平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式在平面直角坐标系中，我们可以使用基本公式来描述二维空间中点的位置、距离、长度、角度等各种属性。
下面是一些常用的基本公式：1.点的坐标：平面直角坐标系中的点可以表示为一个有序对(x,y)，其中x表示横坐标（沿x轴的水平距离），y表示纵坐标（沿y轴的垂直距离）。
2.线段长度：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的长度可以通过以下公式计算：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)3.点到坐标轴的距离：设平面直角坐标系中有一个点P(x,y)，则点P 到x轴的距离为，y，到y轴的距离为，x。
4.斜率：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的斜率可以通过以下公式计算：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)5.中点：设平面直角坐标系中有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为：中点M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)6.坐标轴正向与象限：在平面直角坐标系中，x轴正向向右，y轴正向向上。
同时，将坐标轴所形成的四个象限按照逆时针方向分别称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
7.角的度量：在平面直角坐标系中，角的度量可以使用弧度或者角度来表示。
常用的角度制中，一个完整的圆的度数为360°。
而弧度制中，一个完整的圆的弧度数为2π弧度。
8.同位角与同旁角：在平面直角坐标系中，如果两条射线的起点、终点分别与两条相互垂直的射线的起点、终点重合，则这两条射线分别被称为同位角。
如果两条射线的起点分别位于两条相互垂直的射线的起点的同侧或者终点位于两条相互垂直的射线的终点的同侧，则这两条射线分别被称为同旁角。
9. 三角函数：在平面直角坐标系中，根据点的位置与坐标轴的关系，可以定义一些重要的三角函数，如正弦函数sin(θ)、余弦函数cos(θ)、正切函数tan(θ)等，其中θ 表示角的度数或弧度数。
解析几何的基本定理
解析几何的基本定理解析几何，是学习数学时的一个分支，也叫作坐标几何。
它是关于平面和空间中的点、直线、曲线的研究方法。
解析几何有很多的基本定理，这些基本定理是我们学习解析几何的基石，对于解决各种几何问题都是非常重要的。
下面就来逐一介绍一下这些基本定理。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系，是解析几何的基础。
它的概念是：在平面上取定一个原点O，指定一条直线x（叫做x轴），平面内的另一条直线y（叫做y轴）与x轴相交于O，且x轴正向与y轴正向的方向相互垂直。
二、距离公式在平面上两个点A（x1，y1）和B（x2，y2）的距离公式为：AB = √[(x2-x1)²+(y2-y1)²]这个公式是解析几何中最基本的公式之一。
它的意义是：平面上两点之间的距离等于各坐标之间的差的平方和的平方根。
三、中点公式在平面上两点A（x1，y1）和B（x2，y2）之间的中点为点M （(x1+x2)/2，(y1+y2)/2）。
直接根据公式计算M点的坐标很容易。
在解决许多几何问题时，中点公式的应用非常广泛，是解析几何中的一条基本规则。
四、斜率公式在平面上两点A（x1，y1）和B（x2，y2）之间的斜率公式为：k = (y2-y1)/(x2-x1)斜率公式的意义是：两个点间的斜率等于纵坐标之差除以横坐标之差。
直接应用斜率公式可以求出平面上两点之间的斜率。
五、两点式和点斜式在平面上，已知经过点A（x1，y1）和直线的斜率k，点斜式公式是：y-y1 = k(x-x1)在平面上，已知经过两点A（x1，y1）和B（x2，y2），两点式公式是：(y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)斜率公式提供了一个解析直线的最基本方式，而两点式和点斜式则是其中比较常用的两种方式。
六、直线垂直和平行性定理在平面上，直线y = k1x+b1和y = k2x+b2垂直的充要条件是k1k2 = -1，即k1和k2互为相反数。
在平面上，直线y = k1x+b1和y = k2x+b2平行的充要条件是k1 = k2。
平面直角坐标系中的基本公式
《平面直角坐标系中的基本公式》【学习目标】（1）理解两点间距离和中点的概念，并会求两点距离及其中点坐标。
（2）理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题。
【学习重点】用勾股定理和轴上向量的计算公式推导平面上两点间的距离公式和中点坐标公式。
【学习难点】应用坐标方法研究几何问题。
知识点一：两点间的距离公式探究：在直角坐标平面内如何求A ，B 两点间的距离。
探究一：点A （0,0），点B （x 1,y 1）在任意位置，求AB 的距离？探究二：点11(,)A x y 、点22(,)B x y 都在任意位置，求AB 的距离？趁热打铁：1、 求下列两点间的距离： （1）A （6，2），B （-2，5）（2）C （2，-4），D （7，2）2、已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0)，判断三角形ABC 的形状。
变式：已知：A （1，1）B （5，3）C （0，3）求证：三角形ABC 是直角三角形。
知识点二：中点公式探究三：在直角坐标系中，如何计算任意两点1122(,),(,)A x y B x y 的中点M （x , y )的坐标？趁热打铁：1、求线段AB 中点M 的坐标： （1）A （3，4）,B(-3,2) （2）A(-8,-3),B(5,-3)2、已知点A （1,4），B （x,y ），AB 中点坐标为M （2,3），求点B 的坐标。
解题方法小结：应用、已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标， A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D 的坐标。
【典例剖析】例1、 已知矩形ABCD ，求证22222()AC BD AB AD +=+。
变式：已知平行四边形ABCD ，求证22222()AC BD AB AD +=+。
思考：什么是坐标法？用坐标法证题的基本步骤？【小结】本节课你学到了什么？检测1、 已知)10,0(),0,(B a A 两点的距离等于17，求a 的值。
2、 求下列各点关于M （-2,1）的中心对称点，A(2,-3), B(1,3), C(-1,-3), D(-3,5).3、 已知△ABC 的顶点坐标为A(3,2),B(1,0),C(2,4),求AB 边上的中线的长。
2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
物体位置的方法叫 坐标方法。相关的
知识点二 位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向 量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上 同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向 量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几 符号和数称为点的
何 坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一 数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
张喜林制2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式教材知识检索考点知识清单1．两点间的距离公式：设),(),(2211y x B y x A 、是平面上的两点，则=||AB2．中点公式：已知),,(),(2211y x B y x A 、设M(x ，y)是线段AB 的中点，则=x =y ,3．平行四边形的两条对角线的平方和等于它的四边的要点核心解读1．两点间的距离公式(1)平面上的点),(y x P 到原点)0,0(O 的距离=),(P O d .22y x +(2)平面上任意两点间的距离公式：设,(),211x B y x A 、（),2y 则.)()(),(212212y y x x B A d -+-=(3)求两点间距离的步骤：①给两点坐标赋值：?,,,,2121====y y x x ？？？②计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即;,1212y y y x x x -=∆-=∆ ③计算;)()(22y x d ∆+∆=④给出两点的距离．2．中点公式已知),,(),(2211y x B y x A 、设点),(y x M 是线段AB 的中点(如图2-1 -2 -1)，过点A 、B 、M 分别向x 轴、y 轴作垂线、、21AA AA ,2121MM MM BB BB 、、、垂足分别为、、、)0,((B )(0,)0,(211211x y A x A )0,(),,0(122x M y B ).,0(2y M 因为M 是线段AB 的中点，所以点1M 和点2M 分别是11B A 和22B A 的中点，即⋅==22221111,B M M A B M M A所以⋅-=--=-y y y y x x x x 2121,即 2,22121y y y x x x +=+= 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式．3．解析法的应用解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把几何问题转化成代数问题，通过建立适当的坐标系加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系：坐标系选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简捷．原则是：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下规律：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴；②若为对称图形则取对称轴为x 轴或y 轴；③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴；④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示图形中的等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题转化为代数问题来求解．典例分类剖析考点1 平面上两点闻距离的求法及应用命题规律主要强调两点间距离公式的应用，两点间的距离公式作为解析几何的重点之一，常会考查．[例1] (1)已知),3,1()3,6()1,2(C B A 、、求证：△ABC 为直角三角形．(2)已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离为10，求点P 的坐标．[解析] (1)要判断三角形是否为直角三角形，其中一种方法是考虑各边长之间是否满足勾股定理，即需求出三条边长．[答案] 由两点间的距离公式得;20)13()26(),(=-+-=B A d;5)13()21(),(=-+-=C A d;25)33()61(),(22=-+-=C B d,||||||222BC AC AB =+∴∴ △ABC 为直角三角形．(2)设点P 的坐标为（x ，O ），由,10),(=P A d 得,10)60()3(22=-+-x解得11=x 或,5-=x∴ 点P 的坐标为(-5，0)或(11，0)．母题迁移 1．已知等边△ABC 的两个顶点、的坐标为),0,2()0,4(B A 、-试求：(1) C 点的坐标；(2)△ABC 的面积．考点2 中点坐标公式及其应用命题规律考查中点坐标公式及其应用．[例2] △ABC 三个顶点的坐标分别为,2)4,4(（、B A --),2,4()2-C 、求三边中线的长．[答案] 设AB 的中点D 的坐标为D （x,y ）,由中点公式得,1224,1224-=+-=-=+-=y x 即 ⋅--)1,1(D同理，BC 的中点E(3，0)，AC 的中点F(O ，-3)．),(||D C d CD =∴22)]2(1[)41(---+--=;26=),(||E A d AE =)40()43(+++=;65=),(||F B d BF =)23()20(-⋅-+-=.29=母题迁移 2．△ABC 三个顶点的坐标为),1,0(-A ),2,2(),3,1(-C B 求中线AD 的长．考点3 两点问距离公式的几何意义命题规律利用两点间距离公式的几何意义求某些函数的最值．[例3] 求函数++-=3712)(2x x x f 134+-x x 的最小值．[答案] ,1)6(3722+-=+-x x r x ∴+-=+-,9)2(1342x x x 可设,6（A 、、)3,2()1B )0,P(x 则.||||)(PB PA x f +=要求)(x f 的最小值，只需在x 轴上找一点P ，使||||PB PA +最小即可．设B 关于x 轴的对称点为,/B 则)3,2(/-B （如图2 -1 -2-2所示）． |,|||||||||//AB PB PA PB PA ≥+=+,24)13()62(||22/=--+-=AB∴ 当A P B 、、/三点共线时取等号，即||||PB PA +的最小值为,24也就是)(x f 的最小值为.24[点拨] (1)涉及无理式，尤其是含平方的算式，我们可联想到两点间的距离，故构造两点间的距离来解题．(2)本题切忌将两个无理函数最小值的和当作f(x)的最小值．母题迁移 3．求函数1342222+-++-=x x x x y 的最小值．优化分层测讯学业水平测试1．已知),15,2().5,3(B A -则=),(B A d （ ）25.A 135.B 175.C 55.D2．已知两点),,(),(d c B b a A 、且,02222=+-+d c b a 则( )．A ．原点一定是线段AB 的中点 B.A 、B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上但不是中点D ．以上结论都不正确3．点P(2，-1)关于点(3，4)的对称点是( )．)5,1.(A )9,4.(B )3,5(⋅C )4,9.(D4．已知点A(3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，则点P 的坐标为5．在△ABC 中，设),5,2()7,3(-B A 、若AC 、BC 的中点都在坐标轴上，则点C 的坐标为6．已知，平面内平行四边形的三个顶点).3,1()1,2(--B A 、),4,3(C 求第四个顶点D 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分x8 =40分）1．以A(5，5)、B(1，4)、C(4，1)为顶点的三角形是( )．A.直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形2．已知△ABC 的三个顶点是)0,()0,(a B a A 、-和),23,2(a aC 则△ABC 的形状是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．斜三角形3．已知点),2,4()0,2(B A 、若|,|2||BC AC =则C 点的坐标为( )．)1,1(-⋅A ），或（15)1,1(--⋅B )3,1()1,1(或-⋅C D ．无数个 4．已知点A （x ，5）关于点C(l ，y)的对称点是),3,2(--B 则点),(y x P 到原点的距离是( )．4.A 13.B 15.C 17.D5．已知菱形的三个顶点为),0,0(),(),(、、a b b a -则它的第四个顶点是( )．),2(b a A ⋅ ),(b a b a B +-⋅ ),.(a b b a C -+ ),(a b b a D --⋅6．光线从点A （-3，5）射到x 轴上，经过反射后经过点B(2，10)，则光线从A 到B 的距离为( )．25.A 52.B 105.C 510.D7．某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图2 -1-2 -3所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若,30,60km CD AE km AB ===为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和最小，图中4321P P P P 、、、是AC 的五等分点，则转播台应建在( )．1.P A 处2.P B 处3.P C 处4.P D 处8．（2006年福建）对于直角坐标平面内的任意两点).,(11y x A ),,(22y x B 定义它们之间的一种“距离”：+-=||||12x x AB .||12y y -给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则|;|||||AB CB AC =+②在△ABC 中，若,90 =∠C 则;||||||222AB CB AC =+③在△ABC 中，.||||||AB CB AC >+其中真命题的个数为( )．0.A 1.B 2.C 3.D二、填空题（5分x4 =20分）9．已知),,2()6,(b B a A -、点P(2，3)平分线段AB ，则=+b a10．已知),3,0()3,5()1,1(C B A 、、则△ABC 的形状为11．已知),3().2,1(b B A -两点间的距离为,24则=b12.已知两点),2,3()4,1(A P 、-则点A 关于点P 的对称点的坐标为三、解答题（10分x4 =40分）13.求函数84122+-++=x x x y 的最小值．14.已知△ABC 三顶点的坐标为,8)3,11()8,3(--（、、C B A ),2-求BC 边上的高AD 的长度．15.若a 、b 、c 、d 都是实数，试证明≥+++2222db c a .)()(22d c b a +++16.在△ABC 所在平面上求一点P ，使222||||||PC PB PA ++取得最小值.。
平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系是二维空间中用于描述点位置的系统。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，一个是横轴通常称为x轴，另一个是纵轴通常称为y 轴。
坐标轴的交点称为原点，用O表示。
每个点可以通过两个坐标值（x，y）来定义，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
在平面直角坐标系中，存在一些基本公式，我们将在本文中一一介绍。
1.距离公式：两点间的距离可以使用勾股定理进行计算。
如果有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），它们之间的距离可以使用以下公式计算：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)2.中点公式：两点的中点可通过其坐标的平均值计算。
如果有两个点A（x1，y1）和B（x2，y2），它们的中点C的坐标可以计算如下：C=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)3.斜率公式：斜率是一条直线在坐标轴上的改变速率。
两点间的斜率可以用下面的公式进行计算：斜率=(y2-y1)/(x2-x1)4.中垂线公式：两条线段在中垂线上的交点被称为它们的垂点。
如果有一条线段AB，在平面直角坐标系中，它的中垂线是与AB垂直并通过AB的中点的直线。
中垂线方程可以使用以下公式计算：中垂线的斜率=-1/斜率中垂线通过点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)5.垂直平分线公式：两条线段在垂直平分线上的交点称为它们的垂直平分线的中点。
如果有一条线段AB，在平面直角坐标系中，它的垂直平分线将AB划分为两个相等的部分，并且与AB垂直。
垂直平分线的方程可以使用以下公式计算：垂直平分线的斜率=-1/斜率垂直平分线通过点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)6.直线方程：一个直线的方程可以表示为 y = mx + c 的形式，其中 m 是斜率，c 是 y 轴截距。
7.平行线之间的关系：两条平行线具有相同的斜率。
如果有两条线段AB和CD平行，则它们具有相同的斜率。
8.垂直线之间的关系：两条垂直线的斜率乘积为-1、如果有两条线段AB和CD垂直，则它们的斜率乘积等于-1这些是平面直角坐标系中的一些基本公式。
2-1-2平面直角坐标系中的基本公式
典例剖析
题型 1 考察两点间的坐标公式 例 1 求下列两点间的距离． (1)A(－2,3)，B(－1,7)； (2)A(1,5)，B(4，－1)． 剖析 可根据两点间的距离公式求解，注意计算步骤．
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
4．已知 A(8,10)，B(－6，y)，AB 中点坐标为(x,7)，则 x， y 的值分别是( A．1,4 C．－1,4 ) B．1，－4 7 D．1，2
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名师讲解
1.两点间的距离公式 在平面直角坐标系内有两点：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A， B 两点的距离是 d(A，B)＝ x2－x12＋y2－y12.
2 (1)若 B 点为原点，则 d(A，B)＝d(O，A)＝ x2＋y1； 1
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
名师一号 · 新课标B版数学 · 必修2
由(1，－1)是 BD 中点可得： 2＋x2 ＝1， 2 4＋y2 2 ＝－1，
x ＝0， 2 ∴ y2＝－6.
∴C 点坐标为(3，－5)，D 点坐标为(0，－6)．
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第二章
§2 .1
§2 .1.2
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§2 .1
学案2：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学习目标：1、了解两点间距离公式的推导过程；熟练掌握两点间的距离公式、中点公式；2、灵活运用两点间的距离公式和中点公式解题；3、理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．重点：熟记并能会运用两点间的距离公式、中点公式解简单的题目；难点：灵活运用两点间的距离公式和中点公式解几何综合题和对称问题．学法指导通过在直角坐标系中构造直角三角形并应用勾股定理，探究出两点间距离公式，通过公式的应用，初步了解解析法证明的思路和方法，体验由特殊到一般，再由一般到特殊的思想及“数”和“形”结合转化思想.自学达标：复习回顾平面直角坐标系中点的坐标(初中所学)：在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内点的集合具有一一对应关系．有序实数对(x，y)与点P对应时，(x，y)叫做点P的坐标．其中x叫做点P的横坐标．y叫做点P的纵坐标．新知探究知识点1．两点间的距离公式(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离表示为d(P1，P2)＝__________________.①当P1P2平行于x轴时，d(P1，P2)＝________；②当P1P2平行于y轴时，d(P1，P2)＝________；③当P2点是原点时，d(P1，P2)＝_________.(2)算术平方根(x－a)2＋(y－b)2的几何意义是___________________________________．思考感悟：算术平方根a2＋b2的几何意义是什么？知识点2．中点公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝_______，y＝________.知识点3．解决几何问题的基本方法——解析法解析法是解决解析几何、立体几何等的重要方法，它是把________问题转化成_______问题，通过建立________________加以分析研究解决问题的方法．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系；(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系；(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来演算．考点突破考点 1 两点间的距离公式及中点公式—找到所用的点的坐标代入公式，然后进行等价化简．例1 已知点A (－3,4)，B (2，3)，试在x 轴上找一点P ，使得d (P ，A )＝d (P ，B )．并求出d (P ，A )．【分析】 可利用已知条件，设出点P 的坐标(x,0)，利用方程可求出x ，从而确定点P ，进而求出d (P ，A )．【点评】 熟练掌握两点间距离公式．跟踪训练1 已知平行四边形三个顶点坐标分别为(－1，－2)，(3,1)，(0,2)，求平行四边形第四个顶点的坐标．考点2 坐标法证明几何题—建立坐标系，用两点间的距离公式、中点坐标公式等证明． 例2 已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系， 证明：2AM ＝BC .【分析】 借助坐标法证明此题．因为△ABC 是直角三角形，所以选择直角顶点为坐标原点，直角边所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，便于设点求解．【点评】 建立直角坐标系时，要利用图形特点，建立适当 的坐标系，以避免复杂的运算量．跟踪训练2 在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B 、C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，求证：△ABC 为等腰三角形．考点3 代数问题的几何解法—涉及到无理式，尤其是根式中含平方的形式，我们联想到两点间的距离公式，即构造两点间的距离．例3 求函数y ＝x 2＋x ＋1－x 2－x ＋1的值域．【分析】 将被开方式配方，可化为两点的距离公式的形式，结合几何意义求值域．【点评】 涉及到无理式，其中含二次三项式的，我们联想到两点间的距离公式，即构造两点间的距离公式，再结合平面几何知识求解．跟踪训练3 函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值．课堂小结1．判断一个量是否为向量，就是要判断该量是否既有大小，又有方向．2．特殊向量：零向量的起点与终点重合，它没有确定的方向，它的长度为0.3．两相等向量的方向相同，长度相等．凡是相等向量均看作一个向量，向量可以在坐标平面上平行移动，而不改变其大小，如图．向量OA → 的起点为坐标原点，终点为A 点，向量OA→的坐标为(0,1)，将向量OA →沿 x 轴平移1个单位，得向量BD →，显然向量BD →与向量OA →为相等向量(不但方向相同，而且大小相等)．所以向量BD →的坐标仍为(0,1)，因此向量的平移只是改变向量的位置，并不改变向量的方向与大小．4．数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标．5．坐标法：就是通过建立坐标系(直线坐标系或直角坐标系)，将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法．6．坐标法证明题的基本步骤：(1)根据题设条件，在适当位置建立坐标系(直线坐标系或直角坐标系)；(2)设出未知点坐标，然后根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导出结论．7．使用“坐标法”来处理几何问题，体会“数形结合”的数学思想方法．8．列方程或方程组求解问题的方法，也是解析几何中常用的基本方法．9．两点间距离公式与中点公式是两个重要的基本公式．公式的推导过程中所使用的“分解”、“综合”方法，充分体现了转化思想．这里所说的“分解”与“综合”方法，是指把坐标平面上的问题投影到两个坐标轴上，从而分解为两个坐标轴上的问题；然后再把每个坐标轴上的问题的解答综合起来，得到坐标平面上的问题．课堂达标检测1．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点为B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是() A．4 B.13C.15D.172．已知点A(5，－1)、B(1,1)、C(2,3)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形3．已知A(a,3)和B(3,3a＋3)的距离为5，则a的值为________．4．已知A(－7,0)、B(－3，－2)、C(1,6)．(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的外心的坐标．5. 平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A(2,3)、B(4,0)、D(5,3)，求顶点C的坐标．6. 求下列两点间的距离：(1)A(2,5)、B(3，－4)；(2)A(2－1，3＋2)、B(2＋1，3－2)；(3)A(a＋1，b)、B(a－2，b)；(4)A(a,2b)、B(a,3b－1)．参考答案知识点1（1）(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2①|x 2－x 1| ②|y 2－y 1| ③x 21＋y 21 （2）表示两点P 1(x ，y )，P 2(a ，b )的距离思考感悟：提示：点(a ，b )到原点的距离．知识点2 x 1＋x 22， y 1＋y 22知识点3 几何 代数 适当的坐标系例1【解】 设P (x,0)，由题意得d (P ，A )＝x 2＋6x ＋25，d (P ，B )＝x 2－4x ＋7，由d (P ，A )＝d (P ，B ) 即x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7得x ＝－95， 故P 点的坐标为(－95，0)， d (P ，A )＝21095. 跟踪训练1解：设A (－1，－2)，B (3,1)，C (0,2)，第四个顶点的坐标为D (x ，y )，(1)若四边形ABCD 是平行四边形，则由中点坐标公式得：⎩⎨⎧ x ＋32＝－1＋02y ＋12＝－2＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－1， ∴点D 坐标为(－4，－1)．(2)若四边形ABDC 是平行四边形，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧ x －12＝3＋02y －22＝1＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝5， ∴点D 坐标为(4,5)．(3)若四边形ACBD 是平行四边形，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧ x ＋02＝－1＋32y ＋22＝－2＋12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－3，∴点D 坐标为(2，－3)．综上所述，第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4,5)或(2，－3)．例2 【证明】 如图建立直角坐标系，设B ，C 的坐标分别是(b,0)，(0，c )．因为点M 是BC 的中点，故点M 的坐标为(b 2，c 2)． 由两点间距离公式，得d (B ，C )＝c 2＋b 2，d (A ，M )＝b 24＋c 24＝b 2＋c 22. ∴2d (A ，M )＝d (B ，C )．∴2|AM |＝|BC |，即2AM ＝BC .跟踪训练2证明：如图，作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由两点间的距离公式，得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )，又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .所以△ABC 为等腰三角形．例3 【解】 显然函数的定义域为R ，y ＝(x ＋12)2＋34－ (x －12)2＋34.设P (x,0)，A (12，32)，B (－12，32)为平面上三点， 则|P A |＝(x ＋12)2＋34＝x 2－x ＋1， |PB |＝(x ＋12)2＋34＝x 2＋x ＋1. y ＝|PB |－|P A |.∵||PB |－|P A |<|AB |，且|AB |＝1，∴|y |<1，即－1<y <1，故函数的值域为(－1,1)．跟踪训练3 解：∵函数的解析式可化为y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8令A (0,1)，B (2,2)，P (x,0)，则问题转化为在x 轴上求一点P (x,0)，使得|P A |＋|PB |取最小值． ∵A 关于x 轴的对称点为A ′(0，－1)，∴(|P A |＋|PB |)min ＝|A ′B |＝4＋9＝13.即函数y ＝x 2＋1＋x 2－4x ＋8的最小值为13.课堂达标检测1. [答案] D[解析] 由⎩⎨⎧ x －22＝15－32＝y得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝1，∴|OP |＝17. 2. [答案] B[解析] |AB |＝25， |AC |＝5，|BC |＝1＋4＝5，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形．3. [答案] －1或85[解析] ∵d (A ，B )＝5，即5a 2－3a －8＝0，解得a ＝－1或a ＝85. 4.[解析] (1)∵|AB |＝20，|BC |＝80，|AC |＝100＝10，∴|AB |2＋|BC |2＝|AC |2，∴△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形．(2)∵△ABC 为直角三角形，∴其外心为斜边AC 的中点，其坐标为⎝⎛⎭⎫1－72，6＋02，即(－3,3)． 5. [解析] 设AC 与BD 交点为M (a ，b )，则M 为BD 的中点，由中点坐标公式⎩⎨⎧ a ＝92b ＝32. 又设C (x 0，y 0)，则M 为AC 的中点，∴⎩⎨⎧ 92＝2＋x 0232＝3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝7y 0＝0.∴C 点坐标为(7,0)． 6. [解析] (1)Δx ＝3－2＝1，Δy ＝－4－5＝－9.∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝82.(2)Δx ＝2＋1－(2－1)＝2，Δy ＝(3－2)－(3＋2)＝－22，∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝2 3.(3)Δx ＝a －2－(a ＋1)＝－3，Δy ＝b －b ＝0.∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝9＋0＝3.(4)Δx ＝a －a ＝0，Δy ＝3b －1－2b ＝b －1.∴d (A ，B )＝Δx 2＋Δy 2＝|b －1|.。
课件3：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， ∴△ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形． (2)由于角 A 为直角，故 S△ABC＝12|AB|·|AC|＝12×2 5× 5＝5.
题型二 构造距离公式求函数的最值(或值域) 例 2 求函数 y＝ x2＋x＋1－ x2－x＋1的值域．
解 ∵y＝
x＋122＋ 232－ x－122＋ 232.
设 P(x,0)，A12， 23，B－12， 23，
则|PA|＝ x－122＋ 232＝ x2－x＋1，
|PB|＝
x＋122＋ 232＝ x2＋x＋1.
y＝|PB|－|PA|.
由三角形三边的关系：任二边之差小于第三边．
知||PB|－|PA||<|AB|，且|AB|＝1，
∴|y|<1，即 y∈(－1,1)，
(2)解 由(1)知△ABC 是等边三角形， 所以它的三条中线长相等． ∵AB 边的中点坐标是 x＝－a2＋a＝0，y＝0， ∴AB 的中点为坐标原点 O， 又点 C 的坐标为(0， 3a)， ∴OC 是△ABC 的一条中线，它的长为|OC|＝ 3|a|， 故这个三角形的三条中线长均为 3|a|.
故函数的值域为(－1,1)
变式 2 求函数 y＝ x2＋9＋ x2－8x＋41的最小值． 解 联想到两点距离公式，由 x2＋9＝ (x－0)2＋(0＋3)2，
x2－8x＋41＝ (x－4)2＋(0－5)2， 知它们分别是 P(x,0)到 A(0，－3)、B(4,5)的距离． ∴y＝|PA|＋|PB|≥|AB|＝ 42＋(5＋3)2＝4 5， 当且仅当 A、P、B 三点共线时取“＝”， ∴ymin＝4 5.
变式 1 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1，－1)，B(－1,3)， C(3,0)． (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解 求出每两点之间的距离，再进行判断，或利用三角形面积计 算公式． (1)由已知，d(A，B)＝ (－1－1)2＋(3＋1)2＝ 20＝2 5； d(A，C)＝ (3－1)2＋(0＋1)2＝ 5， d(B，C)＝ (3＋1)3＋(0－3)2＝ 25＝5.
解析几何中平面直角坐标系方程的求法
解析几何中平面直角坐标系方程的求法几何以及物理都离不开向量、坐标系等一系列计算方法。
其中，平面直角坐标系是基本的坐标系，在解析几何中应用广泛。
平面直角坐标系的基本概念是坐标轴、坐标和坐标点，因此求平面直角坐标系的方程也是解析几何的基本内容之一。
本文将围绕着此主题展开，探讨几种求平面直角坐标系方程的方法。
一、直线的一般式在平面直角坐标系中，一般式具有形如 Ax + By + C=0 的形式。
其中，A、B、C为常数，x和y分别为平面直角坐标系中点的坐标。
这种形式可以通过斜率截距式进行转换。
斜率截距式中，一条直线方程可以写成y=kx+b的形式。
其中，k是斜率，b是截距。
在平面直角坐标系中，如果过点(x1,y1)和(x2,y2)的直线的斜率为 k, 则它的一般式为：k(x1-x2)+y2-y1=0具体地，如果 A=x1-x2, B=y2-y1, C=(-A)x1-Bx2，则一般式为Ax+By+C=0。
二、两点式两点式适用于已知通过两点的一条直线，其公式为：(y-y1)=(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1)其中，(x1, y1)和(x2,y2)是直线上两个点。
将两点式化简后，可以得到一般式。
三、截距式截距式适用于已知直线在x轴或y轴上的截距的情况。
在截距式中，直线的方程为 y=kx+b，其中b是在y轴上的截距，k是斜率。
当直线穿过点(0,b)时，截距式的形式是 y=kx+b。
当直线穿过点(b,0)时，截距式的形式为 x=ky+b。
由于直线的斜率和截距可以通过两点来表示，所以截距式也可以转换为两点式或一般式。
四、点斜式点斜式用于已知直线在坐标系中的一个点以及直线在这一点的斜率的情况。
该式子的形式为：y-y1=k(x-x1)其中，(x1, y1)是直线上的点，k是直线在该点的斜率。
类似于两点式，点斜式也可以通过化简得到一般式。
综上所述，这四种方法都是解析几何中求解平面直角坐标系方程的基本方法。
在实际应用中，应根据实际问题选择合适的方法，提高解析几何的实际应用能力。
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式课程学习目标目标重点：平面上两点间的距离公式和中点公式；目标难点：两点间距离公式的推导；［学法关键］1．领会从特殊到一般的过程来研究两点间的距离公式及中点坐标公式；2．距离公式的实质是将二维空间的长度计算问题转化为一维空间的长度计算问题。
研习点1. 两点间的距离公式1．两点A(x1，y1)，B(x2,y2)间的距离公式表示为d(A，B2．当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；当AB平行于y轴时，d(A，B)=|y2－y1|；当B为原点时，d(A，B)=求两点距离的步骤已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：（1）给两点的坐标赋值：(x1，y1)，(x2，y2).（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x=x2－x1，△y=y2－y1.（3）计算d（4）给出两点的距离d.通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离研习点2. 坐标法坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.用坐标法证题的步骤（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）； （2）设出未知坐标；（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论. 研习点3. 中点坐标公式已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。
（2）若已知点P (x ，y )，则点P 关于点M (x 0，y 0)对称的点坐标为P ’(2x 0－x ，2y 0－y ). （3）利用中点坐标可以求得△ABC （A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)）的重心坐标为12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩题型1. 公式的基本应用例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标，（1）A (－1，－2)，B (－3，－4)；（2）C (－2，1)，D (5，2).解：（1）设AB 的中点为M (x ，y )，得线段AB 的中点坐标为M (－2，－3)， AB 两点的距离d (A ，B=。
高中数学 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式 2.1.2 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标系中的基本公式数轴上的基本公式平面直角坐标系中的基本公式自主广场我夯基 我达标1.已知A(3)、B(-2)两点，则AB=_____________，|AB|=_____________.思路解析：由于AB 是向量，因此一定要用终点坐标减去起点坐标，|AB|是向量AB 的长度，因此一定要求向量AB 的数量的绝对值.AB=-2-3=-5；|AB|=|-2-3|=|-5|=5.答案：-5 52.已知点M(2，2)平分线段AB ，且A(x ，3)、B(3，y)，则x=_____________,y=_____________. 思路解析：“点M(2，2)平分线段AB”的含义就是点M 是线段AB 的中点，故可以用中点坐标公式把题意转化为方程组进行求解.∵点M(2，2)平分线段AB ，∴223,223=+=+y x ，解得x=1，y=1.答案：1 13.已知点A(5，12)，在x 轴上求一点P ，使点P 与点A 的距离等于13，则满足条件的点为___________________.思路解析：可以用方程的思想根据平面内两点间的距离公式把题意转化成方程(组)进行求解.设点P 的坐标为(x ，0)，根据题意，得22)012()5(-+-x =13，解得x 1=0，x 2=10. 答案:(0,0)或(10,0)4.已知△ABC 的三个顶点的坐标为A(3，2)、B(0，1)、C(0，3)，则此三角形的形状是_______________.思路解析：判断三角形的形状，首先要知道三角形都有哪些形状.按边分：等边三角形，等腰三角形;按角分：锐角三角形，钝角三角形，直角三角形.所以在判断三角形的形状时，既要考虑到边的情况，也要考虑到角的情况.根据本题的题设我们先要根据平面内两点间的距离公式计算三角形的边长. ∵|AB|=22)12()03(-+-=2,|AC|=22)32()03(-+-=2,|BC|=22)31()00(-+-=2,∴△ABC 为等边三角形.答案：等边三角形5.已知三角形三个顶点的坐标为A(1，1)、B(3，1)、C(2，2)，此三角形的形状是_____________.思路解析：已知三角形的三个顶点的坐标判断三角形的形状，首先要求出各边的边长，然后考查三边的长度是否满足勾股定理,从而判定三角形的形状. ∵|AB|=22)31()11(-+-=2, |AC|=2)21()21(22=-+-,|BC|=2)23()21(22=-+-,∴|AC|=|BC|.又∵AB 2=4,AC 2+BC 2=4,∴AB 2=AC 2+BC 2.∴三角形是等腰直角三角形.答案：等腰直角三角形6.已知ABCD 的三个顶点A(0，0)、B(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，则顶点C 的坐标为___________.思路解析：由于ABCD 的各顶点的顺序已经确定，因此点C 的坐标是唯一确定的.根据平行四边形的性质——对角线互相平分，再根据中点坐标公式的逆向应用，即可求出点C 的坐标. 设顶点C 的坐标为(m,n)，AC 与BD 的交点为O ，则O 为AC 和BD 的中点，根据题意，得点O 的坐标为(212x x +,212y y +). 又∵点O 为AC 的中点，∴20+m =212x x +,20+n =212y y +. 解得m=x 2+x 1,n=y 2+y 1,∴点C 的坐标为(x 1+x 2,y 1+y 2).答案：(x 1+x 2,y 1+y 2)7.判定下列各组点中，哪一个点一定位于另一个点的右侧.(1)M(2x)、N(x)；(2)A(c)、B(c+2)；(3)C(x)、D(x-a)；(4)E(x)、F(x 2).思路解析：∵(1)中的2x与x、(3)中的x与x-a、(4)中的x与x2都无法确定两个数的大小关系，而(2)中的c与c+2大小关系容易确定:c＜c+2，∴B(c+2)一定在A(c)的右侧.答案：(2).8.在数轴上求一点的坐标，使它到点A(-9)的距离等于它到点B(-3)的距离的2倍.思路解析：设所求点为C(x)，则由题意得|x-(-9)|=2·|x-(-3)|，解得x=3或x=-5.∴符合条件的点有两个:C1(3)、C2(-5).答案：C1(3)或C2(-5).9.在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解下列方程:(1)|x+3|+|x-1|=5；(2)|x+3|+|x-1|=4；(3)|x+3|+|x-1|=3.思路分析：本题中的三个小题实质上是一道题，即在数轴上求到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和分别等于5、4、3的点的坐标.解：(1)∵-3到1的距离等于4，如图所示，到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和等于5的点为C(1.5)或C(-3.5)，图2-1-(1,2)-6∴x=-3.5或x=1.5.(2)如图所示，在线段AB上的任意一点到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和都等于4，∴-3≤x≤1.(3)在数轴上找不到一点到两个定点A(-3)和B(1)的距离之和等于3，∴方程|x+3|+|x-1|=3无解.综上，(1)x=-3.5或x=1.5;(2)x∈{x|-3≤x≤1};(3)x∈∅.图2-1-(1,2)-7-，0)，B、C在y轴上，10.如图2-1-(1,2)-7，等边△ABC的顶点A的坐标为(3(1)写出B 、C 两点的坐标；(2)求△ABC 的面积和周长.思路分析：根据等边三角形的性质和题设中的条件，可利用两点间距离公式求边长,从而求出顶点B 和C 的坐标，再根据三角形面积公式和周长公式解答问题(2).解：(1)如图2-1-(1,2)-4，∵△ABC 为等边三角形，|AO|=3,∴|OC|=1,|OB|=1, 即B 、C 两点的坐标分别为B(0,-1)、C(0,1).(2)由(1)得|BC|=2,∴△ABC 的周长为6,面积为21×2×3=3. 我综合 我发展11.|x+2|+|x-3|≤a 恒成立，则a 的取值是________________.思路解析：|x+2|表示数轴上的任意一点到点A(-2)的距离，|x-3|表示数轴上的任意一点到点B(3)的距离，那么|x+2|+|x-3|表示数轴上的任意一点C(x)到点A(-2)的距离与到点B(3)的距离之和，即|AC|+|CB|≤|AB|=5.答案：512.如图2-1-(1,2)-8所示，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M,若p 、q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负实数对(p,q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是____________.图2-1-(1,2)-8思路解析：根据题中对“距离坐标”的定义，如果给出平面上的一个点，我们可以测量出它的距离坐标.本题需要逆向应用距离坐标的定义，在平面内找出符合条件“距离坐标为(1，2)的所有点”的个数.因此要把在平面内到这两条直线距离分别为1和2的点都找到，然后取它们的交集，即确定了一个点.把所有这样的点都找到便知这样的点的个数,如图所示.图2-1-(1,2)-9 答案：4 13.函数y=1342222+-++-x x x x 的最小值为______________，此时相应的x 值为______________.思路解析：将函数关系式转化成平面直角坐标系中的两点间的距离公式进行分析.转化后可以发现题意就是在x 轴上求一点，使这点到两个定点的距离之和为最小,并求最小值. y=222222)30()2()10()1(13422-+-+-+-=+-++-x x x x x x ,在x 轴上求一点，使这个点到两定点A(1，1)、B(2，3)的距离之和最小.作点A(1，1)关于x 轴的对称点C(1，-1)，则线段BC 的长度为所求最小值，即y min =|BC|=17)31()21(22=--+-，线段BC 与x 轴的交点即为所求的x 值.直线BC 的函数关系式为y=4x-5,它与x 轴的交点为(45，0)，∴x=45. 答案：1745 14.如图2-1-(1,2)-10，梯形ABCD 在平面直角坐标系中，AD∥BC ，∠ADC=90°，|AB|=|DA|+|CB|，腰DC 在x 轴上，O 是线段DC 的中点，|BO|=4，且∠BOC=60°. 求:(1)A 、B 、C 、D 各点的坐标；(2)梯形ABCD 的面积.图2-1-(1,2)-10思路分析：此题求点B 、C 、D 的坐标并不困难，难点在于求点A 的坐标，此时需要作一条辅助线，即过点A 作AE 垂直BC 于E ，然后用方程的思想求出线段AD 的长.解：(1)如图所示，过点A 作AE⊥BC 于E ，图2-1-(1,2)-11设点A 的纵坐标为y ，根据题意，得A(0,y).∵AD∥BC，∠ADC=90°，∴∠BCD=90°.又∵|BO|=4，且∠BOC=60°，∴|OC|=2，|BC|=32.∴点C 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(2,32).又∵O 为线段DC 的中点，∴|DO|=2.∴点D 的坐标为(-2,0).∴|AE|=|DC|=4，|EC|=|AD|=y ，|BE|=|BC|-|EC|=32-y. ∵|AB|=|DA|+|CB|=y+32,又∵∠BCD=90°,∴AB 2=AE 2+BE 2,即(y+32)2=42+(32-y)2.解得y=332， ∴点A 的坐标为(-2，332). (2)S 梯形ABCD =21×(332+32)×4=3316. 综上，(1)B(2,23)、C(2,0)、D(-2,0)、A(-2,332);(2) 3316. 15.已知等边△ABC 的两个顶点的坐标为A(-4，0)、B(2，0)，试求:(1)C 点的坐标；(2)△ABC 的面积.思路分析：画出图形之后，根据等边三角形的性质用方程的思想求出点C 的坐标，再根据面积公式求出△ABC 的面积.解：(1)如图所示，设点C 的坐标为(x,y)，根据题意，得|AB|=|-4-2|=6，图2-1-(1,2)-12∵△ABC 为等边三角形， ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--.6)2(,6)4(2222y x y x 解得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=-=.33,1,33,12211y x y x 因此，点C 的坐标为(-1,33)或(-1,-33).(2)S △ABC =21×6×33=39. 综上，(1)C(-1, 33)或C(-1,-33);(2)39.。
2[1].1.2平面直角坐标系中的基本公式
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解：若点C在x轴上，设C(x，0)，由
∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x+1)2+32+(x－3)2+12，
解得x=0或x=2,
若点C在y轴上，设C(0，y)，由∠ACB=90°
得|AB|2=|AC|2+|BC|2，
可得y=0 或y=4，
A(0，1)关于x轴的对称点为A’(0，－1)， ∵
(| P A | | P B |) m in | A ' B |
x 1
2
13
即函数y= 的最小值为
x 4x 8
2
13
练习题：
1． 如果一条线段的长是5个单位，它的一 个端点是A(2，1)，另一个端点B的横坐标 是－1，则端点B的纵坐标是（ C ） （A）－3 （B）5
例1. 已知A(2，－4)，B(－2，3)，求 d(A，B)。 解：x1=2，x2=－2，y1=－4，y2=3， △x=x2－x1=－4，△y=y2－y1=7，
∴ d(A，B)=
x y
2
2
65
例2．已知点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0), 求证：△ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A，B)= d(A，C)= d(B，C)=
（C）－3或5 （D）－1或3
2．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)，
(2，3)等距离，则M点的坐标是
(0, 1 2 )
.
3．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)
的距离相等，则x+y的值等于
7
.
4．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点
知识讲解_平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式【知识梳理】要点一：直线坐标系(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系． 要点诠释：一般地，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．(2)数轴上的点与实数的对应法则：P ←−−−−→一一对应实数x ． (3)记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．当x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离|OP |＝x ；当x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点的距离|OP |＝-x要点二：向量及数轴上两点间的距离公式(1)定义：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ．点A 、B 分别叫做向量AB 的起点、终点．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量．要点诠释：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标（数量）这几个概念，它们分别用AB 、||AB 、AB 来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定．(2)位移向量的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+．要点诠释：作和向量的规律特点：前一个向量的终点是下一个向量的起点(尾首相接)，而和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(首尾相连)．(3)数量和：数轴上任意三点A 、B ，C ，都具有关系AC ＝AB+BC ．要点诠释：①这个公式反映了数轴上向量加法的坐标运算法则，是解析几何的基本公式．②数轴上任意三点．A 、B 、C 都有关系AC ＝AB+BC ，但不一定有|AC |＝|AB |+|BC |，它与A 、B 、C 三个点的相对位置有关．(4)数轴上两点间的距离公式：向量的坐标计算公式：设AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则21AB x x =-．一般地，数轴上的任意一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．用d (A ，B )表示A ，B 两点的距离，可得数轴上两点A ，B 的距离公式是21()||||d A B AB x x ==-，．要点三：平面直角坐标系中两点间的距离公式平面上有两点A (1x ，1y )，B (2x ，2y ) ，则两点间的距离为d (A ，B )＝|AB |＝222121()()x x y y -+-．要点诠释：两点间的距离公式是一个很重要的公式，要熟练地掌握，记住公式的形式，对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以直接利用距离公式的特殊情况求解．要点四：中点坐标公式若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )，则线段AB 的中点M (x ，y )的坐标计算公式为122x x x +=，122y y y +=． 要点诠释：此公式的推导过程中注意把问题向数轴上转化，体现了数学上的转化思想．要点五：坐标法1．通过建立平面直角坐标系，用代数方法来解决几何问题的方法叫做坐标法，其体现的基本思想是数形结合思想．2．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系．坐标系的选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简洁．原则：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴．②对称图形，则取对称轴为x 轴或y 轴．③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴．④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来计算．【典型例题】类型一：向量及数轴上点的距离公式例1．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC+CB ＝AB ；(3)若|AB |＝5，|CB |＝3，求|AC |．【答案】（1）2（2）略（3）2或8【解析】 (1)AC ＝AB+BC ＝AB -CB ＝5-3＝2．(2)证明：设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为A x 、B x 、C x ，则AC+CB ＝(C A x x -)+(B C x x -)＝B A x x AB -=，故AC+CB ＝AB ．(3)当点C 在A 、B 两点之间时，由下图①可知|AC |＝|AB |-|BC |＝5-3＝2；当点C 在A 、B 两点之外时，由上图②可知|AC |＝|AB |+|BC |＝5+3＝8．综上所述，|AC |＝2或8．【总结升华】 向量及向量长度的计算应熟练地运用公式AB ＝B A x x -，及|AB |＝||||B A A B x x x x -=-进行求解．对于(3)要注意点B (或点C )的位置，若不确定应分类讨论．举一反三：【变式1】已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为1x a b =+，2x a b =-．求AB 、BA 、d (A ，B )、d (B ，A )．【答案】2b - 2b 2||b 2||b【解析】 21AB x x =-=()()2a b a b b --+=-，12()()2BA x x a b a b b =-=+--=，d (A ，B )＝21||2||x x b -=，d (B ，A )＝12||2||x x b -=．【变式2】 关于位移向量，下列说法正确的是 ( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB 的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值【答案】 B【解析】 一个点的坐标没有大小，每个实数对应着无数个位移向量。
平面直角坐标系中的基本公式
c 3c a 3a D ( , )， ) ，E ( , 2 2 2 2
于是|AE|=
|CD|=
c2 3c2 2 2 2 a ac a ac c 4 4
a 3 2 ( c) ( a 0)2 a 2 ac c2 2 2
所以|AE|=|CD|.
例7.求函数y= x2 1 x2 4x 8 的最小值.
2.1.2平面直角坐标系中的 基本公式
一. 两点间的距离公式
当AB不平行于坐标轴时，也不在坐标轴上时，从点A和点B 分别向x轴，y轴作垂线 AA1，AA2，BB1，BB2，垂足分别为 A1(x1，0)，A2(y1，0)，B1(0，x2)，B2(0，y2)，其中直线 BB1 和 AA2 相交于点 C。 在直角△ACB中，
4．若点M在y轴上，且和点(－4，－1)，
1 (2，3)等距离，则M点的坐标是 (0, ) . 2
5．若点P(x，y)到两点M(2，3)和N(4，5)
的距离相等，则x+y的值等于
7
.
6．已知点A(x，5)关于点C(1，y)的对称点
是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距
离是
19
。
7．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2， 5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C
x B1
两点间的距离公式
已知：A ( x1，y1 )，B ( x2 , y2 )
则AB两点间距离的公式：
d(A，B) （x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
B2 A(x1,y1)
y
B(x2,y2)
A2 A1 O
C
x B1
特别地：
当AB平行于x轴时，d(A，B)=|x2－x1|；（y2=y1）源自 x y22
平面直角坐标系中的基本公式
3．如果把相等的所有向量看成一个整体， 作为同一个向量，则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。
三. 基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A作一次
位移到点B，接着由点B再作一次位移到点 C，则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和，记作 AC AB BC 2．数量的和：对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC；
x 0 解得 y 4
所以点D的坐标是(0，4).
小结 2、两点间的距离公式d(A，B)=|AB| 2 2 （x2 x1 ) ( y2 y1 )
1、数轴上两点的距离公式d(A，B)=|x2－x1|.
A(x1,y1)
B2
B(x2,y2)
A2 O
C
x A1 B1
其中直线BB1和AA2相交于点C。
在直角△ACB中，|AC|=|A1B1|=|x2－x1|， |BC|=|A2B2|=|y2－y1|， 由勾股定理得 |AB|2=|AC|2+|BC|2=|x2－x1|2+|y2－y1|2， 由此得到计算两点间距 离的公式： d(A，B)=|AB|
3．如果点P与实数x对应，则称点P的坐标 为x，记作P(x)；
二. 向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向 量，简称向量。从点A到点B的向量，记 作 AB ，读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点，点B叫做向量的终点；
2．向量 AB 的长度：线段AB的长叫做 向量的长度，记作| AB |；
3．数量的坐标表示： 使 AB 是数轴上的任意一个向量，点 A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则AB=x2 －x1； 4．数轴上两点间的距离公式： 用d(A，B)表示A、B两点间的距离，
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2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
课程学习目标
目标重点：平面上两点间的距离公式和中点公式；
目标难点：两点间距离公式的推导；
［学法关键］
1．领会从特殊到一般的过程来研究两点间的距离公式及中点坐标公式；
2．距离公式的实质是将二维空间的长度计算问题转化为一维空间的长度计算问题。
研习点1. 两点间的距离公式
1． 两点 A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2)间的距离公式表示为d (A ，B
2． 当AB 平行于x 轴时，d (A ，B )=|x 2－x 1|；
当AB 平行于y 轴时，d (A ，B )=|y 2－y 1|；
当B 为原点时，d (A ，B
求两点距离的步骤
已知两点的坐标，为了运用两点距离公式正确地计算两点之间的距离，我们可分步骤计算：
（1）给两点的坐标赋值：(x 1，y 1)，(x 2，y 2).
（2）计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即△x =x 2－x 1，△y =y 2－y 1.
（3）计算d 22x y +.
（4）给出两点的距离d .
通过以上步骤，对任意的两点，只要给出两点的坐标，就可一步步地求值，最后算出两点的距离
研习点2. 坐标法
坐标法：就是通过建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系），将几何问题转化为代数问题，再通过一步步地计算来解决问题的方法.
用坐标法证题的步骤
（1）根据题设条件，在适当位置建立坐标系（直线坐标系或者是直角坐标系）；
（2）设出未知坐标；
（3）根据题设条件推导出所需未知点的坐标，进而推导结论.
研习点3. 中点坐标公式
已知A (x 1，y 1),B (x 2，y 2)两点，M (x ，y )是线段AB 的中点，则有1212
22
x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
（1）两点间线段的中点坐标是常遇到的问题，中点法也是数形结合中常考察的知识点，这一思想常借助于图象的线段中点特征加以研究，确定解题策略。
（2）若已知点P (x ，y )，则点P 关于点M (x 0，y 0)对称的点坐标为P ’(2x 0－x ，2y 0－y ).
（3）利用中点坐标可以求得△ABC （A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)）的重心坐标为
123123
33x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩
题型1. 公式的基本应用
例1.求下列两点的距离及线段中点的坐标，
（1）A (－1，－2)，B (－3，－4)；（2）C (－2，1)，D (5，2).
解：（1）设AB 的中点为M (x ，y )，得线段AB 的中点坐标为M (－2，－3)， AB 两点的距离d (A ，B
=。
（2）设CD 的中点为N (x ，y )，得线段CD 的中点坐标为N (23，2
3)， AB 两点的距离d (C ，D
=
例2． 已知点A (－1，3)，B (3，1)，点C 在坐标轴上，∠ACB =90°，则满足条件的点C 的个数是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
解：若点C 在x 轴上，设C (x ，0)，由∠ACB =90°，得|AB |2=|AC |2+|BC |2，
∴ (－1－3)2+(3－1)2=(x +1)2+32+(x －3)3+12，解得x =0或x =2,
若点C 在y 轴上，设C (0，y )，由由∠ACB =90°，得|AB |2=|AC |2+|BC |2，可得y =0 或y =4，而其中原点O (0，0)计算了两次，故选C .
题型2. 公式的逆用
例3. 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标.
解：设点P 的坐标为P (x ，0)，由d (P ，A )=1010=，解得x =11或x =－5，∴点P 的坐标为(11，0)或(－5，0).
例4．△ABD 和△BCE 是在直线AC 同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE |=|CE |. 证明：如图，以B 点为坐标原点，取AC 所在的直线为x 轴建立直角坐标系.
设△ABD 和△BCE 的边长分别为a 和c ，
则A (－a ，0)，D ()22
a -，
E (,)22
c ，C (c ，0)，于是
|AE =
|CD = 所以|AE |=|CD |.
例5．已知△ABC 的顶点为A (－1，3)，B (3，－2)，C (2，4)，求BC 边上的中线AM 的长.
解：设点M 的坐标为M (x ，y )，因为点M 是线段BC 的中点，所以x =
2
5，y =1，即M
点的坐标为(25，1)，由两点间的距离公式得|AM 2=.
因此，BC 边上的中线AM
【教考动向·演练】 1． 如果一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A (2，1)，另一个端点B 的横坐标是－1，则端点B 的纵坐标是（ C ）
（A ）－3 （B ）5 （C ）－3或5 （D ）－1或3
2．设A (1，2)，在x 轴上求一点B ，使得|AB |=5，则B 点的坐标是（ D ）
（A ）(2，0)或(0，0) （B ）(10)
（C ）(10) （D ）(1+0)或(10)
3．若x 轴上的点M 到原点及点(5，－3)的距离相等，则M 点的坐标是（ D ）
（A ）(－2，0) （B ）(1，0) （C ）(1.5，0) （D ）(3.4，0)
4．若点M 在y 轴上，且和点(－4，－1)， (2，3)等距离，则M 点的坐标是(0，－
21). 5．若点P (x ，y )到两点M (2，3)和N (4，5)的距离相等，求x +y 的值.x +y =7
6．设D 为△ABC 的边BC 上的一点，而BD =2DC ，求证：|AB |2+2|AC |2=3|AD |2+6|CD |2.
例6． 求函数y =.
.
令A (0，1)，B (2，2)，P (x ，0)，则问题转化为在x 轴上求一点P (x ，0)，使得|PA |+|PB |取最小值.
A (0，1)关于x 轴的对称点为A ’(0，－1)，
∵
min (||||)|'|PA PB A B +==.
即函数y
=
例7．已知正方形ABCD 的三个顶点坐标是A (2，3)，B (6，6)，C (3，10)，求顶点D 的坐标。
解：设正方形的中心坐标为(a ，b )，由中点坐标公式得a =25，b =132
再设D 点的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得652261322
x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得17x y =-⎧⎨=⎩ 所以所求的D 点的坐标为(－1，7).
【教考动向·演练】
7． 点A 在第三象限，点A 到x 轴的距离为4，点A 到y 轴的距离是3，那么点A 的坐标是（ B ）
（A ）(4，3) （B ）(－3，－4) （C ）(3，4) （D ）(－4，－3)
8．已知点A (x ，5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是（ D ）
（A ）4 （B
（C
（D
9．已知△ABC 的两个顶点A (3，7)，B (－2，5)，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，则C 点的坐标是（ D ）
（A ）(－2，－7) （B ）(－3，－7)或(2，－5)
（C ）(3，－5) （D ）(2，－7)或(－3，－5)
10． 已知A (1，2)，B (－3，b )两点间的距离等于42，则b =6或－2.
11．求证：A (2，－5)，B (6，1)，C (5，－2
1)三点不能成为三角形的三个顶点.。