数值分析18(数值微分)
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《数值分析》 19
导数的数值计算方法
数值求导的外推方法
12:47
1/23
重温微积分 微分(Differentiation) 积分(Integration)
Integrals as Sums and Derivatives as Difference
凡線面體皆設為由小漸大,一剎那中所增之積即微分也。 其全積即積分也 微分与积分构成了一对互逆的运算
当h 0.1, 0.05, 0.025时,
F ( h) 0.4516049081 F ( h / 2) 0.4540761693 F1 ( h) 0.4548999231 F ( h / 4) 0.4546926288 F1 ( h / 2) 0.4548981152 F2 (h) 0.454897994
根据介值定理 , xi 和x j 之间存在常数 使得
12:47
8/23
h2 h3 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f (1 ) 2 6 h2 h3 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( 2 ) 2 6
Richardson 外推 Q
n 2, F4
22 F2 ( h ) F2 ( h ) 2 22 1
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2 2n 1
= 4 =
f ( x h ) f ( x h ) 2 2 h
f ( x h ) f ( x h ) 2h
导数的概念是精确刻画函数在一点及其附 近的局部变化率的有力工具。
( x x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 2! ( x x0 ) n ( n ) ( x x0 )n1 ( n1) f ( x0 ) f ( ) ( n)! ( n 1)!
适当选取平均化系数 调整校正量 ( F2 F1 ) 以将F1加工成某个更高精度结果。这种基于校 正量的调整或松动的方法称之为松弛方法。
12:47
13/23
近似给定的量Q的n阶公式Fn Q Fn ( h) cn h +cn1h
n n 1
+
f ( x h) f ( x h) h2 h4 (5) 例如f ( x ) f ( x ) f ( x) 2h 6 5!
2. 符号微分diff syms x; f=(sin((x^tan(x))*cosh(x)))^3; f1=diff(f,1)
12:47
17/23
Matlab微分
3. gradient
[x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); z = x .* exp(-x.^2 - y.^2); [px,py] = gradient(z,.2,.2); contour(z), hold on, quiver(px,py), hold off
12:47
h2 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) 2! hn ( n ) hn 1 f ( x) f ( n1) ( ) ( n)! ( n 1)!
5/23
h2 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( ) 2
思路 : 设n个函数值中最小和最大的分别是f ( xi )和f ( x j ), an ) f ( xi ) a1 f ( x1 )+ a1 f ( x1 )+ f ( xi ) a1 + a1 f ( x1 )+ f ( )= a1 + an f ( xn ) (a1 + an f ( xn ) f (xj ) an an f ( xn ) an
f ( x h / 2) f ( x h / 2) h2 h4 (5) f ( x ) f ( x ) f ( x) 2 4 h 6 2 5! 2
F4
12:47
4 F2 ( h ) F2 ( h ) 2 41
4 =f ( x ) O( h )
Q Fn ( h 2 ) (1 ) Fn ( h)
12:47
外推 2 / (2 1),1 1 / (2 1)
n
14/23
例4. 推导中心差分公式的Richardson外推公式
f ( x h) f ( x h) h2 f ( x )= f ( ) 2h 6
12:47
6/23
回顾2 介值定理(Intermediate Value Theorem)
设f ( x )是区间[a, b]上的连续函数, 则对于最大值M 和最小值 m之间的任何一个值一定存在 [a, b]使得f ( ) 。
12:47
7/23
回顾2 一般介值定理(Intermediate Value Theorem)
h2 h3 h4 (4) h5 (5) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x )+ f ( x) f ( x) 2 6 4! 5!
F2 (h)
F2 (h / 2)
f ( x h) f ( x h) h2 h4 (5) =f ( x ) f ( x ) f ( x) 2h 6 5!
f ( x h) f ( x h) f ( x) 2h
1 2.1
1 1.9 0.2506 0.2
f ( x)= x 2 , f (2) 0.2500
f ( x h) f ( x ) h f ( x )= f ( ) h 2
f ( x h) f ( x h) h2 f ( x )= f ( ) 2h 6 12:47
a
b
(u( x )v( x )) u( x )v( x ) u( x )v ( x )
u( x )v ( x ) u( x )v ( x )dx v ( x )u( x )dx
12:47
3/23
Integrals as Sums and Derivatives as Difference 如何计算导数(微分)或者梯度?
F ( x)
d
12:47
F ( x ) C
f ( x )dx
2/23
重温微积分
微积分中蕴含的对立统一思想
微积分基本定理 f ( x )dx F (b) F (a )
a b
f (b) f (a ) f ( ) ba
b
a
f ( x ) g( x )dx f ( ) g( x )dx
x
y
x1 y1
x2 y2
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
f ( x)=sin3 ( xtan x cosh x)
函数复杂或仅仅给定
离散的观察数据(函数值)？
12:47
4/23
回顾1
f ( x h) f ( x ) f ( x ) lim h 0 h
一阶前向差分公式
f ( x h) f ( x ) h f ( x )= f ( ) h 2
前向差分公式是近似一阶导数的一阶方法。一般地 如果误差是O(hn ), 我们就称公式是n阶近似。
称这个公式一阶的微妙之处是 与h有关。一阶的概念是当h 0时, 误差应正比于h。当h 0时, 是移动的, 因此比例常数改变了。但 只要f ( x )连续, 当h 0时比例常数f ( )趋于f ( x ), 这就使得称公式 为一阶的是恰当的。
F4 ( h) 4 / 3F2 ( h / 2) 1 / 3F2 ( h)
12/23
松弛思想
目标值Q有两个精度相当的近似值F1和F2,如 果将这两个近似值加工成更高精度的结果呢? 改善精度的一种简便而有效的办法是,取两者的 某种加权平均值作为改进值,即令
Q (1 )F1 F2 或Q F1 ( F2 F1 )
设f ( x )是区间[a , b]上的连续函数, x1 , 是[a , b]中的点, 而且a1 , 之间存在数 使得 (a1 +
(a1 +
, xn
, an 0, 那么在a , b an f ( xn )
an ) f ( x j )
an ) f ( ) a1 f ( x1 )+
10/23
舍入误差 到目前为止,所有公式都破坏了不要进行相近数 相减的规则。这对于数值微分是一个极大的困 难,但是它在本质上式不可能避免的。
例2. 求f(x)=ex 在x=0处导数的近似。 h 前向差分 误差 中心差分 误差
12:47
11/23
例3. 基于中心差分公式的研究更高阶近似公式
h2 h3 h4 ( 4 ) h5 (5 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f ( x )+ f ( x) f ( x) 2 6 4! 5!
二阶导数高阶导数近似
f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) h2 （4） f ( x )= f ( ) 2 12:47 h 12
9/23
例1. 取h=0.1,分别用前向差分公式和中心差分公式近 似f(x)=1/x在x=2处的导数。
1 1 f ( x h) f ( x ) 2.1 2 f ( x ) = 0.2381 h 0.1
一阶导数中心差分公式
f ( x h) f ( x h) h2 f ( x )= f ( ) 2h 6
h2 h3 h4 (4 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f ( x )+ f (1 ) 2 6 24
h2 h3 h4 (4 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( 2 ) 2 6 24
12:47
18/23
Integrals as Sums and Derivatives as Difference
应用1 Sharpening
参考文献: GradientShop: Gradient-Domain Image and Video Processing
12:47
19/23
Integrals as Sums and Derivatives as Difference 应用2 Pseudo image relighting
/3
h f ( x h )8 f ( x h ) 8 f ( x ) f ( x h ) 2 2 6h
12:47 是否可以进一步地外推?
15/23
例5. 用Richardson外推公式计算f(x)=x2e-x在x=0.5的导数。
1 解F ( h) [(1 / 2 h)2 e (1/ 2 h ) (1 / 2 h)2 e (1/ 2 h) ] 2h
f (0.5)精确值0.454897994
12:47
16/23
Matlab微分
1. n阶差分, diff(X,N,DIM)
X = [3 7 5; 0 9 2], diff(X,1,1), diff(X,1,2) I=imread('lena_color_512.tif'); imshow(diff(I),[])
Q Fn ( h) cn hn +cn1hn1
Q Fn ( h / 2) cn hn /2n +cn1hn1 / 2n1
Q
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2 2n 1
+d n1h
n 1
+
2n 1
Richardson 外推 Q
n n
Hale Waihona Puke Baidu
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2
导数的数值计算方法
数值求导的外推方法
12:47
1/23
重温微积分 微分(Differentiation) 积分(Integration)
Integrals as Sums and Derivatives as Difference
凡線面體皆設為由小漸大,一剎那中所增之積即微分也。 其全積即積分也 微分与积分构成了一对互逆的运算
当h 0.1, 0.05, 0.025时,
F ( h) 0.4516049081 F ( h / 2) 0.4540761693 F1 ( h) 0.4548999231 F ( h / 4) 0.4546926288 F1 ( h / 2) 0.4548981152 F2 (h) 0.454897994
根据介值定理 , xi 和x j 之间存在常数 使得
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8/23
h2 h3 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f (1 ) 2 6 h2 h3 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( 2 ) 2 6
Richardson 外推 Q
n 2, F4
22 F2 ( h ) F2 ( h ) 2 22 1
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2 2n 1
= 4 =
f ( x h ) f ( x h ) 2 2 h
f ( x h ) f ( x h ) 2h
导数的概念是精确刻画函数在一点及其附 近的局部变化率的有力工具。
( x x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 2! ( x x0 ) n ( n ) ( x x0 )n1 ( n1) f ( x0 ) f ( ) ( n)! ( n 1)!
适当选取平均化系数 调整校正量 ( F2 F1 ) 以将F1加工成某个更高精度结果。这种基于校 正量的调整或松动的方法称之为松弛方法。
12:47
13/23
近似给定的量Q的n阶公式Fn Q Fn ( h) cn h +cn1h
n n 1
+
f ( x h) f ( x h) h2 h4 (5) 例如f ( x ) f ( x ) f ( x) 2h 6 5!
2. 符号微分diff syms x; f=(sin((x^tan(x))*cosh(x)))^3; f1=diff(f,1)
12:47
17/23
Matlab微分
3. gradient
[x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); z = x .* exp(-x.^2 - y.^2); [px,py] = gradient(z,.2,.2); contour(z), hold on, quiver(px,py), hold off
12:47
h2 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) 2! hn ( n ) hn 1 f ( x) f ( n1) ( ) ( n)! ( n 1)!
5/23
h2 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( ) 2
思路 : 设n个函数值中最小和最大的分别是f ( xi )和f ( x j ), an ) f ( xi ) a1 f ( x1 )+ a1 f ( x1 )+ f ( xi ) a1 + a1 f ( x1 )+ f ( )= a1 + an f ( xn ) (a1 + an f ( xn ) f (xj ) an an f ( xn ) an
f ( x h / 2) f ( x h / 2) h2 h4 (5) f ( x ) f ( x ) f ( x) 2 4 h 6 2 5! 2
F4
12:47
4 F2 ( h ) F2 ( h ) 2 41
4 =f ( x ) O( h )
Q Fn ( h 2 ) (1 ) Fn ( h)
12:47
外推 2 / (2 1),1 1 / (2 1)
n
14/23
例4. 推导中心差分公式的Richardson外推公式
f ( x h) f ( x h) h2 f ( x )= f ( ) 2h 6
12:47
6/23
回顾2 介值定理(Intermediate Value Theorem)
设f ( x )是区间[a, b]上的连续函数, 则对于最大值M 和最小值 m之间的任何一个值一定存在 [a, b]使得f ( ) 。
12:47
7/23
回顾2 一般介值定理(Intermediate Value Theorem)
h2 h3 h4 (4) h5 (5) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x )+ f ( x) f ( x) 2 6 4! 5!
F2 (h)
F2 (h / 2)
f ( x h) f ( x h) h2 h4 (5) =f ( x ) f ( x ) f ( x) 2h 6 5!
f ( x h) f ( x h) f ( x) 2h
1 2.1
1 1.9 0.2506 0.2
f ( x)= x 2 , f (2) 0.2500
f ( x h) f ( x ) h f ( x )= f ( ) h 2
f ( x h) f ( x h) h2 f ( x )= f ( ) 2h 6 12:47
a
b
(u( x )v( x )) u( x )v( x ) u( x )v ( x )
u( x )v ( x ) u( x )v ( x )dx v ( x )u( x )dx
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3/23
Integrals as Sums and Derivatives as Difference 如何计算导数(微分)或者梯度?
F ( x)
d
12:47
F ( x ) C
f ( x )dx
2/23
重温微积分
微积分中蕴含的对立统一思想
微积分基本定理 f ( x )dx F (b) F (a )
a b
f (b) f (a ) f ( ) ba
b
a
f ( x ) g( x )dx f ( ) g( x )dx
x
y
x1 y1
x2 y2
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
f ( x)=sin3 ( xtan x cosh x)
函数复杂或仅仅给定
离散的观察数据(函数值)？
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回顾1
f ( x h) f ( x ) f ( x ) lim h 0 h
一阶前向差分公式
f ( x h) f ( x ) h f ( x )= f ( ) h 2
前向差分公式是近似一阶导数的一阶方法。一般地 如果误差是O(hn ), 我们就称公式是n阶近似。
称这个公式一阶的微妙之处是 与h有关。一阶的概念是当h 0时, 误差应正比于h。当h 0时, 是移动的, 因此比例常数改变了。但 只要f ( x )连续, 当h 0时比例常数f ( )趋于f ( x ), 这就使得称公式 为一阶的是恰当的。
F4 ( h) 4 / 3F2 ( h / 2) 1 / 3F2 ( h)
12/23
松弛思想
目标值Q有两个精度相当的近似值F1和F2,如 果将这两个近似值加工成更高精度的结果呢? 改善精度的一种简便而有效的办法是,取两者的 某种加权平均值作为改进值,即令
Q (1 )F1 F2 或Q F1 ( F2 F1 )
设f ( x )是区间[a , b]上的连续函数, x1 , 是[a , b]中的点, 而且a1 , 之间存在数 使得 (a1 +
(a1 +
, xn
, an 0, 那么在a , b an f ( xn )
an ) f ( x j )
an ) f ( ) a1 f ( x1 )+
10/23
舍入误差 到目前为止,所有公式都破坏了不要进行相近数 相减的规则。这对于数值微分是一个极大的困 难,但是它在本质上式不可能避免的。
例2. 求f(x)=ex 在x=0处导数的近似。 h 前向差分 误差 中心差分 误差
12:47
11/23
例3. 基于中心差分公式的研究更高阶近似公式
h2 h3 h4 ( 4 ) h5 (5 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f ( x )+ f ( x) f ( x) 2 6 4! 5!
二阶导数高阶导数近似
f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h) h2 （4） f ( x )= f ( ) 2 12:47 h 12
9/23
例1. 取h=0.1,分别用前向差分公式和中心差分公式近 似f(x)=1/x在x=2处的导数。
1 1 f ( x h) f ( x ) 2.1 2 f ( x ) = 0.2381 h 0.1
一阶导数中心差分公式
f ( x h) f ( x h) h2 f ( x )= f ( ) 2h 6
h2 h3 h4 (4 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f ( x )+ f (1 ) 2 6 24
h2 h3 h4 (4 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( 2 ) 2 6 24
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Integrals as Sums and Derivatives as Difference
应用1 Sharpening
参考文献: GradientShop: Gradient-Domain Image and Video Processing
12:47
19/23
Integrals as Sums and Derivatives as Difference 应用2 Pseudo image relighting
/3
h f ( x h )8 f ( x h ) 8 f ( x ) f ( x h ) 2 2 6h
12:47 是否可以进一步地外推?
15/23
例5. 用Richardson外推公式计算f(x)=x2e-x在x=0.5的导数。
1 解F ( h) [(1 / 2 h)2 e (1/ 2 h ) (1 / 2 h)2 e (1/ 2 h) ] 2h
f (0.5)精确值0.454897994
12:47
16/23
Matlab微分
1. n阶差分, diff(X,N,DIM)
X = [3 7 5; 0 9 2], diff(X,1,1), diff(X,1,2) I=imread('lena_color_512.tif'); imshow(diff(I),[])
Q Fn ( h) cn hn +cn1hn1
Q Fn ( h / 2) cn hn /2n +cn1hn1 / 2n1
Q
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2 2n 1
+d n1h
n 1
+
2n 1
Richardson 外推 Q
n n
Hale Waihona Puke Baidu
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2