第11讲 数学建模竞赛题选讲(2)

i=0
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
四、模型求解
解法1 固定风险 水平，极大化净 收益——模型1
解法2 固定净收 益水平,极小化风 险损失——模型2
n
∑ max Q( x) = (ri − pi )xi i=0
min P ( x,α ) = α
s .t .
q
n
i
x
i
≤
α,
i = 1,2,L n
数学建模示例
（1998A）
——投资的收益和风险
建模示例——投资的收益和风险(1998A)
市场上有n种资产Si(i=1,2……n)可以选择, 现用数额为 M的相当大的资金作一个时期的投资. 这n种资产在这一时
期内购买Si的平均收益率为ri, 风险损失率为qi, 投资越分散, 总的风险越小, 总体风险可用投资的Si中最大的一个风险 来度量. 购买Si时要付交易费 (费率pi), 当购买额不超过给 定值ui时, 交易费按购买ui计算. 另外, 假定同期银行存款利 率是r0, 既无交易费又无风险(r0=5%). 已知n=4时相关数据
⎧min P ( x,α ) = α
⇔
⎨ ⎩
s
.t
.
qi xi ≤ α , i = 1,2,L n
简化后的模型——双目标线性规划模型
n
∑ max Q( x) = (ri − pi )xi i=0
min P ( x,α ) = α
s.t . qi xi ≤ α , i = 1,2,L n
n
∑ (1 + pi )xi = M
通常在分析 问题时，需要 取多组不同的
n
∑ max Q( x) = (ri − pi )xi i=0
s.t. qi xi ≤ a0M, i = 1,2,Ln
风险水平a0，观 察净收益的变
n
∑ (1 + pi )xi = M
化情况，以便
i=0
给出合理的风 险水平a0。
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
{ { }} 标
i=0
min P ( x ) = max qi xi i = 1,2,L , n
n
约 束
∑ (1 + pi )xi = M
i=0
条 件
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
4. 模型简化：
1) 简化总收益函数Q(x)
购买Si所付交易费是一个分段函数, 即交易费= pimax{ui, xi}; 而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小, piui更小,可 以忽略不计, 这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi
模型3 权衡投资风险和预期净收益两方面, 对风险、 收益赋予权重s和1－s(s称为投资偏好系数)
注意这里决策 变量为x和a！
取多组不同的偏 好系数s，观察 风险和收益的变 化情况，以便给 出合理的偏好系 数s。
n
min sα − (1 − s)∑ (ri − pi )xi i=0
s.t . qi xi ≤ α , i = 1,2,L n
Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) S11 11.8 31 5.1) 195 S12 9 5.5 5.7 320 S13 35 46 2.7 267 S14 9.4 5.3 4.5 328 S15 15 23 7.6 131
二、基本假设和符号规定
基本假设： 1. 投资数额M相当大, 为了便于计算，假设M=1； 2. 投资越分散，总的风险越小； 3. 总体风险用投资项目Si中最大的一个风险来度量； 4. n种资产Si之间是相互独立的； 5. 在投资的这一时期内, ri, pi, qi, r0为定值, 不受意外因素影响; 6. 净收益和总体风险只受 ri, pi, qi影响，不受其他因素干扰。
0 0.04 0.07 0.11 0.13
0 0 0 0 0 0 0 0 0
00 0.08 0.002 0.15 0.004 0.22 0.006
0 0.008 0 0.01 0 0.012 0 0.014 0 0.016 0 0.018 0 0.020 0 0.022 0 0.024 0 0.026
三、模型的建立与分析
1. 总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即 max{ qixi|i=1，2,…n}
2．购买Si所付交易费是一个分段函数, 即交易费= pimax{ui, xi};
3．要使净收益尽可能大,总体风险尽可能小, 这是一个多目标规
划模型:
n
∑ 目 max Q( x) = (ri xi − pi max{ui , xi })
符号规定： Si -------第i种投资项目，如股票，债券; ri, pi, qi ----分别为Si的平均收益率, 风险损失率, 交易费率; ui ---------Si的交易定额; r0 ---------同期银行利率; xi -------投资项目Si的资金; Q(x) ------总体收益函数; P(x)-------总体风险函数；
如取风险水平a0＝0:0.001:0.1，可看出净收益的变 化情况如图。
0.3
1.00 0 0 0.66 0.08 0.13 0.33 0.16 0.27
0 0.24 0.40 0 0.32 0.53 0 0.40 0.58 0 0.48 0.51 0 0.56 0.43 0 0.64 0.35 0 0.72 0.27 0 0.80 0.19 0 0.88 0.11 0 0.96 0.03 0 0.99 0
4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很 少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润 增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来 说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合。
返回
模型2 确定净收益水平下限b0，使每一项投资的净 收益不低于b0，并极小化风险，来得到最优投资组 合——把多目标问题转化为单目标问题
如下：
1) 试 给 设 计 一 种 投 资
Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) 组合方案, 即用给定达到
S1 28 2.5 1 103 资金M, 有选择地购买若干
S2 21 1.5 2 198 种资产或存银行生息, 使
S3 23 5.5 4.5 S4 25 2.6 6.5
52 净收益尽可能大, 使总体 40 风险尽可能小.
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05 0
0.02 0.04 0.06 0.08
0.1
a
a0＝0.006<-----> a0＝0.025
模型1结果分析：
1.风险大，收益也大。 2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。 即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽 量分散投资。 3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益 要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平 下的最优投资组合。
n
n
∑ ∑ Q( x) = (ri xi − pi max{ui , xi }) ≈ (ri − pi )xi
i=0
i=0
2) 简化总体风险函数P(x):
{ } 令α = max qi xi i = 1,2,L, n ;则
min P ( x) = {max {qi xi i = 1,2,L , n}}
∑ (1 + pi )xi = M
i=0
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
解法3 权衡资产风险和预期净收益两方面, 对风险、收 益赋予权重s和1－s(s称为投资偏好系数)——模型3
模型1 确定风险水平a0，使每一项投资的风险损失 不超过a0*M，并极大化净收益，来得到最优投资组 合——把多目标问题转化为单目标问题
注意这里决策 变量为x和a！
同样在分析
问题时，取多 组不同的收益 水平下限b0，观 察风险的变化 情况，以便给 出合理的收益 水平下限b0。
min P ( x,α ) = α
s.t . qi xi ≤ α , i = 1,2,L n n ∑ (1 + pi )xi = M i=0 n ∑ (ri − pi )xi ≥ b0 i=0 xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
n
∑ (1 + pi )xi = M
i=0
xi ≥ 0, i = 1,2,L, n
第三次小作业
针对前面的模型2或模型3，作类 似的分析，写一个不超过两页的 报告(要有数据支持)!
最后大作业
2003全国数学建模竞赛B题2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进 行计算:
Si ri(%) qi (%) pi (%) ui (元) S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397 S7 40.7 68 5.6 178 S8 31.2 33.4 3.1 220 S9 33.6 53.3 2.7 457 S10 36.8 40 2.9 248