圆锥曲线知识点总结

高中数学圆锥曲线选知识点总结

一、椭圆

1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．

即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：

焦点的位置 焦点在x 轴上

-

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

22

10x y a b a b +=>> ()22

22

10y x a b a b +=>> ）

范围

a x a -≤≤且

b y b -≤≤

b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点

()1,0a A -、()2,0a A

()10,b B -、()20,b B

()10,a A -、()20,a A

.

()1,0b B -、()2,0b B

轴长

短轴的长2b = 长轴的长2a =

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c

()10,F c -、()20,F c 焦距 【

()222122F F c c a b ==-

对称性

关于x 轴、y 轴、原点对称

`

二、双曲线

1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

2、双曲线的几何性质：

焦点的位置

焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

·

图形

标准方程

()22

2210,0x y a b a b

-=>>

()22

22

10,0y x a b a b -=>> 范围 …

x a ≤-或x a ≥，y R ∈

y a ≤-或y a ≥，x R ∈

顶点 ()1,0a A -、()2,0a A

()10,a A -、()20,a A

轴长

虚轴的长2b = 实轴的长2a =

)

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距 ()222122F F c c a b ==+

对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

(

离心率

()2

211c b e e a a

==+>，e 越大，双曲线的开口越阔

5

三、抛物线

1、定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．

~

2、抛物线的几何性质：

3抛物线的“通径”，即2p AB =． 4、关于抛物线焦点弦的几个结论：

设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、

，直线AB 的倾斜角为θ，则

⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p

AB θ

=

⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切；

⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为

2

π

；

⑸

112.||||FA FB P

+= 四、直线与圆锥曲线的位置关系

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧⎩⎨

⎧⎩⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有

)位置关系主要适用于直线与圆的(几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线.12.直线与圆锥曲线的位置关系：

⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与

双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到02=++c bx ax 。 ①. 若a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；

当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。

②.若0≠a ，设ac b 42-=∆。a .0>∆时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。

b.0=∆时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。

c.0<∆时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。

五、弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线()k 斜率为与圆锥曲线交于点

()11y ,x A ，()22y ,x B 时，则

AB =2k 1+21x x -=2

k 1+()212214x x x x -+ =211k +

2

1y y -=2

1

1k +()212214y y y y -+