平面直角坐标系中的基本公式

2.1.2平面直角坐标系中的基本公式

课程学习目标

目标重点：平面上两点间的距离公式和中点公式；

目标难点：两点间距离公式的推导；

［学法关键］

1．领会从特殊到一般的过程来研究两点间的距离公式及中点坐标公式；

2．距离公式的实质是将二维空间的长度计算问题转化为一维空间的长度计算问题。

研习点1. 两点间的距离公式

1． 两点 A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ，B

2． 当AB 平行于x 轴时，d (A ，B )=|x 2－x 1|；

当AB 平行于y 轴时，d (A ，B )=|y 2－y 1|；

当B 为原点时，d (A ，B

求两点距离的步骤

已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：

（1）给两点的坐标赋值：(x 1，y 1)，(x 2，y 2).

（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x =x 2－x 1，△y =y 2－y 1.

（3）计算d 22x y +.

（4）给出两点的距离d .

通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离

研习点2. 坐标法

坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.

用坐标法证题的步骤

（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；

（2）设出未知坐标；

（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论.

研习点3. 中点坐标公式

已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有1212

22

x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩

（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。

（2）若已知点P (x ，y )，则点P 关于点M (x 0，y 0)对称的点坐标为P ’(2x 0－x ，2y 0－y ).

（3）利用中点坐标可以求得△ABC （A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)）的重心坐标为

123123

33x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩

题型1. 公式的基本应用

例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标，

（1）A (－1，－2)，B (－3，－4)；（2）C (－2，1)，D (5，2).

解：（1）设AB 的中点为M (x ，y )，得线段AB 的中点坐标为M (－2，－3)， AB 两点的距离d (A ，B

=。

（2）设CD 的中点为N (x ，y )，得线段CD 的中点坐标为N (23，2

3)， AB 两点的距离d (C ，D

=

例2． 已知点A (－1，3)，B (3，1)，点C 在坐标轴上，∠ACB =90°，则满足条件的点C 的个数是（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

解：若点C 在x 轴上，设C (x ，0)，由∠ACB =90°，得|AB |2=|AC |2+|BC |2，

∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x +1)2+32+(x －3)3+12，解得x =0或x =2,

若点C 在y 轴上，设C (0，y )，由由∠ACB =90°，得|AB |2=|AC |2+|BC |2，可得y =0 或y =4，而其中原点O (0，0)计算了两次，故选C .

题型2. 公式的逆用

例3. 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标.

解：设点P 的坐标为P (x ，0)，由d (P ，A )=1010=，解得x =11或x =－5，∴点P 的坐标为(11，0)或(－5，0).

例4．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE |=|CE |. 证明：如图，以B 点为坐标原点，取AC 所在的直线为x 轴建立直角坐标系.

设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，

则A (－a ，0)，D ()22

a -，

E (,)22

c ，C (c ，0)，于是

|AE =

|CD = 所以|AE |=|CD |.

例5．已知△ABC 的顶点为A (－1，3)，B (3，－2)，C (2，4)，求BC 边上的中线AM 的长.

解：设点M 的坐标为M (x ，y )，因为点M 是线段BC 的中点，所以x =

2

5，y =1，即M

点的坐标为(25，1)，由两点间的距离公式得|AM 2=.

因此，BC 边上的中线AM

【教考动向·演练】 1． 如果一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A (2，1)，另一个端点B 的横坐标是－1，则端点B 的纵坐标是（ C ）

（A ）－3 （B ）5 （C ）－3或5 （D ）－1或3

2．设A (1，2)，在x 轴上求一点B ，使得|AB |=5，则B 点的坐标是（ D ）

（A ）(2，0)或(0，0) （B ）(10)

（C ）(10) （D ）(1+0)或(10)

3．若x 轴上的点M 到原点及点(5，－3)的距离相等，则M 点的坐标是（ D ）

（A ）(－2，0) （B ）(1，0) （C ）(1.5，0) （D ）(3.4，0)

4．若点M 在y 轴上，且和点(－4，－1)， (2，3)等距离，则M 点的坐标是(0，－

21). 5．若点P (x ，y )到两点M (2，3)和N (4，5)的距离相等，求x +y 的值.x +y =7

6．设D 为△ABC 的边BC 上的一点，而BD =2DC ，求证：|AB |2+2|AC |2=3|AD |2+6|CD |2.

例6． 求函数y =.

.

令A (0，1)，B (2，2)，P (x ，0)，则问题转化为在x 轴上求一点P (x ，0)，使得|PA |+|PB |取最小值.