高斯光束研究(可编辑修改word版)

高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象

摘要：随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（<100nm），而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜上，从而实现纳

米信息存储、纳米光刻或纳米成像。

本文主要研究高斯激光束通过非线性均匀绝缘介质后光强的改变。由电磁场基本原理，推导出高斯光束是缓变振幅条件下波动方程的近似解，研究其在介质突变面处的反射透射。重点研究高斯激光束在非线性介质中的传播问题，这一过程中有自聚焦现象。研究过程主要采用数值计算方法用差分方程代替偏微分方程研究问题的数值解。比较光强的变化。

关键词：高斯光束，非线性，自聚焦，差分方程

一、引言

随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（<100nm ），而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。而通过非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜上，从而实现纳米信息存储、纳米光刻或纳米成像。

实验中我们常常采用高斯光束作为光源进行问题研究。高斯光束是波动方程在缓变振幅下的一个特解，非线性介质的折射率随光强的变化而变化，因而高斯光束通过非线性介质发生自聚焦和衍射现象，从而改变能量分布。本文主要研究光强的变化， 通过具体数值建立数学模型，采用差分方程代替偏微分方程以求得问题的数值解，研究光束通过非线性介质后能量的变化。

二、预备知识 （一）波动方程

波动理论认为，光是一定频率范围内的电磁波，其运动规律可用 Maxwell 方程组来描述：

⎧ ∂

⎪

∇⨯ E = - B ⎪

∂t ⎪∇ ⋅ D = ⎨

∂ ⎪∇⨯ H = J + D (1-1)

⎪ ∂t ⎪ ∇ ⋅ ⎩⎪

B = 0

其中， 上式中 为电场强度， 为电位移， 为磁场强度，

为磁感应强度，一般情况下

E D H B

他们都是矢量且为时间空间坐标的函数，还满足物质方程：

⎪D = 0 E + P

M 0

⎧

⎨B = 0 (H + M )

⎪

⎪⎩J =E

(1-2)

式中 P 为电极化强度， J 为电流密度， 为自由电荷密度，为电导率， M 为磁化

强度。

= 8.854 ⨯10-14

AS / Vcm 真空中的介电常数 = 1.257 ⨯10-8VS / Acm 真空中的磁导率

在线性极化情况下

式中为介质的线性极化率。

P = 0 E

在非磁，各向同性均匀介质中，

= 0 ，在区域

= 0

j = 0 中，由(1-1)的第

二式、(1-2)中第一式，有∇ ⋅ E ＝0 ，将(1-2)第二式代入(1-1)第一式，等式两边取旋度， 有

∇⨯ ∇⨯

∂

(

E )

= -0 ∂t

∇⨯ H

(1-3)

由(1-1)第三式、(1-2)第一、三式可得

∂ ∂ ∇⨯ H =E +0

E + P ∂t ∂t

(1-4)

将(1-4)代入(1-3)，由∇ ⨯（∇ ⨯ E ）=∇ (∇ ⋅ E ) - ∆E 可得

∂

∂2

∂2

∇(∇ ⋅ E )

- ∆E = -

E

- E - P

因为∇ ⋅ E ＝０，(1-5)整理后可得

∂t

0 0 ∂t 2 0 ∂t 2

(1-5)

∂

∂2

∂2 ∆E

- E -

E

- P =0 0

∂t

对于无损介质（等效于

= 0 ）有

0 0 ∂t 2 0 ∂t 2

(1-6)

E - E 0

P

2

式中c 为真空中的光速：

∆ 1 ∂2 - c 2 ∂t 2 1 c 2 ∂2

∂t 2

=0

(1-7)

c 2 =

(1-6)、(1-7)为线性光学的基本方程。

1

00

(1-8)

（二）赫姆霍茨方程

激光光学中常用复数 E （公式中用 E 代替方便输入）表示电场强度： E =

1

*

E + E 2

(2-1)

E ( x , y , z , t ) = E ( x , y , z ) e 介质的电极化强度也可以用复数表达式

：

i

t

(2-2)

1

*

P =

(+ )

(2-3)

( x , y , z , t ) =

(

)

E x , y , z , t

(2-4)

( x , y , z ) =

( )

E x , y , z

式中带“ * ”量为共轭量。

利用(2-1)—(2-5)式可将(1-7)式化为

(2-5)

∆ 2 2

式中 为复折射率

E ( x , y , z ) +k E ( x , y , z ) = 0

(2-6)

在标量场假设下，(2-6)式成为

= 1+

(2-7)

(

)