也是应用数学的基础。
2.数学基本概念数学的基本概念包括数、集合、函数、等比数列、几何图形等。
数是数学的基本对象，包括自然数、整数、有理数和实数等。
集合是具有某种共同特征的对象的总体，函数是一个映射关系，即每个元素在定义域上对应一个元素在值域上。
等比数列是一种特殊的数列，它的每个元素与前一个元素的比值都相同。
几何图形是平面上的图形，包括点、线、面等。
这些基本概念是数学研究的基础，也是数学建模和解决实际问题的基础。
3.数学推理和证明数学推理是利用数学定律和规则对数学问题进行推导和分析的过程。
数学证明是通过一系列逻辑推理和推断，证明或反驳一个数学结论的过程。
数学推理和证明是数学研究和创新的核心部分，也是数学教学的重要内容。
它们能够帮助人们深刻理解数学问题的本质，提高数学解决问题的能力。
4.代数与几何代数是数学的一个重要分支，它研究数和数学对象之间的关系和运算规律。
代数包括代数方程、多项式、群论、环论、域论等多个分支。
几何是数学的另一个重要分支，它研究空间和图形的性质和关系。
几何包括平面几何和立体几何，它有着丰富的几何定理和几何推理方法。
代数和几何是数学的两大支柱，它们相互补充，共同构成了数学的重要内容。
5.微积分与数理统计微积分是数学的一个重要分支，它研究变化率和积分的概念和方法。
数学概论
1．《几何原本》是我国第一部自拉丁文译来的数学著作，徐光启和利玛窦共同翻译，徐光启为评论第一人。
2．双基变四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
3．变式教学是立足于学生自护建构知识的双基教学的一种方式。
（概念性变式、过程性变式）概念性变式目的：让学生对概念多角度理解。
基本变式方面有两类：改变概念的外延，改变一些能混淆概念的属性。
方法：通过直观或具体的变式引入概念；通过非标准形式突出概念的本质属性；非概念变式过程性变式作用：促进概念的形成；为解决问题做铺垫；有利于形成数学经验体系。
4．弗赖登塔尔：“现实数学教育理论”特征：现实、数学化、再创造。
数学化是指人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想、方法分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，简单说即数学的组织客观世界的过程。
再创造是指探索前人发现问题的过程，通过做数学再现数学新知识的发现过程。
归纳数学教学原则：数学现实、数学化、再创造、严谨性。
5．波利亚解题表：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾。
6．小学生建构数学认知结构的一般过程：输入新内容、新知识同原有认知结构的相互作用、强化巩固、反馈检查。
7．小学数学概念学习的基本方式：概念形成和概念同化。
8. 影响小学数学概念学习的主要因素;学生已有的知识经验；学生的抽象概括能力；感性材料和感性经验。
9. 怎样才是有效的合作学习：要进行科学分组；能正确评价合作学习的效果；教师要给与必要地指导和帮组，最好以合作者的身份参与；交流合作必须建立在独立思考的基础上：要与有意义的接受学习、自主学习等方式有效结合。
10.重视感性材料的作用：通过感性材料帮助学生在头脑里建立数学知识的表象，利用表象的中介作用实现学生对所学数学知识的理解与保持；通过感性材料降低学习难度，排除思维障碍，确保学生在数学学习的智力活动中逻辑思维得以顺利进行；利用感性材料的直观形象，特别是计算机多媒体形象化的演示活动，把静态的数学知识转化为一种动态的活动过程。
数学基础指什么
数学基础指什么引言数学是一门古老而复杂的学科，它贯穿于自然科学、工程技术、社会科学等众多领域。
作为一名学习者，了解数学的基础概念是至关重要的。
本文将深入探讨数学基础的重要性、内容以及基础知识对于学习其他数学领域的影响。
数学基础的定义数学基础是指构成数学理论和知识体系的最基本概念、定理、公理等内容。
它包括但不限于基本运算、代数、几何、概率、统计等内容。
数学基础为后续数学学习提供了坚实的基础，是学习高阶数学的关键。
数学基础的重要性数学基础是数学学习的基石，没有扎实的数学基础，就像没有根基的树木，难以支撑起更高深的数学知识。
通过学习数学基础，可以帮助我们提高逻辑思维能力、分析问题的能力，培养解决实际问题的能力等。
同时，数学基础也是其他学科的基础，比如物理、化学等领域都需要依赖数学知识进行分析和计算。
数学基础的内容1.基本运算：加减乘除是数学最基本的运算，是进行计算的基础。
2.代数：代数是数学基础的重要组成部分，包括代数方程、多项式等内容。
3.几何：几何是研究空间形状、结构和尺寸的数学分支，包括点、线、面、体等几何概念。
4.概率与统计：概率与统计是数学基础的重要领域，它们用于描述和分析随机现象、数据分析等内容。
数学基础对后续学习的影响数学基础对后续数学学习有着重要的影响。
只有掌握扎实的数学基础，才能更好地理解和学习高阶数学知识。
比如，没有掌握好代数基础的学生很难理解更复杂的微积分和线性代数知识。
因此，数学基础是学习高阶数学的必要条件。
总结数学基础是构建数学知识体系的基石，它对我们的学习和思维能力有着深远的影响。
通过扎实的数学基础学习，可以更好地应对学习和工作中的挑战。
希望通过本文的介绍，读者能够认识到数学基础的重要性，从而更好地进行数学学习和应用。
数学基础内容
数学基础内容数学是一门被广泛认可的科学，它是研究数量、结构、空间以及变化的一门学科。
数学基础内容包括了教育的初级阶段教育给予学生的数基础内容，也包括了大学阶段学习的数学基础概念。
数学基础内容的掌握对于学习更高深的数学领域以及其他科学领域都是至关重要的。
基本概念数数是现实世界中事物的抽象表示，是人们用来计数、测量和描述事物的概念。
数包括自然数、整数、有理数、无理数等。
•自然数：自然数是最早产生的数的概念，包括正整数和零。
•整数：整数是自然数和负整数的集合。
•有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数。
•无理数：无理数是不能用两个整数的比值来表示的数，如圆周率$\\pi$、自然底数e等。
运算运算指的是将数通过特定的规则进行加减乘除等操作得到结果的过程。
常见的运算包括加法、减法、乘法、除法等。
•加法：两个数相加得到和的过程。
•减法：一个数从另一个数中减去得到差的过程。
•乘法：两个数相乘得到积的过程。
•除法：一个数被另一个数整除得到商的过程。
方程与不等式方程和不等式是数学中常见的表示数之间关系的方法。
•方程：方程是含有未知数的等式，通常用符号“=”表示。
–线性方程：ax+b=c。
–二次方程：ax2+bx+c=0。
•不等式：不等式是关于两个数大小关系的表达式。
–大于等于：$a \\geq b$。
–小于等于：$a \\leq b$。
几何学基础几何学是研究空间、形状、大小、以及相对位置等概念的数学学科。
•点、线、面：构成空间基础几何概念。
•平行线与垂直线：线的相对位置关系。
统计与概率统计学是研究数据收集、分析和推断的学科，而概率论则研究随机现象的规律性和不确定性。
•统计：数据的收集与分析方法。
•概率：随机事件发生的可能性。
数学基本定理质数与素数质数指大于1的数，除了1和它本身外，不能被其他正整数整除的数。
素数是指一定是质数，不能被除了1和自身以外的数整除。
•2、3、5、7是最基本的素数。
欧几里得算法欧几里得算法是求两个整数最大公约数的一种方法。
基础数学理论及其应用
基础数学理论及其应用数学是自然科学的一门基础学科，贯穿于各个领域。
它是科学与技术发展的重要基石，对于推进人类文明的进步发挥着至关重要的作用。
而基础数学理论则是数学研究的核心，对于解决实际问题具有非常重要的应用价值。
一、数学的分类数学分为纯数学和应用数学两大类。
纯数学是指研究数学本身的学科，包括代数、几何、数论、拓扑等等。
应用数学则是将数学的理论和方法应用于实际问题的学科，涉及到各个领域的问题，如物理学、工程学、经济学、社会学等等。
基础数学理论作为数学研究的核心，是数学科学的基础和前提。
包括数学分析、代数学、几何学、数论、拓扑、微积分等等。
这些数学理论不仅具有严密的逻辑性和内部一致性，而且具有指导实践、解决实际问题的应用价值。
二、基础数学理论的应用1. 物理学基础数学理论在物理学中具有非常重要的应用价值。
例如：微积分是研究物体的运动规律、光的传播、热力学等等基本问题的重要工具。
当代物理学的基本理论——相对论、量子力学等等，都基于各种数学理论的建立。
基础数学理论的研究能够为物理学提供新的理论和方法，推动物理学的发展。
2. 工程学在工程领域，基础数学理论也有着广泛的应用。
举个例子，在电力系统的控制中，差分方程的应用可以有效地解决电网的稳定性问题；又比如，工程力学中用到的微分方程等等，都是基础数学理论在工程学中的应用。
3. 经济学在经济学领域，基础数学理论的应用也十分广泛。
例如，最优化理论、线性规划、随机过程等等形成了现代经济学中的重要理论，为解决各种复杂的经济问题提供了重要方法。
三、基础数学理论的发展基础数学理论的发展凝聚了无数数学家的智慧和血汗。
人类历史上出现过很多杰出的数学家，如古希腊的毕达哥拉斯、阿基米德、欧几里得等；中世纪的斯忠邦、欧拉等；现代的爱因斯坦、哥德尔、卡尔·弗里德里希·高斯等等。
这些数学家为数学的发展做出了重大的贡献，特别是他们开创的现代数学，更是奠定了现代科学的基础。
第九章 数学基础论及其简要评介
• 逻辑主义学派力求建立严格的逻辑理论与 集合论，并以此为基础推出全部（至少是 主要的）数学。根据这一设想，罗素与怀 特海（Whitehead, 1861-1947）于1910到 1913年完成了三大卷巨著《数学原理》， 这一巨著反映了该学派以集合和逻辑为基 础建设数学的主张。
• 但是，逻辑主义学派在推演定理时遇到一些困难。 《数学原理》一书中所用的公理大多是逻辑公理， 但有例外，作者事实上用到了逻辑公理以外的公 理，即 • （1）无穷公理（用I表示） • 对于每个自然数，总存在一个更大的自然数。 • （2）选择公理（用C表示） • 对于每个由不相交的非空集合所构成的集合，至 少存在一个选择的集合，这个集合与上述其中每 个集合，恰好有一个公共元素。
§2 数学基础论的几个学派及其评价
• 以下简要介绍数学基础论各个学派的代表 人物、基本观点、对数学的贡献及的局限 性。
一、逻辑主义学派
• 该学派主要研究与逻辑学的关系，认为数 学问题可以归结为逻辑问题。此学派的奠 基者之一是德国数学家弗雷格（Frege, 1848-1925）,他企图用逻辑原理建立科学 的普遍语言和推理运算。 • 逻辑主义学派的另一代表人物是英国逻辑 学家、数学家罗素（Russell, 18721970）.
3．思想方法
• 各学派分别夸大数学活动的某些侧面：逻 辑主义学派夸大数学与逻辑学的共同性， 直觉主义学派夸大数学构造性的可靠性， 形式主义学派则把数学夸大为纯形式的研 究。
4．改造数学的方案各不相同
• 逻辑主义学派企图以逻辑概念和逻辑公理 改造全部数学。直觉主义学派力求以构造 性的标准改造全部数学，形式主义学派则 努力把数学改造为形式化的公理系统。
5．共同弱点
• 各学派的哲学思想本质上是唯心的，形而 上学的，他们都忽视数学研究对象的客观 实在性。尽管他们对数学基础的研究作出 过贡献，但是由于思想上的片面性，因此 他们的失败就在所难免了。
数学基础是什么
数学基础是什么数学在我们日常生活和工作中占据着重要的地位，它是一门抽象的科学，用来研究数量、结构、变化和空间等概念的学科。
数学作为一种基础性学科，为其他学科的发展奠定了坚实的基础。
那么，数学基础具体指的是什么呢？数学基础的概念数学基础是指建立在数学理论之上的最基本的基础知识和技能。
这些基础知识和技能包括但不限于数学运算、代数、几何、概率论、统计学等。
数学基础涵盖了数学的各个方面，是从数学的基本概念、原理和定理开始建立的。
数学基础的重要性数学基础在我们的学习和工作中起着至关重要的作用。
首先，数学基础是其他学科的基础，如物理、化学、经济学等，需要运用数学基础知识解决实际问题。
其次，数学基础培养了我们的逻辑思维能力和分析解决问题的能力，是培养学生综合能力的重要途径。
此外，数学基础还是科学研究和技术发展的重要支撑，许多先进的科学技术都离不开数学基础。
数学基础的核心内容数学运算数学运算是数学基础的核心内容之一，包括加减乘除、乘方开方、小数运算、分数运算等。
数学运算是进行数学计算的基本方法，是解决数学问题的重要手段。
代数代数是数学中的一个重要分支，主要研究数和各种数学结构之间的关系。
代数包括代数表达式、方程、不等式、函数等内容，是数学的基础。
几何几何是研究空间形态、大小、位置关系和空间图形、变换等问题的数学学科。
几何主要包括平面几何和立体几何两个部分，是数学基础中的重要组成部分。
概率论与统计学概率论与统计学是研究随机现象规律性和规律性总结的数学分支，包括概率、统计、随机变量、统计分布等内容。
概率论与统计学在现代科学技术的发展中扮演着重要的角色。
数学基础的培养为了提高数学基础水平，我们可以采取以下几种方法：1.培养数学兴趣：数学基础的培养需要从培养学生对数学的兴趣开始，激发学生对数学的热爱。
2.多做练习：通过大量的练习巩固数学基础知识，提高数学运算和解决问题的能力。
3.注重理解：数学基础的建立需要深入理解数学知识的原理和概念，而非死记硬背。
数学基础概述
数学基础概述数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和关系的学科，它在现代社会中扮演着重要的角色。
本文对数学基础进行概述，帮助读者了解数学的重要性、基本概念和应用领域，深化对数学的认识。
一、数学的重要性数学作为一门学科，不仅仅是为了解决现实生活中的问题，更是一种思维方式和推理能力的培养。
数学的应用及理论研究涉及到科学、工程、经济、金融等领域，为各行业的发展提供了坚实的基础。
此外，数学还培养了人们的逻辑思维、创造力以及解决问题的能力，在个人和社会层面都起到了重要作用。
二、数学基本概念数学的基础概念包括数、算术、代数、几何和概率等。
数是数学的核心概念，它包括整数、分数、小数、实数和复数等。
算术是处理数字和运算符号的科学，包括加法、减法、乘法和除法等基本运算。
代数研究数字之间的关系与运算，它引入了未知数和方程等概念。
几何研究空间的形状和结构，包括点、线、面、体等几何图形和相关性质。
概率是研究随机事件发生的可能性的数学分支，它关注的是不确定性和风险的问题。
三、数学的应用领域数学的应用领域非常广泛，包括科学、工程、经济、金融、计算机科学等。
在科学领域，数学为物理学、化学、生物学等提供了重要的工具和方法。
在工程领域，数学在结构力学、电气工程、通信等方面发挥着关键作用。
经济学和金融学利用数学建立模型，对经济和金融现象进行分析和预测。
计算机科学与离散数学紧密相关，数学的逻辑思维奠定了计算机算法和编程的基础。
四、数学思维与解决问题的能力数学学习培养了人们的逻辑思维和解决问题的能力。
数学思维是一种精确、系统、严谨的思考方式，它强调逻辑、推理和证明。
通过数学的学习，人们可以培养观察问题、分析问题、解决问题的能力，提高综合思维能力和创造力。
结语通过对数学基础的概述，我们可以更好地认识到数学对于现代社会的重要性以及与其他学科的紧密关系。
掌握数学的基本概念和方法，提升数学思维和解决问题的能力，将对个人和职业发展产生积极的影响。
数学先学集合论-概述说明以及解释
数学先学集合论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述集合论是数学的一个基础分支，研究元素的集合和它们之间的关系。
它是数学的一种抽象工具，被广泛应用于数学、计算机科学、经济学、物理学等多个领域。
集合论的概念最早由德国数学家格奥尔格·康托尔在19世纪末提出，为数学奠定了坚实的基础。
它的研究对象是集合，集合是由一些确定的元素构成的整体。
通过对集合的操作和关系的研究，集合论不仅可以推导出一系列的性质和定理，而且可以帮助我们更好地理解和刻画真实世界中的事物和问题。
在集合论中，最基本的概念是元素和集合。
元素是构成集合的基本单位，而集合则是元素的集合。
通过集合的运算，我们可以进行交集、并集、补集等操作。
此外，集合论还研究了集合的性质和关系，如包含关系、相等关系、子集关系等，这些关系在数学推理和证明中起着重要的作用。
集合论不仅是数学研究中的基础工具，还在实际问题的建模和解决中发挥着重要的作用。
例如，在计算机科学中，集合论被用于描述数据结构和算法的基本操作；在经济学中，集合论被用于描述市场的供需关系和经济模型的构建；在物理学中，集合论被用于描述物体之间的关系和物理规律的描述。
随着科学技术的不断发展，集合论在未来的应用领域还将进一步拓展。
例如，随着人工智能和大数据的兴起，集合论的运用将更加广泛和深入，为我们解决复杂的问题提供更多的工具和思路。
总之，数学先学集合论是非常重要的。
集合论作为数学的基础分支，不仅有助于我们建立数学思维和逻辑推理能力，而且在实际问题的分析和解决中起着重要的作用。
通过学习集合论，我们可以深入探究数学的本质，为未来在数学以及其他领域的研究和应用打下坚实的基础。
文章结构部分的内容：文章将按照以下结构进行展开和组织：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 什么是集合论2.2 集合的基本运算2.3 集合的性质和关系3. 结论3.1 集合论的重要性3.2 集合论的应用领域3.3 未来发展方向在引言部分，我们将提供一个概述，简要介绍集合论的基本概念和作用。
数学基本理论知识
数学基本理论知识数学是一门研究数量、结构、空间以及变化等概念的学科，是自然科学和人文科学中不可或缺的一部分。
数学基本理论知识是学习数学的起点，掌握这些知识对于在数学领域取得进步至关重要。
本文将介绍数学的基本理论知识，包括数学的起源、数学的基本概念、数学的分类、数学的语言与符号以及数学的基本定理。
数学的起源数学作为一门学科的起源可以追溯到古代文明。
最早的数学知识来源于古埃及、巴比伦和印度等文明，这些文明在建筑、农业和贸易中应用了基本的算术和几何知识。
古希腊将数学提升到了理论的高度，开创了几何学、数论、代数学等数学分支。
古印度的数学家阿耶巴塔和勒威以及伊朗数学家赛尔真等人在代数和几何方面作出了杰出的贡献。
数学的基本概念数学的基本概念包括数、集合、函数、运算符号等。
在数学中，数是用来计数和测量的概念，可以分为自然数、整数、有理数和实数等。
集合是具有共同特征的对象的集合体，函数是一种描述输入和输出之间关系的规则，而运算符号则是用来表示数学运算的符号。
数学的分类数学可以根据研究对象和方法进行分类，主要包括纯数学和应用数学。
纯数学是为了探索数学本身的结构和规律而进行的研究，包括代数学、几何学、数论等；应用数学则是将数学知识应用到具体问题中，包括物理学、工程学、经济学等。
数学的语言与符号数学是一种独特的语言，通过符号和公式来表达数学概念和定理。
在数学中，常用的符号包括加减乘除等基本运算符号，还有数学常数如圆周率$\\pi$、自然对数e等。
数学公式则是通过符号和变量的组合来表达数学的关系和规律。
数学的基本定理数学的基本定理是数学领域中最重要的结论，是从基本概念和原理出发推导而来的重要命题。
其中比较著名的基本定理包括费马大定理、勾股定理、哥德巴赫猜想等。
这些定理在数学领域具有重要的意义，对于了解数学的发展和探索数学的未知领域具有重要作用。
综上所述，数学基本理论知识是学习数学的基础，掌握这些知识是理解数学本质和深入研究数学的前提。
数学基础认识与理解
计算机科学
数学在工程技术领域的应用尤为突出，如 建筑设计、机械制造、电子工程等都需要 用到数学知识。
计算机科学的发展与数学密切相关，如算 法设计、数据结构、人工智能等领域都需 要用到数学知识。
数学在各领域的应用
自然科学
社会科学
数学在物理学、化学、生物学等自然科学 领域有着广泛的应用，如描述自然现象的 方程、建模和计算等。
数学在经济学、社会学、心理学等社会科 学领域也有重要应用，如统计分析、预测 模型等。
工程技术
计算机科学
数学在工程技术领域的应用尤为突出，如 建筑设计、机械制造、电子工程等都需要 用到数学知识。
计算机科学的发展与数学密切相关，如算 法设计、数据结构、人工智能等领域都需 要用到数学知识。
02
数学基础知识
解析几何
用代数方法研究几何问题， 通过建立坐标系将几何问 题转化为代数问题。
几何基础
平面几何
研究平面内点、线、面等 几何元素的位置关系和度 量性质。
立体几何
研究三维空间中点、线、 面、体等几何元素的位置 关系和度量性质。
解析几何
用代数方法研究几何问题， 通过建立坐标系将几何问 题转化为代数问题。
三角函数基础
数学具有高度的抽象 性、严谨的逻辑性和 广泛的应用性。
数学的发展历史
01
02
03
04
古代数学
以算术、几何为主要内容，起 源于人类的生产实践和社会活
动。
中世纪数学
受宗教和哲学影响，发展缓慢 ，但也有一些重要的数学成果 ，如阿拉伯数字的发展等。
近代数学
以微积分学的创立为标志，数 学进入快速发展时期，涌现出 大量新的数学分支和理论。
数学建模与实际问题解决
基础数学概念解析
基础数学概念解析数学是一门广泛应用于各个领域的学科，它具有独特的逻辑思维和分析解决问题的能力。
但是，对于一些基础数学概念，我们可能还存在一些模糊的认识。
在本文中，我们将深入剖析一些重要的基础数学概念，旨在帮助读者更好地理解和应用数学。
首先，我们来谈一谈集合论。
集合是数学中最基本的概念之一，它被定义为由一定确定的对象所组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、图形或者其他抽象的实体。
集合的元素没有重复，并且是无序的。
我们可以通过集合的运算来研究集合的性质，其中最常见的运算有并集、交集和补集。
通过对这些运算的理解和应用，我们可以更好地解决问题。
接下来，我们探讨一下立体几何的基本概念。
立体几何研究的是空间中的物体，例如立方体、圆柱体和圆锥体等。
立体几何的基本概念有面、边和顶点。
面是由若干直线段所围成的二维平面，边是相邻两个面之间的分界线段，而顶点是边和面的相交点。
通过了解这些概念，我们可以方便地计算物体的体积、表面积以及其他相关的性质。
除了集合论和立体几何，我们还需要重点关注代数中的基本概念。
代数是数学的一个重要分支，其研究的对象是数与符号之间的关系。
代数包括了整数、有理数、实数和复数等不同的数系。
在代数中，我们常常会遇到方程和不等式的求解。
通过解方程和不等式，我们可以找到未知数的取值范围，从而解决实际问题。
另外，数学中的概率论和统计学也是重要的基础概念。
概率论是研究随机事件发生的规律性的数学分支，而统计学则是以数据为基础来推断总体规律性的学科。
在现实生活中，我们经常需要通过统计数据来做出一些判断和决策。
概率论和统计学的应用广泛，涉及到经济学、生物学、社会学等多个领域。
最后，让我们来聊一聊数列和级数。
数列是由一系列有序的数字按照一定的规律排列而成的。
数列的规律可以通过递推关系式来表示。
级数则是由数列的各项之和构成的。
数列和级数都具有重要的数学性质和应用，尤其在微积分中起到了重要的作用。
总结起来，基础数学概念是我们学习数学的基石，了解和应用这些概念对于我们日常生活和职业发展都具有重要意义。
数学中的基础概念与原理
数学中的基础概念与原理在数学中，基础概念和原理是我们理解和应用数学的重要基础。
无论是初等数学还是高等数学，这些基础概念和原理都起着重要的作用。
本文将介绍数学中的一些基础概念和原理，以帮助读者更好地理解数学。
一、集合论基本概念与原理集合论是数学的基础，它研究的是元素的集合及其相互关系。
在集合论中，有几个基本概念和原理需要了解。
1. 集合的定义：集合是由若干确定的对象组成，这些对象称为集合的元素。
集合用大括号{}表示，元素之间用逗号隔开。
例如，{1, 2, 3}表示一个有三个元素的集合。
2. 空集与全集：空集是一个不包含任何元素的集合，用符号∅表示；全集是指包含所有元素的集合。
3. 子集与真子集：若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，用符号A⊆B表示。
当A是B的子集且A不等于B 时，称A是B的真子集，用符号A⊂B表示。
4. 并集与交集：给定两个集合A和B，将A和B中的所有元素构成的集合称为并集，用符号A∪B表示；将同时属于A和B的所有元素构成的集合称为交集，用符号A∩B表示。
二、数学中的基本原理与定理在数学中，基本原理和定理是由一系列假设（公理）推导而来的，它们为数学建立了严密的逻辑体系，是数学推理的基础。
1. 基本原理：数学的基本原理包括等式的性质、不等式的性质、运算法则等，它们是数学推理的基础。
例如，等式的传递性：如果a=b，b=c，则a=c；不等式的传递性：如果a>b，b>c，则a>c。
2. 定理：定理是基于基本原理和定义经过证明得到的真命题。
例如，皮亚诺公理是数论中的基本定理之一，它规定了自然数的性质和关系，是数论研究的基础。
三、数学中的基本概念与原理的应用基础概念和原理在数学中的应用非常广泛，几乎贯穿了数学的各个领域。
1. 几何学中的基本概念与原理：在几何学中，基本概念如点、线、面以及基本原理如平行定理、垂直定理等是进行几何证明的基础。
例如，利用平行定理可以证明两条直线平行，利用垂直定理可以证明两条直线垂直。
数学与数理概论
数学与数理概论《数学与数理概论》数学是一门广阔而深奥的学科，它的基础知识和理论结构是其他许多学科的基础。
本文将简要介绍数学的一些主要分支，包括数学基础、代数、几何、概率论、数理统计、数论初步、拓扑学初步和分析学初步。
第一部分：数学基础数学基础是数学的基石，它包括集合与命题、函数与映射、数学归纳法和整数与实数等内容。
1.1 集合与命题集合是数学中最基本的概念之一，它是具有某种特定性质的事物的总体。
命题则是表达判断或结论的语言。
数学中的许多概念和理论都是建立在集合和命题的基础之上的。
1.2 函数与映射函数是一组数或变量之间的关系，它描述了一个输入值对应一个输出值的关系。
映射则是将一组数或变量之间的关系扩展到另一组数或变量之间。
在函数和映射的基础上，可以建立许多重要的数学概念和理论。
1.3 数学归纳法数学归纳法是一种证明数学结论的方法，它通过验证一些简单的初始案例，然后通过推理归纳出一般性的结论。
1.4 整数与实数整数是数学中的基本数字类型之一，实数则是一种连续的数，可以在数轴上表示。
整数和实数是数学中的两个基本数字类型，许多数学概念和理论都是建立在它们的基础之上的。
第二部分：代数代数是数学的一个重要分支，它研究的是字母、符号和它们的运算规律。
代数包括群与环、域与向量空间、多项式与矩阵和线性代数初步等内容。
第三部分：几何几何是数学中研究形状、大小和相对位置关系的分支。
本部分将介绍平面几何、解析几何、立体几何和向量与向量场等基本类型。
几何学是一门研究形状、大小和相对位置关系的学科，它为人们提供了许多基本的视觉概念和空间理解。
在平面几何中，我们研究的是在二维平面上点、线、角度、面积等的关系；解析几何则是将几何问题转化为代数问题，从而通过代数方法解决几何问题；立体几何研究的是三维空间中点、线、面、体积等的关系；向量与向量场则是一种用数学方法描述和研究图形和空间运动的方法。
通过学习几何学，人们可以更好地理解形状和空间的关系，并在实际应用中解决相关问题。
科学计算的数学基础
科学计算的数学基础
科学计算作为现代科技发展中的重要组成部分，其数学基础是至关重要的。
在科学计算领域，数学的基础性作用不言而喻。
数学所涉及的代数、几何、微积分等知识，为科学计算提供了严密的理论基础和方法论支撑。
本文将就科学计算的数学基础展开论述。
一、代数
在科学计算中，代数是数学基础中不可或缺的一环。
代数作为数学的基础学科，其理论和方法对于科学计算具有深远的影响。
代数中的常数、变量和运算规则为科学计算提供了基本的操作工具。
例如，在解线性方程组、矩阵运算、多项式拟合等过程中，代数发挥了至关重要的作用。
二、几何
几何作为数学的一个分支，为科学计算提供了空间和形态方面的理论基础。
在科学计算中，常常需要对空间内的物体、形状进行描述和计算。
几何中的点、线、面、体等概念以及相关的投影、相似性、几何变换等知识，在科学计算中具有广泛的应用。
例如在计算机辅助设计中，三维建模就是基于几何原理展开的。
三、微积分
微积分是科学计算的重要数学基础之一。
微积分中的微分、积分等概念和方法，为科学计算提供了求解变化率、求解曲线下面积等问题
的数学工具。
在科学计算中，微积分的应用领域广泛，包括误差分析、优化算法、数值积分等方面。
总之，代数、几何和微积分等数学基础学科为科学计算提供了丰富
的理论支持和方法工具。
这些数学基础不仅构成了科学计算领域的理
论基础，也为科学技术发展做出了重要贡献。
在今后的科学计算研究
和实践中，数学基础仍将发挥着不可替代的作用，促进科学计算技术
的不断进步与创新。
数学基础概论.
数学基础概论数学基础概论摘要：对于数学这门学问，当我们从它的最熟悉的部分出发时，可以在两个相反的方向进行研究。
比较熟悉的方向是构造性的，逐步增强复杂程度：从整数到分数实数复数；从加法到乘法到微分和积分，以至更高等的数学。
另1较为生疏的方向，是通过分析走向抽象性和逻辑简单性；我们不讨论从假定的起点开始可以定义什么或可以演绎什么，而去探讨能够找到什么可以由之定义或演绎出我们的出发点的1般思想。
罗素在《数学哲学导论》中所说的后1方向既数学哲学或数学基础。
我们难以确切地说出数学基础所研究的具体对象，但我们可以这样粗略地理解数学基础的内容，即：给现存数学1个稳固的基础，1个合理的解释，1种完美统1的形式，通过这种形式可以演绎全部现存数学。
也许这只是1个理想，但仍然可以作为数学基础研究的1个终极目标。
在这篇文章里，先讨论数学基础的1些重要问题；然后简述3个学派的起因，成果以及他们所面临的困境；接着介绍结构主义的基本观点；最后试着给出关于数学基础的1些基本看法，这也是本文所要完成的最后1个目标。
关键词：数学基础；无限；存在；真理；相容性；逻辑主义；直觉主义；形式主义；公理化；结构；集合论 Introduction to Foundations of Mathematics Abstract: As to the science of mathematics, we can make our research toward two opposite directions when we begin from the most familiar part. The comparative familiar diction is about structure. Increasing the degree of complexity gradually, which is from integer to fraction, real number and plural, from addition to multiplication, differentiation and integration, even get to more advanced mathematics. The other comparative strange direction is to reach abstraction and logical simplicity through analysis. However, we do not discuss what we can definite deduct when beginning with presumption, but to explore the general ideas of our point of departure we find out to definite and deduct. In Introduction to Mathematical Philosophy, the later view as Russel refer to is about mathematical philosophy and foundations of mathematics. Although we can not exact tell the concrete object the foundations of mathematics research into, we can understand its content in general. That is to say, we endow present mathematics with a stable basis, a reasonable explanation and a perfect and united form. And through this form, we can deduct the whole present mathematics. Maybe this only to be a dream, but we can still take it as a terminal goal in foundations of mathematics studies. In this passage, well first discuss several important issues about the foundations of mathematics. Then, wellstate in brief the origin and outcomes of three schools, and the hardship they are facing. Next, well introduce the elemental views of structuralism. At last, well try to put forward a few basic opinions about the foundations of mathematics. And this is also the final aim we want to attain. Keywords: foundations ofmathematics; unlimitation; existece; truth; compatibility; logicism; intuitionalism; formalism; axio matizationstructure; set theory 前言关于数学基础的讨论在柏拉图时代就开始了，由柏拉图发展起来的唯理论在现代数学中仍有重要的地位，之后数学基础问题也不间断地被讨论到，而数学基础发展的辉煌时期却是19世纪末期及20世纪前310年。
数学基础概念解析
数学基础概念解析数学，作为一门严谨的学科，是许多人都难以逃离的噩梦。
有些人对数学感到困惑，也有些人对数学心生恐惧。
然而，只要我们理解数学的基础概念，就能够轻松应对数学问题，并享受其中的乐趣。
本文将深入解析数学的基础概念，帮助读者全面理解数学的本质。
一、数学的起源和作用数学作为一门学科，可以追溯到古代文明。
早在古埃及和古希腊时期，人们就开始在社会和自然现象中寻找规律，并用数学来描述和解释这些规律。
数学的起源可以说是人类对周围世界进行观察和思考的结果。
数学在现代社会中发挥着不可忽视的作用。
它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式。
数学的应用涉及到自然科学、社会科学和工程技术等众多领域，它可以帮助人们解决实际问题、推动科学发展，并深刻影响人们的思维模式和逻辑能力。
二、数学基本概念：数与数量在了解数学的基础概念之前，我们首先要了解数与数量的区别。
数量是对事物的一种度量，它指的是事物的多少。
而数是对数量进行抽象和表示的工具，它用来描述数量的大小。
数的基本概念可以追溯到自然数，也称为正整数。
自然数包括1、2、3等等，它们用来计数。
随着人们对数量的理解不断深化，零、负整数、分数和小数等概念也逐渐发展出来。
三、数学基本概念：运算与代数数学的基本概念还包括运算和代数。
运算是指对数进行加、减、乘、除等操作的过程，它可以用来改变数的大小和关系。
加法和乘法是最基本的运算，它们满足交换律和结合律，对数与数的加法和乘法具有封闭性。
代数是数学中的一个重要分支，它研究数与数之间的关系和规律。
代数通过使用字母和符号等抽象工具，用代数式和方程式来描述数的关系，这样可以更加灵活地研究数学问题。
代数包括线性代数、代数几何、抽象代数等多个领域，它们在数学研究和实际应用中起到了重要作用。
四、数学基本概念：几何与图形几何是数学中的另一个基本概念，它研究空间、形状和位置等问题。
几何可以分为平面几何和立体几何两个方向。
平面几何研究平面上的图形和性质，立体几何研究空间内的立体图形和性质。
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3．思想方法
• 各学派分别夸大数学活动的某些侧面：逻 辑主义学派夸大数学与逻辑学的共同性， 直觉主义学派夸大数学构造性的可靠性， 形式主义学派则把数学夸大为纯形式的研 究。
4．改造数学的方案各不相同
• 逻辑主义学派企图以逻辑概念和逻辑公理 改造全部数学。直觉主义学派力求以构造 性的标准改造全部数学，形式主义学派则 努力把数学改造为形式化的公理系统。
现代数学已经表明：
• 逻辑主义学派试图改造数学的计划没有完 成，也不可能完成。他们失败的原因是： 片面扩大了数学与逻辑在演绎结构上的一 致性，完全抹煞了数学与逻辑的本质差异， 他们的出发点是错误的。
尽管他们的目的未能实现，但他们的历史功 绩是不可磨灭的。
• 首先，由于他们的工作，实现了由传统逻 辑数理逻辑的转化，使人们对数学基础的 研究更加深入；其次，他们揭示了数学与 逻辑的联系，以完全形式的符号实现了逻 辑学的公理化。
• 逻辑主义学派力求建立严格的逻辑理论与 集合论，并以此为基础推出全部（至少是 主要的）数学。根据这一设想，罗素与怀 特海（Whitehead, 1861-1947）于1910到 1913年完成了三大卷巨著《数学原理》， 这一巨著反映了该学派以集合和逻辑为基 础建设数学的主张。
• 但是，逻辑主义学派在推演定理时遇到一些困难。 《数学原理》一书中所用的公理大多是逻辑公理， 但有例外，作者事实上用到了逻辑公理以外的公 理，即 • （1）无穷公理（用I表示） • 对于每个自然数，总存在一个更大的自然数。 • （2）选择公理（用C表示） • 对于每个由不相交的非空集合所构成的集合，至 少存在一个选择的集合，这个集合与上述其中每 个集合，恰好有一个公共元素。
以上两个公理，都使用了“存在”的词语。 • 但是，逻辑学只处理可能的实体，而不能 断言某些东西是否存在。因此，以上两公 理不属于逻辑学范畴。但是这两个公理对 于数学理论的展开又是必不可少的。事实 上，没有无穷公理，就不能构造自然数集 合，更谈不上构造全部数学。没有选择公 理，数学中的定理就要除掉一批。既然罗 素等人出手就使用了非逻辑公理，又怎么 能断言，全部数学命题均由逻辑概念和逻 辑规则演绎推导出来呢？
§1 数学基础及其研究
• 对于数学基础的研究，从古希腊时代已经 开始，例如，古希腊数学家毕达哥拉斯就 提出过“万物皆数”的观点。直到19世纪 末，数学基础的研究才逐步形成高潮，到 20世纪初，数学基础被发展成很活跃的研 究方向，它主要包含3类问题
一、数学中的逻辑问题
• 数学中的逻辑问题包括纯数学理论的形成 化问题，数学公理系统的相容性问题，以 及数学命题的判定方向等等。
• 例1 求两个自然数a, b的最大公约数（a, b），可用欧几里德辗转相除法在有限步骤 内实现。像这样的方法就称为可行性的或 构造性的方法。 • 直觉主义者排斥古典数学中的非构造性内 容。
• 4．逻辑法则 • 直觉主义派认为，传统逻辑起源于有限集，忽视 这个限制，并把它用到无穷集合，是产生数学悖 论的主要原因。 • 按照直觉主义者的观点，排中律只能用在有限集 上。例如，对于命题：“每个自然数，或者是偶 数，或者不是偶数。”此命题对于有限多个自然 数是真命题。因为对有限多个自然数，可以在有 限步骤内对上述每个自然数逐个检查完毕，从而 肯定此命题的正确性。
• 5．无穷观 • 在数学历史发展中，有两种不同的无穷观。 即“实无穷”与“潜无穷”。实无穷观认 为，无穷是一种现实的，已经完成的存在； 而潜无穷观认为，无穷是一种潜在的，永 无止境的过程，并不是已经存在的东西。
• 例2 自然数序列1,2,3,…，n, n+1, …潜无 穷观认为，它是一个无穷止序列，有了首 项，则可构造出来。而实无穷观认为，它 是一个已经形成的集合，本来已经存在。 • 直觉主义者出于“存在必然被构造”的要 求，反对实无限而支持潜无限观点。
逻辑主义学派的基本观点是：
• 1．数学概念可以由逻辑命题出发，经由明 确的定义而给出； • 2．数学的定理可由逻辑概念出发，经由纯 粹的逻辑演绎推理而给出，换言之，他们 企图利用逻辑，推导出全部数学。这个推 导过程可归结为两步：第一步是数学理论 算术化；第二步是算术理论逻辑化。
• 他们企图抹煞数学与逻辑的区别。用罗素 的话来说，就是“逻辑和数学二者确是同 一门科学，他们的不同就像儿童和成年人 不同。逻辑是数学的少年时代，数学是逻 辑的成年时代。”
第九章 数学基础论及其简要评介
• 数学基础论是研究数学的对象、性质和方 法等一般性问题的学科。数学基础论的研 究工作者，由于其数学观或哲学观的不同， 对数学的对象、来源、性质、作用等 提出 过各种各样的看法，从而逐步形成了不同 的学派。各个学派对数学的发展进步都产 生过积极的影响，同时，各个学派也存在 自身的矛盾和问题。
• 上述3个学派对数学基础的见解各持不同立 场，但在观点上存在某些相同或相近之处。
1．研究的出发点
• 研究的出发点都是对已有数学的怀疑和不 满，但又不是都采取绝对的怀疑主义立场， 而是力求扩大已有数学的可靠性。
2．数学基础观
• 逻辑主义学派认为数学的基础是逻辑，直 觉主义学派认为数学的基础是直觉，形式 主义学派认为数学的基础是公理的无矛盾 性。
• 2．数学起源于直觉 • 什么是数学可靠的基础？他们认为数学可 靠的基础不是逻辑而是直觉。这种直觉不 是指主体对客观事物和现象的直接把握， 而是指思维的本能，它与客观世界无关， 而只涉及心智的构造。
• 3．数学必须能构造 • 他们认为数学的存在性和可构造性是同义 的，因为一切数学概念和方法都是可以构 造的。所谓构造性，就是只承认按一定步 骤能够定义的概念和能够实现的方法是可 信和有效的，所以构造性亦即能行性。
二、数学方法论问题
• 数学方法论问题即数学思想方法的一般原 则、数学方法的可靠性（例如无穷概念 等）、数学发展的规律等等。
三、数学的哲学问题
• 数学的哲学问题即数学理论的真理性标准 问题、数学对象的本体论解释、纯数学研 究对象的客观性问题等等。
• 对上述问题的研究，由于数学家们、哲学 家们的数学观或哲学观的差异，逐步形成 了不同学派，主要有以罗素为首的逻辑主 义学派；以哥德尔为首的直觉主义学派； 以希尔伯特为首的形式主义学派。上述学 派互相争论，互相批判，他们对数学基础 论的研究曾起过积极的推动作用。20世纪 上半叶，数学基础论成为数学研究中比较 活跃的领域。
§2 数学基础论的几个学派及其评价
• 以下简要介绍数学基础论各个学派的代表 人物、基本观点、对数学的贡献及的局限 性。
一、逻辑主义学派
• 该学派主要研究与逻辑学的关系，认为数 学问题可以归结为逻辑问题。此学派的奠 基者之一是德国数学家弗雷格（Frege, 1848-1925）,他企图用逻辑原理建立科学 的普遍语言和推理运算。 • 逻辑主义学派的另一代表人物是英国逻辑 学家、数学家罗素（Russell, 18721970）.
三、形式主义学派
• 形式主义学派是在解决由悖论而引起的 “数学危机”和批判直觉主义学派对古典 数学的责难中形成的。该学派的代表人物 是著名的德国大数学家希尔伯特（Hilbert, 1862-1943）,1904年，他提出了形式主义 的有关观点，这些观点包括：
1．反对直觉主义无限观
• 他们认为，无穷概念虽然超越于经验，非有穷步 骤可以构造，但却是一个理想的元素，可以简化 数学理论系统，并使数学知识结构更加完整。例 如，在几何中引入无穷远点的概念，则可用两点 确定一条直线，也可以由两条相交直线确定唯一 的点。 • 他们指出，不准数学家使用排中律，就像不准天 文学家使用望远镜，或不准拳击手使用拳头一样， 这种限制对数学发展的后果，是不堪设想的。
2．希尔伯特改造数学计划
• 为了在直觉主义批评面前挽救数学，他提 出了建设数学基础的新方案，并完成了把 欧氏几何组成公理系统的宏大工程。人们 把希尔伯特所提出的方案称为希尔伯特计 划，其主要内容有：
• 证明古典数学的每个分支均可有限公理化，即可 表达为包含有限条公理的形式系统； • 证明这样的公理系统是完备的，无矛盾的，相互 独立的； • 证明这种系统相应的模型都是同构的； • 寻求有限方法，借助它，可在有限步骤内判定任 一命题的可证明性。希尔伯特本人对上述计划充 满信心，并且预言，整个算术一致性的证明为期 不远了。
二、直觉主义学派
• 该学派的先驱是德国数学家克罗内克 （Kroneker, 1823-1891）,代表人物是荷 兰数学家布劳威尔（Brouwer, 18811966）,他在1909年发表其名著《数学基 础》，系统地阐述了其直觉主义观点。源自直觉主义学派的基本观点是：
• 1．否认逻辑先于数学，对传统数学知识持 批判态度 • 他们认为，逻辑并不是先于数学的构造， 而是在数学的构造过程中产生的。他们否 定传统逻辑的有效性，认为人们对数学的 认识不依赖于逻辑和经验。在他们看来， 悖论在集合论中出现，是整个数学不可靠 性的大暴露。因此，必须对全部数学进行 严格的审查和彻底改造。
• 1931年，奥地利数学家哥德尔（Todel, 1909-1978）发表了不完备性定理。该定理 断言，在包含算术系统在内的任意形式系 统中，其无矛盾性和完备性是不能兼得的。 • 哥德尔不完备定理的提出，对于希尔伯特 形式主义学派是一个深重的打击。虽然希 尔伯特后来对自己的工作进行了一些修补， 但仍未有本质上的改进。
尽管形式主义学派所提出的计划失败了，但 他们对数学发展的巨大贡献应该得到肯定。
• （1）他们形成了一套完整的、形式化的研 究方法； • （2）他们所提出的元数学以及所发展的有 穷主义证明，成为重要的数学宝藏； • （3）他们的工作有利于消除直觉主义学派 造成的对古典数学的怀疑气氛。
四、三个学派数学观的比较
3．排除悖论的方法
• 该学派认为，要排除悖论，必须对逻辑定律和算 术定律同时进行研究。一方面，要保持古典数学 的基本概念和经典逻辑的推理规则，特别是那些 和实无限有关的概念和方法，如无穷集的概念， 反证法的运用等。出于对可靠性的考虑，他们认 为，可信性只存在于有限中，而无限概念只是理 性的规定而已。他们用潜无限的观点解决实无限 的问题，忽视了潜无限与实无限的区别，因此， 他们想把全部数学都纳入形式公理化计划的宏伟 愿望，是永远不能实现的。