直角坐标系中的基本公式

2.1.2 平面直角坐标系中的根本公式

知识点 1. 两点间的距离公式

①. 两点 A(x1，y1)，B(x2,y2)间的距离公式表示为 d(A，B)= ( x2 x1) 2 ( y2 y1) 2 ;

②．当 AB 平行于 x 轴时， d(A，B)=|x2 －x1|；

当AB 平行于 y 轴时， d(A， B)=|y2－y1|；

当 B 为原点时， d(A，B)= x12y12。

求两点距离的步骤

两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：

（1〕给两点的坐标赋值： (x1，y1)，(x2， y2).

（2〕计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△ x=x2－x1，△y=y2－y1.

〔 3〕计算d= x2y2 .

〔 4〕给出两点的距离 d.

通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的

距离

知识点 2. 坐标法

坐标法：就是通过建立坐标系〔直线坐标系或者是直角坐标系〕，将几何问题转化为代数问题，

再通过一步步地计算来解决问题的方法 .

用坐标法证题的步骤

（1〕根据题设条件，在适当位置建立坐标系〔直线坐标系或者是直角坐标系〕；

（2〕设出未知坐标；

（3〕根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论.

知识点 3. 中点坐标公式

x1x2

A(x1， y12，y2 两点，，是线段x

2

M(x y)AB 的中点，那么有

),B(x)

y1y2

y

2

（1〕两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。

（2〕假设点 P(x，y)，那么点 P 关于点 M(x0， y0)对称的点坐标为 P’ (2x0－x，2y0 －y).

（3〕利用中点坐标可以求得△ABC〔A(x1，y1)， B(x2，y2)，C(x3， y3)〕的重心坐标为x

x1 x2 x3

y

3

y1y2y3

3

题型 1. 公式的根本应用

例 1.求以下两点的距离及线段中点的坐标，

（1〕A(－1，－ 2)， B(－3，－ 4)；〔 2〕C(－2， 1)，D(5， 2).

（2〕设 CD 的中点为 N(x，y)，得线段 CD 的中点坐标为 N( 3，3 )，

2 2

例2．点 A(－1，3)， B(3，1)，点 C 在坐标轴上，∠ ACB=90°，那么满足条件的点 C

的个数是〔〕

〔A〕1 〔B〕2 〔C〕3 〔D〕4

题型 2. 公式的逆用

例 3. 点 A(3，6)，在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 10，求点 P 的坐标 .

例 4．△ABD 和△BCE 是在直线 AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|=|CE|.

例5．△ABC 的顶点为 A(－1，3)， B(3，－ 2)， C(2，4)，求 BC 边上的中线 AM 的

长 .

【练习】

1．如果一条线段的长是 5 个单位，它的一个端点是A(2，1)，另一个端点 B 的横坐标是－ 1，那么端点 B 的纵坐标是〔〕

〔A〕－ 3 〔B〕5 〔C〕－3 或 5 〔D〕－1 或 3

2．设A(1，2)，在x 轴上求一点B，使得 |AB|=5，那

么

B 点的坐标是〔〕

〔A〕(2，0)或(0，0) 〔B〕(1－21 ，0)

〔C〕(1 21，0)〔D〕(1 21 ，0)或(1 21 ，0)

3．假设x 轴上的点M 到原点及点(5，－ 3)的距离相等，那

么

M 点的坐标是〔〕

〔A〕(－2，0) 〔B〕(1，0) 〔C〕(1.5，0) 〔D〕(3.4，0)

4．假设点 M 在 y 轴上，且和点 (－4，－ 1)， (2， 3)等距离，那么 M 点的坐标是.

5．假设

点

P(x， y)到两点M(2，3)和N(4，5)的距离相等，求x+y 的值 .

6．设 D 为△ABC 的边 BC 上的一点，而 BD=2DC，求证： |AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2.

例 6．求函数 y= x2 1 x24x 8 的最小值 .

例7．正方形 ABCD 的三个顶点坐标是 A(2，3)，B(6，6)，C(3， 10)，求顶点 D 的坐标。