从构造数列递推计算到牛顿等幂和公式

收稿日期:2008-04-11　修回日期:2008-06-06

从构造数列递推计算到牛顿等幂和公式

王慧兴

(河南省实验中学,450002)

(本讲适合高中)1　构造数列递推计算

如何用n 个未定元x 1,x 2,…,x n 的基本对称多项式

σ1,σ2,…,σj ,…,σn

=

∑n

i =1

x i

,∑1≤i

x i x j

,…,

∑1≤i 1

<…

≤n

x i 1x i 2…x i j ,…,x 1x 2…x n

①

表示等幂和多项式S k =

∑n

i =1

x

k i (k ∈N +)?

约定S 0=n .

根据x 1,x 2,…,x n 是方程

(t -x 1)(t -x 2)…(t -x n )=0,即　t n -σ1t n -1+…+(-1)j σj t

n -j

+…+(-1)n -1σn -1t +(-1)n

σn =0

的n 个根,得x n i =σ1x n -1i +…+(-1)j +1σj x n -j i

+…+(-1)n σn -1x i +(-1)n +1

σn .

故x k i

=σ1x

k -1i

+…+(-1)

j +1

σj x k -j i

+…+

(-1)n σn -1x k -(n -1)

i +(-1)n +1σn x k -n

i

.对i =1,2,…,n 累加得S k =σ1S k -1+…+(-1)j +1

σj S k -j +…+

(-1)n σn -1S k -n +1

+(-1)n +1σn S k -n

(k ≥n ).

再根据初始条件

(S 0,S 1,S 2,…,S n -1)

=(n ,σ1,σ21-2σ2,…

),就可以进行递推计算.

当n 不太大时,初始条件较少,用代数方法能方便地算出;当n 较大时,初始条件

较多,计算起来通常较繁.需要指出的是,上

述递推关系式对k ∈Z 都成立.2　牛顿等幂和公式

用n 个未定元x 1,x 2,…,x n 的基本对称

多项式①表示等幂和多项式S k =∑n

i =1

x

k

i

的另

一种方法就是著名的牛顿公式.

牛顿公式:令S k =

∑

n

i =1

x k

i (k ∈N +).则

当k ≤n 时,S k =σ1S k -1-σ2S k -2+…+

(-1)k σk -1S 1+k (-1)k +1

σk ;当k >n 时,S k =σ1S k -1-σ2S k -2+…+

(-1)n +1σn S k -n .

牛顿公式的证明见文[1],前一部分要用

到一点导数和多项式知识,后一部分就是前述数列方法.3　例题选讲

牛顿等幂和公式从算法的角度给出关于

等幂和问题的一个推证途径.关于等幂和的问题在代数式求值、多项式、不等式、解方程组、多元极值、初等数论、三角函数以及复数等专题中都有出现,已成为近年来各级数学竞赛的一个亮点.

例1　已知α2005+β2005

可以表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.

(2005,中国西部数学奥林匹克)

讲解:令S n =αn +βn

(n ∈N +),(σ1,σ2)=(α+β,

αβ).则S 1=σ1,

S 2=σ1S 1+2(-1)3

σ2=σ2

1-2σ2,……由牛顿公式可得

α2005+β2005

=

∑

i ,j

c i ,j σi 1σj

2,

其中,c i ,j 为常数.

故

∑

i ,j

c i ,j =α

2005

+β

2005

|σ1=σ2=1

=2Re 12+32i

2005

=2Re 12+32

i

=1.

因此,所求多项式系数和为1.

评注:这里应用牛顿公式推证,思路清晰,自然流畅,回答了原来参考答案“赋值法”中的“为什么”.

例2　设正实数a 、b 、c 满足a +b +c =1.证明:

10(a 3+b 3+c 3)-9(a 5+b 5+c 5

)≥1.(2005,中国西部数学奥林匹克

)讲解:令S k =a k +b k +c k

(k ∈N +).则

(σ1,σ2,σ3)=(1,ab +bc +ca ,abc ),

S 0=3,S 1=1.

再由牛顿公式计算得

S 2=σ1S 1+2(-1)3

σ2=1-2σ2,

S 3=σ1S 2-σ2S 1+3(-1)4

σ3

=1-3σ2+3σ3,

S 4=σ1S 3-σ2S 2+σ3S 1

=1-4σ2+4σ3+2

σ2

2

,S 5=σ1S 4-σ2S 3+σ3S 2

=1-5σ2+5σ3+5σ2

2-5σ2σ3.于是,原不等式等价于10(1-3σ2+3σ3)-9(1-5σ2+5σ3+

5σ2

2-5σ2σ3)≥1Ζσ2-σ3-3σ2

2+3σ2σ3≥

0Ζ(σ2-σ3)(1-3σ2)≥

0Ζ(ab +bc +ca -abc )(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca )≥0.由a +b +c =1且a 、b 、c ∈R +知

ab +bc +ca -abc >0.

又由排序不等式知

a 2+

b 2+

c 2

-ab -bc -ca ≥0.

故原不等式得证.

评注:结合待证不等式及其条件,应用牛顿公式递推计算是一个水到渠成的选择,思路自然,表达简洁.

例3　解方程组x -y +z -w =2,

x 2

-y 2

+z 2

-w 2

=6,x 3

-y 3

+z 3

-w 3

=20,x 4

-y 4

+z 4

-w 4

=66

[2]

.

(2006,全国高中数学联赛)

讲解:定义数列

{a n }:a n =x n +z n

(n ∈N +),

{b n }:b n =y n +w n

(n ∈N +).

于是,原方程组即a 1=b 1+2,

a 2=

b 2+6,a 3=b 3+20,a 4=b 4+66.

对{a n }有

(σ1,σ2)=(x +z ,xz )=

a 1,

a 2

1-a 2

2

.

由牛顿公式计算得

a 3=σ1a 2-σ2a 1=a 1a 2-

a 2

1-a 2

2

a 1

=

12

a 1(3a 2-a 2

1),a 4=σ1a 3-σ2a 2=a 1a 3-

a 2

1-a 2

2

a 2

=12a 21(3a 2-a 21)-12a 2(a 2

1-a 2)

=

12

(2a 21a 2-a 41+a 2

2).同理,对{b n }计算得

b 3=12

b 1(3b 2-b 2

1),b 4=

12

(2b 21b 2-b 41+b 2

2).从而,原方程组进一步转化为