三角函数诱导公式_PPT
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诱导公式
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
三角函数诱导公式五、 六的推导过程
―掌―握→
六组诱导公式 的综合应用
重点难点 重点：诱导公式五、六． 难点：六组诱导公式的综合应用．
栏目 导引
新知初探思维启动
诱导公式五、六
栏目 导引
做一做 1.若cos 40°＝a，则sin 50°＝________. 解析：sin 50°＝sin(90°－40°)＝cos 40°＝a. 答案：a
栏目 导引
【名师点评】 三角形 ABC 中，A＋B＋C＝π，A＋B2＋C＝π2， 注意到这些隐含条件，结合诱导公式我们能发现很多结论性 的东西，这些规律在处理三角形中有关问题时非常方便．
栏目 导引
跟踪训练
3．在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cos
A＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得 sin A＝ 2sin B， 3cos A＝ 2cos B，
栏目 导引
题型三 诱导公式在三角形中的应用 例3 已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角．
求证：sinA＋2 B＝cosC2，cosA＋2 B＝sinC2. tan(A＋B)＝－tan C. 【证明】 在△ABC 中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C， ∴A＋2 B＝π－2 C.∴sin(A＋2 B)＝sinπ－2 C ＝sin(π2－C2)＝cosC2 .同理 cosA＋2 B＝sinC2. tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C.
2．求证：tan2π－coαssαi－n－π2siπn－5πα－coαs6π－α＝－tanα. 证明：左边＝csions22cπoπ－s－παα－·sαin·s－inαπ－cosα－α ＝－cossinαα－－cossinαα·scinosαα＝－csoinsαα＝－tan α＝右边． ∴原式成立．
栏目 导引
【解析】 原式＝－sin23π＋α·－sin α·tan2α sin α·cos α
＝－cos α·sin α·tan2α＝－ sin α·cos α
tan2α.
【答案】 －tan2α 【失误防范】 (1)对于六组诱导公式要熟记，特别注 意符号和三角函数名称的变化．
(2)注意计算中的技巧和常规化简运算的方法．
【证明】 左边＝sin－2θ2＋cocsoθs·2sθin－θ2－sin12θ
＝
cos
－sin θ＋cosθ2 θ＋sin θcos θ－sin
θ＝ssiinnθθ－＋ccooss
θ θ.
栏目 导引
右边＝tanta8nπ＋ π＋π＋ θ－θ＋ 1 1＝ttaannππ＋ ＋θθ＋ －11＝ttaannθθ＋－11＝
栏目 导引
(1)角一定要归纳成：k2π±α(k∈Z)的形式，奇偶针对 k 而言． (2)“ 变”与“ 不变”是 相对于互 余关系 的函数而 言 的，sin α 与 cos α 互余． (3)“符号”指k2π±α(k∈Z)中，将 α 看作锐角时，k2π±α(k ∈Z)所在象限的原函数值的符号．
栏目 导引
栏目 导引
2．sin(32π－α)＝________，cos(32π＋α)＝________.
答案：－cos α sin α
栏目 导引
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 三角函数求值 例1 已知 sinπ6＋α＝ 33，求 cosπ3－α的值．
【解】 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，
∴π3－α＝π2－π6＋α， ∴cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α ＝sinπ6＋α＝ 33.
栏目 导引
跟踪训练
4．化简：sinπ2c－osαπc＋osαπ2 ＋α－sin2πs－inαπ－coαsπ2－α.
解：原式＝cos－αc－ossαin
α－sin－αsin sin α
α
＝sin α－(－sin α)＝2sin α.
栏目 导引
栏目 导引
精彩推荐典例展示
易错警示 三角函数化简中公式记忆不牢致误 例4 化简：
sin－α－co32sππ2·－coαs23·sπin－π2α＋·tαan2π－α＝________. 【常见错误】 (1)诱导公式把握不准 ，符号和名称 记忆不牢固，如 sin(32π＋α)＝cos α，cos(32π－α)＝cos(π2 －α)这样类似错误． (2)运算不准确，如 tan2(π－α)＝－tan2α.
两式平方相加得 2cos2A＝1，∴cos A＝±22，
若 cos A＝－ 22，则 cos B＝－ 23，此时 A，B 均为钝角，
不符合题意．∴cos A＝ 22，∴cos B＝
3cos 2
A＝
23，
∴A＝π4，B＝π6，C＝π－(A＋B)＝71π2.
栏目 导引
方法感悟
1．诱导公式浅析 所有的诱导公式可以统一概括为k2π±α(k∈ Z)的形式， 诱导公式的记忆口诀统一为：“奇变偶不变，符号看 象限”，对此要从以下几方面理解：
sin cos sin cos
θθθθ＋－11＝ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ， θ
∴左边＝右边，所以等式成立．
【名师点评】 证明三角恒等式，一般有两种方法：一
是从等式较复杂的一边证到较简单一边；二是采用“两
面夹击，中间会师”的方法．不论采用哪种方法．都要
灵活运用诱导公式．
栏目 导引
跟踪训练
栏目 导引
【名师点评】 诱导公式五、六是实现函数名称互化的有 力工具，而公式五、六直接针对的是互余关系的两角．常 见的互余关系有π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4－α 等，记住这些结论有时会给我们带来意想不到的方便．
栏目 导引
互动探究
1．本例条件不变，求 cos(53源自文库＋α)的值．
2．诱导公式的作用 (1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三或一， 化为正角的三角函数．若转化了以后的正角大于360°， 再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数． (2)当化成的角是90°到180°间的角，再利用180°－α的 诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数． (3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°－α及 －α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
解：cos(53π＋α)＝cos[π＋(23π＋α)] ＝－cos(23π＋α)＝－cos[π－(π3－α)]
＝cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝
3 3.
栏目 导引
题型二 三角恒等式的证明
例2 求证：2sinθ－132－π2csoisn2θθ＋π2－1＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11.
学习导航
学习目标
实例
―了―解→
三角函数诱导公式五、 六的推导过程
―掌―握→
六组诱导公式 的综合应用
重点难点 重点：诱导公式五、六． 难点：六组诱导公式的综合应用．
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新知初探思维启动
诱导公式五、六
栏目 导引
做一做 1.若cos 40°＝a，则sin 50°＝________. 解析：sin 50°＝sin(90°－40°)＝cos 40°＝a. 答案：a
栏目 导引
【名师点评】 三角形 ABC 中，A＋B＋C＝π，A＋B2＋C＝π2， 注意到这些隐含条件，结合诱导公式我们能发现很多结论性 的东西，这些规律在处理三角形中有关问题时非常方便．
栏目 导引
跟踪训练
3．在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cos
A＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角． 解：由已知得 sin A＝ 2sin B， 3cos A＝ 2cos B，
栏目 导引
题型三 诱导公式在三角形中的应用 例3 已知 A、B、C 为△ABC 的三个内角．
求证：sinA＋2 B＝cosC2，cosA＋2 B＝sinC2. tan(A＋B)＝－tan C. 【证明】 在△ABC 中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C， ∴A＋2 B＝π－2 C.∴sin(A＋2 B)＝sinπ－2 C ＝sin(π2－C2)＝cosC2 .同理 cosA＋2 B＝sinC2. tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C.
2．求证：tan2π－coαssαi－n－π2siπn－5πα－coαs6π－α＝－tanα. 证明：左边＝csions22cπoπ－s－παα－·sαin·s－inαπ－cosα－α ＝－cossinαα－－cossinαα·scinosαα＝－csoinsαα＝－tan α＝右边． ∴原式成立．
栏目 导引
【解析】 原式＝－sin23π＋α·－sin α·tan2α sin α·cos α
＝－cos α·sin α·tan2α＝－ sin α·cos α
tan2α.
【答案】 －tan2α 【失误防范】 (1)对于六组诱导公式要熟记，特别注 意符号和三角函数名称的变化．
(2)注意计算中的技巧和常规化简运算的方法．
【证明】 左边＝sin－2θ2＋cocsoθs·2sθin－θ2－sin12θ
＝
cos
－sin θ＋cosθ2 θ＋sin θcos θ－sin
θ＝ssiinnθθ－＋ccooss
θ θ.
栏目 导引
右边＝tanta8nπ＋ π＋π＋ θ－θ＋ 1 1＝ttaannππ＋ ＋θθ＋ －11＝ttaannθθ＋－11＝
栏目 导引
(1)角一定要归纳成：k2π±α(k∈Z)的形式，奇偶针对 k 而言． (2)“ 变”与“ 不变”是 相对于互 余关系 的函数而 言 的，sin α 与 cos α 互余． (3)“符号”指k2π±α(k∈Z)中，将 α 看作锐角时，k2π±α(k ∈Z)所在象限的原函数值的符号．
栏目 导引
栏目 导引
2．sin(32π－α)＝________，cos(32π＋α)＝________.
答案：－cos α sin α
栏目 导引
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 三角函数求值 例1 已知 sinπ6＋α＝ 33，求 cosπ3－α的值．
【解】 ∵π6＋α＋π3－α＝π2，
∴π3－α＝π2－π6＋α， ∴cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α ＝sinπ6＋α＝ 33.
栏目 导引
跟踪训练
4．化简：sinπ2c－osαπc＋osαπ2 ＋α－sin2πs－inαπ－coαsπ2－α.
解：原式＝cos－αc－ossαin
α－sin－αsin sin α
α
＝sin α－(－sin α)＝2sin α.
栏目 导引
栏目 导引
精彩推荐典例展示
易错警示 三角函数化简中公式记忆不牢致误 例4 化简：
sin－α－co32sππ2·－coαs23·sπin－π2α＋·tαan2π－α＝________. 【常见错误】 (1)诱导公式把握不准 ，符号和名称 记忆不牢固，如 sin(32π＋α)＝cos α，cos(32π－α)＝cos(π2 －α)这样类似错误． (2)运算不准确，如 tan2(π－α)＝－tan2α.
两式平方相加得 2cos2A＝1，∴cos A＝±22，
若 cos A＝－ 22，则 cos B＝－ 23，此时 A，B 均为钝角，
不符合题意．∴cos A＝ 22，∴cos B＝
3cos 2
A＝
23，
∴A＝π4，B＝π6，C＝π－(A＋B)＝71π2.
栏目 导引
方法感悟
1．诱导公式浅析 所有的诱导公式可以统一概括为k2π±α(k∈ Z)的形式， 诱导公式的记忆口诀统一为：“奇变偶不变，符号看 象限”，对此要从以下几方面理解：
sin cos sin cos
θθθθ＋－11＝ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ， θ
∴左边＝右边，所以等式成立．
【名师点评】 证明三角恒等式，一般有两种方法：一
是从等式较复杂的一边证到较简单一边；二是采用“两
面夹击，中间会师”的方法．不论采用哪种方法．都要
灵活运用诱导公式．
栏目 导引
跟踪训练
栏目 导引
【名师点评】 诱导公式五、六是实现函数名称互化的有 力工具，而公式五、六直接针对的是互余关系的两角．常 见的互余关系有π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋α 与π4－α 等，记住这些结论有时会给我们带来意想不到的方便．
栏目 导引
互动探究
1．本例条件不变，求 cos(53源自文库＋α)的值．
2．诱导公式的作用 (1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三或一， 化为正角的三角函数．若转化了以后的正角大于360°， 再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数． (2)当化成的角是90°到180°间的角，再利用180°－α的 诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数． (3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°－α及 －α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
解：cos(53π＋α)＝cos[π＋(23π＋α)] ＝－cos(23π＋α)＝－cos[π－(π3－α)]
＝cos(π3－α)＝cos[π2－(π6＋α)]＝sin(π6＋α)＝
3 3.
栏目 导引
题型二 三角恒等式的证明
例2 求证：2sinθ－132－π2csoisn2θθ＋π2－1＝ttaann9ππ＋＋θθ－＋11.