北大理论力学课件第七章 刚体的平面运动
合集下载
理论力学-刚体的平面运动
表示为
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60
vD
60
ω
O
vB
ψ
B
x
vB = vA+ vBA
其中vA的大小 vA=R ω 。
vBA
例题
刚体的平面运动
由速度合成矢量图可得
例 题 3
vA
y
A
vA
vA vBA vB π π sin( ) sin( ) sin( ) 2 2
ω
O
所以
vB vA
y
π 2 π 2
ω
O φ
A B
刚体的平面运动
作业 9-1
曲柄连杆机构如图所 示，OA= r ， AB 3r 。如 曲柄 OA 以匀角速度 ω 转动， A ω
求当 60，0 和 90 时点 B的速度。 B
刚体的平面运动
vA
ω
作业 9-1
解：
A vA vB
基点法
连杆AB作平面运动，以A为基点，B点
sin( ) sin( ) R cos cos
例题
刚体的平面运动
例 题 4
在图中，杆 AB 长 l ，
B
滑倒时 B 端靠着铅垂墙
壁。已知 A点以速度u沿 水平轴线运动，试求图
ψ u
A
示位置杆端 B 点的速度 及杆的角速度。
O
例题
刚体的平面运动
解： 基点法
B ω A
60
C D
60
E
例题
刚体的平面运动
解 ： 基点法
例 题 2
vDB
B ω A
60
C
vB
60
vD
60
理论力学7—刚体的平面运动
A
[vB ]AB [v A ]AB
平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影( 大小和方向)相等。这就是速度投影定理。
例7-3 用速度投影定理解例1。 解：由速度投影定理得 vB
[vB ]AB [v A ]AB
B
vA cos30 vB cos60
解得
30°
vA
A
vB 10 3 cm s
0
O
I
vCA与vA方向一致且相等， 点C的速度
vC vA vCA 2vA
7.2 平面图形上各点的速度
7.2.2 投影法
vB v A vBA
vBA
vB vA
B
将两边同时向AB方向投影:
[vB ]AAB，因 此[vBA]AB=0。于是
M
x
xO f1 (t ), yO f2 (t ), f3 (t )
这就是刚体的平面运动方程。
运动分解
y S O' O M
x
如果O'位置不动，则平面图形此时绕轴O'做定 轴转动； 如果O'M方位不变，则平面图形做平移。因此刚 体的平面运动包含了平移和定轴转动两种情况。 但能不能说平移和定轴转动是刚体平面运动的特 殊情况呢? 不能！
M
7.1 刚体平面运动的描述 而垂直于图形S的任 一 条 直 线 A1A2 必 然 作平移。 A1A2 的 运 动 可 用 其与图形S的交 点A的运动来代 替。无数的点A 构成了平面S。
A1 N A S
A2
M
因此，刚体的平面运动可以简化为平面图 形S在其自身平面内的运动。
刚体的平面运动方程 平面图形S在其平面上的位 y 置完全可由图形内任意线段 S O'M的位置来确定，而要确 定此线段的位置，只需确定 O' 线段上任一点O'的位置和线 段O'M与固定坐标轴Ox间的 O 夹角 即可。点O'的坐标和 角 都是时间t的函数，即
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
理论力学第7章 刚体平面运动
基础部分——运动学第7 章刚体平面运动连杆作什么运动呢？行星齿轮机构行星轮作什么运动？第7章刚体平面运动运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离保持不变刚体上任一点都在与某一固定平面平行的平面内运动沿直线轨道滚动的车轮机械臂小臂的运动平面运动的刚体在自身平面内运动的平面图形SxyOxyOASIIxyOA SII平面图形上任一线段的位置位置x Ay AϕB )(1t f x A =)(2t f y A =)(3t f =ϕ平面运动平移+ 转动xyOASIIxAyAϕB基点⇒O ′O O ′O O ′O′三种运动?平面运动基点平移基点转动注意：平移动系不一定固结与某一实际刚不一定固结与某一实际刚体。
O ′xyO平移动系O'x'y'x ′y ′O ′基点推广结论：刚体的平面运动可以分解为随基点的平移和绕基点的转动问题一：x yOA SIIx Ay AϕB问题二：随基点的平移与基点的选择有无关系绕基点的转动与基点的选择有无关系结论：同一瞬时平面图形绕任一基点转动的ω、α都相同。
动点re a 点的速度合成定理SAv ωABB v A v ?=B v x ′y ′基点BA v 三种运动？大小? 方向?BAA B v v v +=AωA Av BAv Bv平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
SAv ωABAv BAv Bv BAA B v v v +=试一试：基点法作平面运动。
[例7-1] 曲柄—滑块机构解：转动。
r 3ABOωϕAv Bv BAv 基点大小方向?AvBA3ABOωϕAv B v BAv Av ABω转向？= v 滑块Bϕ大小方向A 32SAv ωAB Av BAv Bv 平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影（大小和正负号）相等。
速度投影定理[][]ABA AB B v v =[]ABBA vr 3再分析例7-1ABOωϕAv Bv Bv解：请比较两种方法A 32如何解释这种现象？观察到了什么现象？[先看一照片]若选取速度为零的点作为基点，则求解速度问题•基点法•速度投影法优点：缺点:优点：缺点:SAv ωAv BAv Bv AA 为基点B有没有更好的方法呢？Aω0≠ω唯一存在AL ′证明:MAA M v v v +=SA v v MAv LMPωAv PA =∴0=⋅−=ωPA v v A P ∵该瞬时瞬时速度中心速度瞬心唯一性：瞬时性：不共线，故速度均不为零。
《刚体的平面运动 》课件
评估控制系统的性能。
鲁棒性分析
分析控制系统对参数变化和外部干扰的鲁棒 性表现。
05
刚体的平面运动的展望
刚体的平面运动的发展趋势
理论研究的深入
随着数学和物理学理论的不断发展，人们对刚体的平面运动的理 解将更加深入，这有助于推动相关领域的研究和应用。
航空航天领域
在航空航天领域，刚体的平面运动对于飞行器的姿态调整和机动性有着 至关重要的作用，未来随着空间探索的深入，其应用前景将更加广阔。
03
医疗器械
刚体的平面运动在医疗器械领域也有着广泛的应用，例如在手术机器人
中用于精确控制手术器械的动作，提高手术的精度和安全性。
刚体的平面运动的挑战与机遇
挑战
刚体的平面运动的研究和应用面临着 一些挑战，如精确控制、稳定性、复 杂环境下的适应性等问题，需要不断 探索和创新来解决。
自动化生产线
刚体的平面运动在自动化生产线中起到关键作用， 如传送带、机器人手臂等。
机械设备的维护和检修
刚体的平面运动在机械设备的维护和检修中也有应 用，如对机械设备进行定位和调整。
航空航天中的应用
飞机起降系统
刚体的平面运动在飞机起降系统中起 到关键作用，如飞机滑行、转向等。
航天器对接
航空航天器的制造和测试
刚体的平面运动的重要性
实际应用
刚体的平面运动在实际生活中广泛存 在，如机械设备的运作、车辆的行驶 等。
理论意义
刚体的平面运动是刚体运动的基础， 对于理解更复杂的刚体运动形式具有 重要意义。
刚体的平面运动的基本原理
平移原理
刚体在平面内沿直线进行平移时，其上任意一点都沿着该直线进行等距离的移 动。
旋转原理
详细描述
在实际的物理问题中，刚体往往不会只进行平动或转动，而是同时进行这两种运动。这种复杂的平面运动形式通 常包括椭圆运动、抛物线运动等。这种复杂的运动形式通常需要综合考虑平动和转动的共同作用，以确定刚体的 最终运动轨迹。
鲁棒性分析
分析控制系统对参数变化和外部干扰的鲁棒 性表现。
05
刚体的平面运动的展望
刚体的平面运动的发展趋势
理论研究的深入
随着数学和物理学理论的不断发展，人们对刚体的平面运动的理 解将更加深入，这有助于推动相关领域的研究和应用。
航空航天领域
在航空航天领域，刚体的平面运动对于飞行器的姿态调整和机动性有着 至关重要的作用，未来随着空间探索的深入，其应用前景将更加广阔。
03
医疗器械
刚体的平面运动在医疗器械领域也有着广泛的应用，例如在手术机器人
中用于精确控制手术器械的动作，提高手术的精度和安全性。
刚体的平面运动的挑战与机遇
挑战
刚体的平面运动的研究和应用面临着 一些挑战，如精确控制、稳定性、复 杂环境下的适应性等问题，需要不断 探索和创新来解决。
自动化生产线
刚体的平面运动在自动化生产线中起到关键作用， 如传送带、机器人手臂等。
机械设备的维护和检修
刚体的平面运动在机械设备的维护和检修中也有应 用，如对机械设备进行定位和调整。
航空航天中的应用
飞机起降系统
刚体的平面运动在飞机起降系统中起 到关键作用，如飞机滑行、转向等。
航天器对接
航空航天器的制造和测试
刚体的平面运动的重要性
实际应用
刚体的平面运动在实际生活中广泛存 在，如机械设备的运作、车辆的行驶 等。
理论意义
刚体的平面运动是刚体运动的基础， 对于理解更复杂的刚体运动形式具有 重要意义。
刚体的平面运动的基本原理
平移原理
刚体在平面内沿直线进行平移时，其上任意一点都沿着该直线进行等距离的移 动。
旋转原理
详细描述
在实际的物理问题中，刚体往往不会只进行平动或转动，而是同时进行这两种运动。这种复杂的平面运动形式通 常包括椭圆运动、抛物线运动等。这种复杂的运动形式通常需要综合考虑平动和转动的共同作用，以确定刚体的 最终运动轨迹。
理论力学07刚体的平面运动
\AB vBA / AB l /l （ ）
22
速度投影法 研究AB, vA l ,
方向OA, vB方向沿BO直线
根据速度投影定理 vB AB vA AB
vA vB sin \vB vA / sin
l / sin 45o 2l()不能求出 AB
即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时
图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等．
26
加速度瞬心的确定．
将任一点加速度
和 aA，由方程
aA
分解为两个正交分量 aτA+anA
aAn
aB
aA
aBA
a
n BA
要使 aB 0 ，必须 aAn aBAn
a
A
a
BA
点A的加速度 aA 等值反向，其绝对加速度 aQ 0
Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心．
[注] 一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点． 一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关
系式. 即一般情况下,图形上任意两点A, B的加速度
aA AB aB AB
若某瞬时图形 =0, 即瞬时平动, 则有 aAAB aB AB
指向与 转向一致．
根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
vB vA vBA
13
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕 基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，
也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．
二．速度投影法
由于A, B点是任意的，因此 vB vA vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系．由于恒有 vBAAB ，因此将上式在AB
《刚体的平面运动 》课件
刚体的平面运动速度和加速度是描述 刚体在平面内运动的物理量，分别表 示刚体在单位时间内移动的距离和速 度的变化率。
刚体的平面运动速度和加速度对于分 析刚体的动力学特性和稳定性具有重 要意义。
刚体的平面运动速度和加速度可以通 过求解平面运动方程得到，也可以通 过测量或实验获得。
03
刚体的平面运动中的力与力矩
的转动惯量不同。
转动惯量的应用
在刚体的平面运动中，转动惯量 用于描述刚体的转动状态，是计 算角速度、角加速度等物理量的
基础。
04
刚体的平面运动的实例分析
滑轮的运动分析
滑轮的转动惯量
计算滑轮的转动惯量，了解其与刚体平面运动的关系。
滑轮的角速度和角加速度
分析滑轮的角速度和角加速度，理解刚体平面运动的动态特性。
4. 使用摄像机记录运动轨迹时，注意 调整拍摄角度和光线条件。
实验结果与数据分析
实验结果
通过摄像机记录的刚体运动轨迹，可以观察到刚体的平面运动规律。例如，当施加的外力矩恒定时，刚体会绕固 定点做圆周运动；当外力矩变化时，刚体的运动轨迹也会发生变化。
数据分析
根据实验结果，可以计算出刚体的运动轨迹方程、角速度、线速度等参数，并分析这些参数与外力矩之间的关系 。通过对比理论值与实验值，可以验证刚体平面运动的规律。同时，还可以分析实验误差产生的原因，提高实验 的精度和可靠性。
力对刚体平面运动的影响
力的定义
力是物体之间的相互作用，表示为矢量，具有大小和方向。
力的作用效果
力可以改变物体的运动状态，包括速度大小、方向和加速度大小 、方向。
力的分解与合成
力在平面内可以分解为水平和垂直两个分量，两个力等效于它们 的合力。
力矩对刚体平面运动的影响
理论力学7—刚体的平面运动2
vC
vC C C 2 w BC
3 rw 3
习题7-12 图示小型精压机的传动机构，OA＝ O1B＝r＝0.1m，EB＝BD＝AD＝l＝0.4 m，在 图示瞬时OA⊥AD，O1B⊥ED，O1D在水平位 置，OD和EF在铅直位置。已知曲柄OA的转速 n＝120 rpm，求此时压头F 的速度。
a C O r r
t
w
O
vO
n aCO
aO aO
aO r
vO r
aO
2
t aCO
C
aCO rw
n 2
r(
)
2
vO r
w
vO r
,
aO r
a C O a O , a C O vO / r
t n 2
取如图的投影轴, 将各矢量 投影到投影轴上得
y
aCx aO aCO 0
A2 A4
vA2
A1
v A 3 2 rw 2 v
2 rw 2v
例7-7 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r， 以匀角速度w 转动，AB = BC = BD = l，当曲柄 与水平线成30º 角时，连杆AB处于水平位置，而 肘杆DB与铅垂线也成30º 角。试求图示位置时， 杆AB、BC的角速度以及冲头C 的速度。 解：连杆AB作平面运动，瞬 D 30º 心在点C1，则
7.2.3 求平面图形上各点速度的瞬心法
设有一个平面图形S角速度 vCA 为 w ，图形上点A的速度为 N vA 。在vA 的垂线上取一点C S C (由vA 到AC的转向与图形的 vA 转向一致)，有 vC v A w A C A 如果取AC＝ vA /w ，则 w vA vC v A w A C 0
理论力学课件 刚体平面运动的加速度分析
= aBt A = AB
16
rad
s2
6-3 刚体平面运动的加速度分析
刚体平面运动的加速度分析解题步骤
1、速度分析：首选速度瞬心法（不选择速度投影法），求 平面运动刚体的角速度。 2、加速度分析：基点法。弄清点的运动是直线还是曲线。 （直线1项；曲线2项），画加速度分析图。未知加速度方向 可以假设。法向加速度方向确定。 3、利用投影式求未知加速度。
a 加速度矢量式能求解两个未知数。欲求一未知， 将加速度矢量式向另一未知的垂直方向投影。 b 投影时应按加速度矢量式公式的原始形式逐项进 行投影,与坐标轴的指向一致为正,相反为负。
4 速度瞬心的加速度≠0, 因而速度瞬心法不能用于求加速度。
思考：已知图示机构中两个滑块的速度方向，试确定图示 瞬时铰链C的速度方向和各杆角速度的转向。v A ⊥ AC
D 30º
P1
ωAB
B
vB
C
vC
ωBC
P2
速度小结
速度分析
1、基点法 vvB = vvA + vvBA
vBA = AB ⋅ ω
2、速度投影法
[vvB
] AB
=
[vvA
] AB
3、速度瞬心法
vB = ω ⋅ BP
基点法：即可求速度，也能求角速度，但计算烦琐。
速度投影法：求速度方便，但不能求角速度。 速度瞬心法：求速度和角速度方便，应为首选。
解：连杆AB作平面运动，瞬心在P1点，则
ω AB
=
vA AP1
=
rω =
AB cos 30°
2
3rω
3l
vB = BP1 ⋅ωAB = AB sin 30° ⋅ωAB
= 3 rω
16
rad
s2
6-3 刚体平面运动的加速度分析
刚体平面运动的加速度分析解题步骤
1、速度分析：首选速度瞬心法（不选择速度投影法），求 平面运动刚体的角速度。 2、加速度分析：基点法。弄清点的运动是直线还是曲线。 （直线1项；曲线2项），画加速度分析图。未知加速度方向 可以假设。法向加速度方向确定。 3、利用投影式求未知加速度。
a 加速度矢量式能求解两个未知数。欲求一未知， 将加速度矢量式向另一未知的垂直方向投影。 b 投影时应按加速度矢量式公式的原始形式逐项进 行投影,与坐标轴的指向一致为正,相反为负。
4 速度瞬心的加速度≠0, 因而速度瞬心法不能用于求加速度。
思考：已知图示机构中两个滑块的速度方向，试确定图示 瞬时铰链C的速度方向和各杆角速度的转向。v A ⊥ AC
D 30º
P1
ωAB
B
vB
C
vC
ωBC
P2
速度小结
速度分析
1、基点法 vvB = vvA + vvBA
vBA = AB ⋅ ω
2、速度投影法
[vvB
] AB
=
[vvA
] AB
3、速度瞬心法
vB = ω ⋅ BP
基点法：即可求速度，也能求角速度，但计算烦琐。
速度投影法：求速度方便，但不能求角速度。 速度瞬心法：求速度和角速度方便，应为首选。
解：连杆AB作平面运动，瞬心在P1点，则
ω AB
=
vA AP1
=
rω =
AB cos 30°
2
3rω
3l
vB = BP1 ⋅ωAB = AB sin 30° ⋅ωAB
= 3 rω
理论力学刚体的平面运动
A的速度为
vA vO vAO 2vO
B的速度为
vB vO2 vBO2 2vO
同理，可得D的速度为
A
vDO
vD
D vO O
vO
vAO
vA
vO B vO
vCO
C
vBO vO
vB
vD 2vO
9.3.2 速度投影法
应用矢量投影定理，将该矢量式 vB vA vBA向
AB连线投影 。
vA cos vB cos
结论：刚体的平面运动可以 简化为平面图形S 在其自身 平面内的运动。
9.1.3 刚体的平面运动方程
在平面图形S内建立平面直角坐标系Oxy，为确定
平面图形 S 在任意瞬时 t 的位置，只须确定其上任意
线段 AB 的位置，而线段 AB 的位置可由点 A 的坐标
xA，yA 和线段 AB 与 x 轴（或 y 轴）的夹角j 来确定。
9.1.2 平面运动的简化
⑴ 作平面Ⅱ∥定平面Ⅰ且与 刚体相交成一平面图形S 。当刚体 运动时，平面图形S 始终保持在平 面Ⅱ内。平面Ⅱ称为平面图形S 自 身所在平面。
⑵ 在刚体上任取⊥平面图形S 的直线A1A2 ， A1A2 作平动，其上各 点都具有相同的运动。
⑶ A1A2 和图形S 的交点 A 的运动可代表全部A1A2 的运动， 而平面图形S 内各点的运动即可代表全部刚体的运动。
[vB ]AB [v A ]AB
（9-3）
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在 这两点连线上的投影相等。速度投影定理是刚体上任 意两点间的距离保持不变的必然结果。适用于任何形 式的刚体运动。
应用速度投影定理求速度的方法称为速度投影 法。
例9-4 用速度投影法求例9-1中点B的速度。
理论力学7—刚体的平面运动共99页PPT
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
理论力学7—刚体的平面运动
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r
aM a Mx a My
2 2
x: aMx= aC+ aMCt sin q +aMCn cos q ； y: aMy= aMCt cos q aMCn sin q ； 讨论：1.求M1的加速度; q0;
a ( aC v
2 C 2
aM2n
M2
) a ;
2 C
tan f
aC aC v
牵连运动为平动,加速度式； t n t n ae= ac=0.2 m/s2; a a a a a ;
a a e r r
arn=
v2
r
/R=2.4m/s2
; aan= 20A 0A=0.4m/s2 ;
aat aan
600
0A y
ac
x:–aat= acsin300+arn ; aat=–2.5 m/s2 ;
τ
AB: aBtcos f – aBn sin f aAn sin f ； y: aBn = aABt cosf +aAn ；
aABt=688.5 ；
R
AB= – aABt/ l= –17.2 1/s2 ;
B= –aBt/ r= –17.2 1/s2 ;
理论力学
t n t n t n a B a B a A a A a AB a AB ;
2. x’=c1 ； y’=c2 ； f=f3(t) ；
y y’ S x’ A x B
定轴转动。
B y S A
f – f ’=q
f
q` A' f’
B'
x
v 0' x
v 0' y
dx 0' dt
dy 0' dt
0
f
' 1
( t );
平动。
df dt
df dt
,
f
' 3
( t );
基点法(合成法) aABt=*AB; aABn=2*AB;
a AB
τ
aB个 aABt
aA
垂直AB； 指向A；
τ AB
aA
ω α
4 2
aABF B n aAB
(a
a AB a AB
n
n AB
) (a
2
) AB
2
A
tan f
2
aAB=ar; aA=ae; aB=aa; 1.瞬时状态； 2.可解二个未知量 (大小，方向。
4 AB
v AB x y
2 2
( v1 y v 2 x ) (x y )
2 2
v AC
a cos q
AB ;
xa x v1 ay x
2
[C]: t: v3cos q = vAC + v2 cos q ；
v3 v2
;
理论力学
§7–3 平面图形上各点的加速度
aCn
B
DC =0; E点: n: aEn aCncos600+aECn= 80cm/s2;
t: aEt aCncos300 +aECt =69.2cm/s2;
aAn
aCn
600 01
2 9
rω ;
2
x ；
y: aABt cos300+aABn cos600 – aAncos300= 0 ；
x: aB=
–
aAB cos600+aABn cos300 +aAncos600
t
aAn
t n t n t n a B a B a A a A a AB a AB ;
ω AB vC R
vA
vc=R0;
ω0 ;
3 R 0 .
P vC vD D vB
P点为 基奌求D点速度.
AB
v A 2 R cos θ AB
v B 2 R sin θ AB R 0 .
vD=PD AB;
理论力学
例7－2A：机构如图示，杆0A绕0作匀角速度转动，巳知:0A=r, DC=6r，,求:滑块F的速度和杆ED的角速度。 v vA=r; 解: ED DD CD
vD rω ; 3
A vA vC 300
DC
vB B F
vC
0
ω ED vD r
C
x: vDcos600=v DC–vCcos300;
v DC 2 3 3 r ;
ω 3
;
DC
v DC 6r
3 9
;
理论力学
三、瞬时速度中心法 v P v A v AP 0 ;
Ar =B2R ?
理论力学
例7－4：滑槽机构如图所示，B、C是滑块推杆连结,巳知:v1, v2, 求图示位置:v3,4。 vr v3 y y, sin θ ; C 2 2 解: x y vAC x vr x cos θ ; v2 2 2 B x y t v1 q v [B]: v a v e v r ; v e v AB v 2 ; 1 vAB y v2A AB v3 v B v 1 v AB v 2 v r ; t v2 a t: v1 sinq = vAB + v2 cos q ；
解:
vB=(0Er+R)=63;
B=
63 R
vh=B· 2R=126;
0
E r A p
D
R
h
vE=0E· =24; [A] 瞬心法
vh 4 x vE x A;
vD B
v
E
A x 4
vp
2
vEP
vp
v
E
vE
2
vh
x=0.9240;
A=25.5
( A r ) v E 104 . 8 cm / s ;
2 0
;
r
r
2.求M2的加速度;qp/2; ax=aC–aC=0;
ay=v02/r;
M2是速度瞬心，但加速度不等于零。
理论力学
例7－7：园轮在曲面做纯滚动，0A杆做匀速转动，巳知:10 1/s, 0A=r=10cm,AB=l=40cm, R=20cm,求:园轮,杆AB的角加速度。 vA A AB 解: vA= vB=10;
f
" 3
( t ).
f 2 ( t );
'
,与基点无关。
理论力学
v与基点有关。
§ 7-2 平面图形上各点的速度
一、基点法(合成法)
vAB=*AB;
v B v A v AB ;
vr=vAB B vA
va=vB ve=vA x’
y’
( v a v e v r );
x vC vA vAC vC
x: vAcos600=vCcos300;
vA 3 R 0 .
CB
vC
[B] 基点法
vB
x: vBcos300=vCcos300; vB=vC
vBC
y: vBCcos300=vCcos300;
vBC=vC=RCB;
同样可以A点为 基奌求B点速度.
P A
速度瞬心:P； PA=vA/; vP=vA–vAP=0;
A
不同瞬时，不同瞬心；
P
vA B
vB
理论力学
瞬心位置确定
vB vB vA P P
vA
vA
vB
P
vA
vA
vB vA
vB
vB
P
理论力 学
例7－1A：椭园规机构如图示，杆0C绕0作匀角速度转动， 巳知:OC=AC=AB=R，q 300,求:滑块A,B的速度。 解: 瞬心法
AP 3l 3r ;
BP 2 l;
ω AB
vA AP
ω 3
;
vB
2 3 3
r;
AB
aAt= r=0；
a
τ
n AB
aAn= 2 r；
3r 9
0
q
A vB
B y aABn aB 600 aABt B
2 AB
BA 2
2
；
2
a AB
8 9
rω ;
aB
运动学
理论力 学
第七章 刚体的平面运动
平行于固定平面的运动。
§7-1 刚体的平面运动方程
A ：基点 平面运动方程
y’ y
S A x x’ A”
B
S
A’ A
f
x’=f1(t) ；
y’=f2(t) ；
f=f3(t) ；
P
理论力学
平面运动方程: x’=f1(t); y’=f2(t) ；f=f3(t) ； 讨论： 1. f=c ；x’=f1(t) ； y’=f2(t) ； 平动。
E
AB作瞬时平动: BC作平动:
vA=vB; vB=vC;
300
P
vC=PC CD=6rcos300 CD;
CD
3 9
;
v A A
0
vB B vC
C
vD=6rcos600 CD;
vD rω 3 ;
F
ω ED
ω 3
;
理论力 学
例7－3： 0AB杆做匀速转动带动A、B摩檫轮,B摩檫轮与外曲面做 纯滚动，巳知:3 1/s,0E=8cm, r =4cm, R=9cm, 求:A轮P处速度。
aM a Mx a My
2 2
x: aMx= aC+ aMCt sin q +aMCn cos q ； y: aMy= aMCt cos q aMCn sin q ； 讨论：1.求M1的加速度; q0;
a ( aC v
2 C 2
aM2n
M2
) a ;
2 C
tan f
aC aC v
牵连运动为平动,加速度式； t n t n ae= ac=0.2 m/s2; a a a a a ;
a a e r r
arn=
v2
r
/R=2.4m/s2
; aan= 20A 0A=0.4m/s2 ;
aat aan
600
0A y
ac
x:–aat= acsin300+arn ; aat=–2.5 m/s2 ;
τ
AB: aBtcos f – aBn sin f aAn sin f ； y: aBn = aABt cosf +aAn ；
aABt=688.5 ；
R
AB= – aABt/ l= –17.2 1/s2 ;
B= –aBt/ r= –17.2 1/s2 ;
理论力学
t n t n t n a B a B a A a A a AB a AB ;
2. x’=c1 ； y’=c2 ； f=f3(t) ；
y y’ S x’ A x B
定轴转动。
B y S A
f – f ’=q
f
q` A' f’
B'
x
v 0' x
v 0' y
dx 0' dt
dy 0' dt
0
f
' 1
( t );
平动。
df dt
df dt
,
f
' 3
( t );
基点法(合成法) aABt=*AB; aABn=2*AB;
a AB
τ
aB个 aABt
aA
垂直AB； 指向A；
τ AB
aA
ω α
4 2
aABF B n aAB
(a
a AB a AB
n
n AB
) (a
2
) AB
2
A
tan f
2
aAB=ar; aA=ae; aB=aa; 1.瞬时状态； 2.可解二个未知量 (大小，方向。
4 AB
v AB x y
2 2
( v1 y v 2 x ) (x y )
2 2
v AC
a cos q
AB ;
xa x v1 ay x
2
[C]: t: v3cos q = vAC + v2 cos q ；
v3 v2
;
理论力学
§7–3 平面图形上各点的加速度
aCn
B
DC =0; E点: n: aEn aCncos600+aECn= 80cm/s2;
t: aEt aCncos300 +aECt =69.2cm/s2;
aAn
aCn
600 01
2 9
rω ;
2
x ；
y: aABt cos300+aABn cos600 – aAncos300= 0 ；
x: aB=
–
aAB cos600+aABn cos300 +aAncos600
t
aAn
t n t n t n a B a B a A a A a AB a AB ;
ω AB vC R
vA
vc=R0;
ω0 ;
3 R 0 .
P vC vD D vB
P点为 基奌求D点速度.
AB
v A 2 R cos θ AB
v B 2 R sin θ AB R 0 .
vD=PD AB;
理论力学
例7－2A：机构如图示，杆0A绕0作匀角速度转动，巳知:0A=r, DC=6r，,求:滑块F的速度和杆ED的角速度。 v vA=r; 解: ED DD CD
vD rω ; 3
A vA vC 300
DC
vB B F
vC
0
ω ED vD r
C
x: vDcos600=v DC–vCcos300;
v DC 2 3 3 r ;
ω 3
;
DC
v DC 6r
3 9
;
理论力学
三、瞬时速度中心法 v P v A v AP 0 ;
Ar =B2R ?
理论力学
例7－4：滑槽机构如图所示，B、C是滑块推杆连结,巳知:v1, v2, 求图示位置:v3,4。 vr v3 y y, sin θ ; C 2 2 解: x y vAC x vr x cos θ ; v2 2 2 B x y t v1 q v [B]: v a v e v r ; v e v AB v 2 ; 1 vAB y v2A AB v3 v B v 1 v AB v 2 v r ; t v2 a t: v1 sinq = vAB + v2 cos q ；
解:
vB=(0Er+R)=63;
B=
63 R
vh=B· 2R=126;
0
E r A p
D
R
h
vE=0E· =24; [A] 瞬心法
vh 4 x vE x A;
vD B
v
E
A x 4
vp
2
vEP
vp
v
E
vE
2
vh
x=0.9240;
A=25.5
( A r ) v E 104 . 8 cm / s ;
2 0
;
r
r
2.求M2的加速度;qp/2; ax=aC–aC=0;
ay=v02/r;
M2是速度瞬心，但加速度不等于零。
理论力学
例7－7：园轮在曲面做纯滚动，0A杆做匀速转动，巳知:10 1/s, 0A=r=10cm,AB=l=40cm, R=20cm,求:园轮,杆AB的角加速度。 vA A AB 解: vA= vB=10;
f
" 3
( t ).
f 2 ( t );
'
,与基点无关。
理论力学
v与基点有关。
§ 7-2 平面图形上各点的速度
一、基点法(合成法)
vAB=*AB;
v B v A v AB ;
vr=vAB B vA
va=vB ve=vA x’
y’
( v a v e v r );
x vC vA vAC vC
x: vAcos600=vCcos300;
vA 3 R 0 .
CB
vC
[B] 基点法
vB
x: vBcos300=vCcos300; vB=vC
vBC
y: vBCcos300=vCcos300;
vBC=vC=RCB;
同样可以A点为 基奌求B点速度.
P A
速度瞬心:P； PA=vA/; vP=vA–vAP=0;
A
不同瞬时，不同瞬心；
P
vA B
vB
理论力学
瞬心位置确定
vB vB vA P P
vA
vA
vB
P
vA
vA
vB vA
vB
vB
P
理论力 学
例7－1A：椭园规机构如图示，杆0C绕0作匀角速度转动， 巳知:OC=AC=AB=R，q 300,求:滑块A,B的速度。 解: 瞬心法
AP 3l 3r ;
BP 2 l;
ω AB
vA AP
ω 3
;
vB
2 3 3
r;
AB
aAt= r=0；
a
τ
n AB
aAn= 2 r；
3r 9
0
q
A vB
B y aABn aB 600 aABt B
2 AB
BA 2
2
；
2
a AB
8 9
rω ;
aB
运动学
理论力 学
第七章 刚体的平面运动
平行于固定平面的运动。
§7-1 刚体的平面运动方程
A ：基点 平面运动方程
y’ y
S A x x’ A”
B
S
A’ A
f
x’=f1(t) ；
y’=f2(t) ；
f=f3(t) ；
P
理论力学
平面运动方程: x’=f1(t); y’=f2(t) ；f=f3(t) ； 讨论： 1. f=c ；x’=f1(t) ； y’=f2(t) ； 平动。
E
AB作瞬时平动: BC作平动:
vA=vB; vB=vC;
300
P
vC=PC CD=6rcos300 CD;
CD
3 9
;
v A A
0
vB B vC
C
vD=6rcos600 CD;
vD rω 3 ;
F
ω ED
ω 3
;
理论力 学
例7－3： 0AB杆做匀速转动带动A、B摩檫轮,B摩檫轮与外曲面做 纯滚动，巳知:3 1/s,0E=8cm, r =4cm, R=9cm, 求:A轮P处速度。