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新课标双曲线历年高考题精选(精)

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高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线，分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为.设过右焦点的直线与双曲线C的右支交于两点，其中点位于第一象限内.（1）求双曲线的方程；（2）若直线分别与直线交于两点，求证：；（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，，理由祥见解析．【解析】（1）由已知首先得到，再由离心率为２可求得的值，最后利用双曲线中基本量的关系求出值，从而就可写出所求双曲线的标准方程；（2）设直线的方程为：，与双曲线方程联立，消去得到关于的一个一元二次方程；再设，则由韦达定理就可用的式子表示出，再用点Ｐ，Ｑ的坐标表示出直线ＡＰ及ＡＱ的方程，再令就可写出点Ｍ，Ｎ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再计算得，即证明得；（3）先取直线的斜率不存在的特列情形，研究出对应的的值，然后再对斜率存在的情形给予一般性的证明：不难获得，从而假设存在使得恒成立，然后证明即可．试题解析：（1）由题可知： 1分2分∴双曲线C的方程为： 3分（2）设直线的方程为：，另设：4分5分又直线AP的方程为，代入 6分同理，直线AQ的方程为，代入 7分9分（3）当直线的方程为时，解得. 易知此时为等腰直角三角形，其中，即，也即：. 10分下证：对直线存在斜率的情形也成立.11分12分13分∴结合正切函数在上的图像可知， 14分【考点】1．双曲线的标准方程；2．直线与双曲线的位置关系；３．探索性问题．2.已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线l：垂直，C的一个焦点到l的距离为1，则C的方程为__________________.【答案】x2－＝1【解析】由已知，一条渐近线方程为，即又，故c＝2，即a2＋b2＝4，解得a＝1，b＝3双曲线方程为x2－＝1考点:双曲线的渐近线，直线与直线的垂直关系，点到直线距离公式3.若点P在曲线C1：－＝1上，点Q在曲线C2：(x－5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x＋5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是________．【答案】10【解析】依题意得，点F1(－5,0)，F2(5,0)分别为双曲线C1的左、右焦点，因此有|PQ|－|PR|≤|(|PF2|＋1)－(|PF1|－1)|≤||PF2|－|PF1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ|－|PR|的最大值是10．4.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.5.设的离心率为,则的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以.【考点】双曲线及重要不等式.6.设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.7.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是() A．(1，＋∞)B．(1,2)C．D．【答案】B【解析】由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，，即，解得，又双曲线的离心率大于1，从而，故选B。

高中数学双曲线习题及答案解析

高中数学双曲线习题及答案解析

双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。

100题双曲线历年高考真题及解析

100题双曲线历年高考真题及解析
A. B． C．a D．b
【答案】B
【解析】略
28．（2014·天津高考真题（理））已知双曲线 的一条渐近线平行于直线 ： ，双曲线的一个焦点在直线 上，则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由已知得 在方程 中令 ，得 所求双曲线的方程为 ，故选A．
考点：1．双曲线的几何性质；2．双曲线方程的求法．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
圆心为 ，渐近线方程为 ，所以半径为 ，所以圆的方程是 ，即 ，选A.
15．（2007·辽宁高考真题（理））设 为双曲线 上的一点， 是该双曲线的两个焦点，若 ，则 的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知可得 又
是直角三角形 ,故选B．
【解析】
试题分析：先根据双曲线得到其渐近线的方程，再利用圆心到渐近线的距离等于半径，就可求出 的值．
的渐近线方程是 ，即 ，又圆心是 ，所以由点到直线的距离公式可得 ，故选A．
考点：1、双曲线；2、双曲线的渐近线；3、直线与圆相切；4、点到直线的距离．
11．（2009·福建高考真题（文））若双曲线 的离心率为2，则 等于( )
解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），
即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣ ，则p=4，
解：渐近线y=± x．
准线x=± ，
求得A（ ）．B（ ），
左焦点为在以AB为直径的圆内，
得出 ，
，
b＜a，
c2＜2a2
∴ ，
故选B．
点评：本题考查双曲线的准线、渐近线方程形式、考查园内的点满足的不等条件、注意双曲线离心率本身要大于1．

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析1.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1【答案】A【解析】由x2＋y2－6x＋5＝0知圆心C(3,0)，半径r＝2．又－＝1的渐近线为bx±ay＝0，且与圆C相切．由直线与圆相切，得＝2，即5b2＝4a2，①因为双曲线右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，从而9＝a2＋b2，②由①②联立，得a2＝5，b2＝4，故所求双曲线方程为－＝1，选A．2.若实数满足，则曲线与曲线的（）A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等【答案】D【解析】，则，，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.【考点】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题.3.（本小题满分13分）已知双曲线的两条渐近线分别为.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2)存在【解析】(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.设直线的方程为,依题意,得k>2或k<-2.则，记.由,得,同理得.由得, 即. 由得, .因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.【考点】1.双曲线的性质.2.直线与双曲线的位置关系.3. 三角形的面积的表示.4.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为A．B．C．D．3【答案】B【解析】因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以故选B.【考点】1、双曲线的定义和标准方程；2、双曲线的简单几何性质.5.已知A1，A2双曲线的顶点，B为双曲线C的虚轴一个端点.若△A1BA2是等边三角形，则双曲线的离心率e等于．【答案】2【解析】由题意可知，解得，即，所以.则.【考点】双曲线的简单几何性质.6.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点坐标为，因此双曲线的右焦点的坐标也为，所以，解得，故双曲线的渐近线的方程为，即，因此双曲线的焦点到其渐近线的距离为，故选A.【考点】1.双曲线的几何性质；2.点到直线的距离7.已知双曲线="1" 的两个焦点为、，P是双曲线上的一点，且满足，（1）求的值；（2）抛物线的焦点F与该双曲线的右顶点重合，斜率为1的直线经过点F与该抛物线交于A、B两点，求弦长|AB|.【答案】(1) (2)16【解析】（1）根据题意，又，，，又|P F|•|PF|="|" F F|=， |P F|<4，得在区间（0,4）上有解，所以因此，又，所以（2）双曲线方程为=1，右顶点坐标为（2,0），即所以抛物线方程为直线方程为由（1）（2）两式联立，解得和所以弦长|AB|==168.设F是抛物线的焦点，点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为_______.【答案】【解析】由抛物线方程，可得焦点为，不妨设点在第一象限，则有，代入双曲线渐近线方程，得，则，所以双曲线离率为.故正确答案为.【考点】1.抛物线；2.双曲线.9.已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)(m>0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由于M(1，m)在抛物线上，∴m2＝2p，而M到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M到抛物线的准线x＝－的距离也为5，∴1＋＝5，∴p＝8，由此可以求得m＝4，＝，而双曲线的渐近线方程为y＝±，根据题意得，双曲线的左顶点为A(－，0)，∴kAM＝，∴a＝．10.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。

高三数学双曲线大题练习题

高三数学双曲线大题练习题

高三数学双曲线大题练习题1. 已知双曲线C的焦点为F（2，0），离心率为e=2/3。

双曲线的渐近线方程为y=x-1。

求双曲线方程。

解析：设双曲线C的中心为O（h，k）。

由于双曲线的焦点F（2，0），离心率为e=2/3，可得焦距2ae=2/3。

又根据双曲线的渐近线方程y=x-1，渐近线的斜率为1，又设焦点到渐近线的距离为d，可得它们之间的关系：2a=d。

因此，我们可以得到以下方程组：2ae=2/32a=d代入a=d/2，解得a=1/3，e=2/3。

根据双曲线方程的定义可知，双曲线方程的一般形式为：(x-h)^2 / a^2 - (y-k)^2 / b^2 = 1代入已知条件可得：(x-h)^2 / (1/3)^2 - (y-k)^2 / b^2 = 1即9(x-h)^2 - 3(y-k)^2 = 9综上所述，双曲线C的方程为9(x-h)^2 - 3(y-k)^2 = 9。

2. 已知双曲线的中心为O（1，-2），离心率e=2/3，焦点到直线x-y+1=0的距离为3。

求双曲线方程。

解析：设双曲线的焦点为F（a，b）。

根据离心率的定义可知：e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，a为焦点到顶点的距离。

又根据焦点到直线的距离的定义可得：所以，我们可以得到以下方程组：c/a=2/3a^2+b^2=3^2将第一个方程改写为c=2a/3，并代入第二个方程可得：(2a/3)^2+b^2=94a^2/9+b^2=94a^2+9b^2=81又双曲线的中心为O（1，-2），代入可得：4(1)^2+9(-2)^2=814+36=8140=81由此可以看出，该方程无解。

因此，题目中给出的条件存在矛盾。

综上所述，《高三数学双曲线大题练习题》中的第二题给出的条件存在矛盾，因此无法求出双曲线方程。

3. 某公司二次函数销售模型的方程为y=-2x^2+8x+30，其中y代表销量（单位：件），x代表售价（单位：元/件）。

请回答以下问题：a) 该二次函数的开口方向是什么？b) 求销售量的最大值，并确定此时的售价。

高考数学专题《双曲线》习题含答案解析

高考数学专题《双曲线》习题含答案解析

专题9.4 双曲线1．（2021·江苏高考真题）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的一条渐近线与直线230x y-+=平行，则该双曲线的离心率是（）A B C．2D【答案】D【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率【详解】双曲线的渐近线为by xa=±，易知by xa=与直线230x y-+=平行，所以=2bea⇒=故选：D.2．（2021·北京高考真题）若双曲线2222:1x yCa b-=离心率为2，过点，则该双曲线的程为（）A．2221x y-=B．2213yx-=C．22531x y-=D．22126x y-=【答案】B【分析】分析可得b，再将点代入双曲线的方程，求出a的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2cea==，则2c a=，b=，则双曲线的方程为222213x ya a-=，将点的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a=，故b=因此，双曲线的方程为2213yx-=.故选：B3．（2021·山东高考真题）已知1F是双曲线22221x ya b-=（0a>，0b>）的左焦点，点P在双曲线上，直线1PF与x轴垂直，且1PF a=，那么双曲线的离心率是（）练基础AB C ．2 D ．3【答案】A 【分析】易得1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，求得20b y a =，由1PF a =可得a b =，然后由a ，b ，c 的关系求得222c a =，最后求得离心率即可. 【详解】1F 的坐标为(),0c -，设P 点坐标为()0,c y -，易得()22221c y a b--=，解得20b y a =， 因为直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =， 所以可得2b a a=，则22a b =，即a b =，所以22222c a b a =+=，离心率为e = 故选：A .4．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.5．（2019·北京高考真题（文））已知双曲线2221x y a-=（a ＞0） 则a =（ ）A B ．4C ．2D ．12【答案】D 【解析】∵双曲线的离心率ce a==，c =，=，解得12a = ， 故选D.6．（全国高考真题（文））双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，焦点到渐近线的C 的焦距等于（ ）．A.2B.C.4D.【答案】C 【解析】设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．7.（2017·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A.221412x y -=B.221124x y -=C.2213x y -=D.2213y x -=【答案】D 【解析】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：2222tan 603c c a bba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪==⎩，解得：221,3a b ==， 双曲线方程为：2213y x -=.本题选择D 选项.8．（2021·全国高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>0my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4 【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】0my +=化简得y =，即b a ，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.9．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 【答案】y =.【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.10.（2020·全国高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y =x ，则C 的离心率为_________．【解析】由双曲线方程22221x y a b-=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y =，所以b a =c e a ===1.（2018·全国高考真题（理））设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为( ) A B C ．2D【答案】B 【解析】由题可知22,PF b OF c ==PO a ∴=在2Rt PO F 中，222cos P O PF bF OF c∠==在12PF F △中,22221212212cos P O 2PF F F PF b F PF F F c+-∠==)222224322b c bc a b cc+-∴=⇒=⋅ e ∴=故选B.2．（2020·云南文山·高三其他（理））已知双曲线2221(0)x y a a-=>上关于原点对称的两个点P ，Q ，右顶点为A ，线段AP 的中点为E ，直线QE 交x 轴于(1,0)M ，则双曲线的离心率为（ ）练提升A B ．3CD ．3【答案】D 【解析】由已知得M 为APQ 的重心，∴3||3a OM ==，又1b =，∴c ==，即c e a ==. 故选:D.3．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））已知平行于x 轴的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OPQ △为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BCD 【答案】A 【解析】因为OPQ △为等边三角形， 所以渐近线的倾斜角为3π，所以22,3,bb b a a=∴=∴= 所以2222223,4,4,2c a a c a e e -=∴=∴=∴=. 故选：A4．（2021·广东广州市·高三月考）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：2213x y -=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段12F F 为直径的圆经过点P ，则点P 的横坐标为（ ）A ．±1B ．C ．D ．2±【答案】C 【分析】由题意可设00(,)P x ，根据圆的性质有120F P F P ⋅=，利用向量垂直的坐标表示，列方程求0x 即可. 【详解】由题设，渐近线为y =，可令00(,)P x x ，而1(2,0)F -，2(2,0)F ，∴100(2,)F P x x =+，200(2,)F P x =-，又220120403x F P F P x ⋅=-+=，∴0x = 故选：C5.（2020·广西南宁三中其他（理））圆22:10160+-+=C x y y 上有且仅有两点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．B ．55(,)32C ．55(,)42D ．1)【答案】C 【解析】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为0bx ay -=，圆22:10160C x y y +-+=，圆心()0,5，半径3因为圆C 上有且仅有两点到0bx ay -=的距离为1， 所以圆心()0,5到0bx ay -=的距离d 的范围为24d << 即24<<，而222+=a b c 所以524a c <<，即5542e << 故选C 项.6．【多选题】（2021·湖南高三）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点为1F ，2F ，右顶点为A ，则下列结论中，正确的有（ ）A ．若a b =，则CB ．若以1F 为圆心，b 为半径作圆1F ，则圆1F 与C 的渐近线相切C ．若P 为C 上不与顶点重合的一点，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =D ．若M 为直线2a x c =（c 上纵坐标不为0的一点，则当M 的纵坐标为时，2MAF 外接圆的面积最小 【答案】ABD 【分析】由a b =，得到222a c =，利用离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的几何性质和点到直线的距离公式，可判定B 正确；由双曲线的定义和内心的性质，可判定C 不正确； 由正弦定理得到2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，得出2sin AMF ∠最大时，R 最小，只需2tan AMF ∠最大，设2,a M t c ⎛⎫⎪⎝⎭，得到22tan tan()AMF NMF NMA ∠=∠-∠，结合基本不等式，可判定D 正确． 【详解】对于A 中，因为a b =，所以222a c =，故C 的离心率ce a==A 正确； 对于B 中，因为()1,0F c -到渐近线0bx ay -=的距离为d b ==，所以B 正确；对于C 中，设内切圆与12PF F △的边1221,,F F F P F P 分别切于点1,,A B C ，设切点1A (,0)x ， 当点P 在双曲线的右支上时，可得121212PF PF PC CF PB BF CF BF -=+--=-1112A F A F =-()()22c x c x x a =+--==，解得x a =，当点P 在双曲线的左支上时，可得x a =-，所以12PF F △的内切圆圆心的横坐标x a =±，所以C 不正确； 对于D 中，由正弦定理，可知2MAF 外接圆的半径为222sin AF R AMF =∠，所以当2sin AMF ∠最大时，R 最小，因为2a a c<，所以2AMF ∠为锐角，故2sin AMF ∠最大，只需2tan AMF ∠最大．由对称性，不妨设2,a M t c ⎛⎫ ⎪⎝⎭（0t >），设直线2a x c =与x 轴的交点为N ，在直角2NMF △中，可得222=tan a c NF c NM t NMF -∠=， 在直角NMA △中，可得2=tan a a NA c NM tMA N -∠=， 又由22222222tan tan tan tan()1tan tan 1NMF NMA AMF NMF NMA NMF NMAa a c a c ct t a a c a c c t t--∠-∠∠=∠-∠==+∠∠--⨯+-⋅22()c a ab c a t c t-=≤-+当且仅当()22ab c a t c t -=，即t =2tan AMF ∠取最大值，由双曲线的对称性可知，当t =2tan AMF ∠也取得最大值，所以D 正确．故选：ABD ．7．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知点Q 是圆M ：()2224x y ++=上一动点，点()2,0N ，若线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹是椭圆 B ．点P 的轨迹是双曲线C ．当点P 满足PM PN ⊥时，PMN 的面积3PMN S =△D ．当点P 满足PM MN ⊥时，PMN 的面积6PMNS =【答案】BCD 【分析】根据PM PN -的结果先判断出点P 的轨迹是双曲线，由此判断AB 选项；然后根据双曲线的定义以及垂直对应的勾股定理分别求解出PM PN ⋅的值，即可求解出PMN S △，据此可判断CD 选项. 【详解】依题意，2MQ =，4MN =，因线段NQ 的垂直平分线交直线MQ 于点P ，于是得PQ PN =， 当点P 在线段MQ 的延长线上时，2PM PN PM PQ MQ -=-==，当点P 在线段QM 的延长线上时，2PN PM PQ PM MQ -=-==，从而得24PM PN MN -=<=，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是双曲线，故A 错，B 对；选项C ，点P 的轨迹方程为2213y x -=，当PM PN ⊥时，2222616PM PN PM PN PM PN MN ⎧-=⎪⇒⋅=⎨+==⎪⎩， 所以132PMN S PM PN ==△，故C 对； 选项D ，当PM MN ⊥时，2222316PM PN PM PN PM MN ⎧-=-⎪⇒=⎨-==⎪⎩， 所以162PMN S PM MN ==△，故D 对， 故选：BCD.8．（2021·全国高二课时练习）双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21C x y -+=相切，则双曲线1C 的标准方程为______．【答案】2213x y -=【分析】根据焦距，可求得c 值，根据渐近线与圆2C 相切，可得圆心到直线的距离等于半径1，根据a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b 值，即可得答案. 【详解】因为双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>的焦距为4，所以2c =．由双曲线1C 的两条渐近线b y x a=±与圆()222:21C x y -+=相切，可得1=又224a b +=，所以1b =，a =所以双曲线1C 的标准方程为2213x y -=．故答案为：2213x y -=9．（2021·全国高二单元测试）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，若双曲线上一点P 使2160PF F ∠=︒，则221F P F F ⋅的值为______．【答案】3 【分析】在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-．分别运用余弦定理可求得答案. 【详解】解：由已知得2124F F c ==．在12PF F △中，设2PF x =，则12PF x =+或12PF x =-． 当12PF x =+时，由余弦定理，得()222124242x x x +=+-⨯⨯，解得32x =，所以221314322F P F F ⋅=⨯⨯=． 当12PF x =-时，由余弦定理，得()222124242x x x -=+-⨯⨯，无解．故2213F P F F ⋅=． 故答案为：3.10．（2021·全国高二课时练习）如图，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且//AB CD ．若双曲线1C 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，则当梯形的周长最大时，双曲线1C 的离心率为______．1 【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，将梯形的周长表示成关于θ的函数，求出当30θ=︒时，l 有最大值，即可得到答案； 【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，2AB R c R ==，，作CE AB ⊥于点E ，则||2sin BC R θ=，()2||||cos 902sin EB BC R θθ=︒-=，所以2||24sin CD R R θ=-，梯形的周长221||2||||24sin 24sin 4sin 52l AB BC CD R R R R R R θθθ⎛⎫=++=++-=--+ ⎪⎝⎭．当1sin 2θ=，即30θ=︒时，l 有最大值5R ，这时，||BC R =，||AC =，1(||||)2a AC BC =-=1==c e a ．11. （2021·全国高考真题（理））已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e =故选：A2．（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ） A B C D【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =练真题由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D.3.（2019·全国高考真题（理））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） ABC ．2 D【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴， 又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．4.（2019·全国高考真题（理））双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为（ ）A B C ．D ．【答案】A 【解析】由2,,,a b c ====．,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在y x =上，11224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 5. （2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，3c ，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===6．（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 60ba==所以该双曲线的离心率为2c e a ====．。

高考数学《双曲线》专题检测试卷(含答案)

高考数学《双曲线》专题检测试卷(含答案)

高考数学《双曲线》专题检测试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．过点()1,2P -的直线与双曲线2214x y -=的公共点只有1个，则满足条件的直线有（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条2．双曲线E ：2213y x -=的左，右顶点分别为,A B ，曲线E 上的一点C 关于x 轴的对称点为D ，若直线AC 的斜率为m ，直线BD 的斜率为n ，则mn =（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-3．双曲线222:1(0)y C x a a-=>的上焦点2F 到双曲线一条渐近线的距离为2a ，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（）A ．4-B ．4C ．2-D ．24．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，右焦点为F ，点E 的坐标为(,b c a b ，则直线OE （O 为坐标原点）与双曲线的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过焦点2F 且垂直于x 轴的弦为AB ，若190AF B ∠= ，则双曲线的离心率为（）A ．522B 1-C 1D ．2226．已知双曲线C ：221169x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且6AB =，则1F AB 的周长为（）A ．20B ．22C ．28D ．367．已知点P 是双曲线2211620x y -=右支上的一点，点A B 、分别是圆22(6)4x y ++=和圆22(6)1x y -+=上的点．则PA PB -的最小值为（）A ．3B ．5C ．7D ．98．双曲线2222:1(0,0)y x a b a bΓ-=>>的两焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与其一支交于A ，B两点，点B 在第四象限.以1F 为圆心，Γ的实轴长为半径的圆与线段11,AF BF 分别交于M ，N 两点，且12||3||,AM BN F B F B =⊥，则Γ的渐近线方程是（）A．y =B．y x =C．y x =D．y x=二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）9．已知双曲线C ：()2220mx y m -=>，左右焦点分别为12,F F ，若圆()2248x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则下列说法正确的是（）A ．双曲线C的离心率e =B ．若1PF x ⊥轴，则1PF =C ．若双曲线C 上一点P 满足122PF PF =，则12PF F的周长为4+D ．存在双曲线C 上一点P ，使得点P 到C10．已知双曲线2222 :1(0)x y M a b a b-=>>的焦距为4，两条渐近线的夹角为60︒，则下列说法正确的是（）A ．MB ．M 的标准方程为2212x y -=C ．M的渐近线方程为y =D ．直线20x y +-=经过M 的一个焦点11．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ，椭圆1C 的上顶点为M ，且12π6MF F =∠，双曲线2C 和椭圆1C 有相同的焦点，且双曲线2C 的离心率为2e ，P 为曲线1C 与2C 的一个公共点．若12π2F PF ∠=，则（）A．21e e =B．12e e =C ．221294e e +=D ．22211e e -=三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点为1F 、2F，点)A在双曲线C 上，且满足120AF AF ⋅=，则双曲线C 的标准方程为__________．13．已知双曲线1C ：()22210y x b b-=>与椭圆2C：(2221x y a a +=>有公共的焦点1F ，2F ，且1C 与2C 在第一象限的交点为M ，若12MF F △的面积为1，则a 的值为__________．14．设1F 、2F 为双曲线Γ：()222109x ya a -=>左、右焦点，且Γ，若点M 在Γ的右支上，直线1F M 与Γ的左支相交于点N ，且2MF MN =，则1F N =__________.四、解答题（共5小题，共77分）15．设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>，斜率为1的直线l 与Γ交于,A B 两点，当l 过Γ的右焦点F 时，l 与Γ的一条渐近线交于点(P -．（1）求Γ的方程；（2）若l 过点(1,0)-，求||AB ．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为2（1）求双曲线C 的方程；（2）直线():1,0l y k x k =+>与双曲线C 有唯一的公共点，求k 的值．17．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C 于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q ．（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ= ，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB V 面积的取值范围．18．某高校的志愿者服务小组受“进博会”上人工智能展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏．如下图：A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45︒．机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足；接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚08v 秒（注：信号每秒传播0v 米）．在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米．（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？19．已知离心率为72的双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>过椭圆2C ：22143x y +=的左，右顶点A ，B ．（1）求双曲线1C 的方程；（2）()()0000,0,0P x y x y >>是双曲线1C 上一点，直线AP ，BP 与椭圆2C 分别交于D ，E ，设直线DE 与x 轴交于(),0Q Q x ，且20102Q x x λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，记BDP △与ABD △的外接圆的面积分别为1S ，2S参考答案15．（1）2214y x -=（2）82316．（1）22124x y -=（2）k =2．17．（1）2213y x -=（2）证明略（3）⎦18．（1）(4,0)（2）没有“被抓”风险19．（1）22143x y -=（2）⎫+∞⎪⎪⎝⎭。

双曲线高考6大常考基础题型总结(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

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第20讲双曲线高考6大常考基础题型总结【考点分析】考点二：双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为22b a．考点三：双曲线常考性质结论①双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b ；顶点到两条渐近线的距离为常数ab c;②双曲线上的任意点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222a b c；考点四：双曲线焦点三角形面积为2tan2b θ（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）【题型目录】题型一：利用双曲线定义解题题型二：求双曲线的标准方程题型三：双曲线焦点三角形面积题型四：双曲线的渐近线有关题型题型五：双曲线的离心率问题题型六：双曲线的最值问题【典型例题】题型一：利用双曲线定义解题【例1】已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左右焦点分别为1F 、2F ，0y +=，若点M在双曲线C 上，且15MF =，则2MF =（）A ．9B ．1C ．1或9D ．1或7【例2】已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=【例3】已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 【例4】已知曲线C 的方程为221mx ny +=，下列说法正确的是（）A ．若0mn >，则曲线C 为椭圆B ．若0mn <，则曲线C 为双曲线C ．若曲线C 为焦点在x 轴的椭圆，则0m n >>1n【题型专练】1.设双曲线221169x y -=的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上的一点，且PF 与圆2216x y +=相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则MN MO -=（）A ．12B ．1C ．32D ．22.已知F 1、F 2分别为双曲线C :29x -227y =1的左、右焦点，点A 为C 上一点，点M 的坐标为(2，0)，AM为∠F 1AF 2的角平分线．则|AF 2|=.3.方程132m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A ．23m -<<B ．20m -<<C ．2m <-或3m >D ．32m -<<题型二：求双曲线的标准方程【例1】与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=【答案】C 【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得a 的值，再由b =b 的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆C 的焦点坐标为()0,2±，设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，由双曲线的定义可得2a =-=，a ∴2c = ，b ∴=因此，双曲线的方程为22122y x -=.故选：C.【例2】已知圆22:(4)16M x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点(4,0)A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=【例3】已知双曲线H ：219x y a -=（0a >），以原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为4a ，则双曲线的方程为（）A ．22199x y -=B ．221189x y -=C ．221279x y -=D ．221369x y -=【例4】已知双曲线()22:10,0C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线C 的右支上，12MF MF ⊥，若1MF 与C 的一条渐近线l 垂直，垂足为N ，且12NF ON -=，其中O 为坐标原点，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2212016x y -=B ．221204x y -=C ．221416x y -=D ．221420x y -=，【题型专练】1．已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y ，则双曲线的标准方程是（）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212xy -=D ．2212y x -=2．已知双曲线C 的焦点为1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=3．已知圆M ：()2224x y ++=，M 为圆心，P 为圆上任意一点，定点()2,0A ，线段PA 的垂直平分线l 与直线PM 相交于点Q ，则当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为（）A ．221(2)412x y x -=≤-B ．221412x y -=C ．221(1)3y x x -=≤-D ．2213y x -=4.已知双曲线方程为222x y k -=，焦距为6，则k 的值为________.故答案为：±6.5．（2022·重庆·三模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F ，左右顶点为1A ，2A ，过2F 的直线l 交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，设12PA A α∠=，21PA A β∠=，当直线l 绕着2F 转动时，下列量保持不变的是（）A ．1PQA △的周长B ．1PF Q 的周长与2PQ之差C ．tan tan αβD ．tan tan αβ⋅【答案】BD 【解析】【分析】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，可判断A ，根据双曲线定义求解可判断B ，设(),P x y ，则tan ,tan y y a xx aαα==-+-根据商与积的值可判断CD ．【详解】如图所示：当直线l 的倾斜角越小时，点1PQA △的周长越大，故A 不正确；1PF Q 的周长为1122442PF QF PQ a PF QF PQ a PQ++=+++=+所以1PF Q 的周长与2PQ之差为4a ，故B 正确；设(),P x y ，则tan ,tan y ya x x aαα==-+-，由tan tan a xa xαβ-=+不是常量，故C 不正确；由22222222221tan tan x b y y a y b a x a x a x a x aαβ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅==-+---为常量，故D 正确；故选：BD题型三：双曲线焦点三角形面积【例1】设双曲线2222:1(00)x y C a b a b，-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F．P 是C 上一点，且12F P F P ⊥．若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．【例2】已知1F ，2F 是双曲线C ：()2210,0436x y a b -=>>的左、右焦点，M ，N 是C 上关于原点对称的两点，且12MN F F =，则四边形12MF NF 的面积是______．，即可求得四边形【题型专练】1．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅= ，则（）A ．PB ．12PF =C ．12PF F △的周长为4D ．12PF F △的面积为42.设1F ，2F 是双曲线2:13C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则△12PF F 的面积为（）A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．题型四：双曲线的渐近线有关题型焦点在x 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b y a x x a b y 焦点在y 轴上的渐近线为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-±=02222b x a y x b a y 若双曲线的方程为122=+ny mx ，要求渐近线只需令022=+ny mx ，解出即可即已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。

2022版新高考数学总复习真题专题--双曲线(解析版)

2022版新高考数学总复习真题专题--双曲线(解析版)

2022版新高考数学总复习--§10.2双曲线—五年高考—考点1双曲线的定义和标准方程1.(2020浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3√4-x2图象上的点,则|OP|= ()A.√222B.4√105C.√7D.√10答案D2.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.x 24-y24=1 B.x2-y24=1C.x 24-y2=1 D.x2-y2=1 答案D3.(2019课标Ⅲ文,10,5分)已知F是双曲线C:x 24-y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为()A.32B.52C.72D.92答案B以下为教师用书专用(1—10)1.(2018天津理,7,5分)已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x 24-y212=1 B.x212-y24=1C.x 23-y29=1 D.x29-y23=1答案C本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.∵双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,∴e2=1+b 2a2=4, ∴b 2a2=3,即b 2=3a 2,∴c 2=a 2+b 2=4a 2,由题意可设A (2a ,3a ),B (2a ,-3a ),∵b 2a 2=3,∴渐近线方程为y =±√3x ,则点A 与点B 到直线√3x -y =0的距离分别为d 1=|2√3a -3a |2=2√3-32a ,d 2=|2√3a+3a |2=2√3+32a ,又∵d 1+d 2=6,∴2√3-32a +2√3+32a =6,解得a =√3,∴b 2=9.∴双曲线的方程为x 23-y 29=1,故选C .解题关键 利用离心率的大小得出渐近线方程并表示出点A 与点B 的坐标是求解本题的关键. 方法归纳 求双曲线标准方程的方法(1)定义法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出a ,b 的值,即可求得方程.(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于a ,b 的方程(组),解得a ,b 的值,即可求得方程.2.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =√52x ,且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,则C 的方程为 ( )A.x 28-y 210=1B.x 24-y 25=1C.x 25-y 24=1D.x 24-y 23=1答案 B 本题考查双曲线的方程.由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24-y 25=k (k >0),即x 24k -y 25k=1,∵双曲线与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,∴4k +5k =12-3,解得k =1,故双曲线C的方程为x 24-y 25=1.故选B .一题多解 ∵椭圆x 212+y 23=1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,∴a 2+b 2=(±3)2=9①,∵双曲线的一条渐近线为y =√52x ,∴b a =√52②,联立①②可解得a 2=4,b 2=5.∴双曲线C 的方程为x 24-y 25=1.3.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F 是双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为 ( ) A.13 B.12 C.23 D.32答案 D 本题考查双曲线的几何性质. 易知F (2,0),不妨取P 点在x 轴上方,如图.∵PF ⊥x 轴,∴P (2,3),|PF |=3,又A (1,3), ∴|AP |=1,AP ⊥PF , ∴S △APF =12×3×1=32.故选D .4.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是 ( )A.x 2-y 24=1 B.x 24-y 2=1 C.y 24-x 2=1 D.y 2-x 24=1答案 C 由于焦点在y 轴上,故排除A 、B .由于渐近线方程为y =±2x ,故排除D .故选C .5.(2014天津理,5,5分)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为 ( )A .x 25-y 220=1 B .x 220-y 25=1 C .3x 225-3y 2100=1 D .3x 2100-3y 225=1答案 A由题意得ba=2且c =5.故由c 2=a 2+b 2,得25=a 2+4a 2,则a 2=5,b2=20,从而双曲线方程为x 25-y 220=1.6.(2014江西文,9,5分)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为 ( ) A .x 24-y 212=1 B .x 27-y 29=1 C .x 28-y 28=1 D .x 212-y 24=1答案 A 由双曲线方程知右顶点为(a ,0),不妨设其中一条渐近线方程为y =ba x ,因此可设点A 的坐标为(a ,b ).设右焦点为F (c ,0),由已知可知c =4,且|AF |=4,即(c -a )2+b 2=16,所以有(c -a )2+b 2=c 2,得a 2-2ac +b 2=0,又知c 2=a 2+b 2,所以得a 2-2ac +c 2-a 2=0,即a =c2=2,所以b 2=c 2-a 2=42-22=12.故双曲线的方程为x 24-y 212=1,故选A .评析 本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力.7.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程x 2m 2+n -y 23m 2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,√3)C.(0,3)D.(0,√3)答案 A 解法一:由题意可知:c 2=(m 2+n )+(3m 2-n )=4m 2,其中c 为半焦距,∴2c =2×2|m |=4,∴|m |=1,∵方程x 2m 2+n -y 23m 2-n=1表示双曲线,∴(m 2+n )·(3m 2-n )>0,∴-m 2<n <3m 2,∴-1<n <3.故选A .解法二:∵原方程表示双曲线,且焦距为4, ∴{m 2+n >0,3m 2-n >0,m 2+n +3m 2-n =4,①或{m 2+n <0,3m 2-n <0,-(3m 2-n )-(m 2+n )=4,②由①得m 2=1,n ∈(-1,3).②无解.故选A .知识拓展 对于方程mx 2+ny 2=1,若表示椭圆,则m 、n 均为正数且m ≠n ;若表示双曲线,则m ·n <0.8.(2016天津,6,5分)已知双曲线x 24-y 2b2=1(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为 ( )A.x 24-3y 24=1 B.x 24-4y 23=1 C.x 24-y 24=1 D.x 24-y 212=1答案 D 设A (x 0,y 0),不妨令其在第一象限,由题意得{x 02+y 02=22,y 0=b2x 0, 可得x 02=164+b2,y 02=b 24×164+b2=4b 24+b 2,结合2x 0·2y 0=2b ,可得b 2=12.所以双曲线的方程为x 24-y 212=1.故选D .9.(2015课标Ⅰ文,16,5分)已知F 是双曲线C :x 2-y 28=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,6√6).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为 . 答案 12√6解析 由已知得双曲线的右焦点F (3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF |=2a +|PF'|=2+|PF'|.△APF 的周长最小,即|PA |+|PF |最小.|PA |+|PF |=|PA |+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A 、P 、F'三点共线时,△APF 的周长最小.设P点坐标为(x 0,y 0),y 0>0,由{x 0-306√6=1,x 02-y 028=1得y 02+6√6y 0-96=0,所以y 0=2√6或y 0=-8√6(舍去).所以当△APF 的周长最小时,该三角形的面积S =12×6×6√6-12×6×2√6=12√6.10.(2015课标Ⅱ文,15,5分)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y =±12x ,则该双曲线的标准方程为 . 答案x 24-y 2=1 解析 根据渐近线方程为x ±2y =0,可设双曲线方程为x 2-4y 2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,√3),所以42-4×(√3)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为x 24-y 2=1.考点2 双曲线的几何性质1.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分)设O 为坐标原点,直线x =a 与双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于D ,E 两点.若△ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为 ( )A.4B.8C.16D.32 答案 B2.(2020课标Ⅲ理,11,5分)设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为√5.P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P.若△PF 1F 2的面积为4,则a = ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 A3.(2020课标Ⅰ文,11,5分)设F 1,F 2是双曲线C :x 2-y 23=1的两个焦点,O 为坐标原点,点P 在C 上且|OP |=2,则△PF 1F 2的面积为( )A.72B.3C.52D.2 答案 B4.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( )A.2sin 40°B.2cos 40°C.1sin50° D.1cos50° 答案 D5.(2019课标Ⅲ理,10,5分)双曲线C :x 24-y 22=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO |=|PF |,则△PFO 的面积为 ( ) A.3√24B.3√22C.2√2D.3√2答案 A6.(2021新高考Ⅱ,13,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),离心率e =2,则双曲线C 的渐近线方程为.答案 y =±√3x7.(2021全国乙理,13,5分)已知双曲线C :x 2m -y 2=1(m >0)的一条渐近线为√3x +my =0,则C 的焦距为 . 答案 4解题指导 根据题设,由双曲线方程写出其渐近线方程,再结合题设列出关于m 的方程,求解出m ,再求出焦距.8.(2020江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ,则该双曲线的离心率是 . 答案329.(2020课标Ⅰ理,15,5分)已知F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点,A 为C 的右顶点,B 为C 上的点,且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率为 . 答案 210.(2020北京,12,5分)已知双曲线C :x 26-y 23=1,则C 的右焦点的坐标为 ;C 的焦点到其渐近线的距离是 . 答案 (3,0);√311.(2019课标Ⅰ理,16,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为 . 答案 212.(2018北京理,14,5分)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线N :x 2m 2-y 2n 2=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为 ;双曲线N 的离心率为 . 答案 √3-1;213.(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 1(-√17,0),F 2(√17,0),点M 满足|MF 1|-|MF 2|=2.记M 的轨迹为C. (1)求C 的方程;(2)设点T 在直线x =12上,过T 的两条直线分别交C 于A ,B 两点和P ,Q 两点,且|TA |·|TB |=|TP |·|TQ |,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.解题指导 (1)先判断出M 的轨迹C 为双曲线的右支,并设出双曲线的标准方程,然后结合双曲线的定义,利用待定系数法确定其标准方程;(2)设出T 点坐标和直线AB 的方程,然后联立方程并利用根与系数的关系表示|TA |·|TB |,同理得到|TP |·|TQ |,结合|TA |·|TB |=|TP |·|TQ |得到结果. 以下为教师用书专用(1—22) 1.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( )A.2sin 40°B.2cos 40°C.1sin50°D.1cos50°答案 D 本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算.由双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)可知渐近线方程为y =±ba x ,由题意知-b a=tan 130°, 又tan 130°=-tan 50°, ∴ba=tan 50°, ∴双曲线的离心率e =c a =√1+b 2a 2=√1+tan 250°=√1+sin 250°cos 250°=√1cos 250°=1cos50°,故选D .方法总结求双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率的常见方法:(1)定义法:e =2c 2a =c a ;(2)公式法:e =√1+b 2a2=√1+tan 2θ(θ为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题中条件得出关于a ,b ,c 的方程,利用b 2=c 2-a 2转化为关于a ,c 的方程,最后利用e =ca 转化为关于e 的方程,从而得出离心率e. 2.(2019北京文,5,5分)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的离心率是√5,则a = ( ) A.√6 B.4 C.2 D.12答案 D 本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查的核心素养为数学运算. 由题意得e =ca =√5,又a 2+b 2=c2,∴b 2a 2=c 2-a 2a 2=e 2-1=4,∵b 2=1,∴a 2=14.∵a >0,∴a =12.易错警示 把双曲线的离心率错认为e =√1-b 2a2而出错. 3.(2018浙江,2,4分)双曲线x 23-y 2=1的焦点坐标是 ( )A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2)答案 B 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.∵a 2=3,b 2=1,∴c =√a 2+b 2=2.又∵焦点在x 轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点 (1)焦点在x 轴上还是y 轴上,容易判断错误;(2)双曲线与椭圆的标准方程中a ,b ,c 的关系式容易混淆.4.(2015课标Ⅰ理,5,5分)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点.若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则y 0的取值范围是 ( )A.(-√33,√33) B.(-√36,√36)C.(-2√23,2√23) D.(-2√33,2√33) 答案 A 若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 在以原点为圆心,半焦距c =√3为半径的圆上,则{x 02+y 02=3,x 022-y 02=1,解得y 02=13.可知:MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0⇒点M 在圆x 2+y 2=3的内部⇒y 02<13⇒y 0∈(-√33,√33).故选A .5.(2015课标Ⅱ理,11,5分)已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为 ( ) A.√5 B.2 C.√3 D.√2答案 D 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),则A (-a ,0),B (a ,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M (2a ,√3a ),又M 点在双曲线E上,于是(2a )2a 2-(√3a )2b 2=1,解得b 2=a 2,∴e =√1+b2a 2=√2.6.(2015湖南文,6,5分)若双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 ( )A.√73B.54C.43D.53答案 D双曲线x 2a 2-y 2b2=1的两条渐近线方程为y =±b a x ,则点(3,-4)在直线y =-b a x 上,即-4=-3b a ,所以4a =3b ,即b a =43,所以e =√1+b 2a 2=53.故选D .7.(2015重庆文,9,5分)设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点是F ,左、右顶点分别是A 1,A 2,过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ,C 两点.若A 1B ⊥A 2C ,则该双曲线的渐近线的斜率为 ( )A.±12 B.±√22 C.±1 D.±√2答案 C 不妨令B 在x 轴上方,因为BC 过右焦点F (c ,0),且垂直于x 轴,所以可求得B ,C 两点的坐标分别为(c ,b 2a ),(c ,-b 2a ),又A 1,A 2的坐标分别为(-a ,0),(a ,0),所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c +a ,b 2a),A 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c -a ,-b2a), 因为A 1B ⊥A 2C ,所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(c +a )(c -a )-b 2a ·b 2a =0,即c 2-a2-b 4a2=0,所以b2-b 4a2=0, 故b 2a 2=1,即b a =1,又双曲线的渐近线的斜率为±ba,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C .8.(2014课标Ⅰ理,4,5分)已知F 为双曲线C :x 2-my 2=3m (m >0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.√3B.3C.√3mD.3m 答案 A由题意知,双曲线的标准方程为x 23m -y 23=1,其中a 2=3m ,b 2=3,故c =√a 2+b 2=√3m +3,不妨设F 为双曲线的右焦点,故F (√3m +3,0).其中一条渐近线的方程为y =1√mx ,即x -√m y =0,由点到直线的距离公式可得d =√3·√m+1|√1+(-√m )=√3,故选A .评析 本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查考生对知识的灵活运用能力和运算求解能力. 9.(2014课标Ⅰ文,4,5分)已知双曲线x 2a 2-y 23=1(a >0)的离心率为2,则a = ( )A .2B .√62C .√52D .1答案 D 由双曲线方程知b 2=3,从而c 2=a 2+3,又e =2,因此c 2a 2=a 2+3a 2=4,又a >0,所以a =1,故选D .10.(2013课标Ⅰ理,4,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√52,则C 的渐近线方程为 ( )A.y =±14xB.y =±13xC.y =±12x D.y =±x答案 C ∵ba =√e 2-1=√54-1=12,∴C 的渐近线方程为y =±12x.故选C .11.(2011课标全国理,7,5分)设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为 ( ) A.√2 B.√3 C.2 D.3 答案 B 不妨设双曲线C为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),并设l 过F 2(c ,0)且垂直于x轴,则易求得|AB |=2b 2a,∴2b 2a =2×2a ,b 2=2a 2,∴离心率e =c a =√1+b 2a 2=√3,故选B .12.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F 1,F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1的左,右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为 ( ) A.√2 B.32 C.√3 D.2答案 A 解法一:不妨设M 在第二象限,由MF 1⊥x 轴,可得M (-c ,b 2a ),∴|MF 1|=b 2a .由sin ∠MF 2F 1=13,可得cos ∠MF 2F 1=√1-(13)2=2√23,又tan ∠MF 2F 1=|MF 1||F 1F 2|=b2a2c,∴b 2a2c=132√23,∴b 2=√22ac ,∵c 2=a 2+b 2⇒b 2=c 2-a 2,∴c 2-a 2-√22ac =0⇒e 2-√22e -1=0,∴e =√2.故选A .解法二:不妨设M 在第二象限,由MF 1⊥x 轴,得M (-c ,b 2a ),∴|MF 1|=b 2a ,由双曲线的定义可得|MF 2|=2a +|MF 1|=2a +b 2a ,又sin ∠MF 2F 1=|MF 1||MF 2|=b2a 2a+b2a=13⇒a 2=b 2⇒a =b ,∴e =√1+(b a )2=√2.故选A .13.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C 1:x 2m2+y 2=1(m >1)与双曲线C 2:x 2n2-y 2=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则 ( )A.m >n 且e 1e 2>1B.m >n 且e 1e 2<1C.m <n 且e 1e 2>1D.m <n 且e 1e 2<1 答案 A 在椭圆中,a 1=m ,c 1=√m 2-1,e 1=√m 2-1m.在双曲线中,a 2=n ,c 2=√n 2+1,e 2=√n 2+1n.因为c 1=c 2,所以n 2=m 2-2.从而e 12·e 22=(m 2-1)(n 2+1)m 2·n 2=(m 2-1)2m 2·(m 2-2),令t =m 2-1,则t >1,e 12·e 22=t 2t 2-1>1,即e 1e 2>1.结合图形易知m >n ,故选A .思路分析 根据焦点重合可得m 2与n 2之间的关系,进而建立e 12e 22关于m 的解析式,然后判定范围即可.14.(2018上海,2,4分)双曲线x 24-y 2=1的渐近线方程为 . 答案 y =±12x解析 本题主要考查双曲线的渐近线方程. 解法一:由双曲线x 24-y 2=1知a 2=4,b 2=1,∴a =2,b =1,∴该双曲线的渐近线方程为y =±12x.解法二:令双曲线x 24-y 2=1中的“1”为“0”,即可得到双曲线的渐近线方程,即x 24-y 2=0,∴该双曲线的渐近线方程为y =±12x.15.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F (c ,0)到一条渐近线的距离为√32c ,则其离心率的值是 . 答案 2解析 本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程为bx -ay =0,则F (c ,0)到这条渐近线的距离为√b 2+(-a )=√32c ,∴b =√32c ,∴b 2=34c 2,又b 2=c 2-a 2,∴c 2=4a 2,∴e =ca =2.16.(2017课标Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点.若∠MAN =60°,则C 的离心率为 .答案2√33解析 本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.不妨设点M 、N 在渐近线y =ba x 上,如图,△AMN 为等边三角形,且|AM |=b ,则A 点到渐近线y =b ax 的距离为√32b ,又将y =b ax 变形为一般形式为bx -ay =0,则A (a ,0)到渐近线bx -ay =0的距离d =√a 2+b =|ab |c ,所以|ab |c =√32b ,即a c =√32, 所以双曲线离心率e =c a =2√33. 17.(2017课标Ⅲ文,14,5分)双曲线x 2a 2-y 29=1(a >0)的一条渐近线方程为y =35x ,则a = .答案 5解析 由题意可得3a =35,所以a =5. 18.(2017北京理,9,5分)若双曲线x 2-y 2m =1的离心率为√3,则实数m = .答案 2解析 本题考查双曲线的性质. 由题意知,a 2=1,b 2=m.∵e =c a =√1+b 2a 2=√1+m 1=√3,∴m =2. 19.(2016山东理,13,5分)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是 . 答案 2 解析由已知得|AB |=|CD |=2b 2a ,|BC |=|AD |=|F 1F 2|=2c.因为2|AB |=3|BC |,所以4b 2a =6c ,又b 2=c 2-a 2,所以2e 2-3e -2=0,解得e =2,或e =-12(舍去).评析 本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB |=3|BC |和b 2=c 2-a 2构造关于离心率e 的方程是求解的关键.20.(2016北京理,13,5分)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a = . 答案 2解析 由OA 、OC 所在直线为渐近线,且OA ⊥OC ,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x 2-y 2=a 2.OB 是正方形的对角线,且点B 是双曲线的焦点,则c =2√2,根据c 2=2a 2可得a =2.评析 本题考查等轴双曲线及其性质.21.(2015北京理,10,5分)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的一条渐近线为√3x +y =0,则a = . 答案 √33解析由双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)知其渐近线方程为y =±1a x ,又因为a >0,所以1a =√3,解得a =√33.22.(2014浙江理,16,4分)设直线x -3y +m =0(m ≠0)与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A ,B.若点P (m ,0)满足|PA |=|PB |,则该双曲线的离心率是 .答案√52解析 由{x -3y +m =0,y =ba x得A (am 3b -a ,bm3b -a ), 由{x -3y +m =0,y =-ba x得B (-am 3b+a ,bm 3b+a ),则线段AB 的中点为M (a 2m 9b 2-a 2,3b 2m 9b 2-a 2).由题意得PM ⊥AB ,∴k PM =-3,得a 2=4b 2=4c 2-4a 2,故e 2=54,∴e =√52.— 三年模拟 — A 组 考点基础题组考点1 双曲线的定义和标准方程1.(2020山东百师联盟测试五,5)已知圆C 1:(x -4)2+y 2=25,圆C 2:(x +4)2+y 2=1,动圆M 与C 1,C 2都外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 24-y 212=1(x <0) B.x 24-y 212=1(x >0)C.x 23-y 25=1(x <0)D.x 23-y 25=1(x >0) 答案 A 2.(2020广东湛江网络教学测试(二),5)椭圆x 26+y 24=1的两焦点分别为F 1,F 2,以椭圆短轴的两端点为焦点,|F 1F 2|为虚轴长的双曲线方程为 ( )A.x 2-y 2=2 B.y 2-x 2=2 C.x 2-y 2=√2 D.y 2-x 2=√2 答案 B3.(2021河北衡水中学全国高三第二次联考,6)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点F (c ,0)到渐近线的距离为√32c ,且点(2,√3)在双曲线上,则双曲线的方程为 ( )A.x 29-y 23=1 B.x 212-y 23=1 C.x 23-y 212=1D.x 23-y 29=1答案 D考点2 双曲线的几何性质1.(2020湖南长沙明德中学月考,10)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,M 为双曲线上一点,若cos ∠F 1MF 2=14,|MF 1|=2|MF 2|,则此双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y =±√3x B.y =±√33x C.y =±x D.y =±2x 答案 A2.(多选题)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x ±2y =0,则以该组直线为渐近线的双曲线有 ( ) A.x 2-4y 2=1 B.4y 2-x 2=1 C.x2-y 24=1D.x 24-y 2=1 答案 ABD3.(2021山东济南十一学校联考,6)椭圆与双曲线共焦点F 1,F 2,它们的交点P 对两公共焦点F 1,F 2的张角为∠F 1PF 2=2θ,椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,则 ( )A.cos 2θe 12+sin 2θe 22=1B.sin 2θe 12+cos 2θe 22=1 C.e 12cos 2θ+e 22sin 2θ=1D.e 12sin 2θ+e 22cos 2θ=1答案 B4.(2021辽宁沈阳市郊联体一模,7)设F 1,F 2是双曲线C :x 24-y 28=1的两个焦点,O 为坐标原点,点P 在C 的左支上,且OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3,则△PF 1F 2的面积为 ( )A.8B.8√3C.4D.4√3 答案 A5.(2019广东佛山二模,11)已知F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点,A ,B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点,AF ⊥BF ,且AF 的中点在双曲线C 上,则C 的离心率为( ) A.√5-1 B.√3+12C.√5+12D.√3+1答案 A6.(2021河北二轮复习联考(一),6)已知双曲线C :x 22-y 2b2=1(b >0)的离心率为e ,若e ∈(√5,√10),则C 的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为 ( )A.(1,3√2)B.(√2,+∞)C.(2√2,3√2)D.(√2,3√2) 答案 CB 组 综合应用题组时间:70分钟 分值:85分一、单项选择题(每小题5分,共35分)1.(2021百校大联考(六),8)若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率等于√103,则该双曲线的渐近线方程为 ( )A.y =±3xB.y =±12xC.y =±13x D.y =±2x 答案 C2.(2021湘豫名校4月联考,10)已知双曲线C :x 216-y 29=1的右焦点为F ,过原点O 的直线与双曲线C 交于A ,B 两点,且∠AFB =60°,则△OBF 的面积为( ) A.92B.9√32C.32 D.3√32答案 D3.(2020河北衡水中学七调,4)已知双曲线C :x 212-y 24=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为P ,Q ,若△POQ 为直角三角形,则|PQ |= ( ) A.2 B.4 C.6 D.8答案 C4.(2021广东肇庆二模,8)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O为坐标原点,在双曲线C 上存在点M ,使得2|OM |=|F 1F 2|,设△F 1MF 2的面积为S.若16S =(|MF 1|+|MF 2|)2,则该双曲线的离心率为 ( ) A.√62 B.√32 C.32 D.√3 答案 A5.(2019湖南岳阳二模,11)如图,设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,O 为坐标原点,若双曲线及其渐近线上各存在一点Q ,P ,使得四边形OPFQ 为矩形,则其离心率为 ( )A.√3B.2C.√5D.√6 答案 A6.(2021辽宁沈阳二模,8)已知点F 1,F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b2=1(b >0)的左,右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线C的右支上,且满足|F 1F 2|=2|OP |,tan ∠PF 2F 1≥5,则双曲线C 的离心率的取值范围为 ( )A.(1,√173] B.(1,√264] C.(1,√5] D.(1,√2]答案 B7.(2021江苏南通如皋二模,7)在平面直角坐标系xOy 中,点F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,过点F 1且与直线l :y =-ba x 垂直的直线交C 的右支于点M ,设直线l 上一点N (N 在第二象限)满足F 1N ⊥F 2N ,且(F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线C 的离心率为 ( ) A.√5 B.√3 C.√2+1 D.2 答案 A二、多项选择题(每小题5分,共15分)8.(2020全国统一模拟五,12)设F 1、F 2为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过左焦点F 1且斜率为√157的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ,则下列说法正确的是( ) A.直线l 倾斜角的余弦值为78B.若|F 1P |=|F 1F 2|,则C 的离心率e =43 C.若|PF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率e =2 D.△PF 1F 2不可能是等边三角形 答案 AD9.(2021山东烟台一模,10)已知双曲线C :x 2m -y 2m+7=1(m ∈R )的一条渐近线方程为4x -3y =0,则 ( )A.(√7,0)为C 的一个焦点B.双曲线C 的离心率为53C.过点(5,0)作直线与C 交于A ,B 两点,则满足|AB |=15的直线有且只有两条D.设A ,B ,M 为C 上三点且A ,B 关于原点对称,则MA ,MB 斜率存在时其乘积为169 答案 BD10.(2021广东梅州一模,10)下列关于圆锥曲线的命题中,正确的是 ( ) A.设A 、B 为两个定点,k 为非零常数,|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ,则动点P 的轨迹为双曲线 B.过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为坐标原点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则动点P 的轨迹为椭圆 C.方程2x 2-5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D.双曲线x 225-y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点 答案 CD三、填空题(每小题5分,共20分)11.(2020山东潍坊模拟,15)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点为F 1、F 2,直线y =√3b 与C 的右支相交于点P ,若|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线C 的离心率为 ;若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是√5,则双曲线的方程为 . 答案32;x 24-y 25=1 12.(2021广东广州一模,15)已知圆(x -1)2+y 2=4与双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线相交于四个点,按顺时针排列依次记为M ,N ,P ,Q ,且|MN |=2|PQ |,则C 的离心率为 . 答案2√6313.(2021湖南永州二模,15)已知O 为坐标原点,双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3√55,从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线,垂足为A ,若△AFO 的面积为√5,则双曲线C 的方程为 .答案x 25-y 24=114.(2021山东日照一模,16)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 24-y 212=1的左,右焦点,E 为双曲线C 的右顶点,过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ,B 两点(其中点A 在第一象限),设M ,N 分别为△AF 1F 2,△BF 1F 2的内心,则|ME |-|NE |的取值范围是 . 答案 (-4√33,4√33)四、解答题(共15分)15.(2021湖南岳阳一模,21)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为√52,点P (4,√3)在C 上.(1)求双曲线C 的方程;(2)设过点(1,0)的直线l 与双曲线C 交于M ,N 两点,问在x 轴上是否存在定点Q ,使得QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数?若存在,求出Q 点坐标及此常数的值;若不存在,说明理由. 解析 (1)由题意得,{ 16a 2-3b 2=1,c a =√52,a 2+b 2=c 2,解得a 2=4,b 2=1.∴双曲线C 的方程为x 24-y 2=1. (2)假设存在定点Q.设定点Q (t ,0), 当直线斜率不为0时,设直线l 的方程为x =my +1,联立{x 24-y2=1,x =my +1,得(m 2-4)y 2+2my -3=0. ∴m 2-4≠0,且Δ=4m 2+12(m 2-4)>0,解得m 2>3且m 2≠4. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), ∴y 1+y 2=-2mm 2-4,y 1y 2=-3m 2-4, ∴x 1+x 2=m (y 1+y 2)+2=-2m 2m 2-4+2=-8m 2-4,x 1x 2=(my 1+1)(my 2+1)=m 2y 1y 2+m (y 1+y 2)+1=-3m 2m 2-4-2m 2m 2-4+1=-4m 2+4m 2-4=-4-20m 2-4.QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-t ,y 1)·(x 2-t ,y 2)=(x 1-t )(x 2-t )+y 1y 2=x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2+y 1y 2=-4-20m 2-4+t ·8m 2-4-3m 2-4+t 2=-4+t 2+8t -23m 2-4, 由QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数, 得8t -23=0,即t =238,此时QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =27364. 当直线l 斜率为0时,QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =27364. ∴在x 轴上存在定点Q (238,0),使得QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数. 方法总结 过x 轴上某一定点的直线方程的设法问题,常设其横截距式直线方程,需要针对其斜率是不是0进行分类讨论,若设其纵截距式直线方程,则需要针对其斜率是否存在进行分类讨论.— 一年原创 —1.(2021 5·3原创题)已知双曲线x 2m -y 2n =1,集合A ={x |x 2-2x -8<0,x ∈Z },若m ,n ∈A ,则焦点在x 轴上的双曲线条数是 ( )A.9B.8C.6D.12答案 A2.(2021 5·3原创题)已知A 1,A 2是椭圆C 1:x 24+y 2=1和双曲线C 2:x 24-y 2b 2=1(b >0)的左,右顶点,M ,N 分别为椭圆和双曲线上不同于A 1,A 2的动点,且O ,M ,N 三点共线,若直线A 1M ,A 2M ,A 1N ,A 2N 的斜率之和为0,则C 2的渐近线方程是( )A.y =±2xB.y =±12xC.y =±23xD.y =±32x答案 B3.(2021 5·3原创题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,左、右焦点分别是F 1、F 2.过F 1的直线l分别交C 的两条渐近线于A ,B 两点(A 与B 不重合),且满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则直线l 的斜率k = .答案 ±√1554.(2021 5·3原创题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是x -2y =0,且双曲线C 过点(2√2,1).(1)求双曲线C 的方程;(2)如图,设直线l 与双曲线C 的右支相切于P 点(P 点不与右顶点重合),且l 分别交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点,O 为坐标原点.问:△MON 的面积是不是定值?如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.解析 (1)由题意得{b a =12,8a 2-1b 2=1,解得{a 2=4,b 2=1, 所以双曲线C 的方程为x 24-y 2=1. (2)由于直线l 与双曲线C 的右支相切于P 点(P 点不与右顶点重合),因此直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y =kx +m ,由{y =kx +m ,x 24-y 2=1消去y 得(4k 2-1)x 2+8kmx +4m 2+4=0, 由题意得Δ=64k 2m 2-4(4k 2-1)(4m 2+4)=0, 整理得4k 2=m 2+1,① 设l 与x 轴交于点D ,则|OD |=|m k|, S △OMN =S △MOD +S △NOD =12|OD |×|y M -y N |=|m 2k |·|k |·|x M -x N |,双曲线的两条渐近线方程为y =±12x ,联立{y =12x ,y =kx +m ⇒M (2m 1-2k ,m 1-2k ), 联立{y =-12x ,y =kx +m ⇒N (-2m 2k+1,m 2k+1), 则S △MON =|m 2k |·|k |·|2m 1-2k +2m 1+2k |=|m 2k |·|k |·|4m1-4k 2|=12·|m k |·|k |·|4m-m 2|=2(定值).所以△MON的面积为定值2.。

历年高考题——双曲线

历年高考题——双曲线

历年高考题——双曲线1.[２0１3·全国Ⅰ] 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的离心率为25,则C 的渐近线方程为 ．2．[２0１3·广东] 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为)0,3(F ,离心率为23，则C 的方程是 ．3.［20１4·全国] 已知双曲线C 的离心率为２,焦点为21,F F ,点A 在C 上.若A F A F 212=，则=∠12cos F AF .4.[2014·天津］ 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线102:+=x y l ,双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程是 .5.[２0１4·北京] 设双曲线C 经过点)2,2(，且与1422=-x y 具有相同的渐近线,则C 的方程为 .6.[20１４·全国Ⅰ] 已知F 为双曲线)0(3:22>=-m m my x C 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 .7．[２０１4·广东] 若实数k 满足90<<k ，则曲线192522=--k y x 与曲线192522=--y k x 的 相等.（A.焦距 Ｂ.实半轴长 C.虚半轴长 D ．离心率)8.［2０１4·山东］ 已知0>>b a ,椭圆1:22221=+b y a x C ,双曲线1:22222=-by a x C ,21C C 与的离心率之积为23,则2C 的渐近线方程为 .9.[2０1４·重庆］ 21,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,双曲线上存在一点P ,使得b PF PF 321=+,ab PF PF 4921=⋅，则该双曲线的离心率为 .10.［2014·浙江] 设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点B A ,.若点)0,(m P 满足PB PA =，则该双曲线的离心率为 .11.[2015·广东] 已知双曲线1:2222=-b y a x C 的离心率45=e ，且其右焦点为)0,5(2F ,则双曲线的方程为 .12．[2015·全国Ⅱ］ 已知B A ,为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形，且顶角为︒120，则E 的离心率为 .１3.［2０１5·福建] 若双曲线1169:22=-y x E 的左、右焦点分别为21,F F ,点P 在双曲线E 上，且31=PF ，则=2PF .14．［20１5·北京] 已知双曲线)0(12222>=-a b y a x 的一条渐近线为03=+y x ,则=a .1５．［201５·湖南] 设F 是双曲线1:2222=-by a x C 的一个焦点.若C 上存在一点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为 .1６.[20１6·全国Ⅱ] 已知21,F F 是双曲线1:2222=-by a x E 的左、右焦点,点M 在E上,1MF 与x 轴垂直，31sin 12=∠F MF ，则E 的离心率为 .17.［20１6·浙江] 已知椭圆)1(1:2221>=+m y m x C 与双曲线)0(1:2222>=-n y nx C 的焦点重合,21,e e 分别为21,C C 的离心率,则1__,__21e e n m ．（填“>”或“＜”)1８.[２０１６·山东] 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E .若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC AB 32=,则E 的离心率为 .19.［２01６·北京] 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线为正方形OABC 的边OC OA ,所在的直线,点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的变成为2，则=a .2０.[２016·天津] 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为52,且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直,则双曲线的方程为 ．。

高考数学十年真题专题解析—双曲线

高考数学十年真题专题解析—双曲线

双曲线年份题号考点考查内容2011理7双曲线直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质2012理8文10双曲线抛物线与双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系2013卷1文理4双曲线双曲线的离心率和渐近线2014卷1理4双曲线双曲线的标准方程及其几何性质文4双曲线双曲线的离心率卷2理5双曲线双曲线的标准方程及其几何性质2015卷1文16双曲线双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系卷2理11双曲线双曲线的标准方程及其几何性质文15双曲线双曲线的标准方程的求法，双曲线的渐近线2016卷2理11双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算2017卷1理15双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文5双曲线双曲线标准方程及其几何性质卷2理9圆、双曲线圆的几何性质，双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算文5双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算卷3理5双曲线双曲线与椭圆的几何性质，待定系数法求双曲线的方程文14双曲线双曲线的渐近线2018卷1理11双曲线双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系卷2理5文6双曲线双曲线的几何性质卷3理11双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文10双曲线双曲线的离心率、渐近线，点到直线距离公式2019卷1理16双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文10双曲线双曲线的离心率、渐近线卷2理11文12圆、双曲线直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法卷3理10双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质文10双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质2020卷1理15双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质，双曲线离心率的求法文11双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质卷2理8文9双曲线双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系卷3理11双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质文14双曲线双曲线的渐近线、离心率考点出现频率2021年预测考点92双曲线的定义及标准方程23次考2次命题角度：(1)双曲线的定义及应用；(2)双曲线的标准方程；(3)双曲线的几何性质．核心素养：直观想象、数学运算考点93双曲线的几何性质23次考21次考点94直线与双曲线的位置关系23次考5次考点92双曲线的定义及标准方程1．(2017新课标Ⅲ理)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 【解析】由题意可得：52b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =，则C 的方程为2145x y 2-=，故选B ．2．(2017天津理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B 【解析】设(,0)F c -，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由44PF k c c -==-，由题意有4b c a=，又ca=222c a b =+，得b =，a =B ．3．【2017天津文】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为()A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 603c c a b ba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3ab ==，故双曲线方程为2213y x -=，故选D ．4．(2016天津理)已知双曲线222=1(0)4x y b b->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A ．22443=1y x -B ．22344=1y x -C ．2224=1x y b-D ．2224=11x y -【答案】D 【解析】不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，所以2242x y by x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得224424x b y b ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，故四边形ABCD 的面积为22232442444bxy b b b b =⨯==+++，解得212b =．故所求的双曲线方程为2224=11x y -，故选D ．5．【2016天津文】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为()A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．15320322=-y x D ．12035322=-y x 【答案】A【解析】由题意得2215,2,11241b x yc a b a ==⇒==⇒-=，故选A ．6．(2015安徽理)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C 【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C ．7．(2014天津理)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=【答案】A 【解析】依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=．8．(2012湖南文理)已知双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10，点P(2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =1【答案】A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==．又 C 的渐近线为b y x a =±，点P(2，1)在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =．又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1．9．(2011山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆C ：22x y +-650x +=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -=【答案】A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc=，则22,5b a ==，故选A ．10．(2016北京文)已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________．【答案】1,2a b ==．【解析】依题意有2c b a⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，结合222c a b =+，解得1,2a b ==．11．(2016北京理)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a =______．2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图，∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB π4∠=AOB ，∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a，又∵2228+==a b c ，∴2=a．12．(2015新课标1文)已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为．【答案】2214x y -=【解析】∵双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，∴2244λ-=，∴1λ=，故双曲线的方程为2214x y -=．13．(2015北京理)已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =．33【解析】因为双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线为y =，所以1a =，故33a =．14．(2011山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．【答案】22143x y -=【解析】由题意可知双曲线的焦点(，，即c =心率为274c a =，∴2a =，故23b =，∴双曲线的方程为22143x y -=．考点93双曲线的几何性质15．(2020·新课标Ⅰ文)设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为()A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．16．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a ()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．17．【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P 满足–2PA PB =，且P 为函数y =图像上的点，则OP =()A．2B．5CD．【答案】D【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23b =，方程为()22103yx x -=>且点P为函数y =上的点，联立方程()22103y x x y ⎧-=>⎪⎨⎪=⎩，解得：2134x =，2274y =，OP ∴==D ．18．【2019·全国Ⅰ文】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为()A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50 cea∴======︒，故选D．19．【2019年高考全国Ⅱ理】设F为双曲线C：22221(0,0)x y a ba b-=>>的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a+=交于P，Q两点．若PQ OF=，则C的离心率为A BC．2D【答案】A【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ x⊥轴，又||PQ OF c==，||,2cPA PA∴=∴为以OF为直径的圆的半径，∴||2cOA=，,22c cP⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P点在圆222x y a+=上，22244c c a∴+=，即22222,22c ca ea=∴==．e∴=，故选A．20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：2242x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A ．324B ．322C ．22D ．32【答案】A【解析】由222,2,6,a b c a b ===+=6,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则263222P P b y x a =⋅=⨯=，1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．21．【2019·全国Ⅲ文】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =，0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选B ．22．【2019·北京文】已知双曲线2221x y a-=(a>0)的离心率是5，则a=()A 6B ．4C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率c e a ==c =，∴1a=12a =，故选D ．23．【2019·浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A ．22B ．1C ．D ．2【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为0x y ±=，∴a b =，则c ==，∴双曲线的离心率ce a==C ．24．(2018全国Ⅱ文理)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为()A ．=yB ．=yC ．2=±y x D ．2=±y x 【答案】A【解析】∵c e a ==，∴2222221312b c a e a a-==-=-=，∴b a =b y x a =±，∴渐近线方程为y =，故选A ．25．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．322D ．【答案】D【解析】c e a === 1b a ∴=，∴双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，∴点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ．26．【2018高考浙江2】双曲线2213x y -=的焦点坐标是()A ．()),0,B ．()()20,0,2,-C ．((0,,0D ．()()0,22,0,-【答案】B【解析】试题分析：根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标．试题解析： 双曲线方程为2213x y -=，∴焦点坐标可设为()0,c ±．222,3142c a b c =+=+== ，∴焦点坐标为()20,±，故选B ．【名师点睛】由双曲线方程()222210,0x y a b a b-=>>可得焦点坐标为()(,0c c ±=，顶点坐标为()0,a ±，渐近线方程为by x a=±．27．【2018高考全国1理11】已知双曲线13:22=-y x C ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN △为直角三角形，则=MN ()A ．23B ．3C ．32D ．4【答案】B【解析】【基本解法1】(直接法)∵双曲线221,(2,0)3x y F -=，∴渐近线方程为33y x =±，倾斜角分别为30,150 ，∴60MON ∠= ，不妨设90MNO ∠= ，∴30,30OMN FON ∠=∠= ，∵2OF =，∴在Rt FON ∆中，3cos3022ON OF =⋅=⨯=，∴在Rt MON ∆中，tan 603MN ON =⋅==．【基本解法2】(直接法)根据题意，可知其渐近线的斜率为()2,0F ，从而得到30FON ∠=︒，∴直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN的方程为)2y x =-，分别与两条渐近线y =和y x =联立，求得(33,,,32M N MN ⎛∴= ⎝⎭，故选B ．28．【2018高考天津文理7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为()A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为()()00,F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bc d d b c +===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ===，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选C ．29．【2017·全国Ⅰ文】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．12C ．23D ．32【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，∴(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，∴3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ．30．【2017·全国Ⅱ文】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是()A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，∵1a >，∴21112a <+<，则1e <<C ．31．(2017新课标Ⅱ理)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为()A ．2B C D ．233【答案】A 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2b d c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==，所以2b c =，又222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a==，选A ．32．(2016全国I 理)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1，3)B ．(–1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)【答案】A 【解析】由题意得22()(3)0m n m n +->，解得223m n m -<<，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M 2234m n m n ++-=，即21m =，所以13n -<<．33．(2016全国II 理)已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为()A B ．32C D ．2【答案】A 【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a=±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac-∠=====122224c a e a c e -=-=，所以22102e e --=，所以e =A ．34．(2016浙江理)已知椭圆1C ：2221x y m +=(1m >)与双曲线2C ：2221x y n -=(0n >)的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <【答案】A 【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，222221222221111()2m n n n e e m n n n -+++=⋅=⋅+4242422111122n n n n n n ++==+>++，∴121e e >．故选A ．35．(2015湖南文)若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点(3,4)-，则此双曲线的离心率为A．3B ．54C ．43D ．53【答案】D 【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，点(3,4)-在渐近线上，∴43b a =，又222a b c +=，∴2222162599c a a a =+=，∴53c e a ==．36．(2015四川文理)过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则||AB ＝A．3B ．C ．6D ．【答案】D 【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，将2x =代入y =得y =±，∴||AB =．37．(2015福建理)若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于()A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．38．(2015湖北理)将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】由题意1e a ==，2e ==∵()()b b m m b a a a m a a m +--=++，由于0m >，0a >，0b >，所以当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22(()b b m a a m+<+，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，22((b b m a a m+>+，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >．39．(2015重庆文)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于,BC 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为A ．12±B ．22C ．1±D．【答案】C 【解析】由题意，得12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，将x c =代入双曲线方程，解得2b y a =±．不妨设2(,)b B c a ，2(,)b C c a -，则1222,A BA C b b a a k k c a c a-==+-，根据题意，有221b b a a c a c a -⋅=-+-，整理得1b a=，∴双曲线的渐近线的斜率为1±．40．(2015重庆理)设双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-∪B ．(,1)(1,)-∞-+∞∪C．∪D．(,1))-∞-+∞∪【答案】A 【解析】由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a -，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得221b b a a c x a c -⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，而双曲线的渐近性斜率为b a±，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)- ，故选A ．41．(2014新课标1文理)已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为AB ．3CD ．3m【答案】A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F到一条渐近线的距离为b =，故选A ．42．(2014广东文理)若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等【答案】A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，故选A ．43．(2014重庆文理)设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为A ．34B ．35C ．49D ．3【答案】B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，∴22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b a a --=，则(31b a +)(34ba-)=0，解得41(33b b a a ==-舍去)，则双曲线的离心率251()3b e a =+=．44．(2013新课标1文理)已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率为52，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±【答案】C 【解析】由题知，52c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a=14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ．45．(2013湖北文理)已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是()222sin 1tan 1sin cos e θθθθ+==，故选D ．46．(2012新课标文理)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为()A ．2B ．22C ．4D ．8【答案】C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B --得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=47．(2012福建文理)已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于A ．31414B ．324C ．32D ．43【答案】C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为(3，0)，∴2a +5=9，∴2a =4，∴a =2，∵c =3，∴32c e a ==，故选C ．48．(2011安徽文理)双曲线x y 222-=8的实轴长是()A ．2B ．22C ．4D ．42【答案】C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =．故选C ．49．(2011湖南文理)设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =．50．(2011天津文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2，-1)，则双曲线的焦距为()A ．23B ．25C ．43D ．45【答案】B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为by x a =±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得22p -=-，即4p =，又∵42pa +=，∴2a =，将(－2，－1)代入by x a=得1b =，∴225c a b =+=，即225c =．51．【2020年高考全国Ⅰ理15】已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为．【答案】2【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【解析】依题可得，3BFAF =，而2b BF a=，AF c a =-，即23b a c a=-，变形得22233c a ac a -=-，化简可得，2320e e -+=，解得2e =或1e =(舍去)．故答案为：2．52．【2020年高考江苏6】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =，则该双曲线的离心率是．【答案】32【解析】由22205x y a -=得渐近线方程为5y x a =±，又0a >，则2a =，2259c a =+=，3c =，得离心率32c e a ==．53．【2020年高考北京卷12】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________．【答案】(3,0)【解析】∵双曲线22163x y -=，∴26a =，23b =，222639c a b =+=+=，∴3c =，∴右焦点坐标为(3,0)，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b，∴b =．54．【2019·江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲．【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，∵0b >，∴b =．∵1a =，∴双曲线的渐近线方程为y =．55．【2018·北京文】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为52，则a =________________．【答案】4【解析】在双曲线中c ==，且2c e a ==，∴2a a =，即216a =，∵0a >，∴4a =．56．(2018北京理14)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．12-；【解析】设椭圆的右焦点为(,0)F c ，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知(,22c A ，由点A 在椭圆M 上得，22223144c c a b +=，∴22222234b c a c a b +=，222b a c =-，∴22222222()34()a c c a c a a c -+=-，∴4224480a a c c -+=，∴428+40e e -=椭椭，∴24e =±椭，∴1e =椭(舍去)或1e =椭，∴椭圆M 1，∵双曲线的渐近线过点3(,22c A ，渐近线方程为y =，故双曲线的离心率2e ==双．57．【2018高考江苏8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到一条渐近线的距离为32，则其离心率的值是▲．【答案】2【解析】试题分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率．试题解析：∵双曲线的焦点(),0F c 到渐近线by x a=±即0bx ay ±=的距离为bcb c==，2b c ∴=，因此222222311244,,2a c b c c c a c e =-=-===．【名师点睛】双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a ．58．【2018高考上海2】双曲线2214x y -=的渐近线方程为．【答案】2x y =±【解析】由已知得24,1a b ==，渐近线方程为2x y =±．【考点分析】双曲线简单的几何性质，考查运算求解能力59．(2017新课标Ⅰ理)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若MAN ∠=60°，则C 的离心率为________．【答案】233【解析】如图所示，AH MN ⊥，AM AN b ==，MAN ∠=60°，所以30HAN ∠= ，又MN 所在直线的方程为by x a=，(,0)A a 到MN的距离AH =在Rt HAN ∆中，有cos HA HAN NA =，所以32=，即2=，因为222c a b =+，得2a c =，所以3c e a ==．60．(2017新课标Ⅲ文)双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a =．【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =．61．(2017山东文理)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】22y x =±【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=，∵22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，∴222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为22y x =±．62．(2017北京文理)若双曲线221y x m-=的离心率为m =_________．【答案】2【解析】∵221,a b m ==，∴11c a ==2m =．63．【2016浙江文】设双曲线x 2–23y=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【答案】(27,8)．【解析】由已知得1,3,2a b c ===，则2ce a==，设(,)P x y 是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在双曲线的右支上，则12x <<，121PF x =+，221PF x =-，12F PF ∠为锐角，则2221212PF PF F F +>，即222(21)(21)4x x ++->，解得72x >，∴722x <<，则1247,8)PF PF x +=∈．64．(2016山东文理)已知双曲线E ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是．【答案】2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a ==65．(2015新课标1文)已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,66)A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a =，左焦点为(3,0)M -，∵P 在C 的左支上，∴ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥=||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM的方程为13x =-，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2,-，此时，ΔAPF的面积为116622⨯⨯-⨯⨯=．66．(2015山东文)过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为．【答案】2【解析】设直线方程为()b y x c a =-，由22221()x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222a c x c +=，由2222a c a c+=，ce a =，解得2e =+(2e =-舍去)．67．(2015山东理)平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的渐近线与抛物线2C ：22x py =(0p >)交于,,O A B ，若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______．32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线为by x a =±，则2222(,)pb pb A a a ，2222(,)pb pb B a a -，22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AFpb pa a k pb b a-==，即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==．68．(2014山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为．【答案】y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-，与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+，根据已知得2222(1)4p a c b +=①，由||AF c =得2224p a c +=②，由①②得22a b =，即a b =，∴所求双曲线的渐近线方程为y x =±．69．(2014浙江文理)设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是．【答案】2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程b y x a =±可解得交点为(,)33am bmA b a b a--，(,33am bmB b a b a-++，而13ABk =，由||||PA PB =，可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3，可得224b a =，∴52e =．70．(2014北京文理)设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．【答案】221312x y -=2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．71．(2014湖南文理)设F 1，F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_________．1+【解析】由已知可得，12cos30PF c ==，22sin 30PF c c == ，由双曲线的定义，2c a -=，则1c e a ===．72．(2013辽宁文理)已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ ，则PQF ∆的周长为．【答案】44【解析】由题意得，||||6FP PA -=，||||6FQ QA -=，两式相加，利用双曲线的定义得||||28FP FQ +=，∴PQF ∆的周长为||||||44FP FQ PQ ++=．73．(2013陕西理)双曲线221169x y -=的离心率为．45【解析】所以离心率为45,45162516922222=⇒==⇒=e ac e a b 74．(2012辽宁文理)已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 75．(2012天津文理)已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C的右焦点为F ，则a =b =．【答案】1，2【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b y a x 的渐近线为x a by ±=，∴有2=a b，a b 2=，又双曲线12222=-by a x 的右焦点为)0,5(，∴5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，∴2,1,12===b a a ．76．(2012江苏文理)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为．【答案】2【解析】由题意得m ＞0，∴a =m ，b =,4,422++=∴+m m c m 由e =5=a c得542=++mm m ，解得m =2．77．(2011北京文理)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b =．【答案】2【解析】由2221(0)y x b b -=>得渐近线的方程为2220y x b-=，即y bx =±，由一条渐近线的方程为2y x =得2b =．考点94直线与双曲线的位置关系78．(2020·新课标Ⅱ文理8)设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D EODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【思路导引】∵()2222:10,0x y C a b a b-=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a =±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE ∆的面积为8，可得ab值，根据2c =结合均值不等式，即可求得答案．【解析】∵2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE ∆面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c =≥==，当且仅当a b ==取等号，∴C 的焦距的最小值：8，故选B ．79．(2020·浙江卷)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P 满足|PA|–|PB|=2，且P 为函数y=图像上的点，则|OP|=()A ．222B ．4105CD．【答案】D【解析】∵||||24PA PB -=<，∴点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==80．(2019天津文理)已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =(O 为原点)，则双曲线的离心率为()ABC ．2D【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±，则有(1,(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24b a =，2b a =，∴c e aa===D ．【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．81．【2018高考全国2理5】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为()A．y =B．y =C ．22y x =±D ．32y x =±【答案】A【解析】试题分析：根据离心率得,a c 关系，进而得,a b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．试题解析：222222,12,c b c a b e e a a a a-==∴==-=∴= ．∵渐近线方程为,by x a=±∴渐近线方程为y =，故选A ．【名师点睛】已知双曲线方程222210,0x y a b a b -=>>求渐近线方程：22220x y by x a b a-=⇒=±．【考点】双曲线的简单几何性质(离心率、渐近线方程)82．【2018高考全国3理11】设12F F ，是双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：,的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为()AB ．2CD【答案】C【解析】试题分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =，然后在2Rt POF △和在12Rt PF F △中利用余弦定理可得．试题解析：由题可知22,PF b OF c ==，PO a ∴=．在2Rt POF △中，222cos P O PF bF OF c ∠==，22221212212||||||cos P O 2||||PF F F PF b F PF F F c ∠+-=∴=，222224(6),322b c bc a b c c+-∴=∴=⋅，e ∴=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．83．(2018天津文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为()A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2by a=±，不妨设2(,)b A c a ，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==，则12226bc d d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．84．(2014天津文)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=【答案】A 【解析】依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，∴25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=．85．(2013重庆文理)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A．(,2]3B．[,2)3C．(,)3+∞D．[,)3+∞【答案】A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满足33b a <，∴21(33b a <≤，241()43ba <+≤，既有23<，又双曲线的离心率为。

新课标解析几何(双曲线)历年高考题精选

新课标解析几何(双曲线)历年高考题精选

新课标解析几何(双曲线)历年高考题精选新课标双曲线历年高考题精选 1.若双曲线的渐近线方程为y=±3x, 它的一个焦点是(10,0), 则双曲线的方程为———— 2. y23.以双曲线4xa225yb22?1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是4.设双曲线x2?2?1(a?0，b?0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y?4x 的准线重合，则此双曲线的方程为Ａ．12?y224x2?1 y2 Ｂ．x248?y296?1Ｃ．x23?2y32?1 32x2Ｄ．x2323?y26?1 94495.(04北京春理3)双曲线4?9?1的渐近线方程是 A. y??62x B. y???y2x C. y??x D. y??x 6.下列曲线中离心率为7.双曲线8.设双曲线xa22的是Ａ.x22?y24?1Ｂ. 422222xyxyＤ.?1Ｃ.??1??146410x24?x2-y22212=1的焦点到渐近线的距离为( ) ?1(a?0,b?0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为yb?29.已知双曲线x2y222?1的准线经过椭圆x24?yb22?1的焦点，则b=( ) 10. (2008重庆文)若双曲线3?16yp2?1的左焦点在抛物线y=2px的准线上，则p的值为(C )(A)2 2 (B)3 (C)4 (D)42 1 11．(2008江西文)已知双曲线为x2xa22?yb22?1(a?0,b?0)的两条渐近线方程为y??33x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程4?3y42?1．112.(2008山东文)已知圆C:x2?y2?6x?4y?8?0．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为13.已知双曲线x2x24?2?yy2122?1?1的离心率是3。

则n＝4nx12?ny214、(2008海南、宁夏文)双曲线15. (2008重庆理)已知双曲线xa2210?yyb22?222?1的焦距为A. 32 B.42 C. 33 D. 43 xa22?1的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=5k,则双曲线方程为(C ) ?1 (C)x22－y224a=1 (B)xa22?5a4b?yb22?1 (D)x225b?yb22?1 16.以知F是双曲线222的左焦点，是双曲线右支上的动点，则15的最小值为17.(2008辽宁文) 已知双曲线9y?mx?1(m?0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为18.(04湖南文4)如果双曲线x2，则m?( D )A．1B．2C．3 D．4 13?y212?1上一点22P到右焦点的距离为13, 那么点P到右准线的距离是??1的左右焦点分别为F1,F2，P 为C的右支上一点，且PF2?F1F2，则?PF1F2的面积916等于( C )24 36 48 96 17．(2008四川文) 已知双曲线C:xy19.设P是双曲线xa22?y29?1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x?2y?0,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点， 2 若|PF1|?3，则|PF2|? A. 1或5 20.已知双曲线x2B. 6 y2 C. 7 D. 9 262?y2232?1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为21已知双曲线x????????????1的焦点为F1、F2，点M 在双曲线上且MF1?MF2?0，则点M到x 轴的距离为yb2222.已知双曲线面积为a2xa－＝1的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的2，则两渐近线的夹角为A、30o B、45o C、60o D、90o x223. A．x?y?10x?9?0 B．x2?y2?10x?16?0C．x2?y2?10x?16?0 D．x2?y2?10x?9?0 30.设P为双曲线x?A．63 B．12 x22y212?1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|?3:2，则△PF1F2的面积为C．123 ?1上一点D．24 24.(07四川理5）如果双曲线4?y2P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是225已知双曲线C：A.ab B. 22ac22?2yb22?1(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径是a?b22222?26.过双曲线x?y?4的右焦点F作倾斜角为105的直线，交双曲线于P，Q两点，则FP?FQ 的值为______．27.(2009山东卷理)设双曲线xa?yb?1的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为().x22 28.已知双曲线双曲线上.则PF1·PF2＝( ) 2?yb22?1(b?0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程为y?x，点P(3,y0)在 3 22xy29.已知双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若abAF?4FB,则C的离心率为() 30.设F1和F2为双曲线的离心率为xa22?yb22?1(a?0,b?0)的两个焦点, 若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线222 x?231.(2009湖北卷理)已知双曲线?11?2?y22?1的准线过椭圆1?22x4?yb?1的焦点，则直线y?kx?2与椭圆至多有一个交点的充要条件是22??2??2?()A. K??,B. K????,?,??,?,??? ,??? C. K???? D. K???????22?????22?2?2?????2????2?32.设双曲线x2?1??xa22?yyb2?1的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等于( ) 2 33.双曲线6xa22?3y322?1的渐近线与圆(x?3)?y22?r(r?0)相切，则r= () 234.若双曲线?2?1?a?o?的离心率为2，则a等于( ) yb2235.设双曲线xa－2＝1?a＞0，b＞0?的渐近线与抛物线y＝x ＋1相切，则该双曲线的离心率等于236.已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是．37.过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线， 4 切点分别为A，B，若，则双曲线线C的离心率为2 . 38.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 39．(2008湖南文) 双曲线xa22，则双曲线C 的离心率为?yb22?1(a?0,b?0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是( C )A．(1,2]B．[2,??) C．(1,2?1]D．[2?1,??) 40.若双曲线41. (2008湖南理)若双曲线xa22xa22?yb22?1的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是3a2?yb22?1上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的D. (5,+?) 、(2008海南、宁夏理)过双曲线x2取值范围是( B. )A.(1,2) B.(2,+?) C.(1,5) 点为A，右焦点为F。

(新课标)双曲线性质练习

(新课标)双曲线性质练习

双曲线性质姓名____________分数______________一、选择题1 ．已知点(,)P x y 的坐标满足4=，则动点P 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对 2 ．若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件.C ．充要条件. D ．既不充分也不必要条件.3 ．与椭圆1422=+yx共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ）A ．1222=-yxB ．1422=-yxC ．13322=-yxD ．1222=-yx4 ．已知0a b >>，则椭圆22221xya b +=与双曲线22221xya b-=的关系是（ ）. A.它们有相同的焦点 B.它们有相同的离心率 C.它们的离心率互为倒数 D.它们有且只有两个交点5 ．过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若12A B B C =,则双曲线的离心率是 ( )6 ．已知双曲线2211(0)2xb b-=>的左、右焦点分别为1F 、2F ,其一条渐进线方程为,y x =点0)p y 在该双曲线上,则12PF PF =（ ） A 12- B 2- C 0 D 47 ．过双曲线22143xy-=左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN|的值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．168 ．设,x y R ∈，集合{}22(,)1,A x y x y=-=}2)1(|),{(+-==x t y y x B ，若A B 为单元素集，则t 值的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9 ．已知方程22ax byab += 和0ax by c ++= （其中0,,0ab a b c ≠≠>），它们所表示的曲线可能是 .Ａ Ｂ Ｃ Ｄ10．设1F 和2F 为双曲线)00(12222>>=-b a by ax ，的两个焦点，若1F ，2F ，P （0，2b ）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 A ．23 B ．2 C ．25 D ．311．已知双曲线2222xy1a b-=()a 0,b 0>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A 、()1,2B 、(]1,2C 、[)2,+∞D 、()2,+∞12．已知双曲线1242522=-yx上一点M 到右焦点F 的距离为11，N 是MF 之中点，O 为坐标原点，则|NO|等于A211 B21或221 C21 D22113．设1a >，则双曲线22221(1)x yaa -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(214．设双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两焦点12,F F ,点Q 为双曲线上除顶点外任一点,过焦点1F 作12F QF ∠平分线的垂线,垂中为P,则P 上轨迹是( ).A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分15．已知双曲线22221x y ab-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，且124|PF |=|PF |，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ） A. 43B.53C. 2D.73二、填空题16．双曲线1422=-xy 的渐近线方程为_______________．17．设21,F F 为双曲线1422=-yx的两个焦点，点P 在双曲线上且满足02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是_________18．已知直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支相交于不同的两点，则k 的取值范围是 ．19．如果12,F F 分别是双曲线191622=-yx的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点F 1的弦，且||6AB =，则2ABF ∆的周长是20．双曲线2216416yx-=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1 , 那么点P 到另一个焦点的距离等于_______.21．若方程11222=-+-k ykx表示的图形是双曲线，则k 的取值范围为_______________．22．双曲线1422=-yx 的焦点到渐近线的距离等于 ．23．已知双曲线221yx m-=与椭圆22172xy+=有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为____________.24．若双曲线116922=-yx上一点P 到右焦点的距离为2，则点P 到双曲线的渐近线的距离为_______________25．12F F 、是双曲线221916xy-=的两个焦点，P 在双曲线上且满足12||||32PF PF ⋅=，则12F PF ∠= ．26．过双曲线122=-myx的一个焦点F 作它的一条渐近线的垂线FM,垂足为M 并且交y 轴于E ，若M 为EF 中点，则m =________. 27．过双曲线C:22221x y ab-=(0,0)a b >>的一个焦点作圆222x y a +=的两条切线,切点分别为A,B,若120AOB ∠= (O是坐标原点),则双曲线C 的离心率为____.28．设P 是双曲线()222109x ya a-=>上的一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y +=，12,F F 分别为双曲线的左右焦点，若13PF =，则2P F 等于____________.29．在平面直角坐标系xOy 中已知△ABC 的顶点B 在双曲线22221x y ab-=的左支上，顶点A 、C 为双曲线的左、右焦点，若=-B CA sin sin sin 56，则双曲线的离心率等于_____．30．已知两个点M （－5，0）和N （5，0），若直线上存在点P ，使|PM|－|PN|=6，则称该直线为“B 型直线”，给出下列直线：①y=x+1，②y=34x, ③y=2，④y=2x+1，其中为“B 型直线”的是 .（填上所有正确结论的序号）双曲线性质参考答案一、选择题1 ．B2 ．A3 ．A4 ．D5 ．答案:C 【解析】对于(),0A a ,则直线方程为0x y a +-=,直线与两渐近线的交点为B,C,22,,(,)a aba ab B C a b a ba b a b ⎛⎫-⎪++--⎝⎭,则有22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭ ,因222,4,AB BC a b e =∴=∴=6 ．C7 ．B8 ．C9 ．B 10．由t an 623c bπ==有2222344()c b c a ==-,则2c e a==,故选B. 11．C 12．D 13．B 14．D 15．B二、填空题16．x y 21±= 17．1 18．13k k ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩-<<⎭-； 19．28； 20．17 21．{}21|><k k k 或22．2； 23．2y x =± 24．12525．90O26．127．解:12060302AOB AOF AFO c a ∠=⇒∠=⇒∠=⇒=, 2.c e a∴==28．7 29．6530．①③。

双曲线试题及答案

双曲线试题及答案

双曲线试题及答案1. 已知双曲线的方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)，其中 \(a = 3\)，\(b = 4\)，求双曲线的焦点坐标。

答案：双曲线的焦点坐标为 \((\pm\sqrt{a^2 + b^2}, 0)\)，代入 \(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到焦点坐标为 \((\pm 5, 0)\)。

2. 双曲线 \(\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1\) 的渐近线方程是什么？答案：双曲线的渐近线方程为 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)，代入\(a = 3\) 和 \(b = 4\)，得到渐近线方程为 \(y =\pm\frac{4}{3}x\)。

3. 如果一个双曲线的中心在原点，且通过点 \((2, 3)\)，并且其一条渐近线方程为 \(y = 2x\)，求双曲线的方程。

答案：设双曲线方程为 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}= 1\)，由于渐近线方程为 \(y = 2x\)，可知 \(\frac{b}{a} = 2\)。

将点 \((2, 3)\) 代入方程得 \(\frac{4}{a^2} - \frac{9}{b^2} =1\)。

联立 \(b = 2a\) 解得 \(a = 1\)，\(b = 2\)，因此双曲线方程为 \(x^2 - \frac{y^2}{4} = 1\)。

4. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1\) 与直线\(y = mx + 1\) 相交，求直线的斜率 \(m\) 的取值范围。

答案：将直线方程代入双曲线方程，得到 \(\frac{x^2}{16} -\frac{(mx + 1)^2}{9} = 1\)。

整理得 \((9 - 16m^2)x^2 - 32mx -70 = 0\)。

双曲线-测试

双曲线-测试

解析 由题意，方程1＋x2 k－1－y2 k＝1 表示双曲线，则满足(1＋k)(1－
k)>0，解得－1<k&目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 解析
2．已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同
ab(x－c)，与
y＝bax
x＝ac2， 联立，解得y＝acb，即
Pac2，acb.因为直线
PF2
与渐近
线 y＝bax 垂直，所以 PF2 的长度即为点 F2(c，0)到直线 y＝bax(即 bx－ay
＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF2|＝ bb2＋c a2＝bcc＝b，所以 b
ab ＝2.因为 F1(－c，0)，Pac2，acb，且直线 PF1 的斜率为 42，所以ac2＋c c＝ 42，
目录 狂刷小题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
解析
10．(2023·天津高考)双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别
为 F1，F2.过 F2 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 P.已知|PF2|＝2，直线
C.8x02 －2y02 ＝1
D.2x02 －8y02 ＝1
解析 ∵双曲线ax22－by22＝1 的焦距为 10，∴c＝5＝ a2＋b2
①.又双曲线
的渐近线方程为 y＝±bax，且 P(2，1)在渐近线上，∴2ab＝1，即 a＝2b ②.
由①②，解得 a＝2 5，b＝ 5，则 C 的方程为2x02－y52＝1.故选 A.

新课标双曲线历年高考题精选(精)

新课标双曲线历年高考题精选(精)

新课标双曲线历年高考题精选1.(05上海理5假设双曲线的渐近线方程为y=±3x, 它的一个焦点是(10,0, 那么双曲线的方程为————2.(07福建理6以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 3.(07上海理8以双曲线15422=-y x 的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是4.(07天津理4设双曲线22221(00x y a b a b-=>>,抛物线24y x =的准线重合,那么此双曲线的方程为(A.2211224x y -=B.2214896x y -=C.222133x y -= D.22136x y -= 5.(04北京春理3双曲线x y 22 491-=的渐近线方程是( A.y x =±32B.y x =±23 C. y x =±94D.y x =±496.(2021安徽卷理以下曲线中离心率为的是A .22124x y -=B .22142x y -=C .22146x y -=D .221410x y -=7.(2021宁夏海南卷理双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为(8.(2021天津卷文设双曲线0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2,焦距为32,那么双曲线的渐近线方程为(9.(2021湖北卷文双曲线1412222222=+=-by x y x 的准线经过椭圆(b >0的焦点,那么b =(10. (2021重庆文假设双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,那么p 的值为(C (A2 (B3 (C411.(2021江西文双曲线22221(0,0x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±,假设顶点到渐近线的距离为1,那么双曲线方程为 223144x y -= .112.(2021山东文圆22:6480C x y x y +--+=.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,那么适合上述条件的双曲线的标准方程为221412x y -=13.(2021安徽文双曲线22112x y n n -=-n = 414、(2021海南、宁夏文双曲线221102x y -=的焦距为( DD. 15. (2021重庆理双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0的一条渐近线为y =kx (k >0,离心率e ,那么双曲线方程为 (C(A 22x a-224y a =1 (B222215x y a a -= (C222214x y b b -= (D222215x y b b -=16.(2021辽宁卷理以知F 是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,那么的最小值为17.(2021辽宁文双曲线22291(0y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15,那么m =( D A .1B .2C .3 D .4 18.(04湖南文4如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么点P 到右准线的距离是(17.(2021四川文双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212PF FF =,那么12PFF ∆的面积等于( C (A24 (B36 (C48 (D9619.(04天津理4设P 是双曲线19222=-y a x 上一点,双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点,假设3||1=PF ,那么=||2PFA. 1或5B. 6C. 7D. 920.(05全国Ⅱ理6双曲线136=-的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴,那么F 1到直线F 2M 的距离为21(05全国Ⅲ理9双曲线2212y x -=的焦点为12F F 、,点M 在双曲线上且120MF MF ⋅= ,那么点M 到x 轴的距离为( 22.(05湖南理7双曲线22a x -22b y =1(a >0,b >0的右焦点为F ,右准线与一条渐近线交于点A ,△OAF 的面积为22a (O 为原点,那么两渐近线的夹角为(A 、30º B 、45º C 、60º D 、90º23.(07福建理6以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( A .221090x y x +-+= B .2210160x y x +-+= C .2210160x y x +++= D .221090x y x +++=30.(07辽宁理11设P 为双曲线22112y x -=上的一点,12F F ,是该双曲线的两个焦点,假设12||:||3:2PF PF =,那么12PFF △的面积为(A .B .12C .D .2424.(07四川理5如果双曲线12422=-y x 上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是25(07陕西理7双曲线C :12222=-by c a (a >0,b >0,以C 的右焦点为圆心且与C 的浙近线相切的圆的半径是 A.ab B.22b a + C.a D.b26.(07重庆理16过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105 的直线,交双曲线于P Q ,两点,那么FP FQ 的值为______.27.(2021山东卷理设双曲线122=-ba 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点,那么双曲线的离心率为( .28.(2021四川卷文、理双曲线0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ,其一条渐近线方程为x y =,点,3( 0y P 在双曲线上.那么1PF ·2PF =(29.(2021全国卷Ⅱ理双曲线(222210,0x y C a b a b-=>>:的右焦点为F ,过F 且斜率C 于A B 、两点,假设4AF FB =,那么C 的离心率为 (30.(2021江西卷文设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>的两个焦点, 假设12F F ,,(0,2P b 是正三角形的三个顶点,那么双曲线的离心率为31.(2021湖北卷理双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点,那么直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是( A.11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B.11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C. K ⎡∈⎢⎣⎦ D. ,K ⎛⎫∈-∞+∞⎪⎪⎝⎦⎣⎭32.(2021全国卷Ⅰ理设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,那么该双曲线的离心率等于( 33.(2021全国卷Ⅱ文双曲线13622=-y x 的渐近线与圆0(3(222>=+-r r y x 相切,那么r = (34.(2021福建卷文假设双曲线(222213x y a o a -=>的离心率为2,那么a 等于(35.(2021全国卷Ⅰ文设双曲线(222200x y a b a b-=1>,>的渐近线与抛物线21y =x +相切,那么该双曲线的离心率等于(36.(2021重庆卷理双曲线的左、右焦点分别为,假设双曲线上存在一点使,那么该双曲线的离心率的取值范围是 .37.(2021湖南卷文过双曲线C :的一个焦点作圆的两条切线, 切点分别为A ,B ,假设(O 是坐标原点,那么双曲线线C 的离心率为 2 .38.(2021湖南卷理以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60 ,那么双曲线C 的离心率为39.(2021湖南文双曲线0,0(12222>>=-b a b y ax 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,那么双曲线离心率的取值范围是( CA .(1B .+∞C .(11]D .1,+∞ 40.(2021浙江文、理假设双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,那么双曲线的离心率是(41. (2021湖南理假设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,那么双曲线离心率的取值范围是( B.A.(1,2B.(2,+∞C.(1,5D. (5,+∞(2021海南、宁夏理过双曲线221916x y -=的右顶点为A ,右焦点为F 。

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析

高三数学双曲线试题答案及解析1.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为( )A．B．2C．4D．8【答案】C【解析】设C：－＝1．∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4．2.已知双曲线左、右焦点分别为，若双曲线右支上存在点P 使得，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(0，)B．(，1)C．D．(，)【答案】【解析】由已知及正弦定理知，即.设点的横坐标为，则，所以，，，即，解得，选.【考点】双曲线的几何性质，正弦定理，双曲线的第二定义.3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，P是双曲线右支上的一点，轴交于点A，的内切圆在上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设，由图形的对称性及圆的切线的性质得，因为,所以,所以，所以又，所以，，所以故选B.【考点】1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质；3、圆的切线的性质.4. (2014·咸宁模拟)双曲线-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线离心率为() A．B．C．2D．3【答案】C【解析】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为bx±ay=0,依题意,直线bx±ay=0与圆x2+(y-2)2=1相切,设圆心(0,2)到直线bx±ay=0的距离为d,则d===1,所以双曲线离心率e==2.5.双曲线－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【答案】【解析】由－y2＝1知顶点(2,0)，渐近线x±2y＝0，∴顶点到渐近线的距离d＝＝.6.已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )A．2B．C．D．【答案】D【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为，即，又，代入得，解得，即，故选．【考点】双曲线的标准方程与几何性质.7.已知，则双曲线：与：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．焦距相等D．离心率相等【答案】D【解析】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D8.已知双曲线的两个焦点分别为，以线段直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为.则此双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，∴①，又双曲线的渐近线为，因此②，则①②解得，∴双曲线方程为，选A．【考点】双曲线的标准方程与性质．9.在平面直角坐标系中，定点，两动点在双曲线的右支上，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，当直线MA、MB与双曲线相切时，∠AMB最大，此时最小，设过点M的双曲线切线方程为：代入整理得，，则△==0，解得=，即=，∴==，故选D.【考点】1.直线与双曲线的位置关系；2.二倍角公式；3.数形结合思想；4.转化与化归思想10.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】在直角三角形中，设则，因此离心率为【考点】双曲线定义11.已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．【答案】x2＝16y【解析】∵双曲线C1：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.12.已知双曲线C：＝1的焦距为10，P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为________．【答案】＝1【解析】∵＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝.＝113.根据下列条件，求双曲线方程．(1)与双曲线＝1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；(2)与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)．【答案】（1）＝1.（2）＝1【解析】解法1：(1)设双曲线的方程为＝1，由题意，得解得a2＝，b2＝4.所以双曲线的方程为＝1.(2)设双曲线方程为＝1.由题意易求得c＝2.又双曲线过点(3，2)，∴＝1.又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为＝1.解法2：(1)设所求双曲线方程为＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，所以双曲线方程为＝.(2)设双曲线方程为＝1，将点(3，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为＝1.14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为()A．2B．2C．4D．4【答案】B【解析】双曲线左顶点为A(-a,0),1渐近线为y=±x,抛物线y2=2px(p>0)焦点为F（,0）,准线为直线x=-.由题意知-=-2,∴p=4,由题意知2+a=4,∴a=2.∴双曲线渐近线y=±x中与准线x=-交于(-2,-1)的渐近线为y=x,∴-1=×(-2),∴b=1.∴c2=a2+b2=5,∴c=,∴2c=2.故选B.15.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的方程为 .【答案】 -=1【解析】由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x得=,∴b= a.∵抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),∴c=4.又∵c2=a2+b2,∴16=a2+(a)2,∴a2=4,b2=12.∴所求双曲线的方程为-=1.16.已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.【答案】x2-=1【解析】由y2=8x准线为x=-2.则双曲线中c=2,==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.17.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A、B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1【答案】B==1,【解析】∵kAB∴直线AB的方程为y=x-3.由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.18.若双曲线-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线x=y2的焦点分成3∶2的两段,则此双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得F1(-c,0),F2(c,0),抛物线x=y2,即y2=2bx的焦点F(,0),依题意=.即=,得:5b=2c⇒25b2=4c2,又b2=c2-a2,∴25(c2-a2)=4c2,解得c= a.故双曲线的离心率为=.19.若双曲线-=1的左焦点与抛物线y2=-8x的焦点重合,则m的值为()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】【思路点拨】实数m(m-2)>0还不足以确定m的值,还要确定抛物线的焦点(双曲线的左焦点).解:抛物线y2=-8x的焦点(-2,0)也是双曲线-=1的左焦点,则c=2,a2=m,b2=m-2,m+m-2=4即m=3.20.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M, N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C．D．【答案】B【解析】设双曲线的方程为-=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为+=1(a2>0,b2>0),由于M,O,N将椭圆长轴四等分,所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2.21.P(x0,y)(x≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率.(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.【答案】(1)(2) λ=0或λ=-4【解析】【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.解：(1)由点P(x0,y)(x≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.由题意又有·=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=λ+,即又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,所以-5=5b2,-5=5b2.又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.22.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把双曲线的方程化为标准形式：．故选B．【考点】双曲线的简单的几何性质．23.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为________．【答案】-2【解析】由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)，设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5，∵x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，∴当x＝1时，取最小值－2.24.点到双曲线的渐近线的距离为______________.【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为：，点到渐近线的距离.【考点】双曲线的标准方程.25.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则它的离心率为________．【答案】2【解析】由题意，得e＝＝＝＝226.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是________．【答案】(1,2]【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.27.P为双曲线＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则PM－PN的最大值为________．【答案】9【解析】设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时PM－PN＝(PF1＋2)－(PF2－1)＝6＋3＝928.双曲线＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．【答案】(1，)【解析】双曲线＝1的一条渐近线为y＝x，点(1,2)在该直线的上方，由线性规划知识，知：2＞，所以e2＝1＋2＜5，故e∈(1，)．29.已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右顶点、右焦点分别为A、F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．【答案】＋1【解析】由题意知：B，A(a,0)，F(c,0)，则2a＝c－，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋1.30.若双曲线＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1<e≤2.31.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为()．A．5x2－y2＝1B．＝1C．＝1D．5x2－y2＝1【答案】D【解析】由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝132.抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线C1：y＝x2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F；双曲线C2：－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±x.由y′＝x，所以x＝，得x＝p，所以点M的坐标为.由点F，F′，M三点共线可求p＝.33.双曲线＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．【答案】9【解析】由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.34.分别是双曲线的左右焦点，是虚轴的端点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为_________.【答案】【解析】直线的方程为，由得：；由得：，的中点为.据题意得，所以.【考点】直线与圆锥曲线.35.已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()．A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦点在x轴上．设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，即＝1，则a2＝λ，b2＝3λ，∵焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，∴c＝4，∴c2＝a2＋b2＝4λ＝16，解得λ＝4，∴双曲线方程为＝136.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】根据双曲线的渐近线的方程知即，所以此双曲线的离心率.【考点】双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.37.已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，双曲线的右顶点为，，则双曲线的离心率为 .【答案】【解析】∵，∴，而∵，∴，∴，∴，∴，在中，，，，即.【考点】1.平面几何中角度的换算；2.双曲线的离心率.38.点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设左焦点为，则，设，则有，即，由定义有：，∴，由得.【考点】1.双曲线的定义；2.焦点三角形求离心率的方法.39.设双曲线的左、右焦点分别为是双曲线渐近线上的一点，，原点到直线的距离为，则渐近线的斜率为（）A．或B．或C．1或D．或【答案】D【解析】如图所示，，又即，即，所以渐近线的斜率为或.【考点】双曲线的定义、渐近线等基础知识.40.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为．【答案】6【解析】双曲线的右焦点是抛物线的焦点，所以，，.【考点】双曲线的焦点.41.已知实数,,构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】,,构成一个等比数列，双曲线为，【考点】等比数列及双曲线性质点评：若成等比数列，则，在双曲线中有，离心率42.设双曲线的焦点为，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为双曲线双曲线的焦点为，所以，又，所以，由得所求选A.【考点】双曲线的性质点评：主要是考查了双曲线的渐近线方程的求解，属于基础题。

高考题(双曲线)liti

高考题(双曲线)liti

例题1、已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OPOM =λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，，由已知得1,4,37a c a c a c -=⎧==⎨+=⎩解得， 所以椭圆C 的标准方程为221167x y += （Ⅱ）设(,)M x y ，其中[]4,4x ∈-。

由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222911216()x x y λ+=+。

整理得2222(169)16112x y λλ-+=，其中[]4,4x ∈-。

（i ）34λ=时。

化简得29112y =所以点M 的轨迹方程为47(44)3y x =±-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段。

（ii ）34λ≠时，方程变形为2222111211216916x y λλ+=-，其中[]4,4x ∈-当304λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。

当314λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分；当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆；例题2已知两定点()()122,0,2,0F F -，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点。

(I) 求实数 k 的取值范围；(II) 如果63AB =，且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值和ABC ∆的面积S 。

解：由双曲线的定义可知，曲线E 是以()()122,0,2,0F F -为焦点的双曲线的左支，且2,1c a ==，易知1b =，故曲线E 的方程为()2210x y x -=<设()()1122,,,A x y B x y ，由题意建立方程组2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩ 消去y ，得()221220k x kx -+-=又已知直线与双曲线左支交于两点,A B ，有()()222122122102810201201k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪-⎨+=<⎪-⎪-⎪=>-⎩解得21k -<<-又∵2121AB k x x =+⋅-()22121214k x x x x =+⋅+-2222221411k k k k --⎛⎫=+⋅-⨯ ⎪--⎝⎭()()()22221221k k k +-=-依题意得 ()()()2222122631k k k +-=-整理后得422855250k k -+= ∴257k =或254k = 但21k -<<-∴52k =-故直线AB 的方程为5102x y ++=设(),c c C x y ，由已知OA OB mOC+=，得()()()1122,,,c c x y x y mx my +=∴()1212,,c c x x y y mx my mm ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0m ≠又1222451kx x k +==--，()21212222222811k y y k x x k k +=+-=-==--∴点458,C m m ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得2280641m m-=得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴4m =，C 点的坐标为()5,2-C 到AB 的距离为()225521213512⨯-++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ∴ABC ∆的面积1163323S =⨯⨯=例题3、双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==由倍角公式∴22431b a b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率52e =． （Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b-=联立将2a b =，5c b =代入，化简有2215852104x x b b -+=222121212411()4a a x x x x x x b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=++-⎢⎥ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦将数值代入，有2232528454155b b⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,解得3b = 故所求的双曲线方程为221369x y-=。

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新课标双曲线历年高考题精选1.(05上海理5若双曲线的渐近线方程为y=±3x, 它的一个焦点是(10,0, 则双曲线的方程为————2.(07福建理6以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是 3.(07上海理8以双曲线15422=-y x 的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是4.(07天津理4设双曲线22221(00x y a b a b-=>>,抛物线24y x =的准线重合,则此双曲线的方程为(A.2211224x y -=B.2214896x y -=C.222133x y -= D.22136x y -= 5.(04北京春理3双曲线x y 22491-=的渐近线方程是( A.y x =±32B.y x =±23 C. y x =±94D.y x =±496.(2009安徽卷理下列曲线中离心率为的是A .22124x y -=B .22142x y -=C .22146x y -=D .221410x y -=7.(2009宁夏海南卷理双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为(8.(2009天津卷文设双曲线0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2,焦距为32,则双曲线的渐近线方程为(9.(2009湖北卷文已知双曲线1412222222=+=-by x y x 的准线经过椭圆(b >0的焦点,则b =(10. (2008重庆文若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为(C (A2 (B3 (C411.(2008江西文已知双曲线22221(0,0x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为 223144x y -= .112.(2008山东文已知圆22:6480C x y x y +--+=.以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为221412x y -=13.(2008安徽文已知双曲线22112x y n n -=-n = 414、(2008海南、宁夏文双曲线221102x y -=的焦距为( DD. 15. (2008重庆理已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0的一条渐近线为y =kx (k >0,离心率e ,则双曲线方程为 (C(A 22x a-224y a =1 (B222215x y a a -= (C222214x y b b -= (D222215x y b b -=16.(2009辽宁卷理以知F 是双曲线的左焦点,是双曲线右支上的动点,则的最小值为17.(2008辽宁文已知双曲线22291(0y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15,则m =( D A .1B .2C .3 D .4 18.(04湖南文4如果双曲线1121322=-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么点P 到右准线的距离是(17.(2008四川文已知双曲线22:1916x y C -=的左右焦点分别为12,F F ,P 为C 的右支上一点,且212PF FF =,则12PFF ∆的面积等于( C (A24 (B36 (C48 (D9619.(04天津理4设P 是双曲线19222=-y a x 上一点,双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点,若3||1=PF ,则=||2PFA. 1或5B. 6C. 7D. 920.(05全国Ⅱ理6已知双曲线136=-的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴,则F 1到直线F 2M 的距离为21(05全国Ⅲ理9已知双曲线2212y x -=的焦点为12F F 、,点M 在双曲线上且120MF MF ⋅= ,则点M 到x 轴的距离为( 22.(05湖南理7已知双曲线22a x -22b y =1(a >0,b >0的右焦点为F ,右准线与一条渐近线交于点A ,△OAF 的面积为22a (O 为原点,则两渐近线的夹角为(A 、30º B 、45º C 、60º D 、90º23.(07福建理6以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是( A .221090x y x +-+= B .2210160x y x +-+= C .2210160x y x +++= D .221090x y x +++=30.(07辽宁理11设P 为双曲线22112y x -=上的一点,12F F ,是该双曲线的两个焦点,若12||:||3:2PF PF =,则12PFF △的面积为(A .B .12C .D .2424.(07四川理5如果双曲线12422=-y x 上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是25(07陕西理7已知双曲线C :12222=-by c a (a >0,b >0,以C 的右焦点为圆心且与C 的浙近线相切的圆的半径是 A.ab B.22b a + C.a D.b26.(07重庆理16过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105 的直线,交双曲线于P Q ,两点,则FP FQ 的值为______.27.(2009山东卷理设双曲线122=-ba 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为( .28.(2009四川卷文、理已知双曲线0(12222>=-b by x 的左、右焦点分别是1F 、2F ,其一条渐近线方程为x y =,点,3( 0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF =(29.(2009全国卷Ⅱ理已知双曲线(222210,0x y C a b a b-=>>:的右焦点为F ,过F 且斜率C 于A B 、两点,若4AF FB =,则C 的离心率为 (30.(2009江西卷文设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>的两个焦点, 若12F F ,,(0,2P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为31.(2009湖北卷理已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点,则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是( A. 11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B.11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C. K ⎡∈⎢⎣⎦ D. ,K ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎪⎝⎦⎣⎭32.(2009全国卷Ⅰ理设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( 33.(2009全国卷Ⅱ文双曲线13622=-y x 的渐近线与圆0(3(222>=+-r r y x 相切,则r = (34.(2009福建卷文若双曲线(222213x y a o a -=>的离心率为2,则a 等于(35.(2009全国卷Ⅰ文设双曲线(222200x y a b a b-=1>,>的渐近线与抛物线21y =x +相切,则该双曲线的离心率等于(36.(2009重庆卷理已知双曲线的左、右焦点分别为,若双曲线上存在一点使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .37.(2009湖南卷文过双曲线C :的一个焦点作圆的两条切线, 切点分别为A ,B ,若(O 是坐标原点,则双曲线线C 的离心率为 2 .38.(2009湖南卷理已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60 ,则双曲线C 的离心率为39.(2008湖南文双曲线0,0(12222>>=-b a b y ax 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( CA .(1B .+∞C .(11]D .1,+∞ 40.(2008浙江文、理若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2,则双曲线的离心率是(41. (2008湖南理若双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B.A.(1,2B.(2,+∞C.(1,5D. (5,+∞(2008海南、宁夏理过双曲线221916x y -=的右顶点为A ,右焦点为F 。

过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ,则△AFB 的面积为_______3215_______42.(2008福建文、理双曲线22221(0,0x y a b a b+=>>的两个焦点为12,F F ,若P 为其上的一点,且12||2||PF PF =,则双曲线离心率的取值范围为( B A.(1,3B.(1,3]C.(3,+∞D.[3,+∞43.(2008全国Ⅱ卷文设ABC △是等腰三角形,120ABC ∠=,则以AB ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为(44.(2008全国Ⅱ卷理设1a >,则双曲线22221(1x y a a -=+的离心率e 的取值范围是A .BC .(25,D .(245.(2008陕西文、理双曲线221x y a b-=(0a >,0b >的左、右焦点分别是12F F ,,过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点,若2MF 垂直于x 轴,则双曲线的离心率为( B ABCD .346.(04全国Ⅲ理7设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为12y x =±,则双曲线的离心率e =(47.(04江苏5若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合,则双曲线离心率为 (48.(04重庆理10已知双曲线22221,(0,0x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为: 49.(05福建理10已知F 1、F 2是双曲线0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( A .324+B .13-C .213+ D .13+50.(05浙江13过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点,以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_________.51.(06福建理10已知双曲线22221(0,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(A (1,2] (B (1,2 (C [2,+∞ (D (2,+∞52..(06湖南理7i .过双曲线222:1y M x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B 、C ,且||||A B B C =,则双曲线M 的离心率是A BC D 53(06山东文7在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为21,则该双曲线的离心率为54.(07安徽理9 如图,1F 和2F 分别是双曲线0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点,AB 是以O 为圆心,以1F O 为半径的圆与53(06山东文7在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为21,则该双曲线的离心率为 54.(07安徽理9 如图,1F 和2F 分别是双曲线0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△AB F 2是等边三角形,则双曲线的离心率为(A3 (B 5(C25(D 31+55.(06陕西理7已知双曲线x 2a 2 - y 22 =1(a>2的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为( A.2 B. 3 C.263 D.23356.(07全国2理11设F 1,F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。

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