二项式定理常见题型

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二项式定理中常考的几种题型

二项式定理中常考的几种题型一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。

1. 求常数项例1 （2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A. －45iB. 45iC. －45D. 45解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。

2. 求有理项例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。

解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。

故展开式中所有的有理项为3. 求幂指数为整数的项例3 （2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）A. 3项B. 4项C. 5项D. 6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。

4. 求系数最大的项例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。

解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。

例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。

解：对于二项式的展开式中要得到常数项需10－r=5，则r=5所以常数项为例6 （2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C. －74D. －121解：的展开式中，含的项为，故选D。

三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。

二项式定理的常见题型及解法特全版

Cxy
3 7
4
4
，和第 5 项
C
二、通项公式的应用
1 ．确定二项式中的有关元素
例 4．已知 (
a x 9 9 ) 的展开式中 x 3 的系数为，常数 a 的值为 x 2 4
r 3 r 9
解： Tr 1 令
r 9 a x C ( ) 9r ( ) r C9r (1) r 2 2 a 9r x 2 x 2
9 令 18 3x 9, 则 r 3 ，从而可以得到 x 的系数为：
C
3 9
1 21 21 ( ) 3 ，填 2 2 2
（备用题）：（05 年山东卷）已知 (3x
1
3
x
2
) n , n N 的展开式中各项系数和为 128，则展
开式中
1 的系数是( x3

1 的展开式中没有常数项，且 2≤n≤8， n N* ，．． 3 x
n
分析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x
1 n ) 对 n N * , 2 剟n 3 x
8 中，
只有 n 5 时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与 x 、 x 2 乘积为常数的项。故填 5。（备用题）（05 年湖北卷） (
C
1
5
11
(1) 5 462
（2）一般的系数最大或最小问题例 12．求 ( x
2 x
4
) 8 展开式中系数最大的项；
解：记第 r 项系数为 Tr ，设第 k 项系数最大，则有
Tk Tk 1 Tk Tk 1
又 Tr
C
r 1 8
.2 r 1 ，那么有

二项式定理的常考题型

二项式定理的常考题型
二项式定理是代数中常见且重要的定理之一，它可以用来展开二项式的幂。

在数学考试中，常常会出现与二项式定理相关的题目。

下面介绍几种常见的与二项式定理相关的考题类型。

1. 二项式系数的求解：考生需要根据给定的条件，求解二项式展开
式中某一项的系数。

这类题目通常需要考生运用组合数的性质，结合二项式定理进行计算。

2. 二项式展开的特定项：考生需要根据给定的条件，求解二项式展
开式中某一特定项的值。

这类题目通常需要考生根据二项式定理按照对应的系数进行计算，并注意运用组合数的性质。

3. 二项式定理与多项式的展开：考生需要将一个多项式展开成二项
式的形式。

这类题目通常需要考生运用二项式定理的逆定理，即将一个多项式写成二项式的形式。

4. 二项式定理与数列的关系：考生需要根据给定的数列，利用二项
式定理推导数列的通项公式或者递推关系。

这类题目通常需要考生观察数列的特点，利用二项式定理进行变形推导。

除了上述常见考题类型，二项式定理还可以与其他数学概念进行结合，
如排列组合、数学归纳法等。

因此，在学习二项式定理时，需要注意将其与其他数学概念进行联系，深化对二项式定理的理解，并灵活运用于解决各类数学问题。

二项式定理经典题型及详细答案

二项式定理经典考点例析考点1：二项式系数与项的系数1、在28(2x -的展开式中，求：（1）第5项的二项式系数及第5项的系数.（2）2x 的系数.2.若1()nx x+展开式中第2项与第6项的系数相同，则展开式的中间一项的系数为___________.3.已知二项式102)3x求（1）第四项（2）展开式第四项的二项式系数（3）展开式第四项的系数考点2：二项式定理逆用1、5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-=_____________2、5432)12()12(5)12(10)12(10)12(51+-+++-+++-x x x x x =_____________考点3：求二项式展开式中的特定项、某一项【例题】 1、二项式3522()x x-的展开式中5x 的系数___________；2. 二项式43(1)(1x -的展开式中2x 的系数是___________.3.若4(1a +=+（,a b 为有理数），则a b +=___________.4.二项式8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为___________.5、二项式53)31()21(x x -+的展开式中4x 的系数___________.【练习】1.二项式4(1)x +的展开式中2x 的系数为___________..2.二项式210(1)x -的展开式中，4x 的系数为___________.3.二项式6展开式中含2x 项的系数为___________. 4.二项式533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数___________.、常数项和有理项【例题】 1. 二项式61(2)2x x-的展开式的常数项是___________.2、二项式100的展开式中x 的系数为有理数的项的个数___________.3. 二项式261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为___________.4.二项式5)12(++xx 的展开式中常数项是___________. 【练习】1.8(2x -的展开式中的常数项___________. 2.在261()x x+的展开式中，常数项是___________.3.二项式5)44(++xx 的展开式中常数项是___________. 4.二项式54)31()21(xx -+的展开式中常数项是___________. 考点4：求展开式中的各项系数之和的问题1、已知7270127(12)...x a a x a x a x -=++++.求：（1）0a ；（2）763210a a a a a a ++++++ ；（3）763210a a a a a a -++-+-（4）6420a a a a +++；（5）7531a a a a +++；（6）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++. （7）||||||||||||763210a a a a a a ++++++ .（8）7766321022842a a a a a a ++++++ ；（9）7766321022842a a a a a a ++++++； 2.在二项式9(23)x y -的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；（3）所有奇数项系数之和；（4）所有项的系数的绝对值之和.3.利用二项式nn n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 432210)1(展开式nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 32842)4(2)3(0)1()2(2)1(3210153142032103210=+++++=+++=+++=-++-+-=+++++-考点5：多项式的展开式最大项问题【例题】1、二项式9)21(x +展开式中，(1)二项式系数的最大项 (2)系数的最大项 2、二项式12)21(x -展开式中（1）求展开式中系数的绝对值最大的项.（2）求展开式中系数最大的项.（3）求展开式中系数最小的项.3、已知()(1)(12)(,)m n f x x x m n N +=+++∈的展开式中含x 项系数为11，求()f x 展开式中2x 项系数的最小值．4、n xx )1(4+展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为__________．【练习】1、2102()x x+的展开式中系数最大的项； 2、求7(12)x -展开式中系数最大的项．3、设x =50(1)x +展开式中第几项最大？4、已知()nx x 2323+展开式中各项系数的和比各项的二项式系数的和大992，（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.考点6：含参二次函数求解【例题】1.【特征项】在二项式25()a x x-的展开式中x 的系数是-10，则实数a 的值是___________.2.【常数项】若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是___________.3.【有理项】已知n的展开式中，前三项的系数成等差数列，展开式中的所有有理项________. 4.【特征项】在210(1)x px ++的展开式中，试求使4x 项的系数最小时p 的值.5.【系数最大】已知1(2)2nx +的展开式中，第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项．【练习】1.若9()a x x-的展开式中3x 的系数是-84，则a =___________.2.已知2)n x的展开式中第5项系数与第3项的系数比56:3，则该项展开式中2x 的系数_____. 3.若二项式22()nx x-的展开式中二项式系数之和是64，则展开式中的常数项为___________ 4.已知(13)nx +的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项．考点7：求解某些整除性问题或余数问题1. 求证22*389()n n n N +--∈能被64整除.2. 9291被100整除所得的余数为_________ 3. 设21(*)n k k N =-∈，则11221777...7nn n n n n n C C C ---+⋅+⋅++⋅被9除所得的余数为_________4. 求证：（1）51511-能被7整除；（2）2332437n n +-+能被64整除.5. 如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n ，经过33(275)n n +++天是星期几？考点8：计算近似值1、求60.998的近似值，使误差小于0.001. 2、求51.997精确到的近似值.考点9：有关等式与不等式的证明化简问题1、求121010101010124...2C C C ++++的值. 2、化简：1231248...(2)nnn n n n C C C C -+-++-. 3、求证：01121*(2)!...()(1)!(1)!n nn n n n n n n C C C C C C n N n n -+++=∈-+.4、证明下列等式与不等式（1）123123 (2)nn n n n n C C C nC n -++++=⋅.（2）设,,a b c 是互不相等的正数，且,,a b c 成等差数列，*n N ∈，求证2nnna cb +>. 【练习】1、=++++nn n n n n C C C C 2222210 ；2、=-++-+-nn n n n n n n C C C C C 2)1(22232210 ； 3、求证：12122-⋅=+++n n n n n n nC C C4、求证：nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++5、已知7292222210=++++nn n n n n C C C C ，求n n n n C C C +++ 21考点10：创新型题目1、对于二项式(1-x)1999，有下列四个命题：①展开式中T 1000= －C 19991000x999；②展开式中非常数项的系数和是1；③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；④当x=2000时，(1-x)1999除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的命题序号都填上） 2、规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C的值；(2) 设x >０，当x 为何值时，213)(xxC C 取得最小值(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mx C （x ∈R，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.3、对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．。

二项式定理的常见题型及解法

二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。

二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。

二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。

本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。

一、求二项展开式1.“（“+〃）"”型的展开式例1.求（3« + J）4的展开式：解：原式=（亨）4 = 3 y/x X-=3Gt），+ 0： 3靖 +（3x）2 + d 由）+。

：］A= -4（8 lx4 + 84x3 + 54x2 +12x +1） =81x2 +84x+—+ -4 + 54厂x 厂2."（“一匕）"”型的展开式例2.求（36一，=）4的展开式：分析：解决此题，只需要把（34一3）4改写成［36+（—一的形式然后按照二项展开式yjx y］X 的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3.二项式展开式的“逆用”例3.计算1—3C：+9C：—27C：+~・+（-1）"3"C；：解：原式=<7>d（一到+C：（-3）2+C：（—3）3+....+ C»3）” =（1-3）” =（-2）”二、通项公式的应用1.确定二项式中的有关元素a反 Q? 9例4.已知（一一1一）’的展开式中工3的系数为一，常数4的值为______________x V 2 4解：= C；（色尸（J） = G；（-l）r-2^ •，产「x V 23 Q令三•一9 = 3,即〃=8依题意，得C；（一1）8・27.。

内=“解得。

=一12.确定二项展开式的常数项例5.（五一二，）1°展开式中的常数项是]5-5 5解：7；+1 =c;Q ^）i0-r （--y=（-\yc;0-x 令5—7r= 5 即r= 6. 所以常数项是（-l ）6c* =2103 .求单一二项式指定器的系数例6.（』一一-）9展开式中X 9的系数是 _____________ 2%解:心=仁“产（-/ =仁”2（一'7=仁（-；）“心令18 - 3x = 9,则广=3,从而可以得到的系数为：。

二项式定理的常见题型解析

● ●
划要求：新桥ＢＣ与河岸ＡＢ垂直；保护区的边界为圆心Ｍ在线段０Ａ上并与ＢＣ相切的圆．且古桥两端０和Ａ到该圆上任意一点的距离均不少于８０ｍ．经测量，点Ａ位于点Ｏ正北方向６０ｉｎ处，点ｃ位于点０正东方向１７０ｍ处（ＯＣ为河
一、求特定项特定项是指含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等，这类题常利用二项式展开式的通项公式来求解．
例１（１）若（√ 展开式中前三项系数成等差
数列，求展开式中所有的有理项．思路导析通过第一、二、三项系数成等差数列可求出
Ｃｌ￣ｏ
，
相加得
２Ｓ＝１０·２即
Ｓ＝５·２，所以
Ｅａｎｂ２＝
∑ｎＣｉ＇ｏ＋∑ｃ＝５·２＋２一１＝６１４３．
四、整除问题利用二项式展开式来解决整除问题很方便，关键是如何拆分成二项的和．
（下转１２１页）
酸学学习与研究２０１８．３
● ●
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解题技巧与方法
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孽●、或定理的常驰题解橱
◎杨丙华（江苏省如东县丰利中学，江苏南通２２６４０８）
二项式定理在高考中经常考查，其内容是初中所学多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式—— 二项式乘方的展开式，是培养观察、归纳能力的好题材．在高中数学中二项式定理主要有以下几种题型：求特定项、系数、求值等问题；证明整除问题；证明等式和不等式成立问题．下面就这几种题型加以阐述．

二项式定理常见题型(老师用)

二项式定理1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项rn rr n C ab -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。

二项式定理经典习题(29题)

一．选择题（共19小题）1．（ax+y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝（）A．2B．±2C．D．±2．的展开式中x3的系数为（）A．5B．﹣5C．15D．﹣153．已知二项式（x+）n的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中含x3项的系数是（）A．1B．C．D．34．（x﹣1）5展开式中x4项系数为（）A．5B．﹣5C．10D．﹣105．的展开式中常数项为（）A．﹣240B．﹣160C．240D．1606．（1+x）5展开式中x2的系数为（）A．﹣10B．﹣20C．20D．107．的展开式中含x5项的系数是（）A．﹣112B．112C．﹣28D．288．的展开式中x3的系数为（）A．﹣160B．﹣64C．64D．1609．二项式的展开式中的常数项是（）A．﹣15B．15C．20D．﹣2010．若的展开式中常数项为240，则正整数n的值为（）A．6B．7C．8D．911．（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（）A．B．C．D．12．展开式中的常数项是（）A．﹣160B．﹣140C．160D．14013．（x﹣2y﹣1）5的展开式中含x2y2的项的系数为（）A．﹣120B．60C．﹣60D．3014．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（）A．14B．16C．18D．2015．设n为正整数，（2x2+）n的展开式中存在常数项，则n的最小值为（）A．2B．3C．4D．516．在（2x+1）4的展开式中，x2的系数为（）A．6B．12C．24D．3617．在的展开式中，的系数为（）A．﹣30B．﹣20C．﹣10D．3018．的展开式中，x2的系数等于（）A．﹣45B．﹣10C．10D．4519．（x+2y）（x﹣y）5的展开式中x2y4的系数为（）A．﹣15B．5C．﹣20D．25二．填空题（共10小题）20．已知（a+x）（1+x）6的展开式中x2的系数为21，则a＝．21．展开式中所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为.（用数字作答）22．（x﹣2y+1）5展开式中含x2y项的系数为．23．的展开式中项的系数为．24．的展开式中，常数项为（用数字作答）．25．（x﹣1）（x+2）8的展开式中x8的系数为（用数字作答）．26．在的展开式中，xy7的系数为．27．（x2﹣y）（）6的展开式中，其中不含x的项为．28．在的展开式中，常数项等于．（用数字作答）29．（x2+y+3）6中x4y的系数为（用数字作答）．。

二项式定理题目

二项式定理题目1. 二项式定理的基本内容- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)叫做二项式系数。

- 例如(x+2)^3，根据二项式定理n = 3，则(x +2)^3=C_3^0x^32^0+C_3^1x^22^1+C_3^2x^12^2+C_3^3x^02^3。

- 计算二项式系数C_3^0=(3!)/(0!(3 - 0)!)=1，C_3^1=(3!)/(1!(3 - 1)!)=3，C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=3，C_3^3=(3!)/(3!(3 - 3)!)=1。

- 所以(x + 2)^3=x^3+6x^2+12x + 8。

2. 求二项展开式中的特定项- 例：求(2x-(1)/(x))^6展开式中的常数项。

- 首先根据二项式定理(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，这里a = 2x，b=-(1)/(x)，n = 6。

- 展开式的通项公式为T_r+1=C_6^r(2x)^6 - r(-(1)/(x))^r=C_6^r2^6 - rx^6 - r(-1)^rx^-r=C_6^r2^6 - r(-1)^rx^6 - 2r。

- 要求常数项，则令x的指数6 - 2r = 0，解得r = 3。

- 把r = 3代入通项公式中的系数部分C_6^32^6 - 3(-1)^3。

- 计算C_6^3=(6!)/(3!(6 - 3)!)=20，2^6 - 3=8，(-1)^3=-1。

- 所以常数项为C_6^32^6 - 3(-1)^3=20×8×(-1)= - 160。

3. 二项式系数的性质- 性质一：对称性，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。

- 例如在(a + b)^5中，C_5^1=C_5^4，C_5^2=C_5^3。

二项式定理相关练习题

二项式定理相关练习题一、基础题1. 已知 $(x + y)^5$ 的展开式中，$x^2y^3$ 的系数是多少？2. 求 $(a 2b)^4$ 的展开式中，$a^3b$ 的系数。

3. 已知 $(x \frac{1}{x})^6$ 的展开式，求其中 $x^3$ 的系数。

4. 计算 $(3x 4y + 5z)^2$ 的展开式中，$x^2$ 的系数。

5. 已知 $(2x + 3y 4z)^5$ 的展开式，求其中 $y^3z^2$ 的系数。

二、提高题1. 在 $(x + \frac{1}{x})^8$ 的展开式中，求常数项和$x^4$ 的系数。

2. 已知 $(a + b + c)^3$ 的展开式，求其中 $a^2b^2$ 的系数。

3. 计算 $(x^2 + \frac{1}{x})^5$ 的展开式中，$x^3$ 的系数。

4. 在 $(2x 3y + 4z)^4$ 的展开式中，求 $x^2y^2$ 的系数。

5. 已知 $(3a 4b + 5c)^6$ 的展开式，求其中 $a^3b^3c^3$ 的系数。

三、应用题1. 设 $(x + \frac{1}{x})^n$ 的展开式中，常数项为 40，求$n$ 的值。

2. 已知 $(a + b)^n$ 的展开式中，$a^3b^2$ 的系数为 60，求$n$ 的值。

3. 在 $(2x 5y)^7$ 的展开式中，求 $x^5y^2$ 的系数，并判断该系数是奇数还是偶数。

4. 计算 $(x^2 \frac{1}{x})^6$ 的展开式中，$x^4$ 的系数，并说明该系数的正负性。

5. 已知 $(3a + 4b)^n$ 的展开式中，$a^2b^3$ 的系数为 144，求 $n$ 的值。

四、综合题1. 若 $(x \frac{1}{2x})^8$ 的展开式中，$x^4$ 的系数为$70$，求 $x^6$ 的系数。

2. 在 $(a + b)^{10}$ 的展开式中，找出系数最大的项。

二项式定理九种常见的考查题型归纳

二项式定理常见的题型归纳吴友明整理题型一：指定项有关的问题例1.在12)13(xx -展开式中,3-x 的系数为 . 解析:由二项式定理的通项公式得1121212211212(3)(3(1)r r rr r r r rr T C x C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 312122123(1)rrrr C x--=⋅-⋅⋅.令31232r -=-可得10r =,即121010103311123(1)594T C x x ---=⋅-⋅⋅=.故3-x 项的系数为594.点评:解决此类问题的一般策略是：先求二项式展开式的通项，再利用化简后的通项与指定项之间的联系求解。

特别题型解题之前先确认题目是求二项式的展开式的系数或二项式的系数，另外二项式的展开式的通项化简时，要注意指数运算的性质的准确运用.练习.若n xx x )1(3+的展开式的常数项为84,则n = .解析:由二项式定理的通项公式得333321()r r n rrr n rr nnT C x C xx---+=⋅⋅=⋅⋅932n rr nC x-=⋅.令9302n r -=可设3,2n k r k ==,其中k N +∈. 故有23384r k kn k k C C C ===,解得3k =.故39n k ==.题型二：有理项有关的问题例2. 二项式24展开式中，有理项的项数共有（）项A. 3B. 4C. 5D. 7 解析:由二项式定理的通项公式得241136424r !2424T ---+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭rrr r r C x x C x，其中0,1,2,,24r =L ，由题意得364r Z -∈，则0,4,8,12,16,20,24r =，所以共有7个有理项点评: 有理项是指变量的指数是整数（可以是正整数，也可以是负整数和零）的项，所以此类问题的一般解题思路是：先求二项式的展开式的通项，化简后令x 的指数为整数解决问题。

二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数： 3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容1．二项式定理： 011()()nnnrn rrn n n n nna b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++Î ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

的二项展开式。

②二项式系数②二项式系数::展开式中各项的系数r nC (0,1,2,,)r n =×××. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r nC a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr nTC a b -+=表示。

表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()n b a +是不同的。

是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ××××××项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++Î 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()nr rnn n n n n nnx C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-Î 5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n nnC C =，···1k k nn C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nnnnnnC C C C C ++++++=，变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=- 。

二项式定理10种题型

二项式定理10种题型
二项式定理相关的10种题型如下：
1. 利用通项公式求某项的系数。

2. 利用通项公式求某项的值。

3. 利用通项公式确定有理项。

4. 利用通项公式确定系数和。

5. 求奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和。

6. 求二项式定理中的最大系数和最大项。

7. 含有三项变两项的问题。

8. 两个二项式的乘法问题。

9. 奇数项的系数和与偶数项的系数和。

10. 利用赋值法求解二项式定理中的系数和或者特定项的值。

此外，常见的题型还有求展开式的各项系数和、求展开式的常数项等。

如需更多关于二项式定理的题型，建议咨询数学教师或查阅数学教材教辅材料，获取更全面的题型资料。

二项式定理中常考的几种题型

2. 求有理项例2 已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。

解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。

4. 求系数最大的项例4 已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。

解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=81又设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。

例5 （2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。

三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。

二项式定理常见题型

3．计算12313927....(1)3nn nn n n n C C C C -+-++-；5．(2x －1)6的展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．60 C ．120 D ．2406．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是8.求62)321(x x -+的展开式里x 5的系数.9.求（1+x +x 2+x 3）（1－x ）7的展开式中x 4的系数；10.求（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50的展开式中x 3的系数.4.求系数最大或最小项 22．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是；29．（04天津）若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；题型四：利用二项式定理求近似值31．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；题型五：利用二项式定理证明整除问题32．（02潍坊模拟）求证：15151-能被7整除。

33.若C n 1x ＋C n 2x 2＋…＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝4，n ＝3B ．x ＝4，n ＝4C ．x ＝5，n ＝4D ．x ＝6，n ＝5解：原式=4)13(xx +=24)13(x x +=])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++=)112548481(12342++++x x x x x=54112848122++++xx x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

分析：解决此题，只需要把4)13(xx -改写成4)]1(3[xx -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

二项式定理(题型全归纳)

⼆二项式定理理—题型全归纳题型⼀一：⼆二项式定理理的逆⽤用1．（2021春•肇庆期末）设n∈N*，C•3n﹣C•3n﹣1•21+C•3n﹣2•22+…+（﹣1）k C•3n﹣k•2k+…+（﹣1）n C•2n＝（）A．5n B．﹣5n C．1D．﹣12．（2021春•安徽期末）估算的结果，精确到0.01的近似值为（）A．30.84B．31.84C．30.40D．32.16题型⼆二：利利⽤用通项公式求x n的系数4．（2021秋•杭州期中）（1﹣2x）6展开式中，x3的系数为（）A．20B．﹣20C．160D．﹣1605．（2021秋•贵州⽉月考）在（x﹣）5的展开式中，x2的系数是﹣10，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．（2021•武功县开学）（﹣）5的展开式中x的系数为（）A．﹣10B．10C．﹣40D．40 7．（2021•⾦金金安区校级模拟）的展开式中x3的系数为（）A．B．C．64D．﹣128题型三：利利⽤用通项公式求常数项8．（2021秋•贵阳⽉月考）的展开式中的常数项为（）A．﹣120B．120C．﹣60D．609．（2021秋•荔湾区校级⽉月考）展开式中的常数项为﹣160，则a＝（）A．﹣1B．1C．±1D．210．（2021•瓮安县校级模拟）当a为常数时，展开式中常数项为15，则a＝（）A．2B．﹣1C．1D．±1题型四：利利⽤用通项公式确定有理理项11．（2021•⻩黄浦区校级开学）在的展开式中，有理理项共有（）项A．3B．4C．5D．612．（2021•⼴广州模拟）的展开式中有理理项的个数为（）A．50B．33C．34D．3513．（2021春•渝中区校级期末）⼆二项式的展开式中，系数为有理理数的项的个数为（）A．6B．5C．4D．3。

二项式定理题型种种及解析

二项式定理题型种种及解析
二项式定理主要应用在排列组合概念上，可以求解给定n个物体，选择m个物体排列组合成一组并且可以重复计算出选择不同个数的物体组合的数量。

二项式定理考题主要有以下几种：
一、从n个元素中取m个元素的所有可能性
这种考题的关键就在于搞清楚n个元素中取m个元素的所有可能性有多少种。

二项式定理可以游刃有余的解决这种题目，前提条件是没有重复的元素选择。

具体的求解方法是运用二项式定理：Cnm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)／m!
二、从n个元素中取m个元素的组合数
二项式定理也可以求解从n个元素中取m个元素的组合数，它可以求出在选取不需要重复元素的情况下，挑选m个组合的数量。

公式是：组合数＝C（n，m）/m!
三、n的阶乘的计算
二项式定理也可以求解n的阶乘，其计算公式是：n!=n(n－1)(n－2) (1)
／2!，也就是二项式定理中NSm=0时的值。

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用1r n r rr nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n nn n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，从而得到：0242132111222r r nn n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=⨯=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1, (1)1,(1)n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2n n n n nn a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值。

如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n nC-,12n nC+同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求()na bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别为121,,,n A A A +⋅⋅⋅，设第1r +项系数最大，应有112r rr r A A A A +++≥⎧⎨≥⎩，从而解出r 来。

6．二项式定理的十一种考题的解法：【题型一：二项式定理的逆用】【例1】：12321666 .n n n n n n C C C C -+⋅+⋅++⋅=L解：012233(16)6666n n nn n n n n C C C C C +=+⋅+⋅+⋅++⋅L 与已知的有一些差距，123211221666(666)6nn n n n n n n n n n C C C C C C C -∴+⋅+⋅++⋅=⋅+⋅++⋅L L 0122111(6661)[(16)1](71)666n n n n n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅-=+-=-L【练1】：1231393 .n nn n n n C C C C -++++=L解：设1231393n nn n n n n S C C C C -=++++L ，则122330122333333333331(13)1n n n nn n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)14133n n n S +--∴==【题型二：利用通项公式求n x 的系数】【例2】：在二项式n+的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？解：由条件知245n n C -=，即245n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，由2102110343411010()()r r r rrr r T C x x C x--+--+==，由题意1023,643r r r --+==解得，则含有3x 的项是第7项6336110210T C x x +==,系数为210。

【练2】：求291()2x x-展开式中9x 的系数？解：291821831999111()()()()222r r r r r r r rr r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则3r =故9x 的系数为339121()22C -=-。

【题型三：利用通项公式求常数项】【例3】：求二项式210(x 的展开式中的常数项？解：5202102110101()()2r r r r r r r T C x C x --+==，令52002r -=，得8r =，所以88910145()2256T C ==【练3】：求二项式61(2)2x x -的展开式中的常数项？解：666216611(2)(1)()(1)2()22r r r r r r r r rr T C x C xx ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以3346(1)20T C =-=-【练4】：若21()n x x +的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =解：4244421251()()n n n n T C x C xx--==，令2120n -=，得6n =. 【题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项】【例4】：求二项式9展开式中的有理项？解：12719362199()()(1)r r rrrr r T C x x C x--+=-=-，令276rZ -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，所以当3r =时，2746r -=，334449(1)84T C x x =-=-，当9r =时，2736r -=，3933109(1)T C x x =-=-。

【题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和】【例5】：若n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .解：设n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ⋅⋅⋅1x =-令,则有010,n a a a ++⋅⋅⋅=①，1x =令,则有0123(1)2,n nn a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-=② 将①-②得：1352()2,n a a a +++⋅⋅⋅=-11352,n a a a -∴+++⋅⋅⋅=-有题意得，1822562n --=-=-，9n ∴=。

【练5】：若n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

解：024*******r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅=Q L ，121024n -∴=，解得11n =所以中间两个项分别为6,7n n ==，565451462nT C x -+==⋅，611561462T x -+=⋅【题型六：最大系数，最大项】【例6】：已知1(2)2n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解：46522,21980,n n n C C C n n +=∴-+=Q 解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二项式系数最大的项是45T T 和34347135()2,22T C ∴==的系数，434571()270,2T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，7778141C ()234322T ∴==的系数。

【练6】：在2()na b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即2112n n T T ++=，也就是第1n +项。

【练7】：在(2n x 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解：只有第5项的二项式最大，则152n +=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281()72C =【例7】：写出在7()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，43457T C a b =系数最大。

【例8】：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2n x +的展开式中系数最大的项？解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，12121211(2)()(14)22x x +=+Q1111212111212124444r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++⎧≥≥⎧⎪∴=⎨⎨≥≥⎪⎩⎩，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤Q ，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有121010101011121()4168962T C x x ==【练8】：在10(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？解：假设1r T +项最大，1102r r r r T C x +=⋅Q111010111121010222(11)12(10)22,r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++⎧≥≥-≥⎧⎧⎪∴=⎨⎨⎨≥+≥-≥⎩⎪⎩⎩解得，化简得到6.37.3k ≤≤，又010r ≤≤Q ，7r ∴=，展开式中系数最大的项为7777810215360.T C x x == 【题型七：含有三项变两项】【例9】：求当25(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时124125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为1445423C C x 它的系数为1445423240C C =。