广东省高中数学---立体几何复习资料(文)

广东省高中数学---立体几何复习资料（文）4. 如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A ．433 B. 423 C ．36D. 83【答案】A13．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高h= ．【答案】cm 89．如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）（A ）34（B ）54（C ）74(D)34【答案】D【解析】连结1A D ，AD ，易知1A AB ∠为异面直线AB 与1CC 所成的角,则113cos cos cos 4A AB A AD DAB ∠=∠∠=，故选D ；6．已知直线l m n ，，及平面α，下列命题中是假命题的是A ．若l ∥m ,m ∥n ,则l ∥n ；B ．若l ∥α，n ∥α，则l ∥n .C ．若l m ⊥，m ∥n ，则l n ⊥；D ．若,l n α⊥∥α，则l n ⊥；【答案】B5．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为A ．433B ．43C ．8D ．12【答案】C11.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积．．．为 .【答案】12π12．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 ．【答案】π639. 已知某个几何体的三视图如图（俯视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：㎝），可得这个几何体的体积是（ ）cm 3。

A. πB.π2C. π4D.4 【答案】A4．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 【答案】D【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D7．已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3,4,x ，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的表面积为125π 则x 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10 【答案】D【解析】因为球的半径为Ｒ＝2252x +，所以有10,125)225(422==+x x 所以ππ⒐如图1是某个正方体的侧面展开图，1l 、2l 是两条侧面对角线，则在正方体中，1l 与2lA ．互相平行B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为3πD ．相交且夹角为3π【答案】D9．有一个几何体的三视图如下，外轮廓是边长为1的正方形，则该几何体的体积为A ．16B ．12C ．56D ．13 【答案】C【解析】该几何体是正方体削去一个角，体积为1－16＝569．某个锥体（图1）的三视图如图根所示，据图中标出的尺寸，这个锥体的侧面积S= A ．6 B ．π132 C ．π136+ D ．π1326+【答案】C7．已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题：() ①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,；②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂； ③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交；④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂其中正确的命题是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④【答案】B 11．已知一个空间几何体的三视图如右图所示，它们是半径为4 的半圆或圆，则该几何体的表面积为 。

【答案】32π4．三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示, 则这个三棱柱的全面积等于A ．1242+B ．622+C ．842+D ．4【答案】A】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ABCD ⊥底面，且22PA PD AD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD . （3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.【答案】（1）证明：连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA ， …………2分且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD …………4分 （2）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD=AD ， 又CD ⊥AD ，所以，CD ⊥平面PAD ，…………7分 又CD ⊂平面PDC ，∴平面PAD ⊥平面PDC. …………8分FABCPDE(3) 222PA PD AD ===,222PA PD AD ∴+=,21,(2)1,2PAD PA PD S ∆∴⊥==…………10分又由（2）可知CD ⊥平面PAD ，CD=2，…………11分1212,33P ADC C PAD V V --∴==⨯⨯=…………13分 2422.33P ABCD P ADCV V --∴==⨯=…………14分18. （本小题满分14分）如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =,14AA =，点D 是AB 的中点，（1）求证：1AC BC ⊥； （2）求证：11CDB //平面AC ； （3）求三棱锥11C CDB -的体积。

【答案】解 ：（1）直三棱柱111ABC A B C -，底面三边长3AC =，4BC =， 5AB =,222AB AC BC ∴=+，∴ AC BC ⊥1AC CC ∴⊥，又1,BC CC C =1111,AC B BC BCC B ∴⊥⊂1平面BCC 平面，∴1AC BC ⊥ …………5分（2）设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ，∵D 是AB 的中点，E 是1C B 的中点，1,DE AC ∴ 11111,,DE CDB AC CDB AC CDB ⊂⊄∴ 平面平面平面。

……1,,CC ABC AC ABC ⊥⊂ 平面平面10分（3）1111111111344432322C CDBD B C C B C C V V S AC --⎛⎫==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ………14分 18．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E .F为PC 中点。

(1)求证：AE ∥平面PBC ；(2)求证：AE ⊥平面PDC.【答案】(1)证明:连接EF, 中点为PD E .F 为PC 中点,则EF ∥CD ，EF=21DC, 因为AB ∥CD ，AB=21DC ，所以有EF ∥AB 且EF=AB,则四边形ABFE 是平行四边形.所以AE ∥BF,因为AE 不在平面PBC 内,BF 在平面PBC 内,所以AE ∥平面PBC.（8分）(2) 因为AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD,所以CD ⊥平面PBC ，BF 在平面PBC 内,CD ⊥BF.△PBC 为正三角形,BF ⊥PC,又PC ⋂CD=C,PC 、CD 在平面PDC 内，所以BF ⊥平面PDC ，又AE ∥BF,所以AE ⊥平面PDC. （14分）19．(本小题满分14分)如图所示，圆柱的高为2,PA 是圆柱的母线， ABCD 为矩形, AB=2，BC=4， E 、F 、G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点。

（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）求证：PB//面EFG ；（3）在线段BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面PAM 的距离为2？若存在，求出BM ；若不存在，请说明理由。

【答案】证明（1）∵PA 是圆柱的母线，∴PA ⊥圆柱的底面。

……………………………………1分∵CD ⊂圆柱的底面，∴PA ⊥CD 又∵ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD而AD PA=A ，∴CD ⊥平面PAD ………………………………………3分 又CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD 。

………………………………………4分 （2）取AB 中点H ，连结GH ，HE ， ∵E ，F ，G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点， ∴GH//AD//EF ，∴E ，F ，G ，H 四点共面。

……………………… ………………………6分 又H 为AB 中点，∴EH//PB 。

……………………… ………………………7分 又⊂EH 面EFG ，⊄PB 平面EFG ，∴PB//面EFG 。

……………………… ………………………9分 （3）假设在BC 上存在一点M ，使得点D 到平面PAM 的距离为2，则以∆PAM 为底D 为顶点的三棱锥的高为2，连结AM ，则AM=22AB BM +=222BM +，由（2）知PA ⊥AM ∴S ∆PAM =2221122422PA AM BM BM∙=⨯+=+∴V D —PAM =123PAM S ∆∙∙=13∙242BM +∙=2243BM+……………………11分∵1142422AMD S AD AB ∆=∙=⨯⨯=∴11842333P AMD AMD V S PA -∆=∙=⨯⨯= …………………12分∵V D —PAM =P AMD V - ∴2243BM+=83解得：23BM =∵234<∴在BC 上存在一点M ，当23BM =使得点D 到平面PAM 的距离为2。

. …………14分 18．（本小题满分13分）如图1，在正三角形ABC 中，AB=3，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，AE=CF=CP=1。

将AFE ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使平面1A EF 与平面BCFE 垂直，连结A 1B 、A 1P （如图2）。

（1）求证：PF//平面A 1EB ；（2）求证：平面BCFE ⊥平面A 1EB ；（3）求四棱锥A 1—BPFE 的体积。

【答案】（1）证明：在正三角形ABC 中∵PC=FC ∴AF=BP BPPC AFCF ＝∴∴PF//ＢＥ又EB A BE EB A PF 11平面，平面⊂⊄ PF ∴//EB A 1平面…………4分 （2）1CF AE == 2AF =∴ 360cos 212-41EF =⨯⨯⨯+=∴︒222AF AE EF+= AB EF ⊥∴ 即E A EF 1⊥又EF BPFE EF A BPFE EF A =⋂⊥平面且平面平面平面,1BPFE E A 平面⊥∴1 EB A E A 11平面⊂ ∴平面BCFE ⊥平面A 1EB ……...9分（3）由（2）知BPFE E A 平面⊥1且E A EF 1⊥3233)21(21=⨯+⨯=∴BPFE S231323311=⨯⨯=∴-BPFE A V ………………13分⒙（本小题满分14分）如图5，已知四棱柱1111D C B A ABCD -的俯视图是边长为3的正方形，侧视图是长为3宽为3的矩形．⑴求该四棱柱的体积；⑵取1DD 的中点E ，证明：面⊥BCE 面11A ADD ．【答案】⑴依题意，四棱柱的底面是矩形，侧面11A ABB 与底面垂直，过1A 作底面垂线的垂足是AB 的中点，四棱柱的体积h S V ABCD ⨯=……2分，h AD AB ⨯⨯=……3分，332⨯⨯=……5分，36=……6分⑵连接1CD ，依题意1CDD ∆是正三角形……8分，所以1DD CE ⊥……9分， 又⊥AD 面11C CDD ……10分，⊂CE 面11C CDD ，所以CE AD ⊥……11分， 因为D DD AD =1 ，所以⊥CE 面11A ADD ……12分， 因为⊂CE 面BCE ，面⊥BCE 面11A ADD ……14分． 18．(本小题满分14分)如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，12BB =，M 是线段11B D 的中点．(1)求证：//BM 平面1D AC ； (2)求三棱锥11D AB C -的体积．【答案】解：（1）连结1D O ，如图，∵O 、M 分别是BD 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形， ∴四边形1D OBM 是平行四边形， ∴1//D O BM ． --------2分 ∵1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ， ∴//BM 平面1D AC ．-------------------6分（2）解法1 连结1OB ，∵正方形ABCD 的边长为2， 12BB =，∴1122B D =，12OB =，12D O =，则2221111OB D O B D +=，∴11OB D O ⊥． --------------------------------------------------------8分 又∵在长方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1AC D D ⊥，且1BD D D D = ， ∴AC ⊥平面11BDD B ，又1D O ⊂平面11BDD B ， ∴1AC D O ⊥，又1AC OB O = ，∴1D O ⊥平面1AB C ，即1D O 为三棱锥11D AB C -的高． ----------10分 ∵11112222222AB C S AC OB ∆=⋅⋅=⨯⨯=，12D O = ∴11111142222333D AB C AB C V S D O -∆=⋅⋅=⨯⨯=． --------------------------------14分解法2： 三棱锥11D AB C -是长方体1111ABCD A B C D -割去三棱锥1D DAC -、三棱锥1B BAC -、三棱锥111A A B D -、三棱锥111C C B D -后所得，而三棱锥1D DAC -、1B BAC -、111A A B D -、111C C B D -是等底等高，故其体积相等．11111114D AB C ABCD A B C D B BAC V V V ---∴=-1142222242222323=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=．18．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为4的正方形， PD ABCD ⊥平面，6,,PD E F =分别为,PB AB 中点。