人教新课标版数学高二人教A选修4-1试题 2.4弦切角的性质 (2)

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人教新课标版数学高二-练习2014人教数学选修4-1练习2.四弦切角的性质 (2)

1.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，D为BC延长线上一点，PC切⊙O 于C点，∠PCD＝20°，则∠A＝()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：选A.∵△ABC为⊙O的内接三角形，且AB为直径，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，由弦切角定理知∠ACP＝∠ABC，∵∠PCD＝20°，∴∠ACP＝∠ABC＝70°，∴∠A＝90°－∠ABC＝20°.A．α＞βB．α＝βC．α＜βD．不确定解析：选B.连接AB、AO，∴∠PAC＝∠ABC，∠PBC＝∠BAC，∴α＝∠PAC＋∠PBC＝12(∠PAB ＋∠PBA ) ＝12(180°－∠APB )． ∵AO ＝r ，PA 切⊙O 于A ，AO ⊥PA 且PO ＝2r ，∴∠APO ＝30°，∴∠APB ＝2∠APO ＝60°，∴α＝12(180°－60°)＝60°＝β. 3.如图，AB 为圆的直径，弦AC 与AB 成30°角，DC 切圆于点C ，AB ＝5 cm ，则BD ＝( )A ．10 cmB ．5 cm C.52 cm D ．1 cm解析：选C.连接OC ，BC ，则知△ACB 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∠BCD ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠BDC ＝30°，∴BD ＝BC ＝12AB ＝52cm.4．如图，在⊙O 中，AB 为弦，AC 为⊙O 的切线，过B 点作BD ⊥AC 于D ，BD 交⊙O 于E 点，若AE 平分∠BAD ，则∠ABD ＝________.解析：由弦切角定理知：∠DAE ＝∠ABD ，又AE 平分∠BAD ，∴∠DAE ＝∠EAB . ∵∠DAE ＋∠EAB ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD＝30°.答案：30°5.如图，AB为⊙O的直径，DA、DE为⊙O的两切线，A、C为切点，A、B、E共线，若BC的度数为60°，则∠CAD的度数为________，∠E的度数为________．答案：60°30°。

高中数学人教A版选修4-1学案第2讲 4 弦切角的性质 Word版含解析

四弦切角的性质
．掌握弦切角定理，并能利用它解决有关问题．(重点)
．体会分类思想，运动变化思想和化归思想．(难点)
[基础·初探]
教材整理弦切角定理
阅读教材～，完成下列问题．
．弦切角
顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．．弦切角定理
()文字语言叙述：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
()图形语言叙述：
如图--，与⊙切于点，则∠＝∠.
图--
．在⊙外，切⊙于，交⊙于，，则( )
．∠＝∠．∠＝∠
．∠＝∠．∠＝∠
【解析】由弦切角定理知∠＝∠.
【答案】
．如图--所示，与⊙相切于点，和是⊙上两点，∠＝°，则∠等于( )
图--
．°．°
．°．°
【解析】根据弦切角定理：∠＝∠＝°.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
如图--，是半圆的直径，是圆周上一点(异于，)，过作圆的切线，过作直线的垂线，垂足为，交半圆于点，求证：＝.。

人教版数学高二A版选修4-1主动成长第二讲四弦切角的性质

主动成长夯基达标1.如图2-4-8,AB 是半圆O 的直径,C 、D 是半圆上的两点,半圆O 的切线PC 交AB 的延长线于点P ,∠PCB ＝25°,则∠ADC 为（）图2-4-8A.105°B.115°C.120°D.125°思路解析:连结AC,构造出圆周角∠ADC 所对弧的弦切角,即∠PCA ,而∠PCA 显然等于∠PCB 加上一个直角,由此即得结果.答案:B2.如图2-4-9,AB 是⊙O 的直径,EF 切⊙O 于C ,AD ⊥EF 于D ,AD =2,AB =6,则AC 的长为（）图2-4-9A.2B.3C.23D.4思路解析:连结BC ,构造出弦切角所对的圆周角,由已知有△ADC 与△ACB 相似,所以可得AC AD =ABAC,代入数值得关于AC 的方程.答案:C3.如图2-4-10,AB 是⊙O 的弦,CD 是经过⊙O 上的点M 的切线. 求证:图2-4-10(1)如果AB ∥CD,那么AM =MB ; (2)如果AM =BM ,那么AB ∥CD .思路分析:本题的两个问题互为逆命题,利用弦切角在中间起桥梁作用,如第（1）题,由平行得∠B =∠DMB ,由弦切角得∠DMB =∠A ,于是有∠A =∠B .证明:(1)CD 切⊙O 于M 点,∴∠DMB =∠A ,∠CMA =∠B . ∵AB ∥CD ,∴∠CMA =∠A . ∴∠A =∠B .∴AM =MB . (2)∵AM =BM ,∴∠A =∠B .∵CD 切⊙O 于M 点,∴∠DMB =∠A ,∠CMA =∠B.∴∠CMA =∠A .∴AB ∥CD.4.如图2-4-11,四边形ABED 内接于⊙O ,AB ∥DE ,AC 切⊙O 于A,交ED 延长线于C .求证:AD ∶AE =DC ∶BE .图2-4-11思路分析:求证成比例的四条线段正好在两个三角形△ACD 和△ABE 中,所以只要证明△ACD ∽△ABE 即可.证明:∵四边形ABED 内接于圆,∴∠ADC =∠ABE . ∵AC 是⊙O 的切线, ∴∠CAD =∠AED .∵AB ∥DE ,∴∠BAE =∠AED . ∴∠CAD =∠BAE . ∴△ACD ∽△ABE . ∴AD ∶AE =DC ∶BE .5.如图2-4-12,P 为⊙O 的直径CB 延长线上的一点,A 为⊙O 上一点,若=,AE 交BC 于D ,且∠C =21∠PAD.图2-4-12(1)求证:PA 为⊙O 的切线; (2)若∠BEA =30°,BD ＝1,求AP 及PB 的长.思路分析:对于（1）,A 已经是圆上一点,所以可以连结OA ,证明PA 与OA 垂直;对于（2）,将∠E 利用圆周角定理转移到Rt △ODA 和Rt △OAP 中,解直角三角形即可得到线段AP 及PB 的长.（1）证明:连结AO ,∵=,BC 为直径,∴A E ⊥BC ,AD =DE , =DE.∵OA =OB,∴∠C =∠3. ∴∠1=2∠C . 又∵∠C =21∠PAD,∴∠1=∠2. ∵∠1+∠4=90°, ∴∠2+∠4=90°. ∴PA ⊥OA.∴PA 为⊙O 的切线.（2）解:在Rt △EBD 中,∵∠BEA =30°,BD ＝1,∴BE =2,DE =3.在Rt △ODA 和Rt △EBD 中,∠4=90°-∠1=90°-2∠C =90°-2∠E =30°=∠E ,∠ODA =∠BDE ,AD =ED ,∴Rt △ODA ≌Rt △EBD .∴AD =DE =3,OD =BD =1,OA =BE =2. 在Rt △OAP 中,∵AD ⊥OP ,∴AD 2=OD ·DP ,即2)3(=1·DP .∴DP =3. ∴BP =2.在Rt △ADP 中,根据勾股定理,得22DP AD AP +==223)3(+=32.6.如图2-4-13,BA 是⊙O 的直径,AD 是⊙O 的切线,切点为A ,BF 、BD 交AD 于点F 、D ,交⊙O 于E 、C ,连结CE .求证:BE ·BF =BC ·BD .图2-4-13 思路分析:要证BE ·BF =BC ·BD ,只需证△BEC ∽△BDF ,∠DBF 为公共角,只需再找一组角相等,为此,过B 作⊙O 的切线,构造弦切角.证明:过B 作⊙O 的切线BG ,则BG ∥AD ,∴∠GBC =∠BDF . 又∵∠GBC =∠BEC , ∴∠BEC =∠BDF .而∠CBE为公共角,∴△BEC∽△BDF.∴BE·BF =BC·BD.7.如图2-4-14,⊙O是△ABC的外接圆,∠ACB的平分线CE 交AB于D,交⊙O于E,过E点作⊙O的切线交CB的延长线于F.求证:AE2 =AD·EF.图2-4-14思路分析:要证AE2=AD ·EF,考虑相似三角形,但AE、AD、EF所在三角形不相似,因此要找线段等量代换.证明:连结BE,⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫∠=∠⇒⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∠=∠∠=∠∠+∠=∠∠+∠=∠5FEB522FEBEOEFADEFBE413243ADE21FBE于切圆⇒△FEB∽△EADBEAD=EFAE.又∵∠3=∠2⇒BE=AE⇒BE =AE,则AE2=AD·EF.8.如图2-4-15,PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,C是上一点,已知⊙O的半径为r,PO =2r,设∠PAC+∠PBC =α,∠APB =β,则α与β的大小关系为()A.α>βB.α=βC.α<βD.不能确定思路解析:连结AB、AO,∵PA、PB为切线,∴∠PAC=∠ABC,∠PBC=∠BAC.∴α=∠PAC +∠PBC =∠PAC +∠BAC =∠PAB =∠PBA =)180(21APB ∠-︒ =)180(21β-︒. ∵AO =r,PA 切⊙O 于A ,∴AO ⊥PA ,且PO =2r. ∴∠APO = 30°.∴∠APB =2∠APO =60°.∴β=60°. ∴α=21(180°-60°)=60°.∴α=β. 答案:B图2-4-159.如图2-4-16,已知AB 为⊙O 的直径,P 为AB 延长线上一点,PT 切⊙O 于T ,过点B 的切线交AT 延长线于D ,交PT 于C .图2-4-16(1)试判断△DCT 的形状.(2)△DCT 有无可能成为正三角形?若无可能,说明为什么;若有可能,求出这时PB 与PA 应满足的条件.思路分析:要判断△DCT 的形状,先考虑其内角的关系,注意到CT 、CB 为切线,则连结BT ,可用弦切角定理推论得∠ATB =∠BTD =90°,从而可判断△DCT 的形状.解:(1)连结BT ,∵CB 、CT 为⊙O 的切线,∴∠CTB =CBT .又AB 为⊙O 的直径,∴∠ATB =∠DTB =90°. ∴∠DTC =90°-∠CTB , ∠D =90°-∠CBT .∴∠DTC =∠D ,即CD =CT . ∴△DCT 为等腰三角形.(2)若△DCT 为正三角形,则∠D =60°, 由(1)知∠CBT =90°-∠D =30°, 而CB 切⊙O 于B, ∴∠A =∠CBT =30°. ∴在Rt △ATB 中,AB TB =sin30°=21, 且∠ABT=90°-30°=60°,∠ABT =∠CTB +∠P .而∠CTB =∠CBT =30°, ∴∠P =30°.∴∠P =∠CTB .∴PB = TB .∴AB PB =21, 即当PB ∶PA =1∶3时,△DCT 为正三角形. 走近高考10.如图2-4-17,AB 是⊙O 的直径,PB 切⊙O 于点B ,PA 交⊙O 于点C ,∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ,交⊙O 于点F,∠A =60°,并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2-kx +32=0的两个根(k 为常数).图2-4-17(1)求证:PA ·BD =PB ·AE ;(2)证明⊙O 的直径长为常数; (3)求tan ∠FPA 的值.思路分析:(1)由△PBD ∽△PAE 即可证得.(2)由韦达定理知AE +BD =k,只需证BE =BD ,这可由角的相等证得.(3)要求tan ∠FPA ,先将∠FPA 转化到直角三角形中,而∠FPB =∠FPA ,∠FPB 恰好在Rt △PBE 中,解此三角形即可.(1)证明:∵PB 切⊙O 于点B ,∴∠PBD =∠A .又PE 平分∠APB ,∴∠APE =∠BPD .∴△PBD ∽△PAE .∴PA PB =AEBD . ∴PA ·BD = PB ·AE .(2)解:由(1)知∠APE =∠EPB ,又∵∠BED =∠A +∠EPA ,∠BDE =∠PBC +∠EPB , ∴∠BED =∠BDE .∴BE =BD .∵AE 、BD 为方程x 2-kx +32=0的两个根, ∴A E +BD =k =AB . ∴⊙O 的直径为常数k .(3)解:∵PB 切⊙O 于点B ,AB 为直径, ∴∠PBA =90°.∵∠A =60°, ∴PB =PA ·sin60°=PA 23. 由(1)得PA ·BD =PB ·AE , ∴AE BD 23. ∵AE 、BD 的长是方程x 2-kx +32=0的两个根, ∴AE ·BD =32.∴AE =2,BD =3.∴32+=AB .在Rt △PBA 中,PB =AB ·tan60°=(32+)·3=323+.在Rt △PBE 中,tan ∠BPE =PB BE =3233+ =32-, 又∠FPA =∠BPF ,∴tan ∠FPA =32-.11.如图2-4-18(1),四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,A 是的中点,过A 点的切线与CB 的延长线交于点E .(1) (2)图2-4-18(1)求证:AB ·DA =CD ·BE ;(2)如图2-4-18(2),若点E 在C B 延长线上运动,使切线EA 变为割线EFA ,其他条件不变,问具备什么条件使原结论成立?思路分析:(1)只需证△ABE ∽△CDA .(2)如题图(2),要使结论仍然成立,注意到∠ABE =∠ADC 始终成立,因此仍然只需使△ABE ∽△CDA 即可,这样只要另一组对应角相等即可,即只需∠BAE =∠ACD 或∠E =∠CAD .(1)证明:连结AC ,∵AE 切⊙O 于A ,∴∠EAB =∠ACB . ∵AB =AD ,∴∠ACD =∠ACB . ∴∠EAB =∠ACD .又∵四边形ABCD 内接于⊙O , ∴∠ABE =∠CDA.∴△A BE ∽△CDA . ∴CD AB =DABE .∴AB ·DA =CD ·BE .(2)解:当BF =DA 时,∠EAB =∠ACD ,又∠ABE =∠ADC,∴△ABE ∽△ACD , ∴AB ·DA =CD ·BE ,此时仍然成立.12.如图2-4-19,已知C 点在⊙O 直径BE 的延长线上,CA 切⊙O 于A 点,∠BAC 的平分线交AE 于F 点,∠BCA 的平分线交AB 于D 点.图2-4-19(1)求∠ADF 的度数.(2)若∠ACB 的度数为y 度,∠B 的度数为x 度,那么y 与x 之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.(3)若AB =AC ,求AC ∶BC . 思路分析:（1）中由AC 为⊙O 切线可得∠B =∠EAC ,由CD 平分∠ACB 可得∠ACD =∠DCB ,根据三角形外角定理,得到∠ADF =∠AFD ,建立等腰三角形,再由顶角求底角;（2）中则利用三角形内角和定理得到方程,获得关系;（3）中求线段的比值,利用△ACE ∽△ABC 可得. 解:（1）∵AC 为⊙O 的切线,∴∠B =∠EAC . ∵CD 平分∠ACB ,∴∠ACD =∠DCB .∴∠B +∠DCB =∠EAC +∠ACD ,即∠ADF =∠AFD . ∵BE 为⊙O 的直径, ∴∠DAE =90°. ∴∠ADF =21(180°-∠DAE )=45°. （2）∵∠B =∠EAC ,∠B +∠BAC +∠ACB =180°,∴x+90+x +y =180. ∴y =90-2x .∵0<∠B <∠ADC , ∴0<x <45.∴y 与x 的函数关系式是y =90-2x ,其中x 的取值范围是0<x <45. （3）∵∠B =∠EAC ,∠ACB =∠ACB , ∴△ACE ∽△BCA . ∴BC AC =ABAE. ∵AB =AC ,∴∠B =∠ACB ,即x =y .又∵y =90-2x ,∴x =90-2x ,x =30. ∴在Rt △ABE 中,BC AC =ABAE=tan ∠ABE =tan30°=33.。

数学人教A版选修4-1课后训练：2.4弦切角的性质含解析

课后训练1．如图，O 的半径为2 cm,O 切AC 于D ，切BE 于E ，∠ACB ＝60°,则CE 的长为（）．A ．3cmB ．23cm 3C ．3cm 3D ．23cm2．如图,AB 是O 的直径,直线EF 切O 于B ，C 、D 为O 上的点，∠CBE ＝40°，AD CD =,则∠BCD 的度数是( )．A ．110°B ．115°C ．120°D ．135°3．如图，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，EF 切O 于C 点，那么图中与∠DCF 相等的角的个数是( )．A ．4B ．5C ．6D ．74．如图，BD 为O 的直径，AB 、AE 切O 于B 、C ，∠BDC ＝65°,则∠BAC ＝________。

5．如图，已知AB 与O 相切于点M ，MC MD =，且MC 、MD 为14圆周长,则∠AMC ＝__________。

6．已知,如图，△ABC内接于O,DC切O于C点，BC平分∠ACD，则△ABC为________．7．如图，AB是O的直径，CD是O的切线，C为切点，AC 平分∠BAD．求证：AD⊥CD．8．如图，P是O的半径OA上的一点，D在O上，且PD＝PO.过点D作O的切线交OA的延长线于点C，延长DP交O于K，连接KO，OD．(1）证明：PC＝PD；(2)若该圆的半径为5，CD∥KO，求出OC的长．如图,BC为O的直径,AB AD=，过点A的切线与CD的延长线交于点E.(1）试猜想∠AED是否等于90°？为什么？（2）若25AD=，ED∶EA＝1∶2，求O的半径．(3）在（2）的条件下求∠CAD的正弦值．参考答案1.答案：B解析：∵CD、CE是O的切线，∴OC平分∠ECD．∴∠OCE＝12∠ECD＝12(180°－∠ACB)＝12(180°－60°）＝60°.∴CE＝OE cot60°＝323233⨯=(cm）．2。

人教版高中数学选修4-1《2.4弦切角的性质》

D 化归 A
B
A C
弦切角
E
C
E
∵∠DAC=∠DCE=90° 且 ∠DAB=∠DCB ∴∠BAC= 90°+ ∠DAB = 90°+ ∠DCB = ∠BCE ∴∠BAC = ∠BCE
弦切角性质定理：
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
例题分析
例1：如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线 CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D. 求证： AC平分∠BAD．分析：要证AC平分∠BAD 即证∠1＝∠2 可证这两角所在的直角三角形相似。于是连结BC，得Rt△ACB
2.4弦切角的性质
复习回顾
下图圆中的∠BAC和∠BOC分别是什么角？
圆周角
圆周角定理 : 圆上一条弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半.
A
圆心角
O B
C
p
B
A
p
B A
p
B
A
p
B
A
p
B
A
p B
A
p
B
A
概念解读：
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的 p 角叫做弦切角。(如∠BPA)
B O 1
∟
2
A D
E
C
由弦切角性质 ∠ACD＝∠B ，故结论得证
解：连结BC ∵ AD⊥CE， AB是⊙O的直径 ∴∠BCA=∠ADC=90°
B O 1 2 D A
又∵CD与圆相切
由弦切角性质∠ACD=∠ABC ∴RT△ACB ~ RT△ADB
E
C
∴∠1=∠2
∴AC平分∠BAD
思路二：连结OC
B O
3

高二数学人教A版选修4-1课件：2.4 弦切角的性质

1.如图,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过点 C 作圆的切线
l,过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D,则线段 CD 的长为
.
解析:∵直线 l 是圆 O 的切线, ∴∠ACD=∠ABC, ∠BCE=∠BAC. 又 AB 是直径,∴AC⊥BC. ∵BC=3,AB=6,
∴∠ABC=60°.∴AC=3 3.
证明:连接 DF,如图所示,
∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠BAD=∠DAC. ∵∠EFD=∠BAD,∴∠EFD=∠DAC. ∵BC 切☉O 于 D,∴∠FDC=∠DAC. ∴∠EFD=∠FDC.∴EF∥BC. 当已知条件中出现圆的切线时,借助于弦切角定理,常用角的关系证明两条直线平行:(1)内错角相等,两条直线平行;(2)同位角相等,两条直线平行;(3)同旁内角互补,两条直线平行等.证题时可以根据图形与已知合理地选择.
☉O,AD⊥AC,∠C=32°,∠B=110°,则∠BAD=
.
错解:∵AD⊥AC, ∴∠BAD 是弦切角. ∴∠BAD=∠C.
又∠C=32°,∴∠BAD=32°.
错因分析:错解中,误认为∠BAD 是弦切角,其实不然,虽然 AD⊥AC,但 AD 不是切线.
正解:∵∠C+∠B+∠BAC=180°, ∴∠BAC=180°-∠C-∠B=38°.
∴∠ACE=∠ABC.
∴∠ACE=∠BCD.
(2)∵∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, ∴△BDC∽△ECB.∴BBCE = CBDC, 即 BC2=BE×CD.
5.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是圆周上一点(异于点 A,B),过点 C 作圆 O 的切线 l,过点 A 作直线 l 的垂线 AD,垂足为点 D.AD 交半圆于点 E.求证:CB=CE.

2.4 弦切角的性质课件(人教A选修4-1)

1. 弦切角定理
(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)图形语言叙述：如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝ ∠D .
[说明]
弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心
角的度数等于它所对弧的度数．
[例 1]
BD
(2010· 新课标全国卷)如图，已知圆上的弧 C ＝ A
(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；
(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD. 证明：(1)∵CD切⊙O于M点， ∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B. ∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴∠A＝∠B，故AM＝MB.
(2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B. ∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B， ∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.
(2)连接DE， ∵⊙O切BC于D， ∴∠BAD＝∠BDE. 由(1)可得∠BDE＝∠FAD，又∵⊙O内接四边形AEDF， ∴∠BED＝∠DFA. ∴△BED∽△DFA. DE BE ∴AF ＝DF. 又∵∠BAD＝∠CAD， ∴DE＝DF.∴DF2＝AF· BE.
点击下图进入应用创新演练
利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦
切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆
周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．
1．如图所示，AB、CB分别切⊙O于D、E，找出图中
所有弦切角．
解：∠ADE、∠BDE、∠CED、∠BED是弦切角．
2. 如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线，求证：
(2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB， ∴△ADC∽△ACB. AD AC ∴AC ＝AB， ∴AC2＝AD· AB. 5 ∵AD＝2，AC＝ 5，∴AB＝ . 2

人教新课标A版高中选修4-1数学2.4弦切角的性质同步检测A卷

人教新课标A版选修4-1数学2.4弦切角的性质同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）如图，经过⊙O上的点 A的切线和弦 BC的延长线相交于点 P，若∠CAP=40°，∠ACP=100°，则∠BAC所对的弧的度数为（）A . 40°B . 100°C . 120°D . 30°2. （2分）如图，在⊙O中，AB是弦，AC是⊙O的切线，A是切点，过 B作BD⊥AC于D，BD交⊙O于E点，若AE平分∠BAD，则∠BAD=（）A . 30°B . 45°C . 50°D . 60°3. （2分）(2016·天津模拟) 如图，圆O的直径AB长度为10，CD是点C处的切线，AD⊥CD，若BC=8，则CD=（）A .B .C .D .4. （2分） PT切⊙O于T，割线PAB经过O点交⊙O于A、B，若PT=4，PA=2，则cos∠BPT=（）A .B .C .D .5. （2分）若图中，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C、B两点，且PCB过点O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2017高一下·河北期末) 如图所示，在圆的内接四边形中，平分，切于点，那么图中与相等的角的个数是（）A . 4B . 5C . 6D . 77. （2分）如图，直线BC切⊙O于B，AB=AC，AD=BD，则∠A=（）A . 35°B . 36°C . 40°D . 50°8. （2分） (2017高二上·信阳期末) 如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1，现有以下结论：①B，D两点间的距离为；②AD是该圆的一条直径；③CD= ；④四边形ABCD的面积S= ．其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）如图⊙O中，弦AB与弦CD相交于点P，∠B=38°，∠APD=80°，则∠A等于（）A . 38°B . 42°C . 80°D . 118°10. （2分） (2016高二下·五指山期末) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD：∠ECD=3：2，那么∠BOD等于（）A . 120°B . 136°C . 144°D . 150°二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=， AB=BC=3．AC 的长为________ ．12. （1分）如图，已知点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．若CD=， BD=1，则圆O的面积为________ ．13. （1分）如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD=________ ．14. （1分）如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，∠ACD的平分线交AD于E，则∠CED=________15. （1分）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C．若∠BAC=60°，BC=6，则⊙O的半径为________ ．三、解答题 (共10题；共70分)16. （10分） (2015高三上·苏州期末) 如图，四边形么BDC内接于圆，BD=CD，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点．（1）求证：∠EAC=2∠DCE；（2）若BD⊥AB，BC=BE，AE=2，求AB的长．17. （5分）(2016·城中模拟) 如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB 为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E．（Ⅰ）求证：DC是⊙O的切线；（Ⅱ）若EB=6，EC=6 ，求BC的长．18. （5分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于E，AE⊥CD，垂足为点E．（Ⅰ）证明：DA平分∠BDE；（Ⅱ）如果AB=4，AE=2，求对角线CA的长．19. （5分）如图，∠PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA．20. （10分）(2016·大连模拟) 如图所示，已知圆O1与圆O2相交于A，B两点，过点A作圆O1的切线交圆O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交圆O1 ，圆O2于点D，E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是圆O2的切线，且PA=3，PC=1，AD=6，求DB的长．21. （10分）(2017·白山模拟) 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA 的延长线上．（1）若 = ， =1，求的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．22. （5分）(2017·镇江模拟) 如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．23. （5分）(2017·唐山模拟) 如图，A、B、C为⊙O上三点，B为的中点，P为AC延长线上一点，PQ 与⊙O相切于点Q，BQ与AC相交于点D．（Ⅰ）证明：△DPQ为等腰三角形；（Ⅱ）若PC=1，AD=PD，求BD•QD的值．24. （10分）如图，AB切O于点D，直线AD交O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（1）证明：CBD=DBA；（2）若AD=3DC，BC=，求O的直径．25. （5分）(2017·榆林模拟) 如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC 的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共10题；共70分) 16-1、16-2、17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、24-1、24-2、25-1、。

人教版数学高二A版选修4-1自我小测第二讲四弦切角的性质

自我小测1．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，D为BC延长线上一点，PC切⊙O于C点，∠PCD＝20°，则∠A等于()A．20°B．30°C．40°D．50°2．如图，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()A．4 B．5 C．6 D．73．如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是直径，MN是⊙O的切线，C为切点．若∠BCM＝38°，则∠B等于()A．32°B．42°C．52°D．48°4．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于点C，AD⊥EF于点D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()A．2 B．3 C．2 3 D．45．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝__________.6．已知AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，如果∠PAB＝30°，那么∠AOB ＝________.7．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O 的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝__________.8．如图，AB是⊙O的直径，直线CE与⊙O相切于点C，AD⊥CE于D.若AD＝1，∠ABC＝30°，求⊙O的面积．9．如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG 并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.10．如图，BC为⊙O的直径，AB＝AD，过点A的切线与CD的延长线交于点E.(1)试猜想∠AED是否等于90°？为什么？(2)若AD＝25，ED∶EA＝1∶2，求⊙O的半径；(3)在(2)的条件下，求∠CAD的正弦值．参考答案1．A2．解析：∠DCF ＝∠DAC ，∠DCF ＝∠BAC ， ∠DCF ＝∠BCE ，∠DCF ＝∠BDC ，∠DCF ＝∠DBC . 答案：B3．解析：连接AC ，如图所示．∵MN 切圆于C ，BC 是弦，∴∠BAC ＝∠BCM . ∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°.∴∠B ＋∠BAC ＝90°.∴∠B ＋∠BCM ＝90°， ∴∠B ＝90°－∠BCM ＝52°. 答案：C4．解析：连接BC ，如图所示．∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠ACD ＝∠ABC . 又AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. 又AD ⊥EF ， ∴∠ACB ＝∠ADC .∴△ADC ∽△ACB .∴AB AC ＝AC AD.∴AC2＝AD·AB＝2×6＝12，∴AC＝2 3.答案：C5．解析：如图所示，连接BC，则∠ACE＝∠ABC，∠ACB＝90°.又∠ACE＝40°，则∠ABC＝40°.所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－40°＝50°，∠ACP＝180°－∠ACE＝140°.又AB是⊙O的直径，则∠ABP＝90°.又四边形ABPC的内角和等于360°，所以∠P＋∠BAC＋∠ACP＋∠ABP＝360°.所以∠P＝80°.答案：80°6．解析：∵弦切角∠PAB＝30°，∴它所夹的弧所对的圆周角等于30°，所对的圆心角等于60°.答案：60°7．解析：连接OC.∵AB为圆O的直径，∴AC⊥BC.又BC＝CD，∴AB＝AD＝6，∠BAC＝∠CAD.又CE为圆O的切线，则OC⊥CE.∵∠ACE为弦切角，∴∠ACE＝∠B.∴∠ACE＋∠CAD＝90°.∴CE⊥AD.又AC⊥CD，∴CD2＝ED·AD＝2×6＝12，即CD＝2 3.∴BC＝2 3.答案：2 38．解：∵DE是切线，∴∠ACD＝∠ABC＝30°.又∵AD⊥CD，∴AC＝2AD＝2.又∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.又∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴OA＝12AB＝2.∴⊙O的面积S＝π·OA2＝4π.9．证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA. 由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°.于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.10．解：(1)∠AED＝90°.证明：连接AB，∵BC为直径，∴∠BAC＝90°.又∵AE切⊙O于A，AB＝AD，∴∠EAD＝∠ACB.又∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝∠ABC，∴△AED∽△CAB，∴∠AED＝∠CAB＝90°.(2)∵AD ＝25，DE ∶EA ＝1∶2，∠AED ＝90°， ∴ED ＝2，EA ＝4.又AB ＝AD ＝25，△EAD ∽△ACB ， ∴AD BC ＝ED AB .∴BC ＝AD ·AB ED ＝(25)22＝10. ∴⊙O 的半径为5.(3)连接AB ，过D 作DF ⊥AC 于F .∵在△ABC 中，AC ＝45；在△AEC 中，CE ＝8，∴CD ＝6. 又△CDF ∽△CBA ， ∴DF AB ＝CD CB. ∴DF ＝CD ·AB CB ＝6×2510＝655.∴sin ∠CAD ＝DF AD ＝65525＝35.备选习题分析：(1)很明显∠ABE ＝∠ACD ，只需证明∠BAE ＝∠CAD ，转化为证明∠BAE ＝∠CDB ，∠CDB ＝∠DCN ，∠DCN ＝∠CAD .(2)转化为证明∠BEC ＝∠ECB .证明：(1)∵BD ∥MN ， ∴∠CDB ＝∠DCN . 又∠BAE ＝∠CDB ， ∴∠BAE ＝∠DCN .又直线MN 是⊙O 的切线，∴∠DCN＝∠CAD.∴∠BAE＝∠CAD.又∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD.(2)∵∠EBC＝∠BCM，∠BCM＝∠BDC，∴∠EBC＝∠BDC.∴CB＝CD.∵∠BEC＝∠EDC＋∠ECD，∠ECD＝∠ABE，∴∠BEC＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ECB.∴∠BEC＝∠ECB.∴BE＝BC.。

高中数学人教A版选修(4-1)2.4 同步练习《弦切角的性质》(人教)

《弦切角的性质》同步练习一、选择题1．P在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A ，B ，则( )A ．∠MCB ＝∠B B ．∠PAC ＝∠PC ．∠PCA ＝∠BD ．∠PAC ＝∠BCA2．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．44．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝________.6．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D点，则CD ＝________.7．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.8.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点(异于A ，B)，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB ＝CE.9.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC ，BD 相交于点E.(1)求证：△ABE ≌△ACD ；(2)若AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，求AE 的长．答案和解析一、选择题1．P 在⊙O 外，PM 切⊙O 于C ，PAB 交⊙O 于A ，B ，则( )A ．∠MCB ＝∠B B ．∠PAC ＝∠PC ．∠PCA ＝∠BD ．∠PAC ＝∠BCA解析：选C 由弦切角定理知∠PCA ＝∠B.2．如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线PAB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°解析：选B 连接OC.∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC.∵∠P ＝40°，∴∠POC ＝50°.连接BC ，则∠B ＝12∠POC ＝25°， ∴∠ACP ＝∠B ＝25°.3．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )A ．2B ．3C ．2 3D ．4解析：选C 连接BC ，则∠ACB ＝90°，又AD ⊥EF ，∴∠ADC ＝90°，即∠ADC ＝∠ACB ，又∵∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ，∴AC AD ＝AB AC， ∴AC2＝AD ·AB ＝12，即AC ＝2 3.4．如图，AB 是⊙O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 切⊙O 于C 点，连接AC ，若AC ＝PC ，PB ＝1，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A连接BC.∵AC ＝PC ，∴∠A ＝∠P.∵∠BCP ＝∠A ，∴∠BCP ＝∠P.∴BC ＝BP ＝1.由△BCP ∽△CAP 得PC PA ＝PB PC. ∴PC2＝PB ·PA ，即AC2＝PB ·PA.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O 半径为r ，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r ＝1.PE 分别切⊙O 于B ，C ，若∠ACE ＝40°，则∠P ＝________.解析：连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.又∠ACE ＝40°，∴∠PCB ＝∠PBC ＝50°.∴∠P ＝80°.答案：80°6．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析：连接OC.∵PC 切⊙O 于C 点，∴OC ⊥PC.∵PB ＝OB ＝2，OC ＝2.∴PC ＝2 3.∵OC ·PC ＝OP ·CD ，∴CD ＝2×234＝ 3. 答案： 37．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由PA 为⊙O 的切线，BA 为弦，得∠PAB ＝∠BCA ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝AB BC. 而PB ＝7，BC ＝5，故AB2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35.答案：358.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点(异于A ，B)，过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E.求证：CB ＝CE.证明：连接AC ，BE ，在DC 延长线上取一点F ，因为AB 是半圆O 的直径，C 为圆周上一点，所以∠ACB ＝90°，即∠BCF ＋∠ACD ＝90°.又因为AD ⊥l ，所以∠DAC ＋∠ACD ＝90°.所以∠BCF ＝∠DAC.又因为直线l 是圆O 的切线，所以∠CEB ＝∠BCF ，又∠DAC ＝∠CBE ，所以∠CBE ＝∠CEB ，所以CB ＝CE.9.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD∥XY ，AC ，BD 相交于点E.(1)求证：△ABE ≌△ACD ；(2)若AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，求AE 的长．解：(1)证明：因为XY 是⊙O 的切线，所以∠1＝∠2.因为BD ∥XY ，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因为∠ABD ＝∠ACD ，又因为AB ＝AC ，所以△ABE ≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2，∠ABC ＝∠ACB ，所以△BCE ∽△ACB ，所以BC AC ＝CE CB，即AC ·CE ＝BC2.因为AB ＝AC ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，所以6·(6－AE)＝16.所以AE ＝103(cm)．。

高中数学选修4-1(人教版)练习：第二讲2.4弦切角的性质

第二讲直线与圆的位置关系2.4 弦切角的性质A级基础巩固一、选择题1．如图所示，MN与⊙O相切于点M，Q和P是⊙O上两点，∠P QM＝70°，则∠NMP等于( )A．20°B．70°C．110°D．160°解析：根据弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70°.答案：B2.如图所示，过圆内接△ABC的顶点A引切线交BC的延长线于点D，若∠B＝35°，∠ACB＝80°，则∠D等于( )A．45°B． 50°C．55°D．60°解析：因为AD是圆的切线，所以∠DAC＝∠B＝35°.又因为∠D＋∠DAC＝∠ACB，所以∠D ＝∠ACB －∠DAC ＝80°－35°＝45°. 答案：A3.如图所示，AB 为圆的直径，弦AC 与AB 成30°角，DC 切圆于点C ，AB ＝5 cm ，则BD 等于( )A ．10 cmB ．5 cm C.52cm D ．1 cm解析：连接BC (如图)，则∠ACB ＝90°， ∠BCD ＝30°＝∠D ，故BD ＝BC ＝52cm.答案：C 4．如图所示，△ABC 内接于⊙O ，EC 切⊙O 于点C .若∠BOC ＝76°，则∠BCE 等于( )A ．14°B ．38°C ．52°D ．76° 解析：因为EC 为⊙O 的切线，所以∠BCE ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝38°.答案：B5.如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如图所示∠CAB＝55°，那么∠AOB等于( )A．55°B．90°C．110°D．120°解析：延长AO交⊙O于D，连接BD(如图)，因为AC切⊙O于A，AB是弦，所以∠D＝∠CAB.又∠D＝12∠AOB，所以∠AOB＝2∠CAB＝110°.答案：C二、填空题6．如图所示，EB，EC是圆O的两条切线，B，C是切点，A，D 是圆O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A＝____．解析：连接OB，OC，AC(如图)，根据弦切角定理，∠A ＝∠BAC ＋∠CAD ＝12(180°－∠E )＋∠DCF ＝67°＋32°＝99°.答案：99°7．如图所示，已知圆O 的直径AB ＝5，C 为圆周上一点，BC ＝4，过点C 作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD ＝________．解析：由弦切角定理，有∠ACD ＝∠B ，所以CD AC ＝cos ∠ACD ＝cos B ＝BC AB .所以CD52－42＝45.故CD ＝125.答案：125 8．如图所示，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，A D ⊥CE 于D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．解析：由弦切角定理，有∠ACD＝∠ABC＝30°，所以AC＝2AD，AB＝2AC，即AB＝4，圆O的面积S＝π·(42)2＝4π.答案：4π三、解答题9．如图所示，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，在PC上截取PD＝PA，求证：∠1＝∠2.证明：因为PA＝PD，所以∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠C＋∠1，∠PAD＝∠PAB＋∠2，所以∠C＋∠1＝∠PAB＋∠2.又PA切⊙O于点A，AB为弦，所以∠PAB＝∠C.所以∠1＝∠2.10.如图所示，已知AB切⊙O于B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O 于D，DE是⊙O的切线，CE⊥DE于E，DE＝3，CE＝4，求AB的长．解：因为CE ⊥DE 于E ， DE ＝3，CE ＝4，所以CD ＝5. 连接BD (如图)．因为DE 切⊙O 于点D ，所以∠EDC ＝∠DBC . 又因为BC 为⊙O 的直径，所以∠BDC ＝90°. 所以Rt △BDC ∽Rt △DEC .所以CD BC ＝CE CD ＝DE BD ，即5BC ＝45＝3BD .所以BC ＝254，BD ＝154.又因为AB 与⊙O 相切于点B ，所以AB ⊥BC .所以AC ＝12516.所以AB ＝7516.B 级能力提升1.如图所示，已知AB ，AC 与⊙O 相切于点B ，C ，∠A ＝50°，点P 是⊙O 上异于点B ，C 的一个动点，则∠BPC 的度数是( )A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°解析：当点P 在优弧BC ︵上时，由∠A ＝50°，得∠ABC ＝∠ACB ＝65°.因为AB 是⊙O 的切线，所以∠ABC ＝∠BPC ＝65°.当P 点在劣弧BC ︵上时，∠BPC ＝115°. 答案：C2.如图所示，已知AB 和AC 分别是⊙O 的弦和切线，点A 为切点，AD 为∠BAC 的平分线，且交⊙O 于点D ，BD 的延长线与AC 交于点C ，AC ＝6，AD ＝5，则CD ＝________．解析：由弦切角定理，有∠CAD ＝∠B .又∠C ＝∠C ，则△ACD ∽△BCA ，所以CD AC ＝AC BC，又∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，则BC ＝CD ＋BD ＝CD ＋AD . 设CD ＝x ，则x 6＝6x ＋5，x ＝4或－9(舍去)，故CD ＝4. 答案：43.如图所示，BD 是⊙O 的直径，AB 与⊙O 相切于点B ，过点D 作OA 的平行线交⊙O 于点C ，AC 与BD 的延长线相交于点E .(1)试探究AE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．(2)已知EC ＝a ，ED ＝b ，AB ＝c ，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O 的半径r 的一种方案：①你选用的已知数据是________； ②写出求解过程(结果用字母表示)．解：(1)AE 与⊙O 相切．理由：连接OC (如图)．因为CD∥OA，所以∠AOC＝∠OCD，∠ODC＝∠AOB.又因为OD＝OC，所以∠ODC＝∠OCD.所以∠AOB＝∠AOC.在△AOC和△AOB中OA＝OA，∠AOC＝∠AOB，OC＝OB，所以△AOC≌△AOB，所以∠ACO＝∠ABO.因为AB与⊙O相切，所以∠ACO＝∠ABO＝90°.所以AE与⊙O相切．(2)①选择a、b、c，或其中2个．②解答举例：若选择a、b、c，法一：由CD∥OA，ac＝br，得r＝bca.法二：在Rt △ABE 中，由勾股定理(b ＋2r )2＋c 2＝(a ＋c )2，得r ＝a2＋2ac －b2. 法三：由Rt △OCE ∽Rt △ABE ， a r ＝b ＋2r c ，得r ＝－b ＋b2＋8ac4. 若选择a 、b .法一：在Rt △OCE 中，由勾股定理得： a 2＋r 2＝(b ＋r )2，得r ＝a2－b22b；法二：连接BC ，由△DCE ∽△CBE ，得r ＝a2－b22b .。

人教版数学高二A版选修4-1学案第二讲第四节弦切角的性质

课堂导学三点剖析一、弦切角定理【例1】如图2-4-1,PA 、PB 切⊙O 于A 、B,∠P=50°,则∠D 等于( )图2-4-1A.65°B.75°C.40°D.30°思路分析：连结AB,∠P 与∠D 分别处于两个三角形,它们之间的联系途径就是弦切角. 解:连结AB.∵AB 是弦,PA 、PB 切圆于A 、B,∴∠ABP=∠D,∠BAP=∠D.∴∠ABP=∠BAP.在△ABP 中,∠ABP=21 (180°-∠P)=65°, ∴∠D=∠ABP=65°.答案:A二、弦切角定理综合运用【例2】如图2-4-3,PA 切⊙O 于A,PBC 是⊙O 的割线,在PC 上截取PD=PA,求证:∠1=∠2.图2-4-3证明：∵PA=PD,∴∠PAD=∠PDA.∵∠PDA=∠C+∠1,∠PAD=∠PAB+∠2,∴∠C+∠1=∠PAB+∠2.又∵PA 切⊙O 于A,AB 为弦,∴∠PAB=∠C.∴∠1=∠2.三、本节数学思想选讲【例3】如图2-4-5,已知AB 为⊙O 直径,P 为AB 延长线上一动点,过点P 作⊙O 的切线,设切点为C.(1)请你连结AC,作∠APC 的平分线,交AC 于点D,测量∠CDP 的度数.(2)当P 在AB 延长线上运动时,∠CDP 的度数作何变化?请你猜想,并证明.图2-4-5解析:(1)作图,并测量,∠CDP=45°.(2)∠CDP不随P在AB延长线上的位置变化而变化,即∠CDP=45°是一个定值.证明:连结BC交PD于E,∵∠CDP是△ADP的外角,∴∠CDP=∠A+∠2.同理,∠CED=∠1+∠3.但∠1=∠2.又∵BC是弦,PC与⊙O切于C,∴∠3=∠A.∴∠CDE=∠CED.∴CD=CE.∵AB是直径,∴∠DCE=90°.∴△CDE是等腰直角三角形.∴∠CDE=45°.各个击破类题演练1如图2-4-2,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为直径,D为BC延长线上一点,PC切⊙O于C 点,∠PCD=20°,则∠A等于( )图2-4-2A.20°B.25°C.40°D.50°解析:∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠PCD+∠ACP=90°,∠A+∠B=90°.∵PC是切线,AC为弦,∴∠ACP=∠B.∴∠A=∠PCD=20°.答案:A类题演练2如图2-4-4,AD⊥直径CE,AB为⊙O切线,A为切点,求证:∠1=∠2.图2-4-4证明:连结AE,∵CE是直径,∴∠CAE=90°.∴∠E+∠ACE=90°.∵AD⊥EC,∴∠ADC=90°.∴∠2+∠ACE=90°.∴∠2=∠E.又∵AB切⊙O于A,AC是弦,∴∠1=∠E.∴∠1=∠2.类题演练3在△AEF中,∠A的平分线AD与△AEF的外接圆相交于D,过D作圆的切线BC. 求证:EF∥BC.图2-4-6解析:欲证EF∥BC,只需证∠AEF=∠B,∠B在圆外,考虑弦切角.证明:连结DF,∵BC切⊙O于点D,DF为弦,∴∠ADB=∠AFD.∵AD平分∠A,∴∠1=∠2.∴△ABD∽△ADF.∴∠ADF=∠B.又∵=,∴∠AEF=∠ADF.∴∠AEF=∠B.∴EF∥BC.温馨提示从本题题设出发,还有很多结论,读者可自行推导.。

2.4 弦切角的性质课件(人教A选修4-1)(2)

∴∠DAC＝∠CAB.
法二：如图，延长 BO 交⊙O 于 E，连接 AE，则∠CAE＝90° . 又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠CAB＝∠E. ∴∠DAC＝∠CAB.
法三：如图，连接OA. ∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.
∴∠CAB与∠OAC互余．
又∵AD⊥OB， ∴∠DAC与∠ACO互余． ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO. ∴∠DAC＝∠CAB.
或全等三角形，从而证得线段相等．

[通一类] 2.如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O 的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.求证：
CB＝CE.
证明：法一：连接BE.
因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AD. 又因为AD⊥l，所以BE∥l. 所以∠DCE＝∠CEB. 因为直线l是圆O的切线，
OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB. 分析：本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要
根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．
证明：法一：如图，延长 AD 交⊙O 于 E，AB 切⊙O 于 A， ∵CD⊥AE，
AC ∴ ＝ CE . 又∵∠DAC 的度数等于 CE 度数的一
半，
AC ∠CAB 的度数等于度数的一半，
[考题印证] (2012· 辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长
交⊙O于点E.证明：
(1)AC· BD＝AD· AB； (2)AC＝AE.
[命题立意]
本题主要考查弦切角定理，考查学生综合
运用所学知识，分析问题并解决问题的能力．

2.4 弦切角的性质课件(人教A选修4-1)(2)

[研一题]
[例3] 如图，梯形ABCD内接于
⊙O，DC∥AB，AB＝AC，过A点作
⊙O的切线与CD的延长线交于E.求证：
AD2＝ED· EC. 分析：本题考查弦切角定理，圆内接四边形、相似三角形等知识的综合应用，解答本题可转化为证明△EAD∽ △ECA.
证明：AE切⊙O于点A， ∴∠EAC＝∠B(弦切角定理)， ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC，又∵DC∥AB， ∴四边形ABCE是平形四边形，∴∠E＝∠B. ∵梯形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠E， ∴AD＝AE. ∵EA切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ACE，又∵∠E＝∠E，∴△EDA∽△EAC， ∴EA2＝ED· EC， ∴AD2＝ED· EC.
法四：如图，过C作⊙O的切线交AB于G
∵AB是⊙O的切线， ∠CAG＝∠ACG，又∵OC⊥CG，AD⊥OB， ∴CG∥AD.
∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.
[悟一法] (1)由弦切角定理可直接得到角相等，在与弦切角
有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来
综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件． (2)借助弦切角定理和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形
[读教材·填要点] 1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫
弦切角．
2．弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
[小问题·大思维] 1．一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定．弦切角必须同时具备三点： ①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切． 2．弦切角与它所夹的弧所对的圆心角之间有什么关系？

2019-2020学年数学人教A版4-1检测：2.4 弦切角的性质

四　弦切角的性质A 组1.如图所示,MN 与☉O 相切于点M ,Q 和P 是☉O 上两点,∠PQM=70°,则∠NMP 等于( )A.20°B.70°C.110°D.160°NMP 是弦切角,∴∠NMP=∠PQM=70°.2.(2016·广西南宁高二检测)如图所示,AC 切☉O 于点A ,∠BAC=25°,则∠B 的度数为( )A.25°B.50°C.40°D.65°BAC=∠AOB ,∴∠AOB=2×25°=50°,12∴∠B=×(180°-50°)=65°.123.(2016·安徽滁州高二检测)如图所示,已知AB 和AC 分别是☉O 的弦和切线,点A 为切点,AD 为∠BAC 的平分线,且交☉O 于点D ,BD 的延长线与AC 交于点C ,AC=6,AD=5,则CD 的长度等于( )A.3B.4C.5D.6∠CAD=∠ABC.又因为AD 为∠BAC 的平分线,所以∠CAD=∠DAB ,从而∠CBA=∠DAB ,所以DB=AD=5,且△ACD ∽△BCA ,于是,即,解CD CA =AC BC CD 6=6CD +5得CD=4(负值舍去).4.如图所示,四边形ABCD 是圆的内接四边形,AB 是直径,MN 是☉O 的切线,切点为C ,若∠BCM=38°,则∠B=( )A.32°B.42°C.52°D.48°如图所示,连接AC.∵∠BCM=38°,MN 是☉O 的切线,∴∠BAC=38°.∵AB 为☉O 的直径,∴∠BCA=90°.∴∠B=90°-38°=52°.5.如图,AB 是☉O 的直径,EF 切☉O 于点C ,AD ⊥EF 于点D ,AD=2,AB=6,则AC 的长为( )A.2B.3C.2D.43连接BC ,如图所示.∵EF 是☉O 的切线,∴∠ACD=∠ABC.又AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°.又AD ⊥EF ,∴∠ACB=∠ADC.∴△ADC ∽△ACB.∴.ABAC =AC AD ∴AC 2=AD ·AB=2×6=12,∴AC=2.36.(2016·河南禹州高二月考)如图,若AB 切☉O 于A ,AC ,AD 为☉O的弦,且,则∠C 与∠CAB 的关系是 .⏜AC =⏜AD,所以∠ADC=∠ACD.又由弦切角定理可得∠BAC=∠ADC ,故⏜AC =⏜AD ∠C=∠CAB.C=∠CAB7.已知AB 是☉O 的弦,PA 是☉O 的切线,A 是切点,如果∠PAB=30°,那么∠AOB= .弦切角∠PAB=30°,∴它所夹的弧所对的圆周角等于30°,所对的圆心角等于60°.°8.(2016·河北唐山高二检测)已知PA 是圆O 的切线,切点为A ,PO 交圆O 于B ,C 两点,AC=,∠PAB=30°,则线段PB 的长为 .3连接OA ,∵PA 为☉O 的切线,∴∠OAP=90°,∠C=∠PAB=30°,∴∠OBA=∠OAB=60°,∴∠P=∠PAB=30°,∴PB=AB.又AC=,BC 为☉O 的直径,3∴∠CAB=90°,∴AB=1,∴PB=1.9.如图所示,☉O 1与☉O 2交于A ,B 两点,过☉O 1上一点P 作直线PA ,PB 分别交☉O 2于点C 和点D ,EF 切☉O 1于点P ,求证:EF ∥CD.AB ,∵EF 是☉O 1的切线,由弦切角定理知,∠FPA=∠PBA.又在☉O 2中,四边形ABDC 为圆内接四边形,∴∠C=∠ABP ,∴∠FPA=∠C ,∴EF ∥CD.10.(2016·江西赣州高二检测)如图,在△ABC 中,∠B=90°,O 是AB 上一点,以O 为圆心,OB 为半径的圆与AB 交于点E ,与AC 切于点D ,直线ED 交BC 的延长线于F ,若AD ∶AE=2∶1,求tan ∠F 的值.如图所示,连接BD.∵AC 为☉O 的切线,∴∠ADE=∠ABD.∵∠A=∠A ,∴△ADE ∽△ABD ,∴,即,ADAE =BD DE BD DE =21∴.DE BD =12∵BE 为☉O 的直径,∴∠BDE=90°,∴tan ∠ABD=.DE BD =12∵∠F+∠BEF=90°,∠ABD+∠BEF=90°,∴∠ABD=∠F ,∴tan ∠F=tan ∠ABD=.12B 组1.如图,在圆的内接四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,EF 切☉O 于C 点,则图中与∠DCF 相等的角的个数是( )A.4B.5C.6D.7∠DCF=∠DAC ,∠DCF=∠BAC ,∠DCF=∠BCE ,∠DCF=∠BDC ,∠DCF=∠DBC.2.如图所示,☉O 和☉O'相交于A ,B 两点,过点A 作两圆的切线,分别交两圆于C ,D 两点,若BC=2,BD=4,则AB 的长为( )A.2B.2C.4D.623AC ,AD 分别是两圆的切线,∴∠C=∠BAD ,∠D=∠BAC.∴△ACB ∽△DAB.∴.∴AB 2=BC ·DB=2×4=8.∴AB=2(负值舍去).BCBA =AB DB 23.已知AB切☉O于A点,圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为3∶1,则夹劣弧的弦切角∠BAC= .优弧与劣弧之比为3∶1,∴劣弧所对的圆心角为90°,所对的圆周角为45°,故由弦切角定理可知,弦切角∠BAC=45°.°4.导学号19110038如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC= .OC.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.又BC=CD,∴AB=AD=6,∠BAC=∠CAD.又CE为圆O的切线,则OC⊥CE.∵∠ACE为弦切角,∴∠ACE=∠B.∴∠ACE+∠CAD=90°.∴CE⊥AD.又AC⊥CD,∴CD2=ED·AD=2×6=12,33即CD=2.∴BC=2.235.(2016·湖南岳阳高二检测)如图所示,△ABC 内接于☉O ,AB=AC ,直线XY 切☉O 于点C ,BD ∥XY ,AC ,BD 相交于E.(1)求证:△ABE ≌△ACD ;(2)若AB=6 cm,BC=4 cm,求AE 的长.XY 是☉O 的切线,所以∠1=∠2.因为BD ∥XY ,所以∠1=∠3,故∠2=∠3.因为∠3=∠4,所以∠2=∠4.因为∠ABD=∠ACD ,又因为AB=AC ,所以△ABE ≌△ACD.∠3=∠2,∠ABC=∠ACB ,所以△BCE ∽△ABC ,,即AC ·CE=BC 2.BCAB =CE CB 因为AB=AC=6 cm,BC=4 cm,所以6·(6-AE )=16,故AE= cm .1036.导学号19110039(2016·吉林长春高二检测)如图,AB 为☉O 的直径,直线CD 与☉O 相切于E ,AD ⊥CD 于D ,BC ⊥CD 于C ,EF ⊥AB 于F ,连接AE ,BE.证明:(1)∠FEB=∠CEB ;(2)EF 2=AD ·BC.由直线CD 与☉O 相切,得∠CEB=∠EAB.由AB 为☉O 的直径,得AE ⊥EB ,从而∠EAB+∠EBF=.π2又EF ⊥AB ,得∠FEB+∠EBF=.π2从而∠FEB=∠EAB ,故∠FEB=∠CEB.(2)由BC ⊥CE ,EF ⊥AB ,∠FEB=∠CEB ,BE 是公共边,则Rt △BCE ≌Rt △BFE ,所以BC=BF.同理可证Rt △ADE ≌Rt △AFE ,得AD=AF.又在Rt △AEB 中,EF ⊥AB ,故EF 2=AF ·BF ,所以EF 2=AD ·BC.。

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