勾股定理的证明
勾股定理的十种证明方法
勾股定理的十种证明方法勾股定理是我们初中时就接触到的重要定理，也是数学史上最为著名的定理之一，在几何运算和三角函数中都有广泛应用。
其说法是：在直角三角形中，直角边上的平方和等于斜边上的平方，即 a^2+b^2=c^2。
本文将会介绍十种不同的证明方法，每种证明方法都体现了数学思维中的不同角度与方法。
1. 几何证明方法这种证明方法是最早的证明方法之一，它主要通过图形来证明定理的正确性。
我们可以通过构建一条边长为 a 和一条边长为 b 的正方形，再以这两条正方形的对角线为直角边构建一个直角三角形，即可证明勾股定理。
2. 相似三角形证明方法这种证明方法主要通过相似三角形来证明勾股定理的正确性。
我们可以画出一系列相似的三角形，来证明斜边和直角边之间的关系。
3. 数学归纳法证明方法根据数学归纳法，证明当 n=1 时定理成立，当 n=k 时定理成立，则推出 n=k+1 时定理也成立。
此证明方法需要适当运用代数知识来完成。
4. 三角函数证明方法使用三角函数来证明勾股定理也是一种有效的证明方法。
通过使用正弦、余弦、正切等函数来证明斜边和直角边之间的关系。
5. 向量证明方法通过考虑向量的长度和夹角关系，证明斜边和直角边之间的关系。
此方法依赖于向量的基本运算和性质。
6. 代数证明方法这种证明方法主要依赖于代数计算的过程，可以通过平方、开方、因式分解等方法来证明定理的正确性。
7. 微积分证明方法从微积分的角度来考虑勾股定理，可以通过求导和积分的运算关系来证明斜边和直角边之间的关系。
8. 数组和矩阵证明方法运用数组和矩阵的运算来证明勾股定理的正确性，需要适当了解数组和矩阵的基本运算和性质。
9. 物理学应用证明方法勾股定理在物理学中也有广泛的应用，比如在机械学中，勾股定理可以用来计算质点的速度和加速度。
10. 函数图像证明方法运用函数图像的特点来证明勾股定理的正确性，需要适当了解函数图像的特点和性质。
对于一些特殊的函数，也可以通过对其函数图像进行研究来证明定理的正确性。
勾股定理十种证明
勾股定理十种证明欧几里德是古典数学的代表人物，他提出的勾股定理被认为是数学史上最重要的定理之一。
勾股定理，即给定直角三角形的两条直角边a，b，其斜边的平方等于两边的平方和，即：a2+b2=c2。
今天，我们将为读者介绍十种证明勾股定理的方法。
第一种是利用重心法证明。
当定义等腰三角形ABC时，在线段AB上定义重心G。
将线段AG视为一直角三角形，AG和BG就构成直角三角形。
易知三角形AGC也是直角三角形，三角形ABC也就是一个等腰直角三角形，AG和BC就是一组等腰三角形。
易得：a2+b2=AC2+BC2，即：a2+b2=c2。
第二种是利用反证法证明。
假设勾股定理不成立，即a2+b2≠c2，那么，就会得到一条不等式：a2+b2>c2或a2+b2<c2。
因为a、b都是非负的，再加上c也是非负的，所以，有：a2>0、b2>0、c2>0，从而：a2+b2>0，由此可以得出矛盾：a2+b2>c2，但是c2>0。
这与原假设矛盾，则勾股定理成立。
第三是利用余弦定理证明。
设等腰三角形ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有：a2=b2+c2-2bc cosA，b2=a2+c2-2ac cosB，c2=a2+b2-2ab cosC，将三式相加，可得到：2a2+2b2=2c2，从而证明勾股定理。
第四是利用边缘法证明。
由边缘定理可知，在等腰三角形ABC 中：a2=b2=c2=2S2，其中S为ABC的面积。
令α、β、γ分别为三角形ABC的内角，及对应的外接圆的半径，令ΔO为三角形ABC的外切圆，则有：α+β+γ=180°，易知：a2+b2+c2=2(α2+β2+γ2)=2R2=c2，可以证明出勾股定理。
第五种是利用角和弧法证明。
在等腰三角形ABC中，用圆弧a 表示两边a和b的连接的圆弧，一条弧的长度是直径乘以圆心角的度数，即可推得：c2=a2+2aR-b2，将c2的左边加上b2，右边减去b2，即可得到：c2=a2+b2，从而证明出勾股定理。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一条重要定理，它是说对于任意直角三角形，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
具体表达式如下：\[a^2+b^2=c^2\]这里，a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
欧几里得给出了最早的证明方法，他使用了几何构造和演绎的方法来证明这个定理。
1.欧氏证明方法：欧几里得通过将两个直角边的平方进行拼贴，得到一个正方形，并证明这个正方形的面积等于斜边的平方。
2.平行线切割法：通过平行线的切割，将直角三角形分割为几个图形，然后利用这些图形的面积关系证明勾股定理。
3.三角形面积法：通过计算直角三角形各个边上的高，然后将两个直角边的长度和其对应的高代入三角形面积公式，证明勾股定理。
4.变形推导法：将勾股定理移项变形，推导出其他几何定理，再反推回来证明勾股定理。
5.相似三角形法：利用两个直角三角形的相似性质，建立它们之间的边长比例，然后通过约分和乘法证明勾股定理。
6.余弦定理法：利用三角形的余弦定理，将三角形的边长和夹角之间的关系表达式代入勾股定理，然后进行化简证明。
7.对角线法：通过划分直角三角形的对角线，构造与角度相关的图形，然后运用几何性质证明勾股定理。
......（继续列举）这些只是勾股定理证明的几种常见方法，还有很多其他方法，涉及不同的数学分支和概念。
基于这三个基本量的几何关系，有许多方法可以推导出这个定理，每种证明方法都有其独特之处，展示了数学的丰富性和多样性。
通过探究不同的证明方法，我们可以增加对数学的理解和思维能力。
勾股定理是一个基本而重要的定理，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用，所以了解多种证明方法可以帮助我们更好地理解和应用这个定理。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法
1. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜
边为c。
根据勾股定理，我们有a^2 + b^2 = c^2。
将三条边的
长度代入该等式，进行计算验证即可证明。
2. 几何证明：通过绘制直角三角形，并利用几何原理证明。
例如，可以画一个正方形，然后在其两条相对边上各画一个相等的直角三角形，再使用平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2
= c^2。
3. 相似三角形证明：假设两个直角三角形，已知其斜边比例为m:n，利用相似三角形的性质可以得出直角边的比例也是m:n，进而得到a^2 + b^2 = c^2。
4. 平行四边形法证明：利用平行四边形的性质，可通过画出一个具有相等对边的平行四边形来证明勾股定理。
通过平行四边形的性质可以得出a^2 + b^2 = c^2。
5. 微积分证明：利用微积分的知识可以证明勾股定理。
通过对直角三角形边长进行微分，并进行适当的运算，可以得到a^2 + b^2 = c^2。
这种证明方法比较复杂，需要较高的数学知识和
技巧。
十种方法证明勾股定理
十种方法证明勾股定理勾股定理是中学数学中最基本的定理之一，解决了数学中的许多问题。
它是一个既基础且实用的定理，有许多方法可以证明它，下面介绍十种方法：1.欧拉定理证明法：构造出一个直角三角形，把它的两条直角边对应的两个正方形放在直角三角形外面，另一条边对应的正方形放在直角三角形内部，再利用欧拉定理计算出三个正方形的面积，可以证明勾股定理。
2.代数证明法：利用代数的平方公式，把直角三角形的两条直角边平方相加，再把斜边平方，然后再将两者相减，得到一个等式，即可证明勾股定理。
3.数学归纳法证明：用数学归纳法证明勾股定理，证明当n为正整数时，定理成立。
4.相似三角形证明法：构造出相似的三角形，利用相似三角形的性质，可以推导出勾股定理。
5.向量证明法：用向量的几何意义证明勾股定理，首先利用向量的长度和夹角的公式计算出向量的长度和夹角，再利用向量的点积公式计算出勾股定理中的各个变量，最后推导出勾股定理。
6.割圆术证明法：利用割圆术将直角三角形对角线作为半径画圆，利用圆上弧角定理，可以得到勾股定理。
7.平面几何证明法：用平面几何证明勾股定理，利用平面几何图形的形状和大小关系，推导出勾股定理。
8.解析几何证明法：用解析几何证明勾股定理，利用平面直角坐标系，将三角形的三个点用坐标表示出来，推导出勾股定理。
9.三角函数证明法：用三角函数证明勾股定理，利用三角函数的性质，将三角形分离出直角三角形和非直角三角形，再用三角函数计算出各个变量，推导出勾股定理。
10.古希腊证明法：古希腊人对勾股定理有自己的证明方法，即利用几何图形的形状和大小，通过构造几何图形推导出勾股定理。
这些证明方法都可以证明勾股定理的正确性，它们有不同的适用范围和难度级别，可以根据自己的水平和兴趣选择合适的证明方法。
勾股定理的证明方法5种
勾股定理的证明方法5种勾股定理是几何学中最为经典的定理之一，它揭示了直角三角形中直角边与斜边的关系。
勾股定理有多种不同的证明方法，下面我们将依次介绍其中五种不同的证明方法。
方法一：几何法证明这种证明方法是最为直观的，它通过几何形状的变换来证明勾股定理。
首先，我们先画出一个直角三角形ABC，然后作出辅助线AD ⊥BC，将三角形ABC分成两个小三角形ΔABD和ΔADC。
根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AB=AB/AC，即BD*AC=AB^2。
同理，我们可以得到CD*AB=AC^2。
将这两个式子相加起来，我们就可以得到BD*AC+CD*AB=AB^2+AC^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到BC*AD=AB^2+AC^2，而BC*AD就是直角三角形ABC的斜边的平方AC^2。
因此，通过几何法证明，我们可以得到勾股定理成立。
方法二：代数法证明这种证明方法是使用代数运算来证明勾股定理。
我们可以用直角三角形的三条边的长度来表示三角形的面积。
假设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中c 为斜边，利用面积公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形面积的两种表达式：S=1/2* a*bS=1/2* c*h通过这两个表达式，我们可以得到c*h=a*b，即c^2=a^2+b^2。
方法三：相似三角形法证明这种证明方法利用相似三角形的性质来证明勾股定理。
我们可以在直角三角形ABC中找到一个与之全等的直角三角形DEF。
然后我们可以发现直角三角形ABC和DEF分别是直角三角形ACB和EDF的相似三角形。
由于相似三角形的对应边成比例，我们可以得到AB/DE=BC/EF=AC/DF。
利用这个性质，我们可以得到AB^2=DE^2+DF^2和AC^2=DE^2+EF^2。
将这两个式子相加起来，我们可以得到AB^2+AC^2=DE^2+DF^2+DE^2+EF^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到AB^2+AC^2=2*DE^2+2*DF^2。
勾股定理500种证明方法
勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一个重要定理，它表明在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
因为勾股定理的证明方法有很多，以下仅列举其中的一些方法，并进行简要说明。
1.几何证明法：利用几何图形的性质和关系，通过构造适当的图形来推导出勾股定理。
常见的方法有直角三角形的外接圆和内切圆法、相似三角形法等。
2.代数证明法：通过代数运算推导出勾股定理。
常见的方法有使用平方差公式，将直角三角形的三边平方代入公式进行计算。
3.向量证明法：利用向量的性质和关系来证明勾股定理。
可以使用向量的内积和外积进行计算和推导。
4.能量守恒法：利用机械能守恒定律，将直角三角形看作一个物体在斜坡上滑动的问题，从而推导出勾股定理。
5.数学归纳法：通过数学归纳法来证明勾股定理。
可以先证明直角三角形边长为整数时勾股定理成立，然后再利用数学归纳法推广到一般情况。
6.解析几何证明法：利用坐标系和直角三角形的性质，通过坐标运算来推导勾股定理。
7.平面几何证明法：利用平面几何中的定理和性质，通过推演来证明勾股定理。
8.近似证明法：通过近似的方法进行证明，例如使用三角函数的泰勒级数展开来近似计算直角三角形的边长关系。
9.反证法：假设勾股定理不成立，推导出矛盾的结论，从而证明勾股定理的正确性。
10.画图证明法：通过绘制恰当的图形，利用图形的特征和性质来推导和证明勾股定理。
以上仅是列举了一些常见的证明方法，实际上还有很多其他的证明方法可以应用于勾股定理的证明。
不同的证明方法多角度地展示了勾股定理的内在原理和几何意义，使我们对这个定理有了更深入和多样化的理解。
勾股定理9种证明(有图)
勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形， 则每个直角三角形的面积 等于2ab .把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C G D 三点在一条直线上.v Rt △ HAE 坐 Rt △ EBF, ••• / AHE = / BEF.v / AEH + / AHE = 90o, • / AEH + / BEF = 90o.• / HEF = 180o — 90o= 90o.•四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形.它的面积等于c 2.v Rt △ GDH 坐 Rt △ HAE, • / HGD = / EHA. v / HGD + / GHD = 90o,• / EHA + / GHD = 90o. 又v / GHE = 90o, • / DHA = 90o+ 90o= 180o.2• ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于（a + b ）.21 2a b 4 ab c222•2. • a b = c .【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b ，斜边长为c.把它 们拼成如图那样的一个多边形，使 D E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于/ EGF + / GEF = 90°, / BED + / GEF = 90 ° , / BEG =18(b — 90o= 90 o. 又 v AB = BE = EG = GA = c• / ABC + / CBE = 90o.v Rt △ ABC 坐 Rt △ EBD, • / ABC = / EBD.• / EBD + / CBE = 90o. 即 / CBD= 9Gb. 又 v / BDE = 90o ,Z BCP = 90o ,D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △ GEF 幻Rt △ EBD, ABEG 是一个边长为c 的正方形.a b HH匕DA FbaP bCBC = BD = a.••• BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCB 的面积为S,则21 b S2 ab, 2 1=S 2 ab2 ,a 2 +b 2 =c 2【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b （b>a ）c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 直线上. 过点Q 作QP// BC 交AC 于点P. 过点B 作BML PQ 垂足为M ；再过点 F 作FNL PQ 垂足为N.v / BCA = 90o , QP// BC • / MPC = 90o , v BM 丄 PQ• / BMP = 90o ,• BCPM 是一个矩形，即/ MBC = 90o.v / QBM + / MBA = / QBA = 90o , / ABC + / MBA = / MBC = 90o , • / QBM = / ABC又 v / BMP = 90o ,/ BCA = 90o , BQ = BA = c , • Rt △ BMQ 坐 Rt △ BCA.同理可证Rt △ QNF 幻Rt △ AEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 在一条直线上，连结BF CD.过 C 作 CL L DE 交AB 于点M 交DE 于点L.v AF = AC , AB = AD,/ FAB = / GAD• △ FAB 坐△ GADE 、A ，斜边长为C 三点在一条 H 、C B 三点 v △ FAB 的面积等于K△ GAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，二矩形ADLM 的面积二 同理可证，矩形 MLEE 的面积 v 正方形ADEB 勺面积 =矩形ADLM!勺面积+ /. c 2 a 2 b 2，即 a 2 -【证法5】(杨作玫证明) 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、b (b>a ),斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF 丄AC AF 交GT 于F , AF 交DT 于 R.过B 作BP 丄AF,垂足为 E , DE 交 AF 于 H. v / BAD = 90o ,Z PAC = 90o , ••• / DAH = / BAC. 又 v / DHA = 90o ,Z BCA = 90o , AD = AB = c ,• Rt △ DHA 坐 Rt △ BCA. • DH = BC = a , AH = AC = b. 由作法可知，PBCA 是一个矩形， 所以 Rt △ APB 坐 Rt △ BCA.即 PB = CA = b , AP= a ,从v Rt △ DGT 坐 RtRt △ DHA 坐 Rt• Rt △ DGT 坐 Rt • DH = DG = a , 又 v / DGT = 90o ,2 a . =b 2 矩形MLEB 勺面积 b 2 =c 2. PH = b — a. △ BCA , △ BCA. △ DHA . / GDT = / HDA . / DHF = 90o ,P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为 / GDH = / GDT + / TDH = / HDA+Z TDH = 90o ,• DGFH 是一个边长为a 的正方形.• GF = FH = a . TF 丄AF , TF = GT — GF = b — a .• TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b-a ,下底BP= b ,高FP=a + (b —a ).用数字表示面积的编号(如图)，则以c 为边长的正方形的面积为 c 2 = Si S 2 S 3 S 4 S 51S 8 +S 3 +S 4 =- b + (b - a )】• a + (b -a /v2S5 - S 8' S 9丄21 .S 3S 4-b 2 ab・・ 2把②代入①，得c^S iS 2b 2 -S^S 8S 8S 9①b 2 -1 ab2 ,2=bS2S 9 = b 2 川 a 2【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、b （b>a ）,斜边的长为c.做三个边长分别为a 、 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A 、E 、G 三点在一条直线上.用数字表示 面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 900, ••• / TBH = / ABE. 又 v / BTH = / BEA = 900,BT = BE = b , • Rt △ HBT 坐 Rt △ ABE. • HT = AE = a. • GH = GT — HT = b — a. 又 v / GHF + / BHT = 900,/ DBC + / BHT = / TBH + • / GHF = / DBC.v DB = EB — ED = b — a , / HGF = / BDC = 90o , • Rt △ HGF 坐 Rt △ BDC.即 S ^ S 2.过 Q 作 QM L AG 垂足是 M.由/ BAQ = / BEA = 90o ,可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c ，所以 Rt △ ABE 幻 Rt △ QAM .又 Rt △ HBT 幻Rt △ ABE.所以 Rt △ HBT 幻 Rt △ QAM .即 S 8 二 S 5.由 Rt △ ABE 坐 Rt △ QAM 又得 QM = AE = a ，/ AQM = / BAE.v / AQM + / FQM = 90o ,Z BAE + / CAR = 90o ,Z AQM = / BAE • / FQM = / CAR.【证法7】（利用多列米定理证明）• Rt △ QMF 坐 Rt △ ARC.即 S 4 =S6.• • c 2 =S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 a 2 S 6又v S 7 二 S 2 S g 二 S 5 S 4 二 S 6> > >• a 2 b 2 = S ! S 6 S 3 S 7 S 8=S iS 4 S 3 S 2 S 52=c ,即a 2 + b 2 =c 2.又 v / QMF = / ARC = 90o , QM = AR = a , b^ S 3 S 7 S 8R a A在Rt △ ABC 中，设直角边 BC= a , AC= b ,斜边AB = c (如图).过点A 作AD// CB, 过点B 作BD//CA 则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB ・DC 二 AD ・BC AC *BD ,AB = DC = c , AD = BC = a , AC = BD = b ,AB 2 =BC 2 +AC 2，即 c 2 =a 2 +b 2 a 2 +b 2 =c 2【证法8】（利用反证法证明） 如图，在Rt △ ABC 中，设直角边 AG点C 作CDL AB 垂足是D.假设a 2 b 2=c 2，即假设AC 2 BC —AB 2，则由AB^AB *AB =AB AD BD =AB ・AD AB * BD可知 AC 2 式 AB ・AD ，或者 BC 2 式 AB ・BD .即 AD : AO AG AB 或者 BD : BO BC AB. 在厶ADC 和△ ACB 中, v / A = / A,.若 AD : AW AC AB 」 / AD 字/ ACB.在厶CDB 和△ ACB 中, v / B = / B ,.若 BD BW BC AB,贝S / CDB^Z ACB. 又v / ACB = 90o ,. / AD& 90o ,Z CD 字 90o. 这与作法CDLAB 矛盾.所以，/. a 2 b 2 = c 2.【证法9］（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a 、b,斜边的长为c.作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 (a +bf =a +b +2ab ；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 勺21 2,.十.(a +b 『=4 乂一ab+c 2面积为 2= 2ab c .2 2 2.. a b 2ab 二 2ab c ,BC 的长度分别为a 、b ,斜边AB 的长为c ,过 AC 2 • BC 2 = AB 2的假设不能成立..a2+b2=c2.。
3个证明勾股定理的方法
3个证明勾股定理的方法勾股定理可神奇啦，就是直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，那怎么证明它呢？今天就给你分享三种超有趣的方法哦。
一、拼图法证明勾股定理咱就拿四个完全一样的直角三角形来玩一玩。
直角边设为a和b，斜边是c。
把这四个直角三角形拼成像一个大正方形中间套着一个小正方形的样子。
这个大正方形的边长就是a + b。
那它的面积就是(a + b)²。
展开这个式子就是a²+ 2ab+ b²。
再看看这个图形，大正方形其实是由四个直角三角形和中间那个小正方形组成的。
四个直角三角形的面积就是4×(1/2)ab = 2ab，小正方形的边长是c，它的面积就是c²。
所以大正方形的面积也可以表示成2ab + c²。
因为这两种方法表示的都是大正方形的面积呀，所以a²+ 2ab + b² = 2ab + c ²，两边的2ab一抵消，就得到a² + b² = c²啦，勾股定理就这么证明出来啦，是不是像玩拼图游戏一样好玩呢？二、利用相似三角形证明勾股定理在直角三角形ABC里，角C是直角，过点C作CD垂直于AB于D。
这样就形成了三个相似的三角形，大的直角三角形ABC，还有小一点的直角三角形ACD和BCD。
根据相似三角形的性质，对应边成比例。
在三角形ABC和ACD里，AC/AB = AD/AC，也就是AC² = AD×AB。
在三角形ABC和BCD里，BC/AB = BD/BC，也就是BC² = BD×AB。
把这两个式子加起来，AC²+ BC² = AD×AB + BD×AB = (AD + BD)×AB，而AD + BD就是AB呀，所以就得到AC² + BC² = AB²啦，是不是感觉很巧妙呢？三、总统证法（加菲尔德证法）这个可有意思啦。
勾股定理的500种证明方法
勾股定理的500种证明方法1.几何推导：这是最著名的证明方法。
它通过将直角三角形切割、旋转、重新拼合，利用几何图形的性质，推导出勾股定理。
2. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。
则根据勾股定理，我们有c² = a² + b²。
我们可以将这个等式写成(a + b)² = c² + 2ab。
将c² = a² + b²代入，得到(a + b)² = a² + b² + 2ab。
再进一步化简，得到a² + 2ab + b² = a² + b² +2ab。
最后，化简为a² + b² = a² + b²。
我们可以发现，等式两边完全相等，从而验证了勾股定理。
3.数学归纳法证明：我们首先证明直角三角形边长为3,4,5时，满足勾股定理。
然后，假设对于边长小于n的所有直角三角形，都满足勾股定理。
接下来，我们考虑直角三角形边长为n的情况。
我们可以将这个三角形切割成由三个直角子三角形组成的形状。
根据归纳假设，这三个子三角形满足勾股定理。
我们可以对这些子三角形应用基本的代数运算和性质，进一步证明整个直角三角形也满足勾股定理。
4.平行四边形法证明：将一个直角三角形内切于正方形中，然后根据正方形的性质和等式关系，利用平行四边形的性质推导出勾股定理。
5.反证法证明：假设存在一个直角三角形，它的三条边无法满足勾股定理。
然后，通过对无法满足定理的条件进行分析，得出矛盾，从而证明了勾股定理的正确性。
6.数学几何方法：通过利用数学几何的原理和定理，如相似三角形、垂直直角等，推导出勾股定理的等式。
7.三角函数法证明：将三角函数引入到勾股定理的等式中，然后根据三角函数的性质，推导出等式成立。
以上仅为部分常见的证明勾股定理的方法，实际上有无数种证明方法可供选择。
勾股定理五种证明方法
勾股定理五种证明方法1. 几何证明法勾股定理是数学中的基本定理之一，用于描述直角三角形的边长关系。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
几何证明法是最直观的证明方法之一。
我们可以通过绘制一个正方形来证明勾股定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以将这个三角形绘制在一个边长为a+b的正方形内。
将正方形分成四个小正方形，其中三个小正方形的边长分别为a，b和c。
通过计算小正方形的面积，我们可以得出结论：c^2 = a^2 + b^2。
2. 代数证明法代数证明法是另一种常用的证明勾股定理的方法。
这种方法使用代数运算和方程的性质来证明定理。
假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
我们可以通过使用平方的性质来证明勾股定理。
根据勾股定理，我们有：c^2 = a^2 + b^2。
我们可以将c^2展开为(a + b)2，即：c2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
通过对比等式两边的表达式，我们可以得出结论：2ab = 0。
由于直角三角形的边长必须为正数，因此我们可以得出结论：ab = 0。
这意味着a或b至少有一个为0。
如果a为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为b的直角三角形，此时勾股定理显然成立。
同样地，如果b为0，那么直角三角形就变成了一个直角边长为a的直角三角形，此时勾股定理也成立。
综上所述，勾股定理成立。
3. 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的证明数学命题的方法，它通常用于证明自然数的性质。
虽然勾股定理是针对直角三角形的，但我们可以通过数学归纳法证明勾股定理对于所有正整数的直角三角形都成立。
首先，我们证明当直角三角形的直角边长度为1时，勾股定理成立。
这是显而易见的，因为直角三角形的斜边长度必然大于1，所以直角边长度为1的直角三角形一定满足勾股定理。
然后，我们假设当直角三角形的直角边长度为k时，勾股定理成立。
即假设a^2 + b^2 = c^2，其中a和b分别为直角三角形的直角边，c为斜边。
勾股定理十种证明
勾股定理十种证明勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，是最古老的几何定理之一，被公认为是其中最优雅之处。
在几何学中，勾股定理犹如一面旗帜，引领着数学探索的方向。
它对于理解平面几何，特别是直角三角形的形成，是不可缺少的。
勾股定理宣称：“一个直角三角形的两条斜边的平方和等于它的斜边的平方。
”历史上，许多杰出的数学家都曾试图用更多的方法来证明勾股定理，其中有些广为人知的证明有以下十种：第一种，极限法证明：把直角三角形拆分为无数个梯形，然后利用极限思想可以证明勾股定理。
第二种，边角定理证明：由边角定理可以简捷地证明勾股定理。
第三种，比例定理证明：利用比例定理和勾股定理的平方和来证明勾股定理。
第四种，向量法证明：通过直角三角形两条斜边的相加以及其面积的向量证明，可以证明勾股定理。
第五种，反证法证明：通过假设勾股定理不成立，然后反向推导至矛盾，从而证明勾股定理。
第六种，几何图形法证明：通过勾股定理相关的面积比和图形证明勾股定理。
第七种，数学归纳法证明：通过数学归纳法对勾股定理改写成一系列合取式，然后证明勾股定理。
第八种，三角函数法证明：通过三角函数求解勾股定理，从而证明勾股定理。
第九种，几何等价法证明：通过几何等价性的抽象表示和抽象证明，可以证明勾股定理。
第十种，代数法证明：通过把直角三角形的斜边和直角数进行代数处理，可以证明勾股定理。
以上十种证明方法，都可以从不同角度解释勾股定理，让我们更加深刻地理解它。
它首先可以从这样一个角度来理解：每个直角三角形都有一个完全统一的结构，其两条斜边平方和等于该斜边的平方。
从代数的角度来看，勾股定理可以用一个比较简单的方程式来表示：a2+b2=c2，这就是勾股定理的定义。
勾股定理被用于各种应用场景，其精髓在于它利用数学抽象的方式来解释实际的物理规律，并且它的证明方法多种多样，有能力深入地理解并把握它的精粹。
它是一个充满智慧的定理，深受各种学科的研究者和爱好者的喜爱，在现代科学中仍起着重要的作用。
勾股定理的10种证明
5.《周髀算经》中勾股定理的公式与证明
“故折矩①，以为勾广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个 勾三（圆周率三）、股四（四方） 的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。
“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有 边长三勾方、边长四股方、边长五弦方 三个正方形。
7.希腊人的方法
作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.于是便不难得出
8.欧几里德（Euclid）射影定理证法
Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高
通过证明三角形相似则有射影定理如下：
由△CAD∽△BAC可得AC2=AD×AB。②
我们发现，把①、②两式相加可得
BC2+AC2=AB（AD+BD），
而AD+BD=AB，
因此有BC2+AC2=AB2，这就是a2+b2=c2。
4.课本方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。
勾股定理的九种证明方法
勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。
二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。
作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。
由公式（2）+（3）得：（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2七、杨作玫证法：做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c，∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =CA = b，AP= a，从而PH = b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .又∵∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，∴ DGFH是一个边长为a的正方形.∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为①∵ = ，，∴ = .②把②代入①，得= = .∴.八、陈杰证法：设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c.∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，∴ DM = EM―ED = ―a = b.又∵∠CMD = 90º，CM = a，∠AED = 90º， AE = b，∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.∴∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.∵∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴∠ADC = 90º.∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，∴∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，∴ΔABF ≌ΔADE.∴∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵ AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.∵，，，，∴===∴.九、辛卜松证法：设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c. 作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =.∴ ,∴.。
勾股定理9种证明
勾股定理的9 种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A E、B三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C G D三点在一条直线上.v Rt △HAE 坐Rt △EBF,• / AHE =/ BEF./ AEH + / AHE = 90o, /AEH + / BEF = 90o.• / HEF = 180o—90o= 90o.二四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2.v Rt △GDH坐Rt △HAE,••• / HGD = / EHA.v / HGD + / GHD = 90o,•/ EHA + / GHD = 90o.又v / GHE = 90o,•/ DHA = 90o+ 90o= 180 o.•ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.v D、E、F在一条直线上,且Rt △ GEF坐Rt △ EBD,•/ EGF = / BEDv / EGF + / GEF = 90°,•/ BED + / GEF = 90 ° ,•/ BEG =18(b—90o= 90 o.又v AB = BE = EG = GA = c ,•ABEG是一个边长为c的正方形.•/ ABC + / CBE = 90o.v Rt △ABC 幻Rt △EBD,•/ ABC = / EBD.•/ EBD + / CBE = 90o.即/ CBD= 9Gb.又v / BDE = 90o,Z BCP = 90o,BC = BD = a.• BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCB的面积为S,则【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上.过点Q作QP// BC交AC于点P. 过点B作BMiL PQ垂足为M；再过点F作FNL PQ垂足为N.v / BCA = 90o , QP// BC••• / MPC = 90o,v BM 丄PQ•/ BMP = 90o,•BCPM是一个矩形，即/ MBC = 90o.v / QBM + / MBA = / QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o,•/ QBM = / ABC又v / BMP = 90o,Z BCA = 90o, BQ = BA = c ,•Rt △ BMQ坐Rt △ BCA.同理可证Rt △ QNF幻Rt △ AEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C B三点在一条直线上，连结BF CD.过C作CL± DE交AB于点M交DE于点L.v AF = AC ，AB = AD，/ FAB = / GAD•△ FAB 坐△ GADv △ FAB的面积等于，△ GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，•矩形ADLM的面积=. 同理可证，矩形MLEE的面积二.v正方形ADEB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积•，即.【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF丄AC AF交GT 于F, AF 交DT于R.过B作BP丄AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E, DE交AF 于H.v / BAD = 90o,Z PAC = 90o,••• / DAH = / BAC.又v / DHA = 90o,Z BCA = 90o,AD = AB = c ,• Rt △ DHA坐Rt △ BCA.• DH = BC = a , AH = AC = b.由作法可知, PBCA 是一个矩形, 所以Rt △ APB 坐Rt △ BCA.即PB = CA = b , AP= a,从而PH = b —a.v Rt △DGT 坐Rt △BCA ,Rt △ DHA坐Rt △ BCA.• Rt △ DGT坐Rt △ DHA .•DH = DG = a，/ GDT = / HDA . 又v / DGT = 90o,Z DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+Z TDH = 90o,• DGFH是一个边长为a的正方形.• GF = FH = a . TF 丄AF, TF = GT—GF = b — a .• TFPB是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + (b—a).用数字表示面积的编号(如图)，则以c为边长的正方形的面积为①v = ,• = . ②把②代入①，得【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a）,斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 90o,•/ TBH = / ABE.又v / BTH = / BEA = 90o,BT = BE = b ,• Rt △ HBT 坐Rt △ ABE.••• HT = AE = a.••• GH = GT—HT = b —a.又T / GHF + / BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90o,•/ GHF = / DBC.T DB = EB—ED = b—a，/ HGF = / BDC = 90o,• Rt △ HGF坐Rt △ BDC.即.过Q作QM L AG 垂足是M.由/ BAQ = / BEA = 90o,可知 / ABE =/ QAM 而AB = AQ = c，所以Rt △ ABE 幻Rt △ QAM .又Rt △ HBT 幻Rt △ ABE.所以Rt △ HBT 幻Rt △ QAM .即.由Rt △ ABE 坐Rt △ QAM 又得QM = AE = a，/ AQM = / BAE.T / AQM + / FQM = 90o,Z BAE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE•/ FQM = / CAR.又T / QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a ,• Rt △ QMF坐Rt △ ARC.即.T ，，，【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt△ ABC中，设直角边BC= a, AC= b,斜边AB = c （如图）.过点A作AD// CB, 过点B作BD//CA则ACBD为矩形，矩形ACBD^接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有T AB = DC = c , AD = BC = a , AC = BD = b ,•,即,【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt△ ABC中，设直角边AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C 作CDL AB垂足是D.假设，即假设，则由可知，或者.即AD: AO AC AB或者BD: BO BC AB.在厶ADCF" ACB中,v / A = / A,•••若AD: AO AC AB」/ AD字/ ACB.在厶CDB^H A ACB中,v / B = / B,•若BD BO BC AB,贝S/ CDB^Z ACB.又v / ACB = 90o,• / AD& 90o,Z CD字90o.这与作法CD!AB矛盾.所以，的假设不能成立证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABC划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABC啲面积为；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD勺面积为=.。
勾股定理16种证明方式
【证法1】（讲义的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长别离为b,斜边长为c 再做三个边长别离为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上能够看到，这两个正方形的边长都是a + b,因此而积相等.即a 2 +b 2 +4x —ab =c 2 +4x — ab 2 2 【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每一个直角三角形 的而积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直 线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C. G 、D 三点在一条直线上./ Rt A HAE 9 Rt A EBF,・•・ ZAHE = ZBEF.・• ZAEH + ZAHE 二 90°,•・ ZAEH + ZBEF = 90°.•・ ZHEF = 180°-90°= 90°.•・四边形EFGH 是一个边长为c的 正方形.它的面积等于cl/ Rt A GDH 9 RtAHAE,•• ZHGD 二 ZEHA./ ZHGD + ZGHD = 90°,•• ZEHA + ZGHD 二 90°.•• ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于（d + 疔..（a + b ）2 =4x^-ab + c 2 . … 2 •• a +b =c【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b 冶），以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每一个直角勾股定理的证明整理得/+沪=二XV ZGHE•• ZDHA 90°, 90°+ 90° 二 180°.D三角形的而积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状・••• RtADAH RtAABE, ・•・ ZHDA = ZEAB.•/ ZHAD + ZHAD 二 90°,/• ZEAB + ZHAD = 90°,A ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的而积等于c 2.••• EF 二 FG 二GH 二HE = b —a , ZHEF 二 90°.A EFGH 是一个边长为b-a 的正方形，它的而积等于（方“广:.a 2+b 2 =c\【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每一个直角三角 ・•・△ DEC 是一个等腰直角三角形,j_ 2它的面积等于IXV ZDAE = 90°, ZEBC = 90°,・•・ AD 〃BC./. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2、— （a+b ）2 = 2x —ab + —c 2 2V 2 2.a 2 +b 2 =c 2.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长别离为8、b ，斜边长为C.把 它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交 DF 于点P.•・• D 、E 、F 在一条直线上，且 Rt A GEF 9 Rt A EBD,・•・ZEGF = ZBED,4x^ab + (b-a)2形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，懐A 、E 、B 三点在一条 直线上.•・• RtAEAD・•・ZADE 二•・• ZAED +9 Rt A CBE, ZBEC. ZADE 二 90°, ZBEC 二 90°.180°-90°= 90°.I ZEGF + ZGEF = 90° ,/. ZBED + ZGEF = 90° ,/. ZBEG =180°—90°二90°.XV AB 二BE 二EG 二GA 二c,/. ABEG是一个边长为c的正方形./. ZABC + ZCBE 二90°.•/ Rt A ABC 9 Rt A EBD,・•・ ZABC 二ZEBD.・•・ ZEBD + ZCBE = 90°. 即ZCBD二90°.XV ZBDE 二90°, ZBCP 二90°,BC — BD = a.・•・BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则a2 +b2 =S + 2x-ab,2c2 = S + 2x—ab2 ,・•.a2+b2 =c2.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长别离为a、b （b>a）长为c.再做一个边长为c的正方形.点在一条直线上.过点Q作QP〃BC,交AC于点P.过点B作BM丄PQ,垂足为M；再过点F作FN丄PQ,垂足为N.•・• ZBCA = 90°, QP〃BC,・•・ ZMPC = 90° ,•・• BM 丄PQ,・•・ ZBMP = 90°,・•・BCPM是一个矩形，即ZMBC =•・• ZQBM + ZMBA = ZQBA = 90° ,ZABC + ZMBA = ZMBC = 90°,・•・ ZQBM = ZABC,又J ZBMP = 90°, ZBCA = 90°, BQ = BA = c,・•・ Rt A BMQ 竺Rt A BCA.同理可证Rt AQNF今Rt A AEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）斜边C三把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、做三个边长别离为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、垂直， 垂足为E, DE 交AF 于H.• • ZBAD = 90°, ZPAC = 90°, • • • ZDAH = ZBAC.又・・• ZDHA 二 90° , ZBCA = 90°, AD = AB =c,■ • • Rt A DHA ◎ Rt A BCA.■ DH = BC =a, AH = AC 二 三点在一条直线上，连结 BF 、CD.过 C 作 CL 丄DE, 交AB 于点M,交DE 于点 L.•・• AF = AC, AB = AD,ZFAB = ZGAD,・•・ A FAB 9 A GAD,丄2・・・△ FAB 的面积等于产,A GAD 的面积等于矩形ADLM的面积的一半，・•・矩形ADLM 的面积同理可证，矩形MLEB 的而积二庆.•・・正方形ADEB 的面积二矩形ADLM 的面积+矩形MLEB 的面积.•・ c 2 =a 2 +b 2 ,即 a 2 +b 2 =c 2.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt A ABC 中，设直角边AC 、BC 的长度别离为a 、b,斜边AB 的长为c, 过点C 作CD1AB,垂足是D. 在AADC 和AACB 中， •・• ZADC = ZACB = 90°,ZCAD = ZBAC,・•・ AADC s AACB.AD ： AC = AC : AB,即 AC 2 =AD^AB,同理可证，ACDB s AACB,.・・ AC 2+BC 2 =（AD + DB^AB =AB 2 f 即 a 2-vb 2=c\ 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长别离为a. b （b>a ）,斜边长 为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF 丄AC, AF 交GT 于F,AF 交DT 于R.过B 作BP 丄AF,垂足为P.过D 作DE 与CB 的延长线从而有BC —BD ・AB.由作法可知，PBCA 是一个矩形,因此 Rt A APB 9 Rt A BCA.即 PB 二 CA =b, AP 二 a,从而 PH 二 b-a. A E B a9 Rt A BCA ,9 Rt A BCA. RtA DHA . =a, ZGDT = ZHDA .90° , ZDHF 二 90° , ZGDH = ZGDT + ZTDH = ZHDA+ ZTDH 二 90° ,・•・DGFH 是一个边长为a 的正方形.・•・ GF = FH = a . TF 丄 AF, TF = GT-GF = b-a .・•・TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b-a,下底BP 二b,高FP F + （b-a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为c* = S] + S? + S3 + S4 + S5・・ + S 3 + S 4 =—[/? + (b - 6/)] • \ci + (b -t/)]S 5 =+ s ... S3+S4 =b 2 _*”_S8二 b 2_s _s ^ 把②代入①，得c° = S] + S? +方~ — S 、—+ S& + S9•・• Rt A DGT Rt A DHA ・•・ Rt A DGT ・•・DH = DG 又J ZDGT = 【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长别离为a 、b （b>a ）,斜边的长为c.做三个边长别 离为3、b 、C 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E. G 三点在一条直线上. 用数字表示而积的编号（如图）.••• ZTBE = ZABH 二 90°, ・•・ ZTBH = ZABE.XV ZBTH 二 ZBEA 二 90°,BT 二 BE 二 b,/. Rt A HBT 9 Rt A ABE./. GH 二 GT-HT 二 b-a.XV ZGHF + ZBHT 二 90°,ZDBC + ZBHT 二 ZTBH +••• ZGHF 二 ZDBC,J DB 二 EB-ED 二 b-a,ZHGF 二 ZBDC 二 90°,・•・ Rt AHGF £ Rt A BDC.即 =52.过Q 作QM 丄AG,垂足是M.由ZBAQ = ZBEA = 90°,可知 ZABE二 ZQAM,而 AB 二AQ 二 c,因此 Rt A ABE 9 Rt A QAM .又 Rt A HBT 9 2 b 2 +S 2+S 9・•・ RtAQMF 9 Rt A ARC.即 .•/ c 2 = S] + S2 + 比 + S4 + S5 , a 2 =S }+S 6^ b 2 =53 +57 +58即 a 2^b 2=c\【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt AABC 中，设直角边BC = a, AC = b,斜边AB = c.如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线别离于D 、E,则BD = BE = BC = a.因为ZBCA = 90°,点C 在。
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勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abcab ba214214222⨯+=⨯++， 整理得222cba=+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214cab b a +⨯=+. ∴ 222cba=+.D G C F A HE B a b ca bc a bc a b c bababa b a c b a cb acb ac bac b a cb aa b a b c cA B CD E 【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴()22214ca b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠D EC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221cab b a+⨯=+.∴ 222cb a =+.ba cG DACBFEHP HGFE D CB A a b c abca b c a bc c c c b ac b a A BCEFP Q M N 【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S ba⨯+=+abS c2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点 F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ，∵ ΔFAB 的面积等于221a， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积=2a.同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b ac += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即ABAD AC∙=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 ABBD BC ∙=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =∙+=+，即 222cba=+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H . ∵ ∠BAD = 90º，∠P AC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC .又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . ABD C acb987654321P Q R TH GFE D CBA ab cabccc cb acbaABC DEFG H MLK由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 =abb212-，985S S S +=，∴824321S ab bS S --=+=812S S b-- . ②把②代入①，得 98812212S S S S bS S c++--++== 922S S b++ =22ab+.∴ 222cb a=+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º， ∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABEM HQR T G F E D C B A cb a 87654321= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c++++=，612S S a+=，8732S S S b++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =， ∴8736122S S S S S ba++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222cba=+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得ADAE AC∙=2=()()BDAB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c-， 即22acb-=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴ 222ACBCAB +=，即 222bac+=，∴ 222cb a=+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，ab aaBACEDcbaca b cACB D∴ ()()()BFAFCDBDCEAEAB BC AC+-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+， 即 ()222242crc rab ba ++=++，∵abS ABC 21=∆， ∴ ABCS ab ∆=42，又∵AOCBOC AOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= =brar cr 212121++=()rc b a ++21= ()rc c r ++221= rcr+2，∴ ()ABCS rcr∆=+442，∴ ()abrcr242=+，∴ 22222c ab ab b a+=++， ∴ 222cba=+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222cba≠+，即假设 222ABBCAC ≠+，则由AB AB AB∙=2=()BDADAB +=BDAB AD AB∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BDAB BC ∙≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222ABBCAC≠+的假设不能成立.c b a r r rOFEDC BAABDCacb∴ 222c ba =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()abbab a2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214cab b a+⨯=+ =22cab+.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222cba =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ， 则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c .∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .ab21ab21ab21ab212c2b 2a AAD D B B C Cbab a ba ba bacc ccb aab ab b aba ABC D E FGH Mab ca b c a c ab c 1234567∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG . ∵54322S S S S c+++=， 6212S S S b++=，732S S a+=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S ba++++=+=()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c∴ 222cba =+.。