辽宁省沈阳东北育才学校2019-2020学年科高部高一(上)第一次月考数学试卷 含答案
辽宁省沈阳市东北育才学校(高中部)2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)
2022-2023学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校（高中部）高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设集合A ={x|x ≤0}，B ={x ∈Z||x|≤2}，则(∁R A)∩B =( )A. {−2,−1,0}B. {−2,−1}C. {1,2}D. {0,1,2}2. 设x ∈R ，则“x 2−2x <0”是“|x −1|<2”的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件3. 下列说法不正确的是( )A. 若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B. 命题“∃x ∈R ，x 2−x −1<0”的否定是““∀x ∈R ，x 2−x −1≥0”C. 设A ，B 是两个集合，则“A ⊆B ”是“A ∩B =A ”的充分不必要条件D. 当a <0时，幂函数y =x a 在(0,+∞)上单调递减4. 若a >b >1，0<c <1，则下列式子成立的是( )A. log a c <log b cB. b a−c >ab−cC. blog a c >alog b cD. a b <b a5. 若正数x ，y 满足x 2+xy −2=0，则3x +y 的最小值是( )A. 2B. 4C. 2√2D. 4√26. 若f(x)={(3−a)x −4a,x <1x 2,x ≥1是(−∞,+∞)上的增函数，则a 的取值范围是( )A. [25,3)B. (25,3]C. (−∞,3)D. (25,+∞)7. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时f(x)=3x −1.若f(x −t)+f(x 2−t 2)≥0对任意的x ∈R 恒成立，则实数t 的取值范围为( )A. [−1−√52,−1+√52]B. (−∞,−12] C. {−12}D. (−∞,−12)8. 己知函数f(x)=|lg(x −1)|−a x (0<a <1)有两个零点x 1，x 2，则有( )A. x 1x 2<1B. x 1x 2<x 1+x 2C. x 1x 2=x 1+x 2D. x 1x 2>x 1+x 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
2019-2020学年辽宁省实验中学高一(上)第一次月考数学试卷及答案
2019-2020学年辽宁省实验中学高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A＝{x||x﹣2|＜2}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，若U＝R，则A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x≤1或2≤x＜4}B．{x|1＜x＜2}C．∅D．{x|x＜0或x＞4}2．（5分）命题p：∀x＞0，＞0，则命题p的否定是（）A．∃x＞0，≤0B．∃x≤0，≤0C．∃x＞0，＜0D．∃x＞0，0≤x≤23．（5分）下列不等式中，正确的是（）A．若a﹣c＞b﹣d且c＞d，则a＞bB．若a＞0，b＞0，a3﹣b3＝1，则a﹣b＞1C．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bdD．若a＞b，则ac2＞bc24．（5分）集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[3，4]C．[1，2]D．（2，3]5．（5分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，并且满足+＝1，则实数m的值是（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3或16．（5分）已知：a，b均为正数，，则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（0，1]C．（﹣∞，9]D．（﹣∞，8] 7．（5分）已知命题p：0＜a＜4，命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则命题p是命题q为真命题的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知实数a＞0，b＞0，且+＝1，则+的最小值为（）A．8B．10C．10D．169．（5分）设x，y均为正数，且x+4y+5＝x•y，则x+y的最小值为（）A．B．25C．11D．5+310．（5分）已知x，y满足的解集为集合A，则下列命题为真命题的是（）A．∀（x，y）∈A，4x+2y＜2B．∃（x，y）∈A，4x+2y＜2C．∀（x，y）∈A，4x+2y＜10D．∃（x，y）∈A，4x+2y＞1011．（5分）已知x+y＝++8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5B．9C．4+D．1012．（5分）关于x的不等式x2﹣ax+a+3≥0在区间[﹣2，0]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，6]D．[﹣2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则集合C的真子集个数为．14．（5分）已知命题p：﹣2≤x≤4，命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．15．（5分）已知m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，则m3﹣24m+2019＝．16．（5分）已知正数x，y满足xy++4y2＝2，则y的最大值为．三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）17．（10分）已知a，b，c∈R+，证明：（1）若a，b，c∈R，证明：a2+b2+c2≥（a+b+c）2；（2）设a，b，c∈R+，且a+b+c＝1，证明：++≥1．18．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}，B＝{x|ax2﹣2x+8＝0}．（1）是否存在实数a，使A∪B＝{0，2，4}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．19．（10分）解关于x的不等式＞0（a∈R）．20．（10分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米（1≤x≤5）．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．2019-2020学年辽宁省实验中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A＝{x||x﹣2|＜2}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，若U＝R，则A∩∁U B＝（）A．{x|0＜x≤1或2≤x＜4}B．{x|1＜x＜2}C．∅D．{x|x＜0或x＞4}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|1＜x＜2}，U＝R，∴∁U B＝{x|x≤1或x≥2}，A∩∁U B＝{x|0＜x≤1或2≤x＜4}．故选：A．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）命题p：∀x＞0，＞0，则命题p的否定是（）A．∃x＞0，≤0B．∃x≤0，≤0C．∃x＞0，＜0D．∃x＞0，0≤x≤2【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题，结合命题与它的否定命题之间的关系，判断即可．【解答】解：命题p：∀x＞0，＞0，由于命题p中x取不到2，其命题的否定中应能取到，所以选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题与它的否定命题之间关系应用问题，解题时要注意“含定义域限制切记不要直接变号”，是基础题．3．（5分）下列不等式中，正确的是（）A．若a﹣c＞b﹣d且c＞d，则a＞bB．若a＞0，b＞0，a3﹣b3＝1，则a﹣b＞1C．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bdD．若a＞b，则ac2＞bc2【分析】根据不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A：若a﹣c＞b﹣d且c＞d，则a＞b，故A正确；对于B：若a＞0，b＞0，a3﹣b3＝1，则a﹣b＜1，故B错误；对于C：令a＝2，b＝1，c＝﹣2，d＝﹣3，则ac＜bd，故C错误；对于D：c＝0时，错误；故选：A．【点评】本题考查了不等式问题，是一道基础题．4．（5分）集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（）A．[2，3]B．[3，4]C．[1，2]D．（2，3]【分析】直接解分式是不等式以及二次不等式求出A，B，进而求出结论．【解答】解：∵集合A＝{x|≤0}＝{x|2＜x≤4}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，∴A∩B＝（2，3]．故选：D．【点评】本题考查集合间的交集的运算，应注意不等式的正确求解，属于基础题．5．（5分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，并且满足+＝1，则实数m的值是（）A．﹣1B．3C．﹣1或3D．﹣3或1【分析】由根与系数的关系，可得x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2，又由+＝1，即可求得m的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，∴△＝（2m+3）2﹣4m2＝12m+9＞0，∴m＞﹣，∵x1+x2＝2m+3，x1•x2＝m2，又∵+＝1，∴x1+x2＝x1•x2，∴2m+3＝m2，解得：m＝﹣1或m＝3，∵m＞﹣，∴m＝3，故选：B．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与判别式的应用．此题难度适中，注意掌握如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，那么有x1+x2＝﹣，x1x2＝的应用．6．（5分）已知：a，b均为正数，，则使a+b≥c恒成立的c的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（0，1]C．（﹣∞，9]D．（﹣∞，8]【分析】由题意知，要使a+b≥c恒成立，即a+b的最小值≥c，利用均值不等式求解即可．【解答】解：∵a，b均为正数，，∴a+b＝（a+b）×＝（5+）≥（5+2）＝，当且仅当，即b＝2a时，取等号；∴a+b的最小值是，由题意可知c，故选：A．【点评】本题通过恒成立问题的形式，考查了均值不等式，灵活运用了“2”的代换，是高考考查的重点内容．7．（5分）已知命题p：0＜a＜4，命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则命题p是命题q为真命题的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】对于命题q：讨论当a＝0的情况和a≠0时，根据一元二次函数图象与不等式的关系求得a的取值范围；再根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，当a＝0时，1＞0成立，因此a＝0满足题意当a≠0时，可得，解得0＜a＜4．综上可得：q：0≤a＜4．∵命题p：0＜a＜4⇒命题q：0≤a＜4，反之，命题q：0≤a＜4推不出命题p：0＜a＜4．∴命题p是命题q为真命题的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系、充分必要条件的判定方法，考查了计算能力，属于基础题8．（5分）已知实数a＞0，b＞0，且+＝1，则+的最小值为（）A．8B．10C．10D．16【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：因为a＞0，b＞0，且+＝1，所以a+b＝ab，即（a﹣1）（b﹣1）＝1，则+＝＝，＝8a+2b﹣10，＝（8a+2b）（）﹣10，＝＝8，当且仅当且+＝1，即a＝，b＝3时取等号，此时取得最小值8．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．9．（5分）设x，y均为正数，且x+4y+5＝x•y，则x+y的最小值为（）A．B．25C．11D．5+3【分析】由已知变形可得9＝（x﹣4）（y﹣1），然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：∵x，y均为正数，且x+4y+5＝x•y，∴xy﹣x﹣4y＝5即x（y﹣1）﹣4y＝5，∴x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝9，∴9＝（x﹣4）（y﹣1）≤，∵x＞0，y＞0，∴x+y﹣5≥6即x+y≥11，当且仅当x＝7，y＝4时取等号．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．10．（5分）已知x，y满足的解集为集合A，则下列命题为真命题的是（）A．∀（x，y）∈A，4x+2y＜2B．∃（x，y）∈A，4x+2y＜2C．∀（x，y）∈A，4x+2y＜10D．∃（x，y）∈A，4x+2y＞10【分析】令4x+2y＝μ（x+y）+λ（x﹣y），根据对应关系求出μ，λ的值，结合x+y，x﹣y 的范围，求出4x+2y的范围即可．【解答】解：令4x+2y＝μ（x+y）+λ（x﹣y），则，解得：μ＝3，λ＝1，故4x+2y＝3（x+y）+（x﹣y），而1＜x+y＜3，故3＜3（x+y）＜9，﹣1＜x﹣y＜1，则4x+2y∈（2，10），故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，考查转化思想，是一道常规题．11．（5分）已知x+y＝++8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）A．5B．9C．4+D．10【分析】根据题意，将x+y＝++8变形可得（x+y）2＝（++8）（x+y）＝5+8（x+y）++，即有（x+y）2﹣8（x+y）﹣5＝+，结合基本不等式的性质可得（x+y）2﹣8（x+y）﹣9≥0，设t＝x+y，则有t2﹣8t﹣9≥0，解可得t的取值范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，x+y＝++8，则（x+y）2＝（++8）（x+y）＝5+8（x+y）++，变形可得：（x+y）2﹣8（x+y）﹣5＝+，又由+≥2＝4，则有：（x+y）2﹣8（x+y）﹣9≥0，设t＝x+y，又由x，y＞0，则t＞0，则有t2﹣8t﹣9≥0，解可得t≥9或t≤﹣1，又由t＞0，则t≥9，则x+y的最小值为9；故选：B．【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是对x+y＝++8的变形．12．（5分）关于x的不等式x2﹣ax+a+3≥0在区间[﹣2，0]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[6，+∞）C．（﹣∞，6]D．[﹣2，+∞）【分析】由题意可得a≥在﹣2≤x≤0恒成立，即a≥在﹣2≤x≤0的最大值，由基本不等式求得最大值，可得a的范围．【解答】解：由﹣2≤x≤0，可得x﹣1∈[﹣3，﹣1]，x的不等式x2﹣ax+a+3≥0在区间[﹣2，0]上恒成立，等价为a≥在﹣2≤x≤0恒成立，由＝＝（x﹣1）++2＝﹣[（1﹣x）+]+2≤﹣2+2＝2﹣4＝﹣2，当且仅当x＝﹣1时取得等号，所以a≥﹣2，故选：D．【点评】本题考查二次不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和基本不等式求最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则集合C的真子集个数为7．【分析】求出集合M，从而求出M的真子集的个数即可．【解答】解：a＝1，b＝1时，x＝2，a＝1，b＝2时，x＝3，a＝0，b＝2时，x＝2，a＝0，b＝1时，x＝1，故M＝{1，2，3}，故M的真子集的个数是：23﹣1＝7个，故答案为：7．【点评】本题主要考察了集合的定义及性质，属常考题型，解题的关键是要根据集合M 的定义求出集合M．14．（5分）已知命题p：﹣2≤x≤4，命题q：实数x满足|x﹣2|≤m（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，则实数m的取值范围是[4，+∞）．【分析】由命题p得到￢p：{x|x＜﹣2或x＞4}，设为集合A，同理得到￢q：{x|x＜2﹣m 或x＞2+m}，设为集合B．根据￢p是￢q的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，利用数轴建立关于m的不等式并解之，即可得到实数m的取值范围．【解答】解：∵p：{x|﹣2≤x≤4}，∴￢p：{x|x＜﹣2或x＞4}，设为集合A又∵q：{x||x﹣2|≤m，m＞0}．∴￢q：{x|x＜2﹣m或x＞2+m}，设为集合B∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴集合B是集合A的真子集，∴（两个等号不同时成立）解之得：m≥4，即实数m的取值范围是[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．【点评】本题给出关于x的不等式的两个条件，在已知￢p是￢q的必要不充分条件的情况下求m的取值范围．着重考查了充分必要条件的判断和集合的包含关系等知识，属于基础题．15．（5分）已知m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，则m3﹣24m+2019＝2014．【分析】根据m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，得到m2﹣5m+1＝0，再把所求等式转化为用m2﹣5m+1来表示即可求解结论．【解答】解：根据题意，m是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，即m2﹣5m+1＝0，则m3﹣24m+2019＝m（m2﹣5m+1）+5（m2﹣5m+1）+2014＝2014．故答案为：2014．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用以及整体代换思想的应用，属于基础题．16．（5分）已知正数x，y满足xy++4y2＝2，则y的最大值为．【分析】由已知结合基本不等式x+≥2可建立关于y的不等式，解不等式可求．【解答】解：由题意可得，，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取等号，所以4y2+2y﹣2≤0，解可得，﹣1，因为y＞0，故0＜y即y的最大值．故答案为：【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及二次不等式的求解，属于基础试题．三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）17．（10分）已知a，b，c∈R+，证明：（1）若a，b，c∈R，证明：a2+b2+c2≥（a+b+c）2；（2）设a，b，c∈R+，且a+b+c＝1，证明：++≥1．【分析】（1）把（a+b+c）2展开，然后利用基本不等式放缩即可证明结论；（2）由，，，作和后结合a+b+c＝1证得结论．【解答】证明：（1）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）＝3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥（a+b+c）2，当且仅当a＝b＝c时等号成立；（2）∵a，b，c∈R+，∴，，，则，∴，即++≥1，当且仅当a＝b＝c时等号成立．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，是中档题．18．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4x＝0}，B＝{x|ax2﹣2x+8＝0}．（1）是否存在实数a，使A∪B＝{0，2，4}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意可得a×22﹣2×2+8＝0，解得a＝﹣1，可求此时B＝{2，4}，即可得解．（2）由题意可得B只可能∅，{0}，{4}，{0，4}，分类讨论即可求解．【解答】解：（1）因为A＝{x|x2﹣4x＝0}＝{0，4}，所以2∈B且B中不含除0，2，4以外的实数，即a×22﹣2×2+8＝0，解得a＝﹣1，验证：此时B＝{2，4}，所以不存在实数a，使A∪B＝{0，2，4}．（2）题干A∩B＝B可转化为B⊆A，即B只可能∅，{0}，{4}，{0，4}，①B＝∅，即△＜0，解得a＞，②B＝{0，4}，即，a无解，③B中只有一根时，i，a＝0，解得B＝{4}成立；ii，a≠0，即△＝0，解得a＝，此时B＝{8}不符合题意，综上所述，a∈{0}∪（，+∞）．【点评】本题主要考查了交集，并集及其运算，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题．19．（10分）解关于x的不等式＞0（a∈R）．【分析】不等式即（x2﹣x﹣2）（ax﹣1）＞0，分类讨论，求出它的解集．【解答】解：关于x的不等式＞0，即（x2﹣x﹣2）（ax﹣1）＞0，（1）当a＝0时，不等式即x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣1，2）．（2）当a≠0时，不等式即（ax﹣1）（x+1）（x﹣2）＞0，它的根为﹣1，2，．若＜﹣1，即﹣1＜a＜0，不等式即（﹣ax+1）（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣∞，）∪（﹣1，2）．若＝﹣1，即a＝﹣1，不等式即（x+1）（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）．若﹣1＜＜0，即a＜﹣1，不等式即（﹣ax+1）（x+1）（x﹣2）＜0，求得它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，2）．若0＜＜2，即a＞2，不等式即（ax﹣1）（x+1）（x﹣2）＞0，求得它的解集为（﹣1，）∪（2，+∞）．若＝2，即a＝2，不等式即（x﹣2）（x+1）（x﹣2）＞0，求得它的解集为（﹣1，2）∪（2，+∞）．若＞2，即0＜a＜，不等式即（ax﹣1）（x+1）（x﹣2）＞0，求得它的解集为（﹣1，2）∪（，+∞）．【点评】本题主要考查分式不等式、高次不等式的解法，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（10分）为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室，由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米（1≤x≤5）．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．【分析】（1）设甲工程队的报价为y元，则y＝3（300×2x+400×）+14400，化简后，利用均值不等式即可求得最小值；（2）由题意知，1800（x+）+14400＞对任意的x∈[1，5]恒成立，参变分离后，得＞a恒成立，再令x+1＝t∈[2，6]，结合均值不等式求出y＝的最小值即可得解．【解答】解：（1）设甲工程队的报价为y元，而1≤x≤5，y＝3（300×2x+400×）+14400＝1800（x+）+14400≥1800×2×+14400＝28800，当且仅当x＝，即x＝4时，等号成立，所以当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，为28800元．（2）由题意知，1800（x+）+14400＞对任意的x∈[1，5]恒成立，即＞，从而＞a恒成立，令x+1＝t∈[2，6]，则＝＝t++6≥2+6＝12，当且仅当t＝，即t＝3时，等号成立，所以0＜a＜12．【点评】本题考查函数的实际应用，主要利用了均值不等式求函数的最值，还涉及参变分离法和换元法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题(解析版)
2023届辽宁省沈阳市东北育才学校学高中部高三上学期第一次模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{}21sin ,02A xx B x x x ⎧⎫=>=-<⎨⎬⎩⎭∣∣，则A B =（ ） A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】先解三角不等式和一元二次不等式求出集合,A B ，再由交集的概念求解即可. 【详解】522,Z ,{01},,1666A xk x k k B x x A B πππππ⎧⎫⎛⎫=+<<+∈=<<⋂=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∣∣. 故选：B.2．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，200x x -≤ B ．1x ∀>，20x x -≤ C ．01x ∃>，200x x -≤ D ．1x ∀≤，20x x ->【答案】C【分析】由全称命题的否定即可选出答案.【详解】命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是 “01x ∃>，2000x x -≤”故选：C.3．已知,R a b ∈，则“ln ln a b >"是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件【答案】A【分析】由“ln ln a b >"成立可推出0a b >>即得22a b >，反之，由22a b >推不出ln ln a b >成立，由此可得答案.【详解】由“ln ln a b >"成立可推出0a b >>，继而可得到22a b >； 当22a b >时，比如3,2a b =-=-，推不出ln ln a b >成立， 故“ln ln a b >"是“22a b >”的充分不必要条件， 故选：A4．若两个正实数x ，y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}41m m -<<B ．{1m m <-或}4m >C ．{}14m m -<<D ．{0m m <或}3m >【答案】C 【分析】先由()41614161141x y x y x y ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭结合基本不等式求出4161x y ++的最小值，进而得2359m m -+<，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，()()161416141614141614141x y x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫+=+++=+++⎢⎥⎪+++⎝⎭⎣⎦12094⎡≥+=⎢⎢⎣， 当且仅当()16141x y x y +=+，即18,33x y ==时取等，又不等式2416351m m x y +>-++恒成立，则不等式2359m m -+<， 即 ()()410m m -+<，解得14-<<m . 故选：C.5．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >，则关于x 的不等式2056ax bx x +>--的解集为（ ）A ．{|11x x -<<或6}x >B ．{|1x x <-或16}x <<C ．{|1x x <-或23}x <<D ．{|12x x -<<或3}x >【答案】A【分析】根据不等式0ax b +>的解集可得,a b 关系，代入不等式2056ax bx x +>--，然后转化为整式不等式求解即可.【详解】解：因为关于x 的不等式0ax b +>的解集为{|1}x x >00a a b >⎧∴⎨+=⎩， 则()()()()()()()210006110566161ax b ax a x x x x x x x x x x +-->⇔>⇔>⇔-+->---+-+ 所以不等式的解为11x -<<或6x >. 故选：A. 6．函数cos ()22x xxf x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据0x >且趋近0时判断，最后利用()f x 的零点进行判断，即可得到答案 【详解】解：因为cos ()22x x x f x -=-，所以220x x--≠，解得0x ≠， 则()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 由cos ()22x x x f x -=-可得()cos -cos (-)2222x x x xx xf x --==--， 发现()(-)0f x f x +=，故()f x 为奇函数，故B 错误；当0x >且无限接近0时，0cos 0,22x x x ->->，所以此时()0f x >，故A 错误； 因为当cos ()022x xx f x -==-即cos 0x =，解得,Z 2x k k ππ=+∈，所以在x 轴正半轴的第一个零点是2π，第二个零点是32π，第三个零点是52π，第四个零点是72π，第五个零点是92π，所以在第四个零点和第五个零点之间不可能一直递增，故C 错误； 故选：D7．若π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，则下列结论正确的是（ ） A ．π2αβ+=B ．π22βα+=C ．π22αβ-= D ．π2αβ-=【答案】C【分析】由π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，及二倍角的余弦公式可得cos (1sin )sin cos αβαβ+=，根据两角差的正弦公式可得()cos sin ααβ=-，由诱导公式及αβ，的范围，结合正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴cos 0α≠.由1cos 2)(1sin )sin 2cos αβαβ++=（，可得22cos (1sin )2sin cos cos αβααβ+=， 即cos (1sin )sin cos αβαβ+=.∴()cos sin cos cos sin sin ααβαβαβ=-=-，∴()πsin sin 2αβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.∵π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，∴ππ22αβ-<-<，且ππ022α<-<.由于函数sin y x =在ππ22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，∴π2αβα-=-，即π22αβ-=.故选:C.8．已知不等式ln (1)2ln2++<x x x k x 的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．340,ln 43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．342ln ,ln 2433⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln ,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据题意，设()(1),()ln4ln =+=-f x k x g x x x x ，进而通过数形结合求得答案. 【详解】由ln (ln4)0x x x k k +-+<可得：(1)ln 4ln k x x x x +<-，设()(1),()ln4ln =+=-f x k x g x x x x ，()ln4ln 1=--'g x x ，40,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，4,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，则当4e x =时函数()g x 取得最大值，如示意图：由图可知，当0k ≤时，整数解超过了2个，不满足题意；当0k >时，需满足()()()()2233f g f g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩得：342ln ln 2433≤<k ．故选择：D ．【点睛】本题较难，可却是一道常规题型，一般做法是先对式子进行变形，等号一边为一次函数（通常过定点），另一边的函数较为复杂，然后通过求导的方法作出简图，进而通过“数形结合法”求解.二、多选题9．下列说法正确的有（ ） A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是 -1 B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3 C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2 D ．若实数x ，y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最大值是4-【答案】ABD【分析】对于A ，凑分母，结合基本不等式，可得答案； 对于B ，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C ，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案； 对于D ，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A ，因为12x <，所以210x -<，所以120x ->， 所以()()1112211121212112x x x x x x ⎡⎤+=-++=--++⎢⎥---⎣⎦211≤-=-， 当且仅当11212x x -=-，即0x =时等号成立，所以1221x x +-的最大值为-1，故A 正确； 对于B ，因为x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，所以13x y z +++=， 所以()411411131x y z x y z x y z ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()4111553313y z x x y z ⎡+⎡⎤+=++≥+=⎢⎢⎥++⎢⎣⎦⎣， 当且仅当()411y z x x y z ++=++，即()12x y z +=+即11x y z =⎧⎨+=⎩时等号成立， 所以411x y z+++的最小值为3，故B 正确； 对于C ，因为0x >，0y >，所以2222x y x y +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2224x y xy +≤（当且仅当2x y =时等号成立），因为228x y xy ++=，所以()282xy x y =-+，所以()()22824x y x y +-+≤，所以()()2242320x y x y +++-≥，解得28x y +≤-(舍去)或24x y +≥，当且仅当22x y ==时等号成立， 所以2x y +的最小值为4，故C 错误；对于D ，令x y t +=，2x y s +=，则2x t s =-，y s t =-， 因为0xy >，所以x ，y 同号，则s ，t 同号，所以224442x y s t x y x y t s +=--≤--++ 当且仅当2stts=，即s 时取等号， 所以22x y x y x y+++的最大值是4-D 正确， 故选：ABD ．10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是0θ（单位：oC ），环境温度是1θ（单位：o C ），其中01θθ>则经过t 分钟后物体的温度θ将满足()()101e (R kt f t k θθθθ-==+-⋅∈且0k >）.现有一杯80C 的热红茶置于20C 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值ln20.7)≈ A ．若()350C f =，则()635C f = B ．若110k =，则红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟 C ．若()35f '=-，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降D ．红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间比从60C 下降到40C 所需的时间多 【答案】ABC【分析】由题知()2060e ktf t θ-==+，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．【详解】由题知()2060e ktf t θ-==+，A ：若()350C f =，即3502060e k -=+，所以31e 2k -=，则()()2263162060e2060e206035C 2kkf --⎛⎫=+=+=+⨯= ⎪⎝⎭，A 正确；B ：若110k =，则1102060e 50t -+⋅=，则1101e 2t -=，两边同时取对数得11ln ln2102t -==-，所以10ln27t =≈，所以红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟，B 正确；C ：()3f '表示3t =处的函数值的变化情况，若()350f '=-<，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降，故C 正确；()D:f t 为指数型函数，如图，可得红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间()21t t -比从60C 下降到40C 所需的时间()32t t -少，故D 错误. 故选：ABC ．11．已知函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞，图象关于y 轴对称，导函数为()'f x ，且当0x <时，()()'f x f x x>，设1a >，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()(411a a f a a a ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭B ．()(22f a a a >C ．()()414111af a a a f a a +⎛⎫>+ ⎪++⎝⎭D ．()()42211a f a a f a ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭【答案】AD【分析】构造函数()()f xg x x=，利用导数判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，再由()f x 为偶函数，得()g x 为奇函数，从而判断出()g x 在(0,)+∞上的单调性，再结合选项逐一判断即可.【详解】解：当0x <时，()()'f x f x x >，即()()()()''0f x xf x f x f x x x--=>，所以'()()0xf x f x -<，构造函数()()f x g x x=，则''2()()()0xf x f x g x x -=<， ∴当0x <时，()g x 单调递减，又由题意可得()f x 是偶函数， ∴()g x 是奇函数，则当0x >时，()g x 也单调递减． 对于A ，∵1a >，∴401a a <<=+∴(41a g g a ⎛⎫> ⎪+⎝⎭，即4141a f f a a a ⎛⎫⎪+⎝⎭>+∴()(411a a f a ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，故A 正确； 对于B ，∵1a>，∴20a >>，∴()(2g a g <，即()22f f aa()(2f a ，故B 错误；对于C ，∵1a >，()2141011a a a a a -+-=>++，即4101a a a +>>+，∴()411a g a g a ⎛⎫+< ⎪+⎝⎭， 即()411411a f f a a a a a ⎛⎫⎪++⎝⎭<++，∴()()414111af a a a f a a +⎛⎫<+ ⎪++⎝⎭，故C 错误； 对于D ，∵1a >，()221422420111a a a a a a a a a a -+--==>+++，∴ 4201a a a >>+， ()421a g a g a ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即()421421a f f a a a aa ⎛⎫⎪+⎝⎭<+，∴()()42211a f a a f a ⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭，故D 正确． 故选:AD ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数判断函数的单调性，难点在于构造函数()g x ，并判断其在定义域上的单调性，属于较难题.12．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有( ) A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】ABD【分析】A ：()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，故203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； B ：求出区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点2x π=，由题可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭知512x π=是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()214k k +∈Z 倍即可求出ω，从而求出其周期； C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，据此即可求ω的范围. 【详解】A ，∵7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，∴203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确； B ，区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点为2x π=，∵203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (x )在75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴512(62322T T ππππω-==⋅为()f x 的最小正周期)，即ω3，又0>ω，∴03ω<.若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于直线512x π=对称，结合203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ，即()42k k ω=+∈Z ，故k ＝0，2,T ωπ==，故B 正确. C ，由03ω<，得23Tπ，∴()f x 在区间[)0,2π上最多有3个完整的周期，而()1f x =在1个完整周期内只有1个解，故关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，结合2T πω=，得81033ω<，又03ω<，∴ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】本题综合考察()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的()214k k +∈Z 倍.三、填空题13．已知集合02xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{B x y =，()R A B ⋂=______. 【答案】()1,2【分析】解分式不等式求得集合A ，求函数的定义域求得集合B ，由此求得()R A B ⋂.【详解】因为02xx ≤-，等价于()2020x x x ⎧-≤⎨-≠⎩，解得02x ≤<，由1102x --≥，即121x -≤，即1022x -≤，所以10x -≤，即1x ≤；所以{}0022xA xx x x ⎧⎫=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，{{}1B x y x x ==≤， 所以{}R 1B x x =>，因此，()()R 1,2A B ⋂=. 故答案为：()1,214．若π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】-1【分析】利用诱导公式结合二倍角公式化简π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得到πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭或π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，然后结合角的范围分两种情况求解,即可求得答案.【详解】因为π5cos 26sin 04αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以ππ5sin 26sin 024αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πππ10sin cos 6sin 0444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππsin 5cos 3044αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭或π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,当πsin 04α⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3π5π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ4α+=，所以3π4α=，所以3π22α=，所以3πsin 2sin 12α==-. 当π3cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即()23cos sin 25αα-=-， 所以()2219cos sin 2sin cos 225αααα+-=，所以181sin 225α-=，则7sin 225α=.因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2π,2πα∈，所以sin 20α<，故7sin 225α=不符合题意，应舍去， 综合以上sin 21α=-， 故答案为：-115．设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【答案】4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得14322211,4,4x x x x x x ==-=-，将()2221234x x x x +++转化为关于2x 的代数式，利用换元法，根据2x 的范围结合二次函数的性质即可求解. 【详解】解：∵24x <<时，()()4f x f x =-，∴()f x 在()2,4上的图象与()0,2上的图象关于2x =对称， 不妨设1234x x x x <<<,如图：可得14234x x x x +=+=，12ln ln x x .∴121,x x =14322211,4,4x x x x x x ==-=-. ∴()121222222212342342x x x x x x x x x x ++++++=+ ()2222222214421x x x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭+- 22222112830x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21,2x ∈.令22152,2t x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 则原式化为()252830,2,2h t t t t ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，其对称轴为2t =，开口向上，∴()h t 在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.∴()4522,2h t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.∴()2221234x x x x +++的取值范围为4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为:4522,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.16．已知0a >，若对任意的1[,),e x ∈+∞不等式2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，则实数a 的最小值为_______.【答案】12e【分析】根据式子的结构，把原不等式转化为1[,),ex ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥恒成立.令()ln g x x x =，判断出()g x 的单调性，转化为2e ax x ≥恒成立.利用分离参数法得到ln ln 2x a x -≥，令ln ln 2()x h x x-=，利用导数求出max ()h x ，即可求出实数a 的最小值. 【详解】1[,),e x ∀∈+∞2e (ln 2)ln 0ax ax x x +-≥恒成立，等价于1[,),ex ∀∈+∞2e ln 2e ln 0ax ax x x ⋅-≥，令()ln g x x x =，则1[,),ex ∀∈+∞(2e )()0ax g g x -≥，则()1ln g x x '=+，所以当1ex ≥时都有()0g x '≥，所以1[,),e x ∈+∞()g x 单调递增.所以不等式转化为2e ax x ≥，即e 2axx ≥，即ln e ln 2axx ≥，即ln 2x ax ≥，即ln ln 2x a x-≥. 令ln ln 2()x h x x-=，则()221ln ln 2ln 2e ln x xh x x x -='-+=. 当1[,2e),ex ∈都有()0h x '>，所以()h x 单调递增；当()2e,+x ∈∞时，都有()0h x '<，所以()h x 单调递减.所以max ln 2e ln 2ln e 1()(2e)2e 2e 2eh x h -==== 所以12ea ≥，即a 的最小值为12e .故答案为：12e. 【点睛】恒成立问题的处理：①参变分离，转化为不含参数的最值问题；②不能参变分离，直接对参数讨论，研究()f x 的单调性及最值.四、解答题17．已知cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos 2αβ+的值；(2)()tan αβ+的值.【答案】(1)14【分析】（1）先由已知条件判断,22βααβ--的范围，再利用同角三角函数的关系求出sin ,cos 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由cos cos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦利用两角差的余弦公式可求得cos2αβ+，（2）由同角三角函数的关系求出sin 2αβ+，从而可求得tan2αβ+的值，再利用正切的二倍角公式可求得()tan αβ+的值. 【详解】(1)因为2απ<<π，02βπ<<， 所以42πβαπ<-<，422παπβ-<-<，所以sin 2βα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos 2αβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin .sin 2222βαβααβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12==(2)因为3424παβπ+<<，cos 2αβ+=，所以sin2αβ+==所以sin2tan2cos 2αβαβαβ++==+，所以2222tan 2tan()1tan 12αβαβαβ⎛+⨯ ⎝⎭+===+⎛-- ⎝⎭18．已知曲线()321133y f x x ax bx ==+++在点()()1,1f 处的切线的斜率为3，且当3x =时，函数()f x 取得极值． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在[]0,3上的极值和最小值． 【答案】(1)()321111513423f x x x x =-++(2)()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，且()34148f x =极大值，13【分析】（1）根据导数的几何意义，结合极值点处导函数为0求解即可；（2）求导分析区间内的单调性，进而求得极值，再与端点值判断大小关系可得最值.【详解】(1)()22f x x ax b '=++，结合题意可得()()1213,3690,'⎧=++=⎪⎨'=++=⎪⎩f a b f a b 解得114152a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()321111513423f x x x x =-++，经检验符合题意.(2)由（1）知()2111522f x x x '=-+． 令0fx，解得x ＞3或52x <，令0f x，解得532x <<，故()f x 在50,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，故()f x 在[]0,3上有极大值，无极小值，且()5341248f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭极大值，又因为()103f =，()85312f =，185312<，故()f x 在[]0,3上的最小值是13．19．已知()()()()sin ,21(0)2f x x g x f x x f x πωωωω⎫⎛⎫==+-+> ⎪⎪⎝⎭⎭.(1)若函数()g x 的最小正周期为π，求ω的值及()g x 的单调递减区间；(2)若0,3πx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，方程()g x =ω的取值范围【答案】(1)1ω=，单调递减区间为：()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； (2)131544ω<.【分析】（1）利用三角函数恒等变换可得()2sin(2)6f x x πω=+，利用正弦函数的性质即得；（2）由正弦函数的性质可得7283363πωπππ≤+<，进而即得． 【详解】(1)因为())π2sin sin 12sin sin 12g x x x x xx x ωωωωωω⎤⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦2cos 2sin 1x x x ωωω=-+cos22sin 2,6x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为最小正周期22T ππω==，又0>ω， 所以1ω=，即()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令3222262k x k πππππ+≤+≤+，解得2,Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递减区间为()2,Z 63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)因为0,3πx ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()22,,6636x f x ππωππω⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦即sin 26x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以7283363πωπππ≤+<，即13215636πωππ≤<，解得131544ω≤<， 所以实数ω的取值范围是131544ω≤<. 20．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)ay b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； (3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元 (3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． 【详解】(1)由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠，()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)ay b a x=+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．(2)把()2,102，()6,78，()20,120分别代入2y ax bx c =++，得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得12a =，10b =-，120c = ∴()221110120107022y x x x =-+=-+，,()0x ∈+∞． ∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令()()()1701010210f xg x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+， 因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立， 则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增，∴ 当10x =+()g x 取得最小值，且最小值为(10g +=，∴k ≥．21．设函数2(1)()x xa t f x a--=(0a >，且1)a ≠是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． (1)求t 和a 的值；(2)若x ∀∈R ，2()(1)0-+-<f kx x f x ，求实数k 的取值范围； (3)是否存在实数m ，使函数22()22()xx g x mf x -=+-在区间2[1,log 3]上的最大值为1．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2,2t a == (2)31k -<< (3)存在，7324m =【分析】(1)直接利用奇函数(0)0f =可得到t 的值，再代回解析式看是否符合奇函数的条件，由函数过点代入求a ；(2)利用奇函数的性质可得2()(1)f kx x f x -<-，再由函数单调性脱去“f ”，转化为二次不等式恒成立求解即可；(3)令 22x x t -=-换元后转化为二次函数有最大值，分类讨论求出最大值得出m 即可. 【详解】(1)∵f （x ）是定义域为R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=且(0)0f =，∴1(1)(0)01t f --==， ∴ 2t =，此时()x x f x a a -=-，满足()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-， 故2t =符合题意，∵函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴132a a --=，即22320a a --=，解得2a =或12a =-，因为0a >且1a ≠，∴2a =．(2)由（1）知()22x x f x -=-，由2()(1)0-+-<f kx x f x ，得2()(1)-<--f kx x f x ， ∵()f x 为奇函数，∴2()(1)f kx x f x -<-，()22x x f x -=-为R 上的增函数，∴21kx x x -<-对一切x ∈R 恒成立，即2(1)10x k x -++>对一切x ∈R 恒成立， 故2(1)40k ∆=+-<，解得31k -<<． (3)由题意22()22(22)x x x x g x m --=+--设22,x x t -=-则22(22)(22)22x x x x m t mt -----+=-+，∵2[1,log 3]x ∈，∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，记2()2h t t mt =-+，∴函数2()2h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最大值为1，①若对称轴3825232212m t +=>=， ∴max 317313()12426⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭h t h m m ，不合题意．②若对称轴25212m t =≤， ()max2525212736,873241324m m m h t h m ⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩综上所述：故存在实数7324m =，使函数g （x ）在[]21,log 3上的最大值为1． 22．已知函数()()2ln f x ax x x a R =--∈.(1)当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当[]1,2x ∈，求函数()f x 的最大值；(3)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ，证明：()()12122ln f x x x x +>-+. 【答案】(1)21y x =-(2)()max1ln2131ln242ln23a a f x a a ⎧+⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）求出函数的导函数，分0a ≤、1a ≥和01a <<三种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可求出函数的最大值；（3）利用分析法可得只需证()()212122+-+>a x x x x ，即证()121212ln ln 2x x x x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，令12(01)x t t x =<<，只需证1ln 21t t t +⋅>-，构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证.【详解】(1)解：当2a =时()22ln f x x x x =--，()141f x x x=--'∴，()12f '∴=，()11f =，∴切线方程为：21y x =-.(2)解：()212121(0)ax x f x ax x x x----'==>，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x ∴在[1，2]单调递减，()max 1f x a ∴=-②当1a ≥时，()()()2121210x x x x f x x x-+-'-≥=≥ ()f x ∴在[]1,2单调递增，()max 42ln2f x a ∴=--③当01a <<时，()01f x x =⇒≥， （i2<即318a <<时，()f x ∴在⎡⎢⎣⎦单调递减，2⎤⎥⎝⎦上递增()()(){}max31ln2183max 1,21ln242ln213a a f x f f a a ⎧+⎛⎫-<< ⎪⎪⎪⎝⎭∴==⎨+⎛⎫⎪--≤< ⎪⎪⎝⎭⎩（ii2≥即308a <<时，()f x ∴在[]1,2单调递减，()max 1f x a ∴=-，综上：()max1ln2131ln242ln23a a f x a a ⎧+⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨+⎛⎫⎪--≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.(3)证明：要证()()12122ln f x x x x +>-+，只需证()()()()212121212ln 2ln a x x x x x x x x +-+-+>-+， 只需证()()212122+-+>a x x x x ，因为2111ln 0ax x x --=，2222ln 0ax x x --=，两式相减得：()()()22121212ln ln 0a x x x x x x -----=.整理得()121212ln ln 1x x a x x x x -+=+-.所以只需证()()12121212ln ln 12x x x x x x x x ⎛⎫-++-+> ⎪-⎝⎭，即证()121212ln ln 2x x x x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即1211221ln 21x x x x x x +⋅>-，不妨设120x x <<，令12(01)x t t x =<<， 只需证1ln 21t t t +⋅>-， 只需证()()1ln 210t t t +--<， 设()()()1ln 21n t t t t =+--， 只需证当01t <<时，()0n t <即可.()()221111ln 1,0(01)t n t t n t t t t t t'''-=+-=-=<<<，()n t ∴'在()0,1单调递减，第 21 页 共 21 页 ∴当01t <<时，()()10n t n ''>=，()n t ∴在()0,1单调递增，当01t <<时()()10n t n <=，∴原不等式得证.【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(含精品解析)
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）一：选择题。
1.复数（）A. B. 1 C. D. i【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，化简即可得到答案．【详解】由题意，复数，所以．故选：D．【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解中熟记复数的四则运算，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知全集，4，，，则A. B. C. D. 5，【答案】B【解析】分析：由题意首先求得集合U，据此可得结合B，最后求解交集运算即可.详解：求解二次不等式可得：，则：，结合可得：，故=.本题选择B选项.点睛：本题主要考查补集的概念，交集的概念与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、标准差分别为、，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】通过读图可知甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故.故选.【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱【答案】B【解析】由三视图可知，剩余几何体是如图所示的四棱柱，则截去的部分是三棱柱，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5.下列命题中真命题的是A. 若为假命题，则p，q均为假命题B. “”是“”的充要条件C. 命题：若，则或的逆否命题为：若或，则D. 对于实数x，y，p：，q：或，则p是q的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】由p且q的真值表可判断A；由充分必要条件的定义和m是否为0，可判断B；由原命题的逆否命题和p或q的否定，可判断C；由充分必要条件的定义可判断D．【详解】若为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故A错误；若，则，可得，反之，，不成立，故B错误；命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，故C错误；对于实数x，y，p：，q：或，由且，可得，即p可得q，反之由q推不到p，则p是q的充分不必要条件，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中熟记复合命题的真假和四种命题、充分必要条件的判断是解答的关键，，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．.6.已知，则A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由已知根据三角函数的诱导公式，求得，再由余弦二倍角，即可求解．【详解】由，得，又由．故选：C ．【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．7.若实数x ，y 满足，则的最小值为A. 4B. 1C.D.【答案】C 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由实数x ，y 满足作出可行域：联立，解得A （0，1），化z ＝2x ﹣y 为y ＝2x ﹣z ，由图可知，当直线y ＝2x ﹣z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值．∴目标函数z ＝2x ﹣y 的最小值为z ＝﹣1．故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.已知函数是定义在R上的奇函数，且函数在上单调递增，则实数a的值为A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据题意，由偶函数的定义可得，解可得a的值，验证的单调性即可得答案．【详解】根据题意，函数是定义在R上的奇函数，则有，解可得：，当时，，在上不是增函数，不符合题意；当时，，在上单调递增，符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的性质以及应用，其中解中利用函数奇偶性的定义，得出的值，再借助函数的单调进行判定是解答的关键，同时注意对数的运算性质，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.某次文艺汇演为，要将A，B，C，D，E，F这五个不同节目编排成节目单，如下表：序号123456节目如果A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有A. 192种B. 144种C. 96种D. 72种【答案】B【解析】【分析】由题意知A，B两个节目要相邻，可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，都不排在第3号位置，那么A，B两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置，其余四个位置剩下的四个元素全排列．【详解】由题意知A，B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，A，B两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置，这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，节目单上不同的排序方式有，故选：B．【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答的常见方法：要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.函数其中，的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A. 右平移个单位长度B. 左平移个单位长度C. 右平移个单位长度D. 左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据图象求出的值，再由“左加右减”法则，判断出函数图象平移的方向和单位长度，即可得到答案．【详解】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故，又函数的图象的第二个点是，，所以，所以，故所以只需将函数的图形要向右平移个单位，即可得到的图象，故选：C．【点睛】本题主要考查了三角函数的函数图象，其中解答中根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题．11.设点为双曲线的左右焦点，点P为C右支上一点，点O为坐标原点，若是底角为的等腰三角形，则C的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：依题意确定出是直角三角形，且边长为，根据其内角的大小，可以确定出三个边长（都用表示），利用双曲线的定义可得的关系，求得双曲线的离心率.详解：由题意是底角为30°等腰三角形，可得是等边三角形，从而可得是直角三角形，所以，根据双曲线的定义可知可以得出，从而求得，故选A.点睛：该题考查的是双曲线的离心率的求解问题，需要根据题的条件，提炼出的关系，从而求得离心率.12.已知函数的导函数为，且对任意的实数x都有是自然对数的底数，且，若关于x的不等式的解集中恰有唯一一个整数，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数故进而得到对该函数求导得到函数的单调性和图像，结合图像得到结果.【详解】对任意的实数都有,变形得到=构造函数故根据，得到进而得到，对函数求导得到根据导函数的正负得到函数在，，由此可得到函数的图像，不等式的解集中恰有唯一一个整数，则此整数只能为-1，故解得m的范围是：.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性和极值的问题中的应用，体现了数形结合的思想以及极限的画图的思想；较为综合. 解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
2019-2020学年辽宁省沈阳东北育才学校高部高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
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注：资料封面，下载即可删除2019-2020学年辽宁省沈阳东北育才学校高部高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3- B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C【解析】∵ 集合{}124A =，，，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．如果集合{}2|410A x ax x =++=中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0 B ．4 C ．0或4 D ．不能确定【答案】C【解析】利用0a =与0a ≠，结合集合元素个数，求解即可． 【详解】解：当0a =时，集合21{|410}{}4A x ax x =++==-，只有一个元素，满足题意；当0a ≠时，集合2{|410}A x ax x =++=中只有一个元素，可得2440a ∆=-=，解得4a =． 则a 的值是0或4． 故选：C ． 【点睛】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．3．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若AB B =，则实数m 的取值范围是（ ）【解析】由A B B =可得B A ⊆，再对集合B 分类讨论，即可得答案；【详解】A B B B A ⋂=⇒⊂①若B =∅，则121m m +>-，解得2m <；②若B ≠∅，则m 应满足：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤；综上得3m ≤． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据集合间的基本关系求参数的取值，考查运算求解能力，求解时注意等号能否取到.4．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，UB C ⊆”是“A B =∅”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果． 【详解】由题意A C ⊆，则U UC A ⊆，当UB C ⊆，可得“A B =∅”；若“AB =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆，UB C ⊆，U ∴为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C ⊆”是“A B =∅”的充分必要的条件． 故选C ． 【点睛】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题． 5．下列说法中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若22a bc c <，则a b <【解析】利用不等式的性质以及举反例逐一判断即可. 【详解】对于A ，若a b >，c d >，当2,1a b ==，2,3c d =-=-时，则ac bd <，故A 不正确； 对于B ，若22a bc c<，则20c >，两边同时乘以2c ，可得a b <，故B 正确； 对于C ，若ac bc >，当0c <时，则a b <，故C 错误；对于D ，a b >，c d >，当0,2a b ==-，4,1c d ==，则a c b d -<-，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握性质是解题的关键，属于基础题. 6．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不修要条件【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 解：a ，b ，c 为正数，∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，a b c +>，成立，即必要性成立， 则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键． 7．“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x ≤3”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件【解析】【详解】 由|x +1|+|x −2|≤5，x ≥2时,化为2x −1≤5,解得2≤x ≤3：−1≤x <2时，化为x +1−(x −2)≤5，化为：3≤5，因此−1≤x ＜2；x ＜−1时，化为−x −1−x +2≤5，解得−2≤x ＜−1. 综上可得：−2≤x ≤3.∴“|x +1|+|x −2|≤5”是“−2≤x ≤3”的充要条件． 本题选择C 选项.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．8．已知集合21M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{N y y ==，则()M N =R （ ） A ．(]0,2 B ．[]0,2C ．∅D ．[]1,2【答案】B【解析】解出集合M 、N ，利用补集和交集的定义可求得集合()M N R .【详解】21x<，即210x -<，即20xx -<，等价于()20x x ->，解得2x >或0x <， 则()(),02,M =-∞+∞，[]0,2M ∴=R ，{[)0,N y y ===+∞，()[]0,2N M =R ，故选：B ． 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，同时也考查了分式不等式和函数值域的求解，考查计算能力，属于基础题. 9．已知1:1p m>，q ：对于任意的2R,210x mx mx ∈++>恒成立，p 成立是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件【解析】对于p ，111001mm m m--=>⇔<<；对于q ，当0m =时，成立.当0m ≠时，2440m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得01m <<.故01m ≤<.所以p 是q 的充分不必要条件. 10．若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（ ）A ．(-∞ B ．⎡⎤⎣⎦C ．⎡⎤-⎣⎦D ．3λ=【答案】A【解析】因为命题“1[,2]2x ∃∈，使得2210x x λ-+<成立”为假命题，所以该命题的否定“1[,2]2x ∀∈，使得2210x x λ-+≥恒成立成立”，即221x x λ+≤对于1[,2]2x ∀∈恒成立，而22112x x x x +=+≥=12x x =，即x =时取等号），即λ≤ A. 11．已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈，该不等式恒成立，则实数a 的范围是（ ） A ．3519a -≤≤- B ．31a -≤≤- C ．1a ≥- D ．3a ≥-【答案】C【解析】利用换元法令yt x=，将不等式问题转化为一元二次函数的恒成立问题，即可得答案； 【详解】由题意可知：不等式222xy ax y ≤+对于[]1,2x ∈，[]2,3y ∈恒成立， 即：22y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，对于[]1,2x ∈，[]2,3y ∈恒成立，y∵22112248y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，∴max 1y =-， ∴1a ≥-． 故选：C ． 【点睛】本题考查换元法及一元二次函数恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意新元的取值范围的确定. 12．若正数a 、b 满足：121a b +=则2112a b +--的最小值为（ ） A ．2 BC．D ．1【答案】A【解析】由已知条件得出21a b a =-，由0b >可得出1a >，将21ab a =-代入所求代数式并化简得出21211212a ab a -+=+---，利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】 正数a 、b 满足121a b +=，则2111a b a a -=-=，21a b a ∴=-， 0a >，201ab a =>-，可得1a >，所以，21212121222121112211a a a b a a a a a -+=+=+=+≥=--------， 当且仅当2112a a -=-时，即当3a b ==时取等号． 因此，2112a b +--的最小值为2. 故选：A ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最小值，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．若集合{}260M x x x =+-=，{}20,N x ax a =+=∈R ，且N M ⊆，则a 的取值的集合为______．【答案】21,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】求出集合M ，由N M ⊆可分N =∅、{}3N =-、{}2N =三种情况讨论，可求得实数a 的值. 【详解】依题意得{}{}2603,2M x x x =+-==-，{}20,N x ax a =+=∈R .N M ⊆所以集合N 可为{}3-、{}2或∅．①当N =∅时，即方程20ax +=无实根，所以0a =，符合题意； ②当{}3N =-时，则3-是方程20ax +=的根，所以23a =，符合题意； ③当{}2N =时，则2是方程20ax +=的根，所以1a =-，符合题意； 综上所得，0a =或23a =或1a =-，所以a 的取值的集合为21,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．故答案为：21,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数值，解题时不要忽略对空集的讨论，考查计算能力，属于基础题.14．若关于x 的不等式220ax x a -+<的解集为∅，则实数a 的取值范围为______．【答案】4⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，在0a =时检验即可，在0a ≠时，结合题意可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由题意可知，关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集为R . 当0a =时，可得0x -≥，解得0x ≤，不合乎题意；当0a ≠时，则20180a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是4⎫+∞⎪⎪．故答案为：4⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查利用二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查分类讨论思想的应用以及运算求解能力，属于中等题. 15．给出下列四个命题：（1）若,a b c d >>，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）a b >，则11a b a>-； （4）若110a b<<，则2ab b <． 其中正确命题的是 ．（填所有正确命题的序号） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】【详解】（1）若,a b c d >>，d c ->-，则a d b c ->-，正确；（2）若22a x a y >，可得210a>，则x y >，正确； （3）中0a =时不等式不成立； （4）若110a b<<，a b >，则2ab b <，正确． 故正确的只有（1）（2）（4）.16．设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点，则在下列集合中： ①{}0x x ∈≠Z ；②{},0x x x ∈≠R ；③1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ；④,1nx x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 以0为聚点的集合有______． 【答案】②③【解析】根据集合聚点的新定义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，集合X 是实数集R 的子集，如果点x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点， ①对于某个0a >，比如0.5a =，此时对任意的{}0x x x ∈∈≠Z ，都有00x x -=或者01x x -≥， 也就是说不可能000.5x x <-<，从而0不是{}0x x ∈≠Z 的聚点； ②集合{}0x x ∈≠R ，对任意的a ，都存在2ax =（实际上任意比a 小得数都可以）， 使得02ax a <=<，∴0是集合{}0x x ∈≠R 的聚点； ③集合1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N 中的元素是极限为0的数列， 对于任意的0a >，存在1n a >，使10x a n<=<， ∴0是集合1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N 的聚点； ④中，集合,1nx x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∴在12a <的时候，不存在满足得0x a <<的x ， ∴0不是集合,1nx x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 的聚点． 故答案为：②③． 【点睛】本题主要考查了集合新定义的应用，其中解答中认真审题，正确理解集合的新定义——集合中聚点的含义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于难题.三、解答题17．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ .【解析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可. 【详解】∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ，①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1,②B ≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a 的取值范围为.【点睛】 本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.18．已知集合{}232A x y x x==--，{}22210B x x x m =-+-≤． （1）若3m =，求A B ；（2）若0m >，A B ⊆，求m 的取值范围．【答案】（1）{}21x x -≤≤；（2）4m ≥.【解析】（1）由集合描述分别求得{}31A x x =-≤≤，{}24B x x =-≤≤，利用集合的交运算求A B 即可；（2）根据A B ⊆有1311m m -≤-⎧⎨+≥⎩解集为m 的取值范围. 【详解】 （1）由2320x x --≥，解得31x -≤≤，即{}31A x x =-≤≤；当3m =时，22210x x m -+-≤可化为2280x x --≤，即()()420x x -+≤，解得24x -≤≤，即{}24B x x =-≤≤， ∴{}21A B x x ⋂=-≤≤；（2）0m >，{}{}22210|11B x x x m x m x m =-+-≤=-≤≤+． ∵A B ⊆，∴1311m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得4m ≥， 所以m 的取值范围是4m ≥．【点睛】本题考查了集合，由集合描述求出集合，利用集合的基本运算求交集，根据包含关系求参数范围.19．设命题p ：2101x x -<-，命题q ：()()22110x a x a a -+++≤， （1）若1a =，求不等式()22110x a x a -+++≤的解集；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]1,2；2）1[0,]2.【解析】（1）当1a =时，不等式转化为232(1)(2)0x x x x -+=--≤，结合一元二次不等式的解法，即可求解.（2）分别求得命题,p q 的解集，结合p 是q 的充分不必要条件，得到p 是q 的真子集，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，当1a =时，不等式()()22110x a x a a -+++≤， 即不等式232(1)(2)0x x x x -+=--≤，解得12x ≤≤，不等式的解集[]1,2．（2）由命题21:01x p x -<-，即()()2110x x --<，解得112x <<， 即不等式2101x x -<-解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭， 命题2:2110q x a x a a ，即()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，解得1a x a ≤≤+， 所以不等式()22110x a x a -+++≤的解集为[],1a a +， 因为p 是q 的充分不必要条件，即p 是q 的真子集，所以1211a a ⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，解得102a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是1[0,]2．【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及利用充分条件、必要条件求解参数问题，其中解答中熟记一元二次不等式的解法，以及充分、必要的条件的转化是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20．已知集合{}220A x x x =-->，(){}222550B x x k x k =+++<．（1）若k 0<，求B ；（2）若A B 中有且仅有一个整数2-，求实数k 的取值范围．【答案】（1）52B x x k ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭；（2）[)3,2-. 【解析】（1）当k 0<时，通过解不等式()222550x k x k +++<可求得集合B ；（2）解出集合A ，对k 与52的大小进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）0k <，由()222550x k x k +++<得()()250x x k ++<，解得52x k -<<-， 因此，52B x x k ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭； （2）{}{2201A x x x x x =-->=<-或}2x >， (){}()(){}222550250B x x k x k x x x k =+++<=++<．当52k ->-时，即当52k >时，52B x k x ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭， 此时A B 中没有整数2-，不满足条件； 当52k =时，B =∅，不满足条件； 当52k <时，52k -<-，52B x x k ⎧⎫=-<<-⎨⎬⎩⎭， 要使得AB 中有且仅有一个整数2-，则23k -<-≤，解得32k -≤<. 因此，实数k 的取值范围是[)3,2-.【点睛】本题考查集合的求解，同时也考查了利用交集中的元素求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数()222f x x ax a =+-+．（1）若对于任意x ∈R ，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（2）若对于任意[]1,1x ∈-，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若对于任意[]1,1a ∈-，2220x ax a +-+>恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】（1）21a -≤≤；（2）[]31-，；（3）{}1x x ≠-.【解析】（1）由题意利用二次函数的性质可得0∆，由此求得求得a 的范围． （2）由于对于任意[1x ∈-，1]，()0f x 恒成立，故()0min f x ．利用二次函数的性质，分类讨论求得a 的范围．（3）问题等价于()2(21)20g a x a x =-++>，再由(1)g -、g （1）都大于零，求得x 的范围．【详解】（1）若对于任意x ∈R ,()2220f x x ax a =+-+≥恒成立，则有()24420a a ∆=--+≤，解得21a -≤≤．（2）由于对于任意[]1,1x ∈-，()0f x ≥恒成立，故()min 0f x ≥．又函数()f x 的图象的对称轴方程为x a =-，当1a -<-时，()()min 1330f x f a =-=-≥，求得a 无解；当1a ->时，()()min 130f x f a ==+≥，求得31a -≤<-；当[]1,1a -∈-时，()()2min 2f x f a a a =-=--+，求得11a -≤≤．综上可得，a 的范围为[]3,1-．（3）若对于任意[]1,1a ∈-，2220x ax a +-+>恒成立，等价于()()22120g a x a x =-++>，∴()()2212301210g x x g x x ⎧-=-+>⎪⎨=++>⎪⎩，求得1x ≠-，即x 的范围为{}1x x ≠-． 【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．22．已知函数()2f x x a a =--++，()124g x x x =-++.（1）解不等式()6g x <；（2）若存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()3,1-；（2）[)1,+∞.【解析】（1）分三种情况讨论即可（2）条件“存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立”等价于()f x 与()g x 的值域有交集，然后分别求出它们的值域即可.【详解】（1）因为()33,11245,2133,2x x g x x x x x x x +≥⎧⎪=-++=+-≤<⎨⎪--<-⎩，故由()6g x <得：3361x x +<⎧⎨≥⎩或5621x x +<⎧⎨-≤<⎩或3362x x --<⎧⎨<-⎩， 解得原不等式解集为：()3,1-.（2）由（1）可知()g x 的值域为[)3,+∞，显然()f x 的值域为(],2a -∞+. 依题意得：[)(]3,,2a +∞-∞+≠∅，所以实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】1.解含有绝对值的不等式时一般要分类讨论.2. “存在12,x x R ∈，使得()()12f x g x =成立”等价于()f x 与()g x 的值域有交集.。
2019-2020学年辽宁省高一(上)第一次联考数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年辽宁省高一（上）第一次联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2≥1}，B ={−1,0，1}，则A ∩B =( )A. {1}B. {−1,1}C. {−1,0，1}D. {x|x ≥1} 2. y =(12)x −1的图象大致是( )A. B.C. D.3. 命题“∀x ∈(−1,+∞)，ln(x +1)<x ”的否定是( )A. ∀x ∉(−1,+∞)，ln(x +1)<xB. ∀x 0∉(−1,+∞)，ln(x 0+1)<x 0C. ∀x ∈(−1,+∞)，ln(x +1)≥xD. ∃x 0∈(−1,+∞)，ln(x 0+1)≥x 04. 已知函数f(x)=x 12，则( ) A. ∃x 0∈R ，使得f(x)<0B. ∀x ∈(0,+∞)，f(x)≥0C. ∃x 1，x 2∈[0,+∞)，使得f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0 D. ∀x 1∈[0,+∞)，∃x 2∈[0,+∞)使得f(x 1)>f(x 2) 5. 已知a 是实数，则1a <1是a >1的( )A. 既不充分又不必要条件B. 充要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件 6. 下列函数中既是偶函数，又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A. y =cosx B. y =x 12C. y =2|x |D. y =|lgx | 7. 函数f(x)=log 8x −7x 的零点所在的区间是( )A. (4,5)B. (5,6)C. (6,7)D. (7,8)8. 已知函数f(x)={x +1 , x ≤0f(x −2) , x >0，则f(3)的值等于( )A. 4B. 2C. 1D. 0 9. 若函数f(x)=x 2+2x −1的定义域为[−2,2]，则f(x)的值域为( ) A. [−1,7] B. [0,7]C. [−2,7]D. [−2,0] 10. 设a =1.60.3，b =log 219，c =0.81.6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b 11. 已知函数f(x)=x −m x ，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6 12. 已知，f(x −1)=x 2−x +1，则函数f(x)在[−1,1]上的最大值为 ( ) A. −1 B. 2C. 3D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)是指数函数，且f (−32)=√525，则f(x)=________． 14. 若函数f(x) 为奇函数，当x ≥0 时，f(x)=x 2+x ，则f(−3)的值为__________．15. 若log 4[log 3(log 2x)]=0，则x =________．16. 已知实数x,y 满足y =22−log 2x ，则2x +1y 的最小值为___________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知函数f(x)=2+log 3x ，x ∈[1,9]．(1)求f(x)的值域；(2)求函数y =f(x 2)+[f(x)]2的定义域及值域．18. 为了绿化城市，准备在如图所示的区域ABCDE 内修建一个矩形PQRD 的草坪，其中∠AED =∠EDC =∠DCB =90°，点Q 在AB上，且PQ//CD ，QR ⊥CD ，经测量BC =70m ，CD =80m ，DE =100m ，AE =60m 问应如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积(精确到1m 2).(a∈R,x≠0)．19.已知函数f(x)=x+a|x|(1)讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(x)在区间[1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．20.已知幂函数f(x)=(p2−3p+3)x p2−32p−12满足f(2)<f(4)．(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=[f(x)]2+mf(x)，x∈[1,9]，则是否存在实数m，使得g(x)的最小值为0?若存在，求出m的值;若不存在，说明理由．21.已知函数f(x)=ln(1+x)+aln(1−x)(a∈R)的图象关于原点对称．(1)求定义域．(2)求a的值．(3)若g(x)=e f(x)−1−m有零点，求m的取值范围．2+m22.已知函数f(x)=−3x+a．3x+1+b(1)当a=b=1时，求满足f(x)=3x的x的值；(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，①判断f(x)在R的单调性并用定义法证明；(3−x−3x)，若对任意x∈R且x≠0，不等式②当x≠0时，函数g(x)满足f(x)⋅[g(x)+2]=13g(2x)≥m⋅g(x)−11恒成立，求实数m的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A ={x|x 2≥1}={x|x ≥1或x ≤−1}，B ={−1,0，1}，∴A ∩B ={−1,1}．故选：B ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，是基础题．2.答案：B解析：解：y =(12)x −1的图象即为将y =(12)x 的图象向下平移1个单位得到的由指数函数y =(12)x 为减函数且过定点(0,1)的特点可知y =(12)x −1的图象大致是B 故选B利用图象变换的理论，函数y =(12)x −1的图象即为将y =(12)x 的图象向下平移1个单位得到的，再利用指数函数的图象和性质即可作选本题考查了函数图象的平移变换，指数函数的图象和性质． 3.答案：D解析：解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x ∈(−1,+∞)，ln(x +1)<x ”的否定是：“∃x 0∈(−1,+∞)，ln(x 0+1)≥x 0”， 故选：D ．根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.答案：B解析：解：由函数f(x)=x 12，知：在A 中，f(x)≥0恒成立，故A 错误；在B 中，∀x ∈(0,+∞)，f(x)≥0，故B 正确；在C 中，∃x 1，x 2∈[0,+∞)，使得f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，故C 错误；在D 中，当x 1=0时，不存在x 2∈[0,+∞)使得f(x 1)>f(x 2)，故D 不成立．故选：B ．函数f(x)=x12的值域为[0,+∞)，是增函数，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的合理运用．5.答案：D解析：解：解不等式1a<1得：a<0或a>1，故1a<1是a>1的必要不充分条件，故选：D．解出关于a的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A.y=cosx是偶函数，在区间[0,1]上单调递减，故A不正确．B.y=x12定义域为[0,+∞)，不是偶函数，故B不正确．C.y=2|x|是偶函数，当x≥0时y=2x在区间[0,1]上单调递增，故C正确．D.y=|lgx|定义域为(0,+∞)不是是偶函数，故D不正确．故选C．7.答案：D解析：解：∵f(4)=log84−74<0，f(5)=log85−75<0，f(6)=log86−76<0，f(7)=log87−1<0，f(8)=1−78>0，易知函数f(x)在定义域内单调递增，∴f(x)有唯一零点，零点所在的区间是(7,8)，故选D．判断f(x)在各区间端点的函数值的符号，根据零点的存在性定理进行判断．本题考查了零点的存在性定理，对数的运算性质，属于基础题．8.答案：D解析：【分析】本题考查求分段函数的函数值，由已知解析式求解即可．【解答】解：∵f(x)={x+1x⩽0f(x−2)x>0，∴f(3)=f(3−2)=f(1)=f(1−2)=f(−1)=0．故选D．9.答案：C解析：【分析】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，属于基础题．先求出函数的对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数f(x)的值域即可．【解答】解：函数f(x)=x2+2x−1的对称轴为x=−1，则函数f(x)在[−2,−1)递减，在(−1,2]上递增，∴f(x)min=f(−1)=−2，f(x)max=f(2)=4+4−1=7，f(x)的值域为[−2,7]．故选C．10.答案：C解析：【分析】本题考查比较大小，考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．利用中间值0，1，得出a，b，c的范围，可得答案．【解答】解：a=1.60.3>1，b=log219<0，c=0.81.6∈(0,1)．可得b<c<a．故选：C．解析：【分析】本题考查函数图象过点(5,4)，等价于点(5,4)满足函数的解析式．【解答】解：∵函数f(x)=x −m x 的图象过点(5,4)，∴4=5−m 5，解得m =5．故选C ． 12.答案：C解析：【分析】本题考查了求函数的最大值，利用二次函数的性质即可，本题的关键在将原函数化简求出一般形式的函数．【解得】解：令x −1=t ，则x =t +1，f(t)=(t +1)2−(t +1)+1=t 2+t +1，f(x)=x 2+x +1，所以f(x)是二次函数，开口向上，对称轴为x =−12，则f(−12)=34，又f(−1)=1，f(1)=3，所以f(x)在[−1,1]上的最大值为3．故选C ． 13.答案：5x解析：【分析】本题主要考查指数函数的解析式与求值，设指数函数，由条件求出参数，即可求出结果．【解答】解：设f(x)=a x (0<a <1或a >1)，因为f(−32)=a −32=√525， 所以a =5，所以f(x)=5x ，故答案为5x ．解析：函数f(x)为奇函数，∴f(−3)=−f(3)=−(32+3)=−12．15.答案：8解析：【分析】本题考查了对数函数的性质，属于基础题．【解答】解：因为log4[log3(log2x)]=0所以log3(log2x)=1所以log2x=3所以x=8故答案为8．16.答案：√2解析：【分析】本题主要考查利用j基本不等式求最值实数x，y满足y=22−log2x，可得y=222log2X =4x，即xy=4，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：已知x,y满足y=22−log2x∴y=2222=4x，即xy=4，则2x +1y≥2√2x·1y=2√24=√2，当且仅当x=2y=2√2时取等号，故答案为√2．17.答案：解：(1)∵对数的底数是3，大于1，则f(x)是增函数，∴在x∈[1,9]，当x=1时，f(x)取得最小值，即f(x)min=f(1)=2，当x=9时，f(x)取得最大值，即f(x)max=f(9)=4，故f(x)的值域为[2,4]．(2)由题意：f(x2)=2+log3x2，由x2∈[1,9]，解得：x∈[−3,−1]∪[1,3]，即y=f(x2)的定义域为x∈[−3,−1]∪[1,3]；[f(x)]2=(2+log3x)2=4+4log3x+(log3x)2，定义域为x∈[1,9]；那么y=f(x2)+[f(x)]2的定义域为x∈[1,3]，则y=6+6log3x+(log3x)2，x∈[1,3]，令log3x=t，∵x∈[1,3]，∴t∈[0,1]，则有：y=t2+6t+6，t∈[0,1]，由二次函数性质可知：函数开口向上，在t∈[0,1]是增函数．∴当t=0时，y取得最小值，即y min=6，当t=1时，y取得最大值，即y max=13，所以y=t2+6t+6，t∈[0,1]的值域为[6,13]．故函数y=f(x2)+[f(x)]2的定义域为[1,3]，值域为[6,13]．解析：本题考查了对数函数的图象及性质的运用能力，考查二次函数的性质，属于中档题．(1)由对数的性质直接求其值域．(2)先求出f(x2)、[f(x)]2的表达式，在求其定义域和值域．18.答案：解：如图，以BC边所在直线为x轴，，以AE边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,20)，B(30,0)，所以直线AB的方程为：x30+y20=1，即y=20−23x，设Q(x,20−2x3)，则矩形PQRD的面积为S=(100−x)[80−(20−2x3)]，(0≤x≤30)，化简，得S=−23x2+203x+6000(0≤x≤30)，配方，S=−23(x−5)2+6000+503(0≤x≤30)，易得当x=5，y=503时，S最大，其最大值为Smax≈6017m2．解析：本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积公式，二次函数法求最值，以及数形结合的思想．如图，先以BC边所在直线为x轴，以AE边所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求得直线AB的方程，再设出Q坐标，由矩形面积公式建立模型，然后根据函数的类型选择适当的方法求其最值．19.答案：解：(1)a=0时，f(x)=x(x≠0)是奇函数，a≠0时，由f(a)+f(−a)=a+a|a|−a+a|a|=2a|a|=±2≠0，f(a)−f(−a)=a+a|a|+a−a|a|=2a≠0，故f(x)既不是奇函数又不是偶函数．(2)x≥1时，f(x)=x+ax，设x1，x2∈[1,+∞)，且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=x1+a x1−x2−ax2=(x1−x2)+a(1x1−1x2)=(x1−x2)(1−ax1x2)<0，得1−a x1x2>0，从而a<x1x2对x2>x1≥1恒成立，所以a≤1．解析：本题考查函数的奇偶性及单调性，属中档题．(1)根据奇偶性的定义判断即可，注意分a=0与a≠0进行讨论；(2)利用定义法判断函数单调性，从而得到a<x1x2对x2>x1≥1恒成立，进而求解．20.答案：解：(1)∵f(x)是幂函数，∴p2−3p+3=1，解得p=1或p=2．当p=1时，f(x)=x−1，不满足f(2)<f(4);当p=2时，f(x)=x12，满足f(2)<f(4)．∴p=2，f(x)=x12．(2)令t=f(x)=x12，x∈[1,9]，则t∈[1,3]．记φ(t)=t2+mt，t∈[1,3]， ①当−m2≤1，即m≥−2时，φ(t)min=φ(1)=m+1=0，解得m=−1; ②当1<−m2<3，即−6<m<−2时，φ(t)min=φ(−m2)=−m24=0，解得m=0(舍去); ③当−m 2≥3，即m ≤−6时，φ(t)min =φ(3)=3m +9=0，解得m =−3(舍去)．综上所述，存在m =−1使得g(x)的最小值为0．解析：本题考查幂函数的概念及二次函数最值问题，属于中档题，(1)根据幂函数的定义，由p 2−3p +3=1，求出p 的值，再根据单调性取舍即可，(2)设t =f(x),t ∈[1,3]，φ(t)=t 2+mt ，通过对m 进行讨论，求得φ(t)的最小值即可求解， 21.答案：解：(1)由函数的解析式可得{1+x >01−x >0，求得−1<x <1，故函数的定义域为(−1,1)． (2)由题意可得，函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)，即ln(1−x)+aln(1+x)=−[ln(1+x)+aln(1−x)]，即(1+a)ln(1−x)+(a +1)ln(1+x)=0，故(1+a)ln(1−x 2)=0恒成立，∴a =−1．(3)∵f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)=ln1+x 1−x ，由题意可得：e f(x)−1−m 2+m =0 在x ∈(−1,1)上有解， 即：1+x 1−x =1−m 2+m 在x ∈(−1,1)上有解，即3x =−2m −1在x ∈(−1,1)上有解，∴x =−23m −13 ∈(−1,1)，即−1<−23m −13<1，解得−2<m <1， ∴m ∈(−2,1)．解析：(1)由函数的解析式可得{1+x >01−x >0，由此求得函数的定义域． (2)由题意可得，函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)，即(1+a)ln(1−x)+(a +1)ln(1+x)=0，即(1+a)ln(1−x 2)=0恒成立，由此可得a 的值．(3)由题意可得：e f(x)−1−m 2+m =0，在x ∈(−1,1)上有解，即：1+x 1−x =1−m 2+m，解得x =−23m −13 ∈(−1,1)，由此利用不等式的性质求得m 的范围．本题主要考查求函数的定义域，奇函数的定义，求函数的零点，不等式的性质应用，属于中档题． 22.答案：解：(1)当a =b =1时，f(x)=−3x +13x+1+1． 若f(x)=3x ，即3(3x )2+2⋅3x −1=0， 解得：3x =13，或3x =−1(舍去)，∴x =−1；(2)若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，即−3−x +a3+b =−−3x +a3+b ，即(3a −b)(3x +3−x )+2ab −6=0，解得：{a =1b =3，或{a =−1b =−3， 经检验，{a =1b =3满足函数的定义域为R ， ∴f(x)=−3x +13x+1+3=13(−1+23x +1)．①f(x)在R 上单调递减，理由如下：∵任取x 1<x 2，则3x 1+1>0，3x 2+1>0，3x 2−3x 1>0则f(x 1)−f(x 2)=13(−1+23x 1+1)−13(−1+23x 2+1)=2(3x 2−3x 1)3(3x 1+1)(3x 2+1)>0， 即f(x 1)>f(x 2)∴f(x)在R 上是减函数；②∵当x ≠0时，函数g(x)满足f(x)⋅[g(x)+2]=13(3−x −3x )，∴g(x)=3x +3−x ，(x ≠0)，则g(2x)=32x +3−2x =(3x +3−x )2−2，不等式g(2x)≥m ⋅g(x)−11恒成立，即(3x +3−x )2−2≥m ⋅(3x +3−x )−11恒成立，即m ≤(3x +3−x )+93+3恒成立，令t =3x +3−x ，则t >2，即m ≤t +9t ，t >2恒成立，由对勾函数的图象和性质可得：当t =3时，t +9t 取最小值6，故m ≤6，即实数m 的最大值为6．解析：(1)当a =b =1时，f(x)=−3x +13x+1+1.由f(x)=3x ，可得满足条件的x 的值；(2)若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则{a =1b =3， ①f(x)在R 上单调递减，利用定义法，可证明结论；②不等式g(2x)≥m ⋅g(x)−11恒成立，即(3x +3−x )2−2≥m ⋅(3x +3−x )−11恒成立，即m ≤(3x +3−x )+93x +3−x 恒成立，结合对勾函数的图象和性质，可得答案．本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．。
辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期第一次月考(10月)数学试题(含解析)
东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考试卷时间：120分钟 满分：150分一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1.已知集合，则中元素个数为（ ）A.2B.3C.4D.62.设集合，则集合的真子集的个数为（ ）A.3B.4C.15D.163.命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）A.B.C. D.4.设，则下列命题正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若则D.若，则5.若集合，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.对于实数，当且仅当时，规定，则不等式的解集是（）A. B.C. D.7.已知，则的最小值为（ ）(){}(){}*,,,,,8A x y x y y x B x y x y =∈≥=+=N ∣∣A B ⋂{}{}{}1,2,3,4,5,,,A B M xx a b a A b B ====+∈∈∣M x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1a >102a <<2a >,a b ∈R ,x y a b >>a x b y ->-a b >11a b<,x y a b >>ax by >a b >22a b >{}30,101x A xB x ax x ⎧⎫-===+=⎨⎬+⎩⎭∣B A ⊆a 13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭x ()1n x n n ≤<+∈N []x n =[]24[]36450x x -+<{28}xx ≤<∣31522xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}27xx ≤≤∣{27}x x <≤∣0,0,23x y x y >>+=23x yxy+A. B.8.方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）A. B.C.D.或二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，9.设均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ）A. B.C.D.10.下列四个命题中正确的是（ ）A.由所确定的实数集合为B.同时满足的整数解的集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素11.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为8 D.的最小值为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的解集是__________.13.某班举行数学､物理､化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学､物理两科的有10人，同时只参加物理､化学两科的有7人，同时只参加数学､化学两科的有11人，而参加数学､物理､化学三科的有4人，则全班共有__________人.3-11-1+2210ax x ++=01a <≤1a <1a ≤01a <≤0a <A B U ､､A B U ⊆⊆()U A B U ⋃=ð()()U U U A B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ð()()U U A B U⋃=ðð(),a b a b ab+∈R {}2,0,2-240,121x x x +>⎧⎨+≥-⎩{}1,0,1,2-(){},3216,,x y x y x y +=∈∈N N ∣()()(){}0,8,2,5,4,26,3A aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z x ()()()2323100,0a m x b m x a b +---<>>11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭21a b +=ab 1812a b +224a b +1222150x x -->14.已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中为整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知集合为全体实数集，或.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.16.（本小题15分）已知全集，集合，集合.（1）若，求实数的取值集合；（2）若集合，且集合满足条件__________（从下列三个条件中任选一个作答），求实数的取值集合.条件①是的充分不必要条件：②是的必要不充分条件：③，使得.17.（本小题15分）设，且.（1介于之间；（2）求；（3）你能设计一个比的吗？并说明理由.18.（本小题17分）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点.（1）求二次函数的不动点：（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值.x ()()2640mx m x --+<m ∈R A A B ⋂=Z Z B m U {2M xx =<-∣{}5},121x N x a x a >=+≤≤-∣3a =()U M N ⋃ðU N M ⊆ða U =R A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩()(){}2440B x x m x m =---<∣B =∅m B ≠∅,A B m x A ∈x B ∈x A ∈x B ∈12,x A x B ∀∈∃∈12x x =10a >1a ≈21111a a =++12,a a 12,a a 2a 3a ()20y ax bx c a =++≠0x ∃∈R 2000ax bx c x ++=0x ()20y ax bx c a =++≠222y x x =+-()2221y x a x a =-++-12,x x 12,0x x >2112x x x x +19.（本小题17分）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由：（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由：命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集：（3）若非空集合是封闭集合，且为实数集，求证：不是封闭集.A ,x y A ∈,x y A xy A +∈∈A {}{}0,1,0,1BC ==-p 12,A A 12A A ⋃q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂A ,A ≠R R A R ð东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考答案【解析】1.解：在集合中，观察集合的条件，当是正整数且时，有等4个元素，则中元素个数为4个.故选C.2.解：由题意可知，集合，集合中有4个元素，则集合的真子集有个，故选C.3.解：命题“，不等式”为假命题，则命题“，不等式”为真命题，所以，解得，所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为1，则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是，故选：A.4.解：A ：令，则，故错误；B ：令，则，故错误；C ：令，则，故错误；D ：因为，所以即，故正确；故选D.5.解：由题可知：.当时，显然不成立即，则满足；B 8x y +=A ,x y y x ≥()()()()1,7,2,6,3,5,4,4A B ⋂{}5,6,7,8M =M 42115-=x ∃∈R 2210ax x -+≤x ∀∈R 2210ax x -+>0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩1a >x ∃∈R 2210ax x -+≤a a >x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1,3,2,0x y a b ==-==13a x b y -=<-=0,0a b ><11a b>0,1,1,0x y a b ==-==0ax by ==a a b >…22||a b >22a b >{}3031x A xx ⎧⎫-===⎨⎬+⎩⎭0a =10…B =∅B A ⊆当时，，由可得：；综上所述实数的取值范围为.故选C.6.解：由，根据的定义可知：不等式的解集是.故选A.7.解：因为，则，当且仅当时，即当，且，等号成立，故的最小值为故选B.8.当时，方程为有一个负实根，反之，时，则于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，0a ≠1B x x a ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭B A ⊆1133a a -=⇒=-a 10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭[]24[]36450x x -+<[]()[]()232150x x ⇒--<[]31522x ⇒<<[]x []24[]36450x x -+<{28}xx <∣…0,0,23x y x y >>+=()22222322111x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x +++++===+++=+…222x y =3x =-y =23x y xy+1+0a =210x +=12x =-12x =-0,a =0a =0a ≠Δ44a =-0a <Δ0>12,x x 1210x x a=<1x 2x 1a0,0a <0a <0a >Δ0≥01a <≤12,x x必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：9.解：因为，如下图所示，则，选项A 正确：，选项B 正确：，选项正确：，选项D 错误.故选ABC.10.解：分别取同正､同负和一正一负时，可以得到的值分别为，故A 正确；由得，12122010x x a x x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩1x 2x 2210ax x ++=12,x x 1212Δ4402010a x x a x x a ⎧⎪=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩01a <≤01a <≤1a ≤2210ax x ++=2210ax x ++=1a ≤2210ax x ++=1a ≤CA B U ⊆⊆()U U U ,B A A B U ⊆⋃=ððð()()UUUA B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ðð()()UUUA B A U ⋃=≠ððð,a b (),a b a b ab+∈R 2,2,0-240,121,x x x +>⎧⎨+≥-⎩22x -<≤所以符合条件的整数解的集合为，故B 正确；由，可以得到符合条件的数对有，故C 正确；当时，；当时，，当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合含有四个元素，故D 错误，故选ABC.11.解：由题意，，且方程的两根为和，所以，所以，所以A 正确；因为，所以，可得，当且仅当时取等号，所以的最大值为B 正确；，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为C 错误；，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以D 正确.故选ABD.12.解：由，，{}1,0,1,2-3216,,x y x y +=∈∈N N ()()()0,8,2,5,4,22a =666332a ==∈--N 1a =663331a ==∈--N 0a =662330a ==∈--N 1a =-66331a =∉-+N 2a =-6635a =∉-N 3a =-66136a ==∈-N A 2,1,0,3-30a m +>()()232310a m x b m x +---=1-12123111,12323b m a m a m--+=-⨯=-++32,231a m b m +=-=-21,a b +=0,0a b >>21a b +=≥18ab ≤122a b ==ab 1,8()121222255549b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭22b a a b =13a b ==12a b+9,22222114(2)(2)22a b a b a b +=+≥+=122a b ==224a b +1222150x x -->2||2150x x ∴-->()()530x x ∴-+>解得：或（舍去），或，即所求的解集为，故答案为.13.解：设参加数学､物理､化学三科竞赛的人分别组成集合，各集合中元素的个数如图所示，则全班人数为.故答案为43.14.解：分情况讨论：当时，，解得；当时，，当且仅当解得或；当时，，当且仅当由，解得.因为，集合中元素个数最少，所以不符合题意；所以要使集合中元素个数最少，需要，解得.故答案为：.15.（本小题13分）5x >3x <-5x ∴<-5x >()(),55,∞∞--⋃+()(),55,∞∞--⋃+,,A B C 24510711443++++++=0m =()640x -+<{}4A xx =>-∣0m <()2266640,4m m x x m m m m ⎛⎫++-+>=+-<- ⎪⎝⎭…m =26{|m A x x m +=<4}x >-0m >2664m m m m+=+≥>m =()2640m x x m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭264m A x x m ⎧⎫+⎪⎪=-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭A B ⋂=Z B 0m ≤B 265m m +≤23m ≤≤{}23mm ∣……【答案】解：（1）当时，，所以或，又或，所以或；（2）由题可得，①当时，则，即时，此时满足；②当时，则，所以，综上，实数的取值范围为.16.（本小题15分）【答案】解：（1）若，则，解得，所以实数的取值集合为（2）集合，集合，则此时，则集合，当选择条件①时，是的充分不必要条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件②时，是的必要不充分条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件③时，，使得，有，则，解得，所以实数的取值集合为3a ={}45N xx =≤≤∣U {4N x x =<∣ð5}x >{2M xx =<-∣5}x >()U {4M N x x ⋃=<∣ð5}x >{}U 25M xx =-≤≤∣ðN =∅121a a +>-2a <U N C M ⊆N ≠∅12112215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23a ≤≤a {}3aa ∣…B =∅244m m =+2m =m {}2{}2200{45}A xx x x x =-++>=-<<∣∣B ≠∅2,m ≠2244(2)0m m m +-=->{}244B xm x m =<<+∣x A ∈x B ∈A B 24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m <-m (),1∞--x A ∈x B ∈B A 24445m m ≥-⎧⎨+≤⎩11m -<≤m (]1,1-12,x A x B ∀∈∃∈12x x =A B ⊆24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m ≤-m (],1∞--17.（本小题15分）【答案】解：（1）证明：.之间.（2比.（3）令，则比.证明如下：由（2.故比18.（本小题17分）【答案】解：（1）由题意知：，，解得，所以，二次函数的不动点为和1.（2）依题意，有两个不相等的正实数根，即方程有两个不相等的正实数根，所以，解得，所以，所以))12111101a a a a ⎫=-⋅--=<⎪+⎭12a a ､11a --1a -2a ∴1a 32111a a =++3a 2a 32a a -=--3a 2a 222x x x +-=()()120x x ∴-+=122,1x x =-=222y x x =+-2-()2221x a x a x -++-=()22310x a x a -++-=()2Δ(3)810a a =+-->12302a x x ++=>1a >12102a x x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭121231,22a a x x x x +-+==()222121221121212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6.19.（本小题17分）【答案】（1）解：对于集合，因为，所以是封闭集；对于集合，因为，所以集合不是封闭集；（2）解：对命题：令，则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，所以，同理可得，所以，所以是封闭集，故正确；（3）证明：假设结论成立，设，若，矛盾，所以，所以有，设且，否则，所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕.()()()22231(1)41162132121212a a a a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪-+-+++⎝⎭===---1822621a a -=++≥=-1821a a -=-5a =1221x x x x +{}0B =000,000B B +=∈⨯=∈{}0B ={}1,0,1C =-()112,112,C C -+-=-∉+=∉{}1,0,1C =-p {}{}122,,3,A xx k k A x x k k ==∈==∈Z Z ∣∣12,A A 12A A ⋃q ()12,a b A A ∈⋂1,a b A ∈1A 11,a b A ab A +∈∈22,a b A ab A +∈∈()()1212,a b A A ab A A +∈⋂∈⋂12A A ⋂2a A a A ∈⇒∈2R ()a A a A -∈⇒-∈R ðða A -∈0a a A -+=∈2R R b A b A ∈⇒∈ððR b A -∈ð2()b A b A -∈⇒-∈R 0b b A -+=∈ð。
2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才外国语学校高一数学文模拟试题含解析
2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才外国语学校高一数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°参考答案：D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选D【点评】本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．2. 中，角所对的边分别是，若角依次成等差数列，且则等于（）.A． B. C. D.参考答案：D3. 棱台上、下底面面积比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( ) A．1∶7 B．2∶7 C．7∶19 D．5∶ 16参考答案：C4. 函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）参考答案：C【分析】由函数的解析式求得f（0）f（1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间．【解答】解：∵函数f（x）=3x+2x﹣3在R上单调递增，∴f（0）=1+0﹣3=﹣2＜0，f（1）=3+2﹣3=2＞0，∴f（0）f（1）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=3x+2x﹣3的零点所在的区间是（0，1），故选：C．5. 已知f（x）=满足对任意x1≠x2都有＜0成立，那么a的取值范围是( )A．（0，1）B．C．D．参考答案：C考点：分段函数的应用；函数恒成立问题．专题：函数思想；定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可得f（x）在R上为减函数，分别考虑各段的单调性，可得2a﹣1＜0，0＜a＜1，注意x=1处的情况，可得2a﹣1+3a≥a，求交集即可得到所求范围．解答：解：对任意x1≠x2都有＜0成立，即有f（x）在R上为减函数，当x＜1时，y=（2a﹣1）x+3a，递减，即有2a﹣1＜0，解得a＜，①当x＞1时，y=a x递减，即有0＜a＜1，②由于x∈R，f（x）递减，即有2a﹣1+3a≥a，解得a≥，③由①②③，可得≤a＜．故选C．点评：本题考查函数的单调性的判断和运用，考查运算能力，注意定义的运用，属于中档题和易错题．6. a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，则下列结论成立的是（）A. 过A有且只有一个平面平行于a、bB. 过A至少有一个平面平行于a、bC. 过A有无数个平面平行于a、bD. 过A且平行a、b的平面可能不存在参考答案：D7. 圆的圆心坐标是（）A.(2，3)B.(－2，3)C.(－2，－3)D.(2，－3)参考答案：D8. 一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D略9. 如果点位于第四象限，那么角所在的象限是（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限参考答案：B∵点位于第四象限，∴，∴角所在的象限是第二象限．故选：B．10. 函数在上是增函数，则实数的取值范围是或参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则_____________.参考答案：略12. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为参考答案：13. 函数的定义域为___________.参考答案：14. 若偶函数在内单调递减，则不等式的解集是参考答案：略15. 已知定义在上的单调函数满足对任意的，都有成立．若正实数满足，则的最小值为___________．参考答案：,故应填答案.考点：函数的奇偶性及基本不等式的综合运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知运用函数的奇偶性可得,再将变形为,从而使得问题获解.16. 如图，给出幂函数在第一象限内的图象，取四个值，则相应于曲线的依次为_ ．参考答案：17. 空间不共线的四个点可确定个平面；参考答案：一个或四个略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年10月辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第一次高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三年级上学期第一次高考模拟考试数学(文)试题(解析版)2019年10月第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|(2)4,M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N =( )A. {0,1,2}B. {}1,2,3C. {1,0,1,2}-D. {1,0,2,3}- 【答案】B【解析】【分析】对集合M 进行化简，根据交集运算，得到答案.【详解】集合{}2|(2)4,M x x x R =-<∈， 解不等式()224x -<得04x << 即集合{}04M x x =<<，而集合{}1,0,1,2,3N =-所以{}1,2,3M N =故选B 项.【点睛】本题考查解不等式，集合的交集运算，属于简单题.2.若复数z 满足(1)z i =，则z 的虚部为( )C. D.【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简计算，得到其标准形式，然后得到答案.【详解】()12z i -===12z ==+所以复数z 的虚部为2， 故选A 项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，22()f x x x=+，则(0)(1)f f +=( )A. 2-B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】 根据奇函数的性质计算出()()11f f =--，由()00f =，再相加得到答案.【详解】因为()f x 是定义域为R奇函数，所以()00f = ()()()2211111f f ⎡⎤=--=--+=⎢⎥-⎣⎦， 所以(0)(1)1f f +=故选C 项.。
2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三(上)第一次模拟数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）第一次模拟数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={x|x 2<36}，N ={2,4，6，8}，则M ∩N =( )A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6} 2. (文)已知复数z =6+8i ，则−|z|=( )A. −5B. −10C. 149 D. −169 3. 定义在R 的奇函数f(x)，当x <0时，f(x)=−x 2+x ，则f(2)等于( )A. 4B. 6C. −4D. −64. 设函数f(x)=sin(x +π4)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. f(x)的图象关于直线x =π4对称C. f(x)的图象关于(−π4,0)对称D. f(x)在(0,π2)单调递增5. 已知a =212，b =313，c =ln 32，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a6. “b =0”是“函数f(x)=ax 2+bx +c 为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若函数f(x)=2x −sinx ，则满足f(2x −1)>f(x +1)的实数x 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−1,2)C. (−2,1)D. (2,+∞)8. 已知tan(α+β)=−1，tan(α−β)=12，则sin2αsin2β的值为( )A. 13B. −13C. 3D. −39. 已知a >1，设函数f (x )=a x +x −4的零点为m ，g (x )=log a x +x −4的零点为n ，则m +n =( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知角α，β的始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A(12,√32)和B(−√22,√22)，则sin(α−β)=( )A. √6−√24B. −√6−√24C. −√6+√24D. √6+√2411. 函数y =cos (2x −3π2)是( )A. 最小正周期为π2的奇函数 B. 最小正周期为π2的偶函数 C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数12. 在△ABC 中，若c 2=a 2+b 2+ab ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. △ABC 中，已知a =4，b =6，sinB =34，则∠A = ______ ． 14. 已知tanα=2，则sinαcosα+2cos 2α= ______ ．15. 已知f′(x)是定义在R 上的函数f(x)的导数，且满足f′(x)+2f(x)>0，f(−1)=0，则f(x)<0解集为______ ．16. 已知sinα+sinβ=12，cosα+cosβ=−√22，则cos(2α−2β)=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在一项研究中，为尽快攻克某一课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取40个数据作为样本，并规定试验数据落在[495,510)之内的数据作为理想数据，否则为不理想数据．试验情况如表所示(1)由以上统计数据完成下面2×2列联表；(2)判断是否有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关；说明你的理由；(下面的临界值表供参考)(参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n =a +b +c +d)18.如图，函数f(x)=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0≤θ≤π2)的图象与y轴相交于点(0,√3)，且该函数相邻两零点距离为π2．(Ⅰ)求θ和ω的值；(Ⅱ)若f(12x−π12)=85，x∈(0,π)，求sinx+sin2x1+cosx+cos2x值．19.在△ABC中，已知cosC+cosAcosB−√3sinAcosB=0(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若a+c=1，求b的取值范围．20.已知函数f(x)=lnx+2x −ae xx2(a∈R)．(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，求实数a 的取值范围．21. 已知函数f(x)=lnx +ax 2−2ax(a ∈R)．(1)当a =1时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)令g(x)=f(x)−12x 2，若x ∈(1,+∞)时，g(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P(1,2)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x+2|．(1)解不等式2f(x)<4−|x−1|；(2)已知m+n=1(m>0,n>0)，若关于x的不等式|x−a|−f(x)⩽1m +1n恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：M={x|−6<x<6}；∴M∩N={2,4}．故选：A．可求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．直接利用复数的求模公式求解即可．【解答】解：复数z=6+8i，则−|z|=−√62+82=−10．故选B．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，属较易题．根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵定义在R的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=−x2+x，∴f(2)=−f(−2)=−[−(−2)2−2]=6，故选：B．4.答案：D解析：【分析】本题考查正弦函数的图像和性质，属于基础题．根据正弦函数的性质判断各选项即可．【解答】解：函数f(x)=sin(x+π4)，根据正弦函数的性质f(x)的周期为，k∈Z，令k=−1，则，∴A正确．当x=π4时，可得函数f(x)=sinπ2=1，∴f(x)的图象关于直线x=π4对称，∴B正确．当x=−π4时，可得函数f(x)=sin0=0，∴f(x)的图象关于(−π4,0)对称，∴C正确．当时，，此时函数f(x)不是单调函数，∴f(x)在(0,π2)单调递增不对．故选D．5.答案：C解析：【分析】本题考查比较大小，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用指数函数和对数函数的性质即可比较．【解答】解：因为a=212>20=1，b=313>30=1，且(212)6=8<9=(313)6，所以b>a，又，所以b>a>c，故选C．6.答案：C解析：解：由题意，得二次函数的图象关于y轴对称，则对称轴为x=−b2a=0，则b=0，故选C．通过“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，”根据二次函数的对称性，得其对称轴是y轴，从而求得b.即可判断充要条件．本题考查函数的奇偶性，注意二次函数的对称轴是解题的关键．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的单调性，导数的知识，解答本题的关键是知道f′(x)=2−cosx>0，f(x)是增函数，由f(2x−1)>f(x+1)得2x−1>x+1，x>2．【解答】解：f(x)=2x−sinx，f′(x)=2−cosx>0，∴f(x)是增函数，由f(2x−1)>f(x+1)得2x−1>x+1，∴x>2，∴实数x的取值范围是(2,+∞)，故选D．8.答案：A解析：【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角函数公式，由sin2αsin2β=sin[(α+β)+(α−β)]sin[(α+β)−(α−β)]化简即可得出结果．【解答】解：sin2αsin2β=sin[(α+β)+(α−β)]sin[(α+β)−(α−β)]=sin(α+β)cos(α−β)+cos(α+β)sin(α−β)sin(α+β)cos(α−β)−cos(α+β)sin(α−β)=tan(α+β)+tan(α−β) tan(α+β)−tan(α−β)=13．故选A．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，函数与反函数图象间的关系，属于中档题．由题意可得，函数y=a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为m，函数y=log a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为n.再根据函数y=a x和y=log a x互为反函数，可得点(m,4−m)与点(n,4−n)关于直线y=x对称，m+n2=4−m+4−n2，可得m+n=4．【解答】解：∵a>1，设函数f(x)=a x+x−4的零点为m，g(x)=log a x+x−4的零点为n，∴函数y=a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为m，函数y=log a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为n，再根据函数y=a x和y=log a x互为反函数，可得点(m,4−m)与点(n,4−n)关于直线y=x对称，∴m+n2=4−m+4−n2，可得m+n=4，故m+n的值为4，故选C．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了三角函数中两角和与差的三角函数公式，属于基础题．由A(12,√32)和B(−√22,√22)，求出sin(α)=√32,cos(α)=12,sin(β)=√22,cos(β)=−√22，进而求得答案．【解答】解：∵角α，β的始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A(12,√32)和B(−√22,√22)，∴sin(α)=√32,cos(α)=12,sin(β)=√22,cos(β)=−√22，∴sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)=√32×(−√22)−12×√22=−√6+√24．故选C．11.答案：C解析：【分析】本题主要考查了诱导公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质.属于简单题．【解答】解：∵cos(2x−3π2)=−sin2x，∴函数是最小正周期为π的奇函数，选C项．故选C．12.答案：D解析：解：∵c2=a2+b2+ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12，∴C=2π3为钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选：D．由c2=a2+b2+ab，利用余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12，即可得出．本题考查了利用余弦定理判定三角形的形状，属于基础题．13.答案：π6解析：解：∵由正弦定理可得：sinA=asinBb =4×346=12，∵a=4<b=6，∴由三角形中大边对大角可知A为锐角，∴可解得：A=π6．故答案为：π6．由正弦定理可得：sinA=asinBb =12，由三角形中大边对大角可知A为锐角，从而可解得A=π6．本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角等知识的应用，属于基础题．14.答案：45解析：解：∵tanα=2，则sinαcosα+2cos2α=sinαcosα+2cos2αsinα+cosα=tanα+2tan2α+1=45，故答案为：45．由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinαcosα+2cos2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．15.答案：(−∞,−1)解析：解：设g(x)=e 2x f(x)，∴g′(x)=2e 2x f(x)+e 2x f′(x)=e 2x (f′(x)+2f(x))>0， ∴g(x)在R 上为增函数， ∵f(x)<0=f(−1) ∴g(x)<g(−1)∴x <−1，即f(x)<0解集为(−∞,−1)， 故答案为(−∞,−1)．设g(x)=e 2x f(x)，求导，判断出g(x)在R 上为增函数，利用单调性即可求出不等式的解集． 本题考查了导数的应用，关键是构造函数，利用导数判断函数的单调性，属于中档题．16.答案：−732解析： 【分析】本题主要考查了两角差的余弦公式和二倍角公式，是基础题．根据题意，两等式平方相加，可得cos(α−β)的值，再根据二倍角公式计算cos(2α−2β)的值． 【解答】解：sinα+sinβ=12，cosα+cosβ=−√22，∴sin 2α+2sinαsinβ+sin 2β=14， cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β=12， ∴2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=34， ∴cosαcosβ+sinαsinβ=−58，∴cos(α−β)=−58，∴cos(2α−2β)=2cos 2(α−β)−1=2×(−58)2−1=−732． 故答案为−732．17.答案：解：(I)根据以上统计数据完成2×2列联表，如下；k =n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=80×(120−360)266×14×40×40≈3.117>2.706，所以有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关．解析：(I)根据题意填写列联表；(II)由表中数据计算K 2的值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布表与独立性检验的应用问题，是基础题． 18.答案：解：(1)由题意可得T =2πω=2×π2，∴ω=2.将x =0，y =√3代入函数f(x)=2cos(2x +θ)得cosθ=√32，因为0≤θ≤π2，所以θ=π6，∴f(x)=2cos(2x +π6). (2)∵sinx+sin2x1+cosx+cos2x =sinx(1+2cosx)cosx+2cos x=tanx ，又f(12x −π12)=85，由(1)可知2cos[2(x2−π12)+π6]=2cosx =85⇒cosx =45， 又x ∈(0,π)，∴x ∈(0,π2)，∴tanx =34，即sinx+sin2x1+cosx+cos2x =34．解析：(1)由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．(2)利用三角恒等变换可得要求的式子为tan x ，由条件求得cos x 的值，结合x 的范围，求得tan x 的值． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图 求出φ的值，属于基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知得cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，即cosAcosB +cos[π−(A +B)]=√3sinAcosB ． cosAcosB −cos(A +B)=√3sinAcosB ．所以sinAsinB =√3sinAcosB ，两边除以sin A cos B ，得，tanB =√3， ∴B =π3，(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =1−3ac ． ∵a +c =1≥2√ac ， ∴ac ≤14．∴b 2=1−3ac ≥14，即b ≥12．再由b <a +c =1，可得 12≤b <1，故边b 的取值范围是[12,1)．解析：(Ⅰ)利用两角和的余弦公式，将cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，变形为sinAsinB =√3sinAcosB ，即可求B ．(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=1−3ac ，利用基本不等式求出b ≥12，再由b <a +c =1，求出边b 的取值范围．本题考查三角函数公式，余弦定理、基本不等式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)因为a=0，所以f(x)=lnx+2x，所以f′(x)=1x −2x2，令f′(x)=0得x=2，列表如下：因此，当x=2时，f(x)有极小值f(2)=ln2+1，无极大值．(2)因为f′(x)=1x −2x2−ae x(x−2)x3=(x−ae x)(x−2)x3，由0<x<2，得x−2x3<0，记g(x)=x−ae x,x∈(0,2)，因为f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，所以g(x)在区间(0,2)内有两个零点，所以g′(x)=1−ae x且a>0，令g′(x)=0，则x=−lna，①当−lna≤0，即a≥1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,2)上单调递减，至多与x轴有一个交点，不满足题意；②当−lna≥2，即0<a≤1e2时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，至多与x轴有一个交点，不满足题意；③当0<−lna<2，即1e2<a<1时，g(x)在(0,−lna)上单调递增，在(−lna,2)上单调递减；由g(0)=−a<0，要使g(x)在区间(0,2)内有两个零点，必须满足{g(x)max=g(−lna)=−lna−1>0, g(2)=2−ae2<0,解得2e2<a<1e．综上所述，实数a的取值范围是(2e2,1e )．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值、不等式恒成立问题，属于难题．(1)求出导数，利用f′(x)=0，求出x的值，列出表格即可求出结果；(2)求出导数，由0<x<2，得x−2x3<0，记g(x)=x−ae x,x∈(0,2)，因为f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，所以g(x)在区间(0,2)内有两个零点，所以g′(x )=1−ae x 且a >0，g′(x )=0，则x =−lna ，分类讨论①当−lna ≤0，②当−lna ≥2，③当0<−lna <2，，即可求出结果．21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=lnx +x 2−2x ，∴f′(x)=1x +2x −2，∴f′(1)=1+2−2=1，又f(1)=1−2=−1， ∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x −y −2=0． (2)∵g(x)=f(x)−12x 2=lnx +ax 2−2ax −12x 2， ∴g′(x)=1x +2ax −2a −x =2a(x −1)+(1−x)(1+x)x=(x−1)[(2a−1)x−1]x．①当a ≤12时，2a −1≤0，x ∈(1,+∞)时，恒有g′(x)<0， ∴函数g(x)在区间(1,+∞)上是减函数，∵g(x)≤0在x ∈(1,+∞)上恒成立，只需满足g(1)=−a −12≤0， 解得a ≥−12，∴−12≤a ≤12．②当12<a <1时，x ∈(12a−1,+∞)时，g′(x)>0， ∴g(x)在(12a−1,+∞)上是增函数， ∴g(x)∈(g(12a−1),+∞)，不合题意，③当a ≥1时，同理可知，g(x)在(1,+∞)上是增函数， ∴g(x)∈(g(1),+∞)，不合题意， 综上可知：a ∈[−12,12]．解析：(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，确定a 的范围即可．本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =3cosϕy =3+3sinϕ(φ为参数)，消去参数得曲线C 的普通方程为x 2+(y −3)2=9，即x 2+y 2−6y =0， 即x 2+y 2=6y ，即ρ2=6ρsinθ，故曲线C 的极坐标方程为ρ=6sinθ． (Ⅱ)设直线l ：{x =1−√22ty =2+√22t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2+y 2−6y =0中，化简可得t 2−2√2t −7=0，显然△>0；设M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2，故{t 1+t 2=2√2t 1t 2=−7，∴1|PM|+1|PN|=|PM|+|PN||PM|⋅|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=67．解析：(Ⅰ)曲线C 的参数方程化为普通方程x 2+y 2−6y =0，由此能求出曲线C 的极坐标方程． (Ⅱ)直线l ：{x =1−√22ty =2+√22t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2+y 2−6y =0中，得t 2−2√2t −7=0，由此能求出1|PM|+1|PN|的值．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段长的倒数和的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．23.答案：解：(1)不等式2f(x)<4−|x −1|等价于2|x +2|+|x −1|<4，即{x ⩽−2−2(x +2)−x +1<4或{−2<x <12(x +2)−x +1<4或{x ⩾12(x +2)+x −1<4, 解得−73<x ⩽−2或−2<x <−1或x ∈⌀， 所以不等式的解集为{x|−73<x <−1}；(2)因为|x −a|−f(x)=|x −a|−|x +2| ⩽|x −a −x −2|=|a +2|， 所以|x −a|−f(x)的最大值是|a +2|， 又m +n =1(m >0,n >0)， 于是(1m +1n )(m +n)=nm +m n +2⩾2+2=4，当且仅当nm =mn ，即m =n =12时等号成立， 故1m +1n 的最小值为4，要使|x −a|−f(x)⩽1m +1n 恒成立， 则|a +2|⩽4，解得−6⩽a ⩽2， 故实数a 的取值范围是[−6,2]．解析：本题考查了不等式的恒成立问题，绝对值不等式求解，利用基本不等式求最值，属于中档题． (1)由已知不等式2f(x)<4−|x −1|等价于2|x +2|+|x −1|<4，分三种情况即可解出不等式的解集；(2)由已知得到|x −a|−f(x)的最大值是|a +2|，利用基本不等式求出1m +1n 的最小值，得到|a +2|⩽4，即可求出实数a 的取值范围．。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学(文)
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2] 答案： D解答：根据题意集合{|12}A x x =-≤≤，集合{|10}B x x =->，即{|1}B x x =>，所以{|12}A B x x =<≤I .故选D.2．2018是第（ ）象限角． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 答案： C 解答：∵20185360218︒=⨯︒+︒.∵180218270︒<︒<︒，故2018︒是第三象限角.故选C.3．已知曲线3y x =在点(1,1)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．13 D ．13-答案： C解答：23y x '=，1x =时，3y '=，所以31a -⨯=-，13a =，故选C.4．下列说法正确的是（ ）A ．若命题,p q ⌝都是真命题，则命题“p q ∧”为真命题B ．命题：“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”C ．命题“x R ∀∈，20x>”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤”D ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件 答案： C 解答：选项A ，命题命题,p q ⌝都是真命题，则命题q 为假命题，因此“p q ∧”为假命题，因此不正确；选项B ，“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.所以“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠”，因此不正确；选项C ，在否定含有全称量词和存在量词的命题时，全称量词和存在量词互相转换，同时否定结论.所以“x R ∀∈，20x>”的否定是“0x R ∃∈，020x ≤”，正确；选项D ，当1x =-时，2560x x --=，故充分性成立；当2560x x --=时，6x =或1x =-，故必要性不成立；所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，因此不正确. 故选C.5．设函数2)(x x e e x f --=，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x -是奇函数C ．()()f x f x ⋅是奇函数D ．()()f x f x ⋅是偶函数 答案：解析：()()2x xe ef x f x ---==-，所以函数()f x 是奇函数，()()f x f x -=，所以函数2()()x xe ef x f x -==--，函数()f x 是偶函数，()f x -是奇函数，()()f x f x ⋅--=奇⨯偶=奇函数，()f x 是偶函数，所以()()f x f x ⋅=奇⨯偶=奇函数，故选D.6．函数()2lg(1)2xf x x =++-的零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案： B 解答：由题意得：()2lg(1)20x f x x =++-=，即22lg(1)x x =-+，而2xy =单调递增，2lg(1)y x =-+单调递减.根据图象性质可知如果此两函数有交点，那么也只有一个.也就是：22lg(1)x x =-+至多有一个零点.0(0)2lg121f =+-=-，99(9)2lg102210f =+-=->，所以(0)(9)0f f ⋅<，所以函数()2lg(1)2xf x x =++-有一个零点.故选B.7．已知52)cos(=+πα，则=+)22sin(πα（ ） A ．725 B ．725-C ．1725D ．1725-答案：解答：2cos()cos 5παα+=-=，所以2cos 5α=-，217sin(2)cos 22cos 1225πααα+==-=-，故选D.8．已知函数2,1()43,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()f x 的值域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．[0,1)(1,)+∞U 答案： B 解答：由2,1()43,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，知当1x ≤时，20x ≥； 当1x >时，433431x x +-≥=-=，当且仅当4x x=，即2x =时取“=”，取并集得：()f x 的值域是[0,)+∞.故选B.9．为了得到函数cos(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度答案： A解答：cos(2)cos(2)sin(2)336y x x x πππ=-=-=+，所以22()612x x ππ+=+，所以应该是向左平移12π个单位长度，故选A.10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3xf x m =+（m 为常数），则3(log 5)f -的值为（ ）A ．4B ．4-C ．6D ．6- 答案： B 解答：∵()f x 的定义在R 上的奇函数，∴0(0)30f m =+=，∴1m =-，∴3log 533(log 5)(log 5)(31)4f f -=-=--=-，故选B.11．若2018tan 1tan 1=-+αα，则=+αα2tan 2cos 1( )A ．2017B ．2018C ．2019D ．1004 答案： B 解答：22211sin 21sin 2(cos sin )cos sin tan 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos sin cos sin ααααααααααααααα++++=+====-- 1tan 20181tan αα+=-，故选B.12．已知关于x 的方程()22ln 2x x x k x +=++在1[,)2+∞上有两解，则实数k 的取值范围为（ ）A ．ln 2(1,1]5+B ．9ln 2(1,]105+C ．(1,2]D ．(1,]e 答案： B解答：由22ln (2)x x x k x +=++，因为0x >，所以20x +≠，所以22ln 2x x xk x +-=+， 令22ln ()2x x x f x k x +-==+，则方程在1[,)2+∞上有两解， 可转化为()y f x =与y k =在1[,)2+∞上有两个交点，2222(2ln 1)(2)(2ln )32ln 4()(2)(2)x x x x x x x x x f x x x --+-+-+--'==++，设2()32ln 4g x x x x =+--，则(1)1340g =+-=，所以22232(21)(2)()23x x x x g x x x x x +--+'=+-==，因为1[,)2x ∈+∞，所以()0g x '≥恒成立，则11319()()2l n 42l n 224224g x g ≥=+--=-+，所以当112x ≤<时，()0g x <，则()0f x '<，当1x ≥时，()0g x ≥，则()0f x '≥，所以()f x 在1[,1)2单调递减，在[1,)+∞单调递增，又1112ln 129ln 29ln 2422()()1254210522f +-==+=++，且min()(1)1f x f ==，如图所示，y k =在9ln 2105y ≤+和1y >之间移动时，()y f x =与y k =在1[,)2+∞上有两个交点.即实数k 的取值范围为9ln 2(1,]105+.故选B.二、填空题13．若函数1,0,()0,x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则((2))f f -= ．答案：解答：∵20-<代入1()f x x =-，11(2)22f -=-=-， 又∵102≥，代入()f x =0x ≥，∴1()222f =⨯=14．设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),[,),(,)(2a x x a x x x f ，若，则的取值范围为 ．答案：]2,(-∞解答：因为(2)4f =，所以2[,)a ∈+∞，所以(,2]a ∈-∞.15．求值：=-)120tan 3(10cos 70tan．答案：1-解答：cos 20tan 70cos10201)cos10tan 70)cos10)sin 20︒︒︒︒-=︒︒=︒︒120cos 20)22cos102cos10sin 20︒-︒=︒=︒︒sin(2030)2cos10sin102cos101sin 20sin 20︒-︒︒︒=︒=-=-︒︒4)2(=f a16．直线x a =分别与曲线21y x =+，ln y x x =+交于A 、B 两点，则||AB 的最小值为 ． 答案：2解答：由AB 是直线x a =与曲线21y x =+和ln y x x =+交点所形成的线段，(21)(ln )ln 1AB x x x x x =+-+=-+，设()ln 1f x x x =-+，0x >，则1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，即min ()(1)20f x f ==>，所以min ()2f x =，所以AB 最小值为2. 三、解答题17.已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++（01a <<）． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为4-，求实数a 的值． 答案：（Ⅰ）{31}x x -<<；（Ⅱ）2. 解答：（Ⅰ）由1030x x ->⎧⎨+>⎩，得31x -<<，∴定义域为{31}x x -<<.（Ⅱ）函数化为22()log (1)(3)log (23)log [(1)4]a a a f x x x x x x =-+=--+=-++，∵31x -<<，∴20(1)44x <-++≤，∵01a <<，∴2log [(1)4]log 4a a x -++≥，即min ()log 4a f x =，由log 44a =-，得44a -=，144a -==故实数a . 18．已知函数()sin cos ()f x x a x x R =+∈，4π是函数()f x 的一个零点． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若α，(0,)2πβ∈，且()4f πα+=，3()4f πβ+=，求s i n ()αβ+的值． 答案：（Ⅰ）1a =-；. 解答：（Ⅰ）∵4π是函数()f x 的一个零点， ∴ ()sin cos 0444f a πππ=+=. ∴1a =-.（Ⅱ）()sin cos ))4f x x x x x x π=-==-.∴()4f πα+=， 5α=. ∴ sin 5α=.∵ (0,)2πα∈，∴ cos 5α==.∵3()45f πβ+=， )25πβ+=.∴ cos 10β=.∵(0,)2πβ∈，∴ sin β==.∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+==. 19．函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．答案：（Ⅰ）T π=，()sin(2)6f x x π=+；（Ⅱ）()g x 有最大值为1；()g x 有最小值12-. 解答：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，∴T π=，∴2ω=. 当6x π=时，()1f x =，可得sin(2)16πϕ⋅+=，∴2πϕ<，∴6πϕ=，∴()sin(2)6f x x π=+.（Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 2sin 2coscos 2sincos 2666g x f x x x x x x x πππ=-=+-=+-12cos 2sin(2)26x x x π=-=-. ∵02x π≤≤，∴52666x πππ-≤-≤， 当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值12-． 20．设函数2()ln 2x f x k x =-，0k >． （Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点． 答案： （Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析. 解答：（Ⅰ）由2()ln 2x f x k x =-，(0)k >，得2()k x k f x x x x-'=-=.由()0f x '=解得x =()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；()f x 在x =(1ln )2k k f -=.无极大值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln )2k k f -=. 因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k -≤，从而k e ≥.当k e =时，()f x 在区间上单调递减，且0f =，所以x =是()f x 在区间上的唯一零点.当k e >时，()f x 在区间上单调递减，且1(1)02f =>，02e k f -=<，所以()f x 在区间上仅有一个零点.综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间上仅有一个零点.21.已知函数4()log (41)()x f x kx x R =++∈是偶函数．（Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）设44()log (2)3x g x a a =⋅-，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．答案： （Ⅰ）12k =-；（Ⅱ）{3}(1,)-+∞U .解答：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数可知：()()f x f x =-.∴44log (41)log (41)x x kx kx -++=+-，441log 241x x kx -+=-+，即2x kx =-对一切x R ∈恒成立 ，∴12k =-. （Ⅱ）函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 即方程4414log (41)log (2)23x x x a a +-=⋅-有且只有一个实根，化简得：方程142223xx x a a +=⋅-有且只有一个实根， 令20x t =>，则方程24(1)103a t at ---=有且只有一个正根， (1)314a t =⇒=-，不合题意； (2)304a ∆=⇒=或3-； 若324a t =⇒=-，不合题意；若132a t =-⇒=. (3)一个正根与一个负根，即01101a a ∆>⎧⎪⇒>-⎨<⎪-⎩. 以上结果经过验证均满足4203xa a ->， 综上，实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞U . 22．已知函数()()ln f x ax x a a R =--∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当()0,a ∈+∞，()1,x ∈+∞时，证明：()ln f x ax x <． 答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.解答：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，11()(0)ax f x a x x x-'=-=>， 当0a ≤时，(0,)x ∈+∞，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0a >时，1(0,)x a ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减，1()x a∈+∞，()0f x '>， 函数()f x 单调递增，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；当0a >时，函数()f x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a +∞单调递增. （Ⅱ）设()ln ()ln ln g x ax x f x ax x ax x a =-=-++，1()ln g x a x x '=+， 设1()ln x a x x ϕ=+，2211()a ax x x x xϕ-'=-=. ①当1a ≥时，10ax ->，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(1,)+∞上单调递增； ∴()(1)10x ϕϕ>=>，即()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g x g a a >=-+=，不等式成立；②当01a <<时，1(1,)x a ∈，()0x ϕ'<；1(,)x a∈+∞，()0x ϕ'>， 所以()x ϕ在(11,)a 上单调递减，在1(,)a +∞上单调递增； ∴1()()(1ln )0x a a aϕϕ>=->， 即()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增. ∴()(1)0g x g a a >=-+=， 综上所述：当(0,)a ∈+∞，(1,)x ∈+∞时，()0g x >，即()ln f x ax x <.。
辽宁省沈阳市东北育才学校高一数学上学期第一次阶段考
东北育才学校高中部高一学年上学期第一阶段数学考试试卷使用时间：2016.10.13 命题人：高一数学备课组 答题时间：120分钟一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有四个集合：A ＝{棱柱}，B ＝{四棱柱}，C ＝{长方体}，D ＝{正四棱柱}，它们之间的包含关系是( )A ．C ⊆D ⊆A ⊆B B ．D ⊆C ⊆B ⊆AC ．C ⊆A ⊆D ⊆B D ．B ⊆D ⊆C ⊆A2．已知水平放置的△ABC 是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．三边互不相等的三角形3．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线； ④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．其中正确的命题有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④4.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A ．2πB ．πC ．2D ．15．连接平面外一点P 和平面α内不共线的三点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1分别在PA ，PB ，PC 的延长线上，A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1与平面α分别交于D ，E ，F ，则D ，E ，F 三点( )A ．成钝角三角形B ．成锐角三角形C ．成直角三角形D ．共线6.设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα⊥；B ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα⊥；C ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα//；D ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα//；7．在四面体A BCD 中,棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直,则过顶点A 作H BCD AH 于点平面⊥，则H 为△BCD 的( )A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心8．过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条9．在正四面体P －ABC 中，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论不成立的是( )．A.BC ∥平面PDFB.DF ⊥平面PAE C .平面PDF ⊥平面ABC D.平面PDF ⊥平面PAE10．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( C )11. 若空间中有(5)n n 个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n 值（ ）A.不存在B.有无数个C.等于5D.最大值为8 12.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A . (0,2) B. (0,3) C. (1,2) D. (1,3)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸相应题号后面的横线上．13.如图是一个正方体盒子的平面展开图，在其中的四个正方形内标有数字1,2,3和－3，要在其余正方形内分别填上－1，－2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A 处应填________．14．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ．若圆M 的面积为3π，则球O 的半径等于________．15．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C与D 、E 、F ．已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________．第15题 第16题16.如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ， DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的表面积等于________．三、解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应在答题纸上指定位置写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分10分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)C1F∥平面ABE；1求证：18．(本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？说明理由，如果能，求出截面的面积．19.(本小题满分12分)如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点， D为PB的中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)DM∥平面APC；(2)平面ABC⊥平面APC．20.(本小题满分12分)正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在 AC 上移动，点N 在BF 上移动．若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜2)．(1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长度最短．21．(本小题满分12分)如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点.(1)若BM MA ＝BNNC，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ；(2)棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．22．(本小题满分12分)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图中的俯视图、左视图，在直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)请画出直观图的主视图；(2)若N 是BC 的中点，求证：AN ∥平面CME ；(3)求证：平面BDE ⊥平面BCD .东北育才学校高中部高一学年上学期第一阶段数学考试试卷使用时间：2016.10.13 命题人：高一数学备课组 答题时间：120分钟三、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有四个集合：A ＝{棱柱}，B ＝{四棱柱}，C ＝{长方体}，D ＝{正四棱柱}，它们之间的包含关系是( B )A ．C ⊆D ⊆A ⊆B B ．D ⊆C ⊆B ⊆AC ．C ⊆A ⊆D ⊆B D ．B ⊆D ⊆C ⊆A3．已知水平放置的△ABC 是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么△ABC 是一个(A)A.等边三角形B.直角三角形 C ．钝角三角形D ．三边互不相等的三角形3．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线； ④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．其中正确的命题有( D )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④4.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( A )A ．2πB ．πC ．2D ．15．连接平面外一点P 和平面α内不共线的三点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1分别在PA ，PB ，PC 的延长线上，A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1与平面α分别交于D ，E ，F ，则D ，E ，F 三点(D )A ．成钝角三角形B ．成锐角三角形C ．成直角三角形D ．共线6.设n m ,是不同的直线，βα,是不同的平面，下列命题中正确的是（B ）A ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα⊥；B ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα⊥；C ．若n m n m ⊥⊥,,//βα，则βα//；D ．若n m n m //,,//βα⊥，则βα//；7．在四面体A BCD 中,棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直,则过顶点A 作H BCD AH 于点平面⊥，则H 为△BCD 的( A )A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心10．过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( D )A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条11．在正四面体P －ABC 中，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论不成立的是( C )．A.BC ∥平面PDFB.DF ⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PDF ⊥平面PAE10．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( C )12. 若空间中有(5)n n ≥个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n 值（C ）A.不存在B.有无数个C.等于5D.最大值为812.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是(A )A. (0,2)B. (0,3)C. (1,2)D. (1,3)四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.如图是一个正方体盒子的平面展开图，在其中的四个正方形内标有数字1,2,3和－3，要在其余正方形内分别填上－1，－2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A 处应填____－2____．14．已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ．若圆M 的面积为3π，则球O 的半径等于____2____．15．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C与D 、E 、F ．已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝15________．第14题 第15题 16.如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的表面积等于__6π.______．三、解答题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：AB ⊥C 1F ；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；略18．(本小题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？说明理由，如果能，求出截面的面积．解 能．取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1，∵A 1N∥PC 1且A 1N ＝PC 1，PC 1∥MC，PC 1＝MC ，∴四边形A 1MCN 是平行四边形，又∵A 1N∥PC 1，A 1M∥BP，A 1N∩A 1M ＝A 1，C 1P∩PB＝P ，∴平面A 1MCN∥平面PBC 1，因此，过点A 1与截面PBC 1平行的截面是平行四边形．连接MN ，作A 1H⊥MN 于点H ， ∵A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝22，∴A 1H ＝3．∴S△A 1MN ＝12×22×3＝6． 故S ▱A 1MCN ＝2S△A 1MN ＝26．19．(本小题满分10分)如图所示，在棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．求证：(1)DM ∥平面APC ；(2)平面ABC ⊥平面APC ．证明 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 中点，∴DM∥AP．又∵DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，∴DM∥平面APC ．(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点，∴DM⊥PB．又∵DM∥AP，∴AP⊥PB．又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P ，∴AP⊥平面PBC ．∵BC ⊂平面PBC ，∴AP⊥BC．又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A ，∴BC⊥平面APC ．又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC⊥平面APC ．20.(本小题满分12分)正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动．若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜2)． (1)求MN 的长度； (2)当a 为何值时，MN 的长度最短． (1)得|MN |＝a 2－2a ＋1，即MN 的长度为a 2－2a ＋1.(2)由(1)得|MN |＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12，当a ＝22(满足0＜a ＜2)时， ⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12取得最小值22，即MN 的长度最短，最短为22. 21．(本小题满分12分)如图所示，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点.(1)若BM MA ＝BN NC ，求证：无论点P 在DD 1上如何移动，总有BP ⊥MN ；(2)棱DD 1上是否存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．[解析] (1)如图所示，连接B 1M 、B 1N 、AC 、BD ，则BD ⊥AC ．∵BM MA ＝BN NC，∴MN ∥AC ． ∴BD ⊥MN ．∵DD 1⊥平面ABCD ，MN ⊂面ABCD ，∴DD 1⊥MN ．∴MN ⊥平面BDD 1．∵无论P在DD1上如何移动，总有BP⊂平面BDD1，故总有MN⊥BP．(2)存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1⊥平面ACC1．∵BD⊥AC，BD⊥CC1，∴BD⊥平面ACC1．取BD1的中点E，连接PE，则PE∥BD.∴PE⊥面ACC1．又∵PE⊂面APC1，∴面APC1⊥面ACC1．22．(本小题满分12分)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)画出主视图；(2)若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；(3)求证：平面BDE⊥平面BCD.(1)主视图略(2)证明：连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，11 又MN ＝AE ＝12CD ，所以四边形ANME 为平行四边形． 所以AN ∥EM ．因为AN 平面CME ，EM ⊂平面CME ， 所以AN ∥平面CME ．(3)证明：因为AC ＝AB ，N 为BC 的中点， 所以AN ⊥BC ．又平面ABC ⊥平面BCD ，所以AN ⊥平面BCD ．由(2)知：AN ∥EM ，所以EM ⊥平面BCD ．又EM ⊂平面BDE ，所以，平面BDE ⊥平面BCD ．。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题 1.复数2=（ ） A.1- B.1 C.i -D.i 答案： D 解答：2222(1)122222i i i i i i -+--====--，故选D. 2.已知全集2{|8120}U x z x x =∈-+≤,{3,4,5}A =，{5,6}U C B =,则A B =I（ ）A.{5,6}B.{3,4}C.{2,3}D.{2,3,4,5} 答案： B 解答：由2812(2)(6)0x x x x -+=--≤，得26x ≤≤，所以{2,3,4,5,6}U =.因为{5,6}U C B =，所以{2,3,4}B =，又{3,4,5}A =，所以{3,4}A B =I ，故选B. 3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为、，（ ）A.，B. ，C. ，D. ，答案： C 解答：由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故，故选C.4.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱 答案： B 解答：还原该几何体的直观图如图所示，所以截去的几何体是三棱柱.故选B.5.下列命题中真命题的是（ ）A.若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题；B. “22am bm <”是“a b <”的充要条件；C.命题：若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠或1x ≠-，则21x ≠；D.对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠，则p 是q 的充分不必要条件. 答案： D 解答：A 项，若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个是假命题，故A 项错误；B 项，当a b <且0m =时，22am bm =，故“22am bm <”不是“a b <”的充要条件”，故B 项错误；C 项，命题若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为：若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠.故C 项错误；D 项，:8p x y ⌝+=；:2q x ⌝=且6y =.当2x =且6y =时，8x y +=；当8x y +=时，x y 、取值不一定为26、.故q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，故p 是q 的充分不必要条件.故D 项正确.故选D. 6.已知1cos()25πα-=，则cos2α=（ ） A ．725B ．725- C ．2325 D ．2325-答案： C 解答：1cos()sin 25παα-==，2223cos 212sin 12525αα=-=-=.故选C.7.若实数,x y 满足210220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A.4B.1C.1-D.4-答案： C 解答：画出目标函数2z x y =-在约束条件下的可行域如图中阴影部分所示，当直线2y x z =-经过点(0,1)时，z -有最大值，即z 有最小值，min 1z =-.故选C.8．已知函数lg(y x =是定义在R 上的奇函数，且函数2()x ag x x+=在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1D ．2 答案： A 解答：因为函数lg(y x =+是定义在R 上的奇函数，所以lg(lg(x x =--，所以x +=.所以2(1x x a -==，所以1a =±，又函数22()x a g x x +=在(0,)+∞上单调递增，所以2()10ag x x'=-≥在(0,)+∞上恒成立，所以1a =-.故选A.9.某次文艺汇演，要将A B C D E F 、、、、、这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A B 、两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ） A ．192种 B ．144种C ．96种D ．72种 答案： B 解答：A B 、两个节目要相邻，可以“捆绑法”，有22A 种方法，但不能排在3号位置，所以有3种选择：1,2；4,5；5,6，其余节目可在其它3个位置任意排列，有44A 种方法，故由分步乘法原理得节目单上不同的排序方式有24243144A A =种，故选B.10.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，ϕ＜π2）的图象如图所示，为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A.向右平移4π个单位长度 B.向左平移4π个单位长度 C.向右平移12π个单位长度 D.向左平移12π个单位长度 答案： C 解答：因为0A >且图象最小值1-，所以1A =，由图象可知54124T ππ=-，所以23T π=， 又因2T πω=得3ω=.将(,0)4π代入()sin(3)f x x ϕ=+得4πϕ=，所以()sin(3)4f x x π=+，而()sin[3()]sin 3()12124f x x xg x πππ-=-+==，则()f x 应向右平移12π个单位长度.故选C.11.设点1F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，点P 为C 右支上一点，点O 为坐标原点，若1OPF ∆是底角为30︒的等腰三角形，则C 的离心率为（ ）A 1B 1CD 答案： A 解答：由题意可知1OF OP c ==，112cos30F P OF =⋅⋅︒=. 不妨假设点P 位于第一象限，双曲线的右焦点为2F ，作PD x ⊥轴，则易知1sin 302PD PF =⋅︒=，sin 302cOD PO =⋅︒=. ∴22cDF =，2PF c =，由双曲线的定义知：122PF PF a -=,2c a -=，1)2c a =，∴双曲线的离心率1c e a ===. 12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有5()(2)()2x f x e x f x -'=+-（e 是自然对数的底数），且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰唯一一个整数，则实数m 的取值范围是（ ） A.(,0)2e-B.(,0]2e - C.3(,0]4e- D.39(,]42e e-答案： B令(())xe gf x x =，则()[()()]xg x e f x f x ''=+，因为5()(2)()2x f x e x f x -'=+-，所以5()22g x x '=+，所以25()2g x x x C =++，C 为常数，因为0(0)(0)1g e f ==，所以1C =，所以25()12g x x x =++， 所以251()(21)(2)2()2x x xx x g x x x f x e e e++++===，当2x =-或12x =-时，()0f x =，当1(2,)2x ∈--时，()0f x <，所以当0m >时，()0f x m -<至少有两个整数解1x =-和2x =-，故D 项错误.当1x =-时，()2e f x =-，所以当02em -<≤时，()0f x m -<恰有唯一一个整数解1x =-，故B 项正确，A 项错误.当2em ≤-时，()0f x m -<无整数解，故C 错误.故选B. 二、填空题13.已知(1)nmx +的展开式中，二项式系数和为32，各项系数和为243，则m = ． 答案：2解答：因为二项式系数和为32，所以232n=，所以5n =，又各项系数和为243，所以5(1)243m +=，所以2m =.14.已知抛物线24y x =的焦点为F ，点A 在y 轴上，线段AF 的中点B 在抛物线上，则AF = ．答案：3解答：抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为1x =-，因为点B 是线段AF 的中点，所以点B 的横坐标为12x =，所以312BF x =+=，23AF BF ==. 15.在正四面体P ABC -中，其侧面积与底面积之差为积为 ．6π解答：设正四面体P ABC -的棱长为a ，则其底面积为21244a ⨯⋅=，侧面积为3==所以2a =.=， 所以外接球的表面积为246R ππ=.16.如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos sin a C c A b B +=，且6C A B π∠=.若点D 是ABC ∆外一点，2,3DC DA ==，则当四边形ABCD 面积最大值时，sin D = ．答案：7解答：因为cos cos sin a C c A b B +=，所以sin cos sin cos sin sin A C C A B B +=，所以2sin()sin()sin sin A C B B B π+=-==，因为0B π<<，所以sin 1B =，所以2ABC π∠=，又6CAB π∠=，所以2b a =，c =.在ACD ∆中，由余弦定理，2249223cos 1312cos 4AC D D a =+-⨯⨯=-=，23sin 2ABCD ABC ACDS S S D =+=+.①当2D ππ<<时，令sin ,(0,1)t D t =∈，则()3S t t =+，()3S t '=，当t =时，()0S t '=，当0t <<时，()0S t '>，()S t 单调递增，1t <<时，()0S t '<，()S t 单调递减，所以当sin D ==时，S取最大值，max 814782S =++=+. ②02D π<≤时，令(]sin ,0,1t D t =∈，则()3S t t =+，()30S t '=>，所以当1t =时，S 取最大值，所以max 3S =+<.综上所述，当sin 7D =时，四边形ABCD 的面积最大. 三、解答题17.已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2130a x dx --<的解集为(1,3)-，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1()22n a n n b a +=+，求数列{}n b 前n 项和n S .答案：（1）21n a n =-； （2）1222n n S n +=+-.解答：（1）由题意，得112,33,da a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得121.d a =⎧⎨=⎩,故数列{}n a 的通项公式为12(1)n a n =+-，即21n a n =-.（2）据（1）求解知21n a n =-，所以1()222(21)+=+=+-n a n n n b a n ，所以12(2482)(13521)22n n n S n n +=+++++++++-=+-L L .18.随着移动支付的普及，中国人的生活方式正在悄然发生改变，带智能手机而不带钱包出门，渐渐成为中国人的新习惯.2017年我国的移动支付迅猛增长，据统计某平台2017年移动支付的笔数占总支付笔数的80%.（1）从该平台的2017年的所有支付中任取10笔，求移动支付笔数的期望和方差；（2）现有500名使用移动支付平台的用户，其中300名是城市用户，200名是农村用户，调查他们2017年个人支付的比例是否达到80%，得到22⨯列联表如下：根据上表数据，问是否有95%的把握认为2017年个人支付比例达到了80%与该用户是否是城市用户还是农村用户有关？附：22()()()()()n ad bca b a c c d b d χ-=++++答案：（1）8,85；（2）见解析. 解答：（1）设移动支付笔数为X，则4~(10,)5X B，所以4418 108,105555 EX DX=⨯==⨯⨯=.（2）因为222()500(2703017030)= 2.841 3.841 ()()()()44060300200n ad bca b c d a c b dχ-⨯⨯-⨯=≈< ++++⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关.19. 在四棱锥P ABCD-中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，//BC AD，90ADC∠=︒，112BC CD AD===，PA PD=，E，F分别为AD，PC的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PE EC =，求二面角F BE A --的余弦值.答案：（1）见解析；（2）3-. 解答：（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接EC ，FO ，∵//BC AD ，12BC AD =，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE BC =， ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点，又F 为PC 中点，∴//OF PA ，∵OF ⊂平面BEF ，PA ⊄平面BEF ，∴//PA 平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得EC =PE EC ==取PD 中点M ，连,,ME MF MA ，∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，且交于AD ，BE AD ⊥，∴BE ⊥平面PAD ，又//ME OF ，∴MEA ∠为二面角F BE A --的平面角,又∵EM =，1AE =，AM =，∴cos 3MEA ∠=-，所以二面角F BE A --的余弦值为3-20. 已知(2,0)A -，(2,0)B ，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-. （1）求动点C 的轨迹方程； （2）设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，且(1,0)F ，求证：90PFQ ∠=︒.答案：（1）221(0)43x y y +=≠；（2）见解析.解答：（1）设(,)C x y ，则依题意得34AC BC k k ⋅=-，又(2,0)A -，(2,0)B ， 所以有3(0)224y y y x x ⋅=-≠+-，整理得221(0)43x y y +=≠，即为所求轨迹方程. （2）设直线l ：y kx m =+，与223412x y +=联立得2234()12x kx m ++=，即222(34)84120k x kmx m +++-=，依题意222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+-=，即2234k m +=， ∴122834km x x k -+=+，得122434km x x k-==+， ∴2243(,)3434km m P k k -++，而2234k m +=，得43(,)k P m m -，又(4,4)Q k m +， 又(1,0)F ，则43(1,)(3,4)0k FP FQ k m m m ⋅=--⋅+=uu r uu u r .知FP FQ ⊥u u r u u u r ， 即90PFQ ∠=.21.已知函数2()x f x xe x ax b =+++，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为4230x y --=.（1）求,a b 的值；（2）证明:()ln f x x >.答案：（1）1a =；32b =-； （2）见解析.解答： （1）()(1)2x f x x e x a '=+++，由题意有(0)123(0)2f a f b '=+=⎧⎪⎨==-⎪⎩，解得1a =，32b =-. （2）证明：由（1）知，23()2x f x xe x x =++-. 设2()ln x h x xe x x x =++-，则只需证明3()2h x >. 11()(1)21(1)(2)x x h x x e x x e x x '=+++-=++-，设1()2x g x e x =+-，则21()0x g x e x '=+>，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增， ∵141()2404g e =+-<，∵131()2303g e =+->， ∴011(,)43x ∃∈，使得0001()20x g x e x =+-=. 且当0(0,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >.∴当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增 ；∴02min 00000()()ln x h x h x x e x x x ==++-，由01200=-+x e x ，得2100-=x e x ， ∴220000000001()(2)ln 1ln h x x x x x x x x x =-++-=-+-， 设2()1ln x x x x ϕ=-+-，11(,)43x ∈，1(21)(1)()21x x x x x xϕ+-'=--=， ∴当11(,)43x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ在11(,)43单调递减， ∴200111173()()()()1ln()ln 3333392h x x ϕϕ=>=-+-=+>，因此3()2h x >. ∴()ln f x x >.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程是：22(5)10x y -+=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设过原点的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且2AB =，求直线l 的斜率． 答案：（1）210cos 150ρρθ-+=；（2）34±. 解答：（1）曲线C ：2251)0(x y -+=，即2210150x y x +-+=， 将222x y ρ+=，cos x ρθ=代入得，曲线C 的极坐标方程为210cos 150ρρθ-+=．（2）由圆的弦长公式2=及210r =，得圆心()5,0C 到直线l 距离3d =， 如图，在Rt OCD ∆中，易得3tan 4DOC ∠=，可知直线l 的斜率为34±．23. 已知函数()1f x ax =+，不等式()3f x <的解集为(1,2)-.（1）求实数a 的值；（2）若不等式()1f x x m ≤++的解集为∅，求实数m 的取值范围.答案：（1）2a =-；（2）32m <-. 解答：（1）由13ax +<知42ax -<<，而13ax +<的解集为()1,2-，所以2a =-．（2）由（1）知211x x m -+≤++，即211x x m --+≤的解集为∅， 令()211g x x x =--+，则2,11()3,1212,2x x g x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， . 所以min 3()2g x =-，故32m <-。
育才学校2019-2020学年度第一学期第一次月考 高一数学
育才学校2019-2020学年度第一学期第一次月考高一数学一、单选题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合{|3}==-∈，则A BB x x k k Z=-<<，{|21,}A x xπ⋂的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAFAHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF2.设全集{},0U R A xx ==， {}1B x x =，则U A C B ⋂= ( )A. {|01}x x <≤B. {|01}x x ≤<C. {|0}x x <D. {}1xx3.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =， {}2,3,5M =， {}4,5N =，则集合{}1,6=（ ）A. M U ⋃B. M N ⋂C.()U C M N ⋃ D. ()U C M N ⋂4.定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数,则（ ）A. ()()()123f f f <-<B.()()()321f f f <-<AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAFC. ()()()213f f f -<<D.()()()312f f f <<-5.已知非空集合A B 、 ， ()2215log 2329A x x x x x ⎧⎫=-->--⎨⎬⎩⎭， A B ⊆，则集合B 可以是（ ）A. ()()1,04,6-⋃B. ()()2,13,4--⋃C.()3,3- D. ()()3,14,6--⋃6.已知函数()2,0,{ ,0.x x f x x x ≤=->，则()()2f f =（ ）A. 2B. 4C. -4D. 167.函数x y x x=+的图象是 （ ）AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAFA. B.C. D.8.已知11232f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()6f m =，则m 等于（ ）A. 14B. 14-C. 32D. 32-9.已知定义在()0,+∞上的减函数()f x 满足条件：对任意,x y R +∈，总有()()()1f xy f x f y =+-，则关于x 的不等式()11f x ->的解集是（ ）A. (),2-∞B. ()1,+∞AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAFC. ()1,2D. ()0,210.下列函数中，在其定义域内与函数有相同的奇偶性和单调性的是（ ）A. 1y x =-B. 122xxy =- C.ln y x= D. 3x y =11.函数的大致图像是（ ）AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF12.由于盐碱化严重，某地的耕地面积在最近50年内减少了100．如果按此规律，设2013年的耕地面积为m ，则2018年后的耕地面积为 （ ）A. ()25010.1y m =- B. 1100.9y m = C. 2500.9y m =D. 11010.9y m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF二、填空题 (共4小题,每小题5分,共20分)13.设全集{|110}U n N n =∈≤≤， {}1,2,3,5,8A =， {}1,3,5,7,9B =，则()U C A B ⋂=__________．14.已知函数()y f x =的定义域为[]1,0-，则函数()2log y f x =的定义域为________.15.122302132-(-9.6)3+(1.5)48⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝________．16.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-，则0x ≤时， ()f x =_________．三、解答题 (共6小题 ,共70分)17. （12分）已知集合A 是函数()()lg 4f x x -的定义域，AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF{|211}B x m x m =-≤≤+，且A B A ⋃=.（1）求集合A ；（2）求实数m 的取值范围.18.（10分） 已知全集,U R =集合{}{}|1 3 ,|0 ,A x x B x x k =-≤<=-≤（1）若1k =，求U A C B ⋂；（2）若A B ϕ⋂≠，求k 的取值范围．19. （12分）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数， ()g x 是定义在R 上恒不为0的偶函数.记()()()f x h xg x =.(1)判断函数()h x 的奇偶性；(2)若()()3x f x g x +=，试求函数()h x 的值域.20. （12分）已知函数()2=-f x ax（1）若()()f x在,0=，求a的值；（2）判断()312f f（）上的单调-∞性并用定义证明.21. （12分）已知函数25y x x=++-的定义域是集合Q,集合=+≤≤+R是实数集.{|123},P x a x a⑴若a=3，求⑵若P Q Q⋃=，求实数a的取值范围.22. （12分）f(x)是定义在R上的奇函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.(1)求证：f(x)为奇函数；AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF(2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)在[－2，4]上的最值.AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAFAHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF答 案1.C2.A3.C4.B5.B6.B7.C8.B9.C10.B 11.A 12.B13.{7,9} 14.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.12 16.22x x --17.（1）{|34}A x x =-≤<；（2）1m ≥-.解：（1）∵30{ 3440x x x +≥⇒-≤<->，∴{|34}A x x =-≤<.AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF（2）∵B A A ⋃=，∴B A ⊆.①当B =∅ 时211m m ->+，解得2m >；②当B ≠∅ 时22{21 3 { 1 143m m m m m m ≤≤-≥⇒≥-⇒+<< 12m -≤≤，综上所述1m ≥-.18.（1）{}|1 3 U A C B x x ⋂=<<（2）1k ≥-解:（1）1k =代入B 得： {}| 1 B x x =≤U R = {}| 1 U C B x x ∴=>{}|1 3 A x x =-≤< {}|1 3 U A C B x x ∴⋂=<<{}|1 3 A x x =-≤< ， {}{}|0 | B x x k x x k =-≤=≤且 A B ϕ⋂≠AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF1k ∴≥-19.(1) 奇函数; (2) ()1,1y ∈-解：（1）由函数()f x 是R 上的奇函数， ()g x 是R 上的偶函数知： ()()()(),f x f x g x g x -=--=.所以()()()()()()f x f x h x h x g x g x --==-=--所以()h x 是奇函数.（2）()()3x f x g x +=①()()3xf xg x -∴-+-=，即()()3xf xg x --+=②联立①②解得()()3333,22x x x xf xg x ---+==， ()33913391x x x x x x h x ----∴==++，由9191x x y -=+，则1901xy y+=>-，所以11y -<<，即()1,1y ∈-.AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF20.解：(1)由()()312f f =可得： ()321a a -=-，解得： 52a =.(2)证明：设120x x <<，则()()()1212122112252522222x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而12120,0x x x x >-<， ()()120f x f x ∴-<，即()()12f x f x <故()f x 在,0-∞（）上单调递增21.解：（1）{|25}Q x x =-≤≤当{}3,49,a P x x ==≤≤故{}45,P Q x x ⋂=≤≤.AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF（2）要P Q Q ⋃=， 则要.P Q ⊆(i)当123a a +≤+时，即2a ≥-时， ,P ≠∅要P Q ⊆.只需2{2 1 ,235a a a ≥--≤++≤ 解得2 1.a -≤≤(ii)当123a a +>+ 时，即2a <-时， .P =∅故P Q ⊆.综合(i)(ii)，实数a 的取值范围为{}1.a a ≤22.解：(1) ()f x 的定义域为R ，令0x y ==，则()()()000f f f =+， ()00f ∴=，令y x =-，则()()()f x x f x f x -=+-，AHA1220HAGAGGAGAGGAFFFFAFAF()()()00f x f x f ∴+-==， ()()f x f x ∴-=-， ()f x ∴是奇函数.(2)设21x x >，()()()()()212121f x f x f x f x f x x -=+-=-，210x x ->， ()210f x x ∴-<， ()()210f x f x ∴-<，即()()21f x f x <，()f x ∴在R 上为减函数.(3)()()()()12,2114f f f f -=∴-=-+-=，()f x 为奇函数， ()()224f f ∴=--=-，()()()4228f f f ∴=+=-， ()f x 在[]2,4-上为减函数，()()()()max min 24,48f x f f x f ∴=-===-. N5LS 36579 8EE3 軣$25501 639D 掝\fcA。
2019-2020学年辽宁省沈阳120中高一(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年辽宁省沈阳120中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >−2}，B ={x|x ≤1}，则A ∩B =( )A. {x|x >−2}B. {x|−2<x ≤1}C. {x|x ≤−2}D. {x|x ≤1}2. 设f(x)=ax 2+bx +2是定义在[1+a,1]上的偶函数，则a +2b =( )A. 0B. 2C. −2D. 133. 一给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足.则该函数的图象可能是( )A.B.C.D.4. 函数f(x)=12的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. (0,49) B. [0,49]C. [0,49)D. (0,49]5. 若0≤x ≤2，则f(x)=√x(8−3x)的最大值( )A. √5B. 4√33C. 163D. 26. 定义函数序列：f 1(x)=f(x)=x1−x ，f 2(x)=f(f 1(x))，f 3(x)=f(f 2(x))，…，f n (x)=f(f n−1(x))，则函数y =f 2017(x)的图象与曲线y =1x−2017的交点坐标为( )A. (−1,−12018) B. (0,1−2017) C. (1,1−2016) D. (2,1−2015) 7. 已知定义在R 上的奇函数y =f(x)+x 2，满足f(1)=3，则f(−1)=( )A. −3B. −4C. −5D. −68. 已知f(x)={x2,x ≥0−x 2+3x,x <0，则不等式f(x)<f(4)的解集为( )A. (4,+∞)B. (−∞,4)C. (−3,0)D. (−∞,−3) 9. 若函数f(x)的定义域为[−2,2]，则函数f(x +1)+f(1−2x)的定义域为( )A. [−12,1]B. [−12,2]C. [−2,2]D. [−3,32]10. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x <0时，f(x)=1x−1，则f(12)等于( )A. −23 B. 23 C. −2D. 211. 函数f(x)=log 2(x 2−3x −4)的单调减区间为( )A. (−∞,−1)B. (−∞,−32) C. (32,+∞) D. (4,+∞)12. 设集合A ={x|x 2−4x +3<0} ，B ={x|2x −3>0}，则A ∩B =( )A. (−3,−32)B. (−3,32)C. (1,32)D. (32,3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)=log 13(3x −x 2)的单调递增区间是______． 14. 函数f(x)=x −√1−x 的值域是______ ．15. 若关于x 的方程x 2−mx +m =0没有实数根，则实数m 的取值范围是______． 16. 函数f(x)=−x 2+6x −3，x ∈[2,5)的值域是 ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={x|−1≤x +1≤6}，B ={x|m −1<x <2m +1}.若A ⊇B ，求m 的取值范围．18. 某厂生产A 产品的年固定成本为250万元，若A 产品的年产量为x 万件，则需另投入成本C(x)(万元).已知A 产品年产量不超过80万件时，C(x)=13x 2+10x ；A 产品年产量大于80万件时，C(x)=51x +10000x−80−1450.因设备限制，A 产品年产量不超过200万件．现已知A 产品的售价为50元/件，且年内生产的A 产品能全部销售完．设该厂生产A 产品的年利润为L(万元)． (1)写出L 关于x 的函数解析式L(x)；(2)当年产量为多少时，该厂生产A 产品所获的利润最大？19.已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1<x<6}，C={x|x>a}，U=R．(1)求A∪B；(2)如果A∩C=⌀，求a的取值范围．20.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)，对任意x、y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y)．(1)求f(1)的值；(2)若f(x)在(1,+∞)上单调递增，①求证：f(x)在(0,1)上单调递增；②如果f(3)=1，解关于x的不等式f(5x)>f(x−1)+2．21.已知函数f(x)=x2−2ax(a>0)求函数f(x)在[0,2]上的最大值g(a)．22. 已知函数f(x)=ax+b x 2+1是定义在(−1,1)上的奇函数，f(12)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(−1,1)上的单调性，并用定义证明； (3)解关于t 的不等式，f(t +12)+f(t −12)<0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={x|x>−2}，B={x|x≤1}，∴A∩B={x|−2<x≤1}．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查函数的奇偶性，属基础题，关键是根据偶函数的定义域关于0对称，求得a的值，利用偶函数的定义求得b的值．【解答】解：∵f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,1]上的偶函数，∴f(−x)=f(x)且1+a+1=0，得，且ax2−bx+2=ax2+bx+2，则−b=b，得b=0，则．故选C．3.答案：A解析：【分析】本题考查数列的函数概念和函数的图象，读懂题意是关键，属简单题．【解答】解：由题对于给定函数的图象在下列四个选项中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则可得到，所以在上都成立， 即，所以函数图象都在的下方．故选A ．4.答案：C解析： 【分析】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次函数的性质，问题转化为ax 2+3ax +1>0恒成立，通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质判断即可． 【解答】解：∵f(x)=√ax 2+3ax+1的定义域为R ， ∴ax 2+3ax +1>0恒成立， ∵①当a =0时，不等式恒成立， ②当a ≠0时，{a >0Δ=9a 2−4a <0， ∴0<a <49， ∴综上：0≤a <49． 故选C ．5.答案：B解析： 【分析】根据x 的范围，利用二次函数的性质求得f(x)的最大值．本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，属于中档题． 【解答】解：由于0≤x ≤2，f(x)=√x(8−3x)=√−3x 2+8x =√−3(x −43)2+163，故当x =43时，函数f(x)取得最大值为√163=4√33，故选B ．6.答案：A解析：解：由题意f 1(x)=f(x)=x1−x ． f 2(x)=f(f 1(x))=x 1−x 1−x 1−x =x1−2x ， f 3(x)=f(f 2(x))=x 1−2x1−x 1−2x=x 1−3x，…f n (x)=f(f n−1(x))=x 1−nx，∴f 2017(x)=x 1−2017x，由{y =1x−2017y =x1−2017x 得：{x =1y =1−2016，或{x =−1y =1−2018， 由f 1(x)=f(x)=x1−x 中x ≠1得：函数y =f 2017(x)的图象与曲线y =1x−2017的交点坐标为(−1,−12018)， 故选：A ．由题意，可先求出f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)…，归纳出f n (x)的表达式，即可得出f 2017(x)的表达式，进而得到答案．本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征．7.答案：C解析： 【分析】本题考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，属于基础题．根据条件即可得出f(−1)+(−1)2=−[f(1)+1]，而f(1)=3，从而可求出f(−1)． 【解答】解：∵y =f(x)+x 2是定义在R 上的奇函数，且f(1)=3； ∴f(−1)+(−1)2=−[f(1)+1]， 即f(−1)+1=−(3+1)， ∴f(−1)=−5．故选C ．8.答案：B解析：解：由f(x)={x2,x ≥0−x 2+3x,x <0，可得f(4)=2，当x ≥0时，f(x)<2可得x 2<2，解得0≤x <4； 当x <0，f(x)<2可得−x 2+3x <2，解得x <0； 综上可得x <4，即不等式的解集为(−∞,4)． 故选：B ．由分段函数可得f(4)=2，讨论x 的范围，由不等式的解法，即可得到所求解集． 本题考查分段函数及运用，主要考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．9.答案：A解析： 【分析】本题考查了函数定义域与值域和抽象函数． 利用抽象函数定义域的求法得结论． 【解答】解：∵函数f(x)的定义域为[−2,2]， 所以−2≤x ≤2，则{−2≤x +1≤2−2≤1−2x ≤2，即{−3≤x ≤1−12≤x ≤32, 解得−12≤x ≤1，因此函数f(x +1)+f(1−2x)的定义域为[−12,1]． 故选A ．10.答案：A解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性的应用，题目基础．由函数f(x)为偶函数可得f(12)=f (−12)，借助已知求解即可． 【解答】解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x <0时，f(x)=1x−1， 所以f(12)=f (−12)=1−12−1=−23．故选A ．11.答案：A解析： 【分析】本题考查了复合函数的单调性，属于基础题，要注意的是必须在定义域的前提下找单调区间． 利用复合函数“同增异减”的法则进行求解． 【解答】 解：函数，则x 2−3x −4>0⇒(x −4)(x +1)>0⇒x >4或x <−1， 故函数f(x)的定义域为x >4或x <−1， 由是单调递增函数，可知函数f(x)的单调减区间即y =x 2−3x −4的单调减区间， 当时，函数y =x 2−3x −4单调递减，结合f(x)的定义域，可得函数的单调减区间为．故选A ．12.答案：D解析： 【分析】本题主要考查集合的运算和不等式求解，属于基础题． 分别求出集合A ，B ，再利用交集运算即可． 【解答】解：x 2−4x +3<0的解为1<x <3，故集合A ={x|1<x <3}， 2x −3>0的解为x >32，故集合B ={x|x >32}， 所以A ∩B ={x|32<x <3}， 故答案为D ．13.答案：[32,3)t，解析：解：令t=3x−x2>0，求得0<x<3，可得函数f(x))的定义域为(0,3)，f(x)=log13故本题即求函数t在(0,3)上的减区间．,3),再利用二次函数的性质可得函数t在(0,3)上的减区间为[32,3)．故答案为：[32t，本题即求函数t在(0,3)上的减令t=3x−x2>0，求得函数f(x))的定义域为(0,3)，f(x)=log13区间．再利用二次函数的性质可得结论．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．14.答案：(−∞,1]解析：【分析】本题主要考查函数的值域的求法．换元法是求函数的值域的一个重要方法，应熟练记忆．设√1−x=t，利用换元法把原函数转化成一元二次函数的问题，利用函数的单调性求得函数的值域．【解答】解：设√1−x=t，则t≥0，f(t)=1−t2−t，t≥0，函数图象的对称轴为t=−1，开口向下，在区间[0,+∞)上单调递减，2∴f(t)max=f(0)=1，∴函数f(x)的值域为(−∞,1]．故答案为：(−∞,1]．15.答案：(0,4)解析：解：由方程x2−mx+m=0没有实数根，则△<0，∴m2−4m<0，解得：0<m<4，∴实数m的取值范围(0,4)，故答案为：(0,4)．由二次函数的性质可知：△<0，根据一元二次不等式的解法，即可求得m的取值范围．本题考查一元二次方程的根的个数，考查一元二次不等式的解法，考查判别式的应用，属于基础题．16.答案：(2,6]解析：【分析】本题主要考查二次函数的值域问题．【解答】解：因为函数f(x)=−x 2+6x −3=−(x −3)2+6，因为x ∈[2,5),所以当x =3时函数取最大值6，当x =5时，函数取最小值2，所以函数f(x)的值域为(2,6]，故答案为(2,6]．17.答案：解：化简集合A 得A ={x|−2≤x ≤5}，①当m −1≥2m +1，即m ≤−2时，B =⌀⊆A;②当m >−2时，B ={x|m −1<x <2m +1}，因此，要B ⊆A ，则只要{m −1≥−22m +1≤5⇒−1≤m ≤2, 综上所述，m 的取值范围是{m|−1≤m ≤2或m ≤−2 }．解析：此题考查利用集合的包含关系求参数范围，考查不等式的解法、分类讨论思想的应用，属于基础题．求出A 中不等式的解集确定出A ，根据A ⊇B ，分B 为空集及不为空集两种情况，分别列出关于m 的不等式，即可确定出m 的范围．18.答案：解：(1)由题意知L(x)=50x −C(x)−250={−13x 2+40x −250(0<x ≤80)1200−(x +10000x−80)(80<x ≤200)； (2)①当0<x ≤80时，L(x)=−13(x −60)2+950，所以当x =60时，L(x)max =L(60)=950；②当80<x ≤200时，L(x)=1120−[(x −80)+10000x −80] ≤1120−2√(x −80)⋅10000x−80=920． 当且仅当x −80=10000x−80，即x =180时，“=”成立．因为180∈(80,200]，所以L(x)max =920<950．答：当年产量为60万件时，该厂所获利润最大．解析：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了分段函数的值域的求法，训练了利用配方法求二次函数的最值及利用基本不等式求最值，是中档题．(1)利润L(x)等于销售收入减去固定成本再减去投入成本C(x)，根据产量的范围列出分段函数解析式；(2)当0<x≤80时，利用配方法求二次函数的最值，当80<x≤200时，利用基本不等式求最值．19.答案：解：(1)∵A={x|2≤x≤8}，B={x|1<x<6}，∴A∪B={x|1<x≤8}．(2)∵A∩C=⌀，A={x|2≤x≤8}，C={x|x>a}，∴a≥8．即a的取值范围为[8,+∞)．解析：(1)由于A={x|2≤x≤8}，B={x|1<x<6}，根据集合交集的定义，可直接求出A∪B；(2)由A∩C=⌀，A={x|2≤x≤8}，C={x|x>a}，易判断出a的取值范围本题考查集合中的参数取值问题及交、并、补的混合运算，解题的关键是理解交、并、补运算的意义，且能根据运算规则作出判断得出参数所满足的不等式20.答案：解：(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)．∴令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，则f(1)=0；(2)①若f(x)在(1,+∞)上单调递增，且f(1)=0，∴当x>1时，f(x)>0，设x1，x2∈(0,1)，且x1>x2，则x1x2>1，则f(x1x2)>0，∴f(x1)−f(x2)=f(x2⋅x1x2)−f(x2)=f(x2)+f(x1x2)−f(x2)=f(x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0,1)上的是增函数；(3)若f(3)=1，则f(9)=f(3)+f(3)=1+1=2，则不等式f(5x)>f(x−1)+2等价为f(5x)>f(x−1)+f(9)．即f(5x)>f(9x−9)．由(2)知函数在(0,+∞)上为增函数，则不等式等价为{5x>0 x−1>05x>9x−9,即{x >0x >1x <94，解得1<x <94， 即不等式的解集为(1,94).解析：本题主要考查抽象函数的应用，根据函数的奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键，属于中档题．(1)利用赋值法进行求f(1)的值；(2)①根据函数的单调性的定义判断f(x)在(0,1)上的单调性，并证明；②根据函数单调性的性质解不等式即可．21.答案：解：函数f(x)=x 2−2ax(a >0)的对称轴为x =a ，①当0<a ≤1时，g(a)=f(2)=4−4a ；②当a >1时，g(a)=f(0)=0；故g(a)={4−4a,0<a ≤10,a >1．解析：由题意先求对称轴x =a ，再根据对开口方向与对称轴求最大值．本题考查了二次函数的性质应用，属于基础题．22.答案：解：(1)f (0)=0⇒b =0，f (12)=25⇒a =1；所以f (x )=x x 2+1，检验奇偶性满足;(2)函数f (x )在(−1,1)上是增函数．证明：任取−1<x 1<x 2<1，f (x 1)−f (x 2)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)<0⇒f (x 1)<f (x 2) 所以函数f (x )在(−1,1)上是增函数；(3)f (t +12)<f (t −12)⇒f (t +12)<f (12−t)⇒−12<t <0．解析：本题考查函数的奇偶性和单调性的证明以及利用函数的单调性解不等式．(1)根据f (0)=0⇒b =0，f (12)=25⇒a =1可得结果；(2)根据单调性的定义证明即可；(3)根据函数的奇偶性、单调性结合复合函数的定义域，列出不等式组解出结果．。
2019-2020学年辽宁省沈阳市第一二o中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
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注：资料封面，下载即可删除2019-2020学年辽宁省沈阳市第一二o 中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知集合{}|2A x x =>-，{|1}B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}2x x - B ．{|21}x x -<≤ C ．{|2}x x ≤- D ．{|1}x x ≤【答案】B【解析】利用交集运算直接求解． 【详解】集合{}|2A x x =>-，{|1}B x x =≤，{|21}A B x x ∴⋂=-<≤．故选：B ． 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．2．设()f x 22ax bx =++是定义在[]11a +，上的偶函数，则2+a b =（ ） A ．0 B ．2C ．2-D ．13【答案】C【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称，求得a 的值，再利用偶函数的定义求得b 的值． 【详解】 解：22f x ax bx =++（）是定义在[]11a +，上的偶函数， ()f x f x ∴-=（）且110a ++=，得2a =-，且2222ax bx ax bx -+=++， 则b b -=，得0b =， 则22a b +=-． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题，3．一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用已知条件推出n n f a a （）＜，判断函数的图象，推出选项即可． 【详解】由题对于给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<．则可得到n n f a a （）＜，所以11f a a （）＜在101a ∀∈（，）上都成立，即01x f x x ∀∈（，），（）＜，所以函数图象都在y x =的下方． 故选A ． 【点睛】本题考查函数图象的判断，数列与函数的关系，属基础题． 4．已知函数2()31f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．40,9⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．40,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．40,9⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】讨论0a =与0a >两种情况.当0a =时满足题意,当0a >时,根据∆<0即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当0a =时,分母变为常数1,所以定义域为R ,即0a =符合题意 因为定义域为R ,所以当0a ≠时, 0a >符合题意.且同时满足∆<0即()2340a a ∆=-<,解不等式可得409a << 综上所述,实数a 的取值范围为409a ≤<,即40,9a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选D 【点睛】本题考查了函数定义域的求解,定义域为R 时函数满足的条件,属于基础题.5．若02x ≤≤，则()f x = ）A B C ．163D ．2【答案】B【解析】根据x 的范围，利用二次函数的性质求得()f x 的最大值． 【详解】解：由于02x ≤≤，()f x ===故当43x =时，函数()f x 3=， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，属于中档题． 6．定义函数序列：()()()121321()(),()(),()(),,()()1n n xf x f x f x f f x f x f f x f x f f x x-====⋯=-，则函数()2017y f x =的图象与曲线12017y x =-的交点坐标为（ ）A ．112018⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．102017⎛⎫⎪-⎝⎭，C ．112016⎛⎫ ⎪-⎝⎭，D ．122015⎛⎫⎪-⎝⎭，【答案】A【解析】由题意，可先求出()1f x ，()2f x ，()3f x ⋯，归纳出()n f x 的表达式，即可得出()2017f x 的表达式，进而得到结果． 【详解】解：由题意()()11xf x f x x==-．()()()2111211xxx f x f f x x x x -===---，()()()321213112xxx f x f f x x x x-===---，⋯()()()11n n xf x f f x nx-==-， ()201712017xf x x∴=-，由1201712017y x x y x ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩得：112016x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，或112018x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，由()()11xf x f x x==-中1x ≠得： 函数()2017y f x =的图象与曲线12017y x =-的交点坐标为112018⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.故选：A ． 【点睛】本题考查了合情推理中的归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论，属于中档题.7．已知定义在R 上的奇函数y =()2f x x +，满足()13f =，则()1f -= （ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】C【解析】根据条件即可得出()()[]21111f f -+-=-+（），而()13f =，从而可求出()1f -．【详解】()2y f x x =+是定义在R 上的奇函数，且()13f =；()()[]21111f f ∴-+-=-+（），即()()1131f -+=-+，()15f ∴-=-．故选：C【点睛】本题考查利用奇函数求函数值，考查基本分析求解能力，属于基础题．8．已知()f x 20230xx x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩，，，则不等式()()4f x f <的解集为（ ）A ．()4+∞，B ．()4-∞，C ．()30-，D ．()3-∞-，【答案】B【解析】由分段函数得42f =（），不等式化为2f x <（），然后分0x ≥和0x <两种情况讨论求解. 【详解】由20230xx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩，（），，可得42f =（）， 当0x ≥时，2f x <（）可得22x<，解得04x ≤<； 当0x <，2f x <（）可得232x x -+<，解得0x <； 综上可得4x <，即不等式的解集为()4-∞，． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查分段函数及运用、不等式的解法，还考查了运算求解能力，属于中档题．9．若函数()f x 的定义域为[]22-，，则函数()()112f x f x ++-的定义域为（ ） A ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．[]22-，D ．332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】A【解析】利用抽象函数定义域的求法求解． 【详解】函数f x （）的定义域为[]22-，， 所以22x -≤≤，则2122122x x -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，即311322x x -≤≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得112x -≤≤， 因此函数()()112f x f x ++-的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了抽象函数定义域的解法，属于基础题． 10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()f x 11x =-，则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．23-B ．23C ．2-D ．2【答案】A【解析】由函数f x （）为偶函数可得1122f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，借助已知求解即可． 【详解】解：因为f x （）是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，11f x x =-（）， 所以1112122312f f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．11．函数()f x ()22log 34x x =--的单调减区间为（ ）A ．()1-∞-，B ．32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，C ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， D ．()4+∞，【答案】A【解析】利用复合函数“同增异减”的法则进行求解． 【详解】解：函数()22()log 34f x x x =--，则2340x x -->⇒()()4104x x x -+>⇒>或1x <-， 故函数()f x 的定义域为4x >或1x <-， 由2log y x =是单调递增函数，可知函数()f x 的单调减区间即234y x x =--的单调减区间， 当3,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，函数234y x x =--单调递减，结合()f x 的定义域， 可得函数()22()log 34f x x x =--的单调减区间为(,1)-∞-． 故选：A ． 【点睛】本题考查了复合函数的单调性，要注意的是必须在定义域的前提下找单调区间，属于基础题．12．设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|230B x x =->，则AB =（ ）A ．33,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】先解不等式得到集合,A B ，然后再求出A B 即可．【详解】由题意得{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，32B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∴333,322A B x x ⎧⎫⎛⎫⋂=<<=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭． 故选：D ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，解题的关键是是通过解不等式得到集合，属于基础题．二、填空题13．已知()f x ()213log 3x x =-的单调递增区间是______．【答案】332⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】先求函数()f x 的定义域为03，，再结合二次函数的性质，利用复合函数单调性求解即可． 【详解】解：令230t x x =->，求得03x <<，得函数()f x 的定义域为03，， 因为13y log t =在定义域内递减，题意即求函数23t x x =-在03，上的减区间． 由二次函数的性质可得函数t 在03，上的减区间为332⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故()f x ()213log 3x x =-的单调递增区间是332⎡⎫⎪⎢⎣⎭，. 故答案为：332⎡⎫⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】本题考查了复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．函数()f x x =______ ．【答案】(]1-∞，【解析】t =，利用换元法把原函数转化成一元二次函数的问题，利用函数的单调性求解. 【详解】t =，则0t ≥，所以21g t t t =--（），0t ≥， 函数图象的对称轴为12t =-，开口向下，在区间[)0+∞，上单调递减， ()01max g t f ∴==（），∴函数f x （）的值域为(]1-∞，． 故答案为：(]1-∞，． 【点睛】本题主要考查函数的值域的求法以及换元法的应用，还考查了转化化归的思想，属于基础题.15．若关于x 的方程20x mx m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是______．【答案】()04，【解析】由二次函数的性质可知：∆<0，根据一元二次不等式的解法，即可求得m 的取值范围． 【详解】解：由方程20x mx m -+=没有实数根，则∆<0，240m m ∴-<，解得：04m <<， ∴实数m 的取值范围()04，，故答案为：()04，． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的个数，考查一元二次不等式的解法，考查判别式的应用，属于基础题．16．函数2()63,[2,5)f x x x x =-+-∈的值域是______________． 【答案】(]2,6 【解析】【详解】函数()263f x x x =-+-，的开口向下，对称轴为[)32,5x =∈，所以函数的最大值为()391836f =-+-=，最小值为()()5253032f x f >=-+-=，因为[)2,5x ∈所以函数的值域为(]2,6 ，故答案为(]2,6.三、解答题17．设集合{|116}A x x =-≤+≤，{|121}B x m x m =-<<+．若A B ⊇，求m 的取值范围．【答案】{|12m m -≤≤或2}m ≤-【解析】先化简确定集合A ，根据A B ⊇，分B 是否为空集进行讨论，分别列出关于m 的不等式，即可确定出m 的范围． 【详解】解：化简集合A 得{|25}A x x =-≤≤，①当121m m -≥+，即2m ≤-时，B A =∅⊆； ②当2m >-时，{|121}B x m x m =-<<+，因此，要B A ⊆，则只要1212215m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩， 综上所述，m 的取值范围是{|12m m -≤≤或2}m ≤-．【点睛】本题考查了利用集合的包含关系求参数范围，考查分类讨论思想的应用，属于基础题． 18．某厂生产A 产品的年固定成本为250万元，若A 产品的年产量为x 万件，则需另投入成本()C x (万元)．已知A 产品年产量不超过80万件时，()C x 21103x x =+；A 产品年产量大于80万件时，()C x 1000051145080x x =+--.因设备限制，A 产品年产量不超过200万件．现已知A 产品的售价为50元/件，且年内生产的A 产品能全部销售完．设该厂生产A 产品的年利润为(L 万元)．（1）写出L 关于x 的函数解析式()L x ；（2）当年产量为多少时，该厂生产A 产品所获的利润最大？【答案】（1）()L x ()21402500803100001200(80200)80x x x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+<≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩；（2）60万件． 【解析】1（）利润()L x 等于销售收入减去固定成本再减去投入成本()C x ，根据产量的范围列出分段函数解析式；2（）当080x <≤时，利用配方法求二次函数的最值，当80200x <≤时，利用基本不等式求最值，比较得最大利润即可．【详解】解：（1）由题意知，()()2110080310000511450(80200)80x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪-⎩故()()()2140250080350250100001200(80200)80x x x L x x C x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=--=⎨⎛⎫⎪-+<≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩； ()2①当080x <≤时，()21(60)9503L x x =--+，所以当60x =时，()max ()60950L x L ==；②当80200x <≤时，()()1000011208080L x x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦1120920≤-=． 当且仅当100008080x x -=-，即180x =时，等号成立． 因为(]18080200∈，，所以max ()920950L x =<．故当60x =时，max ()950L x =. 答：当年产量为60万件时，该厂所获利润最大．【点睛】本题考查了函数模型的应用，考查了分段函数最值的求法，训练了利用配方法求二次函数的最值和利用基本不等式求最值，是中档题． 19．已知集合{|28}A x x =≤≤，{|16}B x x =<<，{}C x x a =>，U =R ． （1）求A B ；（2）如果A C ⋂=∅，求a 的取值范围．【答案】（1）{|18}x x <≤；（2）[)8+∞，． 【解析】（1）由于{|28}A x x =≤≤，{|16}B x x =<<，根据集合并集的定义，可直接求出A B ；（2）由A C ⋂=∅，{|28}A x x =≤≤，{}C x x a =>，易判断出a 的取值范围【详解】解：（1）{|28}A x x =≤≤，{|16}B x x =<<，{|18}A B x x ∴⋃=<≤． （2）A C =∅，{|28}A x x =≤≤，{}C x x a =>，8a ∴≥．即a 的取值范围为[)8+∞，．【点睛】本题考查集合中的参数取值问题及交、并、补的混合运算，解题的关键是理解交、并、补运算的意义，且能根据运算规则作出判断得出参数所满足的不等式20．已知定义在()0+∞，上的函数()f x ，对任意x 、()0y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+．（1）求()1f 的值；（2）若()f x 在()1+∞，上单调递增， ①求证：()f x 在()0,1上单调递增；②如果()3f 1=，解关于x 的不等式()()512f x f x >-+．【答案】（1）0；（2）①证明见解析；②914⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【解析】（1）令1x y ==，利用赋值法即可求解. （2）①根据题意可得1x >时，()0f x >，设1x ，()201x ∈，，且12x x >，利用函数单调性的定义结合()()()f xy f x f y =+即可证明；②利用赋值法求出()92f =，将不等式化为()()599f x f x >-，再由①的单调性即可求解.【详解】解：（1）()()()f xy f x f y =+．∴令1x y ==，得()()()111f f f =+，则()10f =；（2）①若()f x 在()1+∞，上单调递增，且()10f =， ∴当1x >时，()0f x >，设1x ，()201x ∈，，且12x x >， 则121x x >，则120x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()112222x f x f x f x f x x ⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭ ()()1122220x x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()12f x f x >，()f x ∴在()01，上的是增函数；②若()31f =，则()()()933112f f f =+=+=，则不等式()()512f x f x >-+等价为()()519f x f x f >-+（）．即()()599f x f x >-．由①知函数在()0+∞，上为增函数， 则不等式等价为5010599x x x x >⎧⎪->⎨⎪>-⎩， 即0194x x x ⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪<⎩，解得914x <<， 即不等式的解集为914⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，根据函数单调性的定义和性质是解决本题的关键，属于中档题． 21．已知函数()f x 22(0)x ax a =->，求函数()f x 在[]02，上的最大值()g a ． 【答案】()g a 440101a a a -<≤⎧=⎨>⎩，， 【解析】依题意先求对称轴x a =，再根据开口方向与对称轴求最大值即可．【详解】解：函数()22(0)f x x ax a =->开口向上，对称轴为x a =， ①当01a <≤时，()f x 在[]02，上max ()(2)f x f =，故()()244g a f a ==-；②当1a >时，()f x 在[]02，上max ()(0)f x f =， 故()()00g a f ==；故()440101a a g a a -<≤⎧=⎨>⎩，，． 【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，属于基础题．22．已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(1,1)-上的单调性，并用定义证明；（3）解关于t 的不等式，11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【答案】（1）2()1x f x x=+；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，证明见解析；（3）102t -<<． 【解析】（1）利用(0)0f =和1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求出函数的解析式； （2）任取1211x x -<<<，对()()12,f x f x 作差，判断出大小关系，可得函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性和单调性，列出不等式组解出t 的范围．【详解】（1）(0)00f b =⇒=，2121()251x f a f x x ⎛⎫=⇒=⇒=⎪+⎝⎭； （2）任取1211x x -<<<， ()()()()()()()()1212121222121011x x x x f x f x f x f x x x ---=<⇒<++所以函数()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）11112222f t f t f t f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<--⇒+<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 110221311110222211311222t t t t t t t t ⎧⎧+<-⎪⎪<⎪⎪⎪⎪-<+<⇒-<<⇒-<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪-<-<-<<⎪⎪⎩⎩t ∴的范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的性质，考查奇偶性和单调性的应用，属于中档题．。