指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

①⎪⎩

⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a

a n

n

；

②a a n

n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。

2．有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m

n

a

a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n

m n

a

a m n N n a

-

*=

=

>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。 （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3．指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 （二）对数与对数函数

1、对数的概念 （1）对数的定义

如果(01)x

a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底，N 的对数，记作log N

a x =，其中a

叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）几种常见对数

2（1）对数的性质（0,1a a >≠且）：①1

log 0a =，②l o

g 1a

a =，③l

o g N

a a N =，④l

o g N a a

N =。

（2）对数的重要公式：

①换底公式：log log (,1,0)log N N

a b

b

a

a b N =>均为大于零且不等于； ②1

log log b a a

b =

。 （3）对数的运算法则：

如果0,1a a >≠且，0,0M N >>那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N

M

a a a

log log log -=； ③)(log log R n M n M a n

a ∈=；

④b m

n

b a n

a m log log =

。

注：确定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0

指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。

（三）幂函数

1、幂函数的定义

形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。

2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，

1

2

y x

=，y=x-1方法：可画出x=x0；

当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2，y=x，

1

2

y x

=，y=x-1；

当0

1

2

y x

=，y=x，y=x2，y=x3。