镜像法

ra
R r2d22rdcos
R'r2d'22rd'cos
r a 41(
q
q'
)0
a2d22adcos a2d'22ad'cos
( a 2 d 2 ) q '2 ( a 2 d '2 ) q 2 2 a ( d q '2 d 'q 2 ) c o s 0
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
心的连线的延长线上。
q a q, d a 2
d
d
• | q'|>|q|，镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量
• 像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
2、点电荷位于接地导体球壳内
接地导体球壳的静电问题
➢ 球壳内的电位函数为
b
a O
P rR
q
R′ q′
非均匀感应面电荷
q
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效点 电荷产生的电位替代。
第八讲 镜像法 问题的提出
几个实例：
接地导体球附近点电荷产生的电位
等效电荷
q′
q
用等效电荷代替非 均匀感应电荷
非均匀感应电荷
等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置——镜像法。
镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。
h
l
R
R
l
第八讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
3、点电要荷满对足相在交导半体无平限面上大电接位地为导零体，平面的q1 镜像d1
则必须引入3个镜像电荷。
qq1q2q3
d2 R1
电位： q (1111) 4π R R1 R2 R3
d2 R3
1
d1
R
R2
q d2
2
d2
1
dq 601° d 2
2
q3 d1
第八讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
上半空间内的电位分布为：
(x,y,z) q (11) 4 R R'
q(
1
1
)(z 0 )
4 x 2 y 2 (z h )2 x 2 y 2 (z h )2
接地导体分界面上感应电荷分布
sD nEn n zz0
2(x2
qh y2 h2)3/2
外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。
问题：如何确定镜像电荷？
分析方法：根据电位边界条件确定。
0 a o
l
x
d
线电荷与导体圆柱
P( , )
0
oa d
l
l
x
d
线电荷与导体圆柱的镜像
第八讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像
设镜像电荷的线密度为 l ，且距圆柱的轴线为 d ，则由 l 和 l 共同
带电细线来等效替代。
b a
l
h
b a
l
h
图2 两平行导体圆柱的等效电荷
第八讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
2、两平行导体圆柱面的镜像 利用线电荷与接地导体圆柱面的
镜像确定b 。由对称性
由d a2 d
(hb)(hb)a2
b h2 a2
b a
l
h
b a
l
h
两平行导体圆柱的等效电荷
通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这 种方法又称为电轴法。
五、无限大介质分界平面的镜像
1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像
➢ 计算上半空间中的电位 由镜像法，镜像电荷须位于下半空间
➢ 计算下半空间中的电位 由镜像法，镜像电荷须位于上半空间
1、点电荷位于接地导体球面外
镜像电荷的确定
( a 2 d 2 ) q '2 ( a 2 d '2 ) q 2 2 a ( d q '2 d 'q 2 ) c o s 0
(a2d2)q'2(a2d'2)q2 0 2a(dq'2d'q2)0
P r
R
q'
a d
q
d
'
a2
d
q' q
R' a
或
导体球面上的总感应电荷与所设置的镜像电荷不相等。
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不接地导体球面外
a
导体球不接地时的特点：
• 导体球面是电位不为零的等位面
• 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电
荷分布，但总的感应电荷为零。
P r R′ R
-q′ q′
q
d2 d1
问题：如何确定镜像电荷？
d1
q2
对于非垂直相交的两导体平面
构成的边界，若夹角为 ，则 所有镜像电荷数目为2n-1个。n
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
点电荷q 位于半径为a 的接地导体 球外，距球心为d 。
球 面 上 的 感 应 电 荷 可 用 镜 像 电 荷 q' 来等效。q'应位于导体球内（不影响原 方程），且在点电荷q与球心的连线上， 距球心为d'。则有
(舍去）
q'
d' d
d' d
q
——导体球面镜像电荷
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
接地导体球边界静电问题
P
r
R
a
R' q
q'
➢ 球外的电位函数为
d' d
4π q
1
a
r2d22rdcos dr2(a2d)22r(a2d)cos
(ra)
➢ 球面上的感应电荷面密度为
S rra4πa(a2 qd (d222a a2 d)cos)32
来确定。
镜像法应用的关键点： ➢ 镜像电荷的确定 ：像电荷的个数、位置及其电量 ➢ 明确等效求解的“有效场域”。
第八讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域 q
h
h
原电荷：q , h
h
q
镜像电荷: qq,hh(求解域外)
等效问题与原问题在求解区域内边界条件及电荷分布相同。由唯一 性定理，知解唯一正确。
负电荷分布与接地球球分布相同
与 q 共同使使球面电位为0
正电荷均匀分布
使球面为电位非0的等势面
a
q
=a
+a
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不接地导体球面外
a
q
=a
+a
q" a
P
r
R
R' q
q'
d' d
q aq, d a2
d
d
a
q′
+
a q″
qqaq，d0 d
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
第八讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像
lln
1
l ln
1
C 0
2 a 2 d 2 2 a d c o s 2 a 2 d 2 2 a d c o s
将上式对φ求导，可以得到
ld(a2d2)ld(a2d2) 2add(l l)cos0
lld(a2l d02)ld(a2d2)0
d d’
q
1
a
( r a )
4 π 0 r 2 d 2 2 r d c o s dr 2 ( a 2d ) 2 2 r ( a 2d )c o s
➢ 球壳内表面感应电荷面密度为
S0 rra4πa(a2 qd (a222da2 d)cos)32
➢ 球壳内表面的总感应电荷为
q in SS d S q ( a 4 2 π a d 2 )0 2 π0 π ( a 2 a d 2 2 s in 2 a d d c d o s) 3 2 q
1 ( q q) 4π R R
问题： d? q?
P
r
R
a
q
d
P
r
R
a
R' q
q'
d' d
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
P
镜像电荷的确定
由镜像法原理：镜像电荷位于球内区域， a
且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球
r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R
R' q
q'
面上电位为0，即：
d' d
1 [qq'] 0 ra 4 R R'
第八讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
2、两平行导体圆柱面的镜像 问题：两平行导体圆柱半径均为a，轴线间 距为2h，单位长度分别带电荷 l 和 l 。
特点：两圆柱带电导体的电场互相影响，
使导体表面的电荷分布不均匀，相对一侧电 荷密度大，而相背一侧电荷密度较小。
l
l
a
a
hh
图1 两平行导体圆柱
分析方法：将导体表面上的电荷用线密 度分别为 l 、且相距为2b 的两根无限长
➢ 导体球面上的总感应电荷为
q in SS d S q ( d 4 2 π a a 2 )0 2 π0 π ( a 2 a d 2 2 s in 2 a d d c d o s) 3 2 d a q
导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷电量相等。
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
产生的电位函数
P( , )
l ln
1
2 2 d2 2dcos
l ln
1
C
2 2 d22dcos
0
oa d
l
l
x
d
线电荷与导体圆柱的镜像
由于导体圆柱接地，所以当 a 时，电位应为零，即
lln
1
l ln
1
C 0
2 a 2 d 2 2 a d c o s 2 a 2 d 2 2 a d c o s
第八讲 镜像法
电磁场与电磁波
第八讲 镜像法
电子工程学院 陈其科
第八讲 镜像法
本讲内容
• 镜像法的基本原理 • 接地导体平面的镜像 • 导体球面的镜像 • 导体圆柱面的镜像 • 点电荷与无限大电介质平面的镜像 • 线电流与无限大磁介质平面的镜像
第八讲 镜像法 问题的提出
几个实例：
求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位
d q q'
d'
q a q, d a 2
d
d
q’’= q，位于球心
（为什么？）
a b
oq
P
b
r
q"
第八讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像 问题：密度为ρl 的无限长线电荷位于半径
为a 的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的 轴线平行且到轴线的距离为d。
特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱
3、点电荷位于不接地导体球面外
结论：不接地导体球外存在点电荷 q时，其镜像电荷为：
q aq, d a2
d
d
qqaq，d0 d
球外任意点的电位为
1 (qq q) 40 R R r
a q"
P
r
R
R' q
q'
d' d
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
4、点电荷位于不接地空心球壳内
a b
oq d
P a r R R'
q h
q ins s d s 2(x 2 y 2 h 2 )3 /2d x d y q
点电荷在平面导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等。
第八讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像
思考 • 无限大导体平板不接地，镜像电荷如何确定？ • 有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？
结论：场域V 内的位函数具有惟一确定解。
第八讲 镜像法
一、镜像法原理
根据唯一性定理，若镜像电荷的引入满足：
电位函数仍然满足原方程（拉氏方程或泊松方程） 电位分布仍满足原边界条件 则可确保求得的解就是正确的。
引入镜像电荷的两条原则：
等效电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中； 像电荷的个数、位置及电荷量的大小根据场区域的边界条件
第八讲 镜像法
一、镜像法原理
方法：在求解区域外设置等效电荷，替代边界上分布电荷的作用 目的：将复杂边值问题转换为无界均匀媒质空间的问题
问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
回顾：静电场的惟一性定理 条件： • 已知场域V 内的自由电荷分布和电介质特性
• 已知 场域V的边界面S上的 或 的值 S n S
P( , )
0
oa d
l
l
x
d
线电荷与导体圆柱的 镜像
l
l
d
a2 d
——导体柱面镜像电荷
第八讲 镜像法
四、导体圆柱面的镜像
1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像
导体圆柱面外的电位函数：2lln
d22a42da2cos
C
d 2d22dcos
由 a 时， 0
C l ln d
？
2 a
故
2lln
2、点电荷位于接地导体球壳内
镜像电荷的确定
如图所示接地空心导体球壳的内半径 为a 、外半径为b，点电荷q 位于球壳内， 与球心相距为d ( d < a )。
a
P rR
R′ q′
bO
q
d d’
• 感应电荷是如何分布的？ 分布在球壳的内表面上。
• 镜像电荷q′应位于何处？
位于导体空腔外，且在点电荷q与球
d22a42da2cos a22a2d22da2cos
导体圆柱面上的感应电荷面密度
S a2a(a2 l(dd22 2aa2d )cos)
导体圆柱面上单位长度的感应电荷
感应电荷与镜像电荷相等
inSS d S l(d 2 2 a a 2 )0 2 a 2 d 2 a d 2 a d c o s l
第八讲 镜像法
五、无限大介质分界平面的镜像
1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像
问题：求解空间中的电位分布（上半空间 及下半空间）。
特点：
• 在介质分界面上存在极化电荷分布 • 空间中任一点的电场由点电荷与极化电
荷共同产生。
z
q
1 h
x
2
图1 点电荷与电介质 分界平面
问题：如何确定镜像电荷？
第八讲 镜像法
q
h
q
h
第八讲 镜像法
二、平面导体界面的镜像
2、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像
等效问题： 'll z'h
上半空间的电位分布为：
z
l
h
x
(x,y,z)2 l(lnR 1lnR 1')C
导体
l
ln
x2(zh)2 C
(z0)有效区域
2 x2(zh)2
h
引入像电荷后满足原问题的边界条件，
所得解正确。