第七章 3.万有引力理论的成就

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答案
解得周期 T＝
G(m4π1＋2L3m2)。
[完美答案] r1＝mL1＋m2m2 r2＝mL1＋m1m2
T＝
4π2L3 G(m1＋m2)
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答案
判一判 (1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。( × ) (2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。( √ ) (3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。( × )
(2)其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星 、阋神星等几个较大的天体。
2．预言哈雷彗星回归 英国天文学家哈雷预言哈雷彗星回归的周期为76年。海王星的发现和哈雷 彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。 3．牛顿还用月球和太阳的万有引力解释了潮汐现象，用万有引力定律和其 他力学定律，推测地球呈赤道处略为隆起的扁平形状。万有引力定律还可以 用于分析地球表面重力加速度微小差异的原因，以及指导重力探矿。
用下绕两者连线上的某一点做圆周运动，这样的两颗星体组成
的系统称为双星系统。
2．双星系统的特点
(1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供
(如图)，即
பைடு நூலகம்
＝m1ω2r1＝m2ω2r2。
(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
。
(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L 。
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[变式训练1] 若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为 T 和 R，月
球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为 t 和 r，则太阳质量与地球质量之比
为( )
R3t2
R3T2
R3t2
R2T3
A.r3T2 B. r3t2 C.r2T3 D. r2t3
答案 A
天体密度的关系 ρ＝G3Tπ2可知，C 正确。
[完美答案] ACD
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答案
三、天体运动中各物理量与轨道半径的关系
☆ 以上结论可总结为：“一定四定(即：r定了，v、ω、T、a都定了)，越远越慢”。
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例 3 俄罗斯的“宇宙－2251”卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利 亚上空约 805 km 处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事 件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎 片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的 是( )
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[规范解答] 由双星系统的特点可知 r1＋r2＝L， 对 m1：GmL1m2 2＝m1ω2r1；对 m2：GmL1m2 2＝m2ω2r2。 联立解得 r1＝mL1＋m2m2，r2＝mL1＋m1m2 再由 GmL1m2 2＝m14Tπ22r1 及 r1＝mL1＋m2m2，
A．ρ＝23πgG0d B．ρ＝g30πTd2 C．ρ＝G3Tπ2 D．ρ＝6πMd3
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[规范解答]
由 ρ＝MV ，V＝43πd23，得 ρ＝6πMd3，D 正确；由 GMdm2 ＝mg0， 2
ρ＝MV ，V＝43πd23，联立解得 ρ＝23πgG0d，A 正确；根据近地卫星的周期与中心
3．双星的两个结论
(1)双星的运动半径与质量成反比，即 。
(2)双星的质量之和：m1＋m2＝ 。
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例 4 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们均以其连线上 某一点 O 为圆心做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两 个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为 m1 和 m2，它们之 间的距离为 L，求双星的运行轨道半径 r1 和 r2 及运行周期 T。
A．甲的运行周期一定比乙的长 B．甲距地面的高度一定比乙的高 C．甲的向心力一定比乙的小 D．甲的向心加速度一定比乙的大
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[规范解答] 甲的速率大，由 GMr2m＝mvr2，得 v＝
GM，由此可知， r
甲碎片的轨道半径小，距地面的高度小，故 B 错误；由 GMr2m＝m4Tπ22r，得 T
3.万有引力理论的成就
1．了解万有引力理论的重要成就，掌握计算天体质量和密度的基本思路。 2．掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的基本思 路。 3．掌握天体的线速度、角速度、周期及向心加速度与轨道半径的关系。 4．掌握双星系统的运动特点及其问题的分析方法。
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一、计算天体的质量和密度
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☆ 利用环绕法只能求中心 天体质量，而不能求环绕中 心天体运行的卫星(或行星) 的质量。
☆ GM＝gR2，该公式通常
被称为“黄金代换式”，即 当GM不知道时，可以用gR2 来代换GM。
二、其他成就 1．发现未知天体 (1)海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维 耶根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出天王星外“ 新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现 了这颗行星——海王星。
＝
4π2r3，可知甲的运行周期小，故 GM
A
错误；由于未知两碎片的质量，无
法判断向心力的大小，故 C 错误；由GMr2m＝ma，得 a＝GrM2 ，可知甲的向心
加速度比乙的大，故 D 正确。
[完美答案] D
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答案
四、双星问题
1．如图所示，两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作
解析
由
GMr2m＝
4π2 m T2 r
得
M∝Tr32，则MM太 地＝RT23·rt23＝rR33Tt22，A
正确。
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答案
解析
例 2 (多选)2011 年 7 月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学 想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨 石的密度进行比较。下列计算火星密度的式子，正确的是(引力常量 G 已知， 忽略火星自转的影响)( )