高等数学第二章测试题
高等数学第二章答案2 4
高等数学第二章答案2 4高等数学第二章答案2-4练习2？四1?求由下列方程所确定的隐函数y的导数(1)y2?2xy?9?0??(2)x3?y3?3axy?0?(3)xy?ex?y??(4)y?1?xey?解决（1）获得2yy？？2岁？2xy？？0所以（y？X）y？？YYYYxdy？得到了DX（2）方程的导数3x2?3y2y??2ay?3axy??0??于是(y2?ax)y??ay?x2??是吗？x2y？？2.y?ax(3)方程两边求导数得y?xy??ex?y(1?y?)??于是(x?ex?y)y??ex?y?y??前任？Yyyx?ex?y(4)方程两边求导数得yey?xeyy??于是(1?xey)yey?呃？Y1?xey在点(2a,2a)处的切线方程和法线方程?44求方程两边的导数，得到2？2x3?2y3y0?33112找到曲线X32了吗？y32？A3。
Y1x31y3在点(2a,2a)处y1?44切线方程是y?2a??(x?2a)?即x?y?2a?442正态方程是y?2a?(x?2a)?即x?y?0?44d2y3？求隐式函数y的二阶导数，由以下等式2确定？dx22（1） x？Y1.(2)b2x2?a2y2?a2b2?(3)y?tan(x?y)?(4)y?1?xey?解（1）方程两边的导数得到2x？2yy？？0年？？十、yy?xxy?xy?yy2?x2x1y???()???yy2y2y3y3(2)方程两边求导数得2b2x？2a2yy？？02by2?x?ay2bx)y?x(??2y2y?xy?2abby?2?2??2?Ayay2a2y2？b2x24bb？？2.23? 得到了aa2y3ay（3）方程的导数y??sec2(x?y)?(1?y?)?se2c（x？y）1y221? 秒（x？y）cos（x？y）？12sin（x？y）？二氧化碳（x？y）1 1.2.sin（x？y）y22（1？y2）221y3y？？3(?1?2) 从yyy5（4）方程的两侧获得导数y??ey?xeyyYYYYEE？？Y1.xey1？（y？1）2？是吗？（2？y）？是吗y（3？y）y？e2y（3年）y223（2年）（2年）（2年）4？用对数导数法求下列函数的导数？(1)y?(x)x?1.十、(2)y?55x?5?x2？2倍？2（3？x）4（3）y？？(x?1)5(4)y?xsinx1?ex??解(1)两边取对数得莱尼？xln | x |？xln | 1？X |，两边的导数为11(?x)?x?1?y??lnx?x??ln1yx1?x于是y??(x)x[lnx?1]?1.x1？x1？取X（2）两边的对数lny?1ln|x?5|?1lnx(2?2)?525两边的推导111?1?2xyy5x？525x2？2.3.3?? 1555x？5.[1？1？2x]？2x2?2x?55x?2(3)两边取对数得lny?1lnx(?2)?4ln3(?x)?5lnx(?1)?2两边的推导1y??1?4?5?y2（x？2）3？xx？1x？2（3？x）41？4.5] 那么你呢？？[2（x？2）x？3x？1（x？1）5（4）取两边的对数得到lny?1lnx?1lnsinx?1ln1(?ex)?224两边的推导x111et?ycox?y2x24(1?ex)xx1?ex[1?1coxt?ex]于是y??xsin2x24(1?e)x1ex2xsinx1?e[?2cotx?x]??4xe?15?求下列参数方程所确定的函数的导数阿迪？dx？十、at2（1）？？2岁？英国电信？？十、（1？罪？）(2)??y??cos??2dyy?解(1)?t?3bt?3bt?dxxt？2at2adyy？(2) 余弦罪1sincosdxxxetsint,时dy的值?6?已知?求当t?t3dx?y?ecost.dyyt?etcost?etsintcost?sint解?dxxt?etsint?etcostsint?cost1?3dy221?33?2?当t??时?dx1331？3.227? 在给定参数值的对应点写出下列曲线的切线方程和法线方程？xsint(1)在t??处?4.Ycos2t？十、3at？1.t2（2）？2.t=2？3at？Y1.泰迪？解决方案（1）？T2sin2t？？dxxt?cost?)?2sin(2?dy4??2??22?x?2?y?0当t??时?00?2dx42cos42所求切线方程为?Y22（x？2）？22x？Y2.02所求法线方程为Y1（x？2）？2倍？4y？1.02?226at(1?t2)?3at2?2t6at?(2)yt(1?t2)2(1?t2)23a(1?t2)?3at?2t3a?3at2xt?(1? t2)2(1?t2)2dyyt6at2?2t2?dxxt？3a？3at1？tdy2？24 什么时候？两点钟？？x0？6a？y0？12a？2dx1？2355切线方程是？y?12a??4(x?6a)?即4x?3y?12a?0?正常方程是y?12a?3(x?6a)?即3x?4y?6a?0?545d2y8？求由下列参数方程2确定的函数的二阶导数？dx2??x?t(1)?2?Y1.T十、成本（2）？？y?bsint?。
2020年智慧树知道网课《高等数学(XXX)》课后章节测试满分答案
2020年智慧树知道网课《高等数学(XXX)》课后章节测试满分答案1.单选题：选出正确答案。
A。
-3/2B。
3/2C。
2D。
32.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.3.单选题：选出正确答案。
A。
振荡间断点B。
跳跃间断点C。
可去间断点D。
连续点4.判断题：判断正误。
A。
对B。
错5.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.6.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.7.单选题：选出正确答案。
A。
a为任意数，b=0B。
a=1，b=1C。
a=0，b=1D。
a=1，b为任意数8.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.9.单选题：选出正确答案。
A。
原点B。
x轴C。
y=xD。
y轴10.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.第二章测试1.单选题：选出正确答案。
A。
极限存在但不连续B。
连续但不可导C。
可导D。
极限不存在2.单选题：选出正确答案。
A。
连续而不可导的点B。
间断点C.D.3.单选题：选出正确答案。
A。
第二类间断点B。
连续点C。
第一类间断点D。
连续点或间断点不能确定4.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.5.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.6.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.7.单选题：选出正确答案。
A。
2B。
-3C。
3D。
-28.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.9.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.10.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.第三章测试1.判断题：判断正误。
A。
错B。
对2.判断题：判断正误。
A。
对B。
错3.单选题：选出正确答案。
A。
3B。
2C。
1D。
44.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.5.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.6.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.7.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.8.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.9.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.10.单选题：选出正确答案。
A.B.C.D.第四章测试1.单选题：选出正确答案。
高等数学第二章答案
高等数学第二章答案【篇一：高等数学第二章复习题及答案】>第二章一、填空题f(a?x)?f(a?x)?x?0xf(3?h)?f(3)?2、设f?(3)?2，则lim。
h?0______________2h1、设f(x)在x?a可导，则lim。
3、设f(x)?e，则limh?0?1xf(2?h)?f(2)?。
_____________hcosx?,f?(x0)?2,(0?x0?)，则f(x0)?。
_______________________1?sinx2dy?5、已知x2y?y2x?2?0，则当经x＝1、y＝1时，。
dx_______________4、已知f(x)?6、f(x)?xex，则f???(ln2)?_______________。
__________7、如果y?ax(a?0)是y?x2?1的切线，则a?。
8、若f(x)为奇函数，f?(x0)?1且，则f?(?x0)?9、f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?n)，则f?(0)?10、y?ln(1?3?x)，则y??11、设f?(x0)??1，则limx?0______________________________________________________。
x。
?___________f(x0?2x)?f(x0?x)_________________________12、设x?y?tany，则dy?。
13、设y?y???(0)?。
_______________14、设函数y?f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y?f(x)在点（1，1）处的切线方程是______________________。
1???xcos15、f(x)??x??0_______________________x?0x?0。
，其导数在x?0处连续，则?的取值范围是16、知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为二、选择题。
厦门理工学院高数练习题答案第二章答案高数
19高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班 姓名 学号第一节 导数概念 一．填空题一．填空题1.若)(0x f ¢存在，则xx f x x f x D -D -®D )()(lim000= )(0x f ¢-2.hh x f h x f h )()(lim 000--+®= )(20x f ¢ ， 又当0)0(=f 时x x f x )(lim 0®= )0(f ¢ 3.设20-=¢)(x f , 则=--®)()2(lim )000x f x x f x x 414.已知物体的运动规律为2t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒）5.曲线x y co s =上点（3p，21）处的切线方程为03123=--+p y x ，法线方程为 0322332=-+-py x 6.用箭头⇒或⇏表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微可微 Û 可导可导 Ü/Þ 连续连续 Ü/Þ 极限存在。
极限存在。
二、选择题二、选择题1．设0)0(=f ,且)0(f ¢存在，则xx f x )(lim 0®= [ B ] （A ）)(x f ¢ ( B) )0(f ¢ (C) )0(f (D) 21)0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则xx b x f x a x f x D D --D +®D )()(lim= [ B] （A ）)(x f ¢ ( B) )()(x f b a ¢+ (C) )()(x f b a ¢- (D) 2ba +)(x f ¢3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分）必要但不是充分 （C ）充分必要）充分必要 （D ）即非充分也非必要）即非充分也非必要 4．设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0)(D) (1,1)5.5.设函数设函数|sin |)(x x f =，则，则 )(x f 在0=x 处 B ] ] （A ）不连续。
智慧树-高等数学1-网课章节测试答案
A.
；
B.
.
C.
；
D.
；
正确
本题总得分2分
总分
第1部分
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高等数学1
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第五章测试
得 分:
10
评 语:
高等数学1
第一章测试
1
【单选题】 (2分)
下列命题正确的是（ ）。
A.
无界变量一定是无穷大量
B.
无穷小量是绝对值很小很小的数
C.
无穷小量的倒数是无穷大量
D.
无穷小量是以零为极限的变量
正确
本题总得分2分
2
【单选题】 (2分)
计算： （ ）.
A.
B.
0
C.
1
D.
2
正确
本题总得分2分
3
【单选题】 (2分)
A.
在点 处连续
B.
极限 不存在
C.
在点 处可导
D.
在点 处有定义
正确
本题总得分2分
5
【单选题】 (2分)
若 ，则 = ( ).
A.
B.
C.
D.
正确
本题总得分2分
6
【单选题】 (2分)
如果 ，那么 = ( ).
A.
B.
C.
D.
正确
本题总得分2分
总分
第1部分
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第2章 导数与微分 题目
第二章导数与微分一、考试大纲考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间 内，设函数 具有二阶导数。
当 时， 的图形是凹的;当 时， 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形. 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径. 二、主要内容三、基础题１．如果()f x 为偶函数,且(0)f '存在,证明(0)0f '=． ２．求曲线cos y x =上点1(,)32π处的切线方程和法线方程．３．讨论下列函数在0x =处的连续性与可导性：(1) |sin |y x = ； (2)21sin ,00,0x x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩． ４．已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，求'()f x ．５．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a ．６．以初速度0v 竖直上抛的物体，其上升高度s 与时间t 的关系是2012s v t gt =-，求： (1) 该物体的速度；(2) 该物体达到最高点的时刻．７．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f x g x +≠，试求函数y =的导数．８．设()f x 可导，求下列函数y 的导数dy dx： (1)2()y f x =； (2) 22(sin )(cos )y f x f x =+．９．若()f x ''存在，求下列函数y 的二阶导数22d ydx：(1) 2()y f x = (2) ln[()]y f x =．10．求由下列方程所确定的隐函数的导数:dydx（1）+-=3330x y ax ； （2）=-1y y xe ． 11．求下列参数方程所确定的函数的导数：(1) 23x aty bt⎧=⎪⎨=⎪⎩； (2)2223131at x t at t ⎧=⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩． 12．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22d ydx：(1)cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩ (2)32t tx e y e-⎧=⎨=⎩ 13．求下列函数的微分:(1) =sin2y x x ； (2) 2ln (1)y x =-． 14．计算下列反三角函数值的近似值:：(1) arcsin 0.5002； (2) arccos 0.4995．四、提高题１．试从1dx dy y ='导出： (1) 223"(')d x y dy y =-； (2) 32353(")''''(')d x y y y dy y -=． ２．求下列函数所指定的阶的导数：(1) cos ,x y e x =求 (4)y ； (2) ,y xshx =求(100)y ；(3) 2sin 2,y x x =求 (50)y ． ３．求函数2sin y x =的n 阶导数的一般表达式．４．求曲线222333x y a +=在点)处的切线方程． ５．求下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d ydx：(1) tan()y x y =+：(2)1yy xe =+．６．用对数求导法求下列函数的导数：(1);(2)1xx y y x ⎛⎫==⎪+⎝⎭７．求下列参数方程所确定的函数的三阶导数33d ydx：(1) 231,;x t y t t ⎧=-⎨=-⎩ (2) 2ln(1),arctan .x t y t t ⎧=+⎨=-⎩ ８．溶液自水深18cm 顶直径12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1/min cm ，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？９．设3,0()||0,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求复合函数()[()]x f f x Φ=的导数，并讨论'()x Φ的连续性．三、考研题１．(01，3分) 设=(0)0f ，则()f x 在点0x =可导的充要条件为(A) 201lim (1cosh)h f h→-存在. (B) 01lim (1)h h f e h →-存在.(C) 201lim (1sinh)h f h→-存在. (D) 01lim [(2h)()]h f f h h →-存在.２．（04.4分）设函数()f x 连续，且'(0)0,f >则存在0δ>，使得（A ）()f x 在(,0)δ-内单调增加. (B) ()f x 在(0,)δ内单调减少.(C) 对任意的(0,)x δ∈有()(0).f x f > (D) 对任意的(,0)x δ∈-有()(0).f x f >３．(02.3分)已知函数()y y x =由方程2610y e x y x ++-=确定，则(0)y ''= ．４．（03.12分）设函数()y y x =在(,)-∞+∞内具有二阶导数，且'0,()y x x y ≠=是()y y x =的反函数．(1) 试将()x x y =所满足的微分方程322(sin )0d xdx y x dy dy ⎛⎫++= ⎪⎝⎭变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件3(0)0,'(0)2y y ==的解． ５．(92.3分) 设22()3||f x x x x =+，则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.６．（05.3分）设函数()lim n f x =()f x 在(,)-∞+∞内 （ ）（ A ）处处可导 ( B )恰有一个不可导点. ( C ) 恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点. ７．（06.3分）设函数()=y f x 具有二阶导数，且'''>>∆()0,()0,f x f x x 为自变量x 在点0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分，若0x ∆>，则 ( )（ A ）0.dy y <<∆ （ B ）0y dy <∆<. ( C )0y dy ∆<<. ( D ) 0.dy y <∆< ８．（98.3分）函数23()(2)||f x x x x x =---不可导点的个数是（A ）3． （B ） 2 ( C ) 1 . ( D ) 0 ９．(97.3分) 对数螺旋线e θρ=在点2(,)(,)2e ππρθ=处的切线的直角坐标方程为.10．(04.3分) 曲线ln y x =上与直线1x y +=垂直的切线方程为 .四、测试题１．填空题（1）．已知函数()y y x =由方程2610y e xy x ++-=确定，由''=(0)y . （2.）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定,则0|x dy == .（3） 曲线33cos sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩,上对应于6t π=点处的法线方程是 .（4）. 设函数()y y x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-所确定,则曲线()y f x =在点(1,0)处的法线方程为 .２．单项选择题（1）．设函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy a x∆∆=++且当0x ∆→时,a 是x ∆的高阶无穷小,(0),y π=则(1)y 等于(A) 442.().().().B C e D e πππππ（2）．()f x 在0x 处存在左、右导数，则()f x 在0x 点（ A ） 可导 ( B ) 连续. ( C ) 不可导. ( D ) 不连续.（3）．设''0lim ()lim ()x x f x f x a +-→→==,则(A) ()f x 在0x x =处必可导且'0().f x a = ( B ) ()f x 在0x x =处必连续,但未必可导. ( C ) ()f x 在0x x =处必E 有极限但未必连续. ( D ) 以上结论都不对. （4）．设()f x 可导，且满足 0(1)(1)lim 1,2x f f x x→=-=-则曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线斜率为： （ A ）2. ( B ) -2. (C )12. ( D ) -1.３．讨论2|2|,1(),1x x f x x x -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩的可导性．４．求下列函数的导数：（1）0y a => （2） tan (tan )x x y x x =+（3）y =（4）|(3)|y x x x =-５．求下列隐函数的导数'y（1）y x x y = （2）2y x x y =６．求参数式函数的导数'y ：2arctan 25tx ty ty e =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ ７．求下列函数的微分：（1）(0)x y x x =>（2）21ln(12sin ),(2y x x θθ=-+为常数）.８．设()f x 在[,)a +∞可导，lim ()x f x →+∞存在，→+∞'=lim ()x f x b ，求证：0b =.。
高等数学第二章测验题答案
易知 , f ( x ) 在 | x | 1 处连续 . 在 x 1 处 ， x 1 f ( x ) f ( 1) 1 , (1) lim f lim x 1 x 1 x 1 x ( 1)
f (1) lim f ( x ) f ( 1) x 1 x ( 1)
2. f ( x )在x a可导，则F ( x ) | f ( x ) | 在x a
2.
应选 (B ) .
不可导的充要条件是 ( ), 并说明理由 . ( A) f (a ) 0, f (a ) 0; ( B ) f (a ) 0, f (a ) 0;
(C ) f (a ) 0, f (a ) 0; ( D) f (a ) 0, f (a ) 0.
由于 f ( 1) f ( 1) , 故 f ( x ) 在 x 1 处不可导 . 在 x 1 处 ，
x 1 ( x 1)2 lim 4 0. x 1 x 1
x 1 , x 1 x 1 ( x 1)2 , f ( x) 4 1 x 1 x 1, x 1
同样可求导y2 x
tan x
tan x [sec x ln x ] x
2
2 y log 2 log 3 log 5 x;
解：令 y 1 1 (log3 log5 x) ln 2 log3 log5 x
1 1 1 1 (log5 x) ln 2 log3 log5 x ln 3 log5 x 1 1 1 1 1 1 ln 2 ln 3 ln 5 log3 log5 x log5 x x
一、 1.
应选 ( A) .
1. 设f ( x )可导，F ( x ) f ( x )(1 | sin x |),
高一数学第二章测试题及答案解析
高一数学第二章测试题及答案解析第二章单元测试题一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．63．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l() A．平行B．相交C．垂直D．异面4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得() A．a?α，b?α B．a?α，b∥α C.a⊥α，b⊥α D．a?α，b⊥α6．下面四个命题：①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数为()A．4B．3C．2D．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.其中一定正确的有()A．①②B．②③C．②④D．①④8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是()A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若a?α，b?β，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为()A．－45 B. .35C.34D．－3511．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为() A.33 B.13C．0D．－1212．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，则PB与AC所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)13．下列图形可用符号表示为________．14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________. 16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD －C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△AB C与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面P AE；(2)若直线PB与平面P AE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P －AM －D 的大小．20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D DC 1的值．21．(12分)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．详解答案1[答案] D2[答案] C[解析]AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．3[答案] C[解析]1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；2°l?α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．4[答案] D[解析]由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.5[答案] B[解析]对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a?α，b ∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a?α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．6[答案] D[解析]异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c 可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．7[答案] D[解析]如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF?平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．8[答案] D[解析] 选项A 中，a ，b 还可能相交或异面，所以A 是假命题；选项B 中，a ，b 还可能相交或异面，所以B 是假命题；选项C 中，α，β还可能相交，所以C 是假命题；选项D 中，由于a ⊥α，α⊥β，则a ∥β或a ?β，则β内存在直线l ∥a ，又b ⊥β，则b ⊥l ，所以a ⊥b .9[答案] C[解析] 如图所示：AB ∥l ∥m ；AC ⊥l ，m ∥l ?AC ⊥m ；AB ∥l ?AB ∥β.10[答案] 35 命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．[解析] 首先根据已知条件，连接DF ，然后则角DFD 1即为异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到 5＝DF ＝D 1F ，DD 1＝2，结合余弦定理得到结论． 11[答案] C[解析]取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C.12[答案] B[解析]将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS 为正三角形，∴∠ACS＝60°.13[答案]α∩β＝AB14[答案]45°[解析]如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.15[答案]9[解析] 如下图所示，连接AC ，BD ，则直线AB ，CD 确定一个平面ACBD . ∵α∥β，∴AC ∥BD ，则AS SB ＝CS SD ，∴86＝12SD ，解得SD ＝9. 16[答案] ①②④[解析] 如图所示，①取BD 中点，E 连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ?平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a . 由①知∠AEC ＝90°是直二面角A －BD －C 的平面角，且∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．④分别取BC ，AC 的中点为M ，N ，连接ME ，NE ，MN .则MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝12a ，ME ∥CD ，且ME ＝12CD ＝12a ，∴∠EMN 是异面直线AB ，CD 所成的角．在Rt △AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，∴NE ＝12AC ＝12a .∴△MEN 是正三角形，∴∠EMN ＝60°，故④正确． 17[证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点，∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B 1F 1∩AF 1＝F 1，C 1F ∩BF ＝F ，∴平面AB 1F 1∥平面C 1BF .(2)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1F 1⊥AA 1. 又B 1F 1⊥A 1C 1，A 1C 1∩AA 1＝A 1，∴B 1F 1⊥平面ACC 1A 1，而B 1F 1?平面AB 1F 1，∴平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1. 18[解析](1)如图所示，连接AC ，由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE . ∵P A ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，所以P A ⊥CD .而P A ，AE 是平面P AE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面P AE .(2)过点B 作BG ∥CD ，分别与AE ，AD 相交于F ，G ，连接PF . 由(1)CD ⊥平面P AE 知，BG ⊥平面P AE .于是∠BPF 为直线PB 与平面P AE 所成的角，且BG ⊥AE .由P A ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角． AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，由题意，知∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝P A PB ，sin ∠BPF ＝BFPB ，所以P A ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形，故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以 BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855.于是P A ＝BF ＝855.又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×P A ＝13×16×855＝128515.19[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD为正三角形，∴PE⊥CD，PE＝PD sin∠PDE＝2sin60°＝ 3.∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，而AM?平面ABCD，∴PE⊥AM.∵四边形ABCD是矩形，∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM＝6，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.(2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM，∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．∴tan∠PME＝PEEM＝33＝1，∴∠PME＝45°.∴二面角P－AM－D的大小为45°. 20[解析](1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C所以平面AB1C⊥平面A1BC1 .(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，A1B?平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD ＝DE，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．即A1D DC1＝1.21[解](1)证明：连接AE，如下图所示．∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ?平面ABC ，GF ?平面ABC ，∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ?平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC .又∵AC ＝BC ＝22AB ，∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE .(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22，∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.22[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC .又∵C 1C ⊥AC .∴AC ⊥平面BCC 1B 1. ∵BC 1?平面BCC 1B ，∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，又四边形BCC 1B 1为正方形．∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE ∥AC 1. ∵DE ?平面CDB 1，AC 1?平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.(3)解：∵DE ∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角．在△CED 中，ED ＝12AC 1＝52，CD ＝12AB ＝52，CE ＝12CB 1＝22，∴cos ∠CED ＝252＝225.∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为225.。
《高等数学练习与测试》上册测试题答案
《高等数学练习与测试》上册测试题答案第一章测试题答案一．1.4π，2. 8e ；二．1.A ，2.D ；三．1. 12，2. 32；四．1.2()2f x x =-；2. 1a =；3. 0； 4．连续区间(,1)(1,)-∞+∞ 1x =是跳跃间断点。
5．介值定理即得。
第二章测试题答案一．1．B 。
2．C 。
二．xdx 5tan 5-。
三．（1）2632+-x x ，（2）211x+，（3）)cot sin (ln )(sin x x x x x +。
四．2-e 。
五．x dx dy tan -=，θθcsc sec 31422ax d y d =。
六．切线方程0132=--y x ，法线方程0823=-+y x 。
七．连续但不可导。
第三章测试题答案 一、.)1()0()1()0(.3;22.2;3,2.1f f f f R b a '<-<'===二、..2;.1D B.1),0,0(),1,0()1,(),1()0,1(,233)3(233)3(),3,1()1,3(),,3()3,().,1()1,1()1,(±=⋃--∞+∞⋃-=-=-⋃--+∞⋃--∞+∞⋃-⋃--∞x f f 曲线有两条垂直渐近线拐点为凸区间为曲线的凹区间为，极小值为极大值为单调减区间为单调增区间为三、函数的定义域为 .0.2;2.1四、 .]1,1[)(,ln )(:值定理上连续，用拉格朗日中在令五、提示x t f t t f +=.)()()(x g ex f x F =六、提示：令.11lim )(lim )2(;1)11()()1(11en n n M n n n f n M n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→+七、 .ln )(x x g =八、提示：令 时，方程有两个实根。
当时，方程只有一个实根当方程没有实根；时当九、提示：设ea e x e a e a a a xe x f x 10)3;11)2,1)1)0()(<<==>>-=- 第四章测试题答案一．1.D ；2.B 。
高等数学第二章习题
一、填空：（每空1分） 1、如果xyx ∆∆→∆0lim存在，则称此极限为函数()x f 的（ 导数 ）2、如果x x y sin =则=)2(/πy （ 1 ）3、如果x x y sin =则=)1(/y （1cos 1sin + ）4、如果x x y cos =则=)1(/y （ 1s i n 1c o s- ） 5、如果x x y cos =则=)0(/y （ 1 ）6、曲线x x y -=3在1=x 处的切线斜率为（ 2 ）切线方程为（ 22-=x y ）。
7、若()x y 2arcsin -=则/y =（2412x-- ）。
8、)(sin 2x d =（2cos x ）)(2x d =（ 2cos 2x x ）)(x d 。
9、()/5-x =（ 65--x ） 10、()/52x -=（x 522ln 5-⋅- ） 11、()/2log x a =（ax ln 1） 12、若()2sin 2-=x x y 则()2/y =（ 4 ）。
13、()/ln e e e xe x x +++=（ x ex e xe 11++- ） 14、()/222ln e e e xx x +++=（xx e x1222++ ） 15、==dy e y x ,sin （x excos sin ⋅ ）dx16、==dy e y x ,cos （ x ex s i n c o s⋅- ）dx17、==dy y x ,2（2ln 2x）dx 18、==dy y x ,4（4ln 4x）dx19、曲线y=cosx 在32π=x 处的切线斜率为（ 23- ）切线方程为（ 0323633=-++πy x ）。
20、曲线y=x 2在2=x 处的切线斜率为（ 4 ）切线方程为（ 44-=x y ）21、)cos(cos 2x y =，则='y （()x x y cos sin sin 2⋅= ） 22、=-)(2x e d （ x e 22-- ）dx23、=)1(x d （ 21x - ）dx24、=+)11(x d （2)1(1x +- ）dx 25、先对函数取对数然后再求导数的方法称为（ 对数求导法 ） 26、如果x y ln =则=)1(/y （ 1 ）27、如果x x y sin =则=)1(/y （ 1s i n 1c o s 1s i n 2- ） 28、如果x y arcsin =则=)0(/y （ 1 ）29、如果x x y cos 2=则=)1(/y （1sin 1cos 2- ）30、如果2cos x x y =则=)0(/y （ 1 ）31、曲线x x y 23-=在1=x 处的切线斜率为（ 1 ）切线方程为（ 2-=x y ）。
2020年智慧树知道网课《高等数学AI》课后章节测试满分答案
第一章测试1【单选题】(2分)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（）.A.B.C.D.2【单选题】(2分)当时，与等价的无穷小量是（）.A.B.C.D.3【单选题】(2分)极限（），这里为常数.A.B.C.1D.4【单选题】(2分)设函数则是函数的（）.A.可去间断点B.无穷间断点C.连续点D.跳跃间断点5【单选题】(2分)设，则函数（）。
A.不存在间断点B.存在间断点x=-1C.存在间断点x=0D.存在间断点x=1第二章测试1【单选题】(2分)函数处（）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.可导D.连续但不可导2【单选题】(2分)设，则（）A.7B.4C.5D.3【单选题】(2分)函数的导数（）A.B.C.D.4【单选题】(2分)（）A.1/2B.2C.D.15【判断题】(2分)A.对B.错第三章测试1【单选题】(2分)（）A.1B.1/4C.D.-1/22【单选题】(2分)函数的凹区间为（）。
A.B.C.D.3【单选题】(2分)双曲线在点处的曲率为（）。
A.B.C.D.4【单选题】(2分)函数的极小值为（）。
A.1B.C.-1D.-1/25【单选题】(2分)关于曲线的渐近线，以下正确的是（）。
A.水平渐近线为，铅垂渐近线为B.水平渐近线为，铅垂渐近线为C.水平渐近线为，铅垂渐近线为D.水平渐近线为，铅垂渐近线为第四章测试•第1部分•总题数:51【判断题】(2分)().A.错B.对2【判断题】(2分)().A.对B.错3【判断题】(2分)().A.错B.对4【判断题】(2分) ().A.对B.错5【判断题】(2分) ().A.错B.对第五章测试1【单选题】(2分)由曲线，直线所围成的平面图形的面积为（）A.1B.-1C.2D.2【单选题】(2分)设半径为a的圆面积为S，则（）.A.1/3B.1/5C.1/4D.1/23【单选题】(2分)椭圆绕轴旋转，所得旋转体的体积为（）。
A.B.C.D.4【单选题】(2分)曲线与x轴所围成图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为A.B.C.D.5【单选题】(2分)星形线的全长为A.3aB.6aC.8aD.4a第六章测试1【单选题】(2分)方程的通解为（）。
高等数学2-5章习题
f ( x) f ( x)2 ,则当n为大于 2 的正整数时，
f ( x)的 n 阶导数 f (n) ( x) 是（ ）
（A）n![ f ( x)]n1；
（B） n[ f ( x)]n1 ；
（C） [ f ( x)]2n；
（D）n![ f ( x)]2n .
7、若函数 x x(t ), y y(t ) 对t 可导且x(t ) 0 ,又
(
x
)
g(
x
)
x
cos
x
,
x
0
其中g(
x)
有二阶连
a, x 0
续导数，且g(0) 1，
1、确定 a 的值，使 f ( x)在x 0 点连续；
2、求 f ( x)
五、设 y x ln x,求 f (n) (1).
六、计算3 9.02 的近似值 .
七、一人走过一桥之速率为 4 公里/小时，同时一船在 此人底下以 8 公里/小时之速率划过，此桥比船高 200 米，问 3 分钟后人与船相离之速率为多少？
3、若函数 f ( x) 在点x0 不连续，则f ( x) 在x0 ( ) （A）必不可导； （B）必定可导；
（C）不一定可导； （D）必无定义.
4、如果 f ( x) =（ ），那么 f ( x) 0 .
(A) arcsin 2 x arccos x ；
(B) sec2 x tan2 x ； (C) sin 2 x cos 2 (1 x)；
（D）有有限个间断点
4、下列结论正确的是（
）
（A） 初等函数必存在原函数；
（B） 每个不定积分都可以表示为初等函数；
高等数学第二章参考答案
第二章参考答案习题2.11.解：0000()()()limt t t t t tθθω∆→+∆-=∆2.解：0(1)(1)(1)lim x f x f f x ∆→+∆-'=∆ 202(1)2=lim x f x x∆→+∆-∆0lim (4)4x x ∆→=+∆= 3.证明：()f x 是偶函数。
x R ∴∀∈ 有()()f x f x -=()()()limx f x x f x f x x ∆→-+∆--'∴-=∆0()()lim x f x x f x x ∆→-∆-=∆ '0(())()lim ()x f x x f x f x x∆→+-∆-==-∆ 故()f x '是R 上的奇函数4、解：3()s t t =2()()3v t s t t '∴== 2()t s ∴= 时，22(2)312t v t===5、解：x y e = x y e '∴= 故在(0,1) 处(0,1)1y '= ∴过(0,1)切线方程为1y x -=，即1y x =+ ，过(0,1)直线方程为1y x -=，即1y x =-+6、解20()0x x f x x x -≤⎧=⎨≥⎩000()()(0)lim lim 1x x f x f x xf xx ---∆→∆→∆--∆'∴===-∆∆ 2000()()(0)lim lim 0x x f x f x x f x x+++∆→∆→∆--∆'===∆∆(0)(0)f f +-''≠ (0)f '∴ 不存在 7、21sin 0()0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩∴ 当0x ≠时，21()sin f x x x=，函数连续又201lim sin 0(0)x x f x →== 0x ∴=时，()f x 连续()f x ∴在(,)-∞+∞连续又0x ≠时，2111()(sin )2sin cos f x x x x x x''==-0x =时，2001sin()(0)(0)lim lim x x x f x f x f x x∆→∆→∆∆-'==∆∆ 01lim sin 0x x x ∆→=∆=∆ 112sin cos0()00x x f x x xx ⎧-≠⎪'∴=⎨⎪=⎩8、证明：()f x 在0x x =点可导0000()()()limh f x h f x f x h→+-'∴=000()()limh f x h f x h hαβ→+--∴00000()()()()lim h f x h f x f x h f x h h αβ→+---⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦00000()()()()lim h f x h f x f x h f x h h αβααβ→⎡+---⎤=+⎢⎥⎣⎦ 000()()()()f x f x f x αβαβ'''=+=+习题2.21、解：(1)3()f x x =22()3,(21)3(21)f x x f x x ''∴=+=+(2)由3(21)f x x +=，另1212t t x x -=+⇒=3311()()(1)28t f t t -∴==- 31()(1)8f x x ∴=-222333()(1),'(21)(211)882f x x f x x x '∴=-+=+-=2.解：（1）532225(3)232y x x x x x ''=+-=+-（2）22()()2()()()a x a x a x ay a x a x a x --+---''===+++ （3）2221((arccos )ln )2(arccos )ln (arccos )y x x x x x x x x x x ''=⋅=⋅+⋅2(arccos )ln arccos y x x x x x x '=⋅+⋅ （4）122[(27)(13)]y x x ''=++112227(13)+6(27)2x x x x -=++ 3.解：（1）211(ln tan )sec tan sin cos y x x x x x''==⋅= （2）22223311(2)(21)(21)(2)33y x x x x x x --''==++⋅+=+++（3）22221111(1)(1)1(arctan)()1111(1)11()1()11x x x x y x x x x x x x x ++--+'''==⋅=⋅=-++---+++--（4）y ''=111222{[()]}x x x '=++ 11111222221[([()]2x x x x -'=++⋅+ 111111222222111[()][1()(1)]222x x x x xx ---=++++⋅+111222111()[1()(1)]222x x x ---=+⋅+1()]=+4解：22sin y x x =+2cos 2y x x '∴=+00||2cos 2|2x x y x x =='∴=+=∴曲线22sin y x x =+在(0,0)点切线方程为：2y x = 法线方程为：12y x =- 5 证明2x x e e shx -+=2x xe e chx -+= ()()22x x x xe e e e chx shx --+-''∴===()()22x x x xe e e e shx chx ---+''===6解：21,6()1,0a x f x x bx x +<⎧=⎨++≥⎩在0x =点可得，(0)(0)f f +-∴=且(0)(0)f f +-''=又2(0)lim ()lim(1)1(0)x x f f x x bx f +++→→==++== 0(0)lim ()lim(1)1x x f f x a a ---→→==+=+， 110a a ∴+=⇒=而2000(0)(0)11(0)lim lim =lim (+)x x x f x f x b x f x b b x x++++∆→∆→∆→+∆-∆+∆+-'==∆=∆∆0(0)(0)11(0)lim lim =0x x f x f a f x x---∆→∆→+∆-+-'==∆∆ 0b a ∴==7.解：()f x 在0x 点可导，0()=0f x ，()g x 在0x 点连续， 000000()()()()limlim x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆-+∆'∴==∆∆00lim ()()x x g x g x →=，000000()()()()[()()]lim x x x f x x g x x f x g x f x g x x =∆→+∆+∆-'∴=∆ xx x g x x f x ∆∆+∆+=→∆)()(lim 000 )()()(lim 0000x x g xx f x x f x ∆+⋅∆-∆+=→∆ )(lim )()(lim 00000x x g xx f x x f x x ∆+⋅∆-∆+=→∆→∆)()(00x g x f '=习题2.31.解（1）xx x x e x x e x xe e x y -----=-='=')2(2)(222x x x e x x e x e x x y ------='-='')2()22(])2[(22 )222(2x x x e x +--=- x e x x -+-=)24(2（2）12122)(--='='x x e e y ,12124)2(--='=''x x e e y （3）22211)1(arctan 2]arctan )1[(xx x x x x y +++='+='1arctan 2+=x x 212arctan 2)1arctan 2(x xx x x y ++='+='' （4）222211)1221(11])1[ln(xxx xx x x y +=++++='++='232222)1(12121)11(-+-=+⋅+-='+=''x x x xx x y2.解 56)10(6)()10()(+='∴+=x x f x x f34)10(120)()10(30)(+='''+=''x x f x x f 101212120)2(43⨯=⨯='''∴f3.证明：wt A s sin = wt Aw dt ds cos =∴wt Aw dtsd a sin 222-==∴ （运动物体加速度） 0sin sin 22222=⋅+-=+∴wt A w wt Aw s w dtsd 4.)(ln x f y = )(ln 11)(ln x f xx x f y '='='∴ x x f x x f x x f x y 1)(ln 1)(ln 1])(ln 1[2''+'-=''='')](ln )(ln [1)(ln 1)(ln 1222x f x f xx f x x f x '+''=''+'-=})](ln )(ln [1{2''-''=∴x f x f x y]1)(l n 1)(l n[1)](ln )(ln [223xx f x x f x x f x f x ''-'''+'-''-=)](ln )(ln [1)](ln )(ln [233x f x f xx f x f x ''-'''+'-''-= )](ln )(ln )(ln 2)(ln 2[13x f x f x f x f x ''-'''+'+''-=)](ln 3)(ln )(ln 2[13x f x f x f x''-'''+'=5.2)21(111-='∴-=y x y 34)1(2)1()1)(1(2x x x y -=----=''.....)1(23)1()1()1(32462x x x y -⋅=---⋅-='''设1)()1(!+-=k k x k y则222)1()1()!1()1()]1([)1(!+++-+=-+---=k k k k x k x k x k y1)()1(!+-=∴n n x n y6、解：22(1)x y x e =+(8)2212(7)22(6)88(1)()2+C ()2x x x y e x C e x e ∴=++⋅⋅221126287(1)2222x x e x xe e ⨯=+++⋅⋅ 22119(1272)x e x x =+++⋅22(20483585)x x x e =++7解：()21sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 00x x ≠= 0x ∴≠时，2111()(sin )2sin cos f x x x x x x''==-0x =时：()2001sin()(0)limlim 0x x x f x f x f x xx∆→∆→∆∆-∆===∆∆()000112sincos ()(0)111limlim lim(2sin cos )x x x x f x f x x f x x xx x x x∆→→→∆-∆-∆∆===∆-∆∆∆∆∆112sin cos ,0()0,0x x f x x xx ⎧-≠⎪'∴=⎨⎪=⎩00112sincos ()(0)111(0)limlim lim(2sin cos )x x x x f x f x x f xx x x x→→→∆-∆-∆∆'===-∆∆∆∆∆故(0)f '不存在。
高等数学题库第二章题目证明题
高等数学题库第二章《导数》证明题1. 设函数()x f 对任意x 满足()()x af x f =+1，且()()为常数b a b f ,0='，证明：()x f 在1=x 处可导，且()ab f ='12. 证明：函数()()x a x x f ϕ-=（其中()x ϕ为连续函数，且()0≠x ϕ）在点a 不可导。
3.设函数()x f 为()0><γγx 上的偶函数，且()0f '存在，证明：()00='f4. 设函数()x f 在()+∞∞-,内有定义，对任意x 都有()()x f x f 21=+，且当10≤≤x 时，()()21x x x f -=。
证明：()x f 在0=x 处不可导.5. 设()()00,10=''='f f ，求证：在0=x 处，有()()2220222d d d d ===x x x f x xf x6. 设函数()x f 满足下列条件 （1）()()()y f x f y x f =+，对一切R y x ∈,；（2）()()x xg x f +=1，而()1lim 0=→x g x ，证明：()x f 在R 上处处可导且()()x f x f ='。
7. 设()x y y =由参数方程t t x t t y +=+=2,2所确定，证明：()x y 在0=t 点连续，左右导数存在但不相等。
8. 设在()+∞∞-,内()x f 是以a 2为周期的周期函数，且具有一阶连续导数，证明： （1）导数()x f '也是以a 2为周期的周期函数。
（2）至少存在一点[]a ,0∈ξ，使得()()ξξf a f '=+'9. 设()x f 在0=x 附近有定义，且()2x x f ≤，证明：()x f 在0=x 处可导且()00='f 。
10. 设()x f 在()+∞∞-,上有定义，且满足：（1）()()()()+∞∞-∈∀=+,, y x y f x f y x f （2） ()10=f （3） ()0f '存在，证明：()+∞∞-∈∀,x ，有()()()x f f x f 0'=' 11. 证明：曲线()()[]0>=x f x f y 及()ax x f y sin =在公共点彼此相切，其中()x f 为可微函数。
高数习题解答(第2章)
第二章 导数与微分2．设f (x ) 在点x = x 0可导，把下面各题中的字母A 分别用一个关于f ' (x 0)的式子表示出来？(1) A =)()(lim00x f x f x x x x --→〔假定f ' (x 0) ≠ 0〕;(2) A =xx f x x f x x ∆-∆-→)()2(lim000;(3) x 0 = 0，f (0) = 0且A =xx f x )(lim 0→.解:(1) A =0lim→x )()(00x f x f x x --=0lim →x 0)()(1x x x f x f --=)('10x f (2) A =0lim →∆x (-2)xx f x x f ∆--∆-2)()2(00=-2f '(x 0)(3) A =0lim→x xx f )(=0lim →x x x f x x f )()(00-+=f '(x 0) 3．求曲线y = f (x )在点M 处的切线方程: (3) f (x ) = x 2, M(0, 0).解: 因为f ' (x )=2x , 从而f '(0)=0,因此, 所求切线方程为y -0= f '(0)(x -0), 即y =0. 5. 求曲线y = x 3 + x 上的与直线y = 4x 平行的切线.解: 与直线y = 4x 平行的切线的斜率为4. 因此y ' = 3x 2+1 = 4, 从中求出切点的横坐标x =±1. 把它们代入曲线方程y = x 3 + x , 求出切点的纵坐标为2和 -2, 即切点为(1, 2) 和 (-1, -2). 因此, 所求切线方程为: 4x – y -2 = 0 和4x – y +7 = 0. 6．设()⎩⎨⎧≥+<=0,0,sin x b ax x x x f . 讨论a, b 取何值时，f (x )在点x = 0处可导. 解:因为f (x )在x = 0处可导,所以f (x )在x 0lim →x (f (x )-f (0))=0, 即lim →x [(ax +b )-b ]=0且 0lim →x [sin x -b ]=0.由此推出b = 0.又,由于f (x )在x = 0处可导,所以下面极限存在且相等lim→x 0)0()(--x f x f =+→0lim x 0)0()(--x f x f =-→0lim x 0)0()(--x f x f . 因为+→0lim x 0)0()(--x f x f =+→0lim x xbb ax -+= a ,-→0lim x xb x -sin =-→0lim x x xsin =1(因为b =0) 所以a =1.总之, 当a =1, b =0时f (x )在x = 0处可导. 8. 讨论以下函数在x = 0处的连续性和可导性：(1)y = | sin x |; (2) y = 00,,01sin 2=≠⎪⎩⎪⎨⎧x x xx . 解:(1)因为0lim →x |sin x |-sin0| =0lim →x |sin x | = 0, 所以函数y = |sin x |在x =0处连续.又因为在x =0处的坐导数-→0lim x 0|0sin ||sin |--x x =-→0lim x 0|sin |-x x = -1, 在x =0处的右导数 +→0lim x 0|0sin ||sin |--x x =+→0lim x 0|sin |-x x =1, 可见左右导数不相等, 所以函数y =|sin x |在x =0处的导数不存在, 即不可导.(2)因为0lim →x x 2sinx 1-0=0lim →x sin x1=0, 所以函数y 在x =0处连续. 又因为0lim→x 01sin 2--x x x =0lim →x x sin x 1=0, 所以函数y 在x = 0处可导.2. 求以下函数的导数: (6) x x x y -=ln ; (8) 21arctan xxy +=. 解: (6) y = x ln x - xy '= ln x + x x1-1= ln x. (8) y =21arctan x x+y '=222222)1()1(2)1(arctan )1(11x x x x x ++--++=4222)1(arctan 2)1(x x x x +++.3. 求以下函数在给定点处的导数: (3) ()ttt f --=11，求()4f '; (4) ()5532x x x f +-=，求()0f '和()2f '. 解: 因为f '(t ) = (t+11) '=2)1(211t t +-=-2)1(21t t +,所以, f '(4) = -361. (4) 因为f '(x ) = 3⨯2)5(1x --+52x ,所以, f '(0) = -253, f '(2) = 157.1. 求以下反函数的导数:(2) 22arctan ⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y ; (4) 212arcsin t t y +=. 解: (2) y '= 2arctan2x 2)2(121x +=244x +arctan 2x (4) y ' =22)12(11t t +-·222)1(22)1(2t t t t +⋅-+ =2222222)1()1()1(22t t t t ++-- =|1|)1()1(2222t t t -+-= ⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+1,121,122222t tt t 2. 求以下复合函数的导数:(2) x x y 22cos cos +=; (4) x y ln ln =; (6) ()22ln a x x y -+=;(8) xx y 2sin =; (10) ()x x y cot csc ln -=; (12) xx y cos =. 解: (2) y '= -sin x 2 2x + 2cos(sin x ) = -2x sin x 2 - sin2x.(4) y ' =x ln 1·x 1=xx ln 1. (6) y ' =221ax x -+·(1+2222ax x -).=222222ax x a x xa x -+-+-=221a x -.(8) y ' =22sin 2cos 2x x x x -⋅=22sin 2cos 2x xx x -.(10) y ' =xx cot csc 1-(-c o txc ss x +c s c 2x ) = csc x.(12) y ' = (e cos x ln x ) '= e cos x ln x (-sin x ln x + cos x ·x 1) = x c os x (-sin x ln x +xxcos ).3. 假设()x f ''存在，求以下函数y 的二阶导数22d d xy:(1) ()2x f y =; (2) ()[]x f y ln =. 解: (1) y = f (x 2)dxdy= f '(x 2)2x =2xf '(x 2), 22dxyd = 2f '(x 2) + 2xf ''(x 2)2x = 2f '(x 2)+4x 2f ''(x 2). (2) y = ln[f (x )]dx dy =)()('x f x f 22dx d y =)()(')(')()("2x f x f x f x x f -+=)()]('[)(")(22x f x f x f x f -.2. 求曲线323232a y x =+在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a 42,42处的切线方程和法线方程. 解: x 32+ y 32= a 32 两端对x 求导得:32x 31-+32y 31-dxdy= 0,从中解出dx dy = - (xy )31, 所以dx dy|)42,42(a a = -1.故所求切线方程为: x + y -22a = 0, 所求法线方程为: x - y = 0. 7. 计算由⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 所确定的函数y = y (x )的二阶导数.解: dx dy =)sin (cos 3cos sin 322t t a t t a -⋅⋅= -tt cos sin = - ta n t , 22dx y d = -se c 2t ·)sin (cos 312t t a - =t t a sin cos 314 .1．x 的值从1=x 变到01.1=x ，试求函数x x y -=22的增量和微分. 解: ∆y = y (1.01) - y (1) = 2(1.01)2--(2-1) = 0.0302, d y = (4x -1)d x= (4⨯-1) ·-1)5. 计算以下函数的近似值: (2) 01.1ln .解: 设f (x ) = ln x , 取x 0 =1, x =1.01. 则∆x = x - x 0 -1= 0.01. 因为 f '(x )=x1, 从而f '(x 0) =1. 故ln 1.01 = ln x 0 + f '(x 0)∆x = ln 1 + 1·(0.01) = 0.01.总习题21. 利用导数的定义求导数: (2) 设()()1ln ≥<⎩⎨⎧+=x x x xx f ，求()0f '. (3) 设()0>≤⎩⎨⎧+=x x bax e x f x，假设函数f (x )在点x = 0处连续且可导，求系数a 和b . 解:(2) 因为f -'(x ) =-→0lim x 00--x x = 1, f +'(0) = +→0lim x xx 0)1ln(-+= 1, 故f '(0) =1.(3)由f (x )在x =0处连续，得0lim →x f (x )-f (0) =0, 即+→0lim x (ax +b )-1=-→0lim x e x -1=0. 从中求得b =1.因为f (x )在点x = 0处且可导，所以在点x = 0处左右导数存在且相等, 而f -'(0) =-→0lim x x e x 1-=1, f +'(0) = +→0lim x xax 1-= a , 故a =1.总之a =1, b =1.5. 证明题:〔1〕 设()x f 是可导函数，试证: 假设()x f 为偶函数时，则()x f '为奇函数;假设()x f 为奇函数时，则()x f '为偶函数.〔2〕 验证函数22x x y -=满足关系式013=+''y y .证明: (1)因为f (x )为偶函数，所以f (-x ) = f (x ). 因为()x f 是可导函数，可上式两端对x 求导得 -f '(-x ) = f '(x ), 即f '(-x ) = -f '(x ), 这说明了f '(x )为奇函数.当f (x )为奇函数时, f (-x ) = -f (x ). 可上式两端对x 求导得 -f '(-x ) = -f '(x ), 即f '(-x ) = f '(x ), 这说明了f '(x )为为偶函数。
高等数学第二章习题详细解答答案
1 ⎧ 2 1 ⎪ x sin , x ≠ 0 （2）∵ y = ⎨ ，而 lim y = lim x 2 sin = 0 = y x = 0 ，所以函数在 x = 0 处连续 x x →0 x →0 x ⎪ x=0 ⎩ 0,
1 x = 0 ，所以函数在 x = 0 点处可导. 而 lim x →0 x−0 x 2 sin
−2 sin cos (x + Δx) − cos x 3．解： ( cos x)′ = lim = lim Δx → 0 Δx →0 Δx Δx sin 2 x + Δx 2 = − sin x = - lim sin ⋅ lim Δx → 0 Δx → 0 Δx 2 2
4. 解：（1）不能，（1）与 f ( x ) 在 x0 的取值无关，当然也就与 f ( x ) 在 x0 是否连续无关， 故是 f ′( x0 ) 存在的必要条件而非充分条件. （2）可以，与导数的定义等价. （3）可以， 与导数的定义等价. 5. 解：（1） 5 x
9 −1 = 4 ，而 y′ = (x 2 )′ = 2 x ，令 2 x = 4 ， 3 −1
得： x = 2 ，所以该抛物线上过点 (2, 4) 的切线平行于此割线. 10.解：（1）连续，但因为
f (0+ h )− f (0 ) = h
因而 lim
h→0
3
h −0 1 = 2/ 3 h h
f (0 + h) − f (0) 1 = lim 2 / 3 = +∞ ，即导数为无穷大。 → h 0 h h
∴ f +′(0) ≠ f −′(0) = −1 ，所以 f ′(0) 不存在.
13. 解 ： 当 x > 0 时 ， f ( x) = x 是 初 等 函 数 ， 所 以 f ′( x) = 3 x ； 同 理 ， 当 x < 0 时
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高等数学第二章习题
一 、选择填空（一个3分，共24分）
1、 已知,01lim 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+∞→b ax x x x 则（ ） （A ）1,1==b a （B ）1,1-=-=b a （C ）1,1=-=b a （D ）1,1-==b a
2、函数32)2)(23()(++-=x x x x x x f 有（ ）个不可导点。
（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4
3、设)2004()2)(1()(---=x x x x x f ，则=)0(/
f （ ）
（A ） !2003- （B ）!2004- （C ）!2003 （D ） !2004 4、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0
0,1sin )(x x x x x f k ，在0=x 点处，下面叙述错误的是（ ） （A ）0>k 时连续（B ）1>k 时连续不可导（C ）1>k 时可导（D ）2>k 时导函数连续
5、设)(x f 在1=x 点处可导，且0)1(=f ，下列等式不等于)1(/f 的是
（A ）220)tan (cos lim x x x f x +→ （B ）20)(cos 2lim x
x f x -→ （C ）)1(4)sin 31()sin 1(lim 0---+→x x e x f x f （D ）220)1(lim x
x f x --→ 6、设2
1)(0/=x f ，则0→x ∆时，该函数在0x x =处的微分dy ( ) （A ）是 x ∆的高阶无穷小 （B ）是 x ∆的低阶无穷小
（C ）是 x ∆的等价无穷小 （D ）是 x ∆的同阶阶无穷小
7、设)(x f 在0x x =处可导，)(x g 都在0x x =处不可导，则叙述错误的是（ ）
（A ）)()(x g x f +在0x x =处不可导 （B ）)()(x g x f -在0x x =处不可导
（C ）)()(x g x f 在0x x =处不可导 （D ）)()(x g x f 在0x x =处不一定不可导
8、下面叙述错误的是（ ）。
（A ）)(x f 在0x x =处可导，则)(x f 在0x x =处有切线。
（B ）)(x f 在0x x =处不可导，则)(x f 在0x x =处就没有切线。
（C ）)(x f 在0x x =处导数为无穷大，则)(x f 在0x x =处有切线。
（D ）)(x f 在0x x =处左右导数存在不相等，则)(x f 在0x x =处就没有切线。
二 、填空（1个4分，共32分）
1、如果⎪⎩
⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x x e x x f ax 在),(+∞-∞内连续，则_______________=a 2、已知21)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为______________
3、曲线⎩⎨⎧=+=32
1t
y t x 在2=t 处的切线方程为___________________________ 4、若))((),1ln()(2x f f y x x f =+=，则_______________________/=y
5、 设曲线n x x f =)( 在点)1,1(处的切线与x 轴的交点为)0,(n u ，则________)(lim =∞
→n n u f 6、设x xe x f =)(，则______________)0()
(=n f
7、设y x y +=tan ，则________________=dy
8、已知,arctan )(,2323/x x f x x f y =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 则==0
x dx dy __________________
三、 完成下列各题：（前4题，7分，最后2题8分）
1、设)(x f 在]1,0[上连续。
且1)(0<<x f ，则必存在)1,0(∈ξ使ξξ=)(f 。
2、设x x
x
x y ln )(ln =，求/y 3、确定b a ,使⎩⎨⎧≤>+=1
,01,)(x x b ax x f 处处可导。
4、已知)(x y y =由1=-y xe y 所确定，求02
2=x dx y d 。
5、已知/1y dy dx =，求证：3///
22)
(y y dy x d -= 6、设)(x f ，)(x g 的定义域为R ，y x ,∀恒有)()()()()(x g y f y g x f y x f +=+，0)0(=f , 0)0(,1)0(,1)0(//===g f g ，求)(/x f 。