第五章 模糊逻辑与模糊推理
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•仅列出全部特殊情况的一个或几个，而归纳出一般的结 论 •举例：抽样试验
派生：类比推理
•从特殊到特殊，利用两种事物的一部分属性相似，推断 另一部分。
4
2018/4/23
一、 逻辑推理概述
传统逻辑推理
基于二值逻辑 处理的信息和推理的规则是精确的、完备的
不精确推理（不确定推理、近似推理）
处理不精确、不确定、不完备的信息，利用不精确、 不完备的知识、规则。 不精确性的起因：随机性、模糊性等
2018年4月23日
20
原子词的隶属函数,年轻Y，年老O
1 [Y ]( x ) x 25 2 1 [1 ( ) ] 5
0 [O ]( x ) x 50 2 1 [1 ( ) ] 5
0 x 25 x 25
0 x 50 x 50
当 1, H 集中化算子；当 1, H 松散化算子
一般： 极 H 4 , 很 H 2 , 相当 H1.5 比较 H 2 , 微 H 1
3
2018年4月23日
22
4
例：
0 2 2 很老 ( u ) H ( O )( u ) ( O ( u )) u 25 2 2 1 ( ) 5
•从两个两个判断，得出第三个判断。 •举例 — 苏格拉底论述： •大前提：所有的人都是要死的 •小前提：苏格拉底是人 •结论： 苏格拉底总是要死的
2018/4/23
3
一、 逻辑推理概述
归纳推理（归纳法）
完全归纳法
•在前提中列出全部推理的特殊情况，得出一般化的结论。 •举例：数学归纳法
不完全归纳法
2018/4/23
8
二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题联结词
蕴含：
一个蕴含是“真”，必须满足三个条件之一： 1） 前提是真，结论是真； 在教书，是教师；
2） 前提是假，结论是假；
3） 前提是假，结论是真。 蕴含是“假”时，则： 4） 前提是真，结论是假。
不教书，不是教师；
不在教书，是教师；
在教书，不是教师。
2018/4/23
15
二、 二值逻辑和模糊逻辑
分配律： 双否律：
P (Q R) ( P Q ) ( P R), P (Q R) ( P Q ) ( P R)
T (P) T (P)
________ __ __ ________ __ __
德.摩根律：
2018/4/23
13
二、 二值逻辑和模糊逻辑
原子模糊命题
最基本的命题。
复合模糊命题
用命题联结词把两个或两个原子模糊命题联结起来。
命题联结词 析取（ ）：表示“或”。 合取（ ）：表示“与”、“并且”。
否定（—）：表示对原命题的否定。 蕴含（）：表示“如果……那么”。 等价（ ）：表示“当且仅当”，或称互蕴含。
命题联结词
二个重要的同义反复
从真值表可以获得证明：
( p q) p q ( p q) ( p ) q p (q ) p q p ( p ) q
F T F F
11
p
T T F
q
T F T
pq
T F T T
q
F T F T
T F T T
F F T T
T F T T
2018年4月23日
17
一、模糊语言的定义
在普通的形式语言理论中，所谓语言是定义为有限字 母组成的序列的集合。但是，这个定义不能表达自然 语言。所谓语言是具有某种机能的系统，这种机能是 把单词的序列和用这些序列叙述的对象集合或者构成
概念的集合对应起来。自然语言的重要特点是具有模
糊性，所以我们定义的语言应具有体现模糊性的机能，
语气算子
2、模糊算子按其功能的不同,分成如下三类
Fuzzy化算子 判断化算子
2018年4月23日
21
(1) 语气算子：可表达词义的肯定程度 加强语气的叫集中化算子 减弱语气的叫松散化算子
（如：极，很，相当， 比较，微) 语气算子的集合可表示为：
H : F (U ) F (U ) A H ( A), 0, 其中 H ( A)( u) ( A( u))
2018/4/23
14
二、 二值逻辑和模糊逻辑
运算规律：
幂等律：
交换律： 结合律：
P P P, P P P
P Q Q P, P Q Q P
P (Q R) ( P Q ) R, P (Q R) ( P Q ) R 吸收律： P ( P Q) P , P ( P Q) P
2
u3 u3
uv uv
1
R
( 3 ( v ) R ( v , u )) A p p .3 ( u ) v R
( 3 u ) e R (3, u ) 0
2
3
u3 其它
1
R
3-δ 3 3+δ
2018年4月23日
25
常数运算法则：
P Q P Q, P Q P Q
1 P 1 ,0 P P ,1 P P ,0 P 0
2018/4/23
16
第二部分
模糊推理
随着科学技术的发展，人们希望机器能模拟人脑思 维，从而提高计算机的智能，让机器更多地代替人 的工作。但是，在人的思维中，存在大量反映模糊 性的语言和推理，所以关于模糊语言和模糊推理的 研究是一个很重要的课题。 模糊语言，这里又称为自然语言。本章用模糊 集理论从词义和文法不同的角度对自然语言进行描 述，即用数学语言来表示自然语言，将自然语言形 式化，使它转化为计算机能接受的算法语言。
0 1 0 1
12
1 0 1 1
1 0 1 1
二、 二值逻辑和模糊逻辑
模糊命题
含有模糊成分的命题 判断的结果：非真非假，处于真假之间的模棱两可的 状态。 举例：他是个胖子。
• 很难判断命题取真或取假 • 更确切的说法：他是胖子的程度是多少。
取值：{0，1} —> [0，1] 表示：用大字母加一“~”表示，如：P 。 P的真值用 T ( P ) (或 P (x ) )表示，T ( P ) [0,1]
2018/4/23
6
二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题
真值：命题的真假值，一个命题的真和假 表示：“真”—> “1” “假”—> “0” 二值逻辑：逻辑值只有真或假，即0或1 命题属于二值逻辑
原子命题
简单句构成的命题。
复合命题
用命题联结词把两个或两个以上简单命题联结起来
0 0 u 50 1 O( u) u 25 2 ) 50 u 200 1 ( 5
0 u 50 50 u 200
注：语气算子只对Fuzzy概念起作用， 对确切概念不起作用
0 对普通概念 A, A(u ) 1 H ( A)(u ) ( A(u )) A(u )
为此引入语言变量的定义。
2018年4月23日
18
1、定义:一个语言变量是指一个五元组(X,T(X),X,G,M)刻 画,其中 X: 语言变量的变量名 T(X):语言变量X的词集 X: 论域 G: 句法规则,如何得到词集 M: 语义规则,它是T(X)到F(X)的映射: M: T(X)F(X),M()F(X) 即对任意 T(X) (词), X上的模糊集合M()表示的语义.
(3) 判断化算子：在一个词前面添加偏向、倾向于、 多半这一类前缀，能对模糊的词义作出粗糙的判断
如：偏向老等
其 集 合 表 示 ： Pa : F ( U ) F ( U )
其中 Pa ( A )( u ) 0 1 2 1 A( u ) a a A( u ) 1 a A( u ) 1 a
2018年4月23日
23
u A u A
（2）Fuzzy化算子：在一个词前面添加大约、近似、好 象这一类前缀，可以使确切的词义Fuzzy化，或使Fuzzy 的词义更加Fuzzy化 如：“大约3”，“好象还早”等
Fuzzy化算子的集合可表示为：
F : F (U ) F (U )
A F ( A)
max[(1 p ( x)), q ( y)]
p ( x) q ( y) 1- p ( x) 1- q ( y)max[1 p ( x), q ( y)] 1 min[p (x), 1 q ( y)]
1 1 0 0
2018/4/23
1 0 1 0
0 0 1 1
为计算F(A),通常选定U上的模糊相似关系R：
F ( A) A R, F ( A)(u) A(v ) R(v , u)
vU
2018年4月23日
24
1 3 ( u ) 例： 3 是 实 数 域R 上 的 普 通 集 ， 0 计 算大 约3
e (uv ) 解： R ( u , v ) o
2018/4/23
7
二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题联结词 析取（ ）：表示“或”。 合取（ ）：表示“与”、“并且”。
否定（—）：表示对原命题的否定。 蕴含（）：表示“如果……那么”。 等价（）：表示“当且仅当”，或称互蕴含。
传统命题逻辑基本公理
1. 每一命题是真或假，但不能既真又假； 2. 由确定的术语所组成的表达式，都是命题； 3. 析取、合取、否定、蕴含、等价运算组成的表达式 也是命题。
第五章
第一部分
模糊逻辑与模糊推理
模糊逻辑
一、 逻辑推理概述 二、 二值逻辑和模糊逻辑
第二部分
模糊推理
一、模糊语言变量的定义 二、模糊判断句 三、模糊推理句 四、不同论域上的F 推理句 五、似然推理与条件语句
2018/4/23
1
第一部分
模糊逻辑
一、 逻辑推理概述
逻辑学
研究概念、判断和推理形式的一门科学。
F F
2018/4/23
二、 二值逻辑和模糊逻辑
蕴含特征函数表达式
pq ( x, y) 1 pq ( x, y) 1 min[ p ( x),(1 q ( y))] 或
pq ( x, y) p q ( x, y) max[ p ( x), q ( y)]
数Baidu Nhomakorabea逻辑
逻辑与数学相结合的一门科学。 17世纪德国科学家莱布尼兹开始，把数学方法用于哲 学的研究。 采用一套符号代替人们的自然语言进行表述。 在逻辑上只取“真”和“假”两值，也称二值逻辑。
2018/4/23
2
一、 逻辑推理概述
演绎推理
数理逻辑主要的研究内容。 演绎推理一般具有三段论法的形式。
2018/4/23
9
二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题联结词
用p，q分别表示两个命题
逻 辑 关 系 用 真 值 表 示
p T
q
T
pq pq
T F F F
10
pqpq
p
F F T T
T F F T F F
T T T F
T F T T
T F F T
2018/4/23
二、 二值逻辑和模糊逻辑
2018年4月23日
19
例:X表示”年纪”这个语言变量 T(X)={年轻,老,很年轻,略老,不老,…} X=[0,200] G: 句法规则 在T(X)中,”年轻”和”老”是最基本的词,称为单 词或原子词;另一类是由原子词和其他词组合得到 的词,如连接词,修饰词,限定词等. M: 语义规则,给T(X)中的每个词分配隶属函数,形成 模糊集合
模糊逻辑推理（模糊推理）
基于模糊逻辑的方法处理由模糊性引起的不精确推理。
2018/4/23
5
二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题
句子：用来表达一个完整概念的语言或文字符号。 命题：一个有意思的句子，能够判断它的涵义是真或 假。 命题的取值：“真”或“假” 举例：
• • • • 月球是地球的卫星。 牛是食肉动物。 今天开会吗？ 计算机 命题：真 命题：假 疑问句—>不是命题 不是句子—>不是命题
派生：类比推理
•从特殊到特殊，利用两种事物的一部分属性相似，推断 另一部分。
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2018/4/23
一、 逻辑推理概述
传统逻辑推理
基于二值逻辑 处理的信息和推理的规则是精确的、完备的
不精确推理（不确定推理、近似推理）
处理不精确、不确定、不完备的信息，利用不精确、 不完备的知识、规则。 不精确性的起因：随机性、模糊性等
2018年4月23日
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原子词的隶属函数,年轻Y，年老O
1 [Y ]( x ) x 25 2 1 [1 ( ) ] 5
0 [O ]( x ) x 50 2 1 [1 ( ) ] 5
0 x 25 x 25
0 x 50 x 50
当 1, H 集中化算子；当 1, H 松散化算子
一般： 极 H 4 , 很 H 2 , 相当 H1.5 比较 H 2 , 微 H 1
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例：
0 2 2 很老 ( u ) H ( O )( u ) ( O ( u )) u 25 2 2 1 ( ) 5
•从两个两个判断，得出第三个判断。 •举例 — 苏格拉底论述： •大前提：所有的人都是要死的 •小前提：苏格拉底是人 •结论： 苏格拉底总是要死的
2018/4/23
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一、 逻辑推理概述
归纳推理（归纳法）
完全归纳法
•在前提中列出全部推理的特殊情况，得出一般化的结论。 •举例：数学归纳法
不完全归纳法
2018/4/23
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题联结词
蕴含：
一个蕴含是“真”，必须满足三个条件之一： 1） 前提是真，结论是真； 在教书，是教师；
2） 前提是假，结论是假；
3） 前提是假，结论是真。 蕴含是“假”时，则： 4） 前提是真，结论是假。
不教书，不是教师；
不在教书，是教师；
在教书，不是教师。
2018/4/23
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
分配律： 双否律：
P (Q R) ( P Q ) ( P R), P (Q R) ( P Q ) ( P R)
T (P) T (P)
________ __ __ ________ __ __
德.摩根律：
2018/4/23
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
原子模糊命题
最基本的命题。
复合模糊命题
用命题联结词把两个或两个原子模糊命题联结起来。
命题联结词 析取（ ）：表示“或”。 合取（ ）：表示“与”、“并且”。
否定（—）：表示对原命题的否定。 蕴含（）：表示“如果……那么”。 等价（ ）：表示“当且仅当”，或称互蕴含。
命题联结词
二个重要的同义反复
从真值表可以获得证明：
( p q) p q ( p q) ( p ) q p (q ) p q p ( p ) q
F T F F
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p
T T F
q
T F T
pq
T F T T
q
F T F T
T F T T
F F T T
T F T T
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一、模糊语言的定义
在普通的形式语言理论中，所谓语言是定义为有限字 母组成的序列的集合。但是，这个定义不能表达自然 语言。所谓语言是具有某种机能的系统，这种机能是 把单词的序列和用这些序列叙述的对象集合或者构成
概念的集合对应起来。自然语言的重要特点是具有模
糊性，所以我们定义的语言应具有体现模糊性的机能，
语气算子
2、模糊算子按其功能的不同,分成如下三类
Fuzzy化算子 判断化算子
2018年4月23日
21
(1) 语气算子：可表达词义的肯定程度 加强语气的叫集中化算子 减弱语气的叫松散化算子
（如：极，很，相当， 比较，微) 语气算子的集合可表示为：
H : F (U ) F (U ) A H ( A), 0, 其中 H ( A)( u) ( A( u))
2018/4/23
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
运算规律：
幂等律：
交换律： 结合律：
P P P, P P P
P Q Q P, P Q Q P
P (Q R) ( P Q ) R, P (Q R) ( P Q ) R 吸收律： P ( P Q) P , P ( P Q) P
2
u3 u3
uv uv
1
R
( 3 ( v ) R ( v , u )) A p p .3 ( u ) v R
( 3 u ) e R (3, u ) 0
2
3
u3 其它
1
R
3-δ 3 3+δ
2018年4月23日
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常数运算法则：
P Q P Q, P Q P Q
1 P 1 ,0 P P ,1 P P ,0 P 0
2018/4/23
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第二部分
模糊推理
随着科学技术的发展，人们希望机器能模拟人脑思 维，从而提高计算机的智能，让机器更多地代替人 的工作。但是，在人的思维中，存在大量反映模糊 性的语言和推理，所以关于模糊语言和模糊推理的 研究是一个很重要的课题。 模糊语言，这里又称为自然语言。本章用模糊 集理论从词义和文法不同的角度对自然语言进行描 述，即用数学语言来表示自然语言，将自然语言形 式化，使它转化为计算机能接受的算法语言。
0 1 0 1
12
1 0 1 1
1 0 1 1
二、 二值逻辑和模糊逻辑
模糊命题
含有模糊成分的命题 判断的结果：非真非假，处于真假之间的模棱两可的 状态。 举例：他是个胖子。
• 很难判断命题取真或取假 • 更确切的说法：他是胖子的程度是多少。
取值：{0，1} —> [0，1] 表示：用大字母加一“~”表示，如：P 。 P的真值用 T ( P ) (或 P (x ) )表示，T ( P ) [0,1]
2018/4/23
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题
真值：命题的真假值，一个命题的真和假 表示：“真”—> “1” “假”—> “0” 二值逻辑：逻辑值只有真或假，即0或1 命题属于二值逻辑
原子命题
简单句构成的命题。
复合命题
用命题联结词把两个或两个以上简单命题联结起来
0 0 u 50 1 O( u) u 25 2 ) 50 u 200 1 ( 5
0 u 50 50 u 200
注：语气算子只对Fuzzy概念起作用， 对确切概念不起作用
0 对普通概念 A, A(u ) 1 H ( A)(u ) ( A(u )) A(u )
为此引入语言变量的定义。
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1、定义:一个语言变量是指一个五元组(X,T(X),X,G,M)刻 画,其中 X: 语言变量的变量名 T(X):语言变量X的词集 X: 论域 G: 句法规则,如何得到词集 M: 语义规则,它是T(X)到F(X)的映射: M: T(X)F(X),M()F(X) 即对任意 T(X) (词), X上的模糊集合M()表示的语义.
(3) 判断化算子：在一个词前面添加偏向、倾向于、 多半这一类前缀，能对模糊的词义作出粗糙的判断
如：偏向老等
其 集 合 表 示 ： Pa : F ( U ) F ( U )
其中 Pa ( A )( u ) 0 1 2 1 A( u ) a a A( u ) 1 a A( u ) 1 a
2018年4月23日
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u A u A
（2）Fuzzy化算子：在一个词前面添加大约、近似、好 象这一类前缀，可以使确切的词义Fuzzy化，或使Fuzzy 的词义更加Fuzzy化 如：“大约3”，“好象还早”等
Fuzzy化算子的集合可表示为：
F : F (U ) F (U )
A F ( A)
max[(1 p ( x)), q ( y)]
p ( x) q ( y) 1- p ( x) 1- q ( y)max[1 p ( x), q ( y)] 1 min[p (x), 1 q ( y)]
1 1 0 0
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1 0 1 0
0 0 1 1
为计算F(A),通常选定U上的模糊相似关系R：
F ( A) A R, F ( A)(u) A(v ) R(v , u)
vU
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1 3 ( u ) 例： 3 是 实 数 域R 上 的 普 通 集 ， 0 计 算大 约3
e (uv ) 解： R ( u , v ) o
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题联结词 析取（ ）：表示“或”。 合取（ ）：表示“与”、“并且”。
否定（—）：表示对原命题的否定。 蕴含（）：表示“如果……那么”。 等价（）：表示“当且仅当”，或称互蕴含。
传统命题逻辑基本公理
1. 每一命题是真或假，但不能既真又假； 2. 由确定的术语所组成的表达式，都是命题； 3. 析取、合取、否定、蕴含、等价运算组成的表达式 也是命题。
第五章
第一部分
模糊逻辑与模糊推理
模糊逻辑
一、 逻辑推理概述 二、 二值逻辑和模糊逻辑
第二部分
模糊推理
一、模糊语言变量的定义 二、模糊判断句 三、模糊推理句 四、不同论域上的F 推理句 五、似然推理与条件语句
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第一部分
模糊逻辑
一、 逻辑推理概述
逻辑学
研究概念、判断和推理形式的一门科学。
F F
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
蕴含特征函数表达式
pq ( x, y) 1 pq ( x, y) 1 min[ p ( x),(1 q ( y))] 或
pq ( x, y) p q ( x, y) max[ p ( x), q ( y)]
数Baidu Nhomakorabea逻辑
逻辑与数学相结合的一门科学。 17世纪德国科学家莱布尼兹开始，把数学方法用于哲 学的研究。 采用一套符号代替人们的自然语言进行表述。 在逻辑上只取“真”和“假”两值，也称二值逻辑。
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一、 逻辑推理概述
演绎推理
数理逻辑主要的研究内容。 演绎推理一般具有三段论法的形式。
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题联结词
用p，q分别表示两个命题
逻 辑 关 系 用 真 值 表 示
p T
q
T
pq pq
T F F F
10
pqpq
p
F F T T
T F F T F F
T T T F
T F T T
T F F T
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
2018年4月23日
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例:X表示”年纪”这个语言变量 T(X)={年轻,老,很年轻,略老,不老,…} X=[0,200] G: 句法规则 在T(X)中,”年轻”和”老”是最基本的词,称为单 词或原子词;另一类是由原子词和其他词组合得到 的词,如连接词,修饰词,限定词等. M: 语义规则,给T(X)中的每个词分配隶属函数,形成 模糊集合
模糊逻辑推理（模糊推理）
基于模糊逻辑的方法处理由模糊性引起的不精确推理。
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二、 二值逻辑和模糊逻辑
命题
句子：用来表达一个完整概念的语言或文字符号。 命题：一个有意思的句子，能够判断它的涵义是真或 假。 命题的取值：“真”或“假” 举例：
• • • • 月球是地球的卫星。 牛是食肉动物。 今天开会吗？ 计算机 命题：真 命题：假 疑问句—>不是命题 不是句子—>不是命题