八年级数学下册第一章专题训练(附答案)

命题点1：三角形相关性质的综合运用

◆类型一命题正误的判断

1．(·贵阳模拟)下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长分别是1，10，3的三角形是直角三角形；③三个角之比为3∶4∶５的三角形是直角三角形．其中正确的有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．下列命题：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②等腰三角形顶角的平

分线把它分成两个全等的三角形；③三角形的外角大于三角形的任何一个内角；④若等

腰三角形的两边长为2和5，则它的周长为9或12.其中假命题有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

◆类型二新定义与阅读理解型问题

3．定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心”．如图①，若PC＝PB，则称点P为△ABC的准外心．

(1)观察并思考，△ABC的准外心有________个；

(2)如图②，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD＝1

2

AB，在

图中找出点P，并求出∠APB的度数；

(3)已知△ＡBC为直角三角形，∠A＝90°，斜边BC＝5，AB＝3，准外心点P在AC边上，在图中找出P点，并求出PA的长．

4．若经过三角形某一顶点的直线可把它分成两个小等腰三角形，那么我们称该三角

形为等腰三角形过该顶点的生成三角形．

(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，问△ABC是否是生成三角形？请说明理由；

(2)如果等腰△DEF有一个内角为36°，那么请你画出简图说明△DEF是生成三角形(要求画出直线，标注出图中等腰三角形的顶角与底角的度数)．

◆类型三三角形相关性质与其他性质的综合

5．将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90°至△A′OB′的位置．若点B的横坐标为2，则点A′的坐标为( )

A．(1，1) B．(2，2)

C．(－1，1) D．(－2，2)

第5题图第6题图

6．★(·贵阳模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，CD为AB 边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长为____________．

命题点2：等腰三角形中易漏解或多解的问题

◆类型四求长度时忽略三边关系【易错1】

7．一个等腰三角形的两边长分别是4，8，则它的周长为( )

A．12 B．16 C．20 D．16或20

8．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们讨论这样一个问题：“已知一个等

腰三角形的周长是12，其中一条边长为3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和

讨论后，小明同学举手说：“另两条边长为3，6或4.5，4.5.”你认为小明回答是否正确：________，理由是________________________．

9．若等腰三角形的三边长分别为x＋1，2x＋3，9，则x＝________．

◆类型五当腰或底不明求角度时没有分类讨论

10．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( )

A．100° B．40°

C．40°或100° D．60°

11．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为________．

12．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为45°，那么该等腰三角形的顶角度数为

________．

13．已知三角形纸片ABC中，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，求∠Ｃ的度数．

◆类型六三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论

14．(·绥化中考)在等腰△ABC中，AD⊥BC交BC于点D.若AD＝1

2

BC，则△ABC的顶

角度数为____________．

15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，求顶角的度数．【易错3】

◆类型七一边确定，另两边不定，确定三角形的个数时漏解【易错4】

16．如图，点A的坐标为(2，2)，若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P有( )

A．4个 B．6个 C．7个 D．8个

第16题图第17题图

17．如图，在4×５的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A，B，C为

顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的C点有________个．

18．如图，在6×６的正方形网格中，点A，B均在正方形格点上，在网格中的格点上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则符合条件的C点有________个．

参考答案与解析

1．C 2.B

3．解：(1)无数解析：∵到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准

外心，∴△ABC的准外心是AB，BC，AC的垂直平分线上的点，∴△ABC的准外心有无数个．

(2)此题分三种情况：①若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC.∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PB＝2PD.在Rt△PDB中，由勾

股定理得PD2＋DB2＝PB2＝(2PD)2，∴PD＝

3

3

DB＝

3

6

AB，与已知PD＝

1

2

AB矛盾，∴PB≠PC；

②若PA＝PC，连接PA，同理可得PA≠PC；③若PA＝PB，由PD＝1

2

AB，得PD＝BD＝AD，

∴∠APD＝∠BPD＝45°，∴∠APB＝90°.点P如图①所示．

(3)∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝BC2－AB2＝4.分三种情况讨论：①若P1B＝P1C，设P1A

＝x，则P1B＝P1C＝AC－AP1＝4－x，由勾股定理得x2＋32＝(4－x)2，∴x＝7

8

，即P1A＝

7

8

；

②若P2A＝P2C，则P2A＝2；③若P3A＝P3B，由图可知此点不可能存在．综上所述，PA＝2