专题4.1 指数与指数函数(精讲精析篇)(解析版)

专题4.1指数与指数函数（精讲精析篇）

提纲挈领

点点突破

热门考点01 根式的化简与求值

(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数． (2)(n

a )n 是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值由n 的奇偶性决定．

n a ⎩⎪⎨⎪⎧

n 为偶数，a 为非负实数n 为奇数，a 为任意实数，且n a 符号与a 的符号一致

【典例1】化简下列各式： ①4

(x －2)4； ②5

(x －π)5. 【答案】见解析. 【解析】 ①4

(x －2)4

＝|x －2|＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x －2，x ≥2，

－x ＋2，x <2.

②5

(x －π)5＝x －π. 【典例2】化简下列各式：

(1)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3

(1－a )3.

【答案】见解析.

【解析】(1)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.

∵－3

∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧

－2x －2，－3

－4，1≤x <3.

(2)由a －1知a －1≥0，

∴原式＝a －1＋(a －1)2＋1－a ＝a －1. 【规律方法】

1.根式化简或求值的注意点

解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．

2．对n a n 与(n

a )n 的进一步认识

(1)对(n a )n 的理解：当n 为大于1的奇数时，(n a )n 对任意a ∈R 都有意义，且(n

a )n ＝a ，当n 为大于1的偶数时，(n a )n 只有当a ≥0时才有意义，且(n

a )n ＝a (a ≥0)．

(2)对n

a n

的理解：对任意a ∈R 都有意义，且当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，n a n

＝|a |＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

a a ≥0－a a ＜0.

(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． 3.有限制条件的根式化简的步骤

热门考点02 指数幂的化简与求值

指数幂运算的一般原则：

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 【典例3】计算：．

【答案】12

. 【解析】

．

【典例4】已知则

的值为__________．

【答案】

【解析】

题意，∴，

∴，

故答案为

．

【典例5】（2020·上海高三专题练习）若1a >，0b <，且22b b a a -+=b b a a --=_________. 【答案】2- 【解析】

22b b

a a

-+=()

2

2228b b

b b a a a a --+=++=，故226b b a a -+=，

()2

2224b b b b a a a a ---=+-=，1a >，0b <，故0b b a a --<，故2b b a a -=--.

故答案为：2-. 【特别提醒】

根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；

(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；

（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如

，

，

，解题时要善于应用公式变形．

热门考点03 指数函数的图象及应用

常考题型及技法

(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．

【典例6】（2020·上海高一课时练习）函数x

y a =和(1)y a x =+（其中0a >且1a ≠）的大致图象只可能是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】

由于(1)y a x =+过点()1,0-，故D 选项错误.

当1a >时，x

y a =过()0,1且单调递增；(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且1a >.所以A 选

项错误.

当01a <<时，x

y a =过()0,1且单调递减，(1)y a x =+过点()1,0-且单调递增，过()0,a 且01a <<.

所以B 选项错误.

综上所述，正确的选项为C. 故选：C

【典例7】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）函数21

()x f x a -=(0a >且1)a ≠过定点（ ）

A ．(1,1)

B ．1

(,0)2

C ．(1,0)

D ．1(,1)2

【答案】D 【解析】

令12102x x -=⇒=，所以函数21

()x f x a

-=(0a >且1)a ≠过定点1(,1)2

． 【总结提升】

1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．

3.识图的三种常用方法

（1）抓住函数的性质，定性分析：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：

①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象