复习典型例题
数与代数(整理与复习)
数与代数（整理与复习）【典型例题】例1.小华上午8时30分出发去姥姥家，下午2时到达姥姥家，她一共用了多长时间？例2.甲船每时行24千米，乙船第时行16千米，两船同时同地北向出发，2时后，甲船因有事转头追赶乙船，几时才能追上乙船？例3.煤气公司铺设一条煤气管道，第一周铺了全长得30%，第二周铺了全长的40%，两周共铺了2800米，这条煤气管道全长多少米？4，四月份生产了2300个零件，二月份生产了例4.某工厂三月份生产的零件比二月份多15%，比四月份少25多少个零件？例5.商店一、二楼柜台数量的比是6:5，如果从一楼调9个柜台给二楼，这时一二楼柜台数量的比是3:4，商店一共有多少个柜台？例6.正方形操场边长增加它的四分之一后，得到新操场的周长是５００米原操场的边长是？（用方程解）【课堂练习】1.填空：（1）0.4＝（ ）（ ） ＝10（ ） ＝（ ）35＝( )% （2）一个数个位上是最小的合数，十位上是最小的奇数，百位上是最小的偶数，千位上是最小的质数，万位上是最小的1位数，十万位上是最小的自然数，百万位上是5的倍数，这个数是（ ）。
（3）最小的五位数是（ ），减少1是（ ）；最大的三位数加上1是（ ）。
（4）10以内的质数有（ ）；合数有（ ）；既是奇数又是合数的最小两位数是（ ）。
（5）18和36的最大公因数是（ ）；12和42的最小公倍数是（ ）。
（6）能被2、3、5整除的最大两位数是（ ）；比最大的三位数多1的数是（ ）。
（7）13628中的“6”表示（ ）；70.6中的“6”表示（ ）；611中的“6”表示（ ）。
（8）280004320读作（ ），四舍五入改写成用“万”作单位的数是（ ），省略亿位后的尾数得到的近似数是（ ）（9）一个数由3个一，5个百分之一和7个千分之一组成，这个数写作（ ），读作（ ），把这个数精确到十分位是（ ）。
（10）把0.85吨:170克化简成最简整数比是（ ）（11）如果男生人数是女生人数的2/3，那么女生人数占全班人数的（ ）%。
线性代数复习第1-6章典型例题
按最后一列展开再提取每列的公因子
-8-
Dn = ( −1) n+1 (a1 − a n )(a 2 − a n )⋯(a n−1 − a n ) ×
1 a1
2 a1
1 a2
2 a2
⋯
1
1 a n −1
2 a n −1
⋯ a n− 2
2 ⋯ a n− 2
⋮
n a1 − 2
⋮
⋮
⋮
n− 2 a n −1 ( n −1 )
n
x2 ⋯ xn a2 ⋱ an
xk yk ) = a 2 a 3 ⋯ a n (a1 − ∑ k = 2 ak
-6-
n
例9
范德蒙德(Vandermonde)行列式 行列式 范德蒙德
1 a1 Dn =
2 a1
1 a2
2 a2
⋯
1
2 a n −1
1 an
2 an
− an − an
⋯ a n −1 ⋯ ⋮
n n− 2 a 2 − 2 ⋯ a n− 2
Dn = ( a n − a1 )(a n − a 2 )⋯(a n − a n−1 ) Dn −1
Dn − 1 = (a n − 1 − a1 )(a n − 1 − a 2 ) ⋯ (a n − 1 − a n − 2 ) Dn − 2
⋯⋯
D3 = (a 3 − a1 )(a 3 − a 2 ) D2 D2 = (a 2 − a1 ) D1 = a 2 − a1
-17-
例8
设 n 阶方阵 A 满足 A2 = E ,
证明 r ( E + A) + r ( E − A) = n
证
A 2 = E ⇒ ( A + E )( A − E ) = O
六年级上册数学期末应用题专题复习
第一章转化单位1【典型例题】1、小红用三天时间看完一本故事书。
第一天看完了全书的1\3，第二天看了余下的2\5，已知第二天比第三天少看24页，这本故事书一共有多少页？2、某工程队修一段公路，第一天修了全长的1\5多100米，第二天修的比第一天修的4\5多20米，第三天修了600米，正好修完。
这段公路全长多少米？3、有两袋大米，第二袋比第一袋重6千克，已知第一袋大米的重量的1\3恰好与第二袋大米重量的2\7相等，问两袋大米各重多少千克？4、甲乙丙三人买股票，甲买股票用的钱是乙、丙两人所用钱数的1\2，乙买股票用的钱是甲、丙两人所用钱数的1\3。
已知丙用了3000元，求甲、乙共用了多少元？5、瓶内原来盐的重量是水的1\11，加进30克盐后，盐的重量站盐水的重量的1\9。
瓶内原来有盐水多少克？6、某运输队分三次运完一批货物。
第一次运了这批货物的1\4，第二次运了余下的1\3，第三次比第二次多运15吨，这批货物一共有多少吨？7、王叔叔运一堆煤，第一天运了总数的1\4多4吨，第二天运的比第一天的3\4多3吨，第三天运了35吨，正好运完。
这堆煤共有多少吨？8、有两个粮仓，乙仓的存粮比甲仓少120吨，已知甲仓存粮的1\4等于乙仓存粮的1\3，问甲、乙两个仓库各存粮多少吨？9、兄弟三人一起去合买一台电脑，老大带去的钱是另外两个人所带钱数的一半，老二带去的钱是另外两个所带钱数的1\4.已知老三带了2100元，那么老大和老二各带了多少元？10、瓶内原来盐的重量是水的1\10，加进40克盐后，盐的重量站盐水的重量的1\7。
瓶内原来有盐水多少克？【展示平台】1、运进一批水泥，第一天运了这批水泥的1\4，第二天运了第一天的3\5，已知第一天比第二天多运20吨，这批水泥有多少吨？2、某工程队修一段公路，第一天修了全长的2\5，第二天修了余下部分的3\10 多24米，第三天修的是第一天的3\4多60米，正好修完。
这段公路全长多少米？3、甲乙两个仓库共存粮840吨，已知甲仓库存粮的1\4等于乙仓库存粮的1\3问甲、乙两个仓库各存粮多少吨？4、某工厂的甲乙丙三个车间向灾区捐款，甲车间捐款数是另外两个车间捐款数的2\3，乙车间捐款数是另外两个车间捐款数的3\5.已知丙车间捐款数1800元，这三个车间共捐款多少元？5、一个盒子里装有黑白两种棋子,黑子的颗数是总数的五分之三盒子里有黑白两种棋子,黑子的颗数是总数的3\5,把12颗白子放入盒子后,黑子的颗数占总数的3\7,盒子里有黑子多少颗?6、一瓶酒精,第一次倒出2\3又20千克,第二次倒出的是第一次的1\4,瓶中还剩下35克酒精,原来瓶中有多少酒精?7、水果店运来梨和苹果共180千克，梨卖出2\5，苹果卖出1\10，这时梨和苹果剩下的千克数正好相等。
数列专题复习之典型例题(含答案)
数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。
答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。
2023年高考数学复习----排列组合错位排列典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合错位排列典型例题讲解【典型例题】例25．编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A．10种B．20种C．30种D．60种【答案】B【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有2510C=，另外三个人编号与座位号不一致，方法数有2，所以不同的坐法有10220⨯=种．故选：B例26．将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A．90B．135C．270D．360【答案】B【解析】根据题意，分以下两步进行：（1）在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里，有2615C=种选法，假设选出的2个小球的编号为5、6；（2）剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里，对于编号为1的小球，有3个盒子可以放入，假设放入的是2号盒子．则对于编号为2的小球，有3个盒子可以放入，对于编号为3、4的小球，只有1种放法．综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为1533135⨯⨯=种．故选：B．例27．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（）A．20 B．90 C．15 D．45【答案】D【解析】根据题意，分2步分析：①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有15C种选法，②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有11153345C C C⋅⋅=种．故选：D．。
初中物理各单元经典例题
1复习第一章+走进实验室例1. 用皮卷尺测量球场的宽度，记录的数据是25.36米，这个皮卷尺的最小刻度值是（）A. 1mmB. 1cm2-1认识运动、2-2运动的描述【典型例题】例 1. “小小竹排江中游，巍巍青山两岸走”这歌词中“竹排江中游”是以为参照物，“青山两岸走”是以为参照物．例２. 下列现象中，能够说明物体的分子在不停地做无规则运动的是（）A. 房间几天不打扫就会有一层灰尘B. 水从高处流向低处C. 放在空气中的铁器过段时间生锈了D. 在一杯白开水中放入白糖，这杯水就有甜味了例4. 关于机械运动的说法中，正确的是A. 宇宙间一切物体都是运动的B. 只有静止的物体才能被选作参照物C. 运动快慢不变的物体，一定在做匀速直线运动D. 对同一物体，选用不同的参照物，其运动情况一定不同2-3[1].运动的速度、2-4能量【典型例题】例1. 关于匀速直线运动的速度，下列讨论正确的说法是（）A. 物体运动速度v越大，通过的路程s越长B. 物体运动速度v越大，所用时间t越少C. v的大小由s/t决定，但与s、t的大小无关D. 上述说法都正确例3. 一短跑运动员沿直线跑了5s，前2s内通过16m的路程，后3s通过了30m的路程，这个运动员在5s内的平均速度是（）A. 8ｍ／sB. 10ｍ／sC. 9ｍ／sD. 9.2 m /s2运动与能量复习【典型例题】例1. 中国长江科学考察探险队乘坐的中华勇士号橡皮艇在长江上游顺流而下，下面几种说法中正确的是（）A. 以橡皮艇为参照物，江水是静止的B. 以江水为参照物，探险队员是静止的C. 以岸边的树为参照物，探险队员是静止的D. 以探险队员为参照物，橡皮艇是运动的例2. 小汽车在平直的公路上匀速行驶，1分钟通过了1200米的路程，小汽车的行驶速度是（）A. 1200米/秒B. 20米/秒C. 60米/秒D. 0.5米/秒3-1[1].什么是声音、3-2乐音的三个特征【典型例题】例1. 在装满水的长铁管的一端敲一下，在较远处的另一端将听到次响声。
中考数学专题复习练习：轴对称与轴对称图形
典型例题一例01．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）（A ）有两个角相等的三角形（B ）有一个内角是的直角三角形︒45（C ）有一个内角是，另一个内角为的三角形︒30︒120（D ）有一个角是的直角三角形︒30分析：在（A ）中，有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形一定是轴对称图形，它的对称轴为底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）. 而（B ）和（C ）中的两个三角形同样也是等腰三角形，所以也是轴对称图形. 那么（D ）中三角形的三个内角各不相等，不是等腰三角形，所以（D ）不是轴对称图形.解答：选（D ）说明：在三角形中，只有等腰三角形才是轴对称图形，而不是等腰三角形的三角形就一定不是轴对称图形.典型例题二例02．已知：直线MN ，同侧两点A 、B （如图）求作：点P ，使P 在MN 上，并且最小.BP AP +作法 1．作点A 关于直线MN 的对称点.A '2．连结交MN 于PA A '点P 就是所求作的点.说明 这类问题经常遇到，可以和生活中的问题结合衍生出许多应用问题，但本质都是这道题.典型例题三例03．在图（a ）中，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点，，连结交OA 1P 2P 21P P 于M ，交OB 于N ，若，则的周长为多少？cm P P 521=PMN ∆作法：略.解答：如图（b ）所示，∵，P 关于OA 对称，1P ∴PMM P =1同理可得.PN N P =2∴的周长PMN ∆MN PN PM ++=N P MN M P 21++=cmP P 521==∴的周长为. PMN ∆cm 5 说明 准确作图是关键.典型例题四例04．已知：（如图）四边形ABCD 和过点D 的直线MN ，求作：四边形，使四边形与四边形ABCD 关于MN 对称.D C B A ''''D C B A ''''作法 1．作，垂足为E ；延长BE 到，使，得到点B 的对称MN BE ⊥B 'BE E B ='点.2．同法作点A 和点C 的对称点.C A ''3．因为D 在对称轴MN 上，所以点D 的对称点重合.D '4．连结、、.B A ''C B ''D C ''四边形即为所求.D C B A '''' 说明 关键是掌握概念和基本作图.典型例题五例05．有一条小河（如图所示），两岸有A 、B 两地，要设计道路并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A 、B 间路线怎样走，桥应架在何处，才能使A 到B 的距离最短.分析：桥梁无论架在何处均垂直于河岸，因此桥梁的长度是定值，决定路程长度的关键是选取建桥点的位置，相对应地在河岸A 地同测取一点，使B 与河岸距离等于与河B 'B '岸到桥头的距离之和，于是，这个总是转化为“直线同侧有两点A 、，欲在直线上求一B '点，使这一点与A 、距离之和最短.B '已知：如图，河岸AB 两地求作：线段CD ，使CD 与、均互相垂直，并且最小.1l 2l BD CD AC ++作法：（1）作，与、分别交点、E ，并且1l B B ⊥'1l 2l E 'BEE B =''（2）在上取一点使（或者找到点关于的对称点）E E 'B ''E B E B ''='''B '1l B ''（3）连结，与交于C 点，作，与交于D 点，CD 即为所求作的线段.B A ''l 2l CD ⊥2l 典型例题六例06．如图所示，P 是平分线AD 上一点，P 与A 不重合，.BAC ∠AB AC >求证：ABAC PB PC -<-分析：用对称法. 可利用轴对称图形的知识找出点B 关于直线AD 的对称点，因AD B '为的平分线，故在AC 上，连结，从而构造与两个轴对称图BAC ∠B 'P B 'P B A '∆ABP ∆形，再利用三角形两边之差小于第三边来证明.证明：作点B 关于直线AD 的对称点，连结.B 'P B '∵AD 是的平分线，BAC ∠∴点在AC 上（是以角平分线AD 所在直线为对称轴的轴对称图形），B 'BAC ∠又∵AP 在对称轴AD 上，∴，P B BP B A AB '='=,在中，C B P '∆∵，C B B P PC '<'-，AB AC B A AC C B -='-=' ，P B BP '=∴.AB AC BP PC -<-说明：和就是利用角平分线AD 构造出的轴对称图形，这种方法对于证BAC ∆P B A '∆明有关线段的不等关系非常方便、有效.典型例题七例07．如图，E 、F 是的边AB 、AC 上的点，在BC 上求一点M ，使的ABC ∆EMF ∆周长最小.分析 因为E 、F 是定点，所以EF 是定值. 要使△EMF 的周长最小，只要MF ME +最小.解答 （1）作点F 关于直线BC 的对称点.F '（2）连结交BC 于M ，点M 就是所求.F E '说明 这类问题在日常生活中经常可以遇到.典型例题八例08．如图，过C 作的平分线AD 的垂线，垂足为D ，作交AC 于BAC ∠AB DE //E .求证：.CE AE =分析 由已知条件容易得到，从而. 要证明，只须证明32∠=∠DE AE =CE AE =，联想到AD 是角平分线又是垂线，若延长CD 交AB 的延长线于P ，则C 、P 关CE DE =于直线AD 对称，于是问题可以解决.解答 延长CD 交AB 的延长线于P .在和中，ADP ∆ADC ∆⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ADP ADC ADAD 21∴（角边角）ADC ADP ∆≅∆故.ACD P ∠=∠又∵，AP DE //∴，P ∠=∠4则.,4CE DE ACD =∠=∠∵，AB DE //∴，31∠=∠又∵，21∠=∠∴，32∠=∠∵（等边对等角），AE DE =∴.CE AE =说明 全等三角形是证明角或线段相等的一种方法，但不是惟一方法，不要一证线段相等就找全等三角形. 等腰三角形的判定定理及其推论，中垂线的性质，都是证线段相等的重要途径.典型例题九例09．如图，AD 是中的平分线，且.ABC ∆BAC ∠AC AB >求证：.DC BC>分析 由于AD 是的平分线，所以可以以AD 为轴构造轴对称图形，即把BAC ∠ADC ∆沿AD 翻折，这样，就可以在中解决问题.︒180DC DE =BED ∆证明 在AB 上截取AE ，使，连结DE .AC AE =∵AD 是的平分线，BAC ∠∴，21∠=∠在和中，AED ∆ACD ∆⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已证作图AD AD AC AE ∴（边角边），ACD AED ∆≅∆∴，DC DE =∴（全等三角形对应边对应角相等），43∠=∠∵，（内角和定理的推论），3∠>∠BED B ∠>∠4∴（大角对大边），ED BD B BED >∠>∠,∴.DC BD >说明 本题中的的就是利用角平分线构造出来的轴对称图形. 本题还有AED ∆ACD ∆其他构造轴对称图形的方法，比如把沿AD 翻折，也可证明结论.ADB ∆︒180选择题1．选择题（1）在下列命题中：①两个全等三角形是轴对称图形②两个关于直线对称的图形是全等形l ③等边三角形是轴对称图形④线段有三条对称轴正确命题的个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（2）下列图形是一定轴对称图形的是（）（A ）任意三角形 （B ）有一个角等于的三角形︒60（C ）等腰三角形 （D ）直角三角形（3）P 为内一点，且，则P 点是（）ABC ∆PC PB PA ==（A ）三条中线的交点 （B ）三条高的交点（C ）三个角的平分线的交点 （D ）三边垂直平分线的交点（4）已知：D 为的边BC 的中点，且，下面各结论不正确的是（）ABC ∆BC AD ⊥（A ） （B ）ACD ABC ∆≅∆CB ∠=∠（C ）AD 是的平分线 （D ）是等边三角形BAC ∠ABC ∆（5）正五角星的对称轴有（）（A ）1条 （B ）2条 （C ）5条 （D ）10条（6）等边三角形的对称轴共有（）（A ）1条 （B ）3条 （C ）6条 （D ）无数条（7）下列四个图形①等腰三角形 ②等边三角形 ③等腰直角三角形 ④直角三角形中，一定是轴对称图形的有（）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（8）下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）（A ）线段 （B ）角 （C ）三角形 （D ）等腰直角三角形参考答案：1．选择题（1）B （2）C （3）D （4）D （5）C （6）B （7）C （8）C 填空题1．填空题（1）等边三角形的对称轴有______条.（2）如果沿着一条直线折叠，两个点能互相重合，那么这两个点叫做_______.（3）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形_______.（4）如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做_______.参考答案1．填空题（1）3 （2）对称点 （3）轴对称 （4）轴对称图形解答题1．如图，已知线段AB 及直线MN ，求作线段AB 关于MN 的对称图形.2．如图，已知及直线EF ，求作关于EF 的对称图形.ABC ∆ABC ∆3．如图，已知折线ABC 及直线PQ ，求作折线ABC 关于直线PQ 的对称图形.4．如图，已知，分别以OM ，ON 为对称轴作三角形与它对称.ABC ∆5．在中，，，垂足为H ，点B 关于AH 的对称点是. ABC ∆C B ∠=∠2BC AH ⊥B '求证：.AB C B ='6．如图，已知：在直线MN 的同侧有两点A 和B .求作：MN 上一点，使.BCN ACM ∠=∠7．如图，EFGH 是一个矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A ，B 两点位置上，试问：怎样撞击黑球A ，求能使A 先碰撞台边EF 反弹后两击中白球B ？参考答案1．略 2．略 3．略 4．略5．证明：连结，则易证，B A 'B A AB '=B B A B '∠=∠∵，∴，即.B CAC B B A '∠+∠='∠B ∠=C ∠=2B CA C '∠=∠AB C B AB =''=6．作法：作点A 关于MN 的对称点，连结，与MN 的交点为C ，则点C 就是所A 'A B '要求作的点. 证明：略.7．作点A 关于EF 的对称点，连结与EF 的交点为C ，则沿AC 方向撞击黑球A 'B A '就可以满足要求.。
中考语文现代文阅读复习句式特点训练
中考语文现代文阅读复习句式特点训练一、典型例题考题一：从句式特点的角度，赏析第⑨段画线句。
(3分) 23济南中考《一桌人生》春风从远处的山谷里挤过来，暖暖的。
答案示例:倒装句，将“暖暖的"后置（1），突出了春风的温暖和煦（1），烘托了我看到新桌子时的喜悦心情（1）。
考题二：从句式特点的角度，赏析第⑩段画线句。
(2分) 24济南样题《雪落菘叶》拢上套袖，奶奶横起面板，竖起擀面杖，烧旺炉火。
答案示例：连用多个短句，形象地呈现了奶奶烙饼的劳动场景，表现出奶奶厨艺娴熟、勤劳能干。
(共2分。
句式特点1分，表达效果1分。
意思对即可)二、知识讲析常见句式特点有：长短句结合、句子对仗工整、双重否定句、排比句、反问句、倒装句。
（1）长句和短句：长句的修辞效果是表意严密、精确、细致；短句的修辞效果是表意简洁、明快、有力。
（2）对仗工整：使句子整齐匀称，节奏鲜明；富有音乐美；表意凝练集中，概括力强. （3）双重否定：表示肯定的意思。
双重否定句比一般的肯定句语气更强，更加肯定。
（4）排比：加强句子语气，给人以一气呵成之感，节奏感强，增强语言气势。
（5）反问：可以加强语气，增强文中的气势和说服力，把本来已确定的思想表现得更加鲜明、强烈。
倒装：起到强调、突出的作用。
三、课内回顾例题一：小草偷偷地从土里钻出来，嫩嫩的，绿绿的。
园子里，田野里，瞧去，一大片一大片满是的。
坐着，躺着，打两个滚，踢几脚球，赛几趟跑，捉几回迷藏。
风轻悄悄的，草软绵绵的。
问题：从句式的角度赏析选文中画横线的句子，说说其表达效果。
答案：本句运用短句和倒装句，强调了小草嫩绿的特点，表现了小草的生机勃勃的样子，表达了作者的喜悦之情。
例题二：这腰鼓，使冰冷的空气立即变得燥热了，使恬静的阳光立即变得飞溅了，使困倦的世界立即变得亢奋了。
赏析：运用排比句式，使语言气势充沛、节奏鲜明、感情强烈。
排比中还应用了三组反义词，在强烈的对比中，更能突出安塞腰鼓的特点。
小学六年级-阴影部分面积-专题复习-典型例题(含答案)
阴影部分面积专题例1.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积，×-2×1=1.14（平方厘米）例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以=7，所以阴影部分的面积为：7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：最基本的方法之一。
用四个圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的面积，所以阴影部分的面积：2×2-π＝0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：同上，正方形面积减去圆面积，16-π()=16-4π=3.44平方厘米例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形，π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米另外：此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图：已知小圆半径为2厘米，大圆半径是小圆的3倍，问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米？解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分）π-π()=100.48平方厘米（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）例7.求阴影部分的面积。
(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2，求)正方形面积为：5×5÷2=12.5所以阴影面积为：π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 例8.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割补以后为圆，所以阴影部分面积为：π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解
高考数学复习----《函数的奇偶性的综合应用》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 在(],3−∞上单调递增，且()3f x +为偶函数，则不等式()()12f x f x +>的解集为（ ）A ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()5,1,3⎛⎫−∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(),1−∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】∵()3f x +为偶函数， ∴()()33f x f x −+=+，即函数()f x 关于3x =对称，又函数()f x 在(],3−∞上单调递增，∴函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，由()()12f x f x +>，可得1323x x +−<−，整理得，23850x x −+>，解得1x <或53x >． 故选：B ．例2、（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =，不等式()()24f x f x ≥的解集为（ ）A ．(][),04,−∞+∞UB ．[]0,4C ．(][),02,−∞⋃+∞D ．[]0,2【答案】C 【解析】根据题意，当0x ≥时，()2f x x =，所以()f x 在[0,)+∞上为增函数，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，所以24()f x x =，24124x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以221()42x f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以不等式()()24f x f x ≥可化为2()2x f f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以22x x ≥，解得0x ≤或2x ≥， 所以不等式()()24f x f x ≥的解集为(][),02,−∞⋃+∞，故选：C例3、（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数()f x 的定义域为R ，且当0x ≥时，()11x f x x −=+，则使不等式()2122f a a −<成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3−B ．()3,3−C ．()1,1−D ．(),3−∞【答案】A 【解析】当0x ≥时，()()12121111x x f x x x x +−−===−+++，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增， 且()132f =，不等式()2122f a a −<即为()()223f a a f −<． 又因为()f x 是偶函数，所以不等式()()223f a a f −<等价于()()223f a a f −<， 则223a a −<，所以，222323a a a a ⎧−<⎨−>−⎩，解得13a −<<． 综上可知，实数a 的取值范围为()1,3−，故选：A ．例4、（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]−∞上单调递增，且(2)2f −=−，则不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．10,100⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0,100)D ．(100,)+∞【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()()f x f x −=−，又(2)2f −=−，(2)2f =， 所以不等式1(lg )lg 4f x f x ⎛⎫−> ⎪⎝⎭，可化为()2(lg )422f x f >=， 即()(lg )2f x f >，又因为()f x 在(,0]−∞上单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以lg 2x >，解得100x >．故选：D ．例5、（2023春·广西·高三期末）()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +−=（ ）A ．－1B ．12−C ．12D ．1【答案】A 【解析】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则 1111111222222f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=−++⇒−+++=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． ∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+−=++−+=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A 例6、（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f （x ）=e e sin x x x x −−+−，则满足()()22ln 102x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．12ln 2,2⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭B ．1(ln 2,)4−+∞C ．[7,)4+∞D ．[3,)2+∞ 【答案】A 【解析】因为()e e sin ()x x f x x x f x −−−=−+=−，所以()f x 是R 上的奇函数，由()e +e cos 1x x f x x −'=+−cos 11cos 0x x ≥−=+≥ ，所以()f x 是R 上的增函数， 所以2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫−++≥ ⎪⎝⎭等价于： 22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫−+≥−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即22ln(1)2x a x −+≥−， 所以22ln(1)2x a x ≥−++， 令2()2ln(1)2x g x x =−++， 则问题转化为：max ()a g x ≥，因为()()g x g x −=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x −++是R 上的偶函数， 所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可．当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =−++， ()()22122()111x x x x g x x x x x +−−−+'=−+==−+++， 则当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<； 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==−， 即12ln 22a ≥−， 故选：A ． 本课结束。
中考化学复习---《元素物质分类》典型例题讲解
中考化学复习---《元素物质分类》典型例题讲解题型一物质分类【经典例题】【2021湖北荆州】下列物质属于纯净物的是（）A. 空气B. 牛奶C. 84消毒液D. 蒸馏水【答案】D【解析】根据分析，空气、牛奶、84消毒液均是由多种物质混合而成的物质，属于混合物；而蒸馏水中只含有水一种物质，是纯净物；故选择D。
【解题技巧】在熟悉混合物、纯净物、单质、化合物、氧化物等概念的基础上能从宏观和微观两个方面来判断纯净物和混合物，还要从社会实践中了解生活中常见物质的组成。
【经典例题】【2021湖南常德】分类是化学研究中常用的方法。
下列物质分类正确的是（）A. 碱：烧碱、纯碱、氢氧化钾B. 氧化物：五氧化二磷、氧化铝、过氧化氢C. 混合物：空气、石油、亚硝酸钠D. 人体中的微量元素：钙、铁、硒、碘【答案】B【解析】A、烧碱是氢氧化钠的俗称，氢氧化钠、氢氧化钾都是电离时产生的阴离子都是氢氧根离子的化合物，属于碱，纯碱是碳酸钠的俗称，是由钠离子和碳酸根离子构成的化合物，属于盐，不符合题意；B、五氧化二磷是由P、O两种元素组成的化合物，属于氧化物；氧化铝是由Al、O两种元素组成的化合物，属于氧化物，过氧化氢是由H、O元素组成的化合物，属于氧化物，符合题意；C、空气是由氮气、氧气等混合而成，属于混合物；石油是由汽油、柴油等混合而成，属于混合物；亚硝酸钠是由同种物质组成，属于纯净物，不符合题意；D、钙元素属于常量元素，铁、碘、硒属于微量元素，不符合题意。
故选B。
【解题技巧】本考点考查了物质的分类，要加强记忆混合物、纯净物、单质、化合物、氧化物、酸、碱、盐等基本概念，并能够区分应用。
本考点的基础性比较强，主要出现在选择题和填空题中。
1、【2021贵州铜仁】生活中的下列物质前者属于纯净物，后者属于单质的是（）A. 水泥、镁B. 食盐、干冰C. 硫酸亚铁、金刚石D. 空气、H2【答案】C【解析】A、水泥是由多种物质组成，属于混合物；镁只含有镁元素，属于单质，此选项错误；B、食盐中含有氯化钠、氯化镁等物质，属于混合物；干冰是固态二氧化碳，二氧化碳是由碳元素和氧元素组成的化合物，不属于单质，此选项错误；C、硫酸亚铁是由一种物质组成的，属于纯净物；金刚石是由碳原子直接构成的物质，由同种元素组成的纯净物，属于单质，此选择正确；D、空气中含有氮气、氧气等多种气体，属于混合物；氢气是氢元素组成的纯净物，属于单质，此选项错误。
平面直角坐标系复习讲义(知识点+典型例题)
D、第四象限.
【例 3】点 P（m，1）在第二象限内，则点 Q（-m，0）在（ ）
A．x 轴正半轴上 B．x 轴负半轴上 C．y 轴正半轴上 D．y 轴负半轴上
【例 4】（1）在平面直角坐标系内，已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，则 a＝ ，点的坐标为
。
（2）当 b=______时,点 B(-3,|b-1|)在第二、四象限角平分线上.
电量为 8 千瓦时，则应交电费 4.4 元；④若所交电费为 2.75 元，则用电量为 6 千瓦时，其中正确的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【例 7】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，途中自行车出了故障，他只好停下来修车．车修好后，因怕
耽误上课，故加快速度继续匀速行驶赶往学校．如图是行驶路程 S（米）与时间 t（分）的函数图象，那么符合小明骑
D． ．
11、星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离 y（千米）与时间 t（分钟）的关系如图所示．根 据图象回答下列问题：
2
2
巩固练习
5
1、下列 各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2、下列平面直角坐标系中的图象，不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3、下列四个选项中，不是 y 关于 x 的函数的是（ ）
A．|y|=x﹣1 B．y=
C．y=2x﹣7 D．y=x2
4、下列四个关系式：（1）y=x；（2） y x2 ；（3） y x3 ；（4） y x ，其中 y 不是 x 的函数的是（ ）
．
【例 8】在坐标系内，点 P（2，－2）和点 Q（2，4）之间的距离等于
高考复习——《力 物体的平衡》典型例题复习
一、力物体的平衡1、力：力是物体对物体的作用。
⑴力是一种作用，可以通过直接接触实现（如弹力、摩擦力），也可以通过场来实现（重力、电场力、磁场力）⑵力的性质：物质性（力不能脱离物体而独立存在）；相互性（成对出现，遵循牛顿第三定律）；矢量性（有大小和方向，遵从矢量运算法则）；效果性（形变、改变物体运动状态，即产生加速度）⑶力的要素：力的大小、方向和作用点称为力的三要素，它们共同影响力的作用效果。
力的描述：描述一个力，应描述力的三要素，除直接说明外，可以用力的图示和力的示意图的方法。
⑷力的分类：按作用方式，可分为场力（重力、电场力）、接触力（弹力、摩擦力）；接效果分，有动力、阻力、牵引力、向心力、恢复力等；接性质分，有重力、弹力、摩擦力、分子力等；按研究系统分，内力、外力。
2、重力：由于地球吸引，而使物体受到的力。
（1）重力的产生：由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力。
（2）重力的大小：G=mg ，可以用弹簧秤测量，重力的大小与物体的速度、加速度无关。
（3）重力的方向：竖直向下。
（4）重心：重力的作用点。
重心的测定方法：悬挂法。
重心的位置与物体形状的关系：质量分布均匀的物体，重心位置只与物体形状有关，其几何中心就是重心；质量分布不均匀的物体，其重心的位置除了跟形状有关外，还跟物体的质量分布有关。
3、弹力（1）弹力的产生：发生弹性形变的物体，由于要恢复原来的形状，对跟它接触的物体产生力的作用，这种力叫弹力。
（2）产生的条件：两物体要相互接触；发生弹性形变。
（3）弹力的方向：①压力、支持力的方向总是垂直于接触面。
②绳对物体的拉力总是沿着绳收缩的方向。
③杆对物体的弹力不一定沿杆的方向。
如果轻直杆只有两个端点受力而处于平衡状态，则轻杆两端对物体的弹力的方向一定沿杆的方向。
例题：如图所示，光滑但质量分布不均的小球的球心在O ，重心在P ，静止在竖直墙和桌边之间。
试画出小球所受弹力。
解析：由于弹力的方向总是垂直于接触面，在A 点，弹力F 1应该垂直于球面所以沿半径方向指向球心O ；在B 点弹力F 2垂直于墙面，因此也沿半径指向球心O 。
中考语文复习：说明文标题、句段作用和典型例题(含答案)
中考语文复习：说明文标题、句段作用和练习（含答案）一、说明文标题作用【提问方式】：1.文章以......为题，有什么作用？2.为什么以.......为题？谈谈你的理解。
3.你认为文章标题好在哪里？4.请你拟标题。
5.标题的含义：分析具体含义，有的还要答出表达情感，尤其是形象生动的说明文。
【技巧点拨】：1.点明说明对象或说明的内容。
2.突出说明对象的......特征。
3.运用修辞，一般用比喻或拟人的修辞，作用是生动形象（说明说明对象......的特征）。
4.（修辞、设悬、新颖......）吸引读者阅读兴趣，引发读者思考。
分类回答：内容上+表达上即：1）、内容上，点明说明对象是XX，说明对象的XX特征（有些题目只有说明对象），揭示说明内容。
2）、表达上，运用了XX（具体分析其作用）。
套话：以此为题形象生动，新颖别致，吸引读者，激发读者阅读兴趣。
吸引读者的原因可能存在以下情况：运用比喻、拟人等修辞，或化用诗句、成语等，生动、新颖、别致。
运用问句的形式（设问、疑问句；含“为什么”、“什么”“为何”“？”等词语、符号）设置悬念。
话题新鲜奇特，超出人们认知常识。
引用热门话题，贴近生活。
比如“低碳生活”“世博会”等。
❉注意事项：①一篇文章的标题不一定能涵盖所有这四个作用，所以在答题的时候，切记不要盲目罗列，要具体问题具体分析。
②答题时，不要只简单地罗列四句作用，而应该联系具体的说明内容，以及标题运用的手法进行分析，否则只有空洞的套话，会导致严重失分。
【答题规范】：内容上：点明说明对象是......，（说明了......的特征，）揭示了说明内容。
表达上：运用......。
（一般是修辞手法，并具体分析作用）以此为题生动形象，新颖别致，吸引读者（修辞、问句、热门话题），激发读者阅读兴趣。
另：请给文章拟题目：根据对标题作用的理解，考生在拟定文章标题时应当做到以下几点：A、能够概括文章的主要内容（小标题概括的部分内容）；B、理解作者的感情，把握文章主旨；C、找文章的线索，包括核心人物、核心物件、核心事件等；D、注意文章开头、结尾中点明主旨的句子；E、说明文注意过渡句、每段的中心句、关键词；F、标题语言力求简洁、生动、新颖；【例题01】下面的标题有什么样的作用？1.《中国红为什么这样红》：①内容上，点明了说明対象中国红，说明为什么中国红适合喜庆：揭示了说明内容；②表达上，以设问句的形式，设置了念，吸引读者阅读文章。
2023年高考数学复习----排列组合分解法模型与最短路径问题典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合分解法模型与最短路径问题典型例题讲解
【典型例题】
例1、
（2022秋·内蒙古·高二校考期中）如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从A 到B 的最短路径有（ ）
A ．33种
B ．23种
C ．20种
D ．13种
【答案】B 【解析】由题意知：从从A 到B 的最短路径要通过7段马路，4段水平马路，3段竖直马
路，共有37C 35=种，又因为经过CD 段的走法有1224C C 12⋅=种，
故不经过CD 段的最短路程有351223−=种．
故选：B ．
例2、
（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）在某城市中，A ，B 两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从A 地出发去往B 地，且不经过C 地，则不同的路径共有________条．
【答案】66
【解析】由图可知，从A 地出发去往B 地的最短路径需要9步，其中4步向上，5步向右，
则不同的路径共有49126C =条．
若途径C 地，则不同的路径共有2254C C 60=条．故从A 地出发去往B 地，且不经过C 地的不
−=条．
同路径共有1266066
故答案为：66．
例3、5400的正约数有（）个
A．48 B．46 C．36 D．38
【答案】A
【解析】332
=⨯⨯，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，5400235
所以正约数个数为(31)(31)(21)48
+⨯+⨯+=．
故选：A．
本课结束。
高一物理必修2期末复习知识-典型例题
高一物理必修2期末复习知识-典型例题高中物理必修2综合总复习典型例题：1、过河问题例1．小船在200m 的河中横渡，水流速度为2m/s ，船在静水中的航速是4m/s ，求： 1．小船怎样过河时间最短，最短时间是多少？ 2．小船怎样过河位移最小，最小位移为多少？解：如右图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：①过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v ⊥决定，即⊥=v dt ，与v1无关，所以当v2⊥岸时，过河所用时间最短，最短时间为2v dt =也与v1无关。
②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v1＜v2时，最短路程为d ； 2、连带运动问题指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。
由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。
例2 如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2解析：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cos α，两者应该相等，所以有v1∶v2=cos α∶13、平抛运动例3平抛小球的闪光照片如图。
已知方格边长a 和闪光照相的频闪间隔T ，求：v0、g 、vc解析：水平方向：T av 20=竖直方向：22,T a g gT s =∴=?先求C 点的水平分速度vx 和竖直分速度vy ，再求合速度vC ：412,25,20Tav T a v T a v v c y x =∴===（2）临界问题典型例题是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？例4 已知网高H ，半场长L ，扣球点高h ，扣球点离网水平距离s 、求：水平扣球速度v 的取值范围。
解析：假设运动员用速度vmax 扣球时，球刚好不会出界，用速度vmin 扣球时，球刚好不触网，从图v 2v 1v 1 甲乙α v 1v 2ABCDE中数量关系可得：()h g s L g h s L v 2)(2/max +=+=；)(2)(2/min H h gs g H h s v -=-=实际扣球速度应在这两个值之间。
高考数学复习压轴题归类解析06 妙用洛必达法则
高考数学复习压轴题归类解析 第06讲妙用洛必达法则【典型例题典型例题】】 例1．已知()(1)f x x lnx =+． （1）求()f x 的单调区间；（2）若对任意1x …，不等式()[]01f x x ax a x −++…恒成立，求a 的取值范围． 【解析】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()1f x lnx x′=++，令1()1(0)g x lnx x x=++>，则22111()x g x xx x−′=−= 所以当01x <<时，()0g x ′<；当1x >时，()0g x ′>，所以()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，所以0x >时，()g x g >（1）20=>， 即()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 的增区间为(0,)+∞，无减区间．（2）对任意1x …，不等式()[]01f x x ax a x −++…恒成立等价于对任意1x …，1(0lnx a x x−−…恒成立．当1x =，a R ∈对任意1x >，不等式()[]01f x x ax a x −++…恒成立等价于对任意1x >，21xlnx a x −…恒成立．记2()(1)1xlnx m x x x =>−，则22222222222212(1)(1)(1)21(1)11()(1)(1)(1)lnx lnx x x lnx x x lnx x x m x x x x −−+−−−−+++′===−−−，记22()1(1)1t x lnx x x =−−>+， 则22222222222414(1)(1)()0(1)(1)(1)x x x x t x x x x x x x −+−′=−==−<+++，所以()t x 在(1,)+∞单调递减，又t （1）0=， 所以，1x >时，()0t x <，即()0m x ′<， 所以()m x 在(1,)+∞单调递减．所以1122110111()(1)lim lim ()||111(1)2maxx x x x xlnxxlnx xlnx x lnx x m x m x x x x ′==→→−+−+<=====−−++， 综上所述，a 的取值范围是1[,)2+∞．例2．设函数2()(1)()f x ln x a x x =++−，其中a R ∈．（1）1a =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （2）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （3）若0x ∀>，()0f x …成立，求a 的取值范围． 【解析】解：（1）当1a =时，切点为(1,2)ln ，则1()211f x x x ′=+−+，所以3(1)2f ′=， 切线方程为32(1)2y ln x −=−，即322230x y ln −+−=， 所以切线方程为：322230x y ln −+−=；（2）由题意可知，函数()f x 的定义域为(1,)−+∞，则2121()(21)11ax ax a f x a x x x +−+′=+−=++，令2()21g x ax ax a =+−+，(1,)x ∈−+∞， ①当0a =时，()0f x ′>，函数()f x 在(1,)−+∞上单调递增，无极值点， ②当0a >时，△(98)a a =−，当809a <…时，△0…，()0g x …，()0f x ′…， 所以()f x 在(1,)−+∞上单调递增，无极值点，当89a >时，△0>，设方程2210ax ax a +−+=的两个根，1x ，2x ，且1x =，2x =，此时12x x <，因为1212x x +=−，114x <−，214x >−，(1)10g −=>，所以1114x −<<−， 因为1(1,)x x ∈−，2(x ，)+∞时，()0g x >，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，1(x x ∈，2)x 时，()0g x <，()0f x ′<，函数()f x 单调递减，所以函数有两个极值点，当0a <时，△0>，设方程2210ax ax a +−+=的两个根，1x ，2x ，且1x =，2x =，此时12x x >，因为(1)10g −=>，所以21x <−，所以，1(1,)x x ∈−时，()0g x >，()0f x ′>，函数()f x 单调递增， 当2(x x ∈，)+∞时，()0g x <，()0f x ′<，函数()f x 单调递减， 所以函数有一个极值点，综上可知，当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809a剟时，函数()f x 无极值点； 当89a >时，函数()f x 有两个极值点；（3）当809a剟时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为(0)0f =，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意， 当819a <…时，(0)0g >，得20x <， 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为(0)0f =，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意， 当1a >时，由(0)0g <，得20x >， 所以2(0,)x x ∈时，函数()f x 单调递减，因为(0)0f =，所以2(0,)x x ∈时，()0f x <时，不符合题意， 当0a <时，设()(1)h x x ln x =−+， 因为(0,)x ∈+∞时，1()1011x h x x x ′=−=>++，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增， 所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=，即(1)h x x +<， 可得22()()(1)f x x a x x ax a x <+−=+−，当11x a>−时，2(1)0ax a x +−<，此时()0f x <，不合题意， 综上，a 的取值范围为[0，1]． 例3．已知函数2()1x f x x mx e =−−+．（1）若函数()f x 在点(1，f （1）)处的切线l 经过点(2,4)，求实数m 的值； （2）若关于x 的方程|()|f x mx =有唯一的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】解：（1）()2x f x x m e ′=−−，∴在点(1，f （1）)处的切线l 的斜率k f ′=（1）2e m =−−，又f （1）2e m =−−，∴切线l 的方程为(2)(2)(1)y e m e m x −−−=−−−， 即:(2)l y e m x =−−，由l 经过点(2,4)， 可得42(2)e m m e =−−⇒=−．（2）证明：易知|(0)|000f m x ==×⇒=为方程的根， 由题只需说明当0x >和0x <时原方程均没有实数解即可．①当0x >时，若0m <，显然有0mx <，而|()|0f x …恒成立，此时方程显然无解， 若0m =，2()1()2x x f x x e f x x e ′=−+⇒=−，()2x f x e ′′=−，令()02f x x ln ′′>⇒<，故()f x ′在(0,2)ln 单调递增，在(2,)ln +∞单调递减， 故()(2)2220()f x f ln ln f x ′′<=−<⇒在(0,)+∞单调递减()(0)0f x f ⇒<=， 从而|()|0f x >，00mx x =×=，此时方程|()|f x mx =也无解．若0m >，由1|()|||xe f x mx m x m x x =⇒=+−−，记1()x e g x x m x x=+−−，则2(1)(1)()x x x e g x x −+−′=， 设()1x h x x e =+−，则()10x h x e ′=−<有(0,)+∞恒成立，()(0)0h x h ∴<=恒成立，故令()001()g x x g x ′>⇒<<⇒在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减()g x g ⇒…（1）20|()|2e m g x e m m =−−<⇒−+>…，可知原方程也无解，由上面的分析可知0x >时，m R ∀∈，方程|()|f x mx =均无解．②当0x <时，若0m >，显然有0mx <，而|()|0f x …恒成立，此时方程显然无解， 若0m =，和①中的分析同理可知此时方程|()|f x mx =也无解．若0m <，由1|()|||xe f x mx m x m x x =⇒−=+−−，记1()x e g x x m x x =+−−，则2(1)(1)()x x x e g x x −+−′=，由①中的分析知()10x h x x e =+−<，故()0g x ′>在(,0)−∞恒成立，从而()g x 在(,0)−∞上单调递增，当0x →时，200012()lim ()lim lim 11x xx x x x e x e g x g x m m m x−−−→→→+−−→=−=−=−−， 如果10m −−…，即1m −…，则|()|1g x m >+，要使方程无解，只需112m m m −+⇒−剠，即有102m −<…如果10m −−>，即1m <−，此时|()|[0g x ∈，)+∞，方程|()|m g x −=一定有解，不满足． 由上面的分析知0x <时，1[,)2m ∀∈−+∞，方程|()|f x mx =均无解，综合①②可知，当且仅当1[,)2m ∈−+∞时，方程|()|f x mx =有唯一解，m ∴的取值范围为1[,)2−+∞．【同步练习同步练习】】1．设函数2()1x f x e x ax =−−−， （1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围． 【解析】（1）0a =时，()1x f x e x =−−，'()1x f x e =−．当(,0)x ∈−∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >．故()f x 在(,0)−∞单调减少，在(0,)+∞单调增加．（2）当0x =时，()0f x =，对于任意实数a ，()0f x ≥恒成立；当0x >时，()0f x ≥等价于21x e x a x−−≤， 令21()(0)x e x g x x x −−=>，则322()x x xe e x g x x −++′=， 令()22(0)x x h x xe e x x =−++>，则()1x x h x xe e ′=−+，()0x h x xe ′′=>， 所以()h x ′在(0,)+∞上为增函数，()(0)0h x h ′′>=，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，()(0)0h x h >=， 所以()0g x ′>，()g x 在(0,)+∞上为增函数．而0lim (1)0x x e x +→−−=，20lim ()0x x +→=，由洛必达法则知，2000111lim lim lim 222x x x x x x e x e e x x +++→→→−−−===，故21≤a ． 综上得a 的取值范围为1(,2−∞．2．设函数2()ln(1)()f x x a x x =++−，其中a R ∈． （1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围． 【解析】（1）2()ln(1)()f x x a x x =++−，定义域为(1,)−+∞21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x −++++−′=+−==+++， 当0a =时，1()01f x x ′=>+，函数()f x 在(1,)−+∞为增函数，无极值点． 设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++−−=∆=−−=−，当0a ≠时，根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数．若(98)0a a ∆=−≤，即809a <≤时，()0g x ≥，()0f x ′≥函数在(1,)−+∞为增函数，无极值点．若(98)0a a ∆=−>，即89a >或0a <，而当0a <时(1)0g −≥此时方程()0g x =在(1,)−+∞只有一个实数根，此时函数()f x 只有一个极值点；当89a >时方程()0g x =在(1,)−+∞都有两个不相等的实数根，此时函数()f x 有两个极值点；综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1；当89a >时，()f x 的极值点个数为2．（2）函数2()ln(1)()f x x a x x =++−，0x ∀>，都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++−≥恒成立，设()2ln 1()x h x x x−+=−，则2222221(21)ln(1)()(21)ln(1)(21)(1)1()()()x x x x x x x x x x x h x x x x x −−−++ −−+−+−+ +′==−−， 设2()ln(1)(21)(1)x x x x x x ϕ−=−++−+，则222()(41)()(21)(1)x x x x x x ϕ−+′=−+，所以1(0,)2x ∈和1(,1)2x ∈时，()0x ϕ′<，所以()x ϕ在对应区间递减，(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ′>，所以()x ϕ在对应区间递增，因为(0)0ϕ=，212lim 0(21)(1)x x x x x →+−−>−+，(1)ln 20ϕ=>， 所以(0,1)x ∈和(1,)x ∈+∞时，()0h x ′>，所以()h x 在(0,1)与(1,)+∞上递增． 当()0,1x ∈时，20x x −<，所以()2ln 1x a x x−+≤−，由()h x 的单调性得，()()()20001ln 111lim lim lim 121211x x x x x a x xx x x →→→−−+−+≤===−−−+； 当1x =时，()0f x =，恒成立； 当()1,x ∈+∞时，20x x −>，所以()2ln 1x a x x −+≥−，由()h x 的单调性得，所以()()()()221ln 1ln 111lim lim lim 021211x x x x x x a x x x xx x x →+∞→+∞→+∞−−+−+−+≥====−−−−+，综上，[]1,0∈a3．已知函数()x f x e =，()1g x bx =+，若()()f x g x ≥对于任意x R ∈恒成立，求b 的取值集合． 【解析】1x e bx ≥+恒成立，即1x e bx −≥． 当0x =时显然成立，即b R ∈．当0x >时，1x e b x −<，令1()x e F x x −=，则2(1)1()x e x F x x−+′=，令()(1)1x G x e x =−+， 则()0x G x xe ′=>，所以()G x 递增，所以()(0)0G x G >=，所以()F x ′在(0,)+∞上恒成立． 所以()F x 在(0,)+∞上递增，根据洛必达法则得，001lim lim 11x xx x e e x ++→→−==，所以1b ≤． 同理，当0x <时，1b ≥． 综上所述，b 的取值集合为{}1．4．设函数()ln(1)f x x =+，()()g x xf x ′=，0x ≥，其中()f x ′是()f x 的导函数，若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】已知()()f x ag x ≥恒成立，即ln(1)1axx x +≥+恒成立． 当0x =时，a 为任意实数，均有不等式恒成立． 当时0x >，不等式变形为(1)ln(1)x x a x++≤恒成立． 令(1)ln(1)()x x h x x ++=，则2ln(1)()x x h x x −+′=，再令()ln(1)x x x ϕ=−+，则()1xx x ϕ′=+．因为0x >，所以()0x ϕ′>，所以()x ϕ在(0,)+∞上递增，从而有()(0)0x ϕϕ>=． 进而有()0h x ′>，所以()h x 在(0,)+∞上递增． 当0x +→时，有(1)ln(1)0x x ++→，0x →， 由洛必达法则得000(1)ln(1)ln(1)1lim ()limlim 11x x x x x x h x x +++→→→++++===，所以当0x +→时，()1h x →．所以(1)ln(1)x x a x++≤恒成立，则1a ≤． 综上，实数的取值范围为(,1]−∞．5．若不等式3sin x x ax >−对于0,2x π∈ 恒成立，求a 的取值范围．【解析】当0,2x π ∈时，原不等式等价于3sin x x a x −>．记3sin ()x x f x x −=，则43sin cos 2()x x x x f x x′−−=． 记()3sin cos 2g x x x x x =−−，则()2cos sin 2g x x x x ′=+−． 因为()cos sin cos (tan )g x x x x x x x ′′=−=−，()sin 0g x x x ′′′=−<，所以()g x ′′在0,2π上单调递减，且()0g x ′′<，所以()g x ′在0,2π上单调递减，且()0g x ′<．因此()g x 在0,2π上单调递减， 且()0g x <，故4()()0g x f x x ′=<，因此3sin ()x x f x x −=在0,2π上单调递减．由洛必达法则有320000sin 1cos sin cos 1lim ()limlim lim lim 3666x x x x x x x x x x f x x x x →→→→→−−===== 即当0x →时，1()6g x →，即有1()6f x <． 故16a ≥时，不等式3sin x x ax >−对于0,2x π ∈恒成立．。
2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解【典型例题】例1．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36B．48C．54D．72【答案】D【解析】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即48种方案；43212区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即24种方案；43211所以符合条件的涂色方案共有72种，故选：D．例2．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480 B．720 C．1080 D．1200【答案】D【解析】先给O涂色，有15C种方法，接着给A涂色，有14C种方法，接着给B涂色，有13C 种方法，①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，最后E有2种涂色方法；②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法．综上，涂色方法总数为15C 14C []13C 1322(1322)1200⨯⨯+⨯⨯+⨯=故选：D例3．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥V ABCD −的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）A ．72种B ．36种C ．12种D ．60种 【答案】A【解析】如下表。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
典型例题一、单选 书上每章后 二、多选 书上每章后 三、计算题（一）第四章 数据的描述性分析1．一个车间要求：（1）计算工人生产零件的算术平均数；（2）计算工人生产零件的标准差与标准差系数。
【解】（手算）（1） )(5.6420012900个===∑∑fxf x （2）()2347.10200209502==-=∑∑ff x x σ（分）%87.155.642347.10===xV σσ2．某公司所属三个企业生产同种产品，2007年实际产量、计划完成情况及产品优质品要求：（1）计算该公司产量计划完成百分比；（2）计算该公司实际的优质品率。
【解】（手算）（1）产量计划完成百分比：%95.9320.5325008.02501.11502.1100250150100==++++==∑∑xm m x H（2）实际优质品率：%8.9650048425015010098.025096.015095.0100==++⨯+⨯+⨯==∑∑fxf x3要求：（1）计算两个菜场蔬菜的平均价格；（2）比较价格的高低，并说明原因。
【解】（手算） （1）)(82.2200556505.315008.219505.22200150019502200元甲==++++==∑∑x m m x )(98.257.221366005.330008.219505.21650300019501650元乙==++++==∑∑x m m x（2）乙菜场比甲菜场平均价格高0.16元，原因是销售结构不同，乙菜场价格高的蔬菜销售的比重占得较大4．打开Ex4_1，其中有15个数据。
要求：（1）计算这组数据的算术平均数、调和平均数和几何平均数，（2）比较三种平均数的大小；（3）将这组数据减少10、增加10，计算新生成的两组数列的算术平均数、标准差和标准差系数；（4）将这组数据乘以10、除以10，计算新生成的两组数列的算术平均数、标准差和标准差系数。
（二）第五章参数估计1. 某企业从长期实践得知，其产品直径X 服从正态分布()22.0,15N 。
从某日产品中随机抽取10个，测得其直径分别为14.8，15.3，15.1，15.0，14.7，15.1，15.6，15.3，15.5，15.1（单位：厘米）。
在99%的置信度下，求该产品直径平均数的置信区间。
【解】（手算）15.15101.155.153.156.151.157.14151.153.158.14=+++++++++==∑nx x15.006.058.206.01004.022=⨯==∆===x x x Z n μσμα该产品直径平均数的置信区间：3.15~15102.0*58.215.152/=±=±nz x σα2. 一农场种植葡萄以生产果冻，假设葡萄的甜度为X ，服从正态分布),(2σμN ，从27卡车葡萄中，随机的抽取样本，每辆车取一个，然后测量甜度，结果如下：16.0 15.2 12.0 16.9 14.4 16.3 15.6 12.9 15.3 15.8 15.5 12.5 14.5 14.9 15.1 16.0 12.5 14.3 15.4 13.0 12.6 14.9 15.1 15.3 12.4 17.2 14.8求葡萄平均甜度μ的95%置信区间。
3．X 和Y 分别表示下肢瘫痪和正常成年男子的血液容量，单位ml ，假设X 服从),(21σμN ，Y 服从),(22σμN 。
对X 做了7次观测，结果是1612，1352，1456， 1222，1560，1456，1924，对Y 做了10次观测，1082，1300，1092，1040，910，1248，1092，1040，1092，1288。
求21μμ-的95%置信区间。
4．X 和Y 分别表示A 、B 两种品牌的日光灯的寿命，分别服从)784,(1μN 和)627,(2μN ，从AB 两个品牌的日光灯中分别随机地抽取了56和57个日光灯，测得平均寿命分别是937.4小时和988.9小时；求21μμ-的99%置信区间。
（三）第六章 假设检验1．假定某厂生产一种钢索断裂强度为()2/cmkg X ，服从正态分布()121,μN ，从中选取一容量为6的样本，得2/3.311cm kg x =-，能否据此样本认为这批钢索的平均断裂强度为()05.0/3252=αcm kg ？【解】（手算）依题意建立假设 0H ：=μ325 1H ：≠μ325 检验统计量：05.36113253.3110-=-=-=nx z σμ由标准正态分布表，得96.1025.0=z 。
Z<1.96，从而拒绝0H ，即不能认为这批钢索的平均断裂强度为2/325cm kg 。
2． 检查一批保险丝，抽取10根在通过强电流后熔化所需时间(s)为 ：42 , 65 , 75 , 78 , 59 , 71 , 57 , 68 , 54 , 55. 问在05.0=α下能否认为这批保险丝的平均熔化时间不小于65s (设熔化时间服从正态分布)？3． 某种羊毛在处理前后各抽取样本，测得含脂率如下(%)： 处理前 19，18，21, 30，66，42，8, 12, 30, 27 处理后 15, 13, 7，24, 19, 4，8, 20羊毛含脂率按正态分布，且知其处理前后标准差都是6，问处理前后含有无显著变化()05.0=α？（四）第九章 相关与回归分析1．某公司8个所属企业的产品销售资料如下：要求：（1）画出相关图，并判断销售额与销售利润之间对相关方向；（2）计算相关系数，指出产品销售额和利润之间的相关方向和相关程度；（3）确定自变量和因变量，求出直线回S；（5）根据回归方程，指出当销售额每增加1万元，利归方程；（4）计算估计标准误差yx润额平均增加多少？【解】（手算）（1）正相关（2）r = 0.9865，呈高度正相关；（3）自变量为产品销售额，y = -8.41+0.078x；（4）4.08（5）0.078要求：（1）画出相关图，并判断产量与单位生产费用之间对相关方向；（2）计算相关系数，指出产量与单位生产费用之间的相关方向和相关程度；（3）确定自变量和因变量，拟合S；（5）对相关系数进行检验（显著性水平取0.05）；直线回归方程；（4）计算估计标准误差yx（6）对回归系数进行检验(显著性水平取0.05)。
【解】（1）负相关（2）r = -0.9835，呈高度正相关；（3）自变量为产量，因变量为单位生产成本，y = 170.42-0.6978x；（4）4.66（5）临界值为0.632，故计算得到的样本相关系数有统计意义（6）检验统计量t=-15.38，对应概率为3.18E-07，小于0.05，故回归系数有统计意义。
（五）第十一章时间序列分析1. 某企业1992-2007年的产品销售数据如下：要求：（1）用3年、4年、7年移动平均法计算趋势值，并比较移动的效果；（2）直接以年份为t，用最小二乘法配合趋势直线，并计算出各年的趋势值；（3）将年份序列定义为t=1,2,3,……，用最小二乘法配合趋势直线，并计算出各年的趋势值。
【解】直接以年份为t ，用最小二乘法配合趋势直线： t y 60.669.13079+-= 将年份序列定义为t=1,2,3,……，用最小二乘法配合趋势直线：t y 60.628.46+=2.某商店2003～2006年各季度毛线销售量（单位：百斤）资料如下：要求：（1）作图判断该数据应该用什么方法来测定季节变动；（2）计算各季的季节比率。
【解】该数据适合用按季平均法计算季节比率：3. 某旅游风景区1997-1999年各月的旅游收入额（单位：万元）资料如下：要求：（1）作图判断该数据应该用什么方法来测定季节变动；（2）计算各月的季节比率。
【解】该数据适合用趋势剔除法计算季节比率（仿P283例11.4）：（六）第十二章 指数1.要求计算：(1)三种商品的个体价格指数(即价比) 【解】公式：1p p 皮鞋、布上衣、呢帽的个体价格指数分别为：%00.1201012%;00.1205060%;00.90200180===(2)拉氏、派氏价格指数 【解】拉氏价格指数公式：%78.97810792110450320011246031800110＝＝＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∑∑qp q p PLa派氏价格指数公式：%38.9710612.10331.11055042001.1125604180101110＝＝＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∑∑qp qp P Pa(3)拉氏、派氏销售量指数 【解】拉氏销售量指数公式：%99.13081010611015042003101.1505200400110＝＝＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∑∑p q p q Q La派氏销售量指数公式：%45.1307922.10331216041803121.1605180411110＝＝＋＋＋＋⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∑∑pq p q Q Pa。