高三理科数学试卷(含答案)
高三理科数学试题及答案
高三理科数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数y=\(\frac{1}{x}\)的图象在第一象限内是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减D. 先递减后递增2. 已知向量\(\vec{a}=(3,-2)\)，\(\vec{b}=(2,3)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A. -5B. 5C. 13D. -133. 已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>0，b>0，若该双曲线的渐近线方程为y=±\(\frac{b}{a}\)x，则该双曲线的离心率为（）A. \(\sqrt{2}\)B. \(\sqrt{3}\)C. \(\sqrt{5}\)D. 24. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在区间(1,2)内有零点，则零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知等比数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）A. 63B. 77C. 84D. 1266. 已知直线l的方程为y=kx+b，若直线l过点(1,2)且与直线y=-2x 平行，则直线l的方程为（）A. y=-2x+4B. y=-2x+3C. y=2x-1D. y=2x+17. 已知函数f(x)=\(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则该函数的值域为（）A. (0,+∞)B. (-∞,+∞)C. [0,+∞)D. R8. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若直线l与抛物线C相切，则直线l的斜率的取值范围为（）A. (-∞,0]B. (0,+∞)C. [0,+∞)D. R9. 已知椭圆E的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>b>0，若椭圆E的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则椭圆E 的短轴长为（）A. \(\sqrt{2}\)B. 1C. 2D. \(\sqrt{3}\)10. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为（）A. \(\frac{7}{20}\)B. \(\frac{7}{15}\)C. \(\frac{7}{12}\)D. \(\frac{7}{10}\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为\(\frac{7}{20}\)。
【高三数学试题】高三数学试题1(理科)及参考答案
高三数学试题1(理科)一、选择题1、设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．82、若集合{|3},{|33}xM y y P x y x ====-，则M P I =（ ） A {|1}x x > B {|1}y y ≥ C {|0}y y > D {|0}x x ≥3、已知命题p ：若,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若a b >，则11a b <．给出下列四个命题：①p 且q ，②p 或q ，③p 的逆否命题，④ q ⌝，其中真命题的个数为（ ）()A 1()B 2 ()C 3 ()D 44．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）.5、已知集合A ＝{(x ，y)|32y x --=1，x ，y ∈R}，B={(x ，y)|y=ax+2，x ，y ∈R}，若A ⋂B ＝∅，则a 的值为（ ）A ．a ＝1或a ＝32B ．ａ＝１或a ＝12 C ．a ＝2或a ＝3 D ．以上都不对 6、若函数)(212)(为常数a k k x f xx⋅+-=在定义域上为奇函数，则的值为k （ ）A ． 1 B. 1- C. 1± D. 07、若函数()(2)()[1,1]()||,()f x f x f x x f x x y f x +=∈-==满足且时则函数的图象与 函数||log 3x y =的图像的交点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．多于4x y 0-2 2x y 0 -2 22 xy 0 -2 22 xy 0 -2 2 2A. B. C . D.8、已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ）A ．12()()f x f x >B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x = D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定二、填空题9、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1[()]2g g =__________．10．已知函数22(),1x f x x R x =∈+，则1()()f x f x += ；11、设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .12、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
【高三】浙江2021年高考数学理科试卷(附答案和解释)
【高三】浙江2021年高考数学理科试卷（附答案和解释）浙江卷数学（理）试题答案与解析选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分．1．已知i是虚数单位，则(?1+i)(2?i)=A．?3+iB．?1+3i C．?3+3i D．?1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S={xx>?2}，T={xx2+3x?4≤0}，则(?RS)∪T=A．(?2，1]B．(?∞，?4]C．(?∞，1]D．[1，+∞)【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为(?RS)={xx≤?2}，T={x?4≤x≤1}，所以(?RS)∪T=(?∞，1]. 3．已知x，y为正实数，则A．2lgx+lgy=2lgx+2lgyB．2lg(x+y)=2lgx ? 2lgyC．2lgx ? lgy=2lgx+2lgy D．2lg(xy)=2lgx ? 2lgy【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D正确4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ?R)，则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=π2+kπ，k?Z，所以选项B正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A．a=4B．a=5C．a=6D．a=7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A6．已知α?R，sin α+2cos α=102，则tan2α=A．43B．34C．?34D．?43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=1022可得sin2α+4cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α=104，进一步整理可得3tan2α?8tan α?3=0，解得tan α=3或tanα=?13，于是tan2α=2tan α1?tan2α=?34.7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于AB上任一点P，恒有→PB?→PC≥→P0B?→P0C，则A．?ABC=90?B．?BAC=90?C．AB=ACD．AC=BC【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设→AB=4，则→P0B=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，→PB?→PC=→PH→PB=(→PB ?(a+1))→PB，→P0B?→P0C=?→P0H→P0B=?a，于是→PB?→PC≥→P0B?→P0C恒成立，相当于(→PB?(a+1))→PB≥?a恒成立，整理得→PB2?(a+1)→PB+a≥0恒成立，只需?=(a+1)2?4a=(a?1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex?1)(x?1)k(k=1，2)，则A．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A，B错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C正确。
高三理科数学期末试题及答案
高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题：每小题5分：共40分．在每小题给出的四个选项中：选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|11M x x =-<<M N =A ．{}|01x x ≤<B ．{|01x x <<C ．{}|0x x ≥D ．{}|10x x -<≤2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-3．执行如图所示的程序框图：则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处：现随机抽取其中的200辆进行车速统计：统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ：试km/h ）错误!估计2000辆车中：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆第4题图5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ：则y PQ +的最小值是A ．12B ．1C ． 2D ． 3 7．某四棱锥的三视图如图所示：则该四棱锥的侧面积是A ．27B ．30C ．32D ．36第7题图8．设函数()f x 的定义域D ：如果存在正实数m ：使得对任意x D ∈：都有()()f x m f x +>：则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数：且当0x >时：()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”：则实数a 的取值范围是 A ．0a > B ．5a < C．10a<D ．20a <第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题：每小题5分：共30分．把答案填在答题卡上．侧视图俯视图9．函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是 ：最小值是 ．10．若x ：y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为 ．11．在各项均为正数的等比数列n a 中：若22a ：则132a a 的最小值是 ．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间：甲同学不与老师相邻：则不同站法种数为 ．13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心）：且满足||25CA CB +==AB ．14．已知点O 在ABC ∆的内部：且有xOA yOB zOC ++=0：记,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOC S S S ∆∆∆，，．若1x y z ===：则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ：若2,3,4x y z ===：则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ．三、解答题：本大题共6小题：共80分．解答应写出文字说明：演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班：现从高一年级选10名同学组成社区服务小组：其中高一（1）班选取3名同学：其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学：到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率：（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数：求随机变量X 的分布列和数学期望．16．（本小题满分13分）如图：在ABC ∆中：点D 在BC 边上：7,42CAD AC π∠==：cos 10ADB ∠=-．（Ⅰ）求sin C ∠的值：（Ⅱ）若5,BD =求ABD ∆的面积．17．（本小题满分13分）如图：在四棱锥P ABCD -中：底面ABCD 是菱形：且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点：平面ABE 与棱PD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ：（Ⅱ）若PA PD AD ==：且平面PAD ⊥平面ABCD ： 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+：其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数：求a 的取值范 围：（Ⅱ）当e a =-时：（ⅰ）证明：()20f x +≤：19．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ：B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率： （Ⅱ）求证：OA OB ⊥： （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.20．（本小题满分13分） 已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N 的各项均为正数：且满足条件：①1k a a =：②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=-．（Ⅰ）若13,2k a ==：求出这个数列： （Ⅱ）若4k =：求1a 的所有取值的集合： （Ⅲ）若k 是偶数：求1a 的最大值（用k 表示）．数学答案（理工类） ．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空：第一空3分：第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ：则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0：1：2：3：则03373107(0)24C C P X C ⋅===： 123731021(1)40C C P X C ⋅===： 21373107(2)40C C P X C ⋅===：30373101(3)120C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos 10ADB ∠=-：所以sin 10ADB ∠=． 又因为4CAD π∠=：所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45=． ………………………7分 （Ⅱ）在ACD ∆中：由ADCAC C AD ∠=∠sin sin：得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形：所以AB ∥CD ． 又因为AB ⊄面PCD ：CD ⊂面PCD ：所以AB ∥面PCD ． 又因为,,,A B E F 四点共面：且平面ABEF平面PCD EF =：所以AB ∥EF ． ………………………5分 （Ⅱ）取AD 中点G ：连接,PG GB ．因为PA PD =：所以PG AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ： 且平面PAD平面ABCD AD =：所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥． 在菱形ABCD 中：因为AB AD =： 60DAB ∠=︒：G 是AD 中点： 所以AD GB ⊥．如图：建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===： 则(0,0,0),(,0,0)G A a ：,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --．又因为AB ∥EF ：点E 是棱PC 中点：所以点F 是棱PD中点．所以(,,)22E a -：(2a F -．所以3(2a AF =-：(,2a EF =．设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ：则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以,.z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =：则平面AFE 的一个法向量为=n ．因为BG ⊥平面PAD ：所以(0,,0)GB =是平面PAF 的一个法向量．因为cos ,39GB <GB >GB⋅===⋅n n n所以平面PAF 与平面AFE ． ……………………13分 18．（本小题满分14分）解：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ：1()f x a x'=+．（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数：所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立： 即1()0f x a x '=+≥：1a x≥-在[1,2]x ∈上恒成立： 则1.2a ≥- ………………………………………………………4分（Ⅱ）当e a =-时：() e ln f x x x =-+：e 1()x f x x-+'=． （ⅰ）令0)(='x f ：得1ex =． 令()0f x '>：得1(0,)e x ∈：所以函数)(x f 在1(0,)e 单调递增．令()0f x '<：得1(,)e x ∈+∞：所以函数)(x f 在1(,)e +∞单调递减．所以：max 111()()e ln 2e e ef x f ==-⋅+=-．所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知： max ()2f x =-： 所以2|)(|≥x f ． 设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='． 令0)(='x g ：得e x =．令()0g x '>：得(0,e)x ∈：所以函数)(x g 在(0,e)单调递增： 令()0g x '<：得(e,)x ∈+∞：所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减：所以：max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<： 即2)(<x g ． 所以)(|)(|x g x f > ：即>|)(|x f ln 32x x +．所以：方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解． ……………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可知24a =：243b =：所以22283c a b =-=．所以3c e a ==．所以椭圆C的离心率为3． …………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在：则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -：则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥． 同理：当:1l x =-时：也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在：设:l y kx m =+1=：即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩：得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ：22(,)B x y ：则122631kmx x k +=-+：21223431m x x k -=+．所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++. 所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+ 22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+． 所以OA OB ⊥．综上所述：总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切：则圆O 半径即为OAB ∆的高： 当l 的斜率不存在时：由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时：由（Ⅱ）可知：AB ===223131k k ==++231k =+． 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时：等号成立）．所以AB ≤．此时：max (S )OAB ∆=.综上所述：当且仅当3k =±时：OAB ∆面积的最大值为3．…………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为13,2k a ==：由①知32a =： 由②知：21211223a a a a +=+=：整理得：2222310a a -+=．解得：21a =或212a =． 当21a =时：不满足2323212a a a a +=+：舍去： 所以：这个数列为12,,22． …………………………………………………3分 （Ⅱ）若4k =：由①知4a =1a ． 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=：所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=．所以112n n a a +=或11(1,2,3)n na n a +==． 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=：显然不满足条件： 所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=：共有下面4种情况： （1）若211a a =：3212a a =：4312a a =：则41114a a a ==：解得112a =： （2）若2112a a =：321a a =：4312a a =：则4111a a a ==：解得11a =：（3）若2112a a =：3212a a =：431a a =：则4114a a a ==：解得12a =：（4）若211a a =：321a a =：431a a =：则4111a a a ==：解得11a =： 综上：1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意：设*2,,m 2k m m =∈≥N ．由（II ）知：112n n a a +=或11(1,2,3,21)n n a n m a +==-．假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n n a a +=：用了21m i --次递推关系112n n a a +=： 则有(1)211()2itm a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ． 当i 是偶数时：0t ≠：2111()2tm a a a =⋅=无正数解：不满足条件： 当i 是奇数时：由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤：所以112m a -≤．又当1i =时：若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---====： 有222111()2m m a a --=⋅：222112m m a a a -==：即112m a -=．所以：1a 的最大值是12m -．即1212k a -=．…………………………………13分。
天一大联考顶尖联盟2024届高三阶段性测试(二)(老教材版)理科数学试题(含答案)
试卷类型：老教材版2024届高中毕业班第二次考试理科数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()1i 35i z -=+，则z 的共轭复数z =（）A ．44i+B ．44i-C ．14i-+D ．14i--2．已知集合{}{}21log 3,25A x x B x x x *=∈≤<=<≥N 或，则()A B =R ð（）A ．{}1,2,3B ．{}2,3C ．{}2,3,4D ．{}2,3,4,53．已知向量()()()3,4,2,,2,1a b m c =-=-= ，若()a b c +⊥，则m =（）A ．2-B ．2C ．6-D ．64．设函数()21f x x =+，数列{}n a ，{}n b 满足()(),n n a f n f b n ==，则2a =（）A ．7b B ．9b C ．11b D ．13b 5．记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，分别以,,a b c 为边长的正三角形的面积依次为123,,S S S ，且12334S S S bc --=，则A =（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．通过验血诊断某疾病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为()01p p <<，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为()01q q <<，现对2名未患病者和1名患病者进行验血，每人的诊断结果互不影响，则诊断结果均为阴性的概率为（）A ．()21p q-B ．()21p q -C ．()21p q -D ．()21p q -7．斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为（）A ．144B ．120C ．108D ．968．函数()21log xf x x-=的单调递增区间为（）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭c ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭9．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，如图所示，某陀螺可以视为由圆锥SO 和圆柱1OO 组合而成，点,M N在圆锥SO 的底面圆周上，且SMN △74MSN ∠=，圆锥SO 的侧面积为，圆柱1OO 的母线长为3，则该几何体的体积为（）A ．403πB ．443πC ．523πD ．563π10．已知函数()sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上除顶点外的一点，123PF PF =，且1260F PF ∠>︒，则C 的离心率的取值范围是（）A ．7,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．)12．已知01a <<，若函数()ln e x f x a a x =-有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆2221(3)9x y m m+=>的离心率为12，则m =______．14．已知,x y 满足约束条件30,35030,x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是______．15．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==，平面α与棱1111,,,AA BB CC DD 分别交于点,,,M E N F ，其中,E F 分别是11,BB DD 的中点，且1AC ME ⊥，则1A M =______．16．已知0,,,222x y πππ⎛⎫⎛⎫∈∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()tan tan 4sin2x y x y x ++-=，则cos cos x y 的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的22⨯列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400（Ⅰ）是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？（Ⅱ）若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访，再从这5人中任选2人赠送羽线服，记X 为抽取的2人中女生的人数，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥0.100.050.0100k 2.7063.8416.63518．（12分）如图，矩形ABCF 与梯形FCDE 所在的平面垂直，,,1DE CF EF FC AF EF DE ⊥===∥，2,AB P =为AB 的中点．（Ⅰ）求证：平面EPF ⊥平面DPC ；（Ⅱ）求二面角B CD P --的余弦值．19．（12分）在数列{}n a 中，已知()112242,4n n a a n n a -=-+≥=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}24n nn a ⋅-的前n 项和．20．（12分）已知()4,4M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 为C 的焦点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求MOF △的面积；（Ⅱ）若,A B 为C 上的两个动点，直线MA 与MB 的斜率之积恒等于2-，作,MN AB N ⊥为垂足，证明：存在定点Q ，使得NQ 为定值．21．（12分）已知函数()e x f x x =．（Ⅰ）若存在唯一的负整数0x ，使得()()001f x m x <-，求m 的取值范围；（Ⅱ）若0a >，当()1,x ∈-+∞时，()()213ln 8a x af x ++≥，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，已知直线2cos ,:sin x t l y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴交于点P ，与y轴正半轴交于点Q ，且OPQ △的面积为233．（Ⅰ）求α；（Ⅱ）若l 与曲线22:1C x y -=交于,A B 两点，求11PA PB+的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()f x x a x b =++-．（Ⅰ）当2,3a b ==时，求不等式()6f x ≥的解集；（Ⅱ）设0,1a b >>，若()f x 的最小值为2，求111a b +-的最小值．理科数学（老教材版）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1．答案D命题意图本题考查复数的基本概念和运算．解析35i14i 1iz +==-+-，故14i z =--．2．答案C命题意图本题考查集合的运算．解析因为{}{}[)*2R 1log 32,3,4,5,6,7,2,5A x x B =∈≤<==N ð，所以(){}R 2,3,4A B = ð．3．答案B命题意图本题考查平面向量的数量积．解析()1,4a b m +=- ，因为()a b c +⊥，所以240m +-=，得2m =．4．答案C命题意图本题考查数列的概念与性质．解析由题意知()121,12n n a n b n =+=-，可知2115a b ==．5．答案C命题意图本题考恒三角形的面积公式和余弦定理．解析由题意得222123,,444S a S b S c ===，则2221234444S S S a b c bc --=--=，所以222a b c bc --=，故2221cos 22b c a A bc +-==-，又0A π<<，所以23A π=．6．答案A 命题意图本题考查概率的计算．解析未患病者的诊断结果为阴性的概率为1p -，患病者的诊断结果为阴性的概率为q ，所以对2名未患病者和1名患病者进行验血，诊断结果均为阴性的概率为()21p q -．7．答案A 命题意图本题考查排列与组合的应用．解析先排数字2，3，5，8，有44A 种排法，4个数字形成5个空当．第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法；第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1，有3种排法．所以密码个数为()4433144A ⨯+=．命题意图本题考查函数的单调性．解析由10x x ->，得01x <<，所以()f x 的定义域为()0,1．设()2211log log 1x g x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，易得()g x 在()0,1上单调递减．当11x x ->，即102x <<时，()0g x >，此时()()f x g x =单调递减，当101x x -<<，即112x <<时，()0g x <，此时()()f x g x =-单调递增，所以()f x 的单调递增区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．9．答案B命题意图本题考查圆柱与圆锥的结构特征．解析设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则SMN △的面积为117sin 224SM SN MSN l l ⨯∠=⨯⨯=解得l =因为圆锥SO的侧面积为rl r π==，所以2,2r SO ===．故该几何体的体积为144434233V V V πππ=+=⨯+⨯⨯=圆柱圆锥．10．答案D命题意图本题考查三角函数的图象与性质．解析令()0f x =，得sin 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=±- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又222333x x πππ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以只能是()2233x x k k πππ⎛⎫⎛⎫++-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，得()4k x k π=∈Z ，在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有,0,44ππ-共3个零点．11．答案A 命题意图本题考查双曲线的性质．解析设2112(0),3,PF m m PF m F PF θ=>=∠=，显然60180θ︒<<︒，则12F F ===，所以C 的离心率12122106cos 22F F c c e a a PF PF ====-．由于60180θ︒<<︒，所以1cos 1,2θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2的取值范围是,22⎛⎫⎪⎝⎭．命题意图本题考查函数的零点、导数的几何意义．解析()f x 有两个不同的零点，等价于曲线ln x y a a =与e y x =有两个不同的交点，当0x >时，ln 0,e 0x a a x <>，二者不可能有交点，只需考虑0x <时的情况．设()ln x g x a a =，若1ea =，则()1e xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知曲线1e xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与直线e y x =在点()1,e --处相切；若10e a <<，当0x <时，1,ln 1e xxa a ⎛⎫><- ⎪⎝⎭，所以1ln e xx xa a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以曲线()y g x =与直线e y x =没有交点；若11e a <<，则1e,ln 1a a <>-，所以()ln 11e a g a a-=>->-，曲线()y g x =与直线e y x =有两个交点．综上可得，满足条件的a 的取值范围是1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．答案命题意图本题考查椭圆的性质．解析因为3m >，所以912m m =，解得m =14．答案3-命题意图本题考查简单的线性规划问题．解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线20x y z +-=过点()3,0-时z 取得最小值，且min 303z =-+=-．15．答案3命题意图本题考查空间位置关系的判断以及相关计算．解析因为平面α经过棱11,BB DD 的中点，所以四边形MENF 为菱形，且易证1A C EF ⊥．又因为1AC ME ⊥，所以1AC ⊥平面MENF ，所以1AC MN ⊥，且MN 经过1A C 的中点．在矩形11A ACC 中利用三角形相似可计算得13A M =．16．答案12命题意图本题考查三角恒等变换的应用．解析由题意知()()()()()()()()()()sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-+-+-++=+-+-()()sin 24sin 2cos cos xx x y x y ==+-，由题意知sin20x ≠，因此()()1cos cos 4x y x y +-=．所以()()11cos cos cos cos 22x y x y x y =++-≥=⎡⎤⎣⎦，当且仅当()()1cos cos 2x y x y +=-=，即,03x y π==时等号成立．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．命题意图本题考查独立性检验和超几何分布的相关计算．解析（Ⅰ）因为22400(1604080120)2003.17524016028012063K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为3.175 3.841<，所以没有95%的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异．（Ⅱ）选出的男性人数为16052400⨯=，选出的女性人数为24053400⨯=，由题意可得X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21122233222555C 1C C 3C 30,1,2C 10C 5C 10P X P X P X =========，故X 的分布列为X 012P11035310所以X 的数学期望()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=．18．命题意图本题考查面面垂直的证明以及二面角的计算．解析（Ⅰ）因为EF FC ⊥，平面EFCD ⊥平面ABCF ，所以EF⊥平面ABCF ，又因为PC ⊂平面ABCF ，所以EF PC ⊥．在矩形ABCF 中，1,2,AF AB P ==为AB 的中点，所以2FP CP FC ===，根据勾股定理可得FP PC ⊥．因为EF FP F = ，所以PC ⊥平面EPF ，所以平面EPF⊥平面DPC ．（Ⅱ）以F 为坐标原点，,,FA FC FE 所在直线分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,1,1,0,2,0,1,2,0,1,1,0D C B P ．所以()()()0,1,1,1,0,1,1,1,1DC DP DB =-=-=-．设平面DPC 的法向量为(),,n x y z = ，由0,0,n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,y z x z -=⎧⎨-=⎩令1y =，则()1,1,1n =．同理可得平面BCD 的一个法向量为()0,1,1m =．设二面角B CD P --的平面角为θ，故cos 3m n m nθ⋅=== ，即二面角B CD P --的余弦值为3．19．命题意图本题考查递推关系与等比数列的性质，以及错位相减法的应用．解析（Ⅰ）因为()12242n n a a n n -=-+≥，所以()()122212n n a n a n n --=--≥⎡⎤⎣⎦．所以{}2n a n -是首项为2，公比为2的等比数列．所以22nn a n -=，即22nn a n =+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知1242n n n n a n +⋅-=⋅．设前n 项和为n T ，则23411222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，345221222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，两式相减可得()223412221222222212n n n n n T n n +++--=+++⋅⋅⋅+-⨯=-⨯-()222242124n n n n n +++=--⨯=--，所以()2124n n T n +=-+．20．命题意图本题考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系．解析（Ⅰ）由题可得168p =，解得2p =，所以()110,1,14222MOF M F S OF y ==⨯⨯=△．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知C 的方程为24y x =．由题意可知直线AB 不与x 轴平行，设直线AB 的方程为221212,,,,44y y x my b A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则124y y ≠±．联立方程得2,4,x my b y x =+⎧⎨=⎩整理可得2440y my b --=，则2Δ16160m b =+>，且124y y m +=①，124y y b =-②．121144444MA y k y y -==+-，同理可得244MB k y =+．由题意得1244244MA MB k k y y ⨯=⨯=-++，即()12124240y y y y +++=，将①②代入可得164240m b -+=，即46b m =+．故直线AB 的方程可化为46x my m =++，即()64x m y -=+，直线AB 过定点()6,4D -．因为MN AB ⊥于点N ，所以点N 在以MD 为直径的圆上，故存在MD 的中点Q ，即()5,0Q ，使得2MD NQ ==，为定值．21．命题意图本题考查利用导数研究函数性质．解析（Ⅰ）()()1e x f x x +'=，可得()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增．令()()1h x m x =-，作出()f x 与()h x 的大致图象如图所示，因为存在唯一的负整数0x ，使得()()00f x h x <，则01x =-，故()()()()11,22,f h f h ⎧-<-⎪⎨-≥-⎪⎩即2213e2e m ≤<，故m 的取值范围为221,3e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）根据题意，()()213ln 8a x af x ++≥对()1,x ∈-+∞恒成立，等价于()e ln 12ln 3ln23x ax x a -+≥--对()1,x ∈-+∞恒成立．令()()e ln 1,1x F x ax x x =-+>-，则有()()1e e 1x x F x a x x =+-+'，令()()()1e e ,11x x G x F x a x x x =-+'=+>-，则()()212e 0(1)x G x a x x =++>+'，所以()F x '在()1,-+∞上单调递增，又1x →-时，(),F x x →-∞'→+∞时，()F x '→+∞，从而存在唯一的()01,x ∈-+∞，使得()00F x '=，即()00001e e 01x x a x x +-=+，可得()()000201,ln 2ln 11e x a a x x x ==-+-+，当()01,x x ∈-时，()()0,F x F x '<在()01,x -上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,F x F x '>在()0,x +∞上单调递增，故()()()0000e ln 1x F x F x ax x ≥=-+，故原不等式恒成立只需()()()00000020e ln 122ln 13ln231e x x x x x x x ⋅-+≥-+---⎡⎤⎣⎦+，即()()000203ln 123ln2301x x x x +++++≥+．构造函数()()23ln 123ln23,1(1)x H x x x x x =+++++>-+，可得()2331335422(1)1(1)x x x H x x x x -++=++=+'+++，当1x >-时，令()2354u x x x =++，因为Δ2548230=-=-<，从而可得()0H x '>在()1,x ∈-+∞时恒成立，又102H ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()0H x ≥的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．又因为()00ln 2ln 1a x x =-+-，令()()2ln 1v x x x =-+-，易得()v x 在定义域内单调递减，所以111ln 2ln 1ln4222a ⎛⎫≤--++=+ ⎪⎝⎭，所以1ln42e a ≤=故a的取值范围为(．22．命题意图本题考查方程的互化、直线的参数方程的应用．解析（Ⅰ）由l 的参数方程可知()2,0P -，由题意知11232223OPQ S OP OQ OQ ==⨯=△，所以233OQ =，即230,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以l 的斜率为()23033023-=--，所以6πα=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2,2:12x t l y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入221x y -=，得到260t -+=．设,A B 对应的参数分别为12,t t，则121260t t t t +==>，故121211233t t PA PB t t ++==．23．命题意图本题考查绝对值不等式的解法及性质．解析（Ⅰ）将2,3a b ==代入()6f x ≥，得236x x ++-≥，等价于2,126,x x ≤-⎧⎨-≥⎩或23,56,x -<<⎧⎨≥⎩或3,216,x x ≥⎧⎨-≥⎩得52x ≤-或无解或72x ≥．所以不等式()6f x ≥的解集为57,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ．（Ⅱ）()()()f x x a x b x a x b a b =++-≥+--=+，因为()f x 的最小值为2，且0,1a b >>，所以2a b +=．()1111111a b a b a b ⎛⎫+=++- ⎪--⎝⎭12241b a a b -=++≥+=-，当且仅当11b a a b -=-，即1a b =-，也即13,22a b ==时取等号，所以111a b +-的最小值为4．。
高三理科数学试卷+答案
理科数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1.已知i 是虚数单位,复数z 满足2(1i)1i z-=+则z =()B.2C.12.已知全集{}2|230,{3}U x x x A =+-≤=-,则U A =ð()A.(,3](1,)-∞⋃+∞B.(3,1]- C.[3,1)- D.[3,1]-3.已知0.30.3121,log 0.3,0.32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是()A.a b c<< B.c a b<< C.a c b << D.a c b<<4.函数2()cos ln f x x x =的图象大致为()A. B.C.D.5.已知向量,a b 的夹角为π4,且2,a b == ,则a b -= ()A.1B.2C.4D.66.若曲线e 1xy =+在0x=处的切线,也是ln y x b =+的切线,则b =()A.-1B.2C.4D.37.在等差数列{}n a 中,12018a =-,其前n 项和为n S ,若151051510S S -=则2020S =()A.0B.2018C.-2019D.20208、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8π3+ B.8π+ C.82π3+D.89.如图,已知点()2,2A 与反比例函数2y x=,在正方形ABOC 内随机取一点P ,则点P 取自图中阴影部分的概率为()10.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,过F 且倾斜角为120的直线与抛物线C 交于,A B 两点,若,AF BF 的中点在y 轴上的射影分别为,M N ,且||43MN =,则抛物线C 的准线方程为()A.32x =-B.2x =- C.3x =- D.4x =-11.已知函数2,0()2ln ,0x x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪>⎩,若函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点,则实数k 的取值范围()A.21(0,)eB.1(,0)2- C.(0,e)D.211(,)2e-12.已知等边ABC △的边长为23,,M N 分别为,AB AC 的中点,将AMN △沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -.点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点,当四棱锥A MNCB -的体积最大时,P 到平面MNCB 距离的最大值为()A.1312+ B.1312+ C.33+ D.35+二、填空题（每题5分，共20分）13.太极图被称为"中华第一图".从孔庙大成殿梁柱,到楼观台,三茅宫等的标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为"阴阳鱼太极图".在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组222240(1)1x y x x y ⎧+⎪≤≤≥⎨⎪++⎩或22(1)1x y +-≤来表示,设(),x y 是阴影中任意一点,则z x y =+的最大值为_______.A.ln 22B.1ln 22+ C.2ln 22- D.1ln 22-14.某校举行歌唱比赛,高一年级从6名教师中选出3名教师参加,要求李老师,王老师两名老师至少有一人参加,则参加的三名老师不同的唱歌顺序的种数为______.(用数字作答)15.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足π2,(π)04f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,且()f x 在区间ππ(,43上单调,则ω的值有_____个.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左,右顶点12,A A ,右焦点为1,F B 为虚轴的上端点,在线段1BF 上(不含端点)有且只有一点P满足120PA PA ⋅=,则双曲线的离心率为________.三、解答题（共70分）17、（本题12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12n na a +=，149a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12121log log 1n n n a b a S ++=⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，PA PB PC ==.（1）证明：PBD △为直角三角形；（2）若2PD =，E 是PC 的中点，且二面角P AB E --的余弦值为5714，求三棱锥P ABE -的体积.19、（本题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A B B C C D D E +++、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为371624241673％、％、％、％、％、％、％、％．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ．（1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20、（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，下顶点为M ，直线2MF 与E 的另一个交点为P ，连接1PF ，若1PMF △的周长为12PF F △的面积为313b .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线:(1)l y kx m m =+≠-与椭圆E 交于A ，B 两点，当m 为何值时，MA MB ⊥恒成立？21、（本题12分）已知函数213()e3x a f x x -=-，其中常数a ∈R .(1)若()f x 在(0,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，求证：导函数()y f x '=与函数241y x x =-+的图象有两个交点.22.（本题10分）在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),以O 为极点以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为π6θ=.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求AB 的值.理科数学参考答案1.答案：A 解析：复数z 满足2(1i)1i z -=+,2(1i)2i 2i(1i)1i 1i 1i 2z ----∴====--++,||z ∴==2.答案：B 解析：全集{|(3)(1)0}[3,1],{3}U x x x A =+-≤=-=-,则(3,1]U A =-ð.3.答案：B 解析：0.3.311221110.31,log 0.3log 1222a ⎛⎫⎛⎫<<=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,c a b ∴<<.4.答案：C解析：易知()(),()f x f x f x -=∴为偶数,当(0,1)x ∈时,2cos 0,ln 0x x ><,所以当(0,1)x ∈时,()0f x <,故只有C 选项满足条件.5.答案：B解析：||82a b -===+= 6.答案：D解析： e 1x y =+的导数为'e x y =,曲线 e 1x y =+在0x =处的切线斜率为1k =,则曲线 e 1x y =+在0x =处的切线方程为2,ln y x y x b -==+的导数为1y x '=设切点为(),m n .则11m=解得1,3m n ==,即有3ln1b =＋解得3b =.7.答案：D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列,n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d .15105,5515102S S d -=∴⨯=.解得2d =.则2020202020192020(2018)220202S ⨯=⨯-+⨯=.8.答案：A 解析：该几何体是由一个四棱锥和一个圆柱的一半组成的几何体,体积为2118π12222π233⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+.9.答案：D解析：由题意可得正方形的面积为4,联立,22y y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得12x y =⎧⎨=⎩.所以阴影部分面积为221122d 22ln (42ln 2)(20)22ln 2x x x x ⎛⎫-=-=---=- ⎪⎝⎭⎰,所以所求概率22ln 21ln 242P --==.10.答案：C 解析：抛物线2(:20)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,过F 且倾斜角为120的直线方程设为)2py x =-联立抛物线的方程可得2220py +-=.设A 的纵坐标为1y ,B 的纵坐标为2y ,,M N 的纵坐标为1211,22y y ,可得21212y y y p +==-,则121||2y y -=,可得()212124192y y y y +-=,即为22192443p p =+解得6p =,则抛物线的准线方程为3x =-.11.答案：A解析：如图,作出函数,0()2ln ,0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象,函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点,则函数()f x 与函数1y kx =+的图象有且只有三个交点,函数1y kx =+图象恒过点()0,1则直线1y kx =+在图中阴影部分内时,函数()f x 与1y kx =+有三个或两个交点.当直线1y kx =+与ln y x =的图象相切时,设切点为()00,ln x x 切线斜率为000011,ln 1k x x x x =∴=⋅+解得202211e ,,0,e ex k k ⎛⎫=∴=∴∈ ⎪⎝⎭.12.答案：A 解析：如图,由题意,易知,CM BM BN CN ⊥⊥,所以取BC 的中点E ,则E 是等腰梯形MNCB 外接圆圆心.AMN △为等边三角形,所以取MN 中点D ,连接AD ,在AD 上取点F 使2AF FD =,所以点为F AMN △外心.易知13,,1,.22AD MN DE MN DF AF DE ⊥⊥===设点O 为四棱锥A MNCB -的外接球球心OE ∴⊥平面MNCB ,OF ⊥平面AMN .当四棱锥A MNCB -的体积最大时,平面AMN ⊥平面MNCB .π31,,222ADE OF ED OE FD ∴∠=====设四棱锥A MNCB -的外接球半径R,则222134R AF OF =+=.所以当四棱锥A MNCB -的体积最大时,P 到平面MNCB距离的最大值为max d R OE =+=.13.答案：1解析：依题意,,,z x y y x z z =+∴=-+表示直线y x z =-+在y 轴上的截距,所以当直线y x z =-+与圆22(1)1x y +-=切于如图的点A 时,z 最大(1)z >.因为直线y x z =-+与圆相切,所以点()0,1到直线0x y z +-=的距离为1,即11z =>,1=,解得1z =+.14.答案：96解析：第一步:先选3人,李老师与王老师至少有一人参加,用间接法,有3364C C 20416-=-=种;第二步,将3人排序,有336A =种.故不同发言顺序的种数为16696⨯=.15.答案：9解析：由π2,(π)04f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭知,*π3ππ,N 4244T kT k +=-=∈,*3π2(12),,N 123k T k k ω+∴==∈+又因为()f x 在区间ππ(,)43上单调,ππ342T ∴-≤故π2π,126T Tω≥∴=≤,即2(12)1712,32k k +≤∴≤,*N ,0,1,2,8k k ∈∴= 符合条件的ω的值有9个.16.解析：由题意1(,0),(0,)F c B b ,则直线1BF 的方程为0bx cy bc +-=,在线段1BF 上(不含端点)有且只有一点满足120PA PA ⋅=,则1PO BF ⊥,且PO a =,a ∴=即22222222b c a a b c b c =⋅+=+ ,42244230,310c a c a e e ∴-+=-+=,解得2351522e e ++=∴=.17.答案：（1） 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12n na a +=，149a a +=.∴数列{}n a 为等比数列，公比2=q ,又149a a +=，11a ∴=.因此数列{}n a 的通项公式为12n n a -=,*n N ∈.（2）由()12121log log 1n n n a b a S ++=⋅+，得1221111(1)1log 2log 2n n n b n n n n +===-++.11111122311n n T n n n =-+-+-=++ .18.解析：（1）因为四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，所以AD BD CD ==，取AB 的中点M ，连接DM ，PM ，易知DM AB ⊥，因为PA PB =，所以PM AB ⊥，因为PM DM M ⋂=，所以AB ⊥平面PDM ，又PD ⊂平面PDM ，所以PD AB ⊥.取BC 的中点N ，连接DN ，PN ，同理得PD BC ⊥，又AB BC B ⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，故PBD △为直角三角形.（2）由（1）可知，直线DM ，DC ，DP 两两垂直，故可以D 为坐标原点，DM ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示.设AB a =，则,,02a A ⎫-⎪⎪⎝⎭，,,02a B ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,,0)C a ，(0,0,2)P ，因为E 是PC 的中点，所以0,,12a E ⎛⎫⎪⎝⎭，则(0,,0)AB a =，,,222aPA a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,12BE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()111,,x y z =m ，则0,0,AB PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得11110,320,22ay a ax y z =⎧--=⎪⎩令12x =，则2a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭m .设平面ABE 的法向量为()222,,x y z =n ，则0,0,AB BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得2220,30,2ay z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令21x =，则⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n，所以2324|cos ,|a +〈〉=m n .令2314t a =+，则14=，解得73t =或4t =，所以237143a +=或23144a +=，所以43a =或2a =.连接AC ，因为12P ABC P ABCD V --=，12E ABC P ABC V V --=，所以2111344312P ABE E ABC P ABCD V V AB DM PD a ---===⨯⨯⨯⨯=.当2AB =时，三棱锥P ABE -；当43AB =时，三棱锥P ABE -19.答案：（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~，所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤<()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯0.6820.95422=+0.818=．所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．（2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为X 0123P2712554125361258125所以数学期望()26355E X =⨯=．20.解析：(1)设122F F c =.由椭圆的定义可知，1PMF △的周长为4a =a =直线2MF 的方程为by x b c =-，与22221x y a b +=联立可得点2322222,a c b P a c a c ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，12PF F ∴△的面积为333222112223b b c c b a c c ⨯⨯==++，即232c c =+，解得1c =或2c =(舍)，则2221b a c =-=，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=.(2)联立22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，()228210k m ∆=-+>.由(1)可知(0,1)M -，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++，()212122242222121k m my y k x x m m k k +=++=-+=++，()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++()22222222222242212121k m k m m k m k k k --=-+=+++，()()1122,1,1 MA MB x y x y ∴⋅=+⋅+uuu r uuu r ()()121211x x y y =+++1212121x x y y y y =++++22222222221212121m m k mk k k --=++++++.由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=uuu r uuu r ，故23210m m +-=，解得13m =或1m =-(舍)，∴当13m =时，MA MB ⊥恒成立.21.解析：(1)因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以212()2e 0x f x ax -'=-≥在(0,)+∞上恒成立，即212e 2x a x -≤恒成立，只需使212mine 2x a x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可.设212e ()(0)x h x x x -=>，则2122121432e 2e 2(1)e ()x x x x x x h x x x -----'==.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 在(0,1)上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()h x 的最小值为(1)e h =，所以e 2a≤，解得2e a ≤，故实数a 的取值范围是(,2e]-∞.(2)证明：当1a =时，212()2e x f x x -'=-.令()221()()412e 41x g x f x x x x -'=--+=--，则21()44x g x e -'=-.令()0g x '>得12x >；令()0g x '<得12x <，所以()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在12x =处取极小值，1102g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.因为32(1)410e g -=+->，3(2)290g e =->，所以存在12111,,,222x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120,0g x g x ==，所以()g x 有两个零点，即导函数()y f x '=与函数241y x x =-+的图象有两个交点.22.答案：(1)曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩.得曲线C 的普通方程为224120x y x +--=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 12ρρθ-=.(2)设,A B 两点的极坐标方程分别为12ππ(,,66ρρ,12||AB ρρ=-,又,A B 在曲线C 上,则12,ρρ是2π4cos 1206ρρ--=的两根.12121212,||AB ρρρρρρ∴+==-∴=-=.23.答案：(1).∵0,0a b >>,1a b +=由基本不等式得:2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,当且仅当12a b ==时等号成立,由ab m ≤恒成立,14m ∴≥(2).∵(),0,a b ∈+∞()4141459b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪⎝⎭故要使41212x x a b+≥--+恒成立,第7页共7页则2129x x --+≤当2x ≤-时,不等式化为:1229x x -++≤,解得62x -≤≤-当122x -<<时,不等式化为:1229x x ---≤,解得122x -<<当12x ≥时,不等式化为:2129x x ---≤,解得1122x ≤≤故 x 的取值范围[]6,12-.。
江西省丰城市第九中学2023届高三上学期入学考数学(理)试题(解析版)
丰城九中高三上学期理科数学开学考试试卷一、单选题（共12题，共60分）1.已知集合{}{}2220,log 1A x x x B x x =--<=≤，则A B = （）A.{}02x x <≤B.{}02x x <<C.{}12x x -<< D.{}12x x -<≤【答案】B 【解析】【分析】分别解二次不等式和对数不等式，求得集合,A B ，进而利用交集的定义求得A B ⋂.【详解】A {}{}12,02x x B x x =-<<=<≤，则{}02A B x x ⋂=<<.故选：B2.已知命题p ：∀x ∈R ，cosx≤1，则（）A.￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0≥1B.￢p ：∀x ∈R ，cosx≥1C.￢p ：∀x ∈R ，cosx ＞1D.￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1【答案】D 【解析】【分析】对于全称命题的否命题，首先要将全称量词“∀”改为特称量词“∃”，然后否定原命题的结论，据此可得答案.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R ，cosx≤1，￢p ：∃x 0∈R ，cosx 0＞1．故选D．【点睛】本题考查了命题中全称量词和存在量词，解题的关键是要知晓全称命题的否定形式是特称命题.3.设122a =，133b =，3log 2c =，则A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.c<a<b【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由已知1221a =>，1331b =>，且616228a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，616339b ⎛⎫== ⎪⎝⎭,1b a ∴>>，而3log 2c =<1，所以c<a<b考点：指数的幂运算.4.已知3sin , (,)52πα=α∈π，则πcos()3α+=（）A.410- B.410+ C.410+-D.310+【答案】C 【解析】【分析】由两角和的余弦公式展开即可.【详解】 3sin ,(,)52πααπ=∈，4cos 5α∴=-，cos()cos cos sin sin333ππ∴+=-πααα4134525210+=-⨯-⨯=-故选：C5.已知命题()2000:R,110p x x a x ∃∈+-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（）A.1≤a ≤3B.-1<a <3C.-1≤a ≤3D.0≤a ≤2【答案】C 【解析】【分析】先写出命题p 的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得a 的取值范围.【详解】命题p 是假命题，命题p 的否定是：()2R,110x x a x ∀∈+-+≥，且为真命题，所以()()()214130a a a ∆=--=+-≤，解得13a -≤≤.故选：C 6.“04x k ππ=-+，k ∈Z ”是“函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求出函数()f x 的对称中心，即可判断.【详解】函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称042k x ππ⇔+=，k ∈Z ，即042k x ππ=-+，k ∈Z ，故“02442k x k ππππ=-+=-+，k ∈Z ”是“函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点()0,0x 对称”的充分不必要条件．故选:A7.如图，有一古塔，在A 点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D 处，塔顶C 的仰角为30°，在A 的正东方向且距D 点60m 的B 点测得塔底位于北偏西45°方向上（A ，B ，D 在同一水平面），则塔的高度CD 约为（） 2.4≈）A.38mB.44mC.40mD.48m【答案】D 【解析】【分析】转化为解三角形问题，利用正弦定理、直角三角形的性质进行求解.【详解】如图，根据题意，CD ⊥平面ABD ，30CAD ∠=︒，30BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，60BD =.在ABD △中，因为sin sin BD AD BAD ABD =∠∠，所以60sin 30sin 45AD=︒︒，所以AD =.在Rt ACD △中，3tan 30483CD AD =⋅︒==m .故A ，B ，C 错误.8.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x =（）A.2sin 8x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B.2sin 8x π⎛⎫+⎪⎝⎭C.2sin 48x π⎛⎫-⎪⎝⎭D.2sin 48x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由最值可求得A ，根据最小正周期可求得ω，由28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得ϕ，从而得到()f x 解析式；由三角函数平移和伸缩变换原则可得()g x .【详解】由图象可知：()()max min22f x f x A -==，最小正周期3488T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，22T πω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+，2sin 284f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()242k k ππϕπ∴+=+∈Z ，解得：()24k k πϕπ=+∈Z ，又2πϕ<，4πϕ∴=，()2sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象向右平移316π个单位长度可得：332sin 22sin 216848f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；将316f x π⎛⎫-⎪⎝⎭横坐标变为原来的2倍得：()2sin 8g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.9.已知()21sin 42f x x x π⎛⎫++ ⎝=⎪⎭，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】对函数()f x 求导，判断导函数的奇偶性，排除部分答案，接着将6x π=代入导函数即可解得答案.【详解】解：∵()2211sin cos 424f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，∴()1sin 2f x x x '=-，∴()()()11sin sin 22f x x x x x '-=---=-+∴()()f x f x ''-=-∴()1sin 2f x x x '=-是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ，将6x π=代入()f x '得：106122f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C ．故选：A ．10.已知定义在R 上的函数()f x 在(],3-∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（）．A.51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭C.()3,2-- D.()(),32,-∞--+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，可得()f x 对称轴为3x =，且在[)3,+∞上单调递减.根据函数的对称性与单调性，可得只需223x x -<-即可，解出不等式即可.【详解】由题意可得，()f x 对称轴为3x =，且在[)3,+∞上单调递减.则由()()12f x f x +>，可得出1323x x +-<-，即()()22223x x -<-，即()()23853510x x x x -+=-->，解得1x <或53x >.所以，不等式()()12f x f x +>的解集为()5,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.11.已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1xg x x =++的一个零点，132log 5c =，则（）A.a c b <<B.a b c<<C.b<c<a D.a c b <<或c b a<<【答案】A 【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性得()f x 仅有1个零点，且3a <-，结合函数()g x 的单调性与零点的存在性定理得21b -<<-，根据对数运算得3log 25c =-，进而32c -<<-，再根据范围得大小.【详解】解：因为()323652f x x x x =--+-，()()()2336321f x x x x x '=--+=-+-，所以()f x 在(),2-∞-上是减函数，在()2,1-上是增函数，在()1,+∞上是减函数，因为()3102f =-<，所以()f x 仅有1个零点，因为()19302f -=-<，所以3a <-，因为()e 1xg x x =++是增函数，且()110e g -=>，()21210eg -=-<，所以21b -<<-，因为1332log 5log 25c ==-，32log 253<<，所以32c -<<-，所以a c b <<.故选：A ．12.已知函数()ln f x x x =-，若()59f x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.1,e∞⎛⎤- ⎥⎝⎦B.(],1-∞ C.(],2-∞ D.(],e ∞-【答案】C 【解析】【分析】令()0t t =>，问题转化为2e 2ln 59t t t t m --≥-，构造函数()2e 2ln tg t t t t =--，通过导数，对()g t 的单调性进行讨论，进而可以得到()min g t ，进而可求答案.()0t t =>，则2x t =，问题转化为2e 2ln 59t t t t m --≥-恒成立.令()2e 2ln tg t t t t =--，则()()()()()222e 122e 10tt t t g t t t t t t+-=+--'=>，因为0t >，所以20t t+>.令()()2e 10t h t t t =->，则()()22e 0t h t t t =+>'，所以()h t 在()0,∞+上单调递增，又()1e 10h =->，11024h ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，所以存在01,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h t =，即020e t t 10-=，所以当()00,t t ∈时，()0h t <，即()0g t '<，当()0,t t ∞∈+时，()0h t >，即()0g t '>，所以()g t 在()00,t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增，所以()()020000min e 2ln tg t g t t t t ==--，又020e 10t t -=，所以020e 1tt =，0201et t =，所以()0000min 11ln 11e t g t t t t =--=-+=，所以159m ≥-，解得2m ≤.故选：C二、填空题（共4题，共20分）13.已知幂函数()()213m f x m x-=-在()0,∞+内是单调递减函数，则实数m =______．【答案】2-【解析】【分析】由已知，函数()f x 为幂函数且在()0,∞+内是单调递减，可进行列式，即231m -=且10m -＜即可完成求解.【详解】由题意得，函数()f x 为幂函数且在()0,∞+内是单调递减，所以23110m m ⎧-=⎨-<⎩，解得2m =-．故答案为：2-.14.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,A C a ==，若228c +=，则ABC ∆的面积为____________．【答案】【解析】【详解】试题分析：由正弦定理，知sin sin a A c C =，即sin 22cos sin 2cos sin sin C C C C C C ===，所以3cos 2C =，所以30C =︒，所以60,90A B =︒=︒．因为a =，所以2b c =228c +=，所以2c =，所以12S ac ==．考点：正弦定理．【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：（1）确定三角形中的已知和所求，（2）根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；（3）求解．15.命题[]:1,1p x ∃∈-，使得2x a <成立；命题():0,q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立．若命题p q ∧为假，则实数a 的取值范围为___________．【答案】[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】首先求出命题,p q 为真时a 的取值范围，再根据复合命题的真假即得.【详解】命题p :[1,1]x ∃∈-，使得2x a <成立，当[1,1]x ∈-时，1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若命题p 为真，则12a >，命题:(0,)q x ∀∈+∞，不等式21ax x <+恒成立，则211x a x x x+<=+，当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时等号成立，若命题q 为真，则2a <；当命题p q ∧为真命题时，有122a a ⎧>⎪⎨⎪<⎩，即122a <<，所以命题p q ∧为假时，12a ≤或2a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．16.已知sin (20)26()|ln 1(0)x x f x x x πππ⎧⎛⎫+-≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-⎩，若方程()(),0f x m m =>恰有4个不同的实数解a ，b ，c ，d ，且a b c d <<<，则cda b=+___________.【答案】2320e -【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合方法判定易知112m <<，a ，b 关于直线103x =-对称，结合0c e d <<<可知|ln 1||ln 1|c d -=-，进而求得.【详解】如图，易知112m <<，a ，b 关于直线103x =-对称，所以203a b +=-，又0c e d <<<且|ln 1||ln 1|c d -=-，所以1ln ln 1c d -=-，所以ln ln ln 2cd c d =+=，所以2cd e =，从而2320cd e a b =-+.故答案为：2320e -三、解答题（共6题，共70分）17.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足πsin()cos 6⎛⎫+=- ⎪⎝⎭a A Cb A ．（1）求角A ；（2）若3,5a b c =+=，求ABC 的面积．【答案】（1）π3A =（2）433【解析】【分析】（1）由条件和正弦定理可得πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后结合三角函数的知识可得答案；（2）由条件结合余弦定理求出bc 的值即可.【小问1详解】由正弦定理得πsin sin sin cos 6A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0πB <<，所以sin 0B >，所以πsin cos 6A A ⎛⎫=-⎪⎝⎭，化简得1sin sin 22A A A =+，所以πcos 06A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以π3A =．【小问2详解】因为π3A =，由余弦定理得2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，又3,5a b c =+=，所以2229()3b c bc b c bc =+-=+-，即9253=-bc ，解得163bc =，则ABC 的面积1116sin 22323S bc A ==⨯⨯=．18.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若函数()()g x f x k =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）πT =，增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）12k ≤<.【解析】【分析】（1）用二倍角公式以及辅助角公式化简()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据正弦函数的性质即得；（2）由题可得()f x k =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的根，然后利用数形结合即得.【小问1详解】由()2cos 2cos 1f x x x x =-+得，()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎭，故最小正周期为2ππ2T ==，由πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，解得ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，故()f x 的单调递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；【小问2详解】令()()0g x f x k =-=，则()f x k =，故问题转化为()f x k =在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不同的根，令π26t x =-，且π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则问题等价于2sin t k =在π5π,66t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有两个根，画出函数2sin y t =的图象，由2sin y t =的图象可知：当12k ≤<时，有两个根，故实数k 的取值范围为12k ≤<．19.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 90ρθθ++=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值，并求此时点P 的坐标.【答案】（1）2214x y +=，90x ++=（232⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）结合22cos sin 1αα+=消元即可得出曲线C 的普通方程；由cos ,sin x y ρθρθ==即可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点()2cos ,sin P αα，结合点线距离公式，讨论最大值即可【小问1详解】由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得2214x y +=，故曲线C 的普通方程为2214x y +=.由cos sin 90ρθθ++=，得90x ++=，故直线l 的直角坐标方程为90x ++=.【小问2详解】设点()2cos ,sin P αα，则点P 到直线l 的距离π4sin 96d α⎛⎫++ ⎪==故当πsin 16α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，点P 到直线l .此时，点P 的坐标为⎛ ⎝⎭.20.（1）设α，β为锐角，且5sin 5α=，310cos 10β=，求αβ+的值；（2）已知πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）π4；（2）17250-.【解析】【分析】（1）根据三角恒等式求出cos α和sin β，利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+，结合范围即可得结果；（2）通过两角和的正弦公式以及三角恒等式求出sin α，cos α，然后利用二倍角公式求出sin 2α，cos 2α的值，最后由两角差的正弦可得结果.【详解】（1）∵α为锐角，5sin 5α=，且22sin cos 1αα+=，∴cos 5α=．∵β为锐角，310cos 10β=，且22sin cos 1ββ+=，∴sin 10β=，∴()253105102cos cos cos sin sin 5105102αβαβαβ+=-=⨯-⨯=，∵()0,παβ+∈，∴π4αβ+=．（2）因为πsin 410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2sin cos cos sin 4410αα+=，即1sin cos 5αα+=．又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1αα+=，解得：4sin 5α=，3cos 5α=-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，2222347cos 2cos sin 5525ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2427217225225250⎛⎫⎛⎫=-⨯--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21.已知函数()|26||36|f x x x =---．（1）求不等式()1f x >的解集；（2）若不等式()||f x k x ≤恒成立，求实数k 的取值范围【答案】（1）111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值后再求解不等式即可；（2）讨论0x =，当0x ≠时6623x k x ---≥，利用绝对值的三角不等式求解6623x x---的最大值即可；【小问1详解】(),22636512,23,3x x f x x x x x x x <⎧⎪=---=-+≤≤⎨⎪->⎩，当2x <时，1x >，即12x <<，当23x ≤≤时，5121x -+>，解得115x <，即1125x ≤<，当3x >时，1x ->，解得1x <-，此时无解，综上：不等式()1f x >的解集为111,5⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问2详解】0x =时上述不等式显然成立，当0x ≠时，上述不等式可化为()26362366x x f x x k xx x ---=---≥=，令()()666623231x x x f g x x xx ==---≤--+=，当且仅当02x <≤时等号成立，所以1k ≥，即实数k 的取值范围为[)1,+∞．22.已知函数()ln f x x ax =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1x ≥时，函数()()()1ln 0k x x f x a x =++-⎡⎤⎣⎦≤恒成立，求实数a 取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，求得()1ax f x x='-，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由题意可知()2ln 10x x a x --≤对任意的1x ≥恒成立，令()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，分0a ≤、102a <<、12a ≥三种情况讨论，利用导数分析函数()g x 在[)1,+∞上的单调性，验证()()10g x g ≥=能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=①当0a ≤时，则()0f x ¢>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，则由()0f x ¢>知10x a <<，由()0f x '<知1x a>，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】解：由题意知()0k x ≤恒成立，而()()()()201ln 0ln 10k x x f x a x x x a x ⇔++-⇔-⎡⎤⎣⎦-≤≤≤，由()()()2ln 11g x x x a x x =--≥，得()ln 12g x x ax '=+-，令()ln 12h x x ax =+-，则()1122ax h x a x x-'=-=.①若0a ≤，()0h x '>，则()g x '在[)1,+∞上单调递增，故()()1120g x g a ''-≥=≥，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()10g x g ≥=，从而()2ln 10x x a x --≥，不符合题意；②若102a <<，则112a >，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()g x '在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()()1120g x g a ''>=->，所以()g x 在11,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭在单调递增，所以()1102g g a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不符合题意；③若12a ≥，则1012a<≤，()0h x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以()g x '在[)1,+∞上单调递减，()()1120g x g a ≤=-'≤'，从而()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，所以()2ln 10x x a x --≤恒成立.综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，本题涉及端点效应，一般的解题思路就是对参数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，验证对应的不等式能否恒成，由此求解.第17页/共17页。
高三数学理科试题参考答案
高三理科数学试题参考答案CADDC ADACA BC 13.{}52x x x <≠且 14.6a ≥- 15. 9 16.①③④17答案：解：（Ⅰ）()1cos 22f x x x ωω=-π2sin 216x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤， 所以π1sin 226x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤2≤． 因此π0sin 216x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤3，即()f x 的取值范围为[]03，． 18解：(1)由3cos()cos 2A CB -+=及π()B AC =-+得 3cos()cos()2A C A C --+=，-------2分 3cos cos sin sin (cos cos sin sin )2A C A C A C A C +--=， 3sin sin 4A C =． 又由题知2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =， 故23sin 4B =，-------4分sin 2B =或sin 2B =-(舍去)， 于是π3B =或2π3B =．又由2b ac =知b a ≤或b c ≤， 所以π3B =．------------6分 由以上知：π3B =代入3cos()cos 2A C B -+=得：cos()1A C -=； 即3A C π==；因此ABC △为等边三角形，-------9分(2)因为ABC △为等边三角形,π83b B ==，． 所以ABC △的面积为21sin 2ABCS b B ∆==分 19．解：设1(1)n a a n d =+-，则1125,613,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,2a d ==.………………4分 所以}{n a 的通项公式为1(1)221n a n n =+-⨯=-.…………………………………6分（2）解：依题意得2133n a n n b -==.……………………………………………………8分 因为21121393n n n n b b ++-==，所以}{n b 是首项为1133b ==，公比为9的等比数列，……10分 所以}{n b 的前n 项和3(19)3(91)198n n n T ⨯-==--.………………………………12分 20解：（1）21,3nn n a n b =-=。
高三第一次联合考试理科数学试题(含答案)
高三第一次联合考试理科数学命题学校：嘉峪关市酒钢三中 命题人：李宗平 陈建军 王 春一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．设全集U =R ，{}220A x x x =->，{}1B x y x =-，则U A C B =U ( )A ．(2，+∞)B ．(−∞，0)∪(2，+∞)C ．(−∞，1)∪(2，+∞)D ．(−∞，0) 2．已知复数z =312i-(i 是虚数单位)，则z =( ) A ．35+65i B ．35−65i C ．15−25i D ．15+25i 3．已知向量(1,1),(2,2),()(),=m n m n m n λλλ=+=++⊥-u r r u r r u r r若则（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣14．下列有关命题的说法正确的是 （ ）A.命题“若21=x ，则1=x ”的否命题为：“若21=x ，则1≠x ”．B.“1=-x ”是“2560--=x x ”的必要不充分条件．C.命题“R ∃∈x ，使得210x x ++<”的否定是：“R ∀∈x ， 均有210x x ++<”．D.命题“若=x y ，则sin sin =x y ”的逆否命题为真命题． 5．如图所示的程序框图，程序运行时，若输入的12S =-， 则输出的S 的值为( ) A ．4 B ．5 C. 8 D ．96．某学校为了更好地培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（ ） A ．60B ．90C ．150D ．1207.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）A.16π3 B.11π2 C.17π3D. 35π68．若11nx x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[]0,π和0,4n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内任取两个实数x ，y ，满足sin y x >的概率为（ ）A ．11π-B ．21π-C ．31π-D ．12 9．已知函数()23sin()cos()(0)2828x x f x ωπωπω=-->的部分图象如图所示，EFG ∆是正三角形，为了得到()3)4g x x πω=+的图象，只需将()f x 的图象( )A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度10．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC , 2PA AB ==，4AC =, 三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为（ ）A.8πB.12πC.20πD.24π11.直线2y b =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右两支分别交于B,C 两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则该双曲线的离心率为( ) A.53 B. 52 C. 193 D.19212．已知定义在R 上的函数() y f x =对任意的x 都满足() 2() f x f x +=，当11x -≤＜时，()sin 2f x x π=，若函数()() log a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()10,5,5⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦UB ．[)10,5,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U C ．()11,5,775⎛⎤⎥⎝⎦U D ．[)11,5,775⎛⎫⎪⎝⎭U 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．1sin cos sin cos 2a B C c B Ab +=且a ＞b ，则∠B = ．14. 甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下．甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是_____．15．已知点(),x y P 满足72x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2250x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为 ． 16．设函数()232(0)2f x x ax a =->与()2g x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如图）．（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）现从体育成绩在[60，70）和[80，90）的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，体育成绩在[60，70）的学生人数X的分布列及数学期望．19. (本小题满分12分)如图，矩形和等边三角形中，，平面平面．（1）在上找一点，使，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面与平面所成锐二面角余弦值．已知椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为43．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线x =4上运动时，直线AM 、BM 分别交椭圆于P 、Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知()ln f x x x mx =+，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为1． （1）求实数m 的值； （2）设()()()22a g x f x x x a a =--+∈R 在其定义域内有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的范围．Xy请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知平面直角坐标系中，曲线22:680C x y x y +--=，直线1:30l x y -=，直线2:30l x y -=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线的参数方程以及直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 分别交于O ,A 两点，直线2l 与曲线C 分别交于O ,B 两点，求AOB ∆ 的面积．23. 选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分) 已知函数()f x =2−2x ，()g x =|x −a |． (1)若a =1，解不等式()f x +()g x ≥3；(2)若不等式()f x >()g x 至少有一个负数解，求实数a 的取值范围．2018年2月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数学答题卷（理科）二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 14.__ ______． 15.____ ____． 16.____ ____． 三、解答题 (共70分，解答应写出文字说明和计算推理过程.)17.（本小题满分10分）18.（本小题满分12分）学校： 班级： 姓名：考号：请不 要在密 封线内答 题21.本小题满分12分（本小题满分12分）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．请标清楚所做的题号.我所选做的题号是理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBBDC BABCC DA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．6π 14．甲15．22116．212e三、解答题：本大题共6小题，共70分． 【答案】（1）2n n a =；（2）10.【解析】（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->， 即12(1)n n a a n -=>…………………………………………….2分 从而21312,4a a a a ==.又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+.所以11142(21)a a a +=+，解得12a =………………………4分 所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.故2n n a =…………………………………………………………6分 （2）由（1）得112n n a =. 所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==--L …….9分 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n>. 因为9102512100010242=<<=， 所以10n ≥. 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10.………..12分 18．解：（Ⅰ）由折线图知，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约为人…..5分（Ⅱ）X 的分布列为：X 012P310 35 1104E X ．…………………….12分()519.【答案】（1）证明过程见解析；（2）平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【解析】试题分析：(1)分别取的中点，利用三角形的中位线的性质，即可证明面，进而得到；（2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面法向量成的角去求解.试题解析：（1）为线段的中点，理由如下：分别取的中点，连接，在等边三角形中，，又为矩形的中位线，，而，所以面，所以；(6分)（2）由（1）知两两互相垂直，建立空间直角坐标系如图所示，，三角形为等边三角形，．于是，设面的法向量，所以，得，[来源:]则面的一个法向量，又是线段的中点，则的坐标为，于是，且，又设面的法向量，由，得，取，则，平面的一个法向量，所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（12分）20．解：（Ⅰ）根据题意，椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，则有a=2c，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为4，则有2ab=4，又a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=1，故椭圆C的方程为+=1；……..4分（Ⅱ）由于对称性，可令点M（4，t），其中t＞0．将直线AM的方程y=（x+2）代入椭圆方程+=1，得（27+t2）x2+4t2x+4t2﹣108=0，由x A•x P=，x A=﹣2得x P=﹣，则y P=．………….6分再将直线BM的方程y=（x﹣2）代入椭圆方程+=1得（3+t2）x2﹣4t2x+4t2﹣12=0，由x B•x Q=，x B=2得x Q=，则y Q=．……………………8分故四边形APBQ 的面积为S =|AB ||y P ﹣y Q |=2|y P ﹣y Q |=2（+）===．…………………….10分由于296t t λ+=≥，且12λλ+在[6，+∞）上单调递增，故λ+≥8，从而，有S =≤6．当且仅当λ=6，即t =3，也就是点M 的坐标为（4，3）时，四边形APBQ 的面积取最大值6．（12分）21.【答案】（1）0m =；（2）1λ≥． 【解析】（1）()1ln f x x m '=++，由题意知()11f '=，即：11m +=，解得0m =．……….4分 （2）因为112e x x λλ+<⋅等价于121ln ln x x λλ+<+．由题意可知1x ，2x 分别是方程()0g x '=即ln 0x ax -=的两个根， 即11ln x ax =，22ln x ax =，所以原式等价于()12121ax ax a x x λλλ+<+=+， 因为0λ>，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+．又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，()1122ln x a x x x =-，即1212lnx x a x x =-．所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+，……………6分 因为120x x <<，原式恒成立，即()()1212121lnx x x x x x λλ+-<+恒成立． 令12x t x =，()0,1t ∈，则不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立．…8分令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，又2'2(1)()()()t t h t t t λλ--=+，当21λ≥时，可见()0,1t ∈时，()0h t '>，所以()h t 在()0,1t ∈上单调增，又()10h =，()0h t <在()0,1t ∈恒成立，符合题意．……………10分当21λ<时，可见()20,t λ∈时，()0h t '>，()2,1t λ∈时()0h t '<， 所以()h t 在()20,t λ∈时单调增，在()2,1t λ∈时单调减，又()10h =， 所以()h t 在()0,1t ∈上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，只须21λ≥，又0λ>，所以1λ≥．（12分） 22.【答案】（1）依题意，曲线，故曲线的参数方程是(为参数)，因为直线，直线，故的极坐标方程为；……………………………………………..5分（2）易知曲线的极坐标方程为， 把代入，得，∴， 把代入，得， ∴，∴．…………………………5分23．【解析】(1)若a =1，则不等式()f x +()g x ≥3化为2−2x +|x −1|≥3．当x ≥1时，2−2x +x −1≥3，即2x −x +2≤0，(x −12)2+74≤0不成立； 当x <1时，2−2x −x +1≥3，即2x +x ≤0，解得−1≤x ≤0． 综上，不等式()f x +()g x ≥3的解集为{x |−1≤x ≤0}．（5分）(2)作出y=()f x 的图象如图所示，当a <0时，()g x 的图象如折线①所示，由22y x a y x =-⎧⎨=-⎩，得2x +x −a −2=0，若相切，则Δ=1+4(a +2)=0，得a =−94， 数形结合知，当a ≤−94时，不等式无负数解，则−94<a <0． 当a =0时，满足()f x >()g x 至少有一个负数解． 当a >0时，()g x 的图象如折线②所示， 此时当a =2时恰好无负数解，数形结合知， 当a ≥2时，不等式无负数解，则0<a <2．综上所述，若不等式()f x >()g x 至少有一个负数解， 则实数a 的取值范围是(−94，2)．（10分）。
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析
江苏省高三下学期模拟考试(理科)数学试卷-附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}22,0,1,2,3A x x x B =-≥=，则()RBA =（ ）A ．{0}B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．设复数z 的共轭复数为z ，若()()1i i z z -=∈C ，则z 对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．在ABC ∆中点N 满足2AN NC =，记BN a =，NC b =那么BA =（ ） A ．2a b -B ．2a b +C ．a b -D ．a b +4．将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到下列哪个函数的图象（ ） A ．π2sin()4x + B ．π2sin()4y x =- C ．1πsin()24y x =+D ．1πsin()24y x =-5．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，若28793a a a --=，则158S a -的值为（ ）A ．3B ．14C ．28D ．426．如图，一个底面半径为2a 的圆锥，其内部有一个底面半径为a 的内接圆柱，3a ，则该圆锥的体积为（ ）.A 3a B 3a C ．3a D ．3a7．已知函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，则f (16)＝（ ） A ．﹣1 B ．1C ．2D ．48．记i A d 为点i A 到平面α的距离，给定四面体1234A A A A -，则满足()122,3,4i A A d d i ==的平面α的个数为（ ） A ．1B ．2C ．5D ．8二、多选题9．已知正四棱锥的侧面积为 ）A B ．侧棱与底面所成的角为60︒ C ．棱锥的每一个侧面都是等边三角形D ．棱锥的内切球的表面积为(8π- 10．已知,,0x y x y ∈<<R 且，则（ ） A ．sin sin x y <B <C ．21x y -<D ．11x y x y <++ 11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，左，右焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点（异于左，右顶点），且12PF F △的周长为6，则下列结论正确的是（ ）A ．椭圆C 的焦距为1B ．椭圆C 的短轴长为C ．12PF F △D ．椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=12．以下命题正确的是（ ）A ．设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若()()()()1212f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数B ．若对任意1x ，2x ∈R 都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上单调递增，则()()f xg x +在R 上也单调递增C ．已知0a >，1a ≠函数(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭三、填空题13．若(6x 的展开式中4x 的系数为30，则=a ______.14．点P 为抛物线y 2＝x 上的动点，过点P 作圆M ：(x －3) 2＋y 2＝1的一条切线，切点为A ，则PA ·PM 的最小值为________．15．若直线y x m =+与曲线2y ax =和ln y x =均相切，则=a __________.16．设点O 是面积为4的ABC 内部一点，且有340OA OB OC ++=，则BOC 的面积为__________.四、解答题17．在凸四边形ABCD 中(1)若=45ABC ∠︒，求CD ；(2)若BCD ∠的角平分线交对角线BD 于点E ，求BC CE CD ++的最大值． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中(1)求证：平面1A BC ⊥平面11ABB A ； (2)若AC 与平面1A BC 所成的角为π6，点E 为线段1A C 的中点，求平面AEB 与平面CEB 夹角的大小． 19．古人云:“腹有诗书气自华.”现在校园读书活动热潮正在兴起，某校为统计学生一周课外读书的时间，从全校学生中随机抽取200名学生，获得了他们一周课外读书时间（单位:h ）的数据如表所示:(1)求,a b 的值;如果按读书时间0,6],6,12],1(((2,18]分组，用分层抽样的方法从这200名学生中抽取20人，再从这20人中随机选取3人，求恰有2人一周课外读书时间在(12,18]内的概率.(2)若将样本频率视为概率，从该校学生中随机选取3人，记X 为一周课外读书时间在(12,18]内的人数，求X 的分布列和数学期望，并估计该校一周人均课外读书的时间. 20．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中*N n ∈.(1)若12a =和2nn b =.①求证：{}n a 为等比数列； ②试求数列{}n n a ⋅的前n 项和.(2)若2n n b a +=，数列{}n a 的前6291项之和为1926，前77项之和等于77，试求前2024项之和是多少？ 21．已知点A 是抛物线x 2＝2py （p ＞0）上的动点，过点M （－1，2）的直线AM 与抛物线交于另一点B ． (1)当A 的坐标为（－2，1）时，求点B 的坐标；(2)已知点P （0，2），若M 为线段AB 的中点，求PAB 面积的最大值．22．记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足()()00f x g x =，且()()00f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．已知()ln f x x ax =+和()2g x bx =．(1)若1b =，()f x 和()g x 存在“S 点”，求a 的值；(2)对任意0a >，是否存在实数0b >，使得()ln f x x ax =+，()2g x bx =存在“S 点”？请说明理由．参考答案与解析1．B【分析】求出A 及其补集，通过交集运算求得结果.【详解】集合{}{221A x x x x x =-≥=≤-或2}x ≥R {|12}A x x ∴=-<<又{}0,1,2,3B = 所以()RBA ={}0,1故选：B ． 2．C【分析】利用复数除法运算求得z ，从而求得z ，进而确定正确答案. 【详解】依题意()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+ 所以11i 22z =--，对应点为11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，在第三象限.故选：C 3．A【分析】根据向量的线性运算将BA 分解为BA BN NA =+，再转化为a ，b 表示即可. 【详解】22BA BN NA BN NC a b =+=-=-. 故选：A. 4．B【解析】左右平移变换是横坐标x 改变，原则简记为 “左加右减”；伸缩变换是相应变量乘以对应倍数即可.【详解】sin y x =向右平移π4个单位长度得sin(4)πy x =-，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得π2sin()4y x =-. 故选：B.【点睛】本题考查图象的平移和伸缩变化，要牢记每一种变换对解析式系数的影响，方可解决此类题. 5．D【分析】根据等差数列的性质得7982a a a +=，则可由已知等式求8a 的值，从而利用求和公式和等差数列性质求158S a -得值.【详解】解：正项等差数列{}n a ，则0n a >若28793a a a --=，则28798323a a a a =++=+，解得83a =或81a =-（舍）则()115815888815215144222a a a S a aa a +⨯⨯-=-=-==. 故选：D. 6．B【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高，即可求的其体积. 【详解】作出该几何体的轴截面如图示：AB 为圆锥的高设内接圆柱的高为h ，而2,BC a BD r a ===3a ，即23πa h a =则h =由于AB ED ∥,故CAB CED △∽△，则h DCAB BC=即22a aa-=，故AB =所以圆锥体积为231π(2)3V a a =⨯⨯=故选：B 7．C【分析】根据16＝24，代入求解即可．【详解】∵函数f (x )满足f (2x )＝log 2x ，且f (16)＝f (24) ∴f (16)＝f (24)＝log 24＝2 故选：C ． 8．D【分析】分类讨论，当平面α与平面234A A A 平行时，分析可得2个，当平面α经过234A A A △的中位线时分析可得6个，从而得解．【详解】到点23,A A 和4A 的距离相等的平面α有两种类型，与平面234A A A 平行或者经过234A A A △的某一条中位线．当平面α与平面234A A A 平行时，如下图1设121314,,A A A A A A 的三等分点分别为234,B B B ,（靠近1A ） 对于平面234B B B ，利用三角形相似可知1212222A A d A B d A B ==，平面234B B B 符合题意． 在线段1i A A 的延长线上取i C 使得()12,3,4i i i A A AC i == 对于平面234C C C ，利用三角形相似可知1212222A A d AC d A C ==，平面234C C C 符合题意 即平面α与平面234A A A 平行时，满足条件的平面有2个； 设232434,,A A A A A A 的中点分别为,,E F G 当平面α经过234A A A △的中位线EF 时 如下图2：对于平面2B EF ，2B 在线段12A A 上且12222A B A B =利用三角形相似可知1212222AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面2B EF，34A A⊄平面2B EF，可得34A A//平面2B EF且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面2B EF的距离相等因此平面2B EF符合题意．如下图3：对于平面34B B FE，3B在线段13A A上，4B在线段41A A上且131433442A B A BA B A B==，利用三角形相似可知1313332AAd A Bd A B==又34//EF A A，EF⊂平面34B B FE，34A A⊄平面34B B FE，可得34A A∥平面34B B FE且E、F分别为2324,A A A A的中点则到平面34B B FE的距离相等因此平面34B B FE符合题意．对于中位线EG GF、，也有类似结论,即平面α经过234A A A△的某条中位线时，满足条件的平面有6个综上所述，符合题意的平面共有8个． 故选：D ．【点睛】难点点睛：本题判断满足条件的平面的个数时，难点在于要发挥空间想象能力，明确满足条件的平面的位置，作图分析，说明平面所处的位置是怎样的，加以说明，解决问题. 9．ACD【分析】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当1a =，及2b =时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.【详解】设底面边长为2a ，侧棱长为b ，则14242a S =⨯⨯=侧面即=而21(2)3V a =⨯=故243a V ==设26()3(0f a a a a =-<<，则()()()542666161(1)()'1a a a a a f a a a a =-=-=++-易知函数()f a 在()0,1单调递增，在单调递减∴当1a =时，()f a 取得最大值，此时棱锥的体积最大，且2b = ∴底面边长为2，侧棱长为A 正确；侧棱与底面所成的角为PBO ∠，而sin OP PBO PB ∠=45PBO ∠=︒，选项B 错误； 由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C 正确；设内切球的半径为r ，由于P ABCD V -=1442242S ⎛=+⨯⨯⨯=+ ⎝⎭表∴3V r S ===表∴4(8S ππ==-内，选项D 正确.故选：ACD .10．BCD【分析】取特殊值可说明A 错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断B,C 的对错；利用作差法可判断D 的对错.【详解】对于A ，取2,33x y ππ==满足,,0x y x y ∈<<R 且，但sin sin x y =，故A 错；对于B ，12y x =是定义域上的增函数，故,,0x y x y ∈<<R 且B 正确； 对于C, 0x y -<,故0221x y -<=，故C 正确； 对于D ，011(1)(1)x y x y x y x y --=<++++故11x y x y <++，故D 正确 故选：BCD. 11．BC 【分析】根据12e =，226a c +=解得,,a b c 可判断AB ；设()00,P x y ，由1212012PF F S F F y =知当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C ；假设椭圆C 上存在点P ，设12,PF m PF n ==，求出m n +、mn ，,m n 可看作方程2460x x -+=，求出判别式∆可判断D. 【详解】由已知得12c e a ==，226a c +=解得2,1a c == 2223b a c =-= 对于A ，椭圆C 的焦距为22c =，故A 错误；对于B ，椭圆C 的短轴长为2b =B 正确； 对于C ，设()00,P x y ，12120012==PF F SF F y c y 当P 点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时0==y b 12PF F △C 正确；对于D ，假设椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=，设12,PF m PF n == 所以24m n a +==，22216244m n mn c +=-==和6mn =所以,m n 是方程2460x x -+=，其判别式16240∆=-<，所以方程无解，故假设不成立，故D 错误. 故选：BC. 12．ABD【分析】A 选项，利用赋值法及()f x 的奇偶性推导出()g x 的奇偶性；B 选项，利用定义法和()f x 在R 上单调递增证明出结论；C 选项，对a 分类讨论，由单调性求出最值，列出方程，求出a 的值；D 选项，由函数的对称性求解.【详解】令21x x =-，则()()()()1111f x f x g x g x +-≥+-，因为()f x 为奇函数，所以()()()()1111f x f x g x g x -≥+-恒成立，即()()110g x g x ≥+-，所以()()110g x g x +-=，即()()11g x g x -=-，所以则()g x 也是奇函数，A 正确；设12x x <，因为()f x 在R 上单调递增，所以()()12f x f x <，因为()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，所以()()()()()()121221f x f x g x g x f x f x -<-<-，从而()()()()11220f x g x f x g x +-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 令()()()h x f x g x =+，则()()()()()()1211220h x h x f x g x f x g x -=+--<，所以()()12h x h x <，故()()()h x f x g x =+在R 上也单调递增，B 正确；当1a >时，(),1,,1,x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩在[]0,2上的最大值为()1f a =，最小值为()01f =或()22f a =-，当512a -=时，解得：72a =此时()3212f =>，满足题意；当()522a a --=时，522=无解，舍去； 当01a <<时，在[]0,1x ∈上，()xf x a =是减函数，(]1,2x ∈上，()f x x a =-+是减函数，因为()011f a =>-+，所以函数最大值为()01f =，而()()2211f a a f =-+<-+=，所以函数的最小值为()22f a =-+，因此()5122a --+=，解得：()10,12a =∈符合题意； 综上：实数a 的取值集合为1,272⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C 错误；由()()2f x f x -+=可得：()f x 关于()0,1中心对称，()1x g x x+=也关于()0,1中心对称，从而()f x 与()g x 的图象的交点关于()0,1中心对称，从而1280x x x ++⋅⋅+=⋅与128248y y y ++⋅⋅⋅+=⨯=，D 正确. 故选：ABD【点睛】抽象函数的对称性有以下结论：若()()f a x f b x c -++=，则()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称； 若()()f a x f b x -=+，则()f x 关于2a bx +=对称.13．2【分析】利用二项展开式的通项公式，列式求a .【详解】二项展开式的通项公式616rr rr T C x-+=⋅⋅当2r =时，4x 的系数是2630C a ⋅=解得：2a = 故答案为：214．74【分析】求出22||||1PA PM PA PM ⋅==-，设点2(,)P y y ，化简表达式，利用二次函数的性质，求解最小值即可．【详解】解：由已知易得22||||1PA PM PA PM ⋅==-设点2(,)P y y ，则()22224222577||13158()244PM y y y y y -=-+-=-+=-+当252y =时，2||1PA PM PM ⋅=-取得最小值74． 故答案为：7415．14##0.25【分析】先根据直线和ln y x =相切求出m ，再利用直线和2y ax =相切求出a . 【详解】设直线y x m =+与ln y x =相切于点()00,ln x x 1y x'= 因为直线y x m =+与ln y x =相切，所以011x =，且00ln x x m =+； 解得01,1x m ==-；因为直线1y x =-与曲线2y ax =相切联立得210ax x -+=，0a ≠且140a ∆=-=，即14a =. 故答案为：1416．12##0.5【分析】根据340OA OB OC ++=确定点O 的位置，然后将面积比转化为边长比即可.【详解】340OA OB OC ++= 371747OA OB OC ∴=-+；设17OA OD -=；则：3477OD OB OC =+,即B,C,D 三点共线；所以||18||BOC ABCS OD AD S==； 11482BOCS∴=⨯=；故答案为：12 17．； ．【分析】（1）运用差角公式求得sin DBC ∠，再运用正弦定理求得CD 即可.（2）运用余弦定理及基本不等式求得BC CD +的范围，由等面积法求得CE ，将问题转化为求关于BC CD +的二次型函数在区间上的最值. 【详解】（1）连接BD ，如图所以35,sin5BD ABD=∠=4cos5ABD∠=所以43sin sin(45)()55DBC ABD∠=︒-∠-BCD△中sin sinCD BDDBC DCB=∠∠；∴sinsinBDCD DBCDCB=⋅∠==∠（2）BCD△中2222cos120BD BC CD BC CD=+-⋅⋅︒∴2222()325()()()44BC CDBC CD BC CD BC CD BC CD+=+-⋅≥+-=+，当且仅当BC CD=时取等号∴2100()3BC CD+≤，即：0BC CD<+∵BCD BCE CDES S S=+△△△∴111sin120sin60sin60222BC CD BC CE CD CE⋅⋅︒=⋅⋅︒+⋅⋅︒∴BC CD BC CE CD CE⋅=⋅+⋅∴2()25BC CD BC CDCEBC CD BC CD⋅+-==++∴2()25BC CDCE CD BC BC CDBC CD+-++=+++令t BC CD=+∴225252tCE CD BC t tt t-++=+=-0t<∵252y tt=-在（上单调递增∴当t y取得最大值为2.∴BC CE CD++.18．(1)证明见解析；(2)π3.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面11ABB A ，再由面面垂直的判定定理得证； （2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角. 【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中1A A BC ⊥ 又AB BC ⊥，1A AAB A =和1,A A AB ⊂平面11ABB A所以BC ⊥平面11ABB A ，又BC ⊂平面1A BC 所以平面1A BC ⊥平面11ABB A . （2）设11A BAB M =，连接CM ，如图则1A B 中点为M ，且1AM A B ⊥∵平面1A BC ⊥平面11ABB A 且交线为1A B ，AM ⊂平面11ABB A ∴AM ⊥平面1A BC所以直线AC 与平面1A BC 所成的角为π6ACM ∠=又12AA AB ==，则2AM AC BC = 以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系 则(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)A C E 设平面AEB 的法向量为(,,)n x y z =20n BA x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1y =，则0,1x z ==-，故(0,1,1)n =- 设平面CEB 的法向量为()111,,m x y z =111120m BC y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令11x =，则10y =，11z =-故(1,0,1)m =- 设平面AEB 与平面CEB 的夹角为θ ∴1cos 2||||n m n m θ⋅==⋅，又π02θ<≤ π3θ∴=.19．(1)1224，a b ==；读书时间在(12,18]内的概率为91190； (2)分布列见解析，()E X =3920；该校一周人均课外读书的时间为12.32h.【分析】（1）由频数÷总数=频率可得,a b 的值；由分层抽样可知20人中在]((0,6],6,12中的有7人，在(12,18]中的有13人，据此可得答案；（2）由题可得X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，由此可得分布列及期望；结合表格数据可估计该校一周人均课外读书的时间.【详解】（1）由频数÷总数=频率可得2000.0612,2000.1224a b =⨯==⨯=. 由题意知，从样本中抽取20人，抽取比例为110，所以从(](](]0,6,6,12,12,18三组中抽取的人数分别为2，5，13，从这20人中随机抽取3人，恰有2人一周课外读书时间在(]12,18内的概率12713320C C 91C 190P ==.（2）由题意得，总人数为200，一周课外读书时间在(]12,18内的人数为130，因此从该校任取1人，一周课外读书时间落在区间(]12,18内的概率是1320. X 的可能取值为0，1，2，3，且13~3,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以33137()C (0,1,2,3)2020kkk P X k k -⎛⎫⎛⋅⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为数学期望1339()32020E X =⨯=. 该校一周人均课外读书时间的估计值为10.0230.0350.0570.0690.07110.1213⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.25150.23170.1712.32(h)+⨯+⨯=.20．(1)①证明见解析；②1(1)22+=-⋅+n n S n(2)20241849=T【分析】（1）①，利用累加法求解n a 即可；②由①得2n n a =,令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S ,利用错位相减法求解数列的和即可；（2）推出数列{}n a 是一个周期为6的周期数列,然后求解数列{}n a 的任意连续6项之和为0，然后利用其周期和相关值求出12,a a ，则得到答案.【详解】（1）①证明：12nn n a a +-=，当2n ≥时累加得()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1212222n n --=++++()12122212n n --=+=-11222n n n n a a ++∴== ()2n ≥ 又211212,2,4,2a a b a a ===∴=所以{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列.②由①得2n n a =，令2nn n c na n ==⋅，{}n c 的前n 项和为n S则2311231122232(1)22n nn n n S c c c c c n n --=+++⋯++=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，A23412122232(1)22n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋯+-⋅+⋅，BA B -得23122222n n n S n +-=+++⋯+-⋅()211121222(1)2212n n n n n -++-=+-⋅=-⋅--1(1)22n n S n +∴=-⋅+（2）若21n n n n b a a a ++==-，则32163n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=-⇒=-= 所以数列{}n a 是周期为6的周期数列，设1a m = 2a t =1234560a a a a a a ∴+++++=设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则60n T =. 所以629110486332221926963T T T a a ⨯+====⇒= 7712655377T T T a ⨯+====，所以123886a a a =-=所以2024337622128869631849T T T a a ⨯+===+=+=. 21．(1)()6,9 (2)2【分析】（1）将A 的坐标代入抛物线方程可得抛物线的方程为：24x y = 再根据直线AM 的方程，联立抛物线方程可得B 的坐标；（2）设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 联立抛物线的方程，结合韦达定理与M 为线段AB 的中点可得1pk =-再代入PAB 的面积可得S =进而根据二次函数的最值求解即可 (1)当A 的坐标为()2,1-时，则2221p =⋅，所以24p = 所以抛物线的方程为：24x y = 由题意可得直线AM 的方程为：()211212y x --=+-+，即3y x代入抛物线的方程可得24120x x --=解得2x =-（舍）或6 所以，B 的坐标为()6,9 (2)法一：设直线AB 的方程：()21y k x -=+ 即2y kx k =++设直线AB 与y 轴的交点为Q ，()11,A x y 和()22,B x y由222y kx k x py=++⎧⎨=⎩ 可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=和1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 令0x =，2y k =+即()0,2Q k +，所以PQ k = 则PAB 的面积12111222S PQ x x k k =⋅-=⋅=⋅12k =⋅把1pk =-代入上式，S当2k =时，则max 2S =，所以PAB 的面积的最大值为2．（2）法二：222y kx k x py =++⎧⎨=⎩可得22240x pkx pk p ---=，122x x pk +=，1224x x pk p =-- 因为M 为线段AB 的中点，所以1212x x pk +==- 设点P 到直线AB 的距离为d，则d =AB ==1122S AB d k =⋅=⋅把1pk =-代入上式 S所以，当2k =时，ABC 的面积的最大值为2 22．(1)1(2)存在，理由见解析【分析】（1）设“S 点”为0x ，然后可得200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，然后解出即可；（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”， 设为1x ，然后可得2111ln x ax bx +=，1112a bx x +=，消去b 得1112ln 0x ax -=>，然后可得10x <消去a 得1211ln x b x -=，然后证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解即可. 【详解】所以200000ln 12x ax x a x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消去a 得200ln 1x x +=记()2ln h x x x =+，显然()h x 在()0,+∞上是增函数，而()11h =因此200ln 1x x +=只有一个解01x =，所以211a =-=．（2）假设对任意0a >，存在实数0b >，使得()y f x =与()y g x =有“S 点” 设为1x ()2g x bx '= 所以2111ln x ax bx +=①，1112a bx x +=②，由②得21112ax bx +=③ ①③消去b 得1112ln 0x ax -=>，11ln 2x <和10x < ①③消去a 得1211ln x b x -=，在10x <<1211ln 0x b x -=> 下面证明对任意0a >，方程1112ln x ax -=在(有解设()(0l 1n 2x H x ax x =--<<，函数()H x在定义域(上是减函数0x →时 ()H x →+∞0H=-<，图像连续不断，所以存在10x <使得()10H x =．综上，任意0a >，存在实数1211ln 0x b x -=>，使得()y f x =与()y g x =有“S 点”。
天津市高三模拟考试(理科)数学试卷-带答案解析
天津市高三模拟考试（理科）数学试卷-带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．集合{}24A x x => 和 {}51B x x =-<<，则()R A B ⋂=（ ）A ．{}52x x -<<-B ．{}22x x -<<C ．{}21x x -<<D ．{}21x x -≤<2．若21:|34|2,:02p x q x x -<<--，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()2114cos 22x x x xf x ---+=+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．为了了解一片经济林的生长情况 ，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ） ， 所得数据均在区间[]80,130上，其频率分布直方图如图所示 ，则在抽测的60株树木中，树木的底部周长小于100cm 的棵数是（ ）A ．18B ．24C ．36D ．485．当曲线y 240kx y k -++=有两个不同的交点时， 实数k 的取值范围是（ ） A ．3(,0)4-B ．35,4[)12-C ．3[1,)4--D ．3(,]4-∞-6．设,,1,1x y R a b ∈>>，若3x y a b == 2a b +=，则11x y+的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．已知双曲线22:1124x y C -= ，点F 是C 的右焦点，若点P 为C 左支上的动点，设点P 到C 的一条渐近线的距离为d ，则||d PF +的最小值为（ ）A ．2+B ．C ．8D ．108．将函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象 若()g x 在5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 则ω的最大值为（ ） A ．14B ．34C ．12D ．19．已知函数222,0()ln ,0x kx k x f x x x ⎧++⎪=⎨>⎪⎩ 若关于x 的不等式()f x k 的解集为[,][,]m n a b ⋃ 且n a <127232mn ab k +-< 则实数k 的取值范围为（ ）A ．54,167⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,87⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．15,88⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．14,27⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题10．已知i 为虚数单位 则复数2021i =_______.11．若2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 则展开式中常数项是__________． 12．已知2x > 则42x x +-的最小值是______．13．圆柱的体积为34π 若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上 则该球的体积为____________.三、双空题14．某志愿者召开春季运动会 为了组建一支朝气蓬勃､训练有素的赛会志愿者队伍 欲从4名男志愿者 3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长 则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是___________；若用X 表示抽取的三人中女志愿者的人数 则()E X =___________.15．已知平面四边形ABCD AC BD ⊥ 3AB = 2AD = 712DC AB =则BAD ∠=______；动点E F 分别在线段DC CB 上 且DE DC λ= CF CB λ= 则AE AF ⋅的取值范围为____.四、解答题16．记ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c 已知点D 为AB 的中点 点E 满足2AE EC = 且()()cos cos cos πsin a A a B C A C +-=-．(1)求A ；(2)若BC =DE =求ABC 的面积． 17．如图,正三棱柱111ABC A B C 中,E 是AC 中点．(1)求证:1AB 平面1BEC ;(2)若2AB =,1AA ,求点A 到平面1BEC 的距离;(3)当1A A AB 为何值时,二面角1E BC C --18．已知坐标平面内三点()()()2,4,2,0,1,1A B C ---. (1)求直线AB 的斜率和倾斜角；(2)若,,,A B C D 可以构成平行四边形且点D 在第一象限 求点D 的坐标； 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 公差0d > 且231424,10a a a a =+=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若()*12111N n nT n S S S =++⋯+∈ 求n T ． 20．已知函数()2e xf x x =．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)证明：当0x >时 ()3e 2e xf x ≥-．参考答案与解析1．D【分析】解出集合A 利用补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】24x > 则2x >或<2x - 则{2A xx =<-∣或2}x > R{22}A x x =-≤≤∣{51}B x x =-<<∣ 则()R {21}A B xx ⋂=-≤<∣ 故选：D. 2．B【分析】首先解不等式得到p ⌝：2x ≥或23x ≤q ⌝：2x ≥或1x ≤- 再根据包含关系即可得到答案. 【详解】|34|2x -< 得2342x -<-< 即223x << 即p ⌝：2x ≥或23x ≤.由2102x x <--得220x x --< 即12x -<< q ⌝：2x ≥或1x ≤-.因为{|2x x ≥或1}x ≤-{|2x x ≥或2}3x ≤所以p ⌝是q ⌝的必要不充分条件． 故选：B 3．C【分析】由已知可得 ()04f = 可得出A 、B 项错误；根据()π0f > 可得出D 项错误. 【详解】由已知可得 ()f x 定义域为R 且()21104cos0442210f --+==+= 所以A 、B 项错误；又()()()()2211114cos 4cos 2222x x x x x x x xf x f x -------+-+-===++ 所以()f x 为偶函数. 又()22π1π1π1π1π4cos ππ4π02222f ------+-==>++ 所以D 项错误 C 项正确.故选：C. 4．B【分析】根据频率直方图中小矩形的面积代表这一组的频率进行求解即可. 【详解】由频率直方图可知：树木的底部周长小于100cm 的棵数为：(0.0150.025)106024+⨯⨯=故选：B 5．C【分析】作曲线y =24y kx k =++的图象 计算出直线24y kx k =++与曲线y =时对应的实数k 的值 数形结合可得结果.【详解】对方程y =224y x =- 即()2204y x y +=≥所以曲线y 224x y +=的上半圆对直线方程变形得()24y k x =++ 该直线过定点()2,4P - 且斜率为k 如下图所示：当直线24y kx k =++与半圆y 2= 解得34k =-当直线24y kx k =++过点()2,0A 时 440k += 解得1k =-.由图形可知 当曲线y 24y kx k =++有两个相异的交点时 31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.故选：C 6．C【分析】先解出,x y 再根据对数性质化简 最后根据基本不等式求最值. 【详解】3log 3,log 3x y a b a b x y ==∴==333log l 1og log ()1a b ab x y∴+=+=29a b ab +=≤（当且仅当2a b =时取等号）因此3log 1192y x +≤=即11x y+的最大值为2 故选：C【点睛】本题考查指数式与对数式转换、对数运算性质、基本不等式求最值 考查综合分析求解能力 属中档题. 7．A【分析】设双曲线左焦点为(40)F '-，,求出其到渐近线的距离 利用双曲线定义将||d PF +转化为2||a PE F P ++' 利用当,,P F E '三点共线时 2F a PE P ++'取得最小值 即可求得答案.【详解】由双曲线22:1124x y C -=,可得2a b == (40)F ，设双曲线左焦点为(40)F '-，不妨设一条渐近线为:b l y x x a =-= 即0x = 作PE l ⊥ 垂足为E 即||PE d = 作F H l '⊥,垂足为H 则||2F H '==因为点P 为C 左支上的动点所以2PF PF a '-= 可得2PF a PF '=+ 故2|2|d FP PE a PF a PE F P '+=++=++'由图可知 当,,P F E '三点共线时 即E 和H 点重合时 2||a PE F P ++'取得最小值最小值为2||2F H '⨯=即||d PF +的最小值为2 故选：A ． 8．B【分析】求得()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 由5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得4444x πωπππωωπ<-+<+ 结合函数()g x 的单调性可得出关于ω的不等式 由此可得出ω的最大值.【详解】将()f x 的图象向右平移4π个单位长度后得到()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. 因为5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以4444x πωπππωωπ<-+<+ 因为()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 所以4πωππ+≤ 304ω<≤ 所以ω的最大值为34.故选：B. 9．A【分析】易知0k > 由表达式画出函数图像 再分类讨论y k =与函数图像的位置关系 结合不等关系即可求解【详解】易知当0k > 0x 时 22227()224k f x x kx k x k ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭()f x 的图象如图所示.当直线y k =在图中1l 的位置时 22724k k k << 得1427k <<,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根即2220x kx k k ++-=的两根 故22mn k k =-； 而1ab =则2211327212122232mn ab k k k k k k +-=-+-=-+<即2644850k k -+< 解得1588k << 所以1427k <<；当直线y k =在图中2l 的位置时 22k k 且0k > 得102k <；此时0n = 则112712232mn ab k k +-=-< 得51162k <≤.所以 k 的取值范围是54,167⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系 数形结合思想 分类讨论思想 属于中档题 10．i ．【解析】直接利用虚数单位i 的运算性质得答案. 【详解】20214505()i i i i ==； 故答案为：i ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算 考查了虚数单位i 的性质 是基础题． 11．28【分析】根据二项式展开式的系数和公式可得n 的值 然后再利用展开式通项公式求得常数项.【详解】解：因为2nx ⎛ ⎝的展开式中二项式系数之和为256 所以2256n= 故8n = 即该二项式为882223x x x -⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎝设其展开式的通项为1k T + 则1k T +=()()()2216282338811kk k kkk k k C xx C x----⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当216203k k --=时 即6k = 此时该项为()668128C ⨯-=故答案为：28. 12．6【分析】根据给定条件 利用均值不等式计算作答.【详解】2x >则44(2)22622x x x x +=+-+≥=-- 当且仅当422x x =-- 即4x =时取“=” 所以42x x +-的最小值是6. 故答案为：6 13．43π 【分析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高 由勾股定理求出球的半径 根据球的体积公式可得结果.【详解】设圆柱的高为h圆柱体积为34π 234h ππ∴⨯⨯=⎝⎭1h = 设球半径为R 则()22221R =+244R = 可得1R =∴球的体积为34433R ππ= 故答案为43π.【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质 以及柱体与球体的体积公式 意在考查综合运用所学知识解答问题的能力 考查了空间想象能力 属于中档题. 14．217 97##219 【分析】由条件概率公式计算在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率 由古典概型概率公式计算事件0,1,2,3X =的概率 再由期望公式公式得结论．【详解】由题意三人全是男志愿者 即事件X 0= 34374(0)35C P X C === 21433718(1)35C C P X C ===()12433712235C C P X C === 33371(3)35C P X C ===181219()1233535357E X =⨯+⨯+⨯= 再记全是男志愿者为事件A 至少有一名男志愿者为事件B 4()(0)35P A P X ===34()1(3)35P B P X =-== 4()235(|)34()1735P AB P A B P B ===．故答案为：217；97． 15．2π3##120︒ 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据向量基本定理和向量垂直的数量积为0计算得到1cos 2BAD ∠=- 求出2π3BAD ∠= 建立直角坐标系 写出点的坐标 表达出向量,AE AF 的坐标 从而求出向量数量积的关系式 求出取值范围. 【详解】712AC AD DC AD AB =+=+BD AD AB =- 所以()22757121212AC BD AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭57554cos 9cos 0121242AB AD BAD BAD =-⋅⋅∠-⨯=--∠= 解得：1cos 2BAD ∠=-因为()0,πBAD ∠∈ 所以2π3BAD ∠=以A 作坐标原点 AB 所在直线为x 轴 垂直AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系 则()()(30,0,3,0,,4A B DC ⎛- ⎝因为DE DC λ= CF CB λ= 01λ≤≤ 所以设((),,E m F n t由()71,0,04m λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得：714m λ=-39,,44nt λ⎛⎛-= ⎝⎝解得：93,44n t λ=+= 所以)279363639144416164AE AF λλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭、26318116264λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当12λ=时 26318116264AE AF λ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值 最小值为8164 当0λ=或1时 取得最大值 最大值为94所以AE AF ⋅的取值范围是819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：2π3 819,644⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．(1)2π3A =；【分析】（1）由三角形内角性质及正弦定理边角关系可得sin A A = 进而求角的大小；（2）在△ABC 、△ADE 中应用余弦定理可得2219b c bc ++=、32b c =求出b 、c 再由三角形面积公式求面积.（1）由πA B C ++=得：()()cos cos cos sin a B C a B C A C -++-=- 即2sin sin cos sin a B C A C =-由正弦定理得sin sin sin cos sin A B C B A C =在△ABC 中sin 0B > sin 0C > 故sin A A = 则tan A =因为()0,πA ∈ 所以2π3A =． （2）在△ABC 中 由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得2219b c bc ++=在△ADE 中 由余弦定理得2247943b c bc ++= 所以()22224794319b c bc b c bc ++=++ 化简得225224810b bc c --= 即()()2326270b c b c -+= 所以32b c = 代入2219b c bc ++=得：3b = 2c =则△ABC 的面积12πsin 3sin 23ABC S bc A ===． 17．(1)证明见解析(3)1【分析】(1) 连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF ,根据中位线即可证明1EF AB ∥,再利用线面平行判定定理即可证明;(2)根据正三棱柱的几何特征,求出各个长度及1,BEC ABE S S ,再用等体积法即可求得;(3)建立合适空间直角坐标系,设出1,AB A A 长度,找到平面1EBC 及平面1BC C 的法向量,建立等式,求出1,AB A A 长度之间的关系即可证明.【详解】（1）证明:连接1CB 交1BC 于点F ,连接EF 如图所示:因为三棱柱111ABC A B C所以四边形11BB C C 为平行四边形所以F 为1CB 中点因为E 是AC 中点所以1EF AB ∥因为EF ⊂平面1BEC ,1AB ⊄平面1BEC所以1AB 平面1BEC ;（2）由题知,因为正三棱柱111ABC A B C所以1CC ⊥平面ABC且ABC 为正三角形因为2AB =,1AA所以BE =1EC 1BC 所以1BEC △为直角三角形11322BEC S =112ABE S =⨯△ 记点A 到平面1BEC 的距离为h则有11A BEC C ABE V V --= 即111133BEC ABE S h S CC ⨯⨯=⨯⨯即131323h ⨯⨯=解得h =故A 到平面1BEC （3）由题,取11A C 中点为H ,可知1EH CC ∥所以EH ⊥平面ABC因为ABC 为正三角形,E 是AC 中点所以BE AC ⊥故以E 为原点,EC 方向为x 轴,EH 方向为y 轴,EB 方向为z 轴建立如图所示空间直角坐标系不妨记1AB a,A A b所以1300000000222a a a E ,,,B ,,,,b,,,,C C 1133,,0,0,,0,,0222,a a ab EB b BC CC记平面1EBC 的法向量为()111,,x n y z =则有100n BC n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111020a x by z ⎧+=⎪⎪=取12x b ,可得()2,,0b a n =-;记平面1BC C 的法向量为()222,,m x y z =则有1100n CC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222002by a x by z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2x =可得()3,0,1m =;因为二面角1E BC C --所以cos ,m nm n m n ⋅===解得: a b = 即当11A AAB =时,二面角1E BC C --18．(1)斜率为1 倾斜角为π4；(2)()3,5；【分析】（1）根据直线的斜率公式可求得AB 的斜率 进而求得倾斜角；（2）根据平行四边形对边平行 可得对边斜率相等 设(),D x y ,由斜率公式列出方程组即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知直线AB 的斜率为4122-=--直线倾斜角范围为[0,π) 所以直线AB 的倾斜角为π4；（2）如图 当点D 在第一象限时 ,CD AB BD AC k k k k ==设(),D x y 则11114212y x y x -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪--+⎩ 解得35x y =⎧⎨=⎩故点D 的坐标为()3,5；19．(1)2n a n =(2)1n nT n =+【分析】（1）利用等差数列下标和性质得2310a a += 联立解得234,6a a == 求出d 值 写出通项即可；（2）利用等差数列前n 和公式求得(22)(1)2n n n S n n +==+ 则1111n S n n =-+ 最后利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）等差数列{}n a 公差0d > 23142324,10a a a a a a =+=+=． 解得234,6a a == 或236,4a a == 但此时20d =-<故2d = ()()224222n a a n d n n ∴=+-=+-=（2）12422a a d =-=-= 则(22)(1)2n n n S n n +==+ 1111(1)1n S n n n n ∴==-++ 1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20．(1)3e 2e 0x y --=；(2)证明见解析.【分析】（1）先求出切线的斜率 再求出切点即得解；（2）令()()3e 2e x F x f x =-+ 利用导数求出函数的最小值即得证.【详解】（1）解：由题得()22e e x x f x x x '=+ 所以()13e f '=又()1f =e 所以切线方程为()e 3e 1y x -=- 即3e 2e 0x y --=.（2）证明：令()()23e 2e e 3e 2e x x x F x f x x =-+=-+()()()()222e e 3e e 23e 31x x x x x F x x x x x x x '=+-=+-=+-当()0,1x ∈时 ()0F x '< 当()1,x ∈+∞时 ()0F x '>．所以()F x 在()0,1上单调递减 在()1,+∞上单调递增．所以当0x >时 ()min ()10F x F == 0x ∴>时 ()0F x ≥故当0x >时 ()3e 2e x f x ≥-.。
高三数学试题(理科)
高三数学试题（理科）本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3到6页,共150分,考试时间120分注意事项：１．考生必须将自己的姓名、学号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上，并在答卷前将班别、姓名、学号、等填写在试卷上.２．第一大题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑. ３．请用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔答卷.考试结束后，试卷必须全部上交.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中的发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：P n （k ）=C n k P k （1-p ）n-k球的表面积公式为：S=4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式为：V=34πR 3，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U 为全集，若集合A 、B 、C 满足A ∩B=A ∩C ，则可以推出( ) A ． B=C B ．A ∪B=A ∪C C ．A ∪(U C B)=A ∪(U C C) D ．(U C A)∪B=(U C A)∪C 2．函数g (x )满足g (x )g (－x )＝1，且g (x )≠1，g (x )不恒为常数，则函数f (x)=g(x)+1g(x)-1( )A .是奇函数不是偶函数B .是偶函数不是奇函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数3．已知函数f (x)=223(1)131(1)x x x x x x ⎧+->⎪-⎨⎪+≤⎩，则f –1(3)=( ) A ．10 B ．12 C ． 23 D ． －124．设f (x)=1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）A ．g (x)=sinxB ．g (x)=xC ．g (x)=x 2D ．g (x)=|x| 5．二项式(1x－)n 展开式中含有x 4项，则n 的可能取值是（ ）A ．5B ．6C ．3D ．76．设OA u u u v =a v ，OB uuu v =b v ，OC u u u v =c v ，当c v =λa v +μb v (λ,μ∈R)，且λ+μ=1时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去点AD ． 直线AB 上，但除去点B7．从17个相异的元素中选出2a －1个不同元素的选法记为P ，从17个相异的元素中选出2a 个不同元素的选法记为Q ，从18个相异的元素中选出12个不同元素的选法记为S ，若P+Q=S ，则a 的值为（ ）A ． 6B ． 6或8C ．3D ．3或68．若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cos θ等于（ ） A．3 B ．3 C ．2 D．69．设OM u u u u v =（1，12），ON u u u v =（0，1），则满足条件0≤OP uuu v ·OM u u u u v ≤1，0≤OP uuu v ·ON u u u v ≤1的10．已知函数f k图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2+y 2=k 2上，则f (x)的最小正周期为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究终于发现了一种细菌Ｍ在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自我复制，已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并生成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2047个“禽流感”病毒N 最多可生成细菌M 的数值是（ ）A ． 1024B ．2047C ．2048D ．204912．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足OR uuu v =12（OP uuu v +OQ uuu v），R 在抛物线准线上的射影为S ，设α，β是ΔPQS 中的两个锐角，则下面4个式子中不一定正确的是（ ）A ．tan α·tan β=1B ．sin α+sinC ．cos α+cos β>1D ．|tan(α－β)|>tan2αβ+高三(1－12班)数学试题（理科）班别____________ 学号______________ 姓名___________ 得分___________第II 卷 (非选择题 共90分)二、填空题13．把函数sin y x x =-的图象，按向量(),m n =-va （m >0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________14．若关于x 的不等式2－2x >|x －a | 至少有一个负数解，则a 的取值范围为__________________. 15．利用函数f (t)=12+3sin[2365π(t －81)]可用来估计某一天的白昼时间的长短，其中f (t)表示白昼的小时数，t 是某天的序号，t=0表示1月1日，依此类推0≤t ≤365，若二月份28天，则这一地区一年中白昼最长的大约是 月 日.16．在平面几何里，有勾股定理“设ΔABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥O －ABC 的三个侧面OAB 、OAC 、OBC 两两相互垂直， 则______________________________________________.” 三、解答题：本大题6个小题，共74分17．（本小题满12分）已知A 、B 是ΔABC 的两个内角，a v sin 22A B A B i j +-+v v ，其中i j v v 、为互相垂直的单位向量，若||a =v.(Ⅰ) 试问tanA ·tanB 是否为定值? 若为定值，请求出；否则请说明理由． (Ⅱ) 求tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状．18. (本小题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n =na n ﹣2n(n ﹣1)，(n ∈N*)(Ⅰ) 求证数列{a n }为等差数列，并写出通项公式； (Ⅱ) 是否存在自然数n ，使得40032321=++++nS S S S n Λ?若存在，求出n 的值； 若不存在，说明理由；19.（本小题满分12分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为P ． （Ⅰ）如果甲、乙两人共比赛4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜3局的概率，试求P的取值范围； （Ⅱ）如果P=13，当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率.20. （本小题满分12分）在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱是底面边长的2倍，P 是侧棱CC 1上的一点. （Ⅰ）求证：不论P 在侧棱CC 1上任何位置，总有BD ⊥AP ；（Ⅱ）若CC 1=3C 1P ，求平面AB 1P 与平面ABCD 所成二面的余弦值. （Ⅲ）当P 点在侧棱CC 1上何处时，AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线.21. （本小题满分1４分）已知点Q 位于直线3x =-右侧，且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4. (Ⅰ) 求动点Q 的轨迹C ；(Ⅱ) 直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+u u u r u u u r u u u u r ，0EP AB =u u ur u u u r g ，又OE uuu r=(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由.ABCDA 1 D 1C 1 B 1P22．（本小题满分12分）已知函数f(x)满足f(x+y)= f(x)·f(y)且f(1)=1 2 .(Ⅰ)当n∈N+时，求f(n)的表达式.(Ⅱ)设a n=n·f(n),n∈N+，求证a1+a2+…+a n<2.答案：1．D 由A ∩B=A ∩C 知B ，C 在A 内部的元素相同，由韦恩图可得. 2．A3．Ｃ 2231x x x +--=(1)(3)1x x x -+-=x+3 依题意 当x>1时 f(x)>4当x ≤1时 f(x)=3x+1≤4 令t= f －1(3) ∴f(t)=3<4 即3t+1=3 ∴t=234．D 将f(x)拆成：当x 是有理数时，f(x)=1;当x 是无理数时，f(x)=0,然后一一验证即可5．C 展开式的通项为r nC (1x)n-r ·(－)r =(－1)r ·r n C 4()3r n r x --（r=0,1,2,…n ）即存在自然数r ，使43r －(n －1) =4即7r=3n+12且n ≥r,故选C. 6．B ∵n+μ=1 ∴λ=1－μ，∵c v =λa v +μb v =a v +μ(b v －a v )=a v +μAB u u u v∴AC u u u v =c v －a v =μAB u u u v ，即AC u u u v 与AB u u u v共线.7．D 法一：反代法.分别取a=6,8代入验证。
高三数学综合测试题(含答案)
高三数学试题（理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面内的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i(i是虚数单位)，向量BC 对应的复数为2＋i，则点D对应的复数为()A． 2 B． 2＋2i C．－2 D．－2－2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是()．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b＝()A．0．2B．0．1C．－0．2D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()A． [－2,2] B． [0,2]C． [－2,0]D． (－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个 C．63个 D．126个6.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的一个充分而不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<17.若（n∈N*),且,则() A．81 B．16 C．8 D．18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A． B． C． D．9.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A． B． C． D．10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A．, B．, C．, D．,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是 ()A．14发 B．15发 C．16发 D．15发或16发12.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0，设f′(x)＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|的取值范围是()A．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，B．14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．133⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D．1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．14.如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有________．15.设M＝，则M与1的大小关系是__________．16.若对任意的x∈A，则x∈，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（本小题共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝37+i44是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程两个虚根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值范围．18. （本小题共12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．(1)完成如图2×2列联表：(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“休闲方式有关与性别”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：＝，其中n=a+b+c+d.参考数据：19.若n为正整数，试比较3·2n－1与n2＋3的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．20.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．21.已知函数f(x)＝(ax－x2)e x.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．22.设函数f(x)＝|x－a|＋x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126(个)6.C7.A8.D9.C10. C11. D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，∴x 1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝.∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x 1－x2|2＝＝()2＋·＋.∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，两边同除以a2，得()2＋3＋2<0，解得－2<<－1.由二次函数的性质可得，当＝－时，|x 1－x2|2有最小值为，当趋于－1时，|x1－x2|2趋于，故|x 1－x2|2∈[，)，故|x1－x2|∈[，)．13. 0．9544 14.＝S △BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝＋i是方程的根，则x＝-i也是方程的根．(＋i)＋(-i)＝a，解得a＝.(2)x 1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个虚根，不妨设x1＝，x2＝，a∈(－2,2)，|x 1－1|＞|x2|，∴(－1)2＋(－)2＞()2＋()2，∴a＜1.综上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则2×2列联表如图。
高三年数学试卷(理科)(附答案)
高三年数学试卷（理科）(完卷时间：120分钟； 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数i z +=31，i z -=12，则1z ·2z 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限2、等差数列{}n a 中,若752a a =-,则1715a a -=( ) A ．2- B ．2 C ．1- D ．13、函数)1(121>+=+x y x 的反函数是（ ）A ．)5(2log 2>-=x x yB ．())5(11log 2>--=x x yC ．)1(2log 2>-=x x yD ． ())1(11log 2>--=x x y 4、为真命题的且为真命题是或""""q p q p 条件 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．既非充分也非必要条件 D ．充要条件 5、一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：A ．201. B ．41. C ．107. D ．21 6、关于x 的不等式0<-b ax 的解集为(1,+∞)，则关于x 的不等式2--x bax >0的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－∞,－1)∪(2,+∞)C ．(1,2)D ．(―∞,―2)∪(1,+∞)7、已知函数)(x f 的导数为,44)(3x x x f -='且)(x f 图象过点（0，－5），当函数)(x f 取得极小值－6时，x 的值应为( ) A ．0B ．－1C ．±1D ． 18、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=)0(log )0(8)31()(3x x x x f x，若f （a ）＞1，则实数a 的取值范围是( )A ．)3,2(-B ．)2,(--∞∪),3(+∞C ．（3，+∞）D ．)3,(--∞∪（0，+∞） 9、已知等差数列｛a n ｝中，若1201210864=++++a a a a a ，则=1515S 项和前 ( ) A ．240- B ．360- C ．240 D ．360 10、已知数列｛n a ｝中，*N n ∈，11-=a ，1121--+=n n n a a （2≥n ），则∞→n lim =+++)(21n a a a ( )A ．2-B ．2C ． 32-D ．3211、已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数f (x )则函数f (| x |)的图象是( )A ． B. C. D.12、已知()x f 为偶函数，且()()x f x f -=+22，当02≤≤-x 时()x x f 2=，若*N n ∈，()n f a n =则=2006a （ ） A ． 2006 B ．4 C ．41D ．4- 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
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理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。