第五章 模糊逻辑与模糊推理
人工智能的模糊推理与模糊逻辑
人工智能的模糊推理与模糊逻辑人工智能的模糊推理与模糊逻辑在当今信息时代发展中扮演着重要的角色。
随着人工智能技术的不断进步，越来越多的领域开始应用模糊推理与模糊逻辑，以解决现实世界中存在的复杂问题。
模糊推理是指基于模糊集合理论的推理方法，能够应对模糊、不确定和不完全信息的推理和决策问题。
而模糊逻辑则是一种扩展了传统逻辑的形式，用于处理模糊概念和模糊语言的推理问题。
模糊推理与模糊逻辑的基础是模糊集合理论。
模糊集合理论是20世纪60年代由日本学者山下丰提出的，用来描述现实世界中存在的模糊、不确定性和不完全性现象。
在模糊集合理论中，每个元素都有一个隶属度，表示其属于该模糊集合的程度。
通过模糊集合的交集、并集和补集等运算，可以对模糊信息进行处理和推理，从而实现对不确定性问题的分析和决策。
在人工智能领域，模糊推理与模糊逻辑的应用范围非常广泛。
其中一个重要的应用领域是模糊控制系统。
在传统的控制系统中，输入和输出之间的关系通常是通过清晰明确的数学模型来描述的，但是现实世界中很多系统存在着模糊性和不确定性，这时就需要使用模糊推理和模糊逻辑来构建模糊控制系统。
通过模糊控制系统，可以有效地处理复杂系统的控制问题，提高系统的性能和稳定性。
另一个重要的应用领域是模糊信息检索和决策支持系统。
在信息爆炸的时代，人们需要从海量的数据中获取有用的信息，模糊推理和模糊逻辑可以帮助人们快速、准确地找到他们需要的信息。
通过模糊信息检索和决策支持系统，可以有效地处理模糊查询和不完全信息的检索问题，提高信息检索的效率和准确性。
除了以上两个应用领域外，模糊推理与模糊逻辑还可以应用于模式识别、专家系统、人工智能语音识别等领域。
在模式识别领域，模糊推理和模糊逻辑可以帮助系统更准确地识别复杂模式和特征，提高模式识别的准确性和鲁棒性。
在专家系统领域，模糊推理和模糊逻辑可以帮助系统模拟人类专家的知识和推理过程，实现对复杂问题的自动化处理和分析。
在人工智能语音识别领域，模糊推理和模糊逻辑可以帮助系统更好地理解和处理人类语音，提高语音识别的准确性和鲁棒性。
计算智能 模糊逻辑和模糊推理
0 0 0.5 1 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 R = 1 1 1 1 1 小大 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B1 A1 R
小大
0 0 0.5 1 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 = 1 0.4 0.2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
语言是人们进行思维和信息交流的重要工具,是一种 符号系统。 语言可分为两种:自然语言和形式语言,通常的计算 机语言是形式语言。 人们日常所用的语言属自然语言。自然语言的突出 特点在于它具有模糊性,如“ 今天是个好天”,“小 王很年轻”等。 在形式逻辑中，推理有直接推理，演绎推理、归纳 推理以及类比推理等形式。在科学研究工作中，最 常用的推理方法是演绎推理中的假言推理。 基本规则是如果已知命题A (即可以分辨真假的陈述 句)蕴含B,即A → B(或A 则B)，如今确为A1，则可 得结论为B1。
0.1 0.5 0.5 0.1 1 0.6 0.1 0.1 0.1
0.1 0.4 0.4 0.1 C1 =( A1 B1 )T R 0.1 0.5 1 0.1 0.5 0.5 0.1 0.1 0.1 0.4 0.4 0.1 0.1 C1 0.4 0.5 0.1
（3）模糊条件语句" if A and B then C else D, 则模糊关系 R 为：
T T R = ( A B ) C ( A B ) D
合成:Ci ( Ai Bi )T R
模糊聚类分析
模糊关系及推论
模糊逻辑的运算
模糊逻辑中的运算包括模糊与、模糊或、模糊非 等。
这些运算不同于经典逻辑中的与、或、非运算， 它们在处理模糊信息时具有不同的性质和效果。
例如，模糊与运算可以处理两个模糊集合之间的 关系，并得到一个新的模糊集合。
模糊逻辑的性质
01
模糊逻辑具有连续性，这意味着它能够处理连续的变量和 值域。
03 模糊集合
模糊集合的定义
模糊集合是由普通集 合中引入了程度概念 的集合。
模糊集合用数学符号 表示为A，其中A⊆X， X为论域。
模糊集合的元素不再 是确定的，而是属于 集合的程度在0到1之 间。
模糊集合的运算
并集
设A、B为模糊集合，则A∪B表示A和B中所有元素的集合， 其隶属度为max(A(x), B(x))。
交运算
02
03
补运算
表示两个模糊集合的交集，表示 元素属于这两个集合的程度的最 大值。
表示一个模糊集合的补集，表示 元素不属于这个集合的程度的最 大值。
02 模糊推理
模糊推理的定义
模糊推理是一种基于模糊集合理论的推理方法，用于处理具有模糊性的信 息和数据。
它通过将普通集合论中的确定性概念扩展到模糊集合论中的不确定性概念， 使得推理过程能够更好地处理现实世界中的模糊性和不确定性。
02
它还具有非线性，这意味着它能够处理非线性关系和函数。
03
此外，模糊逻辑还具有自反性和对称性等性质，这些性质 使得它在处理模糊信息时具有更强的灵活性和适应性。
05 模糊系统
模糊系统的定义
01
模糊系统是一种基于模糊集合理论的系统，用于处理具有不确 定性、不完全性和模糊性的信息。
02
它通过模糊化输入信号，将确定的输入转化为模糊集合，然后
模糊逻辑与模糊推理
第3章模糊逻辑与模糊推理3.1命题与二维逻辑普通命题：二值逻辑中一个意义明确可以分辨真假的陈述句称为命题(举例)。
复命题：用或、与、非、若…则、当且仅当等连接的单命题称为复命题。
注意：P T Q O(PQQ)CAO 1→(01)∪1=10 0→(00)J1=13.2模糊命题与模糊逻辑模糊命题：具有模糊概念的命题称为模糊命题。
例？为一模糊命题，称v(r)=χ∈[o,ι]为模糊命题？的真值。
模糊逻辑：将研究模糊命题的逻辑称为模糊逻辑。
3.3布尔代数与De-Morgan代数布尔代数：格——满足福等律、交换律、结合律、吸收律分配格——还满足分配律再满足复原律、补余律称为布尔代数1=({0,1},v,∕∖,C)表示一个布尔代数。
模糊代数(De-MOrgen代数、模糊软代数)：不满足补余律，且满足De-Morgen律的布尔代数，即1=([0,1],v,人()称为模糊代数。
3.4模糊逻辑公式模糊逻辑公式：设M，居，…，X”为在[0,1]区间中取值的模糊变量，将映射F:[o,ιp→[0,1]称为模规逻辑公式。
模糊逻辑公式/的真值T(∕),称为/的真值函数。
真值函数的运算性质:T(F)=I-T(F)T(F vF)=max(T(F),T(F))T(F A F)=min(T(FXnF))T(F→F)=min(1,I-T(F)+T(F))了真——F 中一切赋值均为T(F)≥J2 /假——尸中一切赋值均为TX 产)<g1 .模糊逻辑函数的分解例：模糊逻辑函数/(x,y,z)=0V 取丫兀由，确定/(x,y,z)在〃=2处于第一级时变量的取值范围。
解：为满足了处于第一级，则Jf(X,y,z)≥6 于是，疝≥%或xyz ≥见或xyz≥a i 则有：x≥i -a↑x≥a↑y≥∖-a[或y≥a↑z≥a 1 [z≤∖-a↑2 .模糊逻辑函数范式——标准型析取形式：∕=∑n/∙»=17=1 合取形式：F=<=1j=1举例：f(x,y,z)=[(xVy)A V[(xvz)A y]=(xvy)v(xvz)v(yvz)3.5 语言变量及其集合描述自然语言：具有模糊性，灵活。
模糊推理课件讲解
模糊逻辑 模糊命题 模糊推理规则 模糊推理系统
模糊逻辑
语言是一种符号系统，通常包括自然语言和人工 语言两种。自然语言是指人类交流信息时使用的 语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观 念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定 性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是 由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、 模范、优美、拥护等)。人工语言主要是指程序设 计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工 语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。
(X , T (X ), U, G, M )
模糊逻辑
一个完整的语言变量可定义为一个五元体 （X,T(X),U,G,M) 其中X——语言变量的名称； T(X)——语言变量的语言值； U ——论域； G ——语法规则； M ——语义规则。
实例
以“年龄”作为语言变量X，该语言变 量的论域U取[0, ∞)。根据语法规则可知， 描述语言变量“年龄”的语言值有“年 青”、“中年”、“年老”几种，那么T(X) 可表示为
模糊逻辑
一切具有模糊性的语言都称为模糊语言 ， 它是一种广泛使用的自然语言，如何将模 糊语言表达出来，使计算机能够模拟人的 思维去推理和判断，这就引出了语言变量 这一概念 。语言变量是以自然语言中的词、 词组或句子作为变量 。语言变量的值称为 语言值，一般也是由自然语言中的词、词 组或句子构成。语言变量的语言值通常用 模糊集合来描述，该模糊集合对应的数值 变量称作基础变量。
T(X)＝年青＋中年＋年老
语义规则主要是用来反映实际论域中的岁 数与模糊集合“年青”、“中年”、“年 老”之间的关系。模糊语言变量的完整描 述见 后图
年青 1.0
年龄 中“年年龄”语言变量的五年元老体
模糊推理
Zadeh模糊推理法 Zadeh模糊推理法
与Mamdani推理法相比，Zadeh推理法也是 Mamdani推理法相比，Zadeh推理法也是 采用取小合成运算法则，但是其模糊关系 的定义不同。
Takagi－Sugeno模糊推理法 Takagi－Sugeno模糊推理法
这种推理方法便于建立动态系统的模糊模 这种推理方法便于建立动态系统的模糊模 型，因此在模糊控制中得到广泛应用。T-S ，因此在模糊控制中得到广泛应用。T 模糊推理过程中典型的模糊规则形式为： 模糊推理过程中典型的模糊规则形式为： 如果x 如果x是 A and y是B，则z=f（x，y） y是 ，则z=f（ 其中A 其中A和B是前件中的模糊集合，而z= 是前件中的模糊集合，而z= f（x，y）是后件中的精确函数。
模糊逻辑对应于模糊集合论，模糊逻辑运 模糊逻辑对应于模糊集合论， 算除了不满足布尔代数里的补余律 补余律外 算除了不满足布尔代数里的补余律外，布 尔代数的其它运算性质它都适用。 尔代数的其它运算性质它都适用。除此之 外，模糊逻辑运算满足德 摩根(De外，模糊逻辑运算满足德摩根(De-Morgan) 模糊逻辑运算满足德 代数，即 代数，即 对于补余运算，De-Morgan代数中是这样定义 对于补余运算，De-Morgan代数中是这样定义 的：
模糊推理系统
模糊逻辑 模糊命题 模糊规则 模糊推理
模糊逻辑
语言是一种符号系统，通常包括自然语言和人工 语言两种。自然语言是指人类交流信息时使用的 语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观 念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定 性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是 由于自然语言中经常用到大量的模糊词( 由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、 模范、优美、拥护等) 模范、优美、拥护等)。人工语言主要是指程序设 计语言，如我们熟悉的C 计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工 语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。
计算机控制系统设计第五章模煳控制技术
)
g x2 ( x1 ) g x1 ( x2 ) g x2 ( x1 ) g x1 ( x2 )
若由 g(x1 / x2 ) 为元素构成相及矩阵，可得
1
G
g
(
x2
/
x1 )
g( x1 / x2 )
1
同理可得
1,
g
g ( x1 (x2 /
/ x2 ), g ( x1 x1 ),1, g ( x2
国内由刘增良教授主持完成的“模糊控制计算 机系沈阳工业大学硕十学位论文统”和“基于 因素神经网络理论的学习型模糊推理控制机” 成果，达到了世界先进水平。
1989年北师大建立国家级模糊实验室。
20世纪90年代，模糊控制软件与硬件技术的完 善，为模糊控制技术的实现提供了更好的发展 空间。
近年来，随着模糊控制的广泛应用，模糊硬件 产品和软件正使模糊控制向更高一级的新领域 扩展，如机器人定位系统，汽车定位系统、智 能车辆高速公路系统。
~
或 A =1/a+0.9/b+0.4/c+0.2/d ~
无限论域:
A
( (x))
~
x U
x
模糊集合的运算
空集
A
~
A
~
(x)
0
等集A ~~
A(x)
~
B ( x)
~
子集
A
~
B
~
A
~
(x)
B
~
(x)
并集
C
~
A
~
B
~
c ( x)
~
max[
~
( x),
(x)]
~
( x)
模糊逻辑与模糊推理PPT课件
A X
B Y 的真域
(a) 的子(集b，)即
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1
第21页/共67页
4.1 逻辑推理概述
• 演绎推理 • 数理逻辑主要的研究内容。 • 演绎推理一般具有三段论法的形式。
•从两个两个判断，得出第三个判断。 •举例 — 苏格拉底论述： •大前提：所有的人都是要死的 •小前提：苏格拉底是人 •结论： 苏格拉底总是要死的
2021/5/1
2021/5/1
A
A
T a( x) 25 A( x)
第265页/共67页
4.3 模糊推理
• 推理句
• 句型“若x*是a，则y*是b”，简记为
• 普通推理句：a，b均表示清晰的概念。
• 设x、y的论域分别是X、Y
• a、b两个清晰概念分别对应经典集合A和B
• 对于任意一个
• 命题
( x,的y真) 值计X算：Y
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8
第98页/共67页
4.2 二值逻辑和模糊逻辑
• 命题联结词 • 用P，Q分别表示两个命题
逻 辑
p q pq pq pq p q p
关 系
TT
T
T
T TF
用 真
TF
F
T
F FF
值 表
FT
F
TT
FT
示 FF F
F
T
TT
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9
第第190页页//共共6677页页
4.2 二值逻辑和模糊逻辑
（）
B
A — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
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（）
B
20
模糊逻辑中的模糊关系与模糊推理在人工智能中的应用与挑战
模糊逻辑中的模糊关系与模糊推理在人工智能中的应用与挑战第一节：引言人工智能（Artificial Intelligence，AI）作为一门新兴的学科，旨在开发智能机器，使其能够以人类类似的方式思考、学习和解决问题。
在人工智能的发展过程中，模糊逻辑作为一种重要的推理方法，被广泛应用于解决信息处理中的模糊问题。
本文将探讨模糊逻辑中的模糊关系与模糊推理在人工智能中的应用与挑战。
第二节：模糊关系的概念与表示模糊关系是模糊逻辑中的重要概念之一，用于描述对象之间模糊的关联关系。
与传统的二值逻辑不同，模糊关系可以包含连续的取值范围，不仅适用于具有明确二元属性的情况，还适用于具有模糊属性的情况。
模糊关系可以使用模糊矩阵、模糊图或模糊规则等形式进行表示。
第三节：模糊推理的基本原理与方法模糊推理是模糊逻辑的核心内容之一，用于基于模糊关系进行不确定信息的推理。
模糊推理可以通过模糊关系的传递、蕴涵、模糊规则的匹配等方式实现。
常用的模糊推理方法包括模糊综合评判、模糊关联分析和模糊神经网络等。
第四节：模糊关系与模糊推理在人工智能中的应用模糊关系与模糊推理在人工智能领域有着广泛的应用。
首先，模糊关系可以用于描述复杂的现实世界中的模糊问题，如模糊控制系统、模糊识别和模糊决策等。
其次，模糊推理可以应用于专家系统和认知系统中，实现对不确定性信息的推理和决策。
此外，模糊逻辑还可以用于自然语言处理、模式识别和数据挖掘等领域。
第五节：模糊关系与模糊推理在人工智能中面临的挑战虽然模糊关系与模糊推理在人工智能中具有广泛的应用前景，但也面临着一些挑战。
首先，模糊关系的建立需要消耗大量的时间和资源，因此如何高效地构建模糊关系是一个挑战。
其次，模糊推理存在一定的计算复杂性，需要进行有效的算法设计和优化。
此外，模糊关系与模糊推理的结果可解释性较差，如何提高其可解释性也是一个重要问题。
第六节：结论本文探讨了模糊逻辑中的模糊关系与模糊推理在人工智能中的应用与挑战。
模糊逻辑与推理PPT课件
稍-λ=0.4。
模糊化算子
将肯定→模糊化的修饰词
判定化算子
模糊化→肯定的修饰词，“四舍五入”
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例：以“年老”为例
0 0 x 50
“年老”(x)
年老
(
x)
1
[
1
(
1 x
50)]2
5
则，“很老”时λ=2，其隶属度函数为
x 50
0
0 x 50
“很老”( x)
很老
(x)
[ 1
x
A
(
x)
A
(
x))]}
{[ y
B
(
y)
B
(
y)]}
C
(
z
)
( A B ) c (z)
第22页/共27页
推理计算步骤（求 ）：C
1）先求
，令
D A B
d xy A (，x可) 得矩阵B (Dy为)
d11 d12 d1m
D d 21
d 22
d
2
m
d n1 d n2 d nm
2）将D写成列矢量DT，即 3）求出关系矩阵R 4）由
Rmin 0 0 0.3 0.3 0.3
0 0 0
0
0
0 0 0 0 0
第16页/共27页
选择扎德推理法，则
较大 ( y) 较小 (x) Rzd
0 0 0.4 0.7 1
0.3 0.3 0.4 0.7 0.7
[1 0.6 0.4 0.2 0] 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7
由扎德推理法
小(x) [1 大 ( y) [0 较小（x) [1
0.7 0.3 0 0] 0 0.4 0.7 1] 0.6 0.4 0.2 0]
模糊逻辑与模糊推理(二)
Mamdani 和 Larsen 分别提出极小和乘积的隐含运算。 µ A→ B ( x, y ) = min[ µ A ( x), µ B ( y )] ˆ µ A→ B ( x, y ) = [ µ A ( x) • µ B ( y )] ˆ
这二种计算并不是基于因果关系，是出于计算的简单性， 但保留了因果关系，与传统的命题逻辑推理不符。
p T T F F
q T F T F
p∧q p∨q
T F F F T T T F
p→q p↔q ~ p
T F T T
T F F T
F F T T
传统命题逻辑的基本公理： 传统命题逻辑的基本公理：
1。 每一命题是真或假，但不能既真又假； 2。 由确定的术语所组成的表达式，都是命题； 3。 合取、析取、隐含、等效、逆运算组成的表达式也是命题。 有二个重要的同义反复（隐含） （隐含） ( p → q) ↔~ [ p ∧ (~ q)] ( p → q) ↔ (~ p) ∨ q ↔ (~ p) ∨ q
模糊逻辑与模糊推理
1）精确逻辑（传统逻辑）的一些概念
命题逻辑、布尔代数、和集合论是同构的。 隐含是重要的概念。 传统的命题逻辑中，命题的“真”和“假”必须具有 意义。逻辑推理是给定一个命题，组合成另一个命题的过 程。 组合的基本操作： 1）合取 Conjunction, 2）析取 Disjunction 3）隐含 Implication 4) 逆操作 Inversion 5) q”。
C1
C2
C1
C2
C′
隶属函数的计算
C ′ = ( A ′ × B ′) o ( R1 ∪ R 2 ) = [( A ′ × B ′) o R1 ] ∪ [( A ′ × B ′) o R 2 ] ′ = C 1 ∪ C ′2
模糊推理
•
•
(1) 离散且为有限论域的表示方法
为离散论域， 设论域 U={u1, u2, … , un}为离散论域，则其模糊集可表示为： 为离散论域 则其模糊集可表示为：
•
•
F={ µ F (u1 ) , µ F (u 2 ) , … ,
µ
F
(u n )
}
为了能够表示出论域中的元素与其隶属度之间的对应关系， 为了能够表示出论域中的元素与其隶属度之间的对应关系，扎德 引入了一种模糊集的表示方式： 引入了一种模糊集的表示方式：先为论域中的每个元素都标上其隶 属度，然后再用“+”号把它们连接起来 号把它们连接起来， 属度，然后再用“+”号把它们连接起来，即
µ µ
F F
( 20 ) = 1 , µ
F
( 30 ) = 0 . 8 , µ
F
F
( 40 ) = 0 . 4 ,
( 50 ) = 0 . 1 , µ
( 60 ) = 0
则可得到刻画模糊概念“年轻”的模糊集 则可得到刻画模糊概念“年轻” F={ 1, 0.8, 0.4, 0.1, 0} 说明其含义。 说明其含义。
0 µ 年老 (u ) = 5 2 −1 [1 + ( u − 50 ) ] 当0 ≤ u ≤ 50 当50 < u ≤ 100
1 µ 年轻 (u ) = u − 25 2 −1 [1 + ( 5 ) ]
当0 ≤ u ≤ 25 当25 < u ≤ 100
(3) 一般表示方法 不管论域U是有限的还是无限的 是连续的还是离散的， 是有限的还是无限的， 不管论域 是有限的还是无限的，是连续的还是离散的，扎德又给出了一种类似于 积分的一般表示形式： 积分的一般表示形式：
第五章模糊不确定性和模糊信息
5.3 模糊信息处理的塔形结构
一、引言
在人的思维中，通常并不是单纯使用二值逻辑，更多的是使用模糊逻辑。模糊逻辑使得 人具有聚集信息的能力，能够从进入大脑的大量数据中抽出那些只与目前的任务有关的子集。 这种聚集信息的能力对于处理的问题能够做出合理的近似和简化。由人操作的许多基本任务
如果我们能够借助于某些实验去除或减小上述模糊性，我们就可以说我们获得了信息。 我们假定，上述实验是对视觉网络的全部 N 个单元体的颜色（白或黑）进行决策。这种实验 能够完全去掉实验前在单元体中的不确定性，从而使得最终的图形的模糊性等于 0。很自然地 我们认为，在实验中我们获得了正比于（或等与，取决于所选择的单位）初始不确定性 d ( μ ) 的平均信息量。可以认为， d ( μ ) 也是关于图形颜色的平均信息量的测度——该信息量是从二 值图形 A 变为模糊图形 A 的过程中失去的。 当然，也可能在实验中只是部分地去除了“不确定性” ，通过实验我们把模糊图形 A 变为 新的模糊图形 A ，而且有
H s ( pi ) 表示由一个二元香农信息源产生的香农平均信息量，而 H s ( p) 表示由 N 个独立
的二元香农信息源产生的平均信息量。 在图 5.2.1 中， 画出了模糊熵 H f ( μi ) 和 μ A ( xi ) 的关系曲线， 同时也画出了香农熵 H s ( pi ) 和 pi 的关系曲线。 注意到， 两条曲线形状完全相同， 最大值分别出现在 μ A ( xi ) = 1 2 ，pi = 1 2
1
(5.6)
此时， d ( μ ) 表示 A 到它的最贴近普通集 A 的欧氏距离。
%
3． 模糊集的熵 在式（5.1）对 ∀i ，取 f i ( μ ) 为香农函数：
74
模糊信息处理——理论与应用
人工智能第五章模糊逻辑系统85
A~ (B~ C~) ( A~ B~) ( A~ C~) A~ (B~ C~) ( A~ B~) ( A~ C~)
吸收律
A~ A~ B~ A~ A~ A~ B~ A~
a a
;如果用 b a bm am
结果变为
R 1 0.79 0.68 0.58 0.42 0.32 0.11 0.11 0.05 0.05 (1,20) (5,20) (7,20) (9,20) (1,9) (1,7) (5,7) (7,9) (5,9) (1,5)
强截集 弱截集
“单点模糊集合”：若台集仅为一个点，且该点隶属度为1
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16
三、模糊集合的基本运算
1、相等 ：
A~ F (U ) B~ F (V )
各元素的隶属度分别相等
A~ (u) B~ (u)
2、包含：
A~ (u) B~ (u)
A~包含于B~
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x1
x2
x3
x4
x5
A~ (0.85,0.75,0.98,0.30,0.60)
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13
2、论域是离散无限域
扎德表示法：
可数：
A~
A~(ui
)
A~(ui
)
A~(ui )
1
不可数： A~
ui A~(u)
1
ui
1 ui
U u
3、论域是连续域
模糊逻辑中的模糊集合与模糊推理
模糊逻辑中的模糊集合与模糊推理模糊逻辑是一种基于模糊集合与模糊推理的推理方法，旨在处理现实世界中存在的不确定性与模糊性问题。
模糊集合是一种可以包含各种程度成员关系的集合，而模糊推理则是利用模糊集合进行推理和决策。
一、模糊集合的概念与特点在传统的集合论中，一个元素要么是集合的成员，要么不是成员，不存在中间的状态。
但是在现实世界中，很多概念不具有明确的边界，例如“高矮”、“富贵”等。
模糊集合的引入就是为了解决这个问题。
1.1 模糊集合的定义模糊集合是一种扩展了传统集合概念的数学工具，它允许元素具有属于集合的程度，这个程度用隶属度函数来表示。
隶属度函数取值范围在[0,1]之间，表示了元素与该集合的关联度。
1.2 模糊集合的特点（1）模糊集合可以同时属于多个集合，而传统集合只能属于一个集合。
（2）模糊集合的隶属度可以是连续的，而传统集合的隶属度只能是离散的。
（3）模糊集合的隶属度函数可以是非线性的，而传统集合的隶属度函数通常是线性的。
二、模糊推理的方法与应用模糊推理是一种基于模糊集合的推理方法，它通过对模糊集合进行运算和推导，得出模糊结论。
模糊推理可以用于各种领域，如控制系统、决策分析、模式识别等。
2.1 模糊推理的原理模糊推理的基本原理是利用模糊集合的隶属度函数进行运算，通过模糊逻辑的规则对模糊集合进行推导，最终得到模糊结论。
模糊逻辑的规则通常由一些模糊推理算法定义，例如模糊关联矩阵、模糊推理系统等。
2.2 模糊推理的应用（1）控制系统：模糊控制是一种基于经验的控制方法，通过建立模糊规则库和模糊推理机制，实现对复杂系统的控制。
（2）决策分析：模糊决策分析可以处理决策问题中的不确定性和模糊性，通过对决策因素进行模糊建模和模糊推理，帮助决策者做出准确的决策。
（3）模式识别：模糊模式识别可以应用于人脸识别、语音识别等领域，通过对模糊集合的特征提取和模糊推理，实现对模糊样本的分类和识别。
三、模糊逻辑在实际问题中的应用案例3.1 模糊控制在自动驾驶中的应用自动驾驶是一个典型的控制问题，传统的控制方法很难解决其中的不确定性和模糊性。
模糊逻辑中的模糊集合与模糊推理的概念与原理
模糊逻辑中的模糊集合与模糊推理的概念与原理模糊逻辑是一种基于模糊集合和模糊推理的数学理论，用于处理存在不确定性和模糊性的问题。
在许多实际应用中，我们常常遇到一些无法精确描述或者没有明确边界的问题，这时候，传统的二值逻辑就显得力不从心了。
模糊逻辑的提出正是为了解决这类模糊和不确定性问题，使我们能够更好地进行推理和决策。
一、模糊集合的概念与原理模糊集合是模糊逻辑的基础，它是一种用来描述模糊性的数学工具。
与传统的集合不同，模糊集合中的元素并不只有两种可能，而是存在程度上的模糊和不确定性。
模糊集合使用隶属度函数来表示每个元素与集合的关系强弱程度。
隶属度函数取值范围在[0,1]之间，表示该元素与集合的隶属度。
隶属度为0表示该元素不属于集合，隶属度为1表示该元素完全属于集合。
模糊集合的运算包括模糊交、模糊并、模糊补等。
模糊交运算是指两个模糊集合相交后得到的模糊集合，其隶属度函数取两个模糊集合对应元素隶属度函数的最小值。
模糊并运算是指两个模糊集合并集后得到的模糊集合，其隶属度函数取两个模糊集合对应元素隶属度函数的最大值。
模糊补运算是指对一个模糊集合中的每个元素的隶属度进行取反，得到的新模糊集合。
二、模糊推理的概念与原理模糊推理是模糊逻辑的关键部分，它是通过模糊集合的运算和推理规则来推导出模糊结论的过程。
模糊推理的基本框架是模糊推理机，它由模糊集合和模糊规则库组成。
模糊规则库是一组由若干种模糊条件和结论组成的规则集合。
每条规则包含一个或多个模糊条件和一个模糊结论。
通过对输入的模糊条件进行匹配，模糊推理机可以得出一组模糊结论，然后通过模糊集合的运算来合并这些模糊结论，最终得到一个模糊输出。
模糊推理的主要方法有模糊推理法则和模糊推理网络。
模糊推理法则是一种基于模糊规则的推理方法，通过将输入的模糊条件与规则库中的规则进行匹配，得到一组模糊结论，然后通过运算得到最终的输出。
模糊推理网络是一种基于神经网络的推理方法，通过对输入信号的加权求和和激活函数的处理，得到最终的模糊输出。
非经典逻辑中的模糊推理与模糊集合
非经典逻辑中的模糊推理与模糊集合模糊推理和模糊集合作为非经典逻辑的重要分支，对于处理不确定性和模糊性的问题具有重要的意义。
本文将介绍模糊推理和模糊集合的基本概念、特点以及在实际应用中的作用。
一、模糊推理模糊推理是用来处理模糊信息的一种推理方法。
与传统的经典逻辑推理方式不同，模糊推理允许信息的不确定性和模糊性存在。
在模糊推理中，我们将不确定的信息转化为模糊集合，利用模糊集合的运算和推理规则进行推理。
通过模糊推理，我们可以得到一些模糊性较低的结论。
模糊推理的基本框架为模糊推理系统，它包括了模糊推理的输入、模糊推理的处理和模糊推理的输出三个部分。
在输入部分，我们将模糊信息通过模糊化的方式转换为模糊集合；在处理部分，我们利用模糊集合的运算和推理规则进行推理；在输出部分，我们将推理结果通过反模糊化的方式转换为具体的结论。
模糊推理在人工智能、控制理论和决策支持系统等领域有着广泛的应用。
例如，在智能交通系统中，我们可以利用模糊推理来实现车辆的自动驾驶和交通信号的优化控制；在医疗诊断系统中，我们可以利用模糊推理来对患者的病情进行判断和诊断。
二、模糊集合模糊集合是指在一个特定的空间中，每个元素都具有一定的隶属度，表示该元素属于该集合的程度。
与经典集合不同，模糊集合允许元素的隶属度为一个介于0和1之间的实数。
在模糊集合中，我们通过隶属函数来描述元素与模糊集合之间的隶属关系。
模糊集合具有以下几个特点：模糊性、隶属度、包容性和运算规则。
模糊性表示了元素的隶属度可以是一个连续的区间，而不仅仅是一个确定的值；隶属度表示了元素属于模糊集合的程度，它可以用来度量元素与模糊集合之间的相似度；包容性表示了一个元素可以同时属于多个模糊集合；运算规则包括了模糊集合的并、交和补运算等。
模糊集合在模糊推理、模式识别和人工智能等领域有着重要的应用。
例如，在模式识别中，我们可以利用模糊集合来描述模式的不确定性和模糊性，提高系统对于复杂模式的识别能力；在人工智能领域，我们可以利用模糊集合来表示知识的不确定性和模糊性，提高系统的推理和决策能力。
2.4 模糊逻辑与模糊推理
15 10:55:46
= [∨ ( µ
A′
(x)∧ µ ( y)
( x ))] ∧ µ
( y)
= ω ∧ µ
B
（ max
− min 复合运算）
0 0 0 0 0.1 0 .1 0 .1 0.1 0.1 0 .3 0 .3 0.3 0.1 0 .3 0 .5 0 .6 0.1 0 .3 0 .5 0 .7 0.1 0 .3 0 .5 0 .7
２．４ 模糊逻辑与模糊推理
p 语言变量； p 模糊蕴含关系； p 模糊推理方法。
1 10:55:46
一、语言变量
p 语言可分为两种：自然语言和形式语言。
自然语言的语意丰富、灵活，有时具有模糊性。例如 “ 一朵美丽的花 ” — — 多么 “ 美丽 ” ？ 形式语言则有严格的语法规则和语意，不存在任何的 模糊性和二意性 — — 通常的计算机语言 。自然语言中带模 糊性的语言称为模糊语言，如 长、短、大、小、年轻、年 老。
0 0.1 0. 3 0 .3 0.6 0 .6 0.85 0 .85 0.85 1 0 0 .1
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2018年4月23日
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例:X表示”年纪”这个语言变量 T(X)={年轻,老,很年轻,略老,不老,…} X=[0,200] G: 句法规则 在T(X)中,”年轻”和”老”是最基本的词,称为单 词或原子词;另一类是由原子词和其他词组合得到 的词,如连接词,修饰词,限定词等. M: 语义规则,给T(X)中的每个词分配隶属函数,形成 模糊集合
F F
2018/4/23
二、 二值逻辑和模糊逻辑
蕴含特征函数表达式
pq ( x, y) 1 pq ( x, y) 1 min[ p ( x),(1 q ( y))] 或
pq ( x, y) p q ( x, y) max[ p ( x), q ( y)]
2018年4月23日
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一、模糊语言的定义
在普通的形式语言理论中，所谓语言是定义为有限字 母组成的序列的集合。但是，这个定义不能表达自然 语言。所谓语言是具有某种机能的系统，这种机能是 把单词的序列和用这些序列叙述的对象集合或者构成
概念的集合对应起来。自然语言的重要特点是具有模
糊性，所以我们定义的语言应具有体现模糊性的机能，
为此引入语言变量的定义。
2018年4月23日
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1、定义:一个语言变量是指一个五元组(X,T(X),X,G,M)刻 画,其中 X: 语言变量的变量名 T(X):语言变量X的词集 X: 论域 G: 句法规则,如何得到词集 M: 语义规则,它是T(X)到F(X)的映射: M: T(X)F(X),M()F(X) 即对任意 T(X) (词), X上的模糊集合M()表示的语义.
第五章
第一部分
模糊逻辑与模糊推理
模糊逻辑
一、 逻辑推理概述 二、 二值逻辑和模糊逻辑
第二部分
模糊推理
一、模糊语言变量的定义 二、模糊判断句 三、模糊推理句 四、不同论域上的F 推理句 五、似然推理与条件语句
2018/4/23
1
第一部分
模糊逻辑
一、 逻辑推理概述
逻辑学
研究概念、判断和推理形式的一门科学。
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
分配律： 双否律：
P (Q R) ( P Q ) ( P R), P (Q R) ( P Q ) ( P R)
T (P) T (P)
________ __ __ ________ __ __
德.摩根律：
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原子词的隶属函数,年轻Y，年老O
1 [Y ]( x ) x 25 2 1 [1 ( ) ] 5
0 [O ]( x ) x 50 2 1 [1 ( ) ] 5
0 x 25 x 25
0 x 50 x 50
0 1 0 1
12
1 0 1 1
1 0 1 1
二、 二值逻辑和模糊逻辑
模糊命题
含有模糊成分的命题 判断的结果：非真非假，处于真假之间的模棱两可的 状态。 举例：他是个胖子。
• 很难判断命题取真或取假 • 更确切的说法：他是胖子的程度是多少。
取值：{0，1} —> [0，1] 表示：用大字母加一“~”表示，如：P 。 P的真值用 T ( P ) (或 P (x ) )表示，T ( P ) [0,1]
(3) 判断化算子：在一个词前面添加偏向、倾向于、 多半这一类前缀，能对模糊的词义作出粗糙的判断
如：偏向老等
其 集 合 表 示 ： Pa : F ( U ) F ( U )
其中 Pa ( A )( u ) 0 1 2 1 A( u ) a a A( u ) 1 a A( u ) 1 a
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u A u A
（2）Fuzzy化算子：在一个词前面添加大约、近似、好 象这一类前缀，可以使确切的词义Fuzzy化，或使Fuzzy 的词义更加Fuzzy化 如：“大约3”，“好象还早”等
Fuzzy化算子的集合可表示为：
F : F (U ) F (U )
A F ( A)
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题联结词 析取（ ）：表示“或”。 合取（ ）：表示“与”、“并且”。
否定（—）：表示对原命题的否定。 蕴含（）：表示“如果……那么”。 等价（）：表示“当且仅当”，或称互蕴含。
传统命题逻辑基本公理
1. 每一命题是真或假，但不能既真又假； 2. 由确定的术语所组成的表达式，都是命题； 3. 析取、合取、否定、蕴含、等价运算组成的表达式 也是命题。
•从两个两个判断，得出第三个判断。 •举例 — 苏格拉底论述： •大前提：所有的人都是要死的 •小前提：苏格拉底是人 •结论： 苏格拉底总是要死的
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一、 逻辑推理概述
归纳推理（归纳法）
完全归纳法
•在前提中列出全部推理的特殊情况，得出一般化的结论。 •举例：数学归纳法
不完全归纳法
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
运算规律：
幂等律：
交换律： 结合律：
P P P, P P P
P Q Q P, P Q Q P
P (Q R) ( PP ( P Q) P , P ( P Q) P
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
原子模糊命题
最基本的命题。
复合模糊命题
用命题联结词把两个或两个原子模糊命题联结起来。
命题联结词 析取（ ）：表示“或”。 合取（ ）：表示“与”、“并且”。
否定（—）：表示对原命题的否定。 蕴含（）：表示“如果……那么”。 等价（ ）：表示“当且仅当”，或称互蕴含。
常数运算法则：
P Q P Q, P Q P Q
1 P 1 ,0 P P ,1 P P ,0 P 0
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第二部分
模糊推理
随着科学技术的发展，人们希望机器能模拟人脑思 维，从而提高计算机的智能，让机器更多地代替人 的工作。但是，在人的思维中，存在大量反映模糊 性的语言和推理，所以关于模糊语言和模糊推理的 研究是一个很重要的课题。 模糊语言，这里又称为自然语言。本章用模糊 集理论从词义和文法不同的角度对自然语言进行描 述，即用数学语言来表示自然语言，将自然语言形 式化，使它转化为计算机能接受的算法语言。
0 0 u 50 1 O( u) u 25 2 ) 50 u 200 1 ( 5
0 u 50 50 u 200
注：语气算子只对Fuzzy概念起作用， 对确切概念不起作用
0 对普通概念 A, A(u ) 1 H ( A)(u ) ( A(u )) A(u )
模糊逻辑推理（模糊推理）
基于模糊逻辑的方法处理由模糊性引起的不精确推理。
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题
句子：用来表达一个完整概念的语言或文字符号。 命题：一个有意思的句子，能够判断它的涵义是真或 假。 命题的取值：“真”或“假” 举例：
• • • • 月球是地球的卫星。 牛是食肉动物。 今天开会吗？ 计算机 命题：真 命题：假 疑问句—>不是命题 不是句子—>不是命题
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题
真值：命题的真假值，一个命题的真和假 表示：“真”—> “1” “假”—> “0” 二值逻辑：逻辑值只有真或假，即0或1 命题属于二值逻辑
原子命题
简单句构成的命题。
复合命题
用命题联结词把两个或两个以上简单命题联结起来
max[(1 p ( x)), q ( y)]
p ( x) q ( y) 1- p ( x) 1- q ( y)max[1 p ( x), q ( y)] 1 min[p (x), 1 q ( y)]
1 1 0 0
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1 0 1 0
0 0 1 1
当 1, H 集中化算子；当 1, H 松散化算子
一般： 极 H 4 , 很 H 2 , 相当 H1.5 比较 H 2 , 微 H 1
3
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4
例：
0 2 2 很老 ( u ) H ( O )( u ) ( O ( u )) u 25 2 2 1 ( ) 5
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题联结词
用p，q分别表示两个命题
逻 辑 关 系 用 真 值 表 示
p T
q
T
pq pq
T F F F
10
pqpq
p
F F T T
T F F T F F
T T T F
T F T T
T F F T
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
语气算子
2、模糊算子按其功能的不同,分成如下三类
Fuzzy化算子 判断化算子
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(1) 语气算子：可表达词义的肯定程度 加强语气的叫集中化算子 减弱语气的叫松散化算子
（如：极，很，相当， 比较，微) 语气算子的集合可表示为：
H : F (U ) F (U ) A H ( A), 0, 其中 H ( A)( u) ( A( u))
数理逻辑
逻辑与数学相结合的一门科学。 17世纪德国科学家莱布尼兹开始，把数学方法用于哲 学的研究。 采用一套符号代替人们的自然语言进行表述。 在逻辑上只取“真”和“假”两值，也称二值逻辑。