运筹学-3割平面法
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设纯整数规划
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 1 of 11
n
max Z c j x j j 1
n
aij x j bi
j 1
x j 0且为整数， j 1, , n
相应线性规划
n
max Z c j x j j 1
n
aij x j bi
j 1
x j 0，j 1, , n
的最优解 X＝(B1b,0)T b B1b (b1, b2 , , bm )T
设xi不为整数，xi bi aik xk xk为非基变量
k
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
最优表
cj
3
2
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
b
2
x2
0
1
1/2 －1/2 5/2
3
x1
1
0 －1/4
3/4 13/4
λj
0
0 －1/4 －5/4
最优解X=(－1/2，3/4，0，0)T， x1 、x2不满足整数要求，选
择x2行进行分割： x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
x2
1 2
x3
x4
1 2
x4
2
1 2
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 9 of 11
得到整数最优解：X＝(4，1)，Z＝14
注1：
x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
1 2
1 2
x3
1 2
x4
0
Gomory约束可写为 x5 x3 x4 1
注2： Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保 留了全部整数解。
得到Gomory约束
x5
1 2
wk.baidu.comx3
1 2
x4
1 2
添加到最优表中，得
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 7 of 11
cj
3
CB XB x1
2
x2
0
3
x1
1
0
x5
0
λj
0
2
x2
0
2
0
0
0
x2
k
k
等式两边都为整数并且有
fi fik xk fi 1
k
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 3 of 11
则
fi fik xk 0
k
加入松弛变量si得
si fik xk fi
同理，对于x2行有：
s2
1 3
x3
1 3
x4
2 3
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 5 of 11
如果在对偶单纯形法中原切割方程的松弛变量仍为基 变量，则此松弛变量所在列化为单位向量后就可以去掉该 行该列，再切割。
2020年6月20日星期六 Page 2 of 11
将 bi及aik 分离成一个整数与一个非负真分数之和：
bi [bi ] fi, aik aik fik ,0 fi 1,0 fik 1
则有
xi [bi ] fi [aij ]xk fik xk
k
k
xi [bi ] [aij ]xk fi fik xk
用图解法表示：
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 10 of 11
2x1 2x2 11
13/4,5/2
相应线性规划 x1+x2≤5 第二次切割
第一次切割 4,1
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
cj
3
CB XB x1
2 x2 0
3 x1 1
0 x3 0
0 x6 0
λj
0
2 x2 0
3 x1 1
0 x3 0
0 x6 0
λj
0
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 8 of 11
20
0
00
2020年6月20日星期六 Page 4 of 11
例如，
x1 x2
5 6
2 3
x3 x3
1 6
1 3
x4 x4
5 3
2 3
x1行：
x1
5 6
x3
(1
5 6
)
x4
1
2 3
移项：
x1
x4
1
2 3
5 6
x3
5 6
x4
令
2 3
5 6
x3
5 6
x4
0
加入松弛变量s1得
s1
5 6
x3
5 6
x4
2 3
k
此式称为以xi行为源行（来源行）的割平面，或分数切割式， 或R.E.Gomory(高莫雷)约束方程。
将Gomory约束加入到相应线性规划的最优表中，用对偶 单纯形法计算，若最优解中还有非整数解，再继续切割，直 到全部为整数解。
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
x2 x3
x4
x5 x6
b
1 0 －1 ½ 0 2
00
1 －1/4 0 7/3
01
1 －1 0 1
00
0 －1/2 1 －1/2
0 0 －1 －1/2 0
1 0 －1 0 2 1
00
1
0 －1 4
01
1
0 －4 3
00
0
1 －2 1
0 0 －1 0 －1
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
x3
x4
x5
b
1
1/2 －1/2 0
5/2
0 －1/4
3/4
0 13/4
0 －1/2 －1/2 1 －1/2
0 －1/4 －5/4 0
1
0
－1 ½
2
3
x1
1
0
0
1 －1/2 7/2
0
x3
0
0
1
1
－2
1
λj
0
0
0
－1 －1/2
x1行： x1
x4
1 2
x5
7 2
Gomory约束
x6
1 2
x5
1 2
添加到最优表中，得
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 11 of 11
1.领会割平面法的基本原理 1.分离源行，求出Gomory约束 2.在最优表中增加Gomory约束，用
对偶单纯形法迭代
作业：教材P134 T5.3
【例】已知整数规划
max z 3x1 2x2
2 2
x1 x1
3x2 14 x2 9
x1
,
x2
0且为整数
【解】不考虑整数约束，相应线性规划的最优表如下
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 6 of 11
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 1 of 11
n
max Z c j x j j 1
n
aij x j bi
j 1
x j 0且为整数， j 1, , n
相应线性规划
n
max Z c j x j j 1
n
aij x j bi
j 1
x j 0，j 1, , n
的最优解 X＝(B1b,0)T b B1b (b1, b2 , , bm )T
设xi不为整数，xi bi aik xk xk为非基变量
k
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
最优表
cj
3
2
0
0
CB
XB
x1
x2
x3
x4
b
2
x2
0
1
1/2 －1/2 5/2
3
x1
1
0 －1/4
3/4 13/4
λj
0
0 －1/4 －5/4
最优解X=(－1/2，3/4，0，0)T， x1 、x2不满足整数要求，选
择x2行进行分割： x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
x2
1 2
x3
x4
1 2
x4
2
1 2
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 9 of 11
得到整数最优解：X＝(4，1)，Z＝14
注1：
x2
1 2
x3
1 2
x4
5 2
1 2
1 2
x3
1 2
x4
0
Gomory约束可写为 x5 x3 x4 1
注2： Gomory约束只是割去线性规划可行域的一部分，保 留了全部整数解。
得到Gomory约束
x5
1 2
wk.baidu.comx3
1 2
x4
1 2
添加到最优表中，得
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 7 of 11
cj
3
CB XB x1
2
x2
0
3
x1
1
0
x5
0
λj
0
2
x2
0
2
0
0
0
x2
k
k
等式两边都为整数并且有
fi fik xk fi 1
k
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 3 of 11
则
fi fik xk 0
k
加入松弛变量si得
si fik xk fi
同理，对于x2行有：
s2
1 3
x3
1 3
x4
2 3
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 5 of 11
如果在对偶单纯形法中原切割方程的松弛变量仍为基 变量，则此松弛变量所在列化为单位向量后就可以去掉该 行该列，再切割。
2020年6月20日星期六 Page 2 of 11
将 bi及aik 分离成一个整数与一个非负真分数之和：
bi [bi ] fi, aik aik fik ,0 fi 1,0 fik 1
则有
xi [bi ] fi [aij ]xk fik xk
k
k
xi [bi ] [aij ]xk fi fik xk
用图解法表示：
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 10 of 11
2x1 2x2 11
13/4,5/2
相应线性规划 x1+x2≤5 第二次切割
第一次切割 4,1
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
cj
3
CB XB x1
2 x2 0
3 x1 1
0 x3 0
0 x6 0
λj
0
2 x2 0
3 x1 1
0 x3 0
0 x6 0
λj
0
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 8 of 11
20
0
00
2020年6月20日星期六 Page 4 of 11
例如，
x1 x2
5 6
2 3
x3 x3
1 6
1 3
x4 x4
5 3
2 3
x1行：
x1
5 6
x3
(1
5 6
)
x4
1
2 3
移项：
x1
x4
1
2 3
5 6
x3
5 6
x4
令
2 3
5 6
x3
5 6
x4
0
加入松弛变量s1得
s1
5 6
x3
5 6
x4
2 3
k
此式称为以xi行为源行（来源行）的割平面，或分数切割式， 或R.E.Gomory(高莫雷)约束方程。
将Gomory约束加入到相应线性规划的最优表中，用对偶 单纯形法计算，若最优解中还有非整数解，再继续切割，直 到全部为整数解。
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
x2 x3
x4
x5 x6
b
1 0 －1 ½ 0 2
00
1 －1/4 0 7/3
01
1 －1 0 1
00
0 －1/2 1 －1/2
0 0 －1 －1/2 0
1 0 －1 0 2 1
00
1
0 －1 4
01
1
0 －4 3
00
0
1 －2 1
0 0 －1 0 －1
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
x3
x4
x5
b
1
1/2 －1/2 0
5/2
0 －1/4
3/4
0 13/4
0 －1/2 －1/2 1 －1/2
0 －1/4 －5/4 0
1
0
－1 ½
2
3
x1
1
0
0
1 －1/2 7/2
0
x3
0
0
1
1
－2
1
λj
0
0
0
－1 －1/2
x1行： x1
x4
1 2
x5
7 2
Gomory约束
x6
1 2
x5
1 2
添加到最优表中，得
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 11 of 11
1.领会割平面法的基本原理 1.分离源行，求出Gomory约束 2.在最优表中增加Gomory约束，用
对偶单纯形法迭代
作业：教材P134 T5.3
【例】已知整数规划
max z 3x1 2x2
2 2
x1 x1
3x2 14 x2 9
x1
,
x2
0且为整数
【解】不考虑整数约束，相应线性规划的最优表如下
§5.3 割平面法 Cutting-plane Method
Ch5 Integer Programming
2020年6月20日星期六 Page 6 of 11