数值分析18(数值微分)
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析与数值计算方法
数值分析与数值计算方法数值分析与数值计算方法是现代科学与工程领域中的重要学科，它涉及到利用计算机和数值方法解决数学问题的理论和技术。
本文将从数值分析的基本概念、应用领域以及常见的数值计算方法等方面进行探讨。
一、数值分析的基本概念数值分析是一门研究数学算法与计算机实现相结合的学科，旨在通过数学模型的建立和数值计算方法的选择，对实际问题进行定量分析和计算。
它不仅包括了数值计算方法的研究，还包括了误差分析、计算复杂性和算法设计等内容。
数值分析的核心任务是将问题转化为数学模型和计算机可处理的形式，通过数值计算方法求解模型得到近似解。
数值分析的基本思想是通过将连续问题离散化，将其转化为离散的代数问题，然后利用数值计算方法进行求解。
二、数值分析的应用领域数值分析广泛应用于科学和工程领域，例如物理学、化学、生物学、经济学、计算机科学等。
在实际的科学研究和工程应用中，常常需要对现象进行数值建模和计算求解，以获得更加准确的结果。
在物理学中，数值分析用于求解微分方程、积分方程等物理模型，并模拟和预测天体运动、流体流动等自然现象。
在化学和生物学中，数值分析被用于计算分子结构、化学反应动力学等问题。
在经济学中，数值分析可以用于建立经济模型、进行风险评估和决策分析。
三、常见的数值计算方法1. 插值和拟合方法：插值和拟合方法用于根据已知数据点的函数值，构造出一个逼近原函数的函数。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值；拟合方法包括最小二乘拟合、多项式拟合等。
2. 数值积分方法：数值积分方法用于计算函数在一定区间上的定积分。
常见的数值积分方法有梯形规则、辛普森规则等。
3. 数值微分方法：数值微分方法用于在离散数据点上估计函数的导数。
常见的数值微分方法有中心差分法和向前差分法等。
4. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程的数值解。
常见的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法等。
5. 线性方程组的数值解法：线性方程组的数值解法用于求解线性代数方程组的数值解。
数值分析第四章外推法计算数值微分MATLAB计算实验报告
数值分析第四章外推法计算数值微分MATLAB计算实验报告数值分析MATLAB计算实验报告姓名班级学号⼀、实验名称⽤MATLAB编程实现数值微分的外推法计算。
⼆、实验⽬的1．掌握数值微分和定义和外推法的计算过程；2．了解数值微分外推法的计算⽅法并且编写出与其算法对应的MATLAB程序代码；3．体会利⽤MATLAB软件进⾏数值计算。
三、实验内容⽤外推法计算f(x)=x2e?x在x=0.5的导数。
四、算法描述1.命名函数。
2.如果输⼊未知数少于四个，默认精度10^-33.描述T表矩阵坐标4.依次赋值计算 T表第⼀列5.根据数值微分计算公式求出T表矩阵的值6.若达到精度则运算结束，若未达到循环计算7.输出T表，得出的值就是导数值五、实验结果六、实验结果分析此实验通过MATLAB实现外推法数值微分计算，得到相应的数据，⽅便对数据进⾏分析。
从结果可以看出，当步长h=0.025时⽤中点微分公式只有3位有效数字，外推⼀次达到5位有效数字，外推两次达到9位有效数字。
七、附录（程序）function g=waituifa(fname,x,h,e)if nargin<4,e=1e-3;end;i=1;j=1;G(1,1)=(feval(fname,x+h)-feval(fname,x-h))/(2*h);G(i+1,1)=(feval(fname,x+h/2)-feval(fname,x-h/2))/h;G(i+1,j+1)=(4^j*G(i+1,j)-G(i,j))/(4^j-1);while abs(G(i+1,i+1)-G(i+1,i))>ei=i+1;G(i+1,1)=(feval(fname,x+h/2^i)-feval(fname,x-h/2^i))/(2*h/2^i); for j=1:iG(i+1,j+1)=((4^j)*G(i+1,j)-G(i,j))/(4^j-1);endendGg=G(i+1,i+1);。
数值分析课程课件 数值微分
f ( x1 ).
对上式两端求导，记 x1 x0 h
，有P1(x)
1 [ h
f
(x0 )
f
(x1)],
于是有下列求导公式：
P1( x0 )
1 h
[
f
(
x1
)
f ( x0 )];
P1( x1 )
1 h
[
f
(
x1
)
f ( x0 )],
第三章 数值积分与数值微分
而利用余项公式(3.5.2)知，带余项的两点公式是(当n=1时)，
第三章 数值积分与数值微分
而利用余项公式(3.5.2)知,带余项的三点求导公式(n=2)如 下：
f
' x0
1 [3 f 2h
x0 4 f
x1
f
x2
]
h2 3
f
" ,
f
' x1
1 2h
[
f
x0
f
x2
]
h2 6
f " ,
f 'x2
式
f (x) Pn(x) （3.5.1）
统称插值型的求导公式。
第三章 数值积分与数值微分
必须指出，即使f (x) 与Pn (x) 的值相差不多，导数的近似值 Pn(x)
与导数的真值 f (x) 在某些点仍然可能差别很大，因而在使用求导
公式(3.5.1)时应特别注意误差的分析。
依据插值余项定理，求导公式（3.5.1）的余项为
Gh
G1
h
数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解
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第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具,在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()ba I f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]ab 上连续，且()f x 的原函数为()F x ,则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时,Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2)许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分241arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎡⎤=+++-+⎣⎦+⎰ 对于上述这些情况,都要求建立定积分的近似计算方法—-数值积分法。
1。
1 数值求积分的基本思想根据以上所述,数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定.由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明,定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。
我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。
这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法.如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4—1） 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分-文档资料
(a
b).得到的求积公式就是中矩形公式。再令
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(b
a)( a
b)2 2
b
a 4
(a2
b2)
b x2dx 1 (b3 a3 ),
a
3
说明中矩形公式对f (x) x2不精确成立，故它的代数精确度为1.
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b a (a2 b2 ) b x2dx 1 (b3 a3).
2
a
3
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
A1
1（b a）.于是得 2
数 值
I ( f ) b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
分
析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式，
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
数值分析第五版1-3章
p( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
2015-6-4
16
第2章 插值法
引言
拉格朗 日插值
牛顿插值
埃尔米 特插值
分段低 次插值
三次样 条插值
2015-6-4
x x
f ( x) f ( x* ) f ( x)
x x
xf ( x) f ( x)
C p 10 即认为是病态
f ( x) x n
9 第1章 数值分析与科学计算引论
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
2. 算法的数值稳定性 定义3 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入 误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不 稳定 的。 例1.1：P.９ I n e
2015-6-4 7 第1章 数值分析与科学计算引论
1 10 ( n 1) 2(a1 1)
研究对象 作用特点
数值计算 误差
误差分析 避免危害
数值计算 算法设计
数学软件
3 数值运算的误差估计
* * * * 1. x1 与x2 为两近似数, 误差限为 ( x1 ), ( x2 ), 则 : * * * * ( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ); * * * * * * ( x1 x2 ) x2 ( x1 ) x1 ( x2 ); * * ( x1 / x2 ) * * * * x2 ( x1 ) x1 ( x2 ) * x2 2
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12:47
17/23
Matlab微分
3. gradient
[x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); z = x .* exp(-x.^2 - y.^2); [px,py] = gradient(z,.2,.2); contour(z), hold on, quiver(px,py), hold off
导数的概念是精确刻画函数在一点及其附 近的局部变化率的有力工具。
( x x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 2! ( x x0 ) n ( n ) ( x x0 )n1 ( n1) f ( x0 ) f ( ) ( n)! ( n 1)!
Q Fn ( h) cn hn +cn1hn1
Q Fn ( h / 2) cn hn /2n +cn1hn1 / 2n1
Q
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2 2n 1
+d n1h
n 1
+
2n 1
Richardson 外推 Q
n n
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2
a
b
(u( x )v( x )) u( x )v( x ) u( x )v ( x )
u( x )v ( x ) u( x )v ( x )dx v ( x )u( x )dx
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3/23
Integrals as Sums and Derivatives as Difference 如何计算导数(微分)或者梯度?
f ( x h / 2) f ( x h / 2) h2 h4 (5) f ( x ) f ( x ) f ( x) 2 4 h 6 2 5! 2
F4
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4 F2 ( h ) F2 ( h ) 2 41
4 =f ( x ) O( h )
一阶导数中心差分公式
f ( x h) f ( x h) h2 f ( x )= f ( ) 2h 6
h2 h3 h4 (4 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f ( x )+ f (1 ) 2 6 24
h2 h3 h4 (4 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( 2 ) 2 6 24
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18/23
Integrals as Sums and Derivatives as Difference
应用1 Sharpening
参考文献: GradientShop: Gradient-Domain Image and Video Processing
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19/23
பைடு நூலகம்
Integrals as Sums and Derivatives as Difference 应用2 Pseudo image relighting
F ( x)
d
12:47
F ( x ) C
f ( x )dx
2/23
重温微积分
微积分中蕴含的对立统一思想
微积分基本定理 f ( x )dx F (b) F (a )
a b
f (b) f (a ) f ( ) ba
b
a
f ( x ) g( x )dx f ( ) g( x )dx
F4 ( h) 4 / 3F2 ( h / 2) 1 / 3F2 ( h)
12/23
松弛思想
目标值Q有两个精度相当的近似值F1和F2,如 果将这两个近似值加工成更高精度的结果呢? 改善精度的一种简便而有效的办法是,取两者的 某种加权平均值作为改进值,即令
Q (1 )F1 F2 或Q F1 ( F2 F1 )
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6/23
回顾2 介值定理(Intermediate Value Theorem)
设f ( x )是区间[a, b]上的连续函数, 则对于最大值M 和最小值 m之间的任何一个值一定存在 [a, b]使得f ( ) 。
12:47
7/23
回顾2 一般介值定理(Intermediate Value Theorem)
Richardson 外推 Q
n 2, F4
22 F2 ( h ) F2 ( h ) 2 22 1
2n Fn ( h ) Fn ( h ) 2 2n 1
= 4 =
f ( x h ) f ( x h ) 2 2 h
f ( x h ) f ( x h ) 2h
h2 h3 h4 (4) h5 (5) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( x )+ f ( x) f ( x) 2 6 4! 5!
F2 (h)
F2 (h / 2)
f ( x h) f ( x h) h2 h4 (5) =f ( x ) f ( x ) f ( x) 2h 6 5!
Q Fn ( h 2 ) (1 ) Fn ( h)
12:47
外推 2 / (2 1),1 1 / (2 1)
n
14/23
例4. 推导中心差分公式的Richardson外推公式
f ( x h) f ( x h) h2 f ( x )= f ( ) 2h 6
一阶前向差分公式
f ( x h) f ( x ) h f ( x )= f ( ) h 2
前向差分公式是近似一阶导数的一阶方法。一般地 如果误差是O(hn ), 我们就称公式是n阶近似。
称这个公式一阶的微妙之处是 与h有关。一阶的概念是当h 0时, 误差应正比于h。当h 0时, 是移动的, 因此比例常数改变了。但 只要f ( x )连续, 当h 0时比例常数f ( )趋于f ( x ), 这就使得称公式 为一阶的是恰当的。
12:47
h2 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) 2! hn ( n ) hn 1 f ( x) f ( n1) ( ) ( n)! ( n 1)!
5/23
h2 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( ) 2
设f ( x )是区间[a , b]上的连续函数, x1 , 是[a , b]中的点, 而且a1 , 之间存在数 使得 (a1 +
(a1 +
, xn
, an 0, 那么在a , b an f ( xn )
an ) f ( x j )
an ) f ( ) a1 f ( x1 )+
根据介值定理 , xi 和x j 之间存在常数 使得
12:47
8/23
h2 h3 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f (1 ) 2 6 h2 h3 f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x ) f ( 2 ) 2 6
10/23
舍入误差 到目前为止,所有公式都破坏了不要进行相近数 相减的规则。这对于数值微分是一个极大的困 难,但是它在本质上式不可能避免的。
例2. 求f(x)=ex 在x=0处导数的近似。 h 前向差分 误差 中心差分 误差
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例3. 基于中心差分公式的研究更高阶近似公式
h2 h3 h4 ( 4 ) h5 (5 ) f ( x h) f ( x ) hf ( x ) f ( x )+ f ( x )+ f ( x) f ( x) 2 6 4! 5!
x
y
x1 y1
x2 y2
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
f ( x)=sin3 ( xtan x cosh x)
函数复杂或仅仅给定
离散的观察数据(函数值)？
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4/23
回顾1
f ( x h) f ( x ) f ( x ) lim h 0 h
适当选取平均化系数 调整校正量 ( F2 F1 ) 以将F1加工成某个更高精度结果。这种基于校 正量的调整或松动的方法称之为松弛方法。
12:47
13/23
近似给定的量Q的n阶公式Fn Q Fn ( h) cn h +cn1h
n n 1
+
f ( x h) f ( x h) h2 h4 (5) 例如f ( x ) f ( x ) f ( x) 2h 6 5!
当h 0.1, 0.05, 0.025时,
F ( h) 0.4516049081 F ( h / 2) 0.4540761693 F1 ( h) 0.4548999231 F ( h / 4) 0.4546926288 F1 ( h / 2) 0.4548981152 F2 (h) 0.454897994
《数值分析》 19
导数的数值计算方法
数值求导的外推方法
12:47
1/23
重温微积分 微分(Differentiation) 积分(Integration)
Integrals as Sums and Derivatives as Difference
凡線面體皆設為由小漸大,一剎那中所增之積即微分也。 其全積即積分也 微分与积分构成了一对互逆的运算