2.3-最常见的随机过程或随机模型

ξt=aξt-1+ εt，t=1,2, …， ξ ，
其中，a为常数，εt为白噪声过程，称为扰动项。当|a|<1 其中， 为常数， 为白噪声过程，称为扰动项。 为常数 时为平稳过程； 时称为随机游走过程； 时为平稳过程；a=1时称为随机游走过程；|a|>1为非平 时称为随机游走过程 为非平 稳过程。 稳过程。
i = ∑c2 pi (1 − p) 2−i u i d 2−i S i =0 2
在t + n∆t 时刻，股票的期望价格为： ∆ 时刻，股票的期望价格为：
n
E ( S t + n∆t ) =
å
i= 0
C p (1- p) u d S
6
i n
i
n- i
i
n- i
Poission过程 过程
引言： 引言： Brown运动是用以描述连续时间下金融资产价格 运动是用以描述连续时间下金融资产价格 运动的， 运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续变 化的，有时会出现跳跃， 化的，有时会出现跳跃，Poission过程就是经常 过程就是经常 用以模拟跳跃的一类随机过程。 用以模拟跳跃的一类随机过程。
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自回归过程
按时间次序排列的随机过程{ξt}( t=1，2，…)称为时间序 按时间次序排列的随机过程 ξ ， ， 称为时间序 列。 若时间序列是相互独立的， 若时间序列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前一 刻毫无关系，即系统无记忆性。 刻毫无关系，即系统无记忆性。 若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。其中 若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。 最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关， 最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关， 而与其前一刻以前的行为无直接联系， 主要与ξ 相关。 而与其前一刻以前的行为无直接联系，即ξt主要与ξt -1相关。 从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆， 从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆，描述这种 关系的模型称为一阶自回归过程，记为AR（ ）， ），即 关系的模型称为一阶自回归过程，记为 （1），即
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移动平均过程 自回归过程表示在t时刻的事件ξt 只与其以前的响 自回归过程表示在 时刻的事件ξ 时刻的事件 有关， 应ξt -1，ξt -2，…，ξt -m 有关，而与以前时刻的扰 ， 动无关。若时间序列{ξ 与其以前的冲击或扰动 动无关。若时间序列 ξt }与其以前的冲击或扰动 有关， εt -1，εt -2，…，εt -n有关，而与以前时刻的响应 ， 无关，那就是n阶移动平均过程 记为MA(n),即 阶移动平均过程， 无关，那就是 阶移动平均过程，记为 即 ξt = b0+εt +b1εt -1+ b2εt -2+…+ bnεt –n ε t=1，2，… ， ， 当|bj|<1时，表示冲击在一段时间内会消失； 时 表示冲击在一段时间内会消失； 表示冲击永远保持下去； |bj|=1表示冲击永远保持下去；|bj|>1表示冲 表示冲击永远保持下去 表示冲 击将放大，其中i=1，2，…,n。 击将放大，其中 ， ， 。
dS = λ (u − S ) dt + σSε dt
其中λ>0，ε服从标准正态分布。当股票价格 低于均值 时， ， 服从标准正态分布 当股票价格S低于均值 服从标准正态分布。 低于均值µ时 其中 µ-S取正值，即S具有正的漂移率，dS将会变为正值。反之， 取正值， 具有正的漂移率， 将会变为正值 反之， 将会变为正值。 取正值 具有正的漂移率 当股票价格S高于均值 高于均值µ时 取负值， 当股票价格 高于均值 时，µ-S取负值，即S具有负的漂移 取负值 具有负的漂移 率，dS将会变为负值。尽管变化过程中价格可能会偏离均 将会变为负值。 将会变为负值 但长期来看S都会向均值 靠近。 都会向均值µ靠近 值µ ，但长期来看 都会向均值 靠近。过程中偏离的程度 由参数λ>0决定的。注意：资产价格表现出来的某种长期可 决定的。 由参数 决定的 注意： 预测性，与市场有效性的假定是不符合的。 预测性，与市场有效性的假定是不符合的。
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P(ξt −ξs = k) =
λk (t − s)k e−λ(t−s)
, k = 0,1,2L, λ > 0
白噪声过程 随机过程{ξt}t≥0称为白噪声过程，若Eξt=0，且 随机过程 ⋅εt−j ) = 0, j ≠ 0
显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程， 显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在金 融研究中主要用于模型无法解释的波动。 融研究中主要用于模型无法解释的波动。
3
二项分布是指随机变量满足概率分布
P (ξ = k ) = C p (1- q )
k n
k
n- k
其中， 其中，k=1,2, …，0<p<1,q=p-1。 ， 。 二项过程实质上是将二项分布作为一个过程来描 述金融资产价格变化的。
4
假设股票价格在t时刻为 假设股票价格在 时刻为S(t)，当时间变化到 时刻为 ， t+∆t时，价格要么以概率 从S上涨到 上涨到uS(u >1)， ∆ 时 价格要么以概率p从 上涨到 ， 要么以概率q下降到 下降到dS(d<1)；时间为 要么以概率 下降到 ；时间为t+2∆t时有 ∆ 时有 三种可能： 三种可能：u2S、udS、d2S，以此类推，见树型 、 、 ，以此类推， 结构
k! 则称{ξ 为参数为λ − 的 过程。 则称 ξt }t≥0为参数为λ(t−s)的Poission过程。 过程
直接计算可知， ξ 所以λ 直接计算可知，Eξt =Vξt =λt，即，所以λ表示单 ξ λ ， 位时间内事件出现的平均次数，因而λ 位时间内事件出现的平均次数，因而λ也常被称为 发生率或强度。 发生率或强度。
最常见的随机过程或随机模型
1
主要内容
Brown运动或 运动或Wiener过程 运动或 过程 二项过程 Poission过程 过程 白噪声过程 自回归过程 移动平均过程 混合自回归移动平均过程 利率期限结构或均值回复模型 ARCH类模型 类模型
2
二项过程
1979年Cox、Ross和Rubinstein利用二项过程 年 、 和 利用二项过程 提出了二叉树期权定价模型， 提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格运 动过程，进行股票期权定价分析。 动过程，进行股票期权定价分析。 目前， 目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价 领域， 领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行为 提供了最佳认识工具， 提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行的数 值方法。 值方法。
⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅ ⋅
5
显然， 显然，在t +∆t 时刻，股票的期望价格为 ∆ 时刻， E(St+∆t)=puS+(1-p)dS， ∆ ， 在t +2∆t 时刻，股票的期望价格为： ∆ 时刻，股票的期望价格为：
，
E(St+2∆t ) = p u S + 2p(1− p)udS+ (1− p) d S
2 2 2 2
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混合自回归—移动平均过程 混合自回归 移动平均过程 若时间序列{ξt }在t时刻，不仅与其以前的自身值 若时间序列 ξ 在 时刻， 时刻 有关， 有关，而且与以前时刻的冲击或扰动存在着一定的 依存关系，则称为混合自回归—移动平均过程 移动平均过程， 依存关系，则称为混合自回归 移动平均过程，其 一般形式（记作ARMA(m，n)）为 一般形式（记作 ， ） ξt =a1ξt -1+ a2ξt -2+…+ amξt -m+εt +b1εt -1+ ε b2εt -2+…+ bn εt –n
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更一般地， 阶自回归过程 阶自回归过程{ξ 更一般地，m阶自回归过程 ξt }( t=1，2，…), ， ， 记为AR（m）, 满足： 记为 （ ） 满足： ξt =a1ξt -1+ a2ξt -2+…+amξt -m+εt ε t=1，2，… ， ， m阶自回归过程具有 期记忆或者说 阶动态性。 阶自回归过程具有m期记忆或者说 阶动态性。 阶自回归过程具有 期记忆或者说m阶动态性 若滞后算子多项式1− 若滞后算子多项式 −a1z−…-amzm=0的根在单位 − 的根在单位 圆之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。 圆之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。
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计数过程： 计数过程： 如果用ξ 表示[0,t]内随机事件发生的总数，则随机 内随机事件发生的总数， 如果用ξt表示 内随机事件发生的总数 过程{ξ 称为计数过程，且满足： 过程 ξt }t≥0称为计数过程，且满足： (a) ξt ≥ 0； ； 是整数值； (b) ξt是整数值； (c) 对于任意两个时刻 ≤ s<t,有ξs<ξt； 对于任意两个时刻0≤ 有 ξ (d) 对于任意两个时刻 ≤ s<t, ξt -ξs等于在区间 ( s, t ] 对于任意两个时刻0≤ ξ 中发生的事件的个数。 中发生的事件的个数。
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利率期限结构或均值回复模型
在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化， 在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化，随着时 间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现象， 间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现象， 例如利率的变化就常常如此。 例如利率的变化就常常如此。具体的利率期限结构或均值回 复模型定义为
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传统的随机过程和模型对金融资产收益的模拟和描述主要 是线性的，不能很好处理上述特征，因而也常常无法准确 是线性的，不能很好处理上述特征， 估计和预测金融资产的收益及其波动性。 估计和预测金融资产的收益及其波动性。 ARCH类模型一般由条件均值方程和条件方差方程两个方 类模型一般由条件均值方程和条件方差方程两个方 程组成。但由于此类方程主要用于估计波动性和相关性， 程组成。但由于此类方程主要用于估计波动性和相关性， 所以重点在条件方差方程，而条件均值方程常常比较简单. 所以重点在条件方差方程，而条件均值方程常常比较简单