第二章 投影的基本概念

b"
b Y a
a
YH
两点中X值大的点 ——在左 两点中Y值大的点 ——在前 两点中Z值大的点 ——在上
重影点及可见性
若空间两点位于某投影面的同一投射线上时 , 它们 在该投影面上的投影便重合为一点 , 称为对该面的重影 点。
a' b' A B c (c')d' b' a' (c' )d'
C D
c
a (b ) d
1 中心投影法
投影面 投影 物体 投射线 投射中心
s
2 平行投影法
正投影法 斜投影法
三、 平行投影的基本性质
研究目的:研究空间几何要素与投影之间的一一 对应关系并以此作为画图和看图的依据。 一 不变性
(1) 一般情况下,直线的投影仍为直线,曲线的投影仍为 曲线。 (2) 两平行线段的投影仍平行。 (3) 平行于投影面的任何线段或平面图形,其投影反映线 段实长或图形的实形。
四 画物体三面投影的方法和步骤
(1) 选择正面投影图 一般以能较全面地反映物体的形状特征的那一面 投影作为正面投影图。
四 画物体三面投影的方法和步骤
(1) 选择正面投影图 一般以能较全面地反映物体的形状特征的那一面 投影作为正面投影图。 (2) 布 图
画出各投影图的作图基准线。
四 画物体三面投影的方法和步骤
γ
△X
ab
a ' b'
a ' ' b' '
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角 共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
例
题
例１ α角的正确求法是（ ？ ）图
b′ b′
α
b′
a′
a′ a′
a
α
a
a
α
b (a)
b
b
(b)
(c)
例2 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角 形法完成其正面投影。
y
返回
侧垂线
（ b’’ ） a’’
投影特性：1、a’’ b’’ 积聚 成一点 2 、 a b OY ; a’ b’ OZ 3 、 a b = a’ b’ =AB
返回
三. 求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
1. 直角三角形法
AB
| ZA-B |

| ZA-B |
ab
| ZA-B |
AB

1. 三面投影之间的位置关系 2. 三面投影之间的对应关系 3. 三面投影与物体六个方位 的对应关系 正面投影的四周分别是 物体的上、下、左、右四 方；水平投影的四周分别 是物体的前、后、左、右 四方；侧面投影的四周分 别是物体的上、下、前、 后四方。
四 画物体三面投影的方法和步骤
(1) 选择正面投影图 一般以能较全面地反映物体的形状特征的那一面 投影作为正面投影图。 (2) 布 图 画出各投影图的作图基准线。 (3) 按投影规律画出物体的三面投影 先画物体的主体部分,再逐个画出物体中的细节部 分。 (4) 检查、加粗图线
点在两面体系中的投影
V
V a'
a' A
展开 X
ax
X
aX
H
O
O
a
H
a
投影规律: A点的水平投影 ——a 1. aa’⊥ox A点的正面投影xa’＝Aa 2. aax＝Aa’; a ——a’
返回
点在三面体系中的坐标和投影
V
a' Z V a' Z a" W
A
X a O
a"
W X O
YW
H
Y H
a YH
a
d
e
f
E F1 H1 G
F H
EF:GH=ef:gh
e g
f h
三面投影及其投影规律
工程上多采用正投影法绘制投影图表达物体的形状,但不 同的物体在同一投影面上可获得相同的投影。 一个投影 不能唯一确 定的表达物 体的形状,必 须建立一个 投影体系,将 物体同时向 几个面投影, 用多个投影 图来确切的 表达物体的 形状。
(1) 选择正面投影图 一般以能较全面地反映物体的形状特征的那一面 投影作为正面投影图。 (2) 布 图
画出各投影图的作图基准线。
(3) 按投影规律画出物体的三面投影 先画物体的主体部分,再逐个画出物体中的细节部 分。
四 画物体三面投影的方法和步骤
(1) 选择正面投影图 一般以能较全面地反映物体的形状特征的那一面 投影作为正面投影图。 (2) 布 图 画出各投影图的作图基准线。 (3) 按投影规律画出物体的三面投影 先画物体的主体部分,再逐个画出物体中的细节部 分。 (4) 检查、加粗图线
A点的水平投影 ——a A点的正面投影 ——a' A点的侧面投影 ——a"
投影图
Z a'
az
投影规律
a" 1.
X
ax
O
ay
YW 2
a'az=aay=x a"az=aax=y a'ax=a"ay=z
ay
a
a'aox a'a"oz
YH
返回
两点的相对位置
Z Z
a'
b' b" O
a"
a'
b' X b B O A a" X YW
返回
侧平线
投影特性：1、a'b'//OZ ， ab//OY。 2、a"b"=AB。 3 、反映 、 角的真实大小。
返回
铅垂线
投影特性：1、a b 积聚 成一点 2 、 a’ b’OX ; a’’ b’’ OY 3 、 a’ b’ = a’’ b’’ =AB
返回
正垂线
b’ （a’）
投影特性：1、a ’b’ 积聚 成一点 2 、 a b OX ; a’’ b’’ OZ 3 、 a b = a’’ b’’ =AB
将物体置于两投影面体系中, 按正投影法从前向后投影,此投影 称为正面投影。
正面投 影
将物体置于两投影面体系中,按 正投影法从上向下投影,此投影称 为水平投影。
投影面展开方法 V面不动,将H面绕OX轴向下旋 转90,使V面和H面共面。
水平投 影
V
X
O
(b) H (a)
有些物体仅用两面投影任不能清楚表达形体,必须画 出它的第三投影才能唯一确定它的形状。
三 三面投影的位置和对应关系
1. 三面投影之间的位置关系 水平投影在正面投影的 正下方,侧面投影在正面投 影的右方。 2. 三面投影之间的对应关系 正面投影和水平投影长对正； 正面投影和侧面投影高平齐； 水平投影和侧面投影宽相等。
长(X) 高(Z)
Y1 宽(Y)
宽(Y)
三 三面投影的位置和对应关系
a′
x
0
c a b
例3 已 知 直 线 AB 和 BC 对 V 面 的 倾 角 都 是 30°，完成a’b’、b’c’
V1 1
a1 ’
X1
a
（二）新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2、新投影面必须垂直于一个不变投影面。
返回
例题1
已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影
a'
Z
a"
X
b’
c’
c
O c’’
b’’
YW
b
b’’
a
YH
返回
例题2 已知A点在B点前方5毫米，上方9毫米，右方8毫 米，求A点的投影。 Z a'
例 画出下列各模型的三面投影
作图方法和步骤
1. 2. 3. 4. 选择正面投影图 布图 画出各组成部分的投影 检查、加粗图线
模型一
模型四
模型三
模型二
正立板
侧立板
水平板
钟形块
支承板
底板
无交线
平齐 无交线 平齐
点 的 投 影
空间几何体是由点、 直线和平面构成的，如图 3.1所示的三棱锥。既可看 成由四个点所构成，又可 看成由六条直线或四个平 面所构成。因此，表达几 何体的三面投影，实际上 就是画出构成几何体的点、 直线和平面的投影。所以， 点、直线、平面的投影是 画图的基础。本章着重研 究它们的投影规律和特点。
二 三投影面体系和三面投影
1 三面投影体系的建立
正立投影面(简称V面) 水平投影面(简称H面) 侧立投影面(简称W面) V⊥H⊥W 2 三面投影 正面投影 水平投影 侧面投影 3 投影面展开方法 V面不动,将H面绕OX轴向下旋 转90,W面绕OZ轴向右旋转90, 使三投影面共面。
侧立投影面
侧面投影
a(b)
d
判别可见性
返回
点的辅助投影
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替 旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置， 然后找出其在新投影面上的投影。
V1
a1 ’
a1’
X1
a’
V1
a1’ X1
a1 ’
X a1’
V H
a
点的投影变换规律
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。
一 两投影面体系和两面投影
1 两面投影体系的建立 在空间建立两个相互垂直的 投影面。 处于正立位置的投影面称为 正立投影面(简称V面)。 处于水平位置的投影面称为 水平投影面(简称H面)。 两投影面的交线称为投影轴 (OX)。
正立投影 正立投影 面 面
水平投影 水平投影 面 面
一 两投影面体系和两面投影 2 两面投影
二. 各种位置直线的投影
1. 一般位置直线
2. 投影面平行线
平行于一个投影面而倾斜于另外两个投影面的直线。
水平线——平行于H面而倾斜Ｖ、Ｗ面的直线； 正平线——平行于Ｖ面而倾斜H、W面的直线； 侧平线——平行于W面而倾斜H、Ｙ面的直线。
二. 各种位置直线的投影
1. 一般位置直线
2. 投影面平行线 3. 投影面垂直线
第二章 投影法及点、直线、平面的投影
前 言
第一节 投影的基本概念
第二节 三面投影及其投影规律
第三节 点的投影 第四节 直线的投影 第五节 平面的投影
前 言
25 3.2
0.02 A
其余
62
3.2
A
28
92
压 块
制图 审核
比例 材料
左图是生产中常用的一种图样。右图是压块的直观图。 本章介绍投影法、投影的基本性质和三面投影等内容。
投影的基本概念
一 投影法
投影法:指在一定的投影条件下求作空间点、线、面、体的投 影方法。使用投影法必须具备三个条件: (1) 投影中心S和投射线
投影面 投影
(2) 投影面：不通过S的投影面 (3) 表达对象：空间几何形体
物体
一系列投射线与投影面 交点的总和称为投影。
投射线
投射中心
s
二 投影法的分类
垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直面。
铅垂线——垂直于H面而平行于Ｖ、Ｗ面的直线； 正垂线——垂直于Ｖ面而平行于H、W面的直线； 侧垂线——垂直于W面而平行于H、Ｙ面的直线。
返回
水平线
投影特性： 1、a'b'//OX， a"b"//OY 2、ab=AB 3、反映、 角的真实大小
返回
正平线
投影特性： 1、ab//OX ， a"b"//OZ。 2、a'b'=AB。 3、反映、角的真实大小。
9
a"
b' X
8
b"
O
YW
பைடு நூலகம்
b
5
a
YH
返回
一. 直线的投影
直线由线上任意两点所确定，其投影由两点投影确定， 直线与水平、正立、侧立投影面的夹角分别用希腊字母α、β 、γ表示.

返回
二. 各种位置直线的投影
1. 一般位置直线


投影特性：
1 a b=AB· α ;a’b’=AB·cosβ ; a’’ b’’=AB·cosγ cos 2 、a b、a’b’、a’’ b’’均倾斜于投影轴 3 、 不反映 、 、 实角
a′
x a b
例2 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角 形法完成其正面投影。 作图：
b′
Zab
①以ab为直角边作直角三角 形，求出ΔZab
②利用ΔZab求b′ 讨论有多解。 x
a′
Zab
b′ a
ΔZab
α
b
重作
例3 已 知 直 线 AB 和 BC 对 V 面 的 倾 角 都 是 30°，完成a’b’、b’c’
ab

| ZA-B |

AB
求β角
三. 求一般位置线段的实长及对投影面的倾角
1. 直角三角形法
AB
| YA-B |
β
a＇ b＇
β
B0
AB
β
| YA-B |
| YA-B |
a＇ b＇
直角三角形的作图要点: 直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线 段的投影及坐标差,如图
△Z
α
AB
β
△Y
AB
2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投 影轴的距离。
变换H面
a1
a1
a1
H1
点的两次变换 a’
a2 a2
(一) 点的投影变换规律
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。
2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投 影轴的距离。 a’
a’
X V H
A B
D
E
C
F
c b a
d
e
f
研究目的:研究空间几何要素与投影之间的一一对应关 系并以此作为画图和看图的依据。
1 2 3 4
不变性 积聚性 从属性 等比性
(1) 直线上的一点将该直线分为两段,该两线段之比等 与其投影之比。 (2) 空间两平行线段之比等于其投影之比。
A B
D
E C c b
F
AB:BC=ab:bc。
研究目的:研究空间几何要素与投影之间的一一对应关 系并以此作为画图和看图的依据。
1 不变性 2 积聚性
当空间直线或平面所处位置与投影线平行时,则直线的 投影积聚为一点,平面的投影积聚为一直线。
研究目的:研究空间几何要素与投影之间的一一对应关 系并以此作为画图和看图的依据。
1 不变性 2 积聚性 3 从属性