数值分析课件 第4章 数值积分与数值微分

第4章 数值积分与数值微分

1 数值积分的基本概念

实际问题当中常常需要计算定积分。在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上

有很大作用。对定积分()b

a I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]a

b 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分

()()()b

a f x dx F

b F a =-⎰ 似乎问题已经解决，其实不然。如

1）()f x 是由测量或数值计算以数据表形式给出时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。 2）许多形式上很简单的函数，例如

2

22sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x

-=

等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形

式表示。 3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用

数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。例如下列积分

2

4

111

ln

1

1

arc 1)arc 1)

x

dx

x

tg tg C

++

=

+

⎡⎤

+++-+

⎣⎦

⎰

对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法—数值积分法。

1.1 数值求积分的基本思想

根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。由积分中值定理：对()[,]

f x C a b

∈，存在[,]

a b

ξ∈，有

()()()

b

a

f x dx b a fξ

=-

⎰

表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a

-而高为()

fξ的矩形面积（图4-1）。问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()

fξ。我们将()

fξ称为区间[,]

a b上的平均高度。这样，只要对平均高度()

fξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。如果我们用两端的算术平均作为平均高度

()f ξ的近似值，这样导出的求积公式

[()()]2

b a T f a f b -=+ (1.1)

便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。而如果

改用区间中点2

a b c +=的“高度”()f c 近似地取

代平均高度()f ξ，则可导出所谓中矩形公式（简

称矩形公式）

()2a b R b a f +⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

(1.2)

更一般地，我们可以在区间[,]a b 上适当选取某些节点k x ，然后用()k f x 加权平均得到平均高

度()f ξ的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：

y

图4-1 图4-2

()()n

b

k k a

k f x dx A f x =≈∑⎰

(1.3)

式中k x 称为求积节点；k A 成为求积系数，亦称伴随节点k x 的权。权k A 仅仅与节点k x 的选取有关，而不依赖于被积函数()f x 的具体形式。 这类由积分区间上的某些点上处的函数值的．．．．线性组合．．．．

作为定积分的近似值的求积公式通常称为机械求积公式，它避免了Newton-Leibnitz 公式寻求原函数的困难。对于求积公式(1.3)，关键在于确定节点{}k x 和相应的系数{}k A 。

1.2 代数精度的概念

由Weierstrass 定理可知，对闭区间上任意的连续函数，都可用多项式一致逼近。一般说来，多项式的次数越高，逼近程度越好。这样，如果求积公式对m 阶多项式精确成立，那么求积公式的误差仅来源于m 阶多项式对连续函数的逼近误差。因此自然有如下的定义

定义1 如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均准确地成立，但对于1m +次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数

精度。

例1 判断求积公式

1

11

()[58(0)5(9f x dx f f f -≈++⎰

的代数精度。 解 记

1

1()()1

()[58(0)5(

9

I f f

x dx

I f f f f -=

=++

⎰

因为

1

11

1

122

12

1

3

31

333

1

(1)2(1)(585)2

9

()1

()[5805(0

9()12()(50.68050.6)93()1()[505(]0

9

I dx I I x xdx I x I x x dx I x I x x dx I x ----===++===⨯+⨯+⨯===⨯+⨯+⨯=

==⨯++⨯=⎰⎰⎰⎰，=0

2=

3=0

1

4

4

14

1

5

5

1

5

55166

1633

()12()(50.36050.36)95

()1

()[505(]0

9()12()[5(0.6)05(0.6)]0.2497

I x x dx I x I x x dx I x I x x dx I x ---==⨯++⨯=

==⨯++⨯===⨯++⨯=≠

⎰⎰⎰2

=

5=0

2=

7 所以求积公式具有5次代数精度。

例2给定形如1

0100()(0)(1)(0)f x dx A f A f B f '≈++⎰的求积公式，试确定系数010,,A A B ，使公式具有尽可能高的代数精度。

解 求积公式中有三个参数，因此至少对()f x = 21,,x x 应精确成立，即 当()1f x =时，得

1

01011A A dx +==⎰ 当()f x x =时，得

1

10012

A B xdx +==⎰