北京市西城区2020年高二下数学期末调研试题含解析
西城区2023-2024学年第二学期期末高二数学试题及答案
北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第1页（共5页）北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学2024.7本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在等差数列{}n a 中，13a =，35a =，则10a =（A ）8（B ）10（C ）12（D ）14（2）设函数()sin f x x =的导函数为()g x ，则()g x 为（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（3）袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（A ）110（B ）310（C ）15（D ）35（4）在等比数列{}n a 中，若11a =，44a =，则23a a =（A ）4（B ）6（C ）2（D ）6±（5）投掷2枚均匀的骰子，记其中所得点数为1的骰子的个数为X ，则方差()D X =（A ）518（B ）13（C ）53（D ）536北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第2页（共5页）（6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =-，1053231S S =，则6a =（A ）132-（B ）164-（C ）132（D ）164（7）设函数()ln f x x =的导函数为()f x '，则（A ）(3)(2)(3)(2)f f f f ''<<-（B ）(3)(3)(2)(2)f f f f ''<-<（C ）(2)(3)(3)(2)f f f f ''<<-（D ）(2)(3)(2)(3)f f f f ''<-<（8）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如果()e x f x ax =-在区间(1,0)-上是单调函数，那么实数a 的取值范围为（A ）1(,][1,)e -∞+∞ （B ）1[,1]e（C ）1(,]e-∞（D ）[1,)+∞（10）在数列{}n a 中，12a =，若存在常数(0)c c ≠，使得对于任意的正整数,m n 等式m n m n a a ca +=+成立，则（A ）符合条件的数列{}n a 有无数个（B ）存在符合条件的递减数列{}n a （C ）存在符合条件的等比数列{}n a （D ）存在正整数N ，当n N >时，2024n a >北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷高二数学第3页（共5页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试理数试题
【全国市级联考】北京市西城区2020-2021学年高二下学期期末考试理数试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数21i i-=+（ ） A ．13i - B ．33i - C ．1322i - D ．3322i - 2．若函数()sin f x x =，则()'()44f f ππ+=（ ）A ．BC ．1D ．03．设函数32()1f x ax bx cx =+++的导函数为'()f x ，若'()f x 为奇函数，则有（ ）A ．0,0a c ≠=B ．0b =C ．0,0a c =≠D ．0a c == 4．射击中每次击中目标得1分，未击中目标得0分，已知某运动员每次射击击中目标的概率是0.7，假设每次射击击中目标与否互不影响，则他射击3次的得分的数学期望是（ ）A ．2.1B ．2C ．0.9D ．0.63 5．已知一个二次函数()f x 的图象如图所示，那么()11f x dx ⎰=-（ ）A ．1B ．2πC ．43D ．26．有5名男医生和3名女医生，现要从中选3名医生组成地震医疗小组，要求医疗小组中男医生和女医生都要有，那么不同的组队种数有（ ）A ．45种B ．60种C ．90种D ．120种7．已知函数()(1)x af x e x=-，若00(0,),x x ∃∈+∞为()f x 的一个极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()-0∞，B ．()4+∞，C ．()(),04,-∞+∞D ．前三个答案都不对8．某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过7道工序，分别记为,,,,,,A B C D E F G .其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系，若加工工序Y 必须要在工序X 完成后才能开工，则称X 为Y 的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间（单位：小时）列表如下：现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是（ ） （假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断.)A ．11个小时B ．10个小时C ．9个小时D ．8个小时二、填空题9．函数()f x 4x =处的切线的斜率为__________． 10．在42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是__________．（用数字作答） 11．若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排拍照，则其中任意2名教师不相邻的站法有__________种．（用数字作答）12．设函数2()1xe f x ax=+，其中0a >.若对于任意,'()0x R f x ∈≥，则实数a 的取值范围是_______.13．某电影院共有(3000)n n ≤个座位，某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）.已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有__________个.三、双空题14．已知某随机变量ξ的分布列如下()q R ∈:那么ξ的数学期望()E ξ=__________．ξ的方差()D ξ=___________.四、解答题15．在数列{}n a 中，111,21n n n a a a a +==+，其中1,2,3,n =. （Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是34，甲、乙两人都回答错误．．的概率是112，乙、丙两人都回答正确．．的概率是14.设每人回答问题正确与否相互独立的. (Ⅰ）求乙答对这道题的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.17．设,a b ∈R ,函数321()3f x x ax bx =++在区间()1,1-上单调递增，在区间()13，上单调递减.（Ⅰ）若2a =-，求b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[]14，上的最小值（用b 表示）. 18．甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：乙队记录中有一个数字模糊（即表中阴影部分），无法确认，假设这个数字具有随机性，并用m 表示.（Ⅰ）在4次比赛中，求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率；（Ⅱ）当5m =时，分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，记这2个比赛得分之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列；（Ⅲ）如果乙队得分数据的方差不小于甲队得分数据的方差，写出m 的取值集合.(结论不要求证明）19．设函数2()(2)(1)x f x x e a x =---，其中a R ∈.（Ⅰ）当0a ≤时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当0a >时，证明：函数()f x 不可能存在两个零点.20．已知函数()ln 2f x x x =+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()y f x ax =+在区间(),e +∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数2()g x x x=-，其中0x >.证明：()g x 的图象在()f x 图象的下方.参考答案1．C【解析】分析：根据复数除法的运算法则，分子分母同乘1-i ，化简即可. 详解：2-(2-)(1-)1-313-1+(1+)(1-)222i i i i i i i i === 故选C.点睛：复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.2．B【解析】分析：根据基本导数公式求'()f x ，将4x π=代入计算即可得答案.详解：根据题意，'()cos f x x =，则()+'()sin cos 4444f f ππππ=+=故选B.点睛：本题考查导数的计算，关键要掌握基本导数的计算公式.3．D【解析】分析：根据基本导数公式求'()f x ，由'()f x 为奇函数可知，'()='()f x f x --，整理得230ax c +=恒成立，所以0a c ==.详解：求导数，2'()32f x ax bx c =++，'()f x 为定义在R 上奇函数，∴'(-)=-'()f x f x ，即223232ax bx c ax bx c -+=---∴230ax c +=恒成立，即0a c ==.故选D.点睛：本题考查导数的计算，函数奇偶性的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.4．A【解析】分析：射击3次得分X 的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响，得到变量符合二项分布，根据二项分布的公式写出分布列和数学期望.详解：由题意可知，射击3次得分X 的可能取值为0，1，2，3，每次射击击中目标的概率是0.7，且每次射击击中目标与否互不影响，所以，射击3次得分(3,0.7)X B ~()30.7 2.1E X =⨯=故选A.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查二项分布的判断和数学期望的计算，解题关键是根据定义判断随机变量符合二项分布.5．C【解析】分析：根据函数图象求出函数的解析式，然后利用定积分运算法则求出答案.详解：根据函数的图象可知二次函数()f x 图象过点(1,0)-，(1,0)，(0,1)从而可知二次函数2()1f x x =-+∴11132-1-114()(1)()33x f x x dx x --=-+=+=⎰⎰ 故选C.点睛：本题考查二次函数解析式的求法和定积分的计算.6．A【解析】分析：根据题意，不同的组队方案有两类：一类是一男两女，另一类是两男一女；每类中都用分步计数原理计算，再将两类组数相加，即可求得答案.详解：根据题意，选3名医生组成地震医疗小组的组队方案有两类：（1）一男两女，有125332=5=152C C ⨯⨯种，（2）两男一女，有215354=3=302C C ⨯⨯种. 共15+30=45种.故选A. 点睛：本题考查排列组合的分类加法和分步乘法原理，解题时注意各个公式适用的条件与不同的使用方法.7．B【解析】分析：求导数22'()x x ax a f x e x-+=⋅，令2()g x x ax a =-+，则'()f x 与()g x 符号相同，由题可知，0x 为函数()g x 的零点，且0x 两侧函数值为左正右负，根据二次方程根与系数的关系建立方程组并求解，即可得到实数a 的取值范围. 详解：由题可知22'()x x ax a f x e x-+=⋅， 令2()g x x ax a =-+，则'()f x 与()g x 符号相同，易得对称轴为0=2ax ， 若()000,,x x ∃∈+∞为()f x 的一个极大值点，∴0'()=0f x 且在0(0,)x 上'()0f x >，在0(+)x ∞，上0'()0f x <即0x 为函数()g x 的零点，且0x 两侧函数值为左正右负，由二次函数的性质，得020(0)0a f ⎧>⎪⎪∆>⎨⎪>⎪⎩，解得4a >.∴实数a 的取值范围()4+∞，. 故选B.点睛：本题考查函数在某点取得极值的条件，考查转化思想和基本知识掌握的准确度. 8．A【解析】分析：有两台机器同时加工，根据所给表格分析好可以合并的工序，及所有工序的先后顺序，绘制统筹工序图，即可通过计算得到答案．详解：由题意可知：工序A 、C 在工序B 、D 前完成，工序B 需要在工序E ，G 之前完成，工序D 需要在工序F 前完成.绘制统筹工序图．由图可知，机器一：①—③—④—⑤—⑦，3+2+1+2=8小时机器二：①—②—⑥—⑦，2+4+5=11小时所以，两台机器同时加工完成该产品的最短加工时间为11小时.故选A ．点睛：本题考查统筹问题的思想和工序流程图，根据已知画出符合条件的工序流程图，利用图象的直观性进行分析是解题关键．9．14【解析】分析：求函数导数'()f x ，将4x =代入'()f x 即可求出在4x =处的切线的斜率. 详解：'()f x =，1'(4)4f ==所以，函数()f x =4x =处的切线的斜率为14. 故答案为14. 点睛：本题考查了导数的几何意义，在函数图象上某点处切线的斜率为该点处的导数值是解题关键.10．24【解析】 分析：根据42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，令x 的指数为0，即可求得答案.详解：42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为4421442(2)rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 令420r -=，即2r. ∴42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是22443(2)=4=242C ⨯-⨯ 故答案为24.点睛：本题考查了二项式定理的应用问题，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.11．1440【解析】分析：先将4名演讲比赛获奖学生全排列，再根据不相邻问题插空位原则，安排三位指导教师，由分布计数原理即可求得答案.详解：根据题意，分两步分析：先将4名演讲比赛获奖学生全排列，有2444=A 种站法，站好后有5个空位，在其中选三个空位，安排指导教师，有3560A =种情况，则有2460=1440⨯种符合题意的站法.故答案为1440.点睛；本题考查排列组合的实际应用，分布计数原理和不相邻问题的算法是解题关键.12．(]01，【解析】 分析：先求函数的导数222(21)'()=(1)x e ax ax f x ax -++，令2()=21g x ax ax -+，由题可知，对于任意x R ∈，()0g x ≥恒成立，再结合二次函数的性质，即可求得答案. 详解：由题可知，222(21)'()=(1)x e ax ax f x ax -++ 令2()=21g x ax ax -+，则()g x 与'()f x 符号相同，对于任意(),'0x R f x ∈≥，∴对于任意x R ∈，()0g x ≥恒成立，又 0a >根据二次函数的图象与性质，得2=(-2)40a a ∆-≤，解得01a <≤,∴实数a 的取值范围是(0,1].故答案为(0,1].点睛：本题考查函数导数的计算，二次函数的图象和性质，以及二次不等式恒成立问题. 由二次函数图象与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论：（1）不等式20ax bx c ≥＋＋对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨≥⎩或00a >⎧⎨∆≤⎩ (2)不等式20ax bx c ≤＋＋对任意实数x 恒成立00a b c ==⎧⇔⎨≤⎩或00a <⎧⎨∆≤⎩. 13．12【解析】 分析：由题可知总的观影人数为985+1010+2019=4014人，则401420072n ≥=，而人数最多的学校有2019人，所以2019n <，综合上述即可求出可能的取值个数.详解：由题可知，总的观影人数为985+1010+2019=4014人，上、下午各一场 所以，401420072n ≥=， 又可知985+1010=19952019<若存在上、下午坐的是同一所学校的学生的座位，则必有2019n <，所以n 的范围是[2007,2019)，*n Z ∈，则n 的可能取值有2019-2007=12个. 故答案为12.点睛：解答时应仔细审题，找到解决问题的突破口和关键点，然后进行推理并小心验证，最终得出结论.14．13-89 【解析】分析：根据离散型随机变量分布列的性质求出q ，再根据数学期望和方差的公式求出答案.详解：由离散型随机变量分布列的性质得，1+=13q ，解得2=3q ， ξ的数学期望121()1(1)333E ξ=⨯+-⨯=-， ξ的方差2211128()(1)(1)33339D ξ=+⨯+-+⨯=故答案为1(1)3- 8(2)9.点睛：本题考查离散型随机变量分布列的性质、数学期望和方差的计算方法，属于基础题. 15．（Ⅰ）111,,357；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）分别将1,23n ，=代入递推公式，即可求得2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）猜想121n a n =-，检验1n =时等式成立，假设当()*n k k N =∈时等式成立，证明当1n k =+时等式也成立.详解：解：（Ⅰ）由题意，1211121213a a a ===++，232113221513a a a ===++， 343115221715a a a ===++ （Ⅱ）由1234,,,a a a a 猜想1.21n a n =- 以下用数学归纳法证明：对任何的*n N ∈,1.21n a n =- 证明：①当1n =时，由已知，得左边11a =，右边11.211=⨯- 所以1n =时成等式.②假设当()*n k k N=∈时，121kak =-成立， 则1n k =+时，()111121121212112121k k k a k a a k k k +-====+++-⨯+-， 所以，当1n k =+时，等式也成立. 根据①和②，可知对于任何*n N ∈，1.21n a n =-成立. 点睛：本题考查数列的递推公式，合情推理，运用数学归纳法证明问题的一般方法和步骤.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =，(k *∈N ，0k n ≥)时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立； 16．（Ⅰ）23；（Ⅱ）9196. 【解析】分析：（Ⅰ）设乙答对这道题的概率为x ，由对立事件概率关系和相互独立事件概率乘法公式，求出乙答对这道题的概率；（Ⅱ）设丙答对这道题的概率y ，由相互独立事件概率乘法公式，求出丙答对这道题的概率和甲、乙、丙三人都回答错误的概率，再由对立事件的概率公式，求得答案. 详解：解：（Ⅰ）记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件,,A B C , 设乙答对这道题的概率()P B x =，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此,,A B C 是相互独立事件. 由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得()()()()3111412P A B P A P B x ⎛⎫⋅=⋅=-⨯-= ⎪⎝⎭ 解得23x =， 所以，乙对这道题的概率为()2.3P B =(Ⅱ）设“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答对这道题”为事件M ,丙答对这道题的概率()P C y =.由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式， 得()()()21y 34P B C P B P C ⋅=⋅=⨯=, 解得3.8y =甲、乙、丙三人都回答错误的概率为()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅323111438⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.96=因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以，所求事件概率为()5911.9696P M =-= 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，对立事件的概率关系，解题时要认真审题，注意相互独立事件和对立事件的辨析. 17．(Ⅰ）3；（Ⅱ）321162b b -+. 【解析】分析：（Ⅰ）对函数()f x 求导，由1x =为导数()'f x 的零点，建立等式关系，求出参数c ；（Ⅱ）结合（Ⅰ）中条件，求函数的导数()'f x ，分类讨论b 不同取值条件下，函数()f x 的单调性和在上间[1,4]上的最小值，综合后即可答案. 详解：解：（Ⅰ）求导，得()2'2.f x x ax b =++因为函数()f x 在区间-11（，）上单调递增，在区间()13，上单调递增， 所以()'1120.f a b =++= 又因为2a =-，所以3b =，验证知其符合题意.（Ⅱ）由（Ⅰ）得120a b ++=，即21a b =--. 所以()()()()()32211,'11.32b f x x x bx f x x b x b x b x +=-+=-++=-- 当1b ≤时，得当()1,x ∈+∞时，()()()'10.f x x b x =-->此时，函数()f x 在()1+∞，上单调递增，这与题意不符. 当1b >时，随着x 的变化，()'f x 与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在()(),1,,b -∞+∞上单调递增，在()1,b 上单调递减. 由题意，得 3.b ≥所以当4b ≥时，函数()f x 在[]14，上的最小值为()40443f b =-； 当34b ≤<，函数()f x 在[]14，上的最小值为()3211.62f b b b =-+ 综上，当4b ≥时，函数()f x 在[]14，上的最小值为为40-12;3b当34b ≤<，()f x 在[]14，上的最小值为3211.62b b -+ （或写成：函数()f x 在[]14，上的最小值为()3211.34,62404, 4.3b b b g b b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩）. 点睛：本题主要考查函数的极值、最值与函数的单调性问题，考查了导数的应用，分类讨论时要注意不重不漏，仔细审题，根据已知条件合理分类是解题关键. ：函数()f x 的导数或换元后的导数有两个零点1x 和2x 型问题在闭区间[,]a b 上最值问题的解题步骤为：（1）12x x =时，确定函数()f x 的单调性，得到最值.（2）12x x >，确定1x 和2x 与区间[,]a b 的关系，结合函数图象规律，确定最值； （3）12x x <，确定1x 和2x 与区间[,]a b 的关系，结合函数图象规律，确定最值； 18．（Ⅰ）35；（Ⅱ）分布列见解析；（Ⅲ）{}7,8,9. 【解析】分析：（Ⅰ）根据表中数据，写出m 的全部可能，求甲、乙队的平均成绩，列出关于m 的不等式，求出m 的取值集合，再由古典概型的概率计算公式求出答案.（Ⅱ）2个比赛得分之差的绝对值X 的所有取值为0，1，2，3，4，5，7，求出相应概率，即可求出随机变量X 的分布列.（Ⅲ）写出甲、乙两队的方差，列出关于m 的不等式，即可求出m 的取值集合. 详解：解：（Ⅰ）设“乙队平均得分超过甲队平均得分”为事件A , 依题意0,1,2,,9m =，共有10种可能.由乙队平均得分超过甲队平均得分，得[]()11899390m)9288919296,44++++>+++（ 解得 3.m > 所以当4,5,6,,9m =时，乙队平均得分超过甲队平均得分，共6种可能.所以乙队平均得分超过甲队平均得分的概率为()63.105P A == （Ⅱ）当5m =时，记甲队的4次比赛得分88，91，92，96分别为1234,,,A A A A ，乙队的4次比赛得分89，93，95，92分别为1234,,,.B B B B则分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，所有可能的得分结果有4416⨯=种，它们是()()()()()()()()()()()()111213142122232431323344,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B()()()()41424344,,,,,,,,A B A B A B A B则这2个比赛得分之差的绝对值为X 的所有取值为0，1，2，3，4，5，7. 因此()()()()()114121330,1,2,3,4,161641681616P X P X P X P X P X ============()()1215,7.16168P X P X ===== 所以随机变量X 的分布为：(Ⅲ）{}7,8,9.m ∈点睛：本题考查随机变量的均值和方差的计算，古典概型概率的计算，以及随机变量分布列，正确求概率是解题关键.19．（Ⅰ）(1)e f =-；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）求出函数的导数，0a ≤条件下，判断出函数的单调性，求出函数的极值.（Ⅱ）令()'0f x =，求得两个根，对a 分类讨论，分别研究函数的单调性与极值的取值，通过判断即可证明结论.详解：（Ⅰ）解：求导，得()()()()()'12112xxf x x e a x x e a =---=--，因为0a ≤，所以20x e a ->，所以当(),1x ∈-∞时，()'0f x <，函数()f x 为减函数；当()1x ∈+∞，时，()'0f x >，函数()f x 为增函数； 故当1x =时，()f x 存在极小值()1f e =-，()f x 不存在极大值.（Ⅱ）证明：解方程()()()'120,xf x x e a =--=得121,12.x x n a ==当121,n a >即2ea >时， 随着x 的变化，()'f x 与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在()-1∞，，()12,n a +∞上单调递增，在()11n2a ，上单调递减. 又因为()10f e =-<，所以函数()f x 至多在区间()12,n a +∞存在一个零点； 当121n a =，即2ea =时， 因为()()()'120xf x x e a =--≥（当且仅当1x =时等号成立），所以()f x 在R 单调递减，所以函数()f x 至多存在一个零点； 当121n a <，即2ea <时， 随着x 的变化，()'f x 与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(),12n a -∞，()1,+∞上单调递增，在()1n21a ，上单调递减. 又因为0a >，所以当1x ≤时，()()()2210x f x x e a x =---<， 综上，当0a >时，函数()f x 不可能存在两个零点.点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值和零点问题.利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性增减。
北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷高二数学答案
北京市西城区2019—2020学年度第二学期期末试卷高二数学参考答案及评分标准 2020.7一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
（1）D （2）B （3）C （4）A （5） C（6）C（7）B（8）D（9）B（10）B二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）（12）40（13）45（14）1（15）3()1f x x =+（答案不唯一） （16） ②④注：第16小题只选对一个正确命题得2分，错选不得分.三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. ………………3分令()0f x '=，解得11x =-，21x =.随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(,1)-∞- 1- (1,1)- 1 (1,)+∞()f x ' +-+()f x极大值 极小值………………8分所以，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,+)∞，单调递减区间为(1,1)-.………………9分(Ⅱ) 因为函数()f x 在区间[1,1]-上单调递减，在区间[1,3]上单调递增，又(1)2f -=，(1)2f =-，(3)18f =， ………………11分 所以，函数()f x 在区间[1,3]-上的最大值为18，最小值为2-. ………………13分（18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设A =“连续射击3次，中29环”.则 223()0.25(0.2)P A C =⋅⋅ ………………4分0.03=所以该射手命中29环的概率为0.03. ………………5分(Ⅱ)设B =“连续射击3次，命中不少于28环”,依题意，命中30环的概率为3(0.2)0.008=； ………………7分 命中28环的概率为2222330.15(0.2)(0.25)0.2C C ⋅⋅+⋅⋅ ………………11分0.0180.03750.0555=+=； ………………12分由（1）知，命中29环的概率为0.03；所以 ()0.0080.05550.030.0935P B =++=, ………………13分 所以该射手连续射击3次，命中不少于28环的概率为0.0935.（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，()ln f x x x =-，所以11()1x f x x x-'=-=. ………………3分 所以(1)0f '=，又因为(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =. …………5分 （Ⅱ）由已知，()1a x af x x x-'=-=，(0,)x ∈+∞.① 当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在定义域内是增函数，不存在极值. ………………7分 ② 当0a >时，令()0f x '=，解得x a =. 随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(0,)aa (,)a +∞()f x ' -0 +()f x极小值………………9分所以，函数()f x 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，…………10分 所以，函数()f x 的极小值点为x a =，极小值为()ln f a a a a =-， …………12分 函数()f x 不存在极大值. ………………13分综上，当0a <时，函数()f x 没有极值；当0a >时，()f x 有极小值ln a a a -，极小值点为x a =，无极大值. （20）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)设A =“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，则 17121074501(),1001002P A ++++===所以，从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为12. ………………4分(Ⅱ) 第8、9、10组共有11人，其中选择政治的有6人.所以X 的所有可能取值为0,1,2. ………………5分252112(0)11C P X C ===， ………………6分11562116(1)11C C P X C ===， ………………7分262113(2)11C P X C ===. ………………8分………………9分故X 的期望26312()0+1211111111E X =⨯⨯+⨯=. ………………11分 (Ⅲ) 选择地理的总人数为： 20141210975279+++++++=.所以P （“同时选择生物”）14+12+9+237==7979； P （“同时选择化学”）12+10+729==7979； P （“同时选择政治”）20222==7979+；P （“同时选择物理”）109524==7979++；P （“同时选择历史”）=20147546==7979+++. ………………13分因为4679最大，所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大. …………14分 （21）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)当0a =时，()e 1x f x x =--，所以()e 1x f x '=-. ………………1分解()0f x '>，得0x >；解()0f x '<，得0x <.所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， ………………3分 所以()f x 的最小值为(0)0f =，所以()0f x ≥. ………………5分(Ⅱ) 因为2()e 12xa f x x x =---，所以()e 1x f x ax '=--.设()e 1x g x ax =--，则曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值等价于()g x 不存在最小值. ……………7分()e x g x a '=-.① 当0a ≤时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，不存在最小值，所以0a ≤符合题意. ………………9分 ② 当0a >时,解()0g x '>，得ln x a >；解()0g x '<，得ln x a <.所以()g x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增，……………10分 所以()g x 在ln x a =处取得最小值，所以0a >不符合题意. ………………12分 综上, a 的取值范围为{0}a a ≤. ………………13分（22）（本小题满分14分）解：(Ⅰ)函数()f x 定义域为{|0}x x >，11()ax f x a x x+'=+=. ① 当0a ≥时,()0f x '>恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ……………2分 ② 当0a <时,解()0f x '>，得10x a <<-；解()0f x '<，得1x a>-.所以()f x 的单调递增区间为1(0,a -，单调递减区间为1(,)a-+∞. ………………4分综上，当0a ≥时，()f x 单调递增区间为(0,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.(Ⅱ)证法1：由已知1()e ln x g x x ax a -=--+，0x >.因为(1)1g =，所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点，即min ()(1)1g x g <=. ……6分因为e ()ln e x g x x ax a =--+，所以11()e x g x a x-'=--.因为函数1e x y -=，1y x=-在区间(0,)+∞上是增函数，所以()g x '在区间(0,)+∞上是增函数， ………………8分因为1a >，所以(1)0g a '=-<，11(1ln(1))1101ln(1)1ln(1)g a a a a a '++=+--=->++++.所以方程()0g x '=在区间(0,)+∞上存在唯一解， ………………10分 不妨设为0x ，则01x >，随着x 的变化，()g x '，()g x 变化情况如下表：x0(0,)x 0x 0(,)x +∞()g x ' -+()g x极小值所以()g x 有最小值，最小值为0()(1)1g x g <=. ………………13分 所以函数1()e ()x g x f x -=-存在最小值，且最小值小于1. ………………14分 证法2: 由已知1e ()eln ln exx g x x ax a x ax a -=--+=--+，0x >.所以11()e x g x a x-'=--， 因为1e x y -=，1y x=-在区间(0,)+∞上是增函数， 所以()g x '在(0,)+∞上是增函数， ………………6分因为1a >，所以(1)0g a '=-<，1(1ln(1))101ln(1)g a a a a '++=+-->++.所以方程()0g x '=存在唯一解， ………………8分 不妨设为0x ，则01x >，随着x 的变化，()g x '，()g x 变化情况如下表：x0(0,)x 0x 0(,)x +∞()g x ' -+()g x极小值 所以01min000()()e ln x g x g x x ax a -==--+，且0101e x a x --=. ………………10分所以0011min 0001()2e ln e 1x x g x x x x --=--+-，01x >. 设111()2e ln e 1x x h x x x x--=--+-， 11122111()=e e (1)(e )x x x h x x x x x x---'--+=-+， 当1x >时，()0h x '<，所以()h x 在区间(1,)+∞上单调递减. ………………12分 所以当1x >时，()(1)1h x h <=，即()g x 的最小值小于1， ………………13分 所以函数()g x 存在最小值，且最小值小于1. ………………14分。
【名师推荐资料】北京市西城八中2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
1
∴x
．
2
（ 2 ）①∵ x 0 ，∴ ln(1+ x) 0 ，
∴ | ln(1 + x) 0| | x 0| ln(1 + x) x ，
记 f (x) ln(1 + x) x ，
f (0) 0 ．
1
x
f ( x)
1
0，
1+ x 1+ x
∴ f (x) 在 (0,+ ) 单减．
∴ f (x)2 f (0) 0 ，即 ln(1+ x) x ，
∴ ln(1 + x) 比 x 靠近 0 ．
②
1
2
n
0，
由①得：
ln( a2a3 an ) ln a2 ln a3
ln an
ln(1 + 2 1 ) ln(1 2 2)
+ ln(1 + 21 n) 2 1 + + 21 n
2 1(1 21 n )
1
21
1
1，
12
12
∴ a2a3 an e ．
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解得： a
1 ，b 0．
3
ax3 + (3a +1)x 2 + (b + 2) x +b ．
17．（本小题满分 13 分） 设 m R ，不等式 mx2 (3m 1)x 2( m 1) 0 的解集记为集合 P ．
（Ⅰ）若 P x | 1 x 2 ，求 m 的值．
（Ⅱ）当 m 0 时，求集合 P ． 【答案】，
1 (3 5) ．
2
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
2019-2020学年北京市西城区数学高二下期末考试试题含解析
2019-2020学年北京市西城区数学高二(下)期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若2223340a b c +-=，则直线0ax by c ++=被圆221x y +=所截得的弦长为（ ） A ．23B ．1C ．12D ．342．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（ ） A ．54B ．45C ．·45CD ．45A3．已知函数()1n(3)x f x e x =-+,则下面对函数()f x 的描述正确的是（ ） A ．1(3,),()3x f x ∀∈-+∞≥B ．1(3,),()2x f x ∀∈-+∞>- C ．00(3,),()1x f x ∃∈-+∞=-D ．min ()(0,1)f x ∈4．已知a ＝253()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．c<a<bD ．b<c<a5．从5名男同学，3名女同学中任选4名参加体能测试，则选到的4名同学中既有男同学又有女同学的概率为( ) A ．2829B ．2729C ．1114D ．13146．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1- B ．13-C ．12-D ．137．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(1,0)(1,)-?? C ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)⋃+∞8．已知f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝231a a -+，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)9．已知函数()22x f x x e =-（e 为自然对数的底数），()()1,R g x mx m =+∈，若对于任意的[]11,1x ∈-，总存在[]01,1x ∈-，使得()()01g x f x = 成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．][()22,11,e e -∞-⋃-+∞ B ．221,1e e ⎡⎤--⎣⎦ C ．][()22,11,e e ---∞-⋃-+∞ D ．221,1e e --⎡⎤--⎣⎦10．函数()ln f x x x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()21xf x a =⋅-与函数()()321g x x ax a R =++∈，下列选项中不可能是函数()f x 与()g x 图象的是( )A ．B ．C ．D ．12．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．求曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程是________.14．已知关于x 的不等式13ax x -≤+的解集为{}2x x ≥-，则实数a =______.15．已知正项数列{a n }满足22116n n n n a a a a ++-=，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________．16．对于任意的实数b ，总存在[]0,1x ∈，使得21x ax b ++≥成立，则实数a 的取值范围为_____.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．命题:p 方程()2221mx m y +-=表示双曲线；命题:q 不等式()()21120m x m x -+-+>的解集是R . p q ∧为假， p q ∨为真，求m 的取值范围.18．已知定圆M ：22(1)16x y -+=，动圆N 过点F (1,0)-且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ． (1)求曲线E 的方程；(2)已知直线:l 1y x =-交圆M 于,A B 两点.,C D 是曲线E 上两点，若四边形ACBD 的对角线AB CD ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.19．（6分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x xy y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为33sinπρθ=（-）.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11||||PA PB -的值. 20．（6分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =且AB AC ⊥，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面1BCC ；（2）若直线1B C 与平面BCD 所成的角的大小为30°，求锐二面角A BD C --的正切值. 21．（6分）已知03x π=是函数()sin cos f x m x x ωω=-（0>ω）的一条对称轴，且()f x 的最小正周期为π.（1）求m 值和()f x 的单调递增区间；（2）设角,,A B C 为ABC ∆的三个内角，对应边分别为,,a b c ，若()2f B =， 3b =，求2ca -的取值范围.22．（8分）央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名30观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，将这30名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在35分钟以上（包括35分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在35分钟以下（不包括35分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取5名，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】因为22243a b c +=，所以圆心(0,0)O 到直线0ax by c ++=的距离2232c d a b==+，所以2212212l r d =-=⨯=，应选答案B 。
2019-2020学年北京市西城区高二下学期期末数学试卷
2019-2020学年北京市西城区高二下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.设i 是虚数单位，则复数i1+i 在复平面内所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知函数y =f(x)的图象如图，则f′(x A )与f′(x B )的大小关系是( )．A. f′(x A )>f′(x B )B. f′(x A )<f′(x B )C. f′(x A )=f′(x B )D. 不能确定3.盒中装有6个大小相同的小球，其中4个黄色的，2个红色的，从中任取3个，若至少有一个是红色的不同取法种数是m ，则二项式(m +x 2)6的展开式中x 8的系数为( )A. 3600B. 3840C. 5400D. 60004.若函数y =f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为2x +y −1=0，那么f(1)+f′(1)=( )．A. 0B. −3C. 3D. −25.设随机变量x ～B(n,p)，若Ex =2.4，Dx =1.44则( )A. n =4，p =0.6B. n =6，p =0.4C. n =8，p =0.3D. n =24，p =0.16.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ck(1+k)，k =1，2，3，其中c 为常数，则P(ξ≥2)等于( )A. 89B. 23C. 13D. 297.设函数f(x)在R 上可导，且f(x −1)=x 2−2x ，则f′(3)=( )A. 0B. 4C. 6D. 88.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若函数y =f(x)−g(x)在[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“关联函数”，区间[a,b]称为f(x)与g(x)的“关联区间”.若f(x)=13x 3−x 2−x 与g(x)=2x +b 的“关联区间”是[−3,0]，则b 的取值范围是( )A. [−9,0]B. [0,53]C. [0,53)D. [−9,53)9.某届足球赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队参赛15场，积33分．若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情形有( )种．A. 15B. 11C. 9D. 3x2+bln(x+2)在(−1,+∞)上单调递减，则b的取值范围是()10.f(x)=−12A. (−∞,−1)B. (−1,+∞)C. (−∞,−1]D. [−1,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11.复数z=2+4i，则|z|=______ ．1+i)12的二项展开式中的常数项为m，则m=______ ．12.若(x+2x213.某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为______ ．14.设随机变量ξ的分布列为：则m=______ ；随机变量ξ的数学期望Eξ=______ ．+sinx，则关于a的不等式f(a−2)+f(a2−4)<0的解集是______．15. 已知函数f(x)=ln1+x1−x16. 事件“对任意实数x与y，都有x2+y2≥2xy成立”的否定形式为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分），其中k∈R．17. 已知函数f(x)=x+2k+1x(1)当k≥0时，证明f(x)在[√2k+1,+∞)上单调递增；(2)若对任意k∈[1,7]，不等式f(x)≥m在x∈[2,3]上恒成立，求实数m的取值范围；(3)若关于x的方程f(|2x−−1|)−3k−2=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．18. 一部车床生产某种零件的不合格品率为2%，若从这部车床生产的一组5个零件的随机样本中发现有2个或2个以上的不合格品，则停机维修，试求停机维修的概率．ax+b．19. 已知函数f(x)=lnx，g(x)=12(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切，试求g(x)的表达式；(2)若φ(x)=m(x−1)−f(x)在[1,+∞)上是减函数，求实数m的取值范围；x+1(3)证明不等式：2n n+1<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)．20. 设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．(Ⅰ)设X 表示一周5天内机器发生故障的天数，求X 的分布列； (Ⅱ)以Y 表示一周内所获利润，则一周内利润的期望是多少？21. 已知函数f(x)=ax ，g(x)=lnx ，其中a ∈R ． (Ⅰ)若函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1，求a 的值；(Ⅱ)若函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围； (Ⅲ)证明：∑sin n k=11(k+1)2<ln2．．22. 已知函数f(x)=mx −alnx −m ，g(x)=xe x−1，其中m ，a 均为实数． (Ⅰ)求函数g(x)的极值；(Ⅱ)设m =1，a <0，若对任意的x 1、x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|恒成立，求实数a 的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数i1+i在复平面内所对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．解：由i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，可得复数i1+i 在复平面内所对应的点的坐标为(12,12)，位于第一象限．故选：A．2.答案：B解析：分别作出A、B两点的切线，由图可知k B>k A，即f′(x B)>f′(x A).3.答案：B解析：先求出至少有一个是红色的不同取法种数m的值，再二项展开式的通项公式求出r的值，即可求出答案．本题考查了排列与组合的应用问题，也考查了二项式定理的应用问题，是计算题目．解：∵至少有一个是红色的不同取法种数是m=C21×C42+C22×C41=2×6+1×4=16；∴二项式(m+x2)6=(16+x2)6展开式的通项是：T r+1=C6r⋅166−r⋅x2r，令2r=8，则r=4；∴C64×162=15×256=3840，即展开式中x8的系数为3840．故选：B．4.答案：B解析：本题主要考查导数的几何意义，根据条件求出切线斜率是解决本题的关键．根据导数的几何意义进行求解即可．解：∵函数y =f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为2x +y −1=0， ∴切线方程为y =−2x +1，则切线斜率k =f′(1)=−2，且f(1)=−2+1=−1， 则f(1)+f′(1)=−1−2=−3， 故选：B ．5.答案：B解析：解：∵随机变量x ～B(n,p)，Ex =2.4，Dx =1.44，∴{np =2.4np(1−p)=1.44∴n =6，p =0.4 故选B ．根据x ～B(n,p)，Ex =2.4，Dx =1.44，建立方程组，即可求得n ，p 的值． 本题考查二项分布，考查学生的计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：根据分布列中所有的概率和为1，得c1×2+c2×3+c3×4=1， 解得c =43∴P(ξ=k)=431k(1+k) ∴P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=43(12×3+13×4)=13故选C ．先根据分布列中所有的概率和为1求出参数c ，再判断出满足条件的ξ≥2的值，代入分布列求出值． 解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0,1]之间；概率和为1；常与求随机变量的期望、方差一起出题，常出现在高考题中的解答题中．7.答案：C解析：解：∵f(x −1)=x 2−2x =(x −1)2−1， ∴f(x)=x 2−1， ∴f′(x)=2x ， ∴f′(3)=6， 故选：C ．先计算f(x)，再求导，再代入值计算即可． 本题考查导数的运算，求出f(x)是计算的关键．8.答案：C解析：解：∵f(x)=13x 3−x 2−x 与g(x)=2x +b ，∴设y =m(x)=f(x)−g(x)=13x 3−x 2−x −2x −b =13x 3−x 2−3x −b ， 则m′(x)=x 2−2x −3，由m′(x)=x 2−2x −3=0，解得m =−1或m =3， ∵f(x)与g(x)在[−3,0]上是“关联函数”，∴当x =−1是函数m(x)在[−3,0]上的极大值，同时也是最大值， 要使m(x)=f(x)−g(x)在[−3,0]上有两个不同的零点， 则{m(0)≤0m(−1)>0m(−3)≤0.即{−b ≤053−b >0−9−b ≤0，则{b ≥0b <53b ≥−9，解得0≤b <53，故b 的取值范围是[0,53)， 故选：C求出函数y =f(x)−g(x)的表达式，利用导数求出函数的极值和单调性，根据关联函数的定义建立不等式关系即可得到结论．本题考查函数“关联函数”的定义，导数的应用以及二次函数的性质，体现了转化的数学思想，综合性较强，设计的知识点较多．9.答案：D解析：解：设该球队的胜、平、负的场次分别为x 、y 、z ，则{x +y +z =153x +y =33. 解得x =11−y3，所以{x =11y =0z =4，{x =10y =3z =2，{x =9y =6z =0.共3种情形．故选：D ．本题设出该球队的胜、平、负的场次分别为x 、y 、z ，以积分作为等量关系列出方程，即可得出结论． 本题考查积分问题，考查学生的计算能力，设出不同的情况，然后根据题目所给的条件限制求出解是解题的关键．10.答案：C解析：本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，是中档题．函数f(x)=−12x2+bln(x+2)的定义域为(−2,+∞)，f′(x)=−x2+2x−bx+2，令g(x)=x2+2x−b，则g(x)≥0在(−1,+∞)上恒成立，即b⩽x2+2x在(−1,+∞)上恒成立，求出y=x2+2x在(−1,+∞)上的取值范围即可．解：由x+2>0，得x>−2，所以函数f(x)=−12x2+bln(x+2)的定义域为(−2,+∞)，再由f(x)=−12x2+bln(x+2)，得：f′(x)=−x+bx+2=−x2+2x−bx+2，要使函数f(x)在(−1,+∞)内是单调减函数，则f′(x)在(−1,+∞)上恒小于等于0，因为x+2>0，令g(x)=x2+2x−b，则g(x)≥0在(−1,+∞)上恒成立，即b⩽x2+2x在(−1,+∞)上恒成立．又x2+2x=(x+1)2−1>−1，故b≤−1．故选C．11.答案：√10解析：解：复数z=2+4i1+i ，则|z|=|2+4i1+i|=|2+4i||1+i|=√20√2=√10．故答案为：√10；直接利用复数的模的求法运算法则求解即可．本题考查复数的基本运算，模的求法，考查计算能力．12.答案：7920解析：解：(x+2x2)12的展开式的通项公式为T r+1=C12r⋅x12−r⋅(2x2)r=2r⋅C12r⋅x12−3r，令12−3r=0，解得r=4；∴常数项m=24⋅C124=16×12×11×10×94×3×2×1=7920．故答案为：7920．根据二项式展开式的通项公式，求出展开式为常数时r的值，再计算常数项m即可．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了组合公式的应用问题，是基础题目．13.答案：5解析：本题考查排列、组合的应用，涉及组合数公式的计算，关键是列出关于x 的方程．由分步计数原理分析可得恰有1名女生入选时的不同选法为C x 2C 21，结合题意可得C x 2C 21=20，解可得x 的值，即可得答案．解：根据题意，从男女学生中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有C x 2C 21种， 则有C x 2C 21=20，即C x2=10， 即x(x−1)2=10，解可得x =5或−4(舍去) 故答案为：5．14.答案：16 23解析：解：由离散型随机变量的分布列的性质可得：12+13+m =1， 解得m =16，则E(ξ)=0×12+1×13+2×16=23， 故答案为：16；23．根据分布列的性质即可求出m 的值，由此即可求出期望．本题考查了离散型随机变量的分布列的性质以及期望，考查了学生的运算能力，属于基础题．15.答案：(√3,2)解析：解：由1+x1−x >0，求得−1<x <1，故函数的定义域为(−1,1)．再根据函数满足f(−x)=ln(1−x1+x )+sin(−x)=−ln 1+x1−x −sinx =−f(x)，可得函数为奇函数， 故关于a 的不等式f(a −2)+f(a 2−4)<0，即f(a −2)<−f(a 2−4)=f(4−a 2)，再由函数1+x1−x 、sin x 在的定义域(−1,1)上单调递增，可得函数f(x)在其定义域上单调递增，可得 {−1<a −2<1−1<a 2−4<1a −2<4−a 2，解得√3<a <2， 故答案为(√3,2)． 分析：由1+x1−x >0，求得函数的定义域为(−1,1).再根据函数为奇函数，不等式即 f(a −2)<−f(a 2−4)=f(4−a 2).函数f(x)在其定义域上单调递增， 可得{−1<a −2<1−1<a 2−4<1a −2<4−a 2，从而求得不等式的解集．本题主要考查求函数的定义域、函数的单调性和奇偶性的应用，属于中档题．16.答案：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立解析：解：命题为全称命题，则命题的否定为：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立． 故答案为：存在实数x 与y ，x 2+y 2<2xy 成立． 根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．17.答案：(1)证明：由f(x)=x +2k+1x，得f′(x)=1−2k+1x 2=x 2−(2k+1)x 2，当k ≥0时，若x ∈[√2k +1,+∞)，则x 2−(2k +1)≥0， ∴f(x)在[√2k +1,+∞)上单调递增； (2)解：由k ∈[1,7]，得2k +1∈[3,15]， 函数f(x)=x +2k+1x在(0,√2k +1]上为减函数，在[√2k +1,+∞)上为增函数，当√2k +1<2，即2k +1∈[3,4)时，f(x)min =f(2)=k +52≥72； 当√2k +1>3，即2k +1∈(9,15]时，f(x)min =f(3)=103+2k 3>6；当2≤√2k +1≤3，即2k +1∈[4,9]时，f(x)min =f(√2k +1)=2√2k +1≥4． ∴对任意k ∈[1,7]，不等式f(x)≥m 在x ∈[2,3]上恒成立，则实数m 的取值范围是m ≤72； (3)设2x −1=t ，则t >−1，且t ≠0， 方程f(|2x −1|)−3k −2=0，即|t|+2k+1|t|=3k +2，当t >0时，方程可化为：t 2−(3k +2)t +(2k +1)=0，由题意得{(3k +2)2−4(2k +1)>03k +2>02k +1>0，解得：−12<k −49或k >0 ①，当−1<t <0时，方程可化为：t 2+(3k +2)t +(2k +1)=0， 设f(t)=t 2+(3k +2)t +(2k +1)， 只需对称轴x =−3k+22<−1，f(−1)<0，f(0)>0即可，∴{−3k+22<−11−(3k+2)+(2k+1)<02k+1>0，解得：k>0②，①，②取交集得：k>0，∴实数k的取值范围是(0,+∞)．解析：(1)求出原函数的导函数，利用导函数在[√2k+1,+∞)上大于0说明f(x)在[√2k+1,+∞)上单调递增；(2)对k分类求出函数在x∈[2,3]上的最小值得答案；(3)设2x−1=t，将问题转化为求方程t2−(3k+2)t+(2k+1)=0在(0,+∞)有2个交点，方程t2+ (3k+2)t+(2k+1)=0在(−1,0)有1个交点求解．本题考查函数单调性的性质，考查了函数的最值及其几何意义，训练了根的存在性及根的个数的判定方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．18.答案：解：一部车床生产某种零件的不合格品率为2%，从这部车床生产的一组5个零件的随机样本中发现有2个或2个以上的不合格品，则停机维修，停机维修的概率为：P=1−C50×0.985−C51⋅0.984⋅0.02=0.0038144．解析：利用对立事件概率计算公式和n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：(1)∵f(x)=lnx，∴f′(x)=1x ，∴f′(1)=1=12a，得：a=2．又∵g(1)=0=12a+b，∴b=−1，∴g(x)=x−1；(2)φ(x)=m(x−1)x+1−f(x)=m(x−1)x+1−lnx在[1,+∞)上是减函数，∴ϕ′(x)=−x2+(2m−2)x−1x(x+1)2≤0在[1,+∞)上恒成立．即x2−(2m−2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立，由2m−2≤x+1x，x∈[1,+∞)，∵x+1x∈[2,+∞),∴2m−2≤2得m≤2；证明：(3)由(1)可得：当x≥2时：lnx<x−1≤x2(x−1)，∴lnx<12x(x−1)得：2x(x−1)<1lnx，∴2(1x−1−1x)<1lnx．当x=2时：2(11−12)<1ln2，当x=3时：2(12−13)<1ln3，当x=4时：2(13−14)<1ln4，…当x=n+1时：2(1n−1n+1)<1ln(n+1)，n∈N+，n≥2，上述不等式相加得：2(1−1n+1)<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)，即：2nn+1<1ln2+1ln3+1ln4+⋯+1ln(n+1)．解析：(1)求导数，利用f(x)与g(x)在x=1处相切，可求g(x)的表达式；(2)φ(x)=m(x−1)x+1−f(x)在[1,+∞)上是减函数，可得导函数小于等于0，在[1,+∞)上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数m的取值范围；(3)当x≥2时，证明2(1x−1−1x)<1lnx，当x=2时，当x=3时，当x=4时，…，当x=n+1时，利用叠加法，即可得到结论．本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查基本不等式的运用，考查叠加法，考查学生分析解决问题的能力，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)以X表示一周5天内机器发生故障的天数，则X−B(5,0.2)，P(X=k)=C5k0．2k0．85−k，k=0，1，2，3，4，5，∴X的分布列为：(Ⅱ)以Y表示一周内所获利润，则y=g(X)={10,X=0 5,X=1 0,X=2−2,X≥3，P(Y=10)=P(X=0)=0.32768，P(Y =5)=P(X =1)=0.4096， P(Y =0)=P(X =2)=0.2048，P(Y =−2)=P(X ≥3)=0.0512+0.0064+0.00032=0.05792， ∴一周内利润的期望为：EY =10×0.32768+5×0.4096+(−2)×0.05792=5.20896(万元)．解析：(Ⅰ)以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，则X −B(5,0.2)，由此能求出X 的分布列． (Ⅱ)以Y 表示一周内所获利润，则y =g(X)={10,X =05,X =10,X =2−2,X ≥3，一周内利润的期望值．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．21.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax ，g(x)=lnx ，其中a ∈R ．∴F(x)=ax −lnx ，则F′(x)=a −1x ， ∵函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1， ∴F′(1)=0，∴a −1=0，解得a =1；(Ⅱ)∵函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)=asin(1−x)+lnx ， ∴G′(x)=acos(1−x)×(−1)+1x ，只要G′(x)在区间(0,1)上大于等于0， ∴G′(x)=acos(1−x)×(−1)+1x ≥0， ∴a ≤1xcos(1−x)，求1xcos(1−x)的最小值即可，求ℎ(x)=xcos(1−x)的最大值即可，0<1−x <1， ∵ℎ′(x)=cos(1−x)+xsin(1−x)>0， ∴ℎ(x)在(0,1)增函数， ℎ(x)<ℎ(1)=1， ∴1xcos(1−x)的最小值为1， ∴a ≤1；(Ⅲ)∵0<1(k+1)2<1，∵sinx <x 在x ∈(0,1)上恒成立，∴∑sin n k=11(k+1)2=sin 122+sin132+⋯+sin1(n+1)2≤122+132+⋯+1(n+1)2<14+19+116+14×5+15×6+⋯+1n(n+1)=97144−1n+1<97144<ln2，∴∑sin n k=11(k+1)2<ln2；解析：(Ⅰ)根据已知条件函数F(x)=f(x)−g(x)有极值点1，可得F′(1)=0，得出等式，求出a 值； (Ⅱ)因为函数G(x)=f[sin(1−x)]+g(x)在区间(0,1)上为增函数，可以对其进行转化，可以转化为G′(x)>0在(0,1)上恒成立，利用常数分离法进行求解；(Ⅲ)这个证明题可以利用一个恒等式，sinx <x ，然后对∑sin n k=11(k+1)2从第三项开始进行放缩，然后进行证明；第一问利用导数可以很容易解决，第二问利用了常数分离法进行证明，第三问需要进行放缩证明，主要利用sinx <x 进行证明，此题难度比较大，计算量比较大；22.答案：解：(Ⅰ)g′(x)=1−xe x−1，令g′(x)=0，得x =1，列表如下：∴当x =1时，g(x)取得极大值g(1)=1，无极小值；(Ⅱ)当m =1时，a <0时，f(x)=x −alnx −1，x ∈(0,+∞)， ∵f′(x)=x−a x >0在[3,4]恒成立，∴f(x)在[3,4]上为增函数，设ℎ(x)=1g(x)=e x−1x，∵ℎ′(x)=e x−1(x−1)x 2>0在[3,4]上恒成立，∴ℎ(x)在[3,4]上为增函数，不妨设x 2>x 1，则|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|等价于：f(x 2)−f(x 1)<ℎ(x 2)−ℎ(x 1)，即f(x 2)−ℎ(x 2)<f(x 1)−ℎ(x 1)，设u(x)=f(x)−ℎ(x)=x −alnx −1−e x−1x，则u(x)在[3,4]上为减函数，∴u′(x)=1−ax −e x−1(x−1)x 2≤0在[3,4]上恒成立，∴a ≥x −ex−1+e x−1x恒成立，∴a ≥(x −e x−1+e x−1x)max ，x ∈[3,4]，设v(x)=x −e x−1+e x−1x，∵v′(x)=1−e x−1+e x−1(x−1)x 2=1−e x−1[(1x −12)2+34]，x ∈[3,4]，∴e x−1[(1x −12)2+34]>34e2>1，∴v′(x)<0，v(x)为减函数，∴v(x)在[3,4]上的最大值v(3)=3−23e2，∴a≥3−23e2，∴a的最小值为3−23e2；解析：(Ⅰ)对函数g(x)求导，得到g′(x)=0，得到极值点，求出极值．(Ⅱ)不妨设x2>x1，则|f(x2)−f(x1)|<|1g(x2)−1g(x1)|等价于：f(x2)−f(x1)<ℎ(x2)−ℎ(x1)，即f(x2)−ℎ(x2)<f(x1)−ℎ(x1)，分离参数，利用导数求最值求出参数范围即可．本题主要考查了利用导数求函数极值和利用导数求参数范围，属于中档题型，在高考中经常涉及．。
北京市西城区2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析
北京市西城区2019-2020学年数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足()12z i i +=,则复数z 在复平面内对应点所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】 由()12z i i +=，得()122=1255i i ii z i -+==+， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为2155⎛⎫⎪⎝⎭，，在第一象限． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B．2C ．1 D【答案】B 【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴常为2a 1211222{2PF PF a PF PF a +=⇒-= 1PF ⇒=12,a a +212PF a a =-222121212124()()2()()cos4c a a a a a a a a π⇒=++--+-⇒2221111124(2(24c a a =+-⇒=≥=⇒122e e ≥,故选B. 3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( )A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°【答案】B【解析】【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论.【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设是假设三内角都大于60 .故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.4．已知，则函数的单调递减区间为( )．A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】求出函数的定义域，并对该函数求导，解不等式，将解集与定义域取交集得出函数的单调递减区间。
2020年北京市西城区实验中学高二数学下学期期末试题
数学试卷一、选择题1、i是虚数单位，若复数z满足3＋4i，则z等于（）A．4＋3i B．4－3i C．－3＋4i D．－3－4i2、在的展开式中，只有第4项的系数最大，则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．73、若，则n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．44、已知，则＝（）A．0 B．1 C．－1 D．－25、计算定积分＝（）A．B．C．D．6.在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作。
设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A.0.35B.0.65C.0.85D.5 77、从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（）A．30个B．27个C．36个D．60个8、函数在上的极小值点为（）A．0B．C．D．9、甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是（）A．30 B．24 C．12 D．610、已知函数，给出下列结论：① 是的单调递减区间；②当时，直线与的图象有两个不同交点；③函数的图象与的图象没有公共点.其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①③C．①② D．②③二、填空题11、函数的图象在点处切线的斜率是___________.12、设，则＝____________；_____________.13、在3名男生和4名女生中任选4人参加一项活动，其中至少有1名男生的选法种数是_____（用数字作答）.14、设函数有极值，则实数a的取值范围是_________.15、某超市有奖促销，抽奖规则是：每消费满50元，即可抽奖一次.抽奖方法是：在不透明的盒内装有标着1，2，3，4，5号码的5个小球，从中任取1球，若号码大于3就奖励10元，否则无奖，之后将球放回盒中，即完成一次抽奖，则某人抽奖2次恰中20元的概率为___________；若某人消费200元，则他中奖金额的期望是_________元.16、设函数图象上在不同两点处的切线斜率分别是，，规定（为A与B之间的距离）叫作曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则＝________；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是____________.三、解答题17、已知数列中，.（Ⅰ）计算的值；（Ⅱ）根据计算结果猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.18、在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为.该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：（Ⅰ）该同学得4分的概率；（Ⅱ）该同学得分少于5分的概率.19、已知函数.（Ⅰ）若，求在上的最小值；（Ⅱ）若在区间上的最大值大于零，求a的取值范围.20、盒中装有7个零件，其中5个是没有使用过的，2个是使用过的.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；（Ⅱ）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个数，求X的分布列和期望.21、已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若函数在区间上的最小值为0，求a的值；（Ⅲ）若对于任意恒成立，求a的取值范围.22、已知函数，，令. （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若，且正实数满足，求证：.参考答案答案：1、解析：因为，,所以，,故选B.考点：复数的运算.答案：2、解析：因为的展开式中，只有第4项的系数最大，所以展开式共有7项，所以. 故选C.考点：二项式定理及二项式系数的性质.答案：3、解析：因为，,所以，,解得：,故选D.考点：排列数公式与组合数公式.答案：4、解析：因为,所以，,所以，故选C.考点：求导公式的应用.答案：5、解析：因为,所以答案选B.考点：定积分的运算.6.答案：C解析：由题意可得,线路不能够正常工作的概率是,故线路能够正常工作的概率是,所以C选项是正确的.答案：7、解析：符合条件的三位数中，百位数字为偶数的有个，百位数字为奇数的有个，共有30个，故选A.考点：1、分类加法计数原理；2、排列.答案：8、解析：因为所以，令，则或由得：；由得：或所以函数在区间上为减函数，在区间和区间上均为增函数，所以函数的极小值点为.故选C.考点：1、导数在研究函数性质中的应用.答案：9、解析：确定选法种数可分如下三步：第一步：确定相同的品牌，有4种不同的方法；第二步：甲再从剩下的三个品牌中选一个，有3种不同的方法；第三步：乙最后从剩下的两个品牌中再选一个，有2种不同的方法；由分步乘法计数原理知，共有种不同的方法.故选B.考点：分步乘法计数原理.答案：10、解析：因为，所以，令，则所以，当时，；当时，所以，函数在区间为增函数，在上为减函数，所以，当时，函数取得最大值，且当时，所以只有①③正确，故选B.考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、数形结合的思想.答案：11、解析：因为，所以，所以，，即函数在点处的切线的斜率是3.所以答案应填：3. 考点：导数的几何意义.答案：12、解析：在中令得：在中令得：所以答案应填：1，-1.考点：二项式定理.答案：13、解析：从7人任选4人参加一项活动，一共有种选法，其中没有男生的选法有所以，其中至少有1名男生的选法种数是34种.考点：1、组合；2、事件及其关系.答案：14、解析：因为，所以，由函数有极值知其导数有两个零点，所以，所以，答案应填：考点：导数与函数的极值.答案：15、解析：根据题意，每次抽奖，中奖的概率都是，而且相互独立；所以某人抽奖2次恰中20元的概率为：若某人消费200元，有四次抽奖机会，设其所中奖次数服从，则设其所得奖金为元，则，所以所以答案应填：.考点：1、古典概型；2、独立事件同时发生的概率；3、二项分布；4、离散型随机变量的数学期望.答案：16、解析：因为，所以，，所以，所以，,从而有：由，得：，所以，所以，,即又因为恒成立，所以，.所以答案应填：考点：1、新定义；2、导数的几何意义.答案：17、解析：（Ⅰ）根据递推公式依次计算可得的值；（Ⅱ）首先由数列的前四项归纳出其通项公式，然后按数学归纳法的步骤证明结论正确即可. 试题解析：解：（Ⅰ）由可得. 5分（Ⅱ）由猜想：. 7分以下用数学归纳法证明：（1）当时，左边，右边，符合结论； 8分（2）假设时结论成立，即， 9分那么，当n＝k＋1时，.11分所以，当n＝k＋1时猜想也成立；12分根据（1）和（2），可知猜想对于任意n∈N *都成立.13分考点：1、数列的递推公式与通项公式；2、合情推理；3、数学归纳法.答案：18、解析：（Ⅰ）设该同学“在A处击中目标”为事件A，“在B处击中目标”为事件B，“在C处击中目标”为事件C，因为事件A，B，C相互独立，事件“该同学得4分”可表示为：，从而求得概率值.（Ⅱ）首先依次求出该同学得0分、2分，3分、4分，并把所求事件表示成如下、、、互斥事件的和事件，从而求得该同学得分少于5分的概率.试题解析：解：（Ⅰ）设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B，在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立.依题意.3分则该同学得4分的概率为5分.答：该同学得4分的概率为. 6分（Ⅱ）该同学得0分的概率为；8分得2分的概率为； 10分得3分的概率为； 11分得4分的概率为；则该同学得分少于5分的概率为.答：该同学得分少于5分的概率为. 13分考点：1、独立事件；2、互斥事件与对立事件.答案：19、解析：（Ⅰ）由，先求函数的导数，利用导数的符号研究函数在区间上的单调性与极值，从而求出函数在上的最小值；（Ⅱ）因为函数的导数为，它在区间的符号与的取值有关，因此要对的取值分类讨论，以确定在相应情况下函数在区间上的单调性与最大值并进一步求出的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）时，，则.2分令，得. 4分所以，当时，最小值为. 7分（Ⅱ）由已知. 8分当时，，函数为减函数，在区间上的最大值为＝－4，不符合题意. 9分当时，函数在区间上为减函数，最大值为，不符合题意.10分当时，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.所以，在区间上的最大值为， 11分依题意，令，解得，符合题意. 12分综上，a的取值范围是. 13分考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.答案：20、解析：（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，一共有种不同的结果，由于是随机取的，每个结果出现的可能性是相等的，故可用古典概型概率计算公式求解；（Ⅱ）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，由已知X＝3，4，5，其中表示取出的三个零件中有一个是没有用过的，两个用过的；表示取出的三个零件中有两个是没有用过的，一个用过的；表示取出的三个零件都是没有用过的；再根据古典概型求出相应的概率值，从而得到X的分布列和期望.试题解析：解：（Ⅰ）记“从盒中随机抽取一个零件，抽到的是使用过零件”为事件A.1分则. 3分所以三次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率.5分（Ⅱ）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，由已知X＝3，4，5. 7分；；. 10分. 13分考点：1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.答案：21、解析：（Ⅰ）因为，可先求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线在点（0，1）处的切线的斜率进而求出此切线的方程；（Ⅱ）先求出函数的导数，再根据的取值对函数值及其导数符号的影响，讨论函数在区间上的最小值并求出的取值.（III）构建新函数，从而将不等式恒成立的问题转化为函数的最小值问题，再利用导数解决.试题解析：解：（Ⅰ）时，， 2分所求切线的斜率为. 3分所以，曲线在点处的切线方程为.4分（Ⅱ）当时，函数，不符合题意.5分当时，，令，得， 6分所以，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 7分①当，即时，最小值为.解，得，符合题意. 8分②当，即时，最小值为.解，得，不符合题意. 9分综上，.（Ⅲ）构建新函数.10分①当，即时，因为，所以.（且时，仅当时，.）所以在R上单调递增.又，所以，当时，对于任意都有. 12分②当时，解，即，得，其中.所以，且，.所以在上单调递减.又，所以存在，使，不符合题意.综上，a的取值范围为. 14分考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、等价转化的思想.答案：22、解析：（Ⅰ）先求函数的定义域，再利用导数的符号确定函数的单调递增区间；（Ⅱ）令，则关于x的不等式恒成立就等价于恒成立，从而转化为函数的最值问题;(III) 时，由，得，即，（*）构造函数求出的最小值，从而将（*）化为关于的一元二次不等式，解得的取值范围即可.试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为， 2分由，得，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）. 4分（Ⅱ）.令，则不等式恒成立，即恒成立.. 5分①当时，因为，所以所以在上是单调递增函数，又因为，所以关于x的不等式不能恒成立. 6分②当时，.令，因为，得，所以当时，；当时，.因此函数在是增函数，在是减函数.7分故函数的最大值为.8分令，因为在上是减函数，又因为，，所以当时，.所以整数m的最小值为2. 10分（Ⅲ）时，由，得，即，整理得， 11分令，则由得，， 12分可知在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以， 13分所以，解得，因为为正整数，所以成立. 14分考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化的思想；3、构造函数证明不等式.。
北京市西城区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 含解析
北京市西城区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题一､选择题1. 在复平面内，复数1i +的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限. 【详解】复数1i +的共轭复数为1i -，∴其对应的点()1,1-位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2. 函数y =1x =处的瞬时变化率为（ ）A. 2B.12C. 12-D. 1【答案】B函数在某点处的瞬时变化率即为函数在改点的导数值，求导得解 【详解】,y x y '=∴=，112x y =∴='所以函数y =1x =处的瞬时变化率为12故选：B【点睛】本题考查函数在某点处的导数值，属于基础题. 3. 4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A. 8 B. 7C. 6D. 4【答案】C根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r，2x ∴的系数为246C =．故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 曲线2y x=在点()1,2Q 处的切线方程为（ ） A. 240x y +-= B. 240x y ++= C. 10x y -+= D. 10x y +-=【答案】A求出函数在1x =处的导数值，即切线斜率，即可求出切线方程. 【详解】2y x =，22y x'∴=-， 当1x =时，2y '=-，故切线斜率为2-，∴切线方程为()221y x -=--，即240x y +-=.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.5. 某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ） A. 3p B. 3(1)p p -C. 334(1)C p p -D. 334C p【答案】C根据独立重复试验的概率计算公式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】由题意，从这批产品中任取4件，所得次品数记作X ， 则X 服从二项分布，即()4,XB p ，所以从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是()3343(1)P X C p p ==-. 故选：C.【点睛】本题主要考查求独立重复试验对应的概率，属于基础题型.6. 已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C分析：先根据分布列概率和为1得到b 的值，再根据E(X)=6.3得到a 的值. 详解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3， 所以a=7. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质：①0i P ≥，1,2,3,,,i n =；②121n P P P ++++=.7. 已知函数()cos sin f x x x x =-，则2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值为（ ） A.2πB. 2π-C. 1-D.π-【答案】B根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可； 【详解】因为()cos sin f x x x x =-所以()()cos cos cos cos sin cos sin f x x x x x x x x x x x x '''=+-=--=-所以sin 2222f ππππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.8. 已知函数()f x 和()g x 的导函数()f x '､()g x '图象分别如图所示，则关于函数()()=-y g x f x 的判断正确的是（ ）A. 有3个极大值点B. 有3个极小值点C. 有1个极大值点和2个极小值点D. 有2个极大值点和1个极小值点【答案】D根据题中图像可知，()f x '､()g x '的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为1x ､2x ，3x ，其中20x =；结合题中函数图像，判定函数()()=-y g x f x 的单调性，进而可得极值点.【详解】由题中图像可知，()f x '､()g x '的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为1x ､2x ，3x ，其中20x =，由图像可得，当1x x <时，()()x g x f '>'，即()()0y g x f x '''=->，则函数()()=-y g x f x 单调递增；当10x x <<时，()()x g x f '<'，即()()0y g x f x '''=-<，则函数()()=-y g x f x 单调递减；当30x x <<时，()()x g x f '>'，即()()0y g x f x '''=->，则函数()()=-y g x f x 单调递增；当3x x >时，()()x g x f '<'，即()()0y g x f x '''=-<，则函数()()=-y g x f x 单调递减； 所以()()=-y g x f x 有两个极大值点1x 和3x ；有一个极小值点0. 故选：D.【点睛】本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，考查极值点个数的判定，属于基础题型.9. 万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中，首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律十二平均律包括六个阳律（黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射）和六个阴律（大吕、夹钟、中吕、林钟、南吕、应钟）.现从这十二平均律中取出2个阳律和2个阴律，排成一个序列，组成一种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻，则可组成不同的旋律（ ） A. 450种 B. 900种 C. 1350种 D. 1800种【答案】B分为两步，第一步，取出2个阳律和2个阴律，第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，利用分步计数原理可得.【详解】第一步，取出2个阳律和2个阴律，有2266225C C =种， 第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，有22224A A =种， 根据分步计数原理可得，共有2254900⨯=种. 故选：B.【点睛】本题考查排列组合与计数原理的问题，属于基础题.10. 设函数()f x 定义域为D ，若函数()f x 满足：对任意c D ∈，存在,a b D ∈，使得()()()f a f b f c a b-'=-成立，则称函数()f x 满足性质Γ.下列函数不满足性质Γ的是（ ）A. 2()f x x =B. 3()f x x =C. ()x f x e =D.()ln f x x =【答案】B构造函数()()()g x f x f c x '=-，可得()()g x f x ''''=，则()f x ''在定义域内正负号不变时满足性质Γ，若()f x ''有唯一变号零点0x 时不满足性质Γ，则通过计算()f x ''即可判断. 【详解】()()()f a f b f c a b-'=-可化为()()()()f a f c a f b f c b ''-=-，令()()()g x f x f c x '=-，则()()()g x f x f c '''=-，()()g x f x ''''=，∴若()f x ''在定义域内正负号不变，那么x c =是()g x '的变号零点，则()g x 在x c =的两侧的单调性不一致，因此满足性质Γ；若()f x ''有唯一变号零点0x ，那么取0c x =，则()g x '在定义域内的正负号不变，进而函数()g x 在定义域内单调，因此不满足性质Γ.对于A ，()2f x x '=，则()20f x ''=>，所以满足性质Γ；对于B ，()23f x x '=，则()6f x x ''=有唯一变号零点0，所以不满足性质Γ；对于C ，()x f x e '=，则()0x f x e ''=>，所以满足性质Γ； 对于D ，()1f x x '=，则()210f x x''=-<，所以满足性质Γ.【点睛】本题考查利用导数解决新定义问题，属于较难题. 二､填空题 11. 若复数41z i=-，则||z =___________.【答案】先利用复数除法运算求出z ，再求出模即可. 【详解】()()()4142+2111i z i i i i +===--+，||z ∴==故答案为：【点睛】本题考查复数的除法运算和模的求解，属于基础题.12. 在5232x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)【答案】40先求出展开式的通项105152r rr r T C x-+=，令1050r -=即得解.【详解】设展开式的通项为2510515532()()2r rrr r r r T C x C x x--+==， 令1050,2r r -=∴=， 所以常数项为225240C =. 故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. 从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答). 【答案】45根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医可分为两类：第一类，若2男1女，共有213515C C =种不同的选取方法； 第二类，若1男2女，共有123530C C =种不同的选取方法， 由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为153045+=种. 故答案为：45.【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，以及组合数的计算，其中解答中根据题设条件，合理分类，结合分类计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 14. 中国福利彩票3D 游戏(以下简称3D )，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票.投注者从000~999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1000元，反之则获得奖金0元.某人随机投了一注，他的奖金的期望是______元. 【答案】1求出此人中奖和不中奖的概率，利用期望的公式，即可求得数学期望，得到答案.【详解】由题意，此人中奖的概率为11000，不中奖的概率为9991000，所以此人随机投注一次，他的奖金的期望为：199910000110001000⨯+⨯=元. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的数学期望的求法，其中解答中正确理解题意，求得此人中奖和不中奖的概率，结合期望的计算公式求解是解答的关键，属于基础题. 15. 能说明“若()f x '为偶函数，则()f x 为奇函数”为假命题的一个函数是__________.【答案】3()1f x x =+(答案不唯一)根据题中条件，只需任意写出满足题意的函数即可.【详解】若3()1f x x =+，则()23f x x '=是偶函数，但3()1()f x x f x -=-+≠-，所以()f x 不是奇函数；能满足“若()f x '为偶函数，则()f x 为奇函数”为假命题.故答案为：3()1f x x =+.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及导数的计算，以及函数奇偶性的判定，属于基16. 辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% 对于此次招生，给出下列四个结论： ①法学院的录取率小于商学院的录取率； ②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________. 【答案】②④根据题意，结合古典概型的概率计算公式，逐项进行判定，即可求解. 【详解】设申请法学院的男生人数为x ，女生人数为y ，则200x y +=， 法学院的录取率为0.50.70.50.7(200)0.70.001200200x y x x x ++⨯-==-，设申请商学院的男生人数为m ，女生人数为n ，则300m n +=， 商学院的录取率为0.60.90.60.9(300)0.90.001200200m n m m m ++⨯-==-，由()()0.90.0010.70.0010.20.001()0.001(200)m x m x m x ---=--=-+， 该值的正负不确定，所以①错误，④正确；这两个学院所有男生的录取率为0.50.6x mx m++，这两个学院所有女生的录取率为0.70.9y ny n++，因为0.50.60.70.90.20.40.10.30()()x m y n xy xn my nmx m y n x m y n +++++-=<++++，所以②正确；③错误. 故答案为：②④.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，其中解答中正确理解题意，结合古典概型的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查数学阅读能力，属于基础题. 三､解答题17. 已知函数3()3f x x x =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为()1,1-；（2）最大值为18，最小值为2-.（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可． 【详解】（1）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令()0f x '=，解得11x =-，21x =.随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为()1,1-.（2）因为函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,3上单调递增， 又(1)2f -=，(1)2f =-，(3)18f =，所以，函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值为18，最小值为2-.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用，属于基础题 18. 某射手打靶命中8环､9环､10环的概率分别为0.15.0.25.0.2.如果他连续打靶三次，且每次打靶的命中结果互不影响. （1）求该射手命中29环的概率； （2）求该射手命中不少于28环的概率. 【答案】（1）0.03；（2）0.0935.（1）根据题中条件，由独立事件的概率计算公式，即可得出结果；（2）根据题中条件，分别计算出命中30环，命中28环，命中29环对应的概率，再求和，即可得出结果.【详解】（1）设A =“连续射击3次，中29环”.则223()0.25(0.2)P A C =⋅⋅0.03=所以该射手命中29环的概率为0.03.（2）设B =“连续射击3次，命中不少于28环”， 依题意，命中30环的概率为3(0.2)0.008=； 命中28环的概率为2222330.15(0.2)(0.25)0.2C C ⋅⋅+⋅⋅0.0180.03750.0555=+=；由（1）知，命中29环的概率为0.03；所以()0.0080.05550.030.0935P B =++=，所以该射手连续射击3次，命中不少于28环的概率为0.0935.【点睛】本题主要考查独立事件的概率，考查求互斥事件发生的概率，属于常考题型. 19. 已知函数()ln (0)f x x a x a =-≠.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值点和极值. 【答案】（1）1y =；（2）答案见解析.（1）当1a =时，求得11()1x f x x x'-=-=，得到()01f '=，()11f =，即可求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求得0(,())1,a x x x af x x-∈'-=+∞=，分0a <和0a >两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的极值，得到答案.详解】（1）当1a =时，函数()ln f x x x =-，可得11()1x f x x x'-=-=，则()01f '=， 又因为()11f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =. （2）由函数()ln f x x a x =-，可得0(,())1,a x x x af x x-∈'-=+∞=， ①当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，不存在极值； ②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =. 随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：所以函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，所以，函数()f x 的极小值点为x a =，极小值为()ln f a a a a =-，无极大值， 综上可得，当0a <时，函数()f x 没有极值；当0a >时，()f x 有极小值ln a a a -，极小值点为x a =，无极大值.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，其中解答中熟记导数与原函数的关系，正确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20. 高中必修课程结束之后，学生需要从物理､化学､生物､历史､地理､政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程.某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到下表：（1）从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；（2）从第8组､第9组､第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X，求X的分布列和期望；（3）如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大？并说明理由.【答案】（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：1211；（3）选择历史的可能性最大，理由见解析.（1）先找出选择了化学的学生数，再利用古典概型求解即可；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，再利用超几何分布求概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）由表可知，选择地理的总人数为79，然后依次求出同时选择生物、化学、政治、物理或历史的概率，取最大者即可．【详解】解：（1）设A =“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”， 则17121074501()1001002P A ++++===，所以，从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为12. （2）第8､9､10组共有11人，其中选择政治的有6人. 所以X 的所有可能取值为0，1，2.252112(0)11C P X C ===，11562116(1)11C C P X C ===，262113(2)11C P X C ===.所以X 的分布列为故X 的期望()01211111111E X =⨯+⨯+⨯=. （2）选择地理的总人数为：20141210975279+++++++=.所以P (“同时选择生物”)141292377979+++==；P (“同时选择化学”)12107297979++==；P (“同时选择政治”)202227979+==； P (“同时选择物理”)1095247979++==；P (“同时选择历史”)201475467979+++==.因为4679最大，所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大. 【点睛】本题考查古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．21. 已知函数2()12xa f x e x x =---. （1）若0a =，证明：()0f x ≥；（2）若曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）{}0a a ≤.（1）当0a =时，求得()1x f x e =-'，根据()'f x 的符号，求得函数的单调性与最小值，即可求解；（2）求得函数的导数()1x f x e ax '=--，设()1xg x e ax =--，把曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，即函数()g x 不存在最小值，利用导数，分类讨论求得函数()g x 单调性与最值，即可求解.【详解】（1）当0a =时，函数()1x f x e x =--，可得()1x f x e =-'， 令()0f x '>，即10x e ->，解得0x >； 令()0f x '<，即10x e -<，解得0x <，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()00f =，所以()0f x ≥.（2）由函数2()12x a f x e x x =---，可得()1x f x e ax '=--， 设()1xg x e ax =--，可得()xg x e a '=-由曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，即函数()g x 不存在最小值，①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，不存在最小值， 所以0a ≤符合题意. ②当0a >时，令()0g x '>，即0x e a ->，解得ln x a >； 令()0g x '<，即0-<x e a ，解得ln x a <，所以()g x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增， 所以()g x 在ln x a =处取得最小值，最小值为()ln ln ln 11ln ag a e a a a a a =--=--,所以0a >不符合题意（舍去）.综上可得，实数a 的取值范围为{}0a a ≤.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值（最值），以及把曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，转化为函数()g x 不存在最小值是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 22. 已知函数()ln f x x ax a =+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当1a >时，函数1()()x g x e f x -=-存在最小值，且最小值小于1. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.（1）求出()f x 的导数，讨论0a ≥和0a <时导数情况，即可求出单调区间；（2）由题可得所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点，求出()g x 的导数，讨论其单调性，即可进行判断.【详解】解：（1）函数()f x 定义域为()0,∞+，11()ax f x a x x'+=+=. ①当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ②当0a <时，由()0f x '>，得10x a<<-；由()0f x '<，得1x a >-.所以()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.综上，当0a ≥时，()f x 单调递增区间为(0,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）由已知1()ln x g x e x ax a -=--+，0x >.因为()11g =，所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点， 即min ()(1)1g x g <=.因为()ln x e g x x ax a e=--+，所以11()x g x e a x -'=--.因为函数1x y e -=，1y x=-在区间(0,)+∞上是增函数， 所以()g x '在区间(0,)+∞上是增函数， 因为1a >，所以(1)0g a '=-<，11(1ln(1))1101ln(1)1ln(1)g a a a a a '++=+--=->++++.所以方程()0g x '=在区间(0,)+∞上存在唯一解， 不妨设为0x ，则01x >，随着x 的变化，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()g x 有最小值，最小值为()()011g x g <=. 所以函数1()()x g x e f x -=-存在最小值，且最小值小于1.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，考查利用导数求函数最值，属于较难题.。
北京市西城区2019-2020学年高二下学期数学期末考试试题 Word版含解析
北京市西城区2019—2020学年度第二学期期未试卷高二数学一､选择题1. 在复平面内，复数1i +的共轭复数所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限. 【详解】复数1i +的共轭复数为1i -，∴其对应的点()1,1-位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2. 函数y =1x =处的瞬时变化率为（ ）A. 2B.12C. 12-D. 1【答案】B 【解析】 【分析】函数在某点处的瞬时变化率即为函数在改点的导数值，求导得解 【详解】,y x y '=∴=112x y =∴='所以函数y =1x =处的瞬时变化率为12故选：B【点睛】本题考查函数在某点处的导数值，属于基础题. 3. 4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A. 8B. 7C. 6D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r，2x ∴的系数为246C =．故选：C ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 4. 曲线2y x=在点()1,2Q 处的切线方程为（ ） A. 240x y +-= B. 240x y ++= C. 10x y -+= D. 10x y +-=【答案】A 【解析】 【分析】求出函数在1x =处的导数值，即切线斜率，即可求出切线方程. 【详解】2y x =，22y x'∴=-， 当1x =时，2y '=-，故切线斜率为2-，∴切线方程为()221y x -=--，即240x y +-=.故选：A.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.5. 某批数量很大的产品的次品率为p ，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ） A. 3p B. 3(1)p p -C. 334(1)C p p -D. 334C p【答案】C 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】由题意，从这批产品中任取4件，所得次品数记作X ， 则X 服从二项分布，即()4,XB p ，所以从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是()3343(1)P X C p p ==-. 故选：C.【点睛】本题主要考查求独立重复试验对应的概率，属于基础题型.6. 已知某一随机变量ξ的概率分布列如图所示，且E(ξ)＝6.3，则a 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C 【解析】分析：先根据分布列概率和为1得到b 的值，再根据E(X)=6.3得到a 的值. 详解：根据分布列的性质得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因为E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3， 所以a=7. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质：①0i P ≥，1,2,3,,,i n =；②121n P P P ++++=.7. 已知函数()cos sin f x x x x =-，则2f π⎛⎫'⎪⎝⎭的值为（ ） A.2π B. 2π-C. 1-D. π-【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可； 【详解】因为()cos sin f x x x x =-所以()()cos cos cos cos sin cos sin f x x x x x x x x x x x x '''=+-=--=- 所以sin 2222f ππππ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.8. 已知函数()f x 和()g x 的导函数()f x '､()g x '图象分别如图所示，则关于函数()()=-y g x f x 的判断正确的是（ ）A. 有3个极大值点B. 有3个极小值点C. 有1个极大值点和2个极小值点D. 有2个极大值点和1个极小值点【答案】D 【解析】 【分析】根据题中图像可知，()f x '､()g x '的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为1x ､2x ，3x ，其中20x =；结合题中函数图像，判定函数()()=-y g x f x 的单调性，进而可得极值点.【详解】由题中图像可知，()f x '､()g x '的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为1x ､2x ，3x ，其中20x =，由图像可得，当1x x <时，()()x g x f '>'，即()()0y g x f x '''=->，则函数()()=-y g x f x 单调递增；当10x x <<时，()()x g x f '<'，即()()0y g x f x '''=-<，则函数()()=-y g x f x 单调递减；当30x x <<时，()()x g x f '>'，即()()0y g x f x '''=->，则函数()()=-y g x f x 单调递增；当3x x >时，()()x g x f '<'，即()()0y g x f x '''=-<，则函数()()=-y g x f x 单调递减； 所以()()=-y g x f x 有两个极大值点1x 和3x ；有一个极小值点0. 故选：D.【点睛】本题主要考查导函数图像与原函数之间的关系，考查极值点个数的判定，属于基础题型.9. 万历十二年，中国明代音乐理论家和数学家朱载堉在其著作《律学新说》中，首次用珠算开方的办法计算出了十二个半音音阶的半音比例，这十二个半音音阶称为十二平均律十二平均律包括六个阳律（黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射）和六个阴律（大吕、夹钟、中吕、林钟、南吕、应钟）.现从这十二平均律中取出2个阳律和2个阴律，排成一个序列，组成一种旋律，要求序列中的两个阳律相邻，两个阴律不相邻，则可组成不同的旋律（ ） A. 450种 B. 900种 C. 1350种 D. 1800种【答案】B 【解析】 【分析】分为两步，第一步，取出2个阳律和2个阴律，第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，利用分步计数原理可得.【详解】第一步，取出2个阳律和2个阴律，有2266225C C =种，第二步，两个阳律相邻，两个阴律不相邻，有22224A A =种，根据分步计数原理可得，共有2254900⨯=种. 故选：B.【点睛】本题考查排列组合与计数原理的问题，属于基础题.10. 设函数()f x 定义域为D ，若函数()f x 满足：对任意c D ∈，存在,a b D ∈，使得()()()f a f b f c a b-'=-成立，则称函数()f x 满足性质Γ.下列函数不满足性质Γ的是（ ） A. 2()f x x = B. 3()f x x = C. ()xf x e =D.()ln f x x =【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()()g x f x f c x '=-，可得()()g x f x ''''=，则()f x ''在定义域内正负号不变时满足性质Γ，若()f x ''有唯一变号零点0x 时不满足性质Γ，则通过计算()f x ''即可判断. 【详解】()()()f a f b f c a b-'=-可化为()()()()f a f c a f b f c b ''-=-，令()()()g x f x f c x '=-，则()()()g x f x f c '''=-，()()g x f x ''''=，∴若()f x ''在定义域内正负号不变，那么x c =是()g x '的变号零点，则()g x 在x c =的两侧的单调性不一致，因此满足性质Γ；若()f x ''有唯一变号零点0x ，那么取0c x =，则()g x '在定义域内的正负号不变，进而函数()g x 在定义域内单调，因此不满足性质Γ.对于A ，()2f x x '=，则()20f x ''=>，所以满足性质Γ；对于B ，()23f x x '=，则()6f x x ''=有唯一变号零点0，所以不满足性质Γ；对于C ，()x f x e '=，则()0xf x e ''=>，所以满足性质Γ； 对于D ，()1f x x '=，则()210f x x''=-<，所以满足性质Γ. 故选：B.【点睛】本题考查利用导数解决新定义问题，属于较难题.二､填空题11. 若复数41z i=-，则||z =___________.【答案】【解析】 【分析】先利用复数除法运算求出z ，再求出模即可. 【详解】()()()4142+2111i z i i i i +===--+，||z ∴==故答案为：【点睛】本题考查复数的除法运算和模的求解，属于基础题.12. 在5232x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)【答案】40 【解析】 【分析】先求出展开式的通项105152r r rr T C x-+=，令1050r -=即得解. 【详解】设展开式的通项为2510515532()()2r rr r r r r T C x C x x--+==， 令1050,2r r -=∴=，所以常数项为225240C =.故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13. 从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答). 【答案】45 【解析】 【分析】根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，可分为两类：第一类，若2男1女，共有213515C C =种不同的选取方法； 第二类，若1男2女，共有123530C C =种不同的选取方法，由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为153045+=种. 故答案为：45.【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，以及组合数的计算，其中解答中根据题设条件，合理分类，结合分类计数原理求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 14. 中国福利彩票3D 游戏(以下简称3D )，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票.投注者从000~999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1000元，反之则获得奖金0元.某人随机投了一注，他的奖金的期望是______元. 【答案】1 【解析】 【分析】求出此人中奖和不中奖的概率，利用期望的公式，即可求得数学期望，得到答案.【详解】由题意，此人中奖的概率为11000，不中奖的概率为9991000，所以此人随机投注一次，他的奖金的期望为：199910000110001000⨯+⨯=元. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的数学期望的求法，其中解答中正确理解题意，求得此人中奖和不中奖的概率，结合期望的计算公式求解是解答的关键，属于基础题. 15. 能说明“若()f x '为偶函数，则()f x 为奇函数”为假命题的一个函数是__________.【答案】3()1f x x =+(答案不唯一)【解析】 【分析】根据题中条件，只需任意写出满足题意的函数即可.【详解】若3()1f x x =+，则()23f x x '=是偶函数，但3()1()f x x f x -=-+≠-，所以()f x 不是奇函数；能满足“若()f x '为偶函数，则()f x为奇函数”为假命题.故答案为：3()1f x x =+.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及导数的计算，以及函数奇偶性的判定，属于基础题型.16. 辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E .H .辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据： 某高校申请人数性别 录取率 法学院200人男50%女 70% 商学院300人男60% 女90% 对于此次招生，给出下列四个结论： ①法学院的录取率小于商学院的录取率； ②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率； ④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率. 其中，所有正确结论的序号是___________. 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据题意，结合古典概型的概率计算公式，逐项进行判定，即可求解. 【详解】设申请法学院的男生人数为x ，女生人数为y ，则200x y +=， 法学院的录取率为0.50.70.50.7(200)0.70.001200200x y x x x ++⨯-==-，设申请商学院的男生人数为m ，女生人数为n ，则300m n +=， 商学院的录取率为0.60.90.60.9(300)0.90.001200200m n m m m ++⨯-==-，由()()0.90.0010.70.0010.20.001()0.001(200)m x m x m x ---=--=-+， 该值的正负不确定，所以①错误，④正确； 这两个学院所有男生的录取率为0.50.6x mx m++，这两个学院所有女生的录取率为0.70.9y ny n++，因为0.50.60.70.90.20.40.10.30()()x m y n xy xn my nmx m y n x m y n +++++-=<++++，所以②正确；③错误. 故答案为：②④.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，其中解答中正确理解题意，结合古典概型的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查数学阅读能力，属于基础题.三､解答题17. 已知函数3()3f x x x =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值和最小值.【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为()1,1-；（2）最大值为18，最小值为2-. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可． 【详解】（1）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令()0f x '=，解得11x =-，21x =.随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为()1,1-. （2）因为函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,3上单调递增， 又(1)2f -=，(1)2f =-，(3)18f =，所以，函数()f x 在区间[]1,3-上的最大值为18，最小值为2-.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用，属于基础题 18. 某射手打靶命中8环､9环､10环的概率分别为0.15.0.25.0.2.如果他连续打靶三次，且每次打靶的命中结果互不影响. （1）求该射手命中29环的概率； （2）求该射手命中不少于28环的概率. 【答案】（1）0.03；（2）0.0935. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，由独立事件的概率计算公式，即可得出结果；（2）根据题中条件，分别计算出命中30环，命中28环，命中29环对应的概率，再求和，即可得出结果.【详解】（1）设A =“连续射击3次，中29环”.则223()0.25(0.2)P A C =⋅⋅0.03=所以该射手命中29环的概率为0.03.（2）设B =“连续射击3次，命中不少于28环”， 依题意，命中30环的概率为3(0.2)0.008=；命中28环的概率为2222330.15(0.2)(0.25)0.2C C ⋅⋅+⋅⋅0.0180.03750.0555=+=；由（1）知，命中29环的概率为0.03；所以()0.0080.05550.030.0935P B =++=，所以该射手连续射击3次，命中不少于28环的概率为0.0935.【点睛】本题主要考查独立事件的概率，考查求互斥事件发生的概率，属于常考题型. 19. 已知函数()ln (0)f x x a x a =-≠.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值点和极值. 【答案】（1）1y =；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求得11()1x f x x x'-=-=，得到()01f '=，()11f =，即可求得曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求得0(,())1,a x x x af x x-∈'-=+∞=，分0a <和0a >两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的极值，得到答案.【详解】（1）当1a =时，函数()ln f x x x =-，可得11()1x f x x x'-=-=，则()01f '=， 又因为()11f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =. （2）由函数()ln f x x a x =-，可得0(,())1,a x x x af x x-∈'-=+∞=， ①当0a <时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，不存在极值；②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.随着x 的变化，()f x '，()f x 变化情况如下表：x()0,aa(),a +∞()f x '-+所以函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，所以，函数()f x 的极小值点为x a =，极小值为()ln f a a a a =-，无极大值， 综上可得，当0a <时，函数()f x 没有极值；当0a >时，()f x 有极小值ln a a a -，极小值点为x a =，无极大值.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的单调性与极值，其中解答中熟记导数与原函数的关系，正确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.20. 高中必修课程结束之后，学生需要从物理､化学､生物､历史､地理､政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程.某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到下表：（1）从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；（2）从第8组､第9组､第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X ，求X 的分布列和期望；（3）如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大？并说明理由. 【答案】（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：1211；（3）选择历史的可能性最大，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）先找出选择了化学的学生数，再利用古典概型求解即可；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，再利用超几何分布求概率的方式逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（3）由表可知，选择地理的总人数为79，然后依次求出同时选择生物、化学、政治、物理或历史的概率，取最大者即可．【详解】解：（1）设A =“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”， 则17121074501()1001002P A ++++===，所以，从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为12. （2）第8､9､10组共有11人，其中选择政治的有6人. 所以X 的所有可能取值为0，1，2.252112(0)11C P X C ===，11562116(1)11C C P X C ===，262113(2)11C P X C ===.所以X 的分布列为故X 的期望()01211111111E X =⨯+⨯+⨯=. （2）选择地理的总人数为：20141210975279+++++++=.所以P (“同时选择生物”)141292377979+++==；P (“同时选择化学”)12107297979++==；P (“同时选择政治”)202227979+==；P (“同时选择物理”)1095247979++==； P (“同时选择历史”)201475467979+++==.因为4679最大，所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大.【点睛】本题考查古典概型、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题． 21. 已知函数2()12xa f x e x x =---. （1）若0a =，证明：()0f x ≥；（2）若曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）{}0a a ≤. 【解析】 【分析】（1）当0a =时，求得()1x f x e =-'，根据()'f x 的符号，求得函数的单调性与最小值，即可求解；（2）求得函数导数()1xf x e ax '=--，设()1xg x e ax =--，把曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，即函数()g x 不存在最小值，利用导数，分类讨论求得函数()g x 单调性与最值，即可求解.【详解】（1）当0a =时，函数()1xf x e x =--，可得()1xf x e =-'， 令()0f x '>，即10x e ->，解得0x >；令()0f x '<，即10x e -<，解得0x <，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()00f =，所以()0f x ≥.（2）由函数2()12xa f x e x x =---，可得()1x f x e ax '=--， 设()1xg x e ax =--，可得()xg x e a '=-由曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，即函数()g x 不存在最小值，①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增，不存在最小值， 所以0a ≤符合题意. ②当0a >时，令()0g x '>，即0x e a ->，解得ln x a >； 令()0g x '<，即0-<x e a ，解得ln x a <，所以()g x 在区间(,ln )a -∞上单调递减，在区间(ln ,)a +∞上单调递增， 所以()g x 在ln x a =处取得最小值，最小值()ln ln ln 11ln a g a e a a a a a =--=--,所以0a >不符合题意（舍去）.综上可得，实数a 的取值范围为{}0a a ≤.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值（最值），以及把曲线()y f x =的切线斜率不存在最小值，转化为函数()g x 不存在最小值是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 22. 已知函数()ln f x x ax a =+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求证：当1a >时，函数1()()x g x e f x -=-存在最小值，且最小值小于1.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，讨论0a ≥和0a <时导数情况，即可求出单调区间；（2）由题可得所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点，求出()g x 的导数，讨论其单调性，即可进行判断.【详解】解：（1）函数()f x 定义域为()0,∞+，11()ax f x a x x'+=+=. ①当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ②当0a <时，由()0f x '>，得10x a<<-；由()0f x '<，得1x a >-.所以()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.综上，当0a ≥时，()f x 单调递增区间为(0,)+∞； 当0a <时，()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）由已知1()ln x g x e x ax a -=--+，0x >.因为()11g =，所以只需证明()g x 存在最小值，但1x =不是最小值点， 即min ()(1)1g x g <=.因为()ln x e g x x ax a e=--+，所以11()x g x e a x -'=--.因为函数1x y e-=，1y x=-在区间(0,)+∞上是增函数， 所以()g x '在区间(0,)+∞上是增函数， 因为1a >，所以(1)0g a '=-<，11(1ln(1))1101ln(1)1ln(1)g a a a a a '++=+--=->++++.所以方程()0g x '=在区间(0,)+∞上存在唯一解， 不妨设为0x ，则01x >，随着x 的变化，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()g x 有最小值，最小值为()()011g x g <=. 所以函数1()()x g x ef x -=-存在最小值，且最小值小于1.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，考查利用导数求函数最值，属于较难题.。
2020-2021学年北京市西城区高二下期末模拟数学试卷(理)及解析-精品试题
最新北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在（x+2）4的展开式中，x2的系数为（）A．24 B．12 C．6 D．43．已知函数f（x）=ln2x，则f′（x）=（）A．B．C．D．4．将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（）A．B．C．D．5．函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点是（）A．x=﹣1B．x=﹣C．x=1 D．x=6．5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为（）A．120 B．144 C．216 D．2407．设a，b，c是正整数，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c 的值为（）A．252或253 B．253或254 C．254或255 D．267或2688．已知函数f（x）=e x+ax﹣2，其中a∈R，若对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，都有x2•f（x1）﹣x1•f （x2）＜a（x1﹣x2）成立，则a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，2]二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分.、共30分.9．函数f（x）=cosx，则f′（）= ．10．定积分dx的值为．11．设（2x+1）3=a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3= ．12．由数字1，2组成的三位数的个数是（用数字作答）．13．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A ﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则．”14．研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为；②函数g（x）=（x＞0）的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在数列{a n}中，a1=1，a n=n•a n﹣1，n=2，3，4，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．16．已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x；（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，c]上的最小值为﹣5，求c的取值范围．17．甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．科目A 科目B 科目C甲（Ⅰ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X．求X的分布列和数学期望．18．口袋中装有2个白球和n（n≥2，n∈N*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．（Ⅰ）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（Ⅲ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．19．已知函数f（x）=x2e x﹣b，其中b∈R．（Ⅰ）证明：对于任意x1，x2∈（﹣∞，0]，都有f（x1）﹣f（x2）≤；（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．20．设L为曲线C：y=e x在点（0，1）处的切线．（Ⅰ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（Ⅱ）设h（x）=e x﹣ax+ln（x+1），其中a∈R，若h（x）≥1对x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．在复平面内，复数z=对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出在复平面内，复数z对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==，则在复平面内，复数z对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．2．在（x+2）4的展开式中，x2的系数为（）A．24 B．12 C．6 D．4【考点】二项式系数的性质．【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式即可求出．【解答】解：（x+2）4的展开式的通项公式为T r+1=C4r•24﹣r•x r，令r=2，故展开式中x2的系数为C42•22=24，故选：A．3．已知函数f（x）=ln2x，则f′（x）=（）A．B．C．D．【考点】导数的运算．【分析】根据复合函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=ln2x，∴f′（x）===，故选：D4．将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】将一枚均匀硬币随机投掷4次，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．【解答】解：将一枚均匀硬币随机投掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为：p==．故选：B．5．函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点是（）A．x=﹣1B．x=﹣C．x=1 D．x=【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出原函数的导函数，确定出函数的单调区间，由此求得函数的极值点．【解答】解：由f（x）=﹣x2+lnx，得f′（x）=（x＞0），当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数．∴函数f（x）=﹣x2+lnx的极值点为x=1．故选：C．6．5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为（）A．120 B．144 C．216 D．240【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先求出没有限制要求的5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人的种数，再排除甲乙两名同学分配在同一地区的种数，问题得以解决．【解答】解：5个人分成满足题意的4组只有1，1，1，2，即只有一个单位有2人，其余都是1人，故有C52A44=240种，其中甲乙两名同学分配在同一地区的方法为C41A33=24种，故甲乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为240﹣24=216种，故选：C．7．设a，b，c是正整数，且a∈[70，80），b∈[80，90），c∈[90，100]，当数据a，b，c的方差最小时，a+b+c 的值为（）A．252或253 B．253或254 C．254或255 D．267或268【考点】极差、方差与标准差．【分析】设=，则数据a，b，c的方差s2=≥[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，设a=b+m，c=b+n，则s2≥[m2+n2+（m+n）2]，应该使得b=85，而当m+n=0，﹣1，1时，s2有可能取得最小值．【解答】解：设=，则数据a，b，c的方差s2==≥[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，设a=b+m，c=b+n，则s2≥[m2+n2+（m+n）2]，取b=85，当m+n=0，﹣1，1时，s2有可能取得最小值，m=﹣16，n=15时，s2取得最小值=．取b=84，当m+n=0，﹣1，1时，s2有可能取得最小值，m=﹣15，n=16时，s2取得最小值=．∴a+b+c=79+85+90=254，或a+b+c=79+84+90=253．故选：B．8．已知函数f（x）=e x+ax﹣2，其中a∈R，若对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，都有x2•f（x1）﹣x1•f （x2）＜a（x1﹣x2）成立，则a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，2]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】将不等式变形为：＜恒成立，构造函数h（x）=，转会为当x1＜x2时，h（x1）＜h（x2）恒成立，为了求a的范围，所以需要构造函数，可通过求导数，根据单调性来求它的范围．【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，都有x2•f（x1）﹣x1•f（x2）＜a（x1﹣x2）成立，∴不等式等价为＜成立，令h（x）=，则不等式等价为当x1＜x2时，h（x1）＜h（x2）恒成立，即函数h（x）在（0，+∞）上为增函数；h（x）=，则h′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立；∴xe x﹣e x+2﹣a≥0；即a﹣2≤xe x﹣e x恒成立，令g（x）=xe x﹣e x，∴g′（x）=xe x＞0；∴g（x）在（0，+∞）上为增函数；∴g（x）＞g（0）=﹣1；∴2﹣a≥1；∴a≤1．∴a的取值范围是（﹣∞，1]．故选：C二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分.、共30分.9．函数f（x）=cosx，则f′（）= ﹣．【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，根据函数的导数公式代入直接进行计算即可．【解答】解：∵f（x）=cosx，∴f′（x）=﹣sinx，f′（）=﹣sin=﹣，故答案为：﹣10．定积分dx的值为．【考点】定积分．【分析】根据定积分的性质，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．【解答】解：dx=2x2dx=2×x3=．故答案为：．11．设（2x+1）3=a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a1+a2+a3= 27 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】令x=1可得a0+a1+a2+a3的值．【解答】解：令x=1，a0+a1+a2+a3=33=27，故答案为：2712．由数字1，2组成的三位数的个数是8 （用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】直接根据分步计数原理可得．【解答】解：每一位置都有2种排法，故有23=8种，故答案为：813．在平面几何里，有勾股定理“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥A﹣BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．”【考点】类比推理．【分析】从平面图形到空间图形的类比【解答】解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．故答案为：S△ABC 2+S△ACD2+S△ADB2=S△BCD2．14．研究函数f（x）=的性质，完成下面两个问题：①将f（2）、f（3）、f（5）按从小到大排列为f（5）＜f（2）＜f（3）；；②函数g（x）=（x＞0）的最大值为e．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】①利用导数判断在（0，e）递增，（e，+∞）递减得出f（3）＞f（5），运用作差判断f（2）﹣f（5），f（2）﹣f（3）即可得出大小．②构造函数ln（g（x））=lnx（x＞0），令h（x）=lnx（x＞0），运用导数求解极大值，得出h（x）的极大值为h（e）=lne=，结合对数求解即可．【解答】解：①∵函数f（x）=，∴f′（x）=，f′（x）==0，x=e，f′（x）=，＞0，x∈（0，e）f′（x）=＜0，x∈（e，+∞）∴在（0，e）递增，（e，+∞）递减∴f（3）＞f（5），∵f（2）﹣f（5）===＞0∴f（2）＞f（5）∵f（2）﹣f（3）==＜0∴f（3）＞f（2）故答案：f（5）＜f（2）＜f（3）；②∵函数g（x）=（x＞0），∴ln（g（x））=lnx（x＞0）令h（x）=lnx（x＞0），h′（x）=（1﹣lnx）=0，x=eh′（x）=（1﹣lnx）＜0，x＞eh′（x）=（1﹣lnx）＞0，0＜x＜e∴h（x）=lnx（x＞0），在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，h（x）的极大值为h（e）=lne=，∴函数g（x）=（x＞0）的最大值为e，故答案为：e三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在数列{a n}中，a1=1，a n=n•a n﹣1，n=2，3，4，…．（Ⅰ）计算a2，a3，a4，a5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【考点】数学归纳法；归纳推理．【分析】（Ⅰ）利用已知条件通过n=2，3，4，5直接计算a2，a3，a4，a5的值，（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想的通{a n}项公式，用数学归纳法的证明步骤直接证明即可．【解答】解：（Ⅰ）a1=1，a n=n•a n﹣1，可得n=2时，a2=2；n=3时，a3=6；a4=24，a5=120（Ⅱ）猜想a n=n!．证明：①当n=1时，由已知，a1=1!=1，猜想成立．②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即a k=k!．则n=k+1时，a k+1=（k+1）a k=（k+1）k!=（k+1）!．所以当n=k+1时，猜想也成立．根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立16．已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x；（1）求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[﹣4，c]上的最小值为﹣5，求c的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论c的范围，求出函数的最小值，从而求出c的具体范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是R，f′（x）=3x2+6x﹣9，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣3，令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜1，∴f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）由f（﹣4）=20结合（1）得：c≥1时，函数f（x）在[﹣4，c]上的最小值是f（1）=﹣5，﹣4＜c＜1时，函数f（x）在区间[﹣4，c]上的最小值大于﹣5，故c的范围是[1，+∞）．17．甲参加A，B，C三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．科目A 科目B 科目C甲（Ⅰ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X．求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，利用对立事件概率计算公式能求出甲至少有一个科目考试成绩合格的概率．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M，则P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，∴甲至少有一个科目考试成绩合格的概率：P（M）=1﹣P（）=1﹣．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=++（1﹣）×，P（X=3）=，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）=，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．18．口袋中装有2个白球和n（n≥2，n∈N*）个红球，每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．（Ⅰ）用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率；（Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（Ⅲ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f（p），当f（p）取得最大值时，求n的值．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）设“1次摸球中奖”为事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出用含n的代数式表示1次摸球中奖的概率．（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=，由此能求出3次摸球中，恰有1次中奖的概率．（Ⅲ）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为f（p）=3p3﹣6p2+3p，（0＜p＜1），由此利用导数性质能求出当f（p）取得最大值时，n的值．【解答】解：（Ⅰ）设“1次摸球中奖”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）由（Ⅰ）得若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=，∴3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P3（1）==3×=．（Ⅲ）设“1次摸球中奖”的概率为p，则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为：f（p）==3p3﹣6p2+3p，（0＜p＜1），∵f′（p）=9p2﹣12p+3=3（p﹣1）（3p﹣1），∴当p∈（0，）时，f（p）取得最大值，令=，解得n=2或n=1（舍），∴当f（p）取得最大值时，n的值为2．19．已知函数f（x）=x2e x﹣b，其中b∈R．（Ⅰ）证明：对于任意x1，x2∈（﹣∞，0]，都有f（x1）﹣f（x2）≤；（Ⅱ）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用导数转化为求解最大值，最小值的差证明．（Ⅱ）根据最大值为；f（﹣2）=﹣b，f（x）的最小值为：﹣b，分类当b＜0时，当b=0时，当b=时，当0＜b＜时，当b＞时，判断即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域R，且f′（x）=x（x+2）e x，令f′（x）=0则x1=0，或x2=﹣2，f′（x）=x（x+2）e x，x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，0）f′（x）+ 0 ﹣f（x）增函数极大值减函数∴f（x）在区间（﹣∞，0]上的最大值为；f（﹣2）=﹣b，∵x∈（﹣∞，0]，∴f（x）=x2e x﹣b≥﹣b，∴f（x）的最小值为：﹣b，∴对于任意x1，x2∈（﹣∞，0]，都有f（x1）﹣f（x2）≤f（x）最大值﹣f（x）≤；（Ⅱ）f′（x）=x（x+2）e x，函数f（x）=x2e x﹣b，当b＜0时，函数f（x）=x2e x﹣b＞0恒成立，函数f（x）的零点个数为：0当b=0时，函数f（x）=x2e x，函数f（x）的零点个数为：1当b=时，函数f（x）的零点个数为；2，当0＜b＜时，函数f（x）的零点个数为：3，当b＞时，函数f（x）的零点个数为：1，20．设L为曲线C：y=e x在点（0，1）处的切线．（Ⅰ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（Ⅱ）设h（x）=e x﹣ax+ln（x+1），其中a∈R，若h（x）≥1对x∈[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（0），从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，单调函数的单调区间，从而求出a的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设f（x）=e x，则f′（x）=e x，∴f′（0）=1，L的方程是y=x+1，令g（x）=f（x）﹣（x+1），则除切点之外，曲线C在直线L的上方等价于g（x）＞0，（∀x∈R，x≠0），g（x）满足g（0）=0，且g′（x）=f′（x）﹣1=e x﹣1，当x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）递减，当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）递增，∴g（x）＞g（0）=0，∴除切点（0，1）之外，曲线C在直线L的上方；（Ⅱ）h（x）的定义域是{x|x＞﹣1}，且h′（x）=e x+﹣a，①a≤2时，由（Ⅰ）得：e x≥x+1，∴h′（x）=e x+﹣a≥x+1+﹣a≥2﹣a≥0，∴h（x）在[0，+∞）递增，∴h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意；②a＞2时，由x∈[0，+∞），且h′（x）的导数h″（x）=≥0，∴h′（x）在区间[0，+∞）递增，∵h′（0）=2﹣a＜0，h′（lna）=＞0，于是存在x0∈（0，+∞），使得h′（x0）=0，∴h（x）在区间（0，x0）上递减，在区间（x0，+∞）递增，∴h（x0）＜h（0）=1，此时，h（x）≥1不会恒成立，不合题意，综上，a的范围是（﹣∞，2]．2016年8月27日。
2019-2020学年北京市西城区数学高二下期末考试试题含解析
2019-2020学年北京市西城区数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ） A ．7 B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】 【分析】求得圆心角的弧度数，用lr α=求得扇形半径.【详解】依题意150为5π6，所以5656lr ππα===．故选B. 【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题. 2．复数(1)(2)z i i =--（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 的虚部是（ ） A ．3i B ．3i -C ．3D ．3-【答案】C 【解析】分析：求出复数z ，得到z ，即可得到答案. 详解：()()1213,13,z i i i z i =--=-∴=+ 故z 的共轭复数z 的虚部是3. 故选C.点睛：本题考查复数的乘法运算，复数的共轭复数等，属基础题. 3．复数2ii+的虚部为（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法化复数为代数形式，根据复数概念可得． 【详解】 因为()()()2i i 2i 12i i i i +⋅-+==-⋅-，所以复数2ii+的虚部为2-，故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念．属于简单题． 4． “0x ∀>，2sin x x >”的否定是( ) A ．0x ∀>，2sin x x < B ．0x ∀>，2sin x x ≤ C ．00x ∃≤，002sin x x ≤ D ．00x ∃>，002sin x x ≤【答案】D 【解析】 【分析】通过命题的否定的形式进行判断． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，故“0x ∀>， 2sin x x >”的否定是“00x ∃>， 002sin x x ≤”. 故选D. 【点睛】本题考查全称命题的否定，属基础题. 5．给出下列四个说法：①命题“0,x 都有12x x +≥”的否定是“00,x ∃≤使得012x x +<”；②已知0a b 、＞>a b >”的逆命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件;④若0x x =为函数2()2ln xf x x x x e -=++-的零点，则002ln 0x x +=，其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】对于①②③④分别依次判断真假可得答案. 【详解】 对于①，命题“0,x 都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃>使得0012x x +<”，故①错误；对于②，>a b >”的逆命题为“若a b >>1x >则21x >，若21x >则1x >或1x <-，因此1x >是21x >的充分不必要条件，故③错误；对于④，若0x x =为函数2()2ln x f x x x x e -=++-，则020002ln =0x x x x e -++-，即()020000=2ln 0x x x e x x --+>，可令000()2ln h x x x =+，则002'()10h x x =+>，故0()h x 为增函数，令()02000=()0x g x e x x -->，显然0()g x 为减函数，所以方程00()=()h x g x 至多一解，又因为002ln 0x x +=时022000ln 0x x x e x ---∴==，所以002ln 0x x +=，则④正确，故选C. 【点睛】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.6．在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论：()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P220y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]max OP =．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123 B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()124【答案】D 【解析】 【分析】()1根据新定义由[]1OP x y =+=，讨论x 、y 的取值，画出分段函数的图象，求出面积即可；()2运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得[]OP 的最小值；()3根据k 等于1或1-都能推出[]OP 最小的点P 有无数个可判断其错误；()4把P 的坐标用参数表示，然后利用辅助角公式求得[]OP x y =+的最大值说明命题正确． 【详解】()1由[]2OP =，根据新定义得：2x y +=，由方程表示的图形关于,x y 轴对称和原点对称，且()202,02x y x y +=≤≤≤≤，画出图象如图所示：四边形ABCD 为边长是228，故()1正确；()()2,P x y 为直线3220x y +-=上任一点，可得312y x =-， 可得31x y x +=+， 当0x ≤时，[]3111OP x ⎛=-+≥ ⎝⎭；当03x <<时，[]3113OP x ⎛⎛=+∈ ⎝⎝⎭； 当3x ≥时，可得[]31123OP x ⎛⎫=-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭[]OP 的最小值为1，故()2正确； ()()311x y x y k x +≥+=++，当1k =-时，11x y +≥=，满足题意；而()11x y x y k x +≥-=--，当1k =时，11x y +≥-=，满足题意，即1k =±都能 “使[]OP 最小的点P 有无数个”，()3不正确；()4点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，因为求最大值，所以可设3cos x θ=，sin y θ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]()3cos sin 10sin OP x y θθθϕ=+=+=+，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，[]10max OP ∴=()4正确．则正确的结论有：()1、()2、()4，故选D ． 【点睛】此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，是中档题．新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.7．已知,,a b c 为正数，则“222a b c +>”是“a b c +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】①当2,2,3a b c ===时，满足a b c +>， 但222a b c +>不成立，即必要性不成立， ②若222a b c +>，则22()2a b ab c +->， 即222()2a b c ab c +>+>，故a b c +>，成立，即充分性成立，综上所述，“a b c +>”是“222a b c +>”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，解题关键是掌握判断充分条件和必要条件的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8．已知一袋中有标有号码1、2、3的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取5次卡片时停止的概率为（ ） A ．585B ．1481C ．2281D ．2581【答案】B 【解析】分析：由题意结合排列组合知识和古典概型计算公式整理计算即可求得最终结果. 详解：根据题意可知，取5次卡片可能出现的情况有53种； 由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有两种编号， 所以总的可能有()24322C -种； 所以恰好第5次停止取卡片的概率为()24352214381C p -==.本题选择B 选项.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.9．设函数()f x 满足()()()222,2,8x e e x f x xf x f x +=='则0x >时，()f x ( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】函数()f x 满足2'()2()xex f x xf x x+=，()2'x e x f x x⎡⎤∴=⎣⎦，令()()2F x x f x =， 则()()()2',24?22x e e F x F f x ===，由()()2'2x e x f x xf x x +=，得()()32'x e F x f x x-=，令()()2xx e F x ϕ=-， 则()()()2'2',x xe x x e F x xϕ-=-=()x ϕ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()x ϕ∴的最小值为()()()22220,0e F x ϕϕ=-=∴≥.又()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,∞+单调递增，()f x ∴既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则. 【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数()()2F x x f x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.10．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】C 【解析】 【分析】根据0x >时()()0f x f x x'+>可得：()()0xf x f x '+>；令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数，则()g x 在(),0-∞上单调递减；将已知不等式变为()()231g x g x >-，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果.【详解】当0x >时，()()0f x f x x'+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-可得：231x x >-，解得：115x << 本题正确选项：C 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.11．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．12．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为()ˆ1yax a =--，若615ii x==∑，618i i y ==∑，则a 的值为( ) A ．1411B ．32C ．711D ．1【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意615i i x ==∑，618i i y ==∑可知，56x =，43y =，代入即可求这组样本数据的回归直线方程，即可求解出答案。
北京市西城区2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题含解析
北京市西城区2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．9的展开式中有理项的项数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】求得二项式展开式的通项公式，由此判断出有理项的项数. 【详解】192(x 的展开式通项为2751962199()C (1)(1)C x r r r r r rr T x x --+=⋅-=⋅⋅⋅⋅-，当3r =或9r =时，为有理项，所以有理项共有2项. 故选：B 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.2．下列关于曲线24:14x y Γ+=的结论正确的是（ ）A ．曲线Γ是椭圆B ．关于直线y x =成轴对称C ．关于原点成中心对称D ．曲线Γ所围成的封闭图形面积小于4【答案】C 【解析】 【分析】A 根据椭圆的方程判断曲线24:14x y Γ+=不是椭圆；B 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，判断曲线Γ是否关于直线y x =对称； C 把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，判断曲线Γ是否关于原点对称； D 根据||2x ，||1y ，判断曲线24:14xy Γ+=所围成的封闭面积是否小于1．【详解】曲线24:14x C y +=，不是椭圆方程，∴曲线Γ不是椭圆，A ∴错误；把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(y ，x )，方程变为2414yx +=，∴曲线Γ不关于直线y x =对称，B 错误；把曲线Γ中的(x ，y )同时换成(x -，y -)，方程不变，∴曲线Γ关于原点对称，C 正确；||2x ，||1y ，∴曲线24:14x C y +=所围成的封闭面积小于428⨯=，令x y =∴=所以曲线Γ上的四点,,（,（围成的矩形面积为4>， 所以选项D 错误. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了方程所表示的曲线以及曲线的对称性问题，解题时应结合圆锥曲线的定义域性质进行解答，是基础题．3．利用数学归纳法证明不等式*n 1111...(n)(n 2,)2321f n N ++++<≥∈-的过程，由n k =到+1n k =时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项【答案】D 【解析】 【分析】分别计算n k =和+1n k =时不等式左边的项数，相减得到答案. 【详解】n k =时，不等式左边：1111 (2)321k++++-共有21k - +1n k =时，：1111111 (2321221)k k k ++++++++--共有121k +- 增加了1(21)(21)2k k k +---=故答案选D 【点睛】本题考查了数学归纳法的项数问题，属于基础题型.4．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，f （－2）＝－3，数列{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 7＝13，则f （a 1）＋f （a 2）＋f （a 3）＋…＋f （a 2018）＝（ ） A ．－2B ．－3C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用函数的奇偶性和对称性推出周期，求出前三项的值，利用周期化简式子即可． 详解：定义在R 上的奇函数()f x 满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，故周期T 3=,()()()()()()213,300,523f f f f f f -==-==== 数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =,故21n a n =-，所以：()()()()()()1231350f f f f a f a f a ++=++=，()()()()()()1232018133f a f a f a f a f f +++⋯+=+=-点睛：函数的周期性，对称性，奇偶性知二推一，已知()y f x =奇函数，关于轴x a =对称，则()()()()f x f x 1f 2a x f x 2-=-+=-，，令x x 2a =-代入2式，得出()()f x f x 2a =--，由奇偶性()()()()()f 2a x f x f x f x 2a f x 2a ⎡⎤+=-=-=---=-⎣⎦，故周期T 4a =. 5．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）A ．12B ．14C ．13D ．16【答案】C 【解析】 【分析】欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解． 【详解】联立2y x y x⎧=⎪⎨=⎪⎩得(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S=正方形， 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S （A ）3123120021()()|33x x dx x x =-=-⎰13=． 所以P （A ）1()1313OBCAS A S ===正方形． 故选：C ． 【点睛】本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC ⋅=（ ） A ．8 B ．-8C ．4D ．-4【答案】A 【解析】分析：根据平面向量的数量积的定义，老鹰圆的垂径定理，即可求得答案. 详解：如图所示，在圆C 中，过点C 作CD AB ⊥于D ，则D 为AB 的中点，在Rt ACD ∆中，122AD AB ==，可得2cos AD A AC AC ==， 所以2cos 48AB AC AB AC A AC AC⋅=⋅=⨯⨯=，故选A.点睛：本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中涉及到圆的性质，直角三角形中三角函数的定义和向量的数量积的公式等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 7．如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是区间上的“双中值函数”.已知函数是区间上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，3）C ．（，1）D ．（，1） 【答案】C 【解析】 试题分析：，，所以函数是区间上的“双中值函数”等价于在区间有两个不同的实数解，即方程在区间有两个不同的实数解，令，则问题可转化为在区间上函数有两个不同的零点，所以，解之得，故选C.考点：1.新定义问题；2.函数与方程；3.导数的运算法则.【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数的运算法则以及学生接受鷴知识的能力与运用新知识的能力，难题.新定义问题是命题的新视角，在解题时首先是把新定义问题中的新的、不了解的知识通过转翻译成了解的、熟悉的知识，然后再去求解、运算.8．在一项调查中有两个变量x 和y ，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y 关于x 的回归方程的函数类型是( )A ．y a bx =+B ．y c x =+C ．2y m nx =+D ．x y p qc =+（0q >）【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图的趋势，选定正确的选项. 【详解】散点图呈曲线，排除A 选项，且增长速度变慢，排除选项C 、D ，故选B ． 【点睛】本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题.9．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（ ） A ．30个 B ．42个C ．36个D ．35个【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵a ，b 互不相等且为虚数，∴所有b 只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种， a 从剩余的6个选一个有6种，∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36（个）． 故选C10．已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：由此所得回归方程为7.5ˆyx a =+，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（ ） A ．97万元 B ．96.5万元C ．95.25万元D ．97.25万元【答案】C 【解析】 【分析】首先求出x y ，的平均数，将样本中心点代入回归方程中求出a 的值，然后写出回归方程，然后将10x =代入求解即可 【详解】()19.59.39.18.99.79.35x =⨯++++=()19289898793905y =⨯++++=代入到回归方程为7.5ˆy x a =+，解得20.25a = 7.25ˆ50.2yx ∴=+ 将10x =代入7.50.5ˆ22yx =+，解得ˆ95.25y = 故选C【点睛】本题是一道关于线性回归方程的题目，解答本题的关键是求出线性回归方程，属于基础题。
2019-2020学年北京市西城区数学高二(下)期末考试试题含解析
2019-2020学年北京市西城区数学高二(下)期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．定积分)10x dx =⎰（ ）A ．142π+B ．12π+ C ．14π+ D ．122π+【答案】A 【解析】 【分析】先根据定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y 0x =，1x =所围成的图形的面积，在求出1xdx ⎰，可得答案.【详解】解：由定积分的几何意义可知⎰是由曲线y =0x =，1x =所围成的图形的面积，也就是单位圆的14，故4π=⎰，12101122xdx x ==⎰，故)11142x dx xdx π=+=+⎰⎰⎰， 故选：A. 【点睛】本题主要考查定积分的有关计算，属于基础题，注意运算准确.2．两个半径都是()1r r ＞的球1O 和球2O 相切，且均与直二面角l αβ--的两个半平面都相切，另有一个半径为1的小球O 与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球1O 和球2O 都外切，则r 的值为（ ） A1 B3C．12D．32【答案】D 【解析】 【分析】取三个球心点所在的平面，过点1O 、2O 分别作1O M l ⊥、2O N l ⊥，垂足分别为点,M N ，过点O 分别作OA l ⊥，12OB O O ⊥，分别得出OA 、OB 以及AB ，然后列出有关r 的方程，即可求出r 的值． 【详解】因为三个球都与直二面角l αβ--的两个半平面相切， 所以l 与1O 、2O 、O 共面，如下图所示，过点1O 、2O 分别作1O M l ⊥、2O N l ⊥， 垂足分别为点,M N ，过点O 分别作OA l ⊥，12OB O O ⊥，则122O M O N r ==，2OA 12O B O B r ==，121OO OO r ==+，2211||21OB OO O B r =-=+2212AB OA OB r r =++=2122r r +=等式两边平方得221242r r r +=-+， 化简得22610r r -+=，由于1r >，解得732r =，故选D ． 【点睛】本题主要考查球体的性质，以及球与平面相切的性质、二面角的性质，考查了转化思想与空间想象能力，属于难题．转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将空间问题转化为平面问题是解题的关键.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于060，反证假设正确的是( ) A ．假设三内角都大于060 B ．假设三内角都不大于060 C ．假设三内角至多有一个大于060 D ．假设三内角至多有两个大于060【答案】B 【解析】 【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案. 【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于060不成立，即假设三内角都不大于060，故本题选B. 【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键. 4．设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】先分析四个答案，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230a a +<，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120a a +>，B 错误，D 选项，2132,,a a d a a d -=-=-22132()()0,a a a a d ∴--=-≤故D 错，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22213111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则2113a a a >1a ⇒>故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.5．用反证法证明“,20x x ∀∈>R ”时，应假设（ ） A ．00,20x x ∃∈≤RB ．00,20x x ∃∈<R C ．,20x x ∀∈≤R D ．00,20x x ∃∈>R【答案】A 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项． 【详解】根据反证法的步骤，假设是对原命题的否定，P （x 0）成立的否定是使得P （x 0）不成立，即用反证法证明“∀x ∈R ，2x ＞0”，应假设为∃x 0∈R ，02x ≤0 故选：A ． 【点睛】本题考查反证法的概念，全称命题的否定，注意 “ 改量词否结论”6．已知一个等比数列{}n a ，这个数列21n a a -=且所有项的积为243，则该数列的项数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列性质列式求解 【详解】3322121221((39)3)n n n n n n a a a a a a --⋅⋅==⋅=Q L224335,10.2n nn ∴===，选B. 【点睛】本题考查利用等比数列性质求值，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．命题“320,0x x x ∀>+>”的否定是（） A ．320000,0x x x ∃>+≤ B ．320000,0x x x ∃≤+≤ C ．320,0x x x ∃>+≤ D ．320,0x x x ∃≤+≤【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式书写. 【详解】根据全称命题的否定形式可知“320,0x x x ∀>+>”的否定是“3200,0x x x ∃>+≤”.故选A. 【点睛】本题考查全称命题的否定形式，属于简单题型.8．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】B【解析】【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图知三棱锥的侧棱AO与底OCB垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，6OA∴=，∴棱锥的体积11246832V=⨯⨯⨯⨯=，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．把67化为二进制数为A．1100001(2)B．1000011(2)C．110000(2)D．1000111(2)【答案】B【解析】如图：所以把67化为二进制数为1 000 011(2)．故选B.考点：二进制法.10．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导数'()f x 满足x 2'()f x ＜1，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．f （14）+1＜f （13）＜f （12）﹣1 B ．f （12）+1＜f （13）＜f （14）﹣1 C ．f （14）﹣1＜f （13）＜f （12）+1D ．f （12）﹣1＜f （13）＜f （14）+1【答案】D 【解析】 【分析】构造函数g （x ）＝f （x ）1x+，利用导数可知函数在（0，+∞）上是减函数，则答案可求． 【详解】由x 2f ′（x ）＜1，得f ′（x ）21x＜，即得f ′（x ）21x -＜0， 令g （x ）＝f （x ）1x +，则g ′（x ）＝f ′（x ）21x -＜0，∴g （x ）＝f （x ）1x+在（0，+∞）上为单调减函数，∴f （12）+2＜f （13）+3＜f （14）+4，则f （12）＜f （13）+1，即f （12）﹣1＜f （13）；f （13）＜f （14）+1．综上，f （12）﹣1＜f （13）＜f （14）+1．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是解题的关键，是中档题． 11．函数()cos xf x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有A．8种B．10种C．12种D．14种【答案】B【解析】【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B.【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92. 【解析】 【分析】把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立．故所求的最小值为92． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．14． “直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“l α⊥”的______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分. 【解析】 【分析】根据平面α内与斜线l 在平面α内的射影垂直的直线必定与l 垂直，可知充分性不成立；根据线面垂直的定义，可得必要性成立．由此得到正确答案 【详解】解：（1）充分性：当直线l 与平面α斜交，且l 在平面α内的射影为l '，若α内的直线m 与l '垂直时m 与l 垂直，并且满足条件的直线m 有无数条．这样平面α内有无数条直线l 垂直，但l 与α不垂直，因此充分性不成立；（2）必要性：当“l α⊥”成立时，α内的任意一条直线都与l 垂直，因此“直线l 与平面α内无数条直线垂直”成立，所以必要性成立. 故答案为:必要不充分. 【点睛】本题考查了判断两命题间的充分、必要条件，考查了直线与平面的位置关系.对于两个命题p ，q ，判断他们的关系时，常常分为两步，以p 为条件，判断q 是否成立；以q 为条件，判断p 是否成立. 15．已知直线l 在矩阵1201A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线'l ：10x y --=，则直线l 的方程为__________． 【答案】310x y --= 【解析】分析：用相关点法求解，设直线l 上的点为()x,y 直线'l 上的点为()a,b ，所以，12201x a a x yy b b y -=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，代入直线'l 的方程 详解：设直线l 上的点为()x,y 直线'l 上的点为()a,b ，直线l 在矩阵1201A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下所以：12201x a a x yy b b y -=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，代入直线'l 的方程整理可得直线l 的方程为 310x y --=。
北京市西城区2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析
北京市西城区2019-2020学年数学高二下期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．曲线cos y x =在3x π=处的切线斜率是( )A ．12-B ．12C ．3-D ．3 2．在空间中，设α，β表示平面，m ，n 表示直线.则下列命题正确的是（ ） A ．若m∥n，n⊥α，则m⊥α B ．若m 上有无数个点不在α内，则m∥α C ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥D ．若m∥α，那么m 与α内的任何直线平行3．若关于x 的不等式2ln 0ax x x --≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(1,)+∞B ．[)1,+∞C ．(,)e +∞D ．[),e +∞4．已知关于x 的方程2e 0x x t a +-=，[]11x ∈-，，若对任意的[]13t ∈，，该方程总存在唯一的实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,e 1e⎛⎤++ ⎥⎝⎦B ．13,e 1e ⎛⎤++⎥⎝⎦C ．11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．(]1,e5．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =（ ）A ．53B ．74C ．95D ．1166．若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79-B ．13-C ．13D ．797．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三梭柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．16213+ B．32413+ C ．52813+ D ．26413+8．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） A ．1440种B ．960种C ．720种D ．480种9．下列命题不正确的是（ ）A ．研究两个变量相关关系时，相关系数r 为负数，说明两个变量线性负相关B ．研究两个变量相关关系时，相关指数R 2越大，说明回归方程拟合效果越好．C ．命题“∀x ∈R ，cosx≤1”的否定命题为“∃x 0∈R ，cosx 0＞1”D ．实数a ，b ，a ＞b 成立的一个充分不必要条件是a 3＞b 3 10．已知i 为虚数单位，若复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞ 11．已知函数在上可导，且，则（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,]e -∞B ．(,)e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13． “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为_____.14．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x+1，则函数y ＝f （x ）的单调递减区间是_____15．i 是虚数单位，则复数67i12i++的虚部为______． 16．若1x =是函数()()25xx a e f x x =+-的极值点，则()f x 在[]22-,上的最小值为______. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．旅游业作为一个第三产业，时间性和季节性非常强，每年11月份来临，全国各地就相继进入旅游淡季，很多旅游景区就变得门庭冷落.为改变这种局面，某旅游公司借助一自媒体平台做宣传推广，销售特惠旅游产品.该公司统计了活动刚推出一周内产品的销售数量，用x 表示活动推出的天数，用y 表示产品的销售数量（单位：百件），统计数据如下表所示.根据以上数据，绘制了如图所示的散点图，根据已有的函数知识，发现样本点分布在某一条指数型函数ˆˆbx ay e +=的周围.为求出该回归方程，相关人员确定的研究方案是：先用其中5个数据建立y 关于x 的回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.试回答下列问题： （1）现令ln t y =，若选取的是1,2,3,4,5x =这5组数据，已知518ln 26ln 3ii t==+∑，5126ln 222ln 3i ii x t==+∑，请求出t 关于x 的线性回归方程（结果保留一位有效数字）；（2）若由回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过10，则认为得到的回归方程是可靠的，试问（1）中所得的回归方程是否可靠？参考公式及数据：对于一组数据1122()()()n n x y x y x y ，，，，，，，其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1211221()()ˆ()n iii nni ii ni i i i x y n x x y y bx x x yx nx====----==-∑∑∑∑， ˆˆay bx =-；ln 20.69,ln 3 1.10≈≈；4554, 1.22e e ≈≈．18．已知函数()ln()af x x x=--有两个零点1x ，2x . （Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：122x x e+<-. 19．（6分）如图,已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2,侧棱长为3, 1AE A B ⊥,垂足为F ,AE 交1B B 于点E .(1)求证: 1D B ⊥平面AEC ;(2)记直线AE 与平面1ACD 所成的角θ,求sin θ的值.20．（6分）已知空间向量与的夹角为，且，，令，．求，为邻边的平行四边形的面积S ； 求的夹角．21．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为5sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点M 在1C 上，点N 在2C 上，求MN 的最小值及此时M 的直角坐标.22．（8分）2021年，广东省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用312++模式，其中“3”是指语文、数学、外语；“1”是指在物理和历史中必选一科（且只能选一科）；“2”是指在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.为积极推进新高考，某中学将选科分为两个环节，第一环节：学生在物理和历史两科中选择一科；第二环节：学生在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.若一个学生两个环节的选科都确定，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向，随机选取50名学生进行了一次调查，这50人第一环节的选考科目都确定，有32人选物理，18人选历史；第二环节的选考科目已确定的有30人，待确定的有20人，具体调查结果如下表：（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少人？ （2）从选考方案确定的12名历史选考生中随机选出2名学生，设随机变量0,1.X ⎧=⎨⎩两名学生选考方案不同两名学生选考方案相同，求X 的分布列及数学期望()E X .（3）在选考方案确定的18名物理选考生中，有11名学生选考方案为物理、化学、生物，试问剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数.（只需写出结果）参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】根据已知对cos y x =求导，将3x π=代入导函数即可.【详解】∵y′=(cosx)′=-sinx ， ∴当3x π=时，=3y sinπ'=-故选C.本题考查利用导数求切线斜率问题，已知切点求切线斜率问题，先求导再代入切点横坐标即可，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定定理与性质定理，逐一判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于A 中，若//,m n n α⊥，则m α⊥，根据线面垂直的判定定理，可知是正确的； 对于B 中，若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，所以不正确； 对于C 中，若,m αβα⊥⊂，则m β⊥或//m β或m 与β相交，所以不正确； 对于D 中，若//m α，则m 与平面α内的直线平行或异面，所以不正确， 故选A. 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】2ln 0ax x x --≥恒成立等价于()2ln 0x x a x x +>≥恒成立，令()2ln x xf x x +=， 则问题转化为()max a f x ≥，对函数()f x 求导，利用导函数求其最大值，进而得到答案 。
北京市西城区2020年高二第二学期数学期末调研试题含解析
北京市西城区2020年高二第二学期数学期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{|x x x ∀∈是无理数｝，2x 是无理数；②命题“∃0x ∈R，20013x x +>”的否定是“∀x∈R，2x ＋1≤3x”；③命题“若220x y +=,x R y R ∈∈,则0x y ==”的逆否命题为真命题；④ (2xx e e --'）=2。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．已知0,0,42a b a b >>+=，则11a b+的最小值是 A ．4B ．92C ．5D ．93．已知方程2mx e x =在(]0,16上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1ln 2,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1ln 2,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 22,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,8e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e - 5．若展开式二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为（ ）A ．40B ．30C ．20D ．156．已知21zi i=++，则复数z =（ ） A 10B ．2C ．13i -D ．13i +7．设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切.则动圆圆心D 的轨迹方程为（ ） A ．24x y =B ．22x y =C ．24y x =D ．22y x =8．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（ ）A ．72种B ．48种C ．24种D ．12种9．设函数()31,1{2,1xx x f x x -<=≥，则满足()()()2f aff a =的a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,1C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,+∞ 10．5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的和为32，则该展开式中x 的系数为（ ） A ．10B ．10-C ．5D ．5-11．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则1z -= A ．3B ．2C ．32D ．2312．执行如图所示的程序框图，则程序输出a 的结果为（ ）A ．45B ．35C ．25D ．15二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．下表提供了某学生做题数量x （道）与做题时间y （分钟）的几组对应数据： x （道） 3 4 5 6 y （分钟）2.5t44.5根据上表提供的数据，得y 关于x 的线性回归方程为0.7.3,ˆ05yx =+则表中t 的值为_____． 14．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在抛物线24y x =上，则ABP △面积的最小值为________．15．如图，在长方形ABCD-1111A B C D 中，设AD=A 1A =1，AB=2，则1AC ·BC 等于____________16．已知函数22log ? ,? 1()1?,? 1x x f x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，若函数1()()12g x f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是____．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =， 以AC 的中点O 为球心，AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N.（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的大小； （3）求点N 到平面ACM 的距离.18．为了调查患胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人.（1）根据以上数据列出22⨯列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系？”附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.050 0.010 0.0010k 3.841 6.635 10.82819．（6分）已知函数2()(2)f x x m x n =+++（,m n 为常数）．（1）当1n =时，讨论函数()()xg x e f x =的单调性； （2）当2n =时，若函数()()x f x h x x e=+在[0,)+∞上单调递增，求m 的取值范围． 20．（6分）已知函数.[来源:学科网]（1）当时，解不等式；（2）若，求实数的取值范围.21．（6分）设数列的前n 项和为且对任意的正整数n 都有:.（1）求；（2）猜想的表达式并证明.22．（8分）设集合{}123,,,n M x x x N *=⋅⋅⋅⊆ *()n N ∈，如果存在M 的子集{}12,,,n A a a a =，{}12,,,n B b b b =，{}12,,,n C c c c =同时满足如下三个条件： ①M AB C =；②A ，B ，C 两两交集为空集；③()1,2,3,,i i i a b c i n +==⋅⋅⋅，则称集合M 具有性质Ω.（Ⅰ） 已知集合{}{}1,2,5,6,7,9,1,2,3,4,5,6E F ==，请判断集合,E F 是否具有性质Ω，并说明理由；（Ⅱ）设集合{}()1,2,,3m M m m N *=⋅⋅⋅∈，求证：具有性质Ω的集合m M 有无穷多个.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B【解析】 【分析】由①中，比如当x 时，就不成立；②中，根据存在性命题与全称命题的关系，即可判定；③中，根据四种命题的关系，即可判定；④中，根据导数的运算，即可判定，得到答案. 【详解】对于①中，比如当x =时，就不成立，所以不正确；对于②中，命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”，所以正确；③中，命题“若220,,x y x R y R +=∈∈，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，所以正确；对于④中，根据导数的计算，可得(2x xe e --'）=-2，所以错误；故选B. 【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，以及四种命题的关系，导数的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】 将代数式11a b+与代数式4a b +相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以2可得出答案． 【详解】因为114()(4)4159b a a b a b a b ++=+++≥+= ， 又42a b +=，所以119()2a b +≥， 当且仅当12,33a b ==时取""=，故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用． 3．C 【解析】 【分析】由于0mx e >恒成立，构造函数2()1mx xf x e =-，则方程2mx e x =在(]0,16上有两个不等的实数根等价于函数2()1mx x f x e =-在(]0,16上有两个不同的零点，利用导数研究函数2()1mx xf x e=-在(]0,16的值域即可解决问题。
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北京市西城区2020年高二(下)数学期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f （x ）=x ﹣[x]，则下列命题中正确的是①函数f （x ）的最大值为1； ②函数f （x ）的最小值为0； ③方程()()12G x f x =-有无数个根； ④函数f （x ）是增函数． A ．②③B ．①②③C ．②D ．③④2．()481214y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中22x y 的系数是（ ） A ．58B ．62C ．52D ．423．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是（ ）.附表：A ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”4．已知函数()()sin 21f x k x x k R =++∈，当k ∈(,2)(2,)-∞-+∞U 时，()f x 在()0,2π内的极值点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s =>D ．1212,x x s s6．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．7．对两个变量x ，y 进行回归分析，得到一组样本数据：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…（x n ，y n ），则下列说法中不正确的是A ．由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本点的中心(),x yB ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1.8．双曲线221169x y -=的焦点坐标是A ．7,0（）B ．0,7（）C ．5,0（）±D ．0,5（）±9．若函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．()2,2-B ．(]0,2C ．(]2,0-D ．[)0,210．已知命题200:,10p x R mx ∃∈+≤，命题2:,10q x R x mx ∀∈++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．22m -≤≤B ．2m ≤-或2m ≥C ．2m ≤-D ．2m ≥11．设01p <<，随机变量X ，Y 的分布列分别为 X 123Y 123P2p 1p - 2p p - P3p 21p - 23p p -当X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为（ ） A ．2B ．3316C ．5527D ．653212．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92BC ．13D二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知复数z 的共轭复数是z ，且2iz z i+-=，则z 的虚部是__________． 14．已知向量(2,3),(3,)a b m =-=v v，且a b ⊥v v ，则m =_______.15．已知函数2()4x f x =，()1g x x =+，(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，当[2,2]x ∈-时，()h x 的值域为_____；16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()*12n n S S n N +=∈，则10a =________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()2()xf x e ax a R =-∈．（1）若()()1f xg x x =+有三个极值点123,,x x x ，求a 的取值范围； （2）若3()1f x ax ≥-+对任意[]0,1x ∈都恒成立的a 的最大值为μ，证明：2655μ<<． 18．已知曲线22:194x y C +=，直线32:2x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点作与直线l 夹角为30°的直线，交于l 点A ，求||PA 的最大值与最小值. 19．（6分）设函数()sin cos ,[0,]2=--∈f x x a x x x π．(1)当1a =时，求函数()f x 的值域； (2)若()0f x ≤，求实数a 的取值范围．20．（6分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求： （1）随机变量ξ的分布列； （2）随机变量ξ的均值．21．（6分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin A A +=0，a =b=2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求△ABD 的面积.22．（8分）21(2)nxx+的展开式一共有13项.（1）求展开式中二项式系数之和；（2）求展开式中的常数项参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】【分析】本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．【详解】画出函数f(x)=x−[x]的图象，如下图所示．由图象得，函数f(x)的最大值小于1，故①不正确；函数f(x)的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数()()1 2G x f x=-有无数个零点，故③正确；函数f(x)有增有减，故④不正确．故答案为②③．【点睛】本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．2．D【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，赋值即可求出． 【详解】()481214y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中22x y 的系数是22228412424C C ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭.选D. 【点睛】本题主要考查二项式定理的展开式以及赋值法求展开式特定项的系数． 3．A 【解析】 【分析】对照表格，看2K 在0k 中哪两个数之间，用较小的那个数据说明结论． 【详解】由2K ≈8.333＞7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：A ． 【点睛】本题考查独立性检验，属于基础题． 4．C 【解析】 【分析】求导令导函数等于0，得出2cos x k =-，将问题转化为函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞的交点问题，画出图象即可判断.【详解】令()cos 20f x k x '=+=得出2cos x k =- 令函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞它们的图象如下图所示由图可知，函数()cos g x x =，()0,2p ，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞有两个不同的交点，则()f x 在()0,2p 内的极值点的个数为2个 故选：C 【点睛】本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题. 5．B 【解析】 【分析】根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小． 【详解】由茎叶图可看出甲的平均数是89141515162122158+++++++=，乙的平均数是78131515172223158+++++++=， ∴两组数据的平均数相等．甲的方差是()149361001364921.58+++++++= 乙的方差是()164494004496432.258+++++++=∴甲的标准差小于乙的标准差，故选B ． 【点睛】本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定． 6．C 【解析】试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有55120A =种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有211321336A A A =种取法，∴36312010P == 考点：古典概型及其概率计算公式 7．C 【解析】由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本中心(),x y ，正确； 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确用相关指数R 2来刻画回归效果,R 2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确， 线性相关系数|r |越大，两个变量的线性相关性越强，故正确。
故选：C. 8．C 【解析】分析：由题意求出,a b ，则c =，可得焦点坐标详解：由双曲线221169x y -=，可得4,3,5a b c ==∴==，故双曲线221169x y -=的焦点坐标是5,0±（） 选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题. 9．D 【解析】 【分析】先设()33g x x x =-+，02x ≤<，则函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点等价于直线y a =与函数()g x 的图像有两个交点，再求函数()g x 的单调性判断即可得解. 【详解】解：由()0f x =得33a x x =-+， 设()33g x x x =-+，02x ≤<，则函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点等价于直线y a =与函数()g x 的图像有两个交点，又()'233g x x =-+，当01x ≤<时，()'0g x >；当12x <<时，()'0g x <. 则函数()g x 在[)0,1为增函数，在()1,2为减函数， ∴()()max 12g x g ==， 又()00g =，()22g =-，又函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点，则a 的取值范围为[)0,2. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的零点个数与函数图像交点的个数问题，属基础题。