最短路径问题同步练习题一

最短路径问题同步练习

题一

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知识点：

1．最短路径问题

(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

2.运用轴对称解决距离最短问题

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3．利用平移确定最短路径选址

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

同步练习：

1.如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA ＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．

2.如图所示，点A ，B 分别是直线l 同侧的两个点，在l 上找一个点C ，使CA ＋CB 最短，

3..在图中直线l 上找到一点M ，使它到A ，B 两点的距离和最小．

4. 如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．

(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？

(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？

5. 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？

6.(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a 所示两直排(图中的AO ，BO )，AO 桌面上摆满了橘子，OB 桌面上摆满了糖果，站在C 处的

学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到

D 处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 7.如图所示，A ，B 两点在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使点C 到点A 、B 的距离之差最大．

参考答案：

1.

A B

l

2.这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．

为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：

证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，

所以直线l是线段BB′的垂直平分线．

因为点C与C′在直线l上，

所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.

在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，

所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，

所以AC＋BC＜AC′＋C′B.

3. 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；

(2)连接AB′交直线l于点M.

(3)则点M即为所求的点．

4.解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，

则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于1

2

AB为半径画弧，两弧

交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．

(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P 到A，B的距离和最短．

5.解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．

(2)连接BC与河岸的一边交于点N.

(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.

则MN为所建的桥的位置．

6.解：如图b.

(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．

7.解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B 的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.

点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题

是常用的一种方法．