(内容提要)-4--数值微积分
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第四章 数值微分与数值积分
一、基本内容提要
1. 差商型数值微分公式 （1）向前差商公式
h x f h x f x f )
()()('-+≈
（2）向后差商公式
h
h x f x f x f )
()()('--≈
（3）中心差商公式
h
h x f h x f x f 2)
()()('--+≈
2. 插值型数值微分
（1）两点数值微分公式（1=n ）
过节点h x x x +=010,的插值型数值微分两点公式为
h
x f x f x L x f )
()()(')('01010-=
≈
h
x f x f x L x f )
()()(')('01111-=
≈
其截断误差为
)(''2)('001ξf h x R -
=， )(''2
)('111ξf h
x R -= 其中),(b a i ∈ξ)1,0(=i 。
（2）三点数值微分公式
过节点)2,1,0(0=+=i ih x x i 的插值型计算导数的三点公式为
)]()(4)(3[21
)('2100x f x f x f h x f -+-≈
)]()([21
)('201x f x f h x f +-≈
)](3)(4)([21
)('2102x f x f x f h
x f +-≈
其截断误差为
)('''3
)('02
02ξf h x R -=
)('''6
)('12
12ξf h x R -=
)('''3
)('22
22ξf h x R = ),(b a i ∈ξ )2,1,0(=i
（3）二阶数值微分公式
)]()(2)([1
)('')(''21022x f x f x f h
x L x f i i +-=
≈ )2,1,0(=i 住：此公式是三点公式。
3. 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）公式 将积分区间],[b a n 等分，步长n
a
b h -=
，取等距节点 ),...2,1,0(n i ih
a x i =+=
则柯特斯（Cotes ）系数
dt n t k t k t t t n
k n k C
n k
n n k
⎰---+----=-0)()()1)(1()1()!(!)1( ),,1,0(n k = 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）求积公式为
∑⎰=-≈
n
i k n k b
a x f C a
b dx x f 0
)
()()(）（
又被称为N-C 公式。
下面给出几种特殊的N-C 求积公式。 （1）梯形求积公式：
当1=n 时，2
1
)
1(1)1(0=
=C C ，相应的求积公式
)]()([2
)(b f a f a
b dx x f b
a
+-≈
⎰ 称为梯形求积公式。
（2）辛普森（Simpson ）公式
当2=n 时，61)
2(0=
C ，64)2(1=C ，6
1)
2(2=C ，相应的求积公式为 )]()2
(4)([6)(b f a
b f a f a b dx x f b
a
+-+-≈
⎰ （3）柯特斯（Cotes ）公式 当4=n 时，令4
a
b k
a x k -+=，)4,3,2,1(=k ，求积公式 )](7)(32)(12)(32)(7[90
)(43210x f x f x f x f x f a
b dx x f b
a
++++-≈
⎰ 称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）公式。
4. 求积公式的代数精度 若求积公式
∑⎰=≈n
i k k b
a x f A dx x f 0
)()( 对任意次数不高于m 次的多项式)(x f 均精确成立，而对某个1+m 次的多项式不精确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度（Algebraic Accuracy ）。
5. 复化梯形积分
若将积分区间n b a ],[等分，步长n
a b h -=
，节点)10(,n , , k kh , a x k =+=在每个小区间 ],[1+k k x x )110(-=,n , , k 上用梯形公式
)]()([2
)(b f a f a
b dx x f b
a
+-≈
⎰ 并求和
∑⎰
⎰-=+=1
1)()(n k x x b
a
k k
dx x f dx x f
)]()([2
11
0+-=+≈∑k k n k x f x f h
])(2)()([21
1
∑-=++≈n k k x f b f a f h
得到的公式