第一讲 选择题、填空题的解题策略

∴cos〈a，b〉＝－12，∴〈a，b〉＝23π.
(2)(2015·山பைடு நூலகம்东 高 考 )设函数
f(x)
＝
3x－b，x<1， 2x，x≥1.
若
ff56＝4，则 b＝(
)
7
A.1
B.8
3
1
C.4
D.2
解析：选 D f56＝3×56－b＝52－b，若52－b<1，即 b>32，
则 3×52－b－b＝125－4b＝4，解得 b＝78，不符合题意，舍
A．m∥α，n∥β，且 α∥β，则 m∥n B．m⊥α，n⊥β，且 α⊥β，则 m⊥n C．m⊥α，m⊥n，n⊂β，则 α⊥β D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则 α∥β
解析：选 B A：m 与 n 的位置关系为平行，异面或 相交，∴A 错误；B：根据面面垂直的性质可知正确；C： 由题中的条件无法推出 α⊥β，∴C 错误；D：只有当 m 与 n 相交时，结论才成立，∴D 错误．
A．{x|－1<x≤0} C．{x|－1<x≤1}
B．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1<x≤2}
解析：选 C 令 g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数 g(x) 图象如图．
由yx＝＋lyo＝g22x，＋1， 得xy＝＝11.， ∴结合图象知不等式 f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－ 1<x≤1}．
2．(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 f(x) ＝xa(x>0)，g(x)＝logax 的图象可能是( )
解析：选 D 根据对数函数的图象特点知函数图象
一定过点(1，0)，确定四个图象中的对数函数曲线，从图
象上知只有 C 中对数函数单调递增，由此判断 a>1，不
妨取 a＝2，此时幂函数为 f(x)＝x2，其图象为开口向上
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理； 第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的 结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方 法求解．
1．(2015·南昌模拟)已知等比数列{an}满足 an>0，
n＝1,2,3，…，且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，当 n≥1 时，log2a1
排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目 中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与 之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围 内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得到正确的答案．它与特 例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法．
(2015·贵阳模拟)设 m，n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
适用范围：涉及概念、性质的辨析或运算较简单的 题目常用直接法．
[典例 1] (1)(2015·重庆高考)已知非零向量 a，b 满足 |b|＝4|a|，且 a⊥(2a＋b)，则 a 与 b 的夹角为( )
π
π
2π
5π
A.3
B.2
C. 3
D. 6
解析：选 C ∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0， ∴2|a|2＋a·b＝0， 即 2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0. ∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
适用范围：适用于题目中含有字母或具有一般性结论的 选择题．
[典例 3] (1)设[x]表示不大于 x 的最大整数，则对任意
实数 x，有( )
A．[－x]＝－[x]
B.x＋12＝[x]
C．[2x]＝2[x]
D．[x]＋x＋12＝[2x]
解析：选 D 当 x＝12时，可排除 A，B，C.
(2)如图，在棱柱的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一动点 P，Q 满足 A1P＝BQ，过 P，Q，C 三点的截面把棱柱分成两部分， 则其体积之比为( )
A．3∶1 C．4∶1
B．2∶1 D. 3∶1
解析：选 B 将 P，Q 置于特殊位置：P→A1，Q→B， 此时仍满足条件 A1P＝BQ(＝0)，则有 VC-AA1B＝VA1-ABC ＝VABC-3A1B1C1.
特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题 目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法 解选择题时，要注意以下两点：
＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )
A．n(2n－1)
B．(n＋1)2
C．n2
D．(n－1)2
解析：选 C 因为 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，所以令 n ＝3，代入得 a5·a1＝26，再令数列为常数列，得每一 项为 8，则 log2a1＋log2a3＋log2a5＝9＝32.
解析：选 A 不妨取点 P4，95，则可计算 S1＝3－95 ×(5－4)＝65，S2＝12×(4－2)×95－35＝65，所以 S1∶S2＝ 1.
1．(2015·洛阳模拟)若直线 l：ax＋by＋1＝0(a≥0，
b≥0)始终平分圆 M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0 的周长，则
a2＋b2－2a－2b＋3 的最小值为( )
4 A.5
9 B.5
C．2
9 D.4
解析：选 B 因为直线 ax＋by＋1＝0 始终平分圆 x2 ＋y2＋4x＋2y＋1＝0 的周长，所以圆心(－2，－1)在直线 ax＋by＋1＝0 上，从而 2a＋b－1＝0.a2＋b2－2a－2b＋3 ＝(a－1)2＋(b－1)2＋1，而(a－1)2＋(b－1)2 表示点(1,1) 与直线 2a＋b－1＝0 上任一点距离的平方，其最小值 d2min ＝|2×1＋221＋×112－1|2＝45，所以 a2＋b2－2a－2b＋3 的最 小值为45＋1＝95.
2．(2015·宝鸡模拟)已知直线 l：x－y－m＝0 经过抛物 线 C：y2＝2px(p>0)的焦点，l 与 C 交于 A、B 两点．若|AB| ＝6，则 p 的值为( )
1 A.2 解析：选 B
3 B.2
C．1
D．2
因为直线 l 过抛物线的焦点，所以 m＝p2.
联立x－y－p2＝0， y2＝2px，
一般来说，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计 算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用 间接法的，就不必采用直接法；对于明显可以否定的选项 应及早排除，以缩小选择的范围；初选后要认真检验，确 保准确．
涉及数学定理、定义、法则、公式应用的问题，通 常通过直接演算出结果，与选项比较作出选择．
在“限时”的高考考试中，解答选择题不但要 “准”，更要“快”，只有“快”，才能为后面的解答题 留下充足的时间．而要做到“快”，必然要追求“巧”， “巧”即“不择手段、多快好省”．由于数学选择题是四 选一的形式，因而在解答时应突出一个“选”字，要充分 利用题干和选项两方面提供的信息，尽量减少书写解题过 程，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法， 以便快速解答．
适用范围：这种方法适用于直接法解决问题很困难或者 计算较繁琐的情况．
[典例 2] (1)(2015·福建高考)下列函数为奇函数的
是( )
A．y＝ x
B．y＝ex
C．y＝cos x
D．y＝ex－e－x
解析：选 D 对于 A，定义域不关于原点对称，故
不符合要求；对于 B，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对
(2)(2015· 天 津 高 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
2－|x|，x≤2， x－22，x>2，
函数 g(x)＝3－f(2－x)，则函数 y＝f(x)
－g(x)的零点个数为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：选 A 当 x>2 时，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2；当 0≤x≤2 时，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x；当 x<0 时，g(x)＝3－x2，f(x)＝2＋ x.由于函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程 f(x)－g(x)＝0 的根的 个数．当 x>2 时，方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 x2－5x＋5＝0，其根 为 x＝5＋2 5或 x＝5－2 5(舍去)；当 0≤x≤2 时，方程 f(x)－g(x) ＝0 可化为 2－x＝3－x，无解；当 x<0 时，方程 f(x)－g(x)＝0 可 化为 x2＋x－1＝0，其根为 x＝－1－2 5或 x＝－1＋2 5(舍去)．所 以函数 y＝f(x)－g(x)的零点个数为 2.
由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程， 因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点 和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就 是估算法．估算法往往可以减少运算量，节省答题时间．
适用范围：当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无 法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范 围、函数图像的变化等问题，常用此种方法确定选项．
于 C，满足 f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于 D，∵f(－
x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，∴y＝ex－e－x 为奇函
数．
(2)函数 f(x)＝(1－cos x)sin x 在[－π，π]的图象大致 为( )
解析：选 C 由函数 f(x)为奇函数，排除 B；当 0≤x≤π 时，f(x)≥0，排除 A；又 f′(x)＝ －2cos2x＋cos x＋1，f′(x)＝0，则 cos x＝1 或 cos x＝－12， 结合 x∈[－π，π]，求得 f(x)在(0，π]上的极大值点为23π， 靠近 π，排除 D.
去；若52－b≥1，即 b≤32，则 252－b＝4，解得 b＝12.
直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适 用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平 时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把 握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎 实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出 错．
严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它 在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对 有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的 图象反而会导致错误的选择，图解法实际上是一种数形结合 的解题策略．
1．函数 y＝|log12x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，
则区间[a，b]的长度 b－a 的最小值是( )
A．2
3 B.2
C．3
3 D.4
解析：选 D 作出函数 y＝|log12x|的图象，如图所示，
由 y＝0，解得 x＝1，由 y＝2，解得 x＝4 或 x＝14. 所以区间[a，b]的长度 b－a 的最小值为 1－14＝34.
2．(2015·长春模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)，当 x
∈[0,2]时，f(x)＝8(1－|x－1|)，且对于任意的实数 x∈[2n
得 x2－3px＋p42＝0.设 A(x1，y1)、B(x2，
y2)，则 x1＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，p＝32.
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是 答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答 案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除， 从而获得正确结论．
的抛物线，在[0，＋∞)上的曲线不是 C 中的图象，排除
C.由于 A，B，D 中对数函数单调递减，所以 0<a<1，不
妨取
a＝12，此时幂函数为
1 f(x)＝x2，其图象形状为
D
中
形状，排除 A，B，选择 D.
从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题 特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判 断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的 情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊函数、特殊数列、 特殊值、特殊点、特殊位置、特殊图形等．
－2,2n＋1－2](n∈N*，且 n≥2)，都有 f(x)＝12fx2－1，若函 数 g(x)＝f(x)－logax 有且只有三个零点，则 a 的取值范围 为( )
A．[2,10]
B．[ 2， 10]
C．(2,10)
D．( 2， 10)
解析：选 D f(x)的图象如图所示，易得 a>1，依题意 得llooggaa41<0>4，2， ∴ 2<a< 10.
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形， 利用函数图象或数学结果的几何意义，将数的问题(如解 方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形结 合起来，利用直观性，再辅以简单计算，从而确定正确 答案．
适用范围：适用于求解问题中含有几何意义命题的 题目．
[典例 4] (1)(2015·北京高考)如图，函数 f(x)的图象 为折线 ACB，则不等式 f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )