西北工业大学矩阵论复习概要

1 A 1
0 0
2. 设T,S 是V 的线性变换，T2=T, S2=S , ST=TS, 证明
3. 设T, S 是V 上线性变换，且T2=T, S2=S ，证明
(1) R(T)=R(S)TS=S, ST=T
(2) N(T)=N(S)TS=T, ST=S 4. 设P[x]2的线性变换T T(a+bx+cx2)=(4a+6b)+(-3a-5b)x+(-3a-6b+c)x2 求P[x]2的一个基，使T 在该基下的矩阵为对角矩阵.
6. 设线性空间V3的线性变换T 在基1,2,3下的 矩阵
1 A 2 2 2 1 2 2 2 1
证明：W=L(2-1, 3-1)是T 的不变子空间.
7. 求下列矩阵的Jordan标准形
1 A 3 2 1 3 2 3 1 4 3 , B 7 2 7 1 1 1 6 0 0 2 1 0 0 1 0
5. 设V 是C 上的n维线性空间，T是V上的线性变换，
0 T (1 , 2 ,, n ) (1 , 2 ,, n ) 1
0

1 0
其中1,2,,n是V 的一个基. 证明：V 的包含n的T 的不变子空间只有V.
9.设A 是一个6阶方阵，其特征多项式为
()=(+2)2(-1)4, 最小多项式为mA()=(+2)(-1)3,
求出A的若当标准形.
10.对于n 阶方阵A，如果使Am=O成立的最小正整数
为m，则称A是m次幂零矩阵，证明所有n阶n-1次幂
零矩阵彼此相似，并求其若当标准形.
三.欧式空间与酉空间
V1 ( x1 , x2 , xn ) x1 x2 xn 0, xi K V2 ( x1 , x2 , xn ) xi xi 1 0, xi K
证明 Kn=V1V2
5. 设 S,A,T分别为Knn中对称，反对称，上三角方
阵构成的子空间，证明： Knn=S A , Knn=T A .
练习题
2 2
1. 在欧式空间R22中的内积为
1 A1 0 1 0 , A2 0 1
( A, B ) aij bij
i 1 j 1
取
1 ,W L( A1 , A2 ) 1
（1）求W的一个基；
（2）利用W与W的基求R22的一个标准正交基.
2. 已知欧式空间Vn的基1,2,,n的度量矩阵为A, 证明在Vn中存在基1,2,,n，使满足
二. 线性变换 1.定义 T:VV且T( k+l )=kT( )+lT( )
2. 线性变换的值域与核
R(T)=L(T(1),T(2),T(n)),N(T)={T()=,V}
3.线性变换的矩阵 T (1,2,,n)=(1,2,,n)A
rankT=rankA, nullT=n-rankA
8. 求下列矩阵的最小多项式
1 A 1 1 2 0 1 a 6 3 , B 3 b a b b a b a
a 1 1 1
a 1 1 a 1
a
矩阵论复习
一. 线性空间
1. 线性空间的概念
2. 线性空间的基，维数与坐标（基变换与与坐 标变换） 3. 线性子空间的概念与运算
(1)定义 (2) 运算（交与和，直和）
1. 判断 1，sinx, cosx 的线性相关性.
2. 若1, 2, …, r线性无关，则向量组1= 1+k1r ,
（1,2,,n 为 线性空间V 的一个基）
4. 线性变换的运算 加法，数乘，乘法，逆，多项式.
5. 化简线性变换的矩阵 (1) 线性变换的特征值与特征向量 (2) 在不同基下的矩阵相似
(3) C上的线性空间V上的T ，一定存在V的一个基使
得T在该基下的矩阵是Jordan矩阵
(4) C 上的线性空间Vn上的T，存在V的一个基使得T
在该基下的坐标分别为(1,,n)T,(1,,n)T; 定义
2= 2+k2r , , r= r (kiK)也线性无关.
Leabharlann Baidu3. 求向量组
1 (1,2,1,0) 1 ( 2,1,0,1) 2 ( 1,1,1,1) 2 (1,1,3,7)
分别生成的子空间的交的基和维数.
4. 设 V1, V2 分别是
1 i j ( i , j ) 0 i j
3. 设1,2;1, 2是欧式空间V2两个基, 又
1=1-22, 2=1-2,
(1,1)=1, (1,2)=-1 ,(2,1)=2,(2,2)=0
分别求基1,2与1,2的度量矩阵. 4. 设实线性空间Vn的基1,2,,n，设，Vn
在该基下的矩阵为对角阵 T有n个线性无关的特征
向量。
(5) Hamilton 定理与矩阵的最小多项式
6. 不变子空间
定义: W是V的子空间，T是V的线性变换，如果
对W, 有T()W,则W是T 的不变子空间.
1. 求K22上的线性变换 T：T(X)=AX的值域R(T)与核
N(T)的基与维数, 其中 (S+T)2=S+TST=O.
1. 定义 ,度量矩阵((,)=xTAy,A是某基的度量矩阵,x
和y分别是 和 在该基下的坐标)
2. 正交基与规范正交基(sthmidt 正交化)
3. 正交补
4. 对称变换与正交变换
(T,)=(,T)T在规范正交基下的矩阵为实对称矩阵. (T,T)=(,) T 在规范正交基下的矩阵为正交矩阵. 5. n阶方阵酉相似于上三角矩阵 n 阶方阵A 酉相似对角矩阵A是正规矩阵.